Векторная алгебра и метод координатvenec.ulstu.ru/lib/disk/2014/Aidarkin_Polenishchenko_1.pdf · И МЕТОД КООРДИНАТ Допущено УМО

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра естественно-научных дисциплин

Д.В. Айдаркин

Л.И. Поленищенко

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

И МЕТОД КООРДИНАТ

Допущено УМО по образованию в области аэронавигации в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки "Аэронавигация" и специальностям высшего

профессионального образования "Эксплуатация воздушных судов и организация воздушного движения", "Летная эксплуатация

воздушных судов" и "Аэронавигационное обслуживание и использование воздушного пространства"

Ульяновск 2007

ББК В 1 я 7

А 36

Айдаркин, Д.В. Векторная алгебра и метод координат: учеб. пособие /

Д.В. Айдаркин, Л.И. Поленищенко. − Ульяновск: УВАУ ГА, 2007. − 116 с.

Содержит необходимые теоретические сведения по векторной алгебре и ис-

пользованию метода координат на плоскости и в пространстве. Даны примеры

практического применения изученных методов и формул при решении задач

летной эксплуатации воздушных судов.

Предназначено для курсантов летных учебных заведений гражданской

авиации, проходящих обучение по специализациям: 160503.65.01 – Летная экс-

плуатация гражданских воздушных судов и 160505.65.01 – Управление воз-

душным движением, а также может быть рекомендовано курсантам и студен-

там других специализаций, изучающим разделы математики «Векторная алгеб-

ра» и «Метод координат».

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................................................................... 5Глава 1. Метод координат на прямой и на плоскости ....................................... 6

§ 1. Оси и направленные отрезки ..................................................................... 6§ 2. Координаты на прямой линии ................................................................... 9§ 3. Прямоугольные координаты на плоскости ............................................ 12§ 4. Полярная система координат .................................................................. 15§ 5. Аэродинамическое качество и поляра самолета ................................... 19§ 6. Навигационные системы координат на плоскости ............................... 22§ 7. Преобразование координат на плоскости .............................................. 25

Глава 2. Метод координат в пространстве ........................................................ 30§ 1. Прямоугольная декартова система координат ...................................... 30§ 2. Цилиндрическая система координат ...................................................... 34§ 3. Сферическая система координат ............................................................. 36§ 4. Декартовы системы координат, применяемые в авиации .................... 38§ 5. Навигационные системы координат в пространстве ............................ 42

Глава 3. Векторные величины. Линейные операции над векторами .................................................... 46

§ 1. Векторные и скалярные величины .......................................................... 46§ 2. Сумма векторов ......................................................................................... 48§ 3. Умножение вектора на число .................................................................. 51§ 4. Разность векторов ..................................................................................... 54§ 5. Результирующая аэродинамическая сила

и ее составляющие .................................................................................... 56§ 6. Навигационный треугольник скоростей ................................................ 60§ 7. Девиация магнитного компаса ................................................................ 65

Глава 4. Координаты вектора .............................................................................. 68§ 1. Проекция вектора на ось .......................................................................... 68§ 2. Основные теоремы о проекциях ............................................................. 70§ 3. Декартовы координаты вектора .............................................................. 75§ 4. Линейные операции над векторами

с заданными координатами ...................................................................... 78§ 5. Вычисление модуля вектора по заданным координатам ..................... 81

Д.В. Айдаркин, Л.И. Поленищенко Векторная алгебра и метод координат | 3

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г

§ 6. Направляющие косинусы ........................................................................ 83§ 7. Деление отрезка в данном отношении ................................................... 86

Глава 5. Скалярное произведение векторов ...................................................... 88§ 1. Скалярное произведение и его основные свойства .............................. 88§ 2. Скалярное произведение в координатной форме .................................. 92§ 3. Физический смысл скалярного произведения ....................................... 94

Глава 6. Векторное произведение векторов ...................................................... 96§ 1. Векторное произведение и его основные свойства ............................... 96§ 2. Векторное произведение в координатной форме .................................. 99§ 3. Механический смысл векторного произведения ................................ 102§ 4. Гироскопический момент ...................................................................... 103§ 5. Двойное векторное произведение ......................................................... 105

Глава 7. Смешанное произведение векторов .................................................. 107§ 1. Смешанное произведение и его основные свойства ........................... 107§ 2. Смешанное произведение в координатной форме .............................. 110

Рекомендуемая литература ............................................................................... 114



ПРЕДИСЛОВИЕ

В современном мире, который характеризуется бурным развитием техники и технологий, математика играет исключительно важную роль. Объясняется это тем, что понятия и методы математики широко используются всеми естественными и техническими науками, для которых математика давно стала языком общения.

Будущим специалистам гражданской авиации математика необходима, пре-жде всего, для изучения ряда общеинженерных и специальных дисциплин, та-ких, например, как физика, аэродинамика, динамика полета и практическая аэродинамика, авиационное оборудование, навигация и т.д., полное восприятие и понимание которых невозможно без овладения математическим аппаратом. Особую роль в изучении указанных дисциплин играют разделы математики «Векторная алгебра» и «Метод координат».

Учитывая специфику летных учебных заведений ГА, данное пособие имеет целью не только познакомить обучаемых с необходимым теоретическим мате-риалом по векторной алгебре и использованию метода координат на плоскости и в пространстве, но и показать примеры практического применения изученных методов и формул при решении задач летной эксплуатации воздушных судов. При этом в пособии рассматриваются, например, силы, действующие на воз-душное судно во время полета, разложение результирующей аэродинамической силы на составляющие, поляра самолета, навигационные системы координат на плоскости и в пространстве, декартовы системы координат, использующиеся в аэродинамике для изучения движения самолета, навигационный треугольник скоростей и девиация магнитного компаса, применение гироскопического мо-мента в авиаприборах и появление гироскопического момента винта самолета.

Пособие является основной частью учебного комплекса, в состав которого входят также сборник задач по указанным разделам и электронный учебник.

Электронный учебник состоит из информационного блока, содержащего текстовую и графическую информацию, представленную в данном пособии, примеров применения метода координат и векторной алгебры для решения задач с авиационным содержанием, системы навигации по электронному учеб-нику, а также системы контроля полученных знаний.



ГЛАВА 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. Оси и направленные отрезки

Рассмотрим произвольную прямую. Она имеет два взаимно противополож-

ных направления. Выберем одно из них (безразлично какое) и назовем это на-

правление положительным, а противоположное – отрицательным.

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью.

На чертежах положительное направление оси указывается стрелкой (например,

на рис. 1.1 изображена ось a, для нее направление слева направо принято за

положительное).

Возьмем на данной оси две произвольные точки A и B. Часть прямой, огра-

ниченная двумя точками, называется отрезком. Длина отрезка есть положи-

тельное число, получаемое измерением этого отрезка

с помощью некоторого заранее выбранного масштаб-

ного отрезка (на рис. 1.1 масштаб задан с помощью

единичного отрезка m). Отрезок, ограниченный точ-

ками A и B, а также его длину, обозначают АВ или BA.

Рассмотрим отрезки AB и BC, изображенные на рис. 1.1. Отрезок AB в три раза

длиннее масштабного отрезка m, а отрезок BC – в два раза, поэтому длины ука-

занных отрезков соответственно равны:

AB = 3, BC = 2.

Во многих задачах физики, аэродинамики, навигации и других прикладных

дисциплин имеет значение направление отрезка. Например, если отрезок рассмат-

ривается как перемещение, которое совершает движущаяся вдоль оси точка.

Чтобы охарактеризовать направление отрезка, одну из двух ограничиваю-

щих его точек принимают за начало отрезка, а другую – за его конец; направле-

нием отрезка считают направление от начала к концу. Отрезок, на котором

указано направление (т. е. сказано, какая из двух граничных точек считается

началом и какая – концом), называется направленным отрезком.

Рис. 1.1



Будем обозначать направленный отрезок двумя буквами с чертой или стрел-

кой над ними, помещая на первом месте букву, указывающую начало отрезка.

Так, например, направленный отрезок, для которого точка А является началь-

ной, а В – конечной, будем обозначать AB . Заметим, что направленные отрезки

AB и BA различны, так как направления их противоположны.

Длина направленного отрезка, расположенного на оси, взятая с определен-

ным знаком, называется величиной направленного отрезка оси; при этом знак

выбирается положительный, если направление отрезка совпадает с положи-

тельным направлением оси, и отрицательный, если направление отрезка проти-

воположно положительному направлению оси. Так, например, величина на-

правленного отрезка AB , изображенного на рис. 1.1, положительна, а величина

отрезка СB – отрицательна. Очевидно, что длина направленного отрезка равна

модулю его величины. Условимся обозначать длину направленного отрезка AB

через AB , а его величину символом { AB }.

Из определения величины направленного отрезка оси следует, что величины

отрезков AB и BA отличаются знаком:

{ AB } = – { BA}.

Иногда приходится рассматривать и такой направленный «отрезок», начало

и конец которого совпадают. Направление этого отрезка можно выбирать про-

извольно. Длина, а следовательно, и величина его равна нулю. Например,

AA = { AA } = 0.

Такие отрезки будем называть нулевыми.

Возьмем на некоторой оси три точки А, В, С и выясним, чему будет равна

сумма величин направленных отрезков AB и BС .

Теорема 1.1. При любом расположении точек А, В и С на оси сумма вели-

чин направленных отрезков AB и BС будет равна величине направленного

отрезка AС :

{ AB } + { BС } = { AС }. (1.1)



Для доказательства этой теоремы предположим сначала, что точка В распо-

ложена между точками А и С (см. рис. 1.1). Рассматривая направленный отре-

зок как перемещение, которое совершает движущаяся точка, мы можем сказать,

что в этом случае подвижная точка, пройдя путь АВ, продолжает движение по

пути ВС в том же направлении. Тогда длина отрезка АС, очевидно, равна сумме

длин отрезков АВ и ВС, а величины всех трех направленных отрезков имеют

одинаковые знаки, так как все три отрезка одинаково направлены. Следова-

тельно,

{ AB } + { BС } = { AС }.

Таким образом, если точка В лежит на отрезке АС, то равенство (1.1) спра-

ведливо.

Допустим теперь, что точка B располагается вне отрезка АС, например, на

продолжении отрезка за точку С (рис. 1.2). Рассуждая

как в первом случае, можно записать

{ AC } + {СB } = { AB },

откуда получим

{ AB } – {СB } = { AC }.

Но направленные отрезки СB и BС имеют одинаковую длину и противопо-

ложные направления, поэтому

{ BС } = – {СB },

а значит, снова имеем

{ AB } + { BС } = { AС }.

Равенство (1.1) легко доказать и для любого другого взаимного расположе-

ния точек А, В и С на оси, в том числе когда некоторые точки будут совпадать.

Замечание. Если бы в равенстве (1.1) стояли не величины, а длины направлен-

ных отрезков, то оно было бы справедливо только в том случае, когда точка В

лежит на отрезке АС, и теряло бы силу при любом другом расположении точки В.

Рис. 1.2



§ 2. Координаты на прямой линии

Рассмотрим, как можно определить положение точки на прямой линии. Возьмем на этой прямой некоторую произвольную точку О (от латинского origo – начало), относительно которой будем определять положения всех точек прямой. Положение любой точки A на прямой линии будет вполне определять-

ся направленным отрезком OA , т.е. каждой точке прямой соответствует опре-деленный направленный отрезок с началом в точке О и концом в рассматри-ваемой точке A, и обратно, каждому направленному отрезку с началом в точке О соответствует одна точка A прямой линии – конец этого отрезка.

Установим теперь на прямой положительное на-правление и выберем единицу масштаба (на рис. 1.3 положительное направление выбрано слева направо). Тогда положение любой точки A прямой линии можно будет определить чис-

лом – величиной направленного отрезка OA . Это число, определяющее поло-жение точки, называется ее координатой. Итак, величина направленного отрез-

ка OA является координатой точки A прямой линии. Обозначая координату точки A буквой х, имеем

х = {OA }.

Если на прямой линии отмечена некоторая точка О, указано положительное направление и, кроме того, выбрана единица масштаба, то говорят, что на пря-мой установлена система координат. Точка О, являющаяся началом рассмат-риваемых направленных отрезков, называется началом координат, а данная прямая – осью координат. Начало координат делит ось координат на две части; полупрямая, идущая от точки О в положительном направлении, называется положительной полуосью, полупрямая, идущая от О в отрицательном направ-лении, – отрицательной полуосью. Очевидно, что точки положительной полу-оси имеют положительные координаты (например, точка A на рис. 1.3), а точки отрицательной полуоси – отрицательные координаты; точка О имеет координа-ту, равную нулю.

Рис. 1.3



Далее условимся координату точки писать в скобках рядом с буквой, обо-

значающей эту точку: A(х).

Рассмотрим задачу о нахождении расстояния между двумя точками на пря-

мой линии.

Теорема 1.2. Пусть A(x1) и B(x2) – любые две точки оси, тогда расстояние АВ

между ними можно вычислить по формуле

AB = 12 xx − . (1.2)

На основании равенства (1.1) можно записать, что

{OA } + { AB } = {OB },

откуда

{ AB } = {OB } – {OA },

так как

{OB } = x2, {OA } = x1,

то

{ AB } = x2 – x1 . (1.3)

Таким образом, чтобы получить величину направленного отрезка оси, нуж-

но из координаты его конца вычесть координату его начала.

Расстояние между точками А и В равно длине направленного отрезка AB .

Следовательно,

AB = 12 xx − ,

т.е. расстояние между двумя точками равно абсолютной величине разности

координат этих точек.

Пример 1.1. Найти расстояние между точками A(8) и В(–7).

Решение. С помощью формулы (1.2) найдем величину направленного отрез-

ка AB :

{ AB } = –7 – 8 = –15,



тогда искомое расстояние АВ = 15.

Пример 1.2. Какова координата точки А, если расстояние между точкой А и

точкой В(–10) равно 6?

Решение. Если х – координата точки А, то расстояние между точками A(х) и

В(–10) равно

АВ = |–10 – х|,

и решение задачи сводится к решению уравнения

|–10 – х| = 6.

По определению абсолютной величины

–10 – х = ±6,

откуда x1 = –4, x2 = –16, т.е. существуют две точки A1(–4) и A2(–16), удовлетво-

ряющие условию задачи.

Рассмотрим задачу о преобразовании координат на прямой, которая заклю-

чается в том, чтобы, имея две системы координат, выражать координаты точки

в одной системе через ее же координаты в другой.

Пусть дана прямая с выбранной на ней системой координат Ох, и точка A

прямой в этой системе координат имеет координату х.

Если сохранить направление и масштаб, но выбрать другое начало отсчета

О', то на прямой получим другую систему координат О'х', и точка A в этой но-

вой системе координат будет иметь коор-

динату х' (рис. 1.4).

Если точка О' в старой системе коорди-

нат Ох имеет координату a, то нетрудно

убедиться, что для всех возможных распо-

ложений точек О, О' и A справедливо равенство

x = a + х'. (1.4)

Соотношение (1.4) выражает координаты точки прямой в старой системе

координат Ох через ее же координаты в новой системе координат О'х' и называ-

ется формулой преобразования координат на прямой.

Рис. 1.4



Естественно, что

х' = х – а. (1.5)

Это соотношение выражает координаты точки прямой в новой системе ко-

ординат О'х' через ее же координаты в старой системе координат Ох.

Пример 1.3. В системе координат Ох на прямой заданы точки M(–2) и N(8).

Каковы координаты точки N в системе координат Mx?

Решение. В системе координат Ох точка N имеет координату х = 8, новое

начало М системы координат Mx имеет координату а = –2. Тогда в новой сис-

теме координат Mx, согласно соотношению (1.5), точка N имеет координату

х' = х – а = = 8 – (–2) = 10.

Итак, получим N(10).

§ 3. Прямоугольные координаты на плоскости

Теперь рассмотрим метод координат на плоскости, т.е. способ, позволяю-

щий определять положение точек плоскости с помощью чисел.

Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые и на каждой из них уста-

новим положительное направление. Эти прямые, относительно которых будем

определять положение точек плоскости, называются осями координат. Оси

координат обычно располагают так, как это указано

на рис. 1.5: одну – горизонтально и положительное

направление на ней выбирают слева направо, а дру-

гую – вертикально и положительное направление на

ней – снизу вверх. Одна из осей (обычно горизонталь-

ная) называется осью абсцисс (ось Оx), а другая –

осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей

координат называется началом координат (на рис. 1.5 начало координат обо-

значено буквой О). Наконец, выберем единицу масштаба (обычно на обеих осях

координат выбирают одну и ту же единицу масштаба).

Рис. 1.5



Теперь положение любой точки плоскости можно будет определить двумя

числами – координатами этой точки. Действительно, всякой точке М плоскости

соответствуют на осях координат две точки A и B, являющиеся ее проекциями1

OA

на

эти оси (см. рис. 1.5), и обратно, зная точки A и B нa осях координат, можно по-

строить единственную точку М на плоскости, для которой A и B являются проек-

циями на эти оси. Таким образом, определение положения точки на плоскости

сводится к определению положений ее проекций A и B на координатные оси.

Но положение точки на оси вполне определяется ее координатой. Пусть х –

координата точки A на оси абсцисс, т.е. х = { }, а у – координата точки B на

оси ординат, т.е. у = {OB }. Числа x и y однозначно определяют положение точ-

ки М на плоскости и называются координатами точки, при этом x называется

абсциссой точки М, а y – ее ординатой.

Таким образом, абсциссой точки называется величина направленного отрез-

ка оси Ох, началом которого является начало координат, а концом – проекция

точки на эту ось; ординатой точки называется величина направленного отрезка

оси Оу, началом которого является начало координат, а концом – проекция

точки на ось ординат.

Координаты точки будем писать в скобках, рядом с буквой, обозначающей

эту точку, ставя на первом месте абсциссу, а на втором – ординату и разделяя

их точкой с запятой: М(х; у). При указанном на рис. 1.5 расположении коорди-

натных осей для всех точек плоскости, лежащих вправо от оси Оу, абсцисса х

положительна, а для точек, лежащих влево от оси Оу, – отрицательна. Точки

самой оси Оу имеют абсциссу, равную нулю. Совершенно так же точки плоско-

сти, лежащие выше оси Ох, имеют положительную ординату y, а точки, лежа-

щие ниже оси Ох, – отрицательную. Точки самой оси Ох имеют ординату, рав-

ную нулю. Начало координат имеет координаты (0; 0).

Рассмотренная система координат называется прямоугольной, так как точка

М плоскости расположена на пересечении двух прямых AM и BM (см. рис. 1.5),

1 Проекцией точки М на некоторую ось называется основание перпендикуляра, опущенного

из М на эту ось (см. глава 4, § 1).



встречающихся под прямым углом, а также декартовой по имени математика и

философа Р. Декарта, который в 1637 году опубликовал первый труд по анали-

тической геометрии.

Декартова прямоугольная система координат не является единственной ко-

ординатной системой, позволяющей определять положения точек плоскости

(§ 4-5 этой главы), но она является наиболее простой, и поэтому преимущест-

венно пользуются ею.

Замечание 1. Иногда на практике бывает целесообразным введение прямо-

угольных систем координат, у которых ось Ox имеет направление, противопо-

ложное изображенному на рис. 1.5 (т.е. ось Ox направлена справа налево). Та-

кие системы координат называются левыми, в отличие от введенной, которая

называется правой.

Замечание 2. Для решения некоторых специальных задач используется де-

картова косоугольная система координат. Такая система координат определяет-

ся заданием масштаба и двух осей Ох и Оу, пересекающихся в точке О под лю-

бым углом φ (кроме 0° и 180°). Пусть М – произвольная точка плоскости. Про-

ведем через М прямые, параллельные осям Ох и Оу, и обозначим точки их

пересечения с этими осями соответственно через A и B

(рис. 1.6).

Координатами точки М в заданной системе называ-

ются числа

х = {OA }, у = {OB },

где {OA } означает величину направленного отрезка OA

на оси Ох, а {OB } – величину отрезка OB на оси Оу.

В том частном случае, когда угол между осями Ох и Оу равен прямому, опи-

санная косоугольная система координат окажется декартовой прямоугольной

системой.

Рассмотрим решение двух основных задач, возникающих при использова-

нии любой системы координат, на примере использования декартовой прямо-

угольной системы.

Рис. 1.6



Пример 1.4. По данной точке М найти ее координаты.

Решение. Из данной точки М опускаем перпендикуляры на оси Ох и Оу. Ос-

нования этих перпендикуляров – точки A и B – определяют обе координаты.

Первая координата точки М, ее абсцисса, равна величине направленного отрез-

ка OA на оси Ох. Вторая же координата точки М, ее ордината, равна величине

направленного отрезка OB на оси Оу.

Пример 1.5. Зная координаты х и у точки М, построить эту точку на плоскости.

Решение. Отложим по оси Ох от точки О отрезок длиною | х | единиц вправо,

если x > 0, и влево, если x < 0. Конец этого отрезка – точка A – будет проекцией

искомой точки М на ось Ох; откладывая по оси Оу от точки О отрезок длиною

| у | единиц вверх, если у > 0, и вниз, если у < 0, получим точку B – проекцию

искомой точки на ось Оу. Зная положение A и B, легко по этим точкам, как про-

екциям, построить искомую точку М. Для этого нужно провести через A и B

прямые, параллельные осям координат, в пересечении этих прямых расположе-

на искомая точка М.

§ 4. Полярная система координат

Для определения положения точки на плоскости, кроме рассмотренной вы-

ше декартовой прямоугольной системы координат, довольно часто применяется

полярная система координат.

Эта система координат определяется заданием некоторой

точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки

луча OP, называемого полярной осью, и масштаба для изме-

рения длин. Кроме того, при задании полярной системы

должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О счи-

таются положительными. При решении математических

задач обычно считают положительными те повороты, которые совершаются

против часовой стрелки. Пусть заданы полюс и полярная ось (рис. 1.7). Рас-

смотрим произвольную точку М и обозначим через ρ расстояние ее от точки О

Рис. 1.7



(ρ = OM ), через φ – угол, на который нужно повернуть луч OP для совмеще-

ния его с лучом ОМ (φ = POM∠ ). Угол φ будем понимать так, как это принято

в тригонометрии (т. е. с учетом знака и с точностью до слагаемого вида ±2πn,

где Zn∈ ).

Полярными координатами точки М (относительно заданной системы) назы-

ваются числа ρ и φ . При этом число ρ называется первой координатой, или по-

лярным радиусом, число φ – второй координатой, или полярным углом.

Замечание 1. Среди возможных значений полярного угла точки М выделя-

ют одно определенное, а именно то, которое удовлетворяет неравенствам

– π < ϕ ≤ π,

которое принято называть главным. Можно сказать, что в качестве главного

значения полярного угла берется угол, на который нужно повернуть луч OP до

совмещения с лучом ОМ, но делая при этом поворот не более, чем на 180° в ту

или другую сторону. В частном случае, когда луч ОМ направлен строго проти-

воположно лучу OP, возможными являются два поворота на 180°, тогда выби-

рается положительный поворот, т.е. в качестве главного значения полярного

угла принимается φ = π.

Замечание 2. Если точка М совпадает с О, то ρ = OM = 0. Значит, первая

координата полюса равна нулю. Вторая его координата не имеет определенного

значения.

Замечание 3. При постановке и решении некоторых задач, как правило, свя-

занных с непрерывным перемещением точки по плоскости, целесообразно от-

казаться от ограничений, наложенных на ρ и φ (в этом случае система коорди-

нат называется обобщенной полярной). Например, если точка движется по пря-

мой, проходящей через полюс, то в этом случае естественно считать, что при

переходе через полюс ее полярный радиус принимает отрицательные значения;

если же точка движется по окружности, то естественно считать, что ее поляр-

ный угол может принимать любые вещественные значения. Закон изменения

величин ρ и φ при постановке и решении задач выясняется отдельно в каждом

конкретном случае, исходя из специфики задачи.



В некоторых случаях приходится одновременно пользоваться и декартовой,

и полярной системами. В таких случаях возникают две задачи: как, зная поляр-

ные координаты некоторой точки, вычислить ее декартовы координаты, и об-

ратно, зная ее декартовы координаты, вычислить полярные. Получим формулы

такого преобразования координат (формулы перехода от полярных координат к

декартовым и обратно) в частном случае, когда полюс полярной системы сов-

падает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпа-

дает с положительной полуосью абсцисс (рис. 1.8). Кроме того, при определе-

нии полярного угла будем считать положительными повороты в том направле-

нии, в каком следует вращать положительную полуось Ох, чтобы кратчайшим

путем совместить ее с положительной полуосью Оу.

Пусть М – произвольная точка плоскости, (х; у) – ее де-

картовы координаты, (ρ; φ) – полярные координаты. По-

строим окружность радиуса ρ, центр которой совпадает с

полюсом О. Опустим из точки М перпендикуляры на оси

Ох и Оу, обозначим их основания соответственно через A

и B (см. рис. 1.8). Треугольник OMA является прямоуголь-

ным, следовательно,

ОA = ϕ⋅ cosOM , AM = ϕ⋅ sinOM .

Но ОA = х, AM = OB = у, таким образом, из предыдущих соотношений имеем

x = ϕ⋅ cosρ , y = ϕ⋅ sinρ . (1.6)

Это и есть формулы, выражающие декартовы координаты через полярные.

Выражения полярных координат через декартовы можно получить из формул (1.4)

или непосредственно, рассматривая прямоугольный треугольник OMA:

22ρ yx += , xy

=ϕtg . (1.7)

Заметим, однако, что вторая формула в (1.7) даже главное значение поляр-

ного угла определяет не вполне: нужно еще знать, положительна величина φ

или отрицательна.

Рис. 1.8



Пример 1.6. Даны полярные координаты точки

4π 2;M , найти ее декарто-

вы прямоугольные координаты (считая, что полюс полярной системы совмещен

с началом декартовой системы, а полярная ось совпадает с положительной по-

луосью абсцисс).

Решение. С помощью формул (1.6) получим

x = 2222

4πcos2 =⋅=⋅ ,

y = 2222

4πsin2 =⋅=⋅ .

Поэтому искомые декартовы координаты точки: )2 ;2(M .

Пример 1.7. Даны декартовы прямоугольные координаты точки

)1 ;3( −M , найти ее полярные координаты (считая, что полюс полярной

системы совмещен с началом декартовой системы, а полярная ось совпадает

с положительной полуосью абсцисс).

Решение. По формулам (1.7) имеем

213ρ =+= , 3

1tg −=ϕ .

Согласно второму из этих равенств полярный угол

65π

=ϕ или 6π

−=ϕ . Так как данная точка лежит в четвер-

той четверти (рис. 1.9), то из двух указанных значений мы

должны в качестве главного выбрать второе. Итак, ρ = 2 и 6π

−=ϕ , поэтому

искомые полярные координаты:

−

6π 2;M .

Рис. 1.9



§ 5. Аэродинамическое качество и поляра самолета

В полете на самолет действуют сила тяжести G

, сила тяги P

и результи-

рующая аэродинамическая сила R 2 R

. Так как величина и направление силы

зависят от угла атаки, конфигурации самолета и других факторов, то обычно

рассматривают не силу R

, а ее составляющие относительно координатных осей скоростной системы координат Oxayaza3

R

. Проекции результирующей аэродина-

мической силы на оси этой системы координат обозначаются Ха, Yа, Zа и определяют величину соответственно силы лобового сопротивления, аэродина-мической подъемной силы, аэродинамической боковой силы.

Если сила R

расположена в плоскости симметрии самолета, то она может быть представлена как сумма двух со-ставляющих (рис. 1.10)

aa XYR

+= , (1.8)

а ее величина вычисляется по формуле

22aa XYR += . (1.9)

Величину подъемной силы Yа и силу лобового сопротивления Ха в аэродина-мике вычисляют с помощью формул

SVcYaya 2

ρ 2= , (1.10)

SVcXaxa 2

2ρ= , (1.11)

где cya – коэффициент подъемной силы (безразмерная величина);

cxa – коэффициент лобового сопротивления (безразмерная величина);

ρ – плотность воздуха, кг/м3;

2 Подробнее о результирующей аэродинамической силе и ее составляющих в скоростной

и связанной системах координат см. глава 3, § 5. 3 О скоростной системе координат см. глава 2, § 4.

Рис. 1.10



V – скорость набегающего потока, м/с; S – площадь крыла, м2.

Отношение величины подъемной силы самолета aY к величине силы лобового

сопротивления aX или отношение их аэродинамических коэффициентов (cya к cxa)

при одном и том же угле атаки называется аэродинамическим качеством

a

a

x

y

a

a

cc

XYK == . (1.12)

Это отношение показывает, во сколько раз при заданном угле атаки аэроди-

намическая подъемная сила самолета больше силы лобового сопротивления,

т.е. характеризует степень аэродинамического совершенства самолета.

График, выражающий зависимость между коэффициентом аэродинамиче-ской подъемной силы cya и коэффициентом лобового сопротивления cxa самоле-

та, называется полярой самолета (рис. 1.11). Для построения поляры использу-ют прямоугольную декартову систему координат. Вдоль оси абсцисс для каж-

дого угла атаки откладывают значения коэффициента cxa, а вдоль оси ординат –

значения коэффициента cya. Получен-

ные точки с проставленными возле них значениями углов атаки (в граду-сах или радианах) соединяют плавной кривой.

Если поляра построена в одинако-вых масштабах для коэффициентов cxa

и cya, то длина направленного отрезка,

соединяющего начало координат с не-которой точкой на поляре, определяет

величину коэффициента результирующей аэродинамической силы cR для дан-ного угла атаки:

22aa yxR ccc += . (1.13)

Рис. 1.11



А угол между направлением этого отрезка и направлением оси абсцисс на-зывается углом качества ϕ, тангенс которого равен аэродинамическому качест-ву самолета K:

Kcc

a

a

x

y ==ϕtg . (1.14)

Таким образом, если одновременно с декартовой рассматривать полярную систему координат, у которой полюс расположен в точке O(0; 0), а полярная ось направлена вдоль положительной полуоси cxa, то с помощью поляры можно

определять коэффициенты cya, cxa и cR, а также угол качества ϕ.

Но коэффициент cxa в несколько раз меньше коэффициента cya, поэтому по-

ляра, построенная в одинаковых масштабах для коэффициентов cya и cxa, имея

малую кривизну на малых углах атаки, затрудняет точное определение коэф-фициента cxa. Поэтому для коэффициента cxa принято брать масштаб в несколь-

ко раз больший, чем для коэффициента cya (см. рис. 1.11). В этом случае угол

качества ϕ и коэффициент cR искажаются и непосредственно замерять их на поляре нельзя.

С помощью поляры определяют характерные углы атаки (рис. 1.12): − угол атаки нулевой аэродина-

мической подъемной силы α0, опреде-ляемый в точке пересечения поляры с осью cxa. При этом угле атаки коэффи-

циент подъемной силы cya равен нулю;

− угол атаки наименьшего лобово-го сопротивления αсxa min, определяемый

проведением касательной к поляре па-раллельно оси коэффициента cya;

− наивыгоднейший угол атаки αнв, который определяется проведением из начала координат касательной к по-ляре. На этом угле атаки угол качества максимален и, следовательно, по фор-муле (1.14), аэродинамическое качество тоже максимально;

Рис. 1.12



− критический угол атаки αкр, соответствующий максимальному значе-

нию коэффициента cya max, определяемый проведением касательной к поляре

параллельно оси коэффициента cxa.

§ 6. Навигационные системы координат на плоскости

При использовании радиотехнических систем ближней навигации сферич-

ностью Земли пренебрегают и задачи решают, как на плоскости. В качестве

примера навигационных систем координат на плоскости рассмотрим прямо-

угольную, полярную и гиперболическую системы координат.

Прямоугольная система координат является плоской системой. Координат-

ные оси Oх и Oy этой системы представляют собой две взаимно перпендику-

лярные прямые линии, относительно которых определяется положение любой

точки на плоскости. Небольшие сферические участки Земли практически сов-

падают с плоскостью, касательной к точке этого участка. Поэтому прямоуголь-

ные координаты вполне точно могут определять положение точек на земной

поверхности в некоторых пределах.

Рис. 1.13

Прямоугольная система координат применяется для программирования автомати-

зированного захода на посадку. В этом случае начало координат совмещают с центром

взлетно-посадочной полосы (ВПП), а ось Oy с направлением посадки (рис. 1.13).



Для основных точек схемы захода заранее определяют прямоугольные коорди-

наты, позволяющие производить автоматизированный заход на посадку.

Полярная система координат является плоскостной, в которой место само-

лета определяется азимутом А (аналог полярного угла φ) и горизонтальной

дальностью Д (аналог полярного ра-

диуса ρ) относительно радионавигаци-

онной точки или определенного ори-

ентира (рис. 1.14). Полярную ось в

этой системе принято совмещать с

северным направлением меридиана, а

полярный угол измерять по часовой

стрелке.

Гиперболическая система коорди-

нат позволяет определять линии положения самолета, которые имеют форму

гипербол. Принцип действия гиперболической системы основан на измерении с

помощью приемоиндикатора временной разности между приходом сигналов от

ведущей и ведомой станций. Эта разность определяет линию положения само-

лета в виде гиперболы.

Рис. 1.15

Рис. 1.14



Чтобы понять работу системы, допустим, что ведущая и ведомая станции

излучают импульсы одновременно. Если временная разность между приходом

сигналов от ведущей станции А и ведомой B (рис. 1.15) равна нулю, то это зна-

чит, что самолет находится на прямой, проходящей через середину отрезка AB,

перпендикулярно к линии между базами наземных станций. Если же между

моментами прихода сигналов от двух наземных станций имеется некоторая

разность, то самолет находится на одной из двух ветвей гиперболы. Зная вре-

менную разность между сигналами, можно по заранее подготовленной карте

найти гиперболу, соответствующую полученной временной разности.

Геометрическое свойство гиперболы состоит в том, что разность расстояний

от любой точки гиперболы до ее фокусов есть величина постоянная. Наземные

станции являются фокусами гиперболы. Следовательно,

АС – BС = АD – BD = AM – BМ.

Одну и ту же временную разность имеют две гиперболы, расположенные

симметрично относительно средней точки базовой линии. Это создает неопре-

деленность в нахождении нужной линии положения. Чтобы устранить ее, им-

пульсы посылаются станциями неодновременно. Ведущая станция работает

самостоятельно, посылая импульсы во все стороны. Ведомая станция излучает

импульсы с определенной задержкой, которая строго согласована по времени с

излучением импульсов ведущей станцией. Задержка излучения импульса на

ведомой станции обеспечивает во всей рабочей области системы наличие толь-

ко одной ветви гиперболы, соответствующей полученной разности времени

между моментами прихода сигналов. Это дает возможность однозначно опре-

делять на приемоиндикаторе линию положения самолета. Если использовать

другую пару станций, то можно определить и вторую линию положения, а в

пересечении их найти место самолета. Поэтому гиперболическая система

включает в себя три передающие станции. Одна из них является ведущей, а

остальные – ведомыми (рис. 1.16). Ведущая станция А первой пары одновре-

менно выполняет работу ведущей станции и для второй пары. Для этого пере-

датчик ведущей станции работает на двух частотах повторения импульсов.



Рис. 1.16

Кроме рассмотренных основных систем координат в самолетовождении

применяют и более сложные системы, такие, как двухполюсные азимутальные,

двухполюсные дальномерные системы и др. Каждая из навигационных систем

координат связана с принципом действия технических средств, применяемых

для определения места самолета.

§ 7. Преобразование координат на плоскости

Рассмотрим, как преобразуются координаты точек плоскости при переме-

щении начала координат и повороте координатных осей.

1. Преобразование прямоугольных декартовых координат точек плоскости

при параллельном переносе координатных осей.

Пусть на плоскости заданы прямоугольная декартова система координат

Oxy и точка О', имеющая в этой системе координаты х = а, у = b. Через точку

О'(a; b) проведем прямые, параллельные координатным осям, и выберем на них

те же направления. Тогда на плоскости получим новую систему координат

O'x'y' (рис. 1.17). В этом случае говорят, что система координат O'x'y' получена

из системы координат Oxy параллельным переносом координатных осей.



Рис. 1.17

Пусть точка М плоскости в системе координат Oxy имеет координаты (х; у),

а в новой системе координат O'x'y' – координаты (х'; у'). Нетрудно заметить, что

для абсциссы ситуация здесь совершенно аналогична случаю преобразования

координат на прямой (см. § 2 этой главы), т.е. х = а + х'. Подобным образом для

ординаты справедливо соотношение у = b + у'.

Соотношения

х = а + х', у = b + у' (1.15)

выражают координаты точки плоскости в старой системе координат Oxy через

ее координаты в новой системе координат O'x'y' и называются формулами пре-

образования координат при параллельном переносе координатных осей прямо-

угольной декартовой системы координат.

Если соотношения (1.15) выражают старые координаты через новые, то со-

отношения

х' = х – а, у' = у – b (1.16)

выражают новые координаты точек плоскости через старые.

2. Преобразование полярных координат точек плоскости при повороте по-

лярной оси.

Пусть на плоскости задана полярная система координат ОР и точка М в этой

системе координат имеет координаты (ρ; φ). Если полярную ось ОР повернуть



вокруг точки О на угол величиной α, то получим новую полярную систему

координат ОР', и точка М в новой системе коор-

динат получит новые координаты (ρ'; φ')

(рис. 1.18).

Очевидно, что

ρ = ρ', φ = α + φ'. (1.17)

Соотношения (1.17) и есть формулы, преоб-

разования полярных координат точек плоскости

при повороте полярной оси, выражающие ста-

рые координаты ρ и φ точки плоскости через новые координаты ρ' и φ'.

Соотношения

ρ' = ρ, φ' = φ – α (1.18)

выражают новые координаты точки через старые.

3. Преобразование прямоугольных декартовых координат точек плоскости

при повороте координатных осей.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы коорди-

нат Oxy и Ox'y', последняя из которых получена поворотом координатных осей

первой на некоторый угол величиной, равной α (рис. 1.19). Произвольная точка

М плоскости в системе координат Oxy

имеет координаты (х; у), а в системе коор-

динат Ox'y' – координаты (х'; у').

Наряду с двумя прямоугольными де-

картовыми системами координат рас-

смотрим две полярные системы коорди-

нат: одну с полярной осью Ox, в которой

точка М имеет координаты (ρ; φ), вторую

с полярной осью Ox', в которой точка М

имеет координаты (ρ'; φ'). Рис. 1.19

Рис. 1.18



Согласно формулам перехода от декартовой системы координат Oxy к по-

лярной системе координат с осью Ox (1.6) и учитывая формулы преобразования

полярных координат точек плоскости (1.17), получим

x = ϕ⋅ cosρ = )'cos(ρ' ϕ+α⋅ = αϕ−αϕ sin'sin'ρcos'cos'ρ ,

y = ϕ⋅ sinρ = )'sin(' ϕ+α⋅ρ = αϕρ+αϕρ sin'cos'cos'sin' .

Согласно формулам перехода от декартовой системы координат Ox'y' к по-

лярной системе координат Ox' (1.6), имеем

x' = 'cos' ϕ⋅ρ , y' = 'sin' ϕ⋅ρ ,

и окончательно получим

х = α−α sin'cos' yx , у = α+α cos'sin' yx . (1.19)

Соотношения (1.19) выражают координаты точек плоскости в старой систе-

ме координат Oxy через ее же координаты в новой системе Ox'y' и называются

формулами преобразования прямоугольных декартовых координат точек плос-

кости при повороте координатных осей.

Для выражения новых координат через старые надо систему (1.19) разре-

шить относительно х' и у'. Однако можно рассуждать и иначе: если новая система

координат получается поворотом старой на угол величиной α, то старая систе-

ма координат получается поворотом новой на угол величиной (–α).

Тогда

х' = )sin()cos( α−−α− yx , у' = )cos()sin( α−+α− yx ,

или

х' = α+α sincos yx , у' = α+α− cossin yx . (1.20)

4. Общий случай преобразования прямоугольных декартовых координат

точек плоскости.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы коорди-

нат Oxy и Ox'y' (рис. 1.20). Очевидно, что для перехода от системы координат

Oxy к системе координат Ox'y' надо совершить два преобразования системы

координат Oxy:



1) параллельный перенос координатных осей системы Oxy так, чтобы на-

чало О совпало с началом О'. Для этого дос-

таточно знать координаты (а; b) точки О' в

системе координат Oxy. После выполнения

этого преобразования получается вспомога-

тельная система координат O'x"y";

2) поворот вспомогательной системы ко-

ординат O'x"y" на некоторый угол величиной α

до совпадения ее координатных осей с коорди-

натными осями системы координат Ox'y'.

Пусть некая точка М плоскости в системе

координат Oxy имеет координаты (х; у), в системе координат O'x"y" – координа-

ты (x"; y") и в системе координат Ox'y' – координаты (х'; у'). Тогда на основании

формул (1.15)

х = а + х'', у = b + у''

и формул (1.19)

х'' = α−α sin'cos' yx , у'' = α+α cos'sin' yx ,

получаем

х = а + α−α sin'cos' yx , у = b + α+α cos'sin' yx . (1.21)

Соотношения (1.21) и являются формулами общего преобразования прямо-

угольных декартовых координат точек плоскости и выражают старые коорди-

наты точек через новые.

Для выражения новых координат точек через старые достаточно разрешить

систему (1.21) относительно х' и у':

х' = α−+α− sin)(cos)( byax , у' = α−+α−− cos)(sin)( byax . (1.22)

Пример 1.8. На плоскости заданы точки A(–5; 1) и В(–2; 0). Найти их коор-

динаты в новой системе, если начало координат (без изменения направления

осей) перенесено в точку А.

Рис. 1.20



Решение. Очевидно, что в новой системе координат Ax'y' координаты точки А

будут (0; 0). В старой системе координат известны координаты точки В (х = –2, у = 0)

и координаты нового начала, т.е. точки А (а = –5, b = 1). Тогда, по форму-

лам (1.16), новые координаты точки В:

х' = –2 – (–5) = 3, у' = 0 – 1 = –1.

Итак, получим А(0; 0) и B(3; –1).

Пример 1.9. На плоскости задана точка А(–3; –1). Найти ее координаты в

новой системе, полученной из старой поворотом осей на угол величиной 90°.

Решение. Согласно соотношениям (1.20),

х' = 2

sin12

cos3 π⋅−π⋅− = –1,

у' = 2

cos12

sin)3( π⋅−π⋅−− = 3.

Поэтому получим А(–1; 3).

ГЛАВА 2. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Прямоугольная декартова система координат

Пусть в пространстве задана упорядоченная тройка взаимно перпендику-

лярных осей Ox, Oy и Oz, у которых имеется общее

начало О и одинаковые масштабы, совпадающие с

масштабом измерения расстояний в пространстве

(рис. 2.1).

Указанный геометрический объект позволяет уста-

навливать взаимно однозначное соответствие между

точками пространства и тройками действительных

чисел. Рассмотрим способ установления такого соот-

ветствия.

Рис. 2.1



Пусть М – произвольная точка пространства (рис. 2.2). Если через точку М провести плоскости, параллельные плоскостям Oyz, Oxz и Oxy, то они пересекут оси Ox, Oy и Oz соответственно в точках A, B и C, которые на этих осях имеют координаты х, у и z. Таким образом, точке М пространства ставится в соот-ветствие тройка вещественных чисел (х; у; z). С другой стороны, если задана тройка чисел (х; у; z), то на осях Ox, Oy и Oz им соответству-ют точки A, B и C. Если через точку A провести плоскость, параллельную плоскости Oyz, через точку B провести плоскость, параллельную плоскости Oxz, через точку C провести плос-кость, параллельную плоскости Oxy, то в пересечении этих плоскостей получим точку М, которая и будет соответствовать тройке чисел (х; у; z).

Построенный геометрический объект и указанное правило установления со-ответствия между точками пространства и тройками вещественных чисел в

совокупности образуют в пространстве пря-моугольную декартову систему координат, которая обозначается Oxyz.

Точка О пересечения осей называется на-чалом систем�

Documents

Векторная алгебра и метод координатvenec.ulstu.ru/lib/disk/2014/Aidarkin_Polenishchenko_1.pdf · И МЕТОД КООРДИНАТ Допущено УМО