آزمایش ارتعاشات آزاد و اجباری

2- نظريه:

خلاصهاي از تئوري ارتعاشات آزاد و اجباري يك سيستم يك درجه آزادي در زير آمده است براي توضيح كاملي از تئوري بايد به كتابهاي درسي در سطح كارشناسي در باب ارتعاشات يا مكانيك ماشينها ، براي مثال J . L . M , Morrison و مكانيك ماشينها Crossiand , B درسيستم واحدهای SI چاپ دوم و … رجوع شود.

در يك سيستم يك در جه آزادي ايدهآل جرم صلبm بوسيله فنر سبكي به سختيK و دمپرويسكوزي با ضريب دمپينگ f ، متصل شده به يك پايه صلب ثابت ( نيم پايه ) مقيد شده تا تنها در جهت x حركت كند . نيروي خارجي f(t) بر جرم وارد ميشود . معادله حركت اين چنين است.

(1)

(fxF(t)km)

1-2 ارتعاشات آزاد:

اگر سيستم جرم و فنر بالا از تعادل خارج شودنيروي صفر است و معادله (1) به صورت زير در ميآيد.

(2)

مناسبتر است كه معادله (2) بر حسب فركانس طبيعي دمپ نشده كه در آنn=k/m) و نسبت دمپينگ ξبرابر= c/ 2( mk) ξ بيان شود سپس :

(3)

پاسخ معادله (3) به مقادير بستگي دارد بنابراين :

(4)

(5)

(6)

كه در آنها A و B ثابتهايي هستند كه با استفاده از شرايط

اوليه تعيين ميشوند اگر در t=0 ،x=x0 و باشد پاسخ به

صورت زير خواهد بود .

(7)

(8)

(9)

( X0XtX nXn+1X1/2Xn+1/2)

براي <1 حركت آزاد،حركت نوساني است با فركانس

و نسبت دوماكزيمم متوالي نواسانات به صورت زير داده ميشود.

(10)

و نسبت يك ماكزيمم به مينيموم بعدي نوسانات به صورت زير

است

(11)

با مشتقگيري از معادلات (7) و (8) و (9) مینيمم سرعت كه منفيترين سرعت است را ميتوان پيدا كرد.

(12)

ξ=1 (13)

ξ>1; (14)

شكل 1 از معادلات 10و11 ، شكل 2 از معادله 11 ، شكل 3 از معادلات 7 ، 8 ، 9 و شكل 4 از معادلات 12 و13و14 رسم شده است

شكل 1 :

ξ بر حسب ξ بر حسب

شكل 2: ξ بر حسب

شكل 3 :c بر حسب براي

شكل 4 : ξ بر حسب

2-2) ارتعاشات اجباري :

1-2-1) تحريك بوسيله نوسان پايه: اگر پايه چنان مرتعش شود كه حركتش در جهتx به صورت باشد معادله حركت براي اين سيستم به صورت زير در خواهد آمد.

(15) .

پاسخ حالت پايدار معادله 15 به صورت است كه دامنه نوسان ارتعاشات اجباري آن X به صورت زير ميباشد.

(16)

كه است .

2-2-2) تحريك بوسيله نيروي نا بالانس چرخشي :

اگر جرم m′در شعاع r ، به جرم در حال ارتعاشm متصل شود و با فركانس دوران نمايد معادله حركت براي سيستم به صورت زير خواهد بود .

M = m + m′ (17)

سادهتر است كه معادله 17 بر حسب فركانس طبيعي دمپ نشده كه در آن و نسبت دمپينگ c برابر است با ξ= c/( 2√mk ) بيان شود سپس :

(18)

پاسخ حالت پايدار معادله 18 به صورت است كه

در آن دامنه نوسان ارتعاش اجباري x ، به صورت زير داده ميشود.

(19)

و زاويه فاز نيز به صورت زير است .

u= (20)

شكل 5 از معادله (16) و شكل 6 از معادله 19 و شكل 7 از معادله 20 رسم شدهاند .

.

شكل 5 : بر حسب

شكل 6 : بر حسب

شكل 7 :Φ بر حسب

|

معرفي پارامترهاي جعبه كنترل :

كليد خاموش – روشنA :

چراغ راهنماB :

كنترل دور موتورC :

چرخش نابالانس يا حركت پايه – كليد انتخابD :

دكمه مربوط به ثبت نمودارE :

كليد خاموش ، روشن – حملكننده كاغذF :

كنترل جريان دمپينگG :

جريان آرميچر موتورH :

جريان دمپينگI :

3- دستگاه

1-3) توصيف دستگاه : ( به شكل 8 مراجعه كنيد )

جرم مرتعش (1) در داخل قيودي از هواي فشرده (2) كه از يك منبع خارجي تغذيه ميشوند حركت ميكند و بوسيله فنرها (4) به چهارچوب (3) متصلند . به جرم ، يك صفحه مسي (5) چسبيده شده كه در فاصله هوايي يك آهنرباي الكتريكي (6) حركت ميكند اين آهنربا به قاب متصل شده است و به منظور ايجاد ميرايي به وسيله جريان گردابي ((eddy-current به كار ميرود . يك سوزن (7) به جرم متصل شده و حركت جرم را بر روي نوار كاغذ TeLedettos (8) ثبت ميكند كه اين كاغذ بر روي چرخاننده كاغذ قرار دارد صفحه اصلي (10) همچنين موتور چرخاننده (11) جعبه دنده(12) و جرم خارج از مركز (13) را براي نوسان قاب و تنظيمكننده فشار هوا و فيلتر (14) را براي ياتاقانهاي هوا حمل ميكند . موتور چرخاننده و جعبه دنده به منظور اعمال نيرو بر سيستم بوسيله نيروي خارج از مركز (15) را ميتوان روي جرم مرتعش سوار كرد . واحد كنترل (16) موتور اصلي پايه (11) موتور چرخنده جرم نابالانس (15) چرخاننده كاغذ ثبتكننده (9) و سوزن را تغذيه ميكند . طرح قسمت جلويي واحد كنترل در شكل 9 نشان داده شده است

چند صفحه فولادي براي تغيير اندازه جرم مرتعش فراهم شدهاند . دستورات عمومي براي تنظيم دستگاهها در ضميمه 1 و براي نگهداري دستگاهها در ضميمه 2 آمده است .

2-3) ثابتهاي دستگاه :

ثابتهاي لوازم دستگاه و شماره سريال (253 / 5000 φ ) به صورت زير است :

جرم ارتعاش كننده شامل فنرها ، سوزن ثبتكننده ( ياقلم ) و القاگر مسي بدون هيچ جرم اضافي

=kg 1.351 ، سختي كل فنرk (معادله1) =N/M 18

جرم مرتعش (مانند بالا) بعلاوه موتور نابالانس و جرم نابالانس M (معادله 17) = 2.408kg، جرم چرخان نابالانس (معادله 17) =kg 299.0

شعاع چرخش مركز جرم چرخان خارج از مركزr(معادله17 ) =mm 35

4)) آزمايشها

1-4) آزمايش 1 : تغييرات فركانس طبيعي دمپ نشده با جرم مرتعش ؛

آماده سازي :

پيچ تنظيم را در شعاع صفر {شكل 8و(13)} و جريان دمپينگ را روي صفر تنظيم كنيد (شكل9، Gو I) جرمهاي اضافي براي افزايش مقدار جرم مرتعش بر بالاي جرم مرتعش قرار داده شدهاند {شكل 8،(10)} و بوسيله مهره برآمده بر روي پايه مركزي مهار شدهاند . فشار هوا براي ياتاقانهاي هوايي ممكن است با تغيير جرم مرتعش نياز به تنظيم شدن داشته باشد . (ضميمه1 ، b را نگاه كنيد)

روش انجام آزمايش :

براي يك مقدار داده شده از جرم مرتعش (به بخش 2-3 براي ثابتهاي دستگاهها نگاه كنيد)

سه اندازهگيري زمان براي n10 سيكل ارتعاشات آزاد انجام دهيد كه در آن n طوري انتخاب ميشود كه زمان بين 35 تا 50 ثانيه شود .

از ميانگين زمان براي يك سيكل ارتعاش T ، فركانس طبيعي دمپ نشده، ميتواند از فرمول محاسبه شود براي مقادير مختلف جرمهاي مرتعش m ، آزمايش را تكرار كنيد .را طوري انتخاب كنيد كه فواصل بين mها تقريباً مساوي باشند مثلاً

m=1 , ½ ,1/3 = 1 , 2 , 3

نمودار بر حسب بايد يك خط راست باشد كه از مبدأميگذرد ( علت اينكه وقتي دراین صورت كه شيب اين خط راست مساوي نرخ فنر K است) اگر واحد m برحسب kg و T بر حسب ثانيه باشد و در

اينصورت بر حسب rad/s و K بر حسب N/m است .

2-4) آزمايش 2 : ارتعاشات آزاد دمپ شده و تعيين نسبت دمپينگ :

آماده سازي :

پيچ تنظيم را (شكل 8و(13)) روي شعاع صفر تنظيم نماييد . ثبتكننده را تنظيم كنيد (به ضميمه ( c ) نگاه كنيد )

روش انجام آزمايش :

مقدار جريان دمپينگ داده شده را تنظيم نماييد (شكل 9،IوG) و در حين انجام آزمايش آن را ثابت نگه داريد . براي جلوگيري از گرم شدن بيش از اندازه سيمپيچهاي آهنرباي الكتريكي جريان دمپينگ در هر لحظه از انجام آزمايش نبايد به اندازه 3 آمپر يا بيشتر براي مدت بيش از 5 دقيقه براي هر دوره يكساعته برسد . نسبت دمپينگ c از ثبت ارتعاشات آزاد جرم ارتعاشكننده با جابجايي آن به يكي از نقاط توقّف حركت خود و آزاد كردن آن از توقف به دست ميآيد . موقعيت تعادل جرم بايد قبل و بعد از ارتعاشات آزاد ثبت شود و موقعيت اوليه جرم (x=x0) بايد قبل از آزاد شدن جرم يادداشت شود .

-1براي مقدار متوسط نسبت ماكزيممهاي متوالي را تعيين كنيدومقدار را از معادله 10 بخش 2 محاسبه كنيد .

-2براي مقدار متوسط نسبت ماكزيممهاي متوالي را تعيين كنيد ، ، و مقدار را از شكل 1 به دست آوريد .

-3براي مقدار متوسط نسبت ماكزيممها و مينيموم بعدي آن را تعيين كنيد ، و مقدار را از شكل 1 به دست آوريد .

-4براي نسبت دامنه نوسان اولين مينيموم به جابجايي اوليه را تعيين كنيد و مقدار ξ را از شكل 2 به دست آوريد .

-5براي طول كوتاهي از اثر حركت را براي ثبت كنيد ، سپس بدون حركت جرم و در حاليكه كاغذ ثبتكننده هنوز در حال حركت است دكمه ثبت حركت را آزاد كنيد (شكل9وE ) و بعد به طور همزمان دكمه ثبت را فشار دهيد و جرم را رها كنيد . حركت بعدي را براي زماني حداقل برابر ثبت كنيد . با جريان دمپينگ صفر چند سيكل از ارتعاشات آزاد را براي بدست آوردن ميرايي براي ωnt كه درآن طول موج ثبت شده مربوط به ωnt π2 ثبت كنيد .

در ارتعاشات دمپ نشده در فواصل 4و3و2و1= ωnt علامتهايي بزنيد كه از زمان 0=t شروع ميشود . از مقياسي براي ωnt براي ثبت ارتعاشات دمپ نشده استفاده كنيد . و را در اين نقاط محاسبه كنيد . اين مقادير را در mm 145 ضرب كنيد و آنها را در امتداد لبه كاغذ حاشيه نوار علامتگذاري كنيد . نوار را به موازات محور در شكل (3) حركت دهيدتانقاط منحني به ازاي 4و3و2و1= ωnt مناسبترين انطباق را بوجود آورند ، سپس مقدار ξ را بدست آوريد . بطريق ديگر بر روي منحني ارتعاشات ميرا خط شيب مينيموم را رسم كنيد (به طور چشمي) اين خط منفيترين شيب را دارد و آن را با خطوطي كه بيانكننده وضعيت تعادل جرم (x=0) و جابجايي اوليه ( x + X0 ) ميباشند ، قطع دهيد . فاصله با استفاده از مقياس براي تعيين شده از منحني ارتعاشات دمپ نشده اندازه بگيريد . سپس سرعت مينيموم برابر است با و ξ را ميتوان از شكلها بدست آورد . نمودارξ بر حسب جريان دمپينگ را ميتوان رسم و به عنوان راهنما براي به دست آوردن ξ در آزمايشات ديگر استفاده كرد . نمودار براي مقادير خاصي از m و k به كار ميرود اما اين نمودار را ميتوان براي مقادير ديگر با استفاده از رابطه ξ = c/2 √mk تنظيم كرد كه در آن ξ ضريب دمپينگ است كه ممكن است براي جريانهاي دمپينگ داده شده ثابت فرض شود .

3-4) آزمايش 3 : ارتعاشات اجباري تحريك شده بوسيله نوسان پايه :

آماده سازي :

جريان دمپينگ را به منظور ايجاد نسبت دمپينگ خواسته شده تنظيم كنيد ( شكل 9، G ، I) .

از نتايج آزمايش شماره 2 استفاده كنيدو آن را در حين آزمايش ثابت نگاه داريد

پنج تنظيم را به منظور ايجاد ميدان نوسان مناسب ارتعاشات پا يه تنظيم كنيد و آنرا از طريق خط كش و يا صفحه اندازه گيري ، اندازه بگيريد . اگر براي مقادير كوچك ξ خيلي بزرگ انتخاب شود حركت جرم مرتعش در ناحيه رزونانس براي آن قسمت از پاسخ ارتعاشات اجباري بوسيله ايستها (وقفههايي) محدود خواهد شد ( به شكل 5 نگاه كنيد ) تحريك پايه را انتخاب كنيد (شكل D9) فركانس اجباري بوسيله ( c) (شكل 9) كنترل ميشود يا از طريق شمردن نوسانات و زمانگيري يا بوسيله فركانسسنج (به ضميمه 1(d) نگاه كنيد ) اندازهگيري ميشود . ثبتكننده را تنظيم كنيد . ( به ضميمه 1(c) نگاه كنيد ) .

روش انجام آزمايش :

نسبت دمپينگ ξ را از منحني ارتعاشات آزاد در آزمايش 2 اندازهگيري كنيد . چندين سيكل از ارتعاشات اجباري در حالت پايدار براي مقادير فركانسهاي اجباري ، به طور تقريبي از تا كه فركانس طبيعي دمپ نشده است با فاصلههاي كمِ خواندن در ناحيه رزونانس ثبت كنيد . از منحنيهاي ثبت شده دامنه نوسان ارتعاشات جرم مرتعش ، X ، را اندازه بگيريد و نمودار را بر حسب بكشيد اين نمودار بايد با پاسخ تئوري داده شده در معادله 16 مقايسه شود (بخش 2) كه اين نمودار براي مقادير مناسب ξ تكرار شود از طريق ديگر فركانس اجباري را ثابت نگه داريد در ضمن اينكه به آرامي جريان دمپينگ را افزايش ميدهيد براي مقادير متفاوتي از تكرار كنيد . اگر اندازهگيري شود و بر حسب ξ رسم شود (كه از نمودار ξ بر حسب جريان دمپينگ آزمايش 2 بدست آمده) براي مقادير دلخواهتأثير دمپينگ بر روي پاسخ بنمايش درخواهد آمد و ميتوان آن را با نتايج تئوري از معادله 16 بخش 2 كه در شكل 5 نشان داده شده مقايسه كرد .

4-4) آزمايش 4 : ارتعاشات اجباري تحريك شده بوسيله نيروي نابالانس چرخشي :

آمادهسازي :

شعاع پيچ تنظيم را روي صفر تنظيم كنيد . واحد نابالانس چرخشي را بر روي جرم مرتعش محكم كنيد و سه سيم در انتهاي اين واحد را به سه ترمينال مربوط بروي جرم مرتعش وصل كنيد سيم ، در انتهاي ديگر واحد را به سوزن وصل كنيد (شكل 8 و 7) . كليدي در واحد نابالانسي چرخشي مدار را بروي سوزن يكبار در هر سيكل هنگاميكه جرم نابالانس در امتداد محور ارتعاش قرار ميگيرد باز ميكند . جريان دمپينگ را به منظور فراهم كردن مقدار نسبت دمپينگ ξ خواسته شده تنظيم كنيد . از نتايج آزمايش 2 استفاده كنيد و جريان دمپينگ را در طول آزمايش ثابت نگه داريد تحريك نابالانسي را انتخاب كنيد (شكل9 ، D) فركانس تحريك بوسيله ( ξ ) كنترل ميشود(شكل 9) و با شمارش و زمانگيري محاسبه ميشود ثبتكننده را تنظيم كنيد .

روش انجام آزمايش :

مقدار نسبت دمپينگ ξ را از منحني ارتعاشات آزاد همانند آزمايش 2 اندازه بگيريد . چندين سيكل ارتعاشات حالت پايدار را براي مقادير فركانس تحريك حدوداً از تا كه درآنفركانس طبيعي دمپ نشده است با نمونهگيري در فواصل كم در ناحيه رزونانس ثبت كنيد از نتايج دامنه نوسان X را اندازه بگيريد و منحني را بر حسب رسم كنيد ( M و m و r براي دستگاه در بخش 2-3 داده شدهاند) . اين نمودار بايد با منحني پاسخ تئوري كه در معادله 19 داده شده و در بخش 2 تهيه شده و براي مقادير مناسب ξ محاسبه شده است ، مقايسه شود .

فاصله d را از آغاز نقطه جدايي(شكست) بر روي منحني تا پيك بعدي اندازه بگيريد . اين فاصله را بر طول موج تقسيم كنيد و سپس در 360 درجه ضرب كنيد تا زاويه فاز φ را به دست آوريد . نمودار φ بر حسب را رسم كنيد و آنرا با منحني بدست آمده از معادله (20) بخش 2 كه براي مقادير مناسب ξ تهيه شده مقايسه كنيد . آزمايش را ميتوان براي مقادير مختلف ξ تكرار كرد ، از طرف ديگر فركانس اجباري را ثابت نگاه داريد در ضمن اينكه به آرامي جريان دمپينگ را افزايش ميدهيد اين كار را براي مقادير مختلف تكرار كنيد اگر اندازهگيري و بر حسب ξ رسم شود(كه در آن ξ بر حسب جريان دمپينگ آزمايش 2 بدست ميآيد) . براي مقادير دلخواهتأثير دمپينگ روي پاسخ بنمايش درخواهد آمد و ممكن است با نتايج تئوري از معادله 19 بخش 2 كه در شكل 6 نشان داده شده مقايسه شود .

نتايج و سوالات :

1)با استفاده از شرح ارتعاشات اّزاد و اّزمايش شماره 6 ضريب ميرايي ξ را اندازه گيري كنيد

2)سيكل هاي متعددي از حالت پاياي ارتعاشات براي مقادير مختلف كه در بازهء تا ميباشد كه فركانس طبيعي (نزديك به فضاي اشغالي خوانده شده در ناحيه رزونانس)است.

3)دامنه نوسان xرا با استفاده از يادداشت هاي قبلي و نمودار بر حسب بدست اّوريد.(مقادير براي اندازه گيري در بخش 4 داده شده است)

4)اين نمودار را را با منحني كه از طريق تئوري بدست اّمده (معادلهء 19بخش 1)و به ازاي مقادير درستي از cرسم شده مقايسه كنيد.

5)فاسلهء dاز ابتداي بريدگي ثبت شده تا ماكزيمم بعدي است.اين فاصله را بر طول موج تقسيم كنيد(L) و در 360درجه ضرب كنيد تا زاويهء فاز Φ را بدست اّوريد. نمودار Φ بر حسب را رسم كنيد واين نمودار را با منحني تئوري كه از معادلهء 20 در بخش 1 بدست اّورده ايد و به ازاي مقادير صحيحي از ξ ارزيابي كنيد.

اّزمايش را براي مقادير مختلف ξ تكرار كنيد.

6)به طور متناوب فركانس نيرو() را ثابت نگه داريد در حالتيكه جريان ميرائي را بتدريج افزايش مي دهيد

به ازاي مقادير مختلف اّزمايش را تكرار كنيد.

7)مقدار را اندازه گيري كرده نمودار اّنرا بر حسب ξ رسم كنيد (در اّزمايش 2 نمودار ξ بر حسب جريان ميرائي رسم شده است)و به مقادير 1و1.5و2.5را نسبت بدهيد.اثر ميرائي بر روي پاسخ را بر روي شكل شرح و توضيح دهيد و با نتايج تئوري معادله19 در بخش 1 مقايسه كنيد.

زمان ارتعاشات نابالانس

زمان ارتعاشات اجباری

شمارهءردیف

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16