Upload
lamdung
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Primena diferencijalnog računapri analizi funkcija
Neka je funkcija neprekidna N(f)(a,b) i diferencijabilna D(f) (a,b)
: ( , )f a b R
Funkcija f je monotono rastuća na intervalu (a,b)
Funkcija f je monotono opadajuća na intervalu (a,b)
Monotonost funkcije
'( ) 0, ( , )f x x a b
'( ) 0, ( , )f x x a b
Ekstremne vrednosti funkcije
min max0Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke x , ekstremne vrednosti funkcije
su . i . funkcije :
min- minimum funkcijemax- maksimum funkcije
Potreban uslov za egzistenciju ekstremnih vrednosti min, max u tački xo∈(a,b) funkcije f je:
Ekstremne vrednosti funkcije
0'( ) 0f x
Dovoljan uslov za postojanje ekstremnih vrednosti (min, max):
Ekstremne vrednosti funkcije
0 00 0
0 0
0 00 0
0 0
'( ) 0, ( , )max( , )
'( ) 0, ( , )
'( ) 0, ( , )min( , )
'( ) 0, ( , )
f x za x x xx y
f x za x x x
f x za x x xx y
f x za x x x
Prvi izvod menja znak dok x prelazi tačku x0
Tabelarno, to se može predstaviti:
Ekstremne vrednosti funkcije
2
2
2 2
1 2
2Odrediti tačke minimuma i maksimuma i intervale monotonosti funkcije 1
2(1 ) '(1 )
' 0 1 1
xyx
xyx
y x x
min
max
( 1, 1) (1,1)
AB
Primer
Potreban uslov:
Dovoljan uslov:
Prevojne tačke
0 0''( ) 0 ( , )f x x a b
''f menja znak 0 0
0 0
''( ) 0 ( 0) ( , )''( ) 0 ( 0) ( , )f x x x xf x x x x
Za ispitivanje funkcije potrebno je preko sledećih koraka ispitati neke osobine i nacrtati grafik:
Korak br. 1 Odrediti oblasti definisanosti funkcije;Korak br. 2 Ispitati ponašanje funkcije na rubovima domena i odrediti asimptote;Korak br. 3 Ispitati da li je funkcija parna, neparna ili periodična;Korak br. 4 Odrediti tačke preseka grafika sa osama. Znak funkcije;Korak br. 5 Ispitati monotonost funkcije i naći ekstremne tačke funkcije;Korak br. 6 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije i naći prevojne tačke;Korak br. 7 Na osnovu dobijenih tačaka i ispitanih osobina nacrtati grafik funkcije.
Primena diferencijalnog računa
Test
4 3 3
2
3
2
3
a) 4 8 32)
1
) 3
) 1
a)
x
y x x xxb yxxc yx
d y x e
y
1. Odrediti tačke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije :
2. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne tačke funkcija :
4 2
2
2
2
2
6 4
2) 1
) ln 1
- 2 2
x 1) y=1
)
x x
xb yx
c y x
xx
bx
a y
3. Nacrtati grafik funkcija :