1. 坐标系

（ 1 ）理解坐标系的作用 .

（ 2 ）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 .

（ 3 ）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 .

（ 4 ）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 .

（ 5 ）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别 .

2.参数方程

（ 1 ）了解参数方程，了解参数的意义 .

（ 2 ）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 .

（ 3 ）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程 .

（ 4 ）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用 .

极坐标系

如右图所示，在平面内取一个定点 O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系 .

设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的极径，记为 ρ ；以极径 Ox 为始边，射线OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ.

有序数对 (ρ ， θ) 叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ ， θ).

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而极坐标系中，对于给定的有序数对（ ρ,θ ），可以确定平面上的一点．但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的 .

一般地，若（ ρ,θ ）是点 M 的极坐标，则（ ρ,θ+2kπ ）（ k∈Z ）也都是点 M 的极坐标，总之点 M （ ρ,θ ）的极坐标可以有 (ρ,θ+2kπ)(k Z).∈

当规定 ρ ＞ 0 ， 0≤θ ＜ 2π 以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了 .

（ 3）柱坐标系

一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空间任意一点 . 它在 Oxy 平面上的射影为 Q ，用 (ρ ， θ) （ ρ≥0 ， 0≤θ ＜ 2π ）表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ ， θ ， z) （ z R∈ ）表示 .

这样，我们建立了空间的点与有序数组 (ρ ， θ ， z) 之间的一种对应关系 . 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ ， θ ， z) 叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ ， θ ， z).

其中 ρ≥0 ， 0≤θ ＜ 2 π ， z R. ∈

柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的 . 空间点 P 的直角坐标 (x ， y ，z) 与柱坐标 (ρ ， θ ， z) 之间的变换公式为 cos

sin

x

y

z z

（ 4 ）球坐标系

一般地，如右图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P

是空间任意一点 . 连接 |OP| ，记 |OP|=r ， OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q ， Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ. 那么点 P 的位置可用有序数组 (r ， φ ， θ) 表示 . 这样，空间的点与有序数组(r ， φ ， θ) 之间建立了一种对应关系 . 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组 (r ，φ ， θ) 叫做点 P 的球坐标，记作 P(r ， φ ， θ) ，其中 r≥0 ，0≤φ≤π ， 0≤θ ＜ 2π .

空间点 P 的直角坐标 (x ， y ， z) 与球坐标 (r ， φ ， θ) 之间的变换关系为 sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

需要说明的是新课标对于柱坐标系以及球坐标系要求很低，只要求有所了解即可 . 而直角坐标系，极坐标系是重点要掌握的两种坐标系 .

2 极坐标与直角坐标的互化

（ 1 ）设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标〖 JP 〗是 (x ，y) ，极坐标是 (ρ ， θ). 从图可以得出它们之间的关系：

2 2 2cos , sin . , tan ( 0)y

x y x y xx

或者

这就是极坐标与直角坐标的互化公式

（ 2 ）空间点 P 的直角坐标（ x,y,z ）与柱坐标（ ρ,θ,z ）之间的变换公式为 : cos

sin

x

y

z z

柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的

（ 3 ）空间点 P 的直角坐标（ x,y,z ）与球坐标（ r,φ,θ ）之间的变换关系为 sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

（ 4 ）平面直角坐标系中的伸缩变换

设点 P(x ， y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

' , ( 0):

' , ( 0)

x x

y y

的作用下，点 P(x ， y) 对应到点 P′(x′ ， y′) ，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 .

将点的直角坐标与极坐标互化

将点 M 的直角坐标 (3 ， -3) 化成极坐标 .

分析：本题只需准确记忆公式和熟练进行运算即可 .

解析：2 2 3

3 ( 3) 3 2, tan 13

因为点 M 在第四象限，所以

因此，点 M 的极坐标为7

(3 2, )4

7

4

点评：本题常见的错误是：

2 23 ( 3) 3 2, 3 2

3 3 7tan 1,

3 4 43 7

M 3 2 3 24 4

即极径是 ，

又 则极角为 ，或

即点 的极坐标为（ ， ），或（ ， ）

这是因为没有明确点 M 所处的象限，导致出现增根致错 .

把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差 2π 的整数倍） . 由于极角的多样性，所以在确定点的极坐标时，必须首先确定点所在的象限以便确定极角 . 一般只要取 θ∈ ［ 0,2π) 就可以了 .

将点 A 的极坐标 化成直角坐标是 _____5

46

（ ， ）

分析：直接代入直角坐标与极坐标互化公式即得 .

解析：直角坐标与极坐标互化公式 5 5

cos , sin . 4cos 2 3, 4sin 26 6

A 2 3 2

x y x y

得

所以点 的直角坐标为：（ ，）

答案： 2 3 2（ ，）

将点的柱坐标、球坐标化为直角坐标

（ 1 ）已知点 P 的柱坐标为 ，则 P 点的直角坐标是 _______

24

（ ， , 5）

（ 2 ）空间一点 Q 的球坐标为 ，则 Q 点的直角坐标是 _______

54

6 4

（ ， , ）

分析：利用公式cos sin cos

sin sin sin

cos

x x r

y y r

z z z r

和 进行互化

解析：（ 1 ）利用柱坐标与直角坐标公式的互化得（ 1,1,5） .

（ 2 ）利用球坐标与直角坐标公式的互化得2 2 3 （ ， ，2 ）

2 2 3 （ ， ，2 ）

答案：（ 1 ）（ 1 ， 1 ， 5 ）

（ 2 ）

图形的伸缩变换问题

求将曲线 y=1/2cos4x 变为 y=cosx 的伸缩变换 .

',

'

1 1cos cos , cos 4 2

2

4

' 4

' 2

x x

y y

y x y x y x

x x

y y

设所求的伸缩变换为 代入y' =cosx'得到

对比 可得 ，

。

故所求的伸缩变换为

解析：

点评：求经过伸缩变换后所得到的曲线方程，只需将对应的伸缩变换公式代入原曲线方程即可 .

在同一平面直角坐标系中，将曲线 变成曲线 ，求满足图象变换的伸缩变换

2 236 8 12 0x y x 2 2' ' 4 ' 3 0x y x

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

' ( 0)

' ( 0)

' 4 ' 3 0,

4 3 0, 36 8 12 0

4 3 13.

1 36 8 12 21

'2

' 3

x x

y y

y x

x y x x y x

x x

y y

设伸缩变换为 将其代入方程

x' 得

与比较系数得：

， ，

变换为

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ ， θ)=0 ，并且坐标适合方程 f(ρ ， θ) =0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ ，θ)=0 叫做曲线 C 的极坐标方程 .

2. 直线的极坐标方程

（ 1 ）过极点且与极轴成 α 角的直线方程是： θ=α 和 θ=π-α ；

（ 2 ）与极轴垂直且与极轴交于点 (a ， 0)(a ＞ 0) 的直线方程为： ρcosθ=a ；

（ 3 ）与极轴平行且在 x 轴的上方，与极轴的距离为 a 的直线方程为： ρsinθ=a.

第二节 曲线的极坐标方程

3. 圆的极坐标方程（ 1 ）以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为： ρ=r ；

（ 2 ）圆心在极轴上且过极点，半径为 r 的圆的方程上：

ρ=2rcosθ ；

（ 3 ）圆心在过极点且与极轴成 π/2 的射线上，过极点，半径为 r 的圆的方程为： ρ=2rsinθ.

4. 极坐标与直角坐标的互化公式

2 2 2cos, tan ( 0)

sin

x yx y x

y x

或者

(2009年上海卷）在极坐标系中，由三条直线 θ=0, θ=π/3,ρc

osθ+ρsinθ=1围成图形的面积是 ________

解析：化为普通方程，分别为：

y=0, y= , x+y=1,画出三条直线的图

象如右图，可求得

三角形 AOB 的面积为：

答案：

3 1 3 3( , )

2 2A

1 3 1 3 31

2 2 4

3 3

4

3x

（ 2009年广州一模）在极坐标系中，直线 ρsin(θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ________

2 2

2 2 2 2

sin( ) 2 2 2 0, 44

16,

2 22 2 4 ( ) 4 3

2

x y

x y

r d

直线 可化为 圆

可化为 由图中的弦长公式得

答案：4 3

求圆的极坐标方程

已知圆 C 的圆心坐标为 半径为 5 ，求圆 C 的极坐标方程 .

(5, )2

解析： 设点 P （ ρ,θ ）是圆 C 上的任意一点，如右图所示，由平面几知识可知，∠ APO=90°,

∠PAO=θ,AO=10, sinθ=ρ/10,

ρ=10sinθ.

即所求圆 C 的极坐标方程为： ρ=

10sinθ

1.已知圆 A 的圆心坐标为（ 2 ， 0 ），半径为 2 ，则圆 A

的极坐标方程是 ________

解析：由 cosθ=ρ/4, 得 ρ=4cosθ.

答案： ρ=4cosθ

求直线的极坐标方程

设点 P 的极坐标为 (ρ1 ， θ1) ，直线 l 过 P且与极轴所成的角为 α ，求直线 l 的极坐标方程 .

分析：用直接法求解 解析：如右图所示，设 M(ρ,θ) 为直线 l 上除点 P

外的任意一点，连接 OM ，则 |OM|=ρ ，∠ xOM=

θ. 由点 P 的极坐标为 (ρ1 ， θ1)知， |OP|=ρ1 ，∠xOP=θ1.

设直线 l 与极轴交于点 A ，已知直线 l 与极轴成 α

角，所以∠ xAM=α. 在△MOP 中，∠ OMP=α-θ ，∠ OPM=π-(α-θ1) ，由正弦定理得

1

1

1 1

sin[ ( )] sin( )

sin( ) sin( )

显然，点 P 的坐标 (ρ1 ， θ1) 是上述方程的解 .

所以，上述方程就是直线 l 的极坐标方程 .

点评：本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩 .

2. 求过点 A(a,0)(a ＞ 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程 .

解析：如右图所示，设 M(ρ,θ) 为直线 l 上，除点 A 外的任意一点，连接 OM ，由

Rt MOA△ 有|OM|cos MOA=|OA|∠ ，

即 ρcosθ=a. 可以验证，点 A(a,0)满足上式 .

所以， ρcosθ=a. 就是所求直线的极坐标方程。

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

把极坐标方程 ρ=2cosθ-4sinθ 化成直角坐标方程 .

分析：直接运用极坐标与直角坐标的互化公式即可 .

解析：把 ρ=2cosθ-4sinθ 两边同乘以 ρ ，得到

ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ ，即 x2+y2=2x-4y ，

所以，所求的直角坐标方程是 (x-1) 2+(y-2) 2=5。

点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在 .

3. 把直角坐标方程 2x-3y-1=0 化成极坐标方程 .

解析：把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入 2x-3y-1=0 ，即得所求的极坐标方程是 2ρcosθ-3ρsinθ-1=0

（2010湖南理数）3、极坐标方程 cos 和参数方程 1

2 3

x t

y t

（ t为

参数）所表示的图形分别是

A、圆、直线 B、直线、圆

C、圆、圆 D、直线、直线

（2010北京理数）（5）极坐标方程（p-1）（ ）=0（p0）

表示的图形是

（A）两个圆 （B）两条直线

（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线

解析：原方程等价于 1 或 ，前者是半径为 1的圆，后者

是一条射线。

（2010广东理数）15、（坐标系与参数方程选做题）在极

坐标系（ρ ，θ ）（0 ≤ θ <2π）中，曲线 ρ =2sin 与

cos 1p 的交点的极坐标为______．

由极坐标方程与普通方程的互化式 cos ,

sin

x

y

知，这两条曲线

的普通方程分别为 2 2 2 , 1x y y x ．解得 1,

1.

x

y

由 cos ,

sin

x

y

得

点（-1，1）的极坐标为 3( 2, )

4

．

2009 广东高考理科（坐标系与参数方程选做题）若直线

1

1 2 ,: ( )

2 .

x tl t

y kt

为参数 与直线 2

,:

1 2 .

x sl

y s

（ s 为参数）垂直，则

k ．

解：直线 1

1 2 ,: ( )

2 .

x tl t

y kt

为参数 化为普通方程是 )1(2

2 xk

y ，

该直线的斜率为 2

k ，直线 2

,:

1 2 .

x sl

y s

（ s为参数）化为普通

方程是 12 xy ，该直线的斜率为 2 ，

则由两直线垂直的充要条件，得 122

k

， 1k 。

2008广东高考理科（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 1 2C C，

的极坐标方程分别为 cos 3 ， π4cos 0 0

2

，≥ ≤ ，则曲线 1C

与 2C 交点的极坐标为 ．

【解析】由cos 3

( 0,0 )4cos 2

解得2 3

6

，即两曲线

的交点为 (2 3, )6

2007广东理科（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标

系 xOy中，直线 l的参数方程为 3( )

3

x tt

y t

R参数 ，圆C的参数

方程为 )20(2sin2

cos2

，参数

y

x ，则圆 C 的圆心坐标

为 ，圆心到直线 l的距离为 ． 2 2(0,2)

（2010安徽理数）7、设曲线C的参数方程为 2 3cos

1 3sin

x

y

（

为参数），直线 l的方程为 3 2 0x y ，则曲线C上到直线 l距离

为 7 10

10的点的个数为

A、1 B、2 C、3 D、4 【解析】化曲线C的参数方程为普通方程： 2 2( 2) ( 1) 9x y ，

圆心 (2, 1) 到直线 3 2 0x y 的距离 | 2 3 ( 1) 2 | 710 3

1010d

，

直线和圆相交，过圆心和 l平行的直线和圆的 2 个交点符合

要求，又 7 10 7 103

10 10 ，在直线 l的另外一侧没有圆上的点符

合要求，所以选 B.

（2010江苏卷）选修 4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分 10分）

ρ在极坐标系中，已知圆 =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sin

θ +a=0相切，求实数 a的值。

解 ： 2 2 cos ρ， 圆 =2cos θ 的 普 通 方 程 为 ：

2 2 2 22 , ( 1) 1x y x x y ，直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0的普通

方程为：3 4 0x y a ，又圆与直线相切，所以2 2

| 3 1 4 0 |1,

3 4

a

解

得： 2a ，或 8a 。

曲线的极坐标方程的应用

已知椭圆的中心为 O ，长轴、短轴的长分别为 2a,2b

(a ＞ b ＞ 0) ， A,B 分别为椭圆上的两点，且 OA OB.⊥

（ 1 ）求证： 为定值；

（ 2 ）求△ AOB 面积的最大值和最小值 .

2 2

1 1

OA OB

分析：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及到长度和角度问题，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算 .

解析：（ 1 ）以椭圆中心 O 为直角坐标原点，长轴所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为

2 2

2 21

x y

a b

将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得

2 2

2 2

2 22

2 2 2 2

1 1 2 1

2 2 2 22 2

1 22 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 21 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

2 2

2

( cos ) ( sin )1

cos sin

, A( , ), ( , ),2

cos sin cos sin

1 1 1 1

cos sin cos sin

1 1

a b

a b

b a

OA OB B

a b a b

b a b a

OA OB

b a b a

a b

OA O

即

由于 可设 则

，

于是

所以， 2B是定值。

AOB 1 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

2 2

22 2 2 2 21

21 1

2 2

AOB 2 2

21 1 AOB

1 1S = =

2 2

1=

2 ( cos sin ) cos sin

1=

2 sin 2( - )

45

sin 2 14 4

S

absin 2 0 0 S

2

OA OB

a b

b a b a

a b

a b a b

a b

a b

依题意得

当且仅当 ，即 或 时，

有最小值 ；

当 时，即 或 时， 有最大值

（ 2 ）

1. 根据极坐标方程的定义，求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似，一般步骤是：①建立适当的极坐标系；

②列 出动点所满足的关系式；③将上述关系式

用动点坐标 (ρ,θ) 的解析式来表示；④化简得到的解析式；⑤证明所得到的方程就是所求的曲线方程 . 求曲线的极坐标方程的主要方法有：直接法、几何法以及相关点法 .

2. 由于极坐标中极径和极角鲜明的简化特征，所以在处理与角度和距离有密切关系的问题时，用极坐标更容易表示已知的条件，代数变换也更加直接，再加上几何的直观性，因而解题过程显得简洁、明了；但是，在极坐标系中，判别曲线形状及其位置关系、计算距离和角度等等问题，通常需要先转化为直角坐标，在直角坐标系中求解后再转化为极坐标 . 这样一来，处理极坐标问题的有两个基本策略：其一直接用极坐标；其二转化为直角坐标，选择的基本原则就是简单性 .

（ 2009年辽宁卷）坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos( ) 1, , C x y

3M N

分别为 与 轴， 轴的交点。

（ 1 ）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标；

（ 2 ）设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程 . 1 3

1 cos( ) 1, cos sin ) 13 2 2

1 3C 1, 3 2

2 20 2 M(2,0)

2 3 2 3N( , )

2 3 3 2

x x y

（）：由 得（

从而 的直角坐标方程为 即

时， ，所以

时， ，所以

解析：

2 32 M 2 0 N

3P

3 2 31 P

3 3 6

OP6

（）： 点的直角坐标为（ ，）， 点的直角坐标为（0， ）

所以 点的直角坐标为

（， ），则 点的极坐标为（ ，）

所以直线 的极坐标方程为 = ， （ ， ）

（ 2009年安徽卷）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位 .

已知直线的极坐标方程为 , 它与曲线 相交于两点 A 和 B ，则 |AB|=_________

R4

（ ）

1 2cos(

2 2sin

x

y

为参数）

解析：直线的普通方程为 y=x, 曲线的普通方程 2 21) ( 2) 4x y （

2

2 21 22 2 ( ) 14

1 1AB

答案： 14

1. 参数方程的定义

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数

( )(*)

( )

x f t

y g t

并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（ * ）所确定的点 M(x ， y) 都在这条曲线上，那么方程（ * ）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x ， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数 .

相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程 .

第三节 参数方程

2.圆的参数方程 2 2 2

0 0

0

0

2 2 2

) ( )

cos, (

sin

cos, (

sin

y y r

r

y y r

r

y r

圆(x-x 的参数方程为

x=x为参数）

特别的，圆心在原点，半径为r的圆x +y =r 的参数

x=方程式 为参数）

其中参数 θ 的几何意义是 OM0绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位

置时， OM0 转过的角度 .

3．椭圆的参数方程 2 2

2 2O, 1( 0)

cos(

sin

[0,2 ).

x ya b

a bx a

x b

中心在原点 焦点在x轴上的椭圆

的参数方程是 为参数）

其中参数 的取值范围是

4．双曲线的参数方程 2 2

2 2O, 1( 0)

sec(

tan

3[0,2 ),

2 21

sec )cos

x ya b

a bx a

x b

中心在原点 焦点在x轴上的双曲线

的参数方程是 为参数）

其中参数 的取值范围是 且 ，

（注意：

5．抛物线的参数方程

2

2 2

2

2(

2

( , )

px

x ptt

x pt

t

t

开口向右，焦点在x轴上的抛物线y

的参数方程是 为参数）

其中参数 表示抛物线上除定点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数，其范围为：

6．直线的参数方程 直线参数方程的几种形式

（ 1 ）标准式

直线经过点 M0(x0 ， y0 ），倾斜角为 θ 的直线的参数方程为

其中， t 是直线上的定点 M0 （ x0 ， y0 ）到动点 M （ x ，y ）的有向线段 的数量，即 ，当点（ x ， y ）在点（ x0 ， y0 ）的上方时， t ＞ 0 ； 当点（ x ， y ）在点（ x0 ，y0 ）的下方时， t ＜ 0 ，当点（ x ， y ）与点（ x0 ， y0 ）重合时， t=0 ，以上反之亦然 .

0

0

cos(

sin

x x tt

y y t

为参数）

0M M = t0M M

��������������

于是参数 t 的绝对值等于直线上的动点 M 到定点 M0 的距离 . 由于直线的标准参数方程中 t具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多 .

0

0

(2) (x x at

ty y bt

点斜式 为参数）

其中（ x0 ， y0 ）表示该直线上的一点， b/a 表示直线的斜率 . 当 a ， b 分别表示点 M （ x ， y ）在 x 方向与 y 方向的分速度时， t 就具有物理意义——时间，相应的 at ， bt 则表示点M （ x ， y ），则在 x 方向、 y 方向上相对（ x0 ， y0 ）的位移．

7.渐开线与摆线的参数方程

（ 1 ）渐开线的参数方程

(cos sin )(

(sin cos )

x r

y r

为参数）

其中 r 为基圆的半径， φ 为过切点的半径与 x 轴正方向所成的角。

( sin )2 (

(1 cos )

x r

y r

（）摆线的参数方程 为参数）

其中 r 为圆的半径， φ 为定点作圆周运动时所转过的角。

8 ．参数方程和普通方程的互化

（ 1 ）由参数方程化为普通方程——消去参数 .消参数常用的方法有代入法，加减（或乘除）消元法，三角代换法等 .消参时应特别注意参数的取值范围对 x ， y 的限制 .

由参数方程化为普通方程一般是唯一的 .

（ 2 ）由普通方程化为参数方程——选参数，参数选法多种多样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的 .

1.普通方程是相对于参数方程而言的，适当选择参数，普通方程可以化为参数方程；同样地，消去参数，参数方程就化为普通方程 .

需要注意的是，在化参数方程为普通方程时，坐标 x ， y 的取值范围不能扩大或缩小，即对应曲线上点的坐标不能有增减，为了防止转化过程中出现范围的变化，可以先由参数方程讨论 x ， y 的变换范围，再对方程进行转化；从普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与 x ， y 中之一的函数关系，同一个普通方程，由于选择的参数不同，得到的参数方程也不同 .

2. 通过求过点 M0(x0 ， y0) ，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程，应进一步明确参数方程中参数的几何意义 .

由直线 l 的倾斜角 α 可得，直线 l 的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）是 e=(cosα, sinα). 设 M(x ，y) 为直线上的任意一点，那么 ，从而必有实数 t ，使

，即 (x-x0 ， y-y0)=t(cos α, sinα) ，

于是得到直线 l 的参数方程：

0M M e��������������

0M M te��������������

0

0

cos(

sin

x x tt

y y t

为参数）

1e 在上述的推导过程中，共线向量定理起关键作用 . 因为 由

得到

故直线参数方程中参数 t 的几何意义是：参数 t 的绝对值 |t|等于动点 M 到定点 M0 的距离 .

当 0 ＜ α ＜ π 时， sin α ＞ 0 ，所以，直线 l 的单位方向向量e的方向总是向上。此时，若 t ＞ 0 ，则 的方向向上；若 t ＜0 ，则 的方向向下；若 t=0 ，则点 M 与点 M0 重合 .

若直线 l 与曲线 y=f(x)交于 M1 ， M2 两点，对应的参数分别

为 t1 ， t2. 则曲线的弦M1M2 的长是 |M1M2|=|t1-t2| ；线段M1M2 的中点 M 对应的参数

0M M te 0 0t M M M M ��������������

0M M��������������

0M M��������������

1 2

2

t tt

3. 应掌握椭圆的参数方程式如何推导出来的，如右图所示，以原点 O 为圆心， a ， b(a ＞ b ＞ 0) 为半径分别作两个同心圆 .

设 A 为大圆上的任一点，连接 OA ，与小圆交于点 B. 过点 A ，B 分别作 x

轴， y 轴的垂线，两垂线交于点 M. 设以 Ox 为始边， OA 为终边的角为 φ ，点 M 的坐标是 (x ， y). 那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y. 由于点 A ， B均在角 φ 的终边上

由三角函数的定义有

x=|OA|cosφ=acosφ ， y=|OB|sinφ=bsinφ.

当半径 OA绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是

这是中心在原点 O ，焦点在 x 轴上的椭圆 .

在上述的椭圆的参数方程中，参数 φ 表示 x 轴正半轴沿逆时针方向旋转到 OB 的位置时所转过的角度，通常规定参数 φ 的范围为 φ∈ ［ 0 ， 2π).

类似地，可得双曲线和抛物线的参数方程 .

cos(

sin

x a

y b

为参数）

将参数方程化为普通方程

（ 1 ）化 C1 、 C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示

什么曲线；

（ 2 ）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π/2,Q 为 C2 上的动点，

求 PQ 中点 M 到直线 C3 ：

距离的最小值 .

3 2(

2

x tt

y t

为参数）

（ 2009年宁夏海南卷）已知曲线 C1 :

2

4 cos 8cos( C : (

3 sin 3sin

x t xt

y t y

为参数）， 为参数）

解析： 2 21

2 2

2

1

2

3

3

1 C ( 3) 1,

C : 164 9

4 3

P(-4,4),Q(8cos ,3sin ),2

3M(-2+4cos ,2+ sin )

2C

5M C 4cos 3sin 13

5

4 3cos sin

5 5

y

x y

C

C

（） ：(x+4)

为圆心是（ ，），半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短

半轴长是3的椭圆。

（2）当t= 时，

故

为x-2y-7=0,

到 的距离d=

从而当 ，8 5

d .5

时， 取得最小值

1. （ 2009年南通模拟）已知直线 和圆 C ：

1 2cos(

2 2sin

x

y

为参数）试判断它们的公共点的个数。

l:3x+4y-12=0

解析：圆的方程可化为 2 21) ( 2) 4x y （

2 2

C 1 2 2.

3 1 4 2 12 7l d 2

53 4

其圆心为 （ ，），半径为

（ ）由于圆心到直线的距离 =

故直线 l 与圆 C 的公共点个数为 2

（2010天津理数）（13）已知圆 C的圆心是直线 1,(

1

xt

y t

为参数）

与 x轴的交点，且圆 C与直线 x+y+3=0相切，则圆 C的方程

为 2 2( 1) 2x y

将普通方程化为参数方程

设 x=3cosφ ，以 φ 为参数，求椭圆的参数方程 .

分析：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与 x ， y 中之一的函数关系 .

2 2

14 9

x y

解析：2 2

2 2 2

2 2

9cos3cos 1

9 4

4(1 cos ) 4sin , 2sin .

2sin , 19 4

3cos(

2sin

yx

y y

x yy

x

y

把 代入椭圆方程，得到

所以 即

由参数 的随意性，可取 所以椭圆

的参数方程是 为参数）

点评：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与 x ， y 中之一的函数关系，同一个普通方程，当选择的参数不同时，得到的参数方程也不同 .

解析： 将 y=2pt 代入 y2=2px 得 2 2 24 2 2p t pt x pt

222

2 ( 0)2

x pty px p

y pt

是抛物线 的参数方程。

22t

2

x pt

y pt

答案： （是参数）

2. 设 y=2pt ， t 是参数，则抛物线： y2=2px （ p>0 ）的参数方程是 ______

求曲线的参数方程

如图所示，圆 O 的半径为 2 ， P 是圆上的动点， Q

(6,0) 是 x 轴上的定点， M 是 PQ 的中点 . 当点 P绕 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程 .

分析：取∠ xOP=θ 为参数，则圆O 的参数方程是当 θ 变化时，动点 P 在定圆 O 上运动，线段 PQ 也随之变动，从而使点 M 运动 . 所以，点 M 的运动可以看成是由角 θ决定的 . 于是，选 θ 为参数是合适的 .

2cos, (

2sin

x

y

为参数）

解析：设点 M 的坐标是 (x ， y) ，∠ xOP=θ ，则点 P 的坐标是 (2cosθ ， 2sinθ). 由中点坐标公式可得

2cos 6 2sincos 3, sin

2 2x y

所以，点 M 的轨迹的参数方程是 cos 3(

sin

x

y

为参数）

点评：如何恰当地选择参数，成为解决这类问题的关键 .

如图所示，经过抛物线 y2=2px(p ＞ 0) 的顶点 O 任作两条互相垂直的线段 OA 和 OB ，以直线 OA 的斜率为参数，求线段 A

B 的中点 M 的轨迹的参数方程 .

OA

1B

y kt

y tk

依题意可得：直线 的方程为

直线O 的方程为

解析：

22

2

22

22

22

2 2, B , );

2

1, B 2 , 2 )

2

22

M2

22

2AB M

y kx p p

k ky px

y xpk pkk

y px

ppk pk pk

kp

pk pky pkk

px pkkp

y pkk

解方程组 得点 的坐标为（

解方程组 得点 的坐标是（

设点 的坐标是（x, y),则x=

所以，线段 的中点 的轨迹的参数方程

（2010辽宁理数）（23）（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标

系与参数方程

已 知 P 为 半 圆 C ： （ 为 参 数 ，

0 ）上的点，点 A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点

M在射线 OP上，线段 OM与 C的弧 的长度均为3

。

（I）以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点

M的极坐标；

（II）求直线 AM的参数方程。

Ⅰ（ ）由已知，M点的极角为3

，且M点的极径等于3

，

故点M的极坐标为（3

，3

）. ……5分

Ⅱ（ ）M 点的直角坐标为（ 3,

6 6

），A（0,1），故直线

AM的参数方程为

1 ( 1)6

3

6

x t

y t

（t为参数） ……10分

曲线参数方程的应用

在椭圆 上求一点 M ，使点 M 到直线 x+2y-10=0 的距离最小，并求出最小距离 .

2 2

19 4

x y

分析：直接用直角坐标，则点 M(x ， y) 到直线 x+2y-10=0 的距离的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量，但是表达式比较复杂。因此，考虑用椭圆的参数方程求解 .

3cos(

3sin

M (3cos ,3sin ).

x

y

因为椭圆的参数方程为 为参数）

所以，可设点 的坐标为

0

0 0 0

0

0 0

M

3 45( cos sin ) 10

3cos 4sin 10 5 5

5 51

5cos( ) 105

3 4cos ,sin .

5 5

0 5

9 83cos 3cos ,2sin 2sin

5 59 8

M M5 5

5

d

d

由点到直线的距离方程，得到点 到直线的距离为

其中， 满足

由三角函数性质，当 时， 取最小值 ，此时

所以，当点 位于（ ，）时，点 与直线x+2y-10=0

的距离取最小值 。

点评：本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子，可以感受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用 .利用参数方程，一方面椭圆上的点的坐标只含有一个参变量，距离表达式得到简化；另一方面，可以用上三角变换，从而拓广了解决问题的途径 .

（2010福建理数）（2）（本小题满分 7分）选修 4-4：坐标

系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，直线 l的参数方程为

23 ,

2

25

2

x t

y t

（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系 xoy取

相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴）

中，圆 C的方程为 2 5 sin 。

Ⅰ（ ）求圆 C Ⅱ的直角坐标方程；（ ）设圆 C与直线 l交于点

A、B，若点 P的坐标为 (3, 5)，

求|PA|+|PB|。

Ⅰ【解析】（ ）由 2 5 sin 得 2 2 2 5 0,x y y 即 2 2( 5) 5.x y

Ⅱ（ ）将 l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得

2 22 2(3 ) ( ) 5

2 2t t ，即 2 3 2 4 0,t t 由于 2(3 2) 4 4 2 0 ，

故可设 1 2,t t 是上述方程的两实根，

所以 1 2

1 2

3 2, (3, 5),

4

t tl P

t t

又直线过点 故由上式及 t的几何意义得：

|PA|+|PB|= 1 2| t |+|t |=1 2t +t = 3 2。

4.已知 x0>0,y0>0,a>b>0, 点 P （ x0,y0 ）在椭圆设点 A 、 B 的坐标分别为 A （ a,0 ） ,B （ 0,b ） , 求点 P使四边形OAPB 的面积最大，并求最大面积 . （ O 是坐标原点）

2 2

2 21

x y

a b

解析：如右图，将四边形 OAPB 分割成△ OA

P 与△ OPB, 则 P 点纵坐标为△ OAP 的 OA 边上的高， P 点横坐标△OPB

的 OB 边上的高 .

OAP OPBOAPB), +

1 1 1sin cos (sin cos )

2 2 2

2sin( )

2 4

2OAPB

4 2

2 2P

2 2

S S S

ab ab ab

ab

ab

a b

四边形设P(acos , bsi n

当 ，四边形 面积最大，最大面积为 ，

此时， 点坐标为（ ， ）

2

22cos 2( : (

sin 2

2

x txt

yy t

为参数），曲线C 为参数）

（ 2008年海南宁夏卷）已知曲线 C1 ：

（ 1 ）指出 C1 ， C2各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；

（ 2 ）若把 C1 ， C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C′1,C′2. 写出 C′1,C′2 的参数方程 .C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由 .

解析： 1 2

2 21 1

2

1 1 2

1

2

C C

C 1, C (0,0), 1

2 0.

C 2 0 1 C C

cosC' : (1

sin2

22

2C' : (2

4

x y r

C

x

y

x tt

y t

是圆， 是直线，

的普通方程为 圆心 半径

的普通方程为x-y+

因为圆心 到直线x-y+ 的距离为，所以 与只有一个公共点。（2）压缩后的参数方程分别为

为参数）

为参数）

2 21 2

2

2

1 2C' :x 4 1,C' :y=

2 2

2 2 1 0

2 2 4 2 1 0

y x

x

化为普通方程：

联立消元得2x

其判别式 =（ ）

所以压缩后的直线 C′2 与椭圆 C′1仍然只有一个公共点，和 C1 与 C2 公共点个数相同 .

22

442O l: ( ) C:42

2

( u R) A.B

x tx u

t Ry u

y t

设点 位坐标原点，直线 参数 与曲线

参数 交于 两点。

（ 1 ）求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；

（ 2 ）求证： OA OB. ⊥

2

2

2

1 21 1 2 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 : 4 0

y =4x

(2) y=x-4 y 4

12 16 0

12, ), , ),

16

2 4( ) 16

2 16 4 12 16 0

l x y

C

x

x x

x xy B y

x x

OA OB x x y y x x x x

OA OB

����������������������������

（）

：

将 代入 得

设A（x （x 则

又

解析：

2 41.(2009 (

1 3

2 5cos(

1 5sin

x tt

y t

x

y

年广州模拟）直线 为参数）被圆

为参数）所截得的弦长是

解析：由题知，直线为 3x+4y+10=0, 圆为（ x-2 ） 2+ （ y-1 ） 2=25, 圆心（ 2,1 ）到直线 3x+4y+10

=0 的距离 d=|3×2+4×1+10|/5=4, 所以弦长为2 22 5 4 6

答案： 6

2. 圆 C ： 的普通方程为 _______

设 O 为坐标原点，点 M （ x0,y0 ）在 C 上运动，点 P （ x,y ）是

线段 OM 的中点，则点 P 的轨迹方程为 _____

1 cos(

sin

x

y

为参数）

2 2

2 2

( 1) 1

(2 1) 4 1

x y

x y

答案：