1

1

Teorija redova

Linije ekanja / Sistemi ekanja u redu

Prof. dr. Mugdim Pai

2

Populacija

Dolasci

Linija ekanja (Red) Serveri

Kanal 1 Kanal 2

Kanal M -1

Kanal M

Izlaz

Komponente sistema ekanja u redu

Populacija

- Konana - Beskonana

Patern dolazaka

-Sluajan - Prema rasporedu

Osobine reda

- Max duina linije - Broj linija

Selekcija

- FCFS - Prioritet

Nain usluge

-Kanali - Faze

Vrijeme usluge

- Sluajno - Konstantno

3

0,0000,0500,1000,1500,2000,250

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Vjerovatnoa

n

Distribucija sluajnih dolazaka 1. Broj dolazaka (n) za

vrijeme intervala u trajanju od jedne minute

0

2. Frekvencija od 100 razliitih

intervala 3. Vjerovatnoa 4. Proizvod (=1*3)

1 2 3 4 5 6 7 8

6 0,06 13 0,13

0,00 0,13

22 0,22 0,44 24 0,24 0,72 18 0,18 0,72 8 0,08 0,40 5 0,05 0,30 3 0,03 0,21 1 0,01 0,08

E(n) = 3,00/min. 1,00

Ukupno dolazaka = 300 kupaca

100

n frekvencija proizvod 0 6 0 1 13 13 2 22 44 3 24 72 4 18 72 5 8 40 6 5 30 7 3 21 8 1 8

sum= 300

Ukupno!dolazaka! = !E(n)*100!minuta = 3!dolaska/min*100!min = 300!dolazaka!!

4

0.000.050.100.150.200.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

P(n)

Pretpostavka Poissonove distribucije za sluajne dolaske Sa Poissonovom distribucijom vjerovatnoa da promatranjem registriramo n dolazaka za dati vremenski period je data sa :

n!eP(n)

n

=

( )nE = Dati vremenski period je odreen jedinicama E(n).

Koristei podatke naeg primjera,

je oekivana stopa dolazaka sa

Poissonova vjerovatnoa

Vjerovatnoa registrirana promatranjem

P(n) =POISSON(x=arrivals per min; mean=E(n); cumulative=FALSE)

! = 3,00!/!"#!

5

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

t

P(t)

Distribucija vremena usluge

Inkrement vremena usluge za 100 kupaca (u minutama)

1. Start (t) 2. Fini 0 0,50

3. Frekvencija 40

P(t) je vjerovatnoa da e usluga trajati t ili due 4. Vjerovatnoa

inkrementa vremena usluge

0,40 5. P(t)

1,00 0,50 1,00 0,24 24 0,60 1,00 1,50 12 0,12 0,36 1,50 2,00 8 0,08 0,24 2,00 2,50 7 0,07 0,16 2,50 3,00 5 0,05 0,09 3,00 3,50 3 0,03 0,04 3,50 4,00 1 0,01 0,01

6. Srednja vrijednost

0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75

7. Proizvod = 4*6 0,100 0,180 0,150 0,140 0,158 0,138 0,098 0,038

E(t) = 1,000 min.

100

6

Pretpostavka negativne eksponencijalne distribucije za vremena usluge

Pod pretpostavkom negativne eksponencijalne distribucije, vjerovatnoa da e usluga trajati dato

vrijeme ili due je data sa: teP(t) =

je oekivana stopa usluge sa ( )tE1 =

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

t

P(t)

Za uzorak od 100 kupaca i sa

Negativna eksponencijalna vjerovatnoa

Vjerovatnoa registrirana promatranjem

P(t)=EXP(t) t=tmin

! = 1,00!/!"#!

2

7

Osobine nekih specifinih modela ekanja Patern Patern

Model Kanali Populacija dolazaka usluge 1 Jedan Beskonana Poisson Eksponencijalni 2 Jedan Beskonana Poisson Konstantni 3 Vie Beskonana Poisson Eksponencijalni 4 Jedan/ Konana Poisson Eksponencijalni Vie *Svi modelu su sa jednom fazom, FCFS selekcijom, linija ekanja bez ogranienja

Za Modele 1, 2 i 3:

= Stopa dolazaka = Stopa usluge po kanalu t = Prosjeno vrijeme u liniji st = Prosjeno vrijeme u sistemu n = Prosjean broj u liniji

M = Broj kanala

sn = Prosjean broj u sistemu = Korisnost nP = Vjerovatnoa da je n u sistemu 8

Jednaine za rjeavanje problema u teoriji redova

Model 1

)(n

=2

)(t

=

)(t s

=

1)(

ns

=

=n

nP

=

1

Model 2

)(t

=2

1

+= tt s

)(n

=2

2

+= nnsModel 3

nTabela za vie kanala daje za kombinacije M i

+= nns1

+=nt s

nt =

tstnsn

nP

= Stopa dolazaka = Stopa usluge po kanalu = Prosjeno vrijeme u liniji = Prosjeno vrijeme u sistemu = Prosjean broj u liniji

M = Broj kanala

= Prosjean broj u sistemu = Korisnost = Vjerovatnoa da je n u sistemu

9

Primjer 1

American Vending Inc. je snabdjeva hrane za automate na jednom velikom univerzitetu. Iz razloga to korisnici automata neadekvatnim koritenjem pokvare automate, menadment ima stalni problem sa opravkama automata. Maine se kvare po prosjenoj stopi od tri automata na sat, a broj kvarova na sat slijedi Poissonovu distribuciju. Vrijeme kada automat nije u upotrebi zbog kvara kota kompaniju 25 KM/sat po automatu dok je automat van upotrebe, ukljuujui i vrijeme opravke automata. Radnici koji rade na opravci maine su plaeni 12 KM/satu. Jedan radnik moe servisirati po stopi od pet automata na sat sa vremenom servisiranja koje slijedi negativnu eksponencijalnu distribuciju. Dva radnika djelujui kao jedan tim mogu servisirati sedam automata na sat; i tri radnika mogu djelujui kao jedan tim servisirati osam maina na sat, sa vremenima servisiranja koja slijede negativnu eksponencijalnu distribuciju.

Vodei rauna o operacionom troku po satu, odrediti broj radnika koji bi kompanija trebala zaposliti na servisiranju automata kako bi se minimizirao oekivani troak servisiranja automata.

10

Primjer 1

American Vending Inc. je snabdjeva hrane za automate na jednom velikom univerzitetu. Iz razloga to korisnici automata neadekvatnim koritenjem pokvare automate, menadment ima stalni problem sa opravkama automata. Maine se kvare po prosjenoj stopi od tri automata na sat, a broj kvarova na sat slijedi Poissonovu distribuciju. Vrijeme kada automat nije u upotrebi zbog kvara kota kompaniju 25 KM/sat po automatu dok je automat van upotrebe, ukljuujui i vrijeme opravke automata. Radnici koji rade na opravci maine su plaeni 12 KM/satu. Jedan radnik moe servisirati po stopi od pet automata na sat sa vremenom servisiranja koje slijedi negativnu eksponencijalnu distribuciju. Dva radnika djelujui kao jedan tim mogu servisirati sedam automata na sat; i tri radnika mogu djelujui kao jedan tim servisirati osam maina na sat, sa vremenima servisiranja koja slijede negativnu eksponencijalnu distribuciju.

Vodei rauna o operacionom troku po satu, odrediti broj radnika koji bi kompanija trebala zaposliti na servisiranju automata kako bi se minimizirao oekivani troak servisiranja automata.

Model 1

sat/3= se mijenja sa brojem radnika Stopa dolazaka Stopa servisiranja po kanalu

Model Kanali Populacija Patern dolazaka Patern servisiranja 1 Jedan Beskonana Poissonov Negativno eksponencijalni

11

Primjer 1 - Rjeenje

C/h = LC/h + DC/h C/h = *12 KM/h *ns 25 KM/h Broj radnika +

Sluaj sa jednim radnikom sat/3= sat/5=51

353 ,

ns =

=

= C/h = 1(12,00) + 1,5(25,00) = 49,50 KM/h

Sluaj sa dva radnika: sat/3= sat/7=750

373 ,

ns =

=

= C/h = 2(12,00) + 0,75(25,00) = 42,75 KM/h

Sluaj sa tri radnika: sat/3= sat/8=

600383 ,

ns =

=

= C/h = 3(12,00) + 0,60(25,00) = 51,00 KM/h

Prosjean broj u sistemu

C=troak; C/h= troak po satu; LC= troak zaposlenika - plate (LC=labor cost) DC= troak kada automat nije u upotrebi zbog kvara (DC=downtime cost)

12

Primjer 2

U kafeteriji se nalazi posluavnik za kafu gdje se gosti sami posluuju i sipaju kafu u oljice. Gosti dolaze po stopi od 3 gosta svake 3 minute. Patern dolazaka gostiju slijedi Poissonovu distribuciju. Poto gosti sami sebe posluuju, vrijeme usluivanja slijedi negativnu eksponencijalnu distribuciju sa prosjenim vremenom usluivannja od 15 sekundi. a.Koliko se u prosjeku gostiju oekuje da bude u sistemu? b.Koliko je prosjeno vrijeme u sistemu za svakog gosta? c.Izraunati u procentima vrijeme koritenja posluavnika za kafu? d.Kada bi kafeterija instalirala automat za kafu sa konstantnim vremenom servisiranja u trajanju od 15 sekundi kako bi to promijenilo odgovore pod a) i b)?

a, b, i c: Model 1 .min/3= .min/4=d: Model 2 .min/3= .min/4=

Model Kanali Populacija Patern dolazaka Patern usluge 1 Jedan Beskonana Poisson Ekponencijalni

Model Kanali Populacija Patern dolazaka Patern usluge 2 Jedan Beskonana Poisson Konstantan

3

13

Primjer 2. Rjeenje

.min/3= .min/4=

a.) 03343 ,

ns =

=

=

b.) .min013411 ,

t s =

=

=

c.) 75043 ,

===

d.) ( ) 8

712

2

=+

=+=

nns

( ).

tt s min

851

21

=+

=+=

14

Model 4 Konana populacija M = Broj kanala T = Prosjeno vrijeme servisa U = Prosjeno vrijeme rada izmeu zahtjeva za servis X = Servisni faktor

UTTX+

=

F = Faktor efikasnosti vrijednost iz tabele za dato N, M i X

N = Veliina populacije

L = Prosjean broj jedinica u liniji L = N(1-F)

H = Prosjean broj jedinica koji se servisira

H = FNX n = Prosjean broj jedinica u sistemu

n = L + H W = Prosjeno vrijeme u liniji

FNXLT

HLTW ==

D = Vjerovatnoa da e se morati ekati u liniji na servis vrijednost se dobije iz tabele

15

Primjer 3. Jedna ininjerska firma ima zaposlenog specijalistu koji pomae etvorici

ininjera za dizajn. Vrijeme pomoi koju specijalista prua ininjerima varira. Neke odgovore na pitanja ininjera specijalista daje odmah, ali na neka druga pitanja specijalistima je potrebno izvjesno vrijeme rada prije davanja odgovora. Vrijeme usluivanja (vrijeme servisiranja) slijedi negativnu eksponencijalnu distribuciju. Prosjeno vrijeme usluivanja od strane specijaliste je jedan sat.

Ininjerima je potrebna pomo od specijaliste u prosjeku jednom dnevno. Poto je prosjeno vrijeme pomoi koju specijalista prua ininjerima 7 sati, od ininjera se oekuje da rade 7 sati bez pomoi specijaliste. Zahtjevi za pomoi specijaliste (stopa servisiranja) slijedi Poissonovu distribuciju, uz napomenu da ininjeri kojima je potrebna pomo ne prekidaju specijalistu koji je ve ukljuen u pruanje pomoi drugom ininjeru. a)Koliko ininjera u prosjeku eka na pomo specijaliste b)Koliko je prosjeno vrijeme koje ininjer kome je potrebna pomo mora ekati da dobije pomo od specijaliste? c)Koja je vjerovatnoa da e zaposleni ininjer morati ekati u liniji na pomo specijaliste?

Model 4 M = 1 N = 4 T = 1 h U = 7 h

M= Broj kanala; N= Veliina populacije;

T= Prosjeno vrijeme pruanje usluge;

U = Prosjeno vrijeme rada izmeu zahtjeva za servis

Patern Patern Model Kanali Populacija dolazaka usluge 4 Jedan/Vie Konana Poisson Eksponencijalni

16

Primjer 3. Rjeenje

Model 4 M = 1 N = 4 T = 1 h U = 7 h

1250711 ,

UTTX =

+=

+=

Korak 1: Izraunati servisni faktor X

Korak 2: F se dobije iz Finite Queuing Table Za X = 0,125, M = 1, N=4: dobije se F = 0,945

a.) Prosjean broj koji eka u liniji = L L = N(1-F) = 4(1-0,945) = 0,22

b.) Prosjeno vrijeme ekanja u liniji = W 4660

1250494501220 ,

),)()(,())(,(

FNXLTW ===

c.) Vjerovatnoa da e se morati ekati u liniji kada je potrebna pomo = D Iz Finite Queuing Table, D = 0,362

Menader jedne banke eli da utvrdi broj osoblja koje e raditi na tri drive-in alterima za klijente banke koji dolaze automobilom na bazi minimalno mogueg troka. Klijetni dolaze po stopi od 15 klijenata na sat, sa Poissonovim paternom dolazaka. Klijenti su u prosjeku uslueni za dvije minute sa negativnom eksponencijalnom distribucijom vremena servisiranja. Troak jednog zaposlenika koji radi na jednom alteru koji je otvoren je 15 KM na sat. Troak izgubljenog vremena klijenta (goodwill) je 90 KM po satu za svakog klijenta za cijelo vrijeme dok je u sistemu ekanja. Koristei oekivani operacioni troak po satu, koliko altera bi menader trebao da otvori?

Primjer 4

1 alter

2 & 3 altera

Menader jedne banke eli da utvrdi broj osoblja koje e raditi na tri drive-in alterima za klijente banke koji dolaze automobilom na bazi minimalno mogueg troka. Klijetni dolaze po stopi od 15 klijenata na sat, sa Poissonovim paternom dolazaka. Klijenti su u prosjeku uslueni za dvije minute sa negativnom eksponencijalnom distribucijom vremena servisiranja. Troak jednog zaposlenika koji radi na jednom alteru koji je otvoren je 15 KM na sat. Troak izgubljenog vremena klijenta (goodwill) je 90 KM po satu za svakog klijenta za cijelo vrijeme dok je u sistemu ekanja. Koristei oekivani operacioni troak po satu, koliko altera bi menader trebao da otvori?

18

Primjer 4 - Rjeenje

/h 15= /h/ 30260 ==Model 1

Model 3 Model Channels Population Arr. Pattern Service Pattern 3 Vie Beskonana Poisson Eksponencijalni

Model Kanali Populacija Patern dolazaka Patern servisa 1 Jedan Beskonana Poisson Eksponencijalni

4

19

Primjer 4. Rjeenje

Evaluacija sa jednim alterom:

/h 15= /h 30=Model 1

Troak/h = 15,00 KM * (1)+ 90,00 KM * sn

011530

15 ,

nS =

=

=

Troak/h = 15,00 KM * (1) + 90,00 * (1,0) = 105 KM/h

20

Primjer 4. Rjeenje

Evaluacija sa dva altera:

/h 15= /h 30= Model 3

Za Model 3, se dobije direktno iz Tabele sa n /

5003015 ,// ==

M = 2

Ukupni troak/h = 15,00 KM * (2) + 90,00 KM *

533050000330 ,,,nnS =+=+=

Iz ope formule za : sn

Sn

21

/ M P0 0,50 1 0,500 0,500

2 0,033 0,600 3 0,003 0,606

Tabela za Multiple Channel Queuing

n

22

Primjer 4. Rjeenje Evaluacija sa dva altera:

/h 15= /h 30= Model 3 Za Model 3, se dobije direktno iz Tabele sa n /

5003015 ,// ==

M = 2

0330,n =Troak/h = 15,00 KM/h * 2 + 90, 00 KM/h * sn

533,0500,0033,0 =+=+=nnS

Sn

Troak/h = 15,00 KM/h * 2 + 90,00 KM/h * 0,533 = 78,00 KM/h

Evalucija sa tri altera:

503,0500,0003,0 =+=SnTroak/h = 15,00 KM/h * 3 + 90,00 KM/h *0,503 = 90,27 KM/h

M = 3

Iz ope formule za :