Vejbulova raspodelaVejbulova raspodela

• Slučajna promenljiva X ima dvoparametarsku Vejbulovu j p j p j(Weibull) raspodelu ako je njena gustina određena sa

l

,0,e1)(1

>

λλ

=

λ

−−

xxxg

lxl

0,0 >>λ l

Označavamo sa X:W(λ,l)

1

Vejbulova raspodelaVejbulova raspodela

g(x)

1.4

1.6

1.8

2.0

λ= 0.5

0.8

1.0

1.2

λ= 1

0.0

0.2

0.4

0.6

λ= 2

x0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

x

2

Beta raspodelaBeta raspodela

• Raspodela neprekidne sp X koja može postizati p p p j pvrednosti iz intervala (0,1) i čija je gustina raspodele u tom intervalu proporcionalna sa podintegralnom funkcijom u beta funkcijifunkcijom u beta funkciji

∫ >>−= −−1

11 0,0,d)1(),( baxxxbaB ba∫0

naziva se Beta raspodela sa parametrima a i b.Njena gustina raspodele je

10,)1()()()()1(

),(1)( 1111 <<−

ΓΓ+Γ

=−= −−−− xxxbabaxx

baBxg baba

)()(),(

3

Beta raspodelaBeta raspodela

2 5

3.0

g(x)

a= 6, b= 62 5

3.0g(x)

a= 5, b= 2

1.5

2.0

2.5

a= 2, b = 2a= 3, b= 3a= 4, b= 4

1.5

2.0

2.5

a= 3, b=1,5

a = 5, b= 3

0.5

1.0a= 1, b = 1

0.5

1.0a= 2, b =1.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 x

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 x

4

Zakon velikih brojevaj• Definicija. Neka je X1, X2,... niz nezavisnih slučajnih

promenljivih definisanih nad istim prostorompromenljivih definisanih nad istim prostorom verovatnoća. Ako za svaki pozitivan broj ε važi

n n11∞→→

ε≥−∑ ∑

= =

nEXn

Xn

Pn

j

n

jjj ,011

1 1

tada kažemo da za posmatrani niz važi slabi zakon velikih brojeva.

Kraće se zapisuje ovako:

∞→→∑ ∑EXXPn n

011

Konvergencija u verovatnoći

∞→→−∑ ∑= =

nEXn

Xn j j

jj ,01 1

5

Teorema HinčinaTeorema Hinčina

• Neka je dat niz X1, X2,... nezavisnih slučajnih promenljivih j 1, 2, j p jsa istom raspodelom, konačnim matematičkim očekivanjem jednakim a i konačnim disperzijama. Tada za posmatrani niz slučajnih promenljivih važi slabi zakonposmatrani niz slučajnih promenljivih važi slabi zakon velikih brojeva, tj.

Pn1∞→→∑

=

naXn

Pn

jj ,1

1

6

Zakoni velikih brojevaZakoni velikih brojeva

Slabi zakoni velikih brojeva pokazuju da se na određeniSlabi zakoni velikih brojeva pokazuju da se na određeni način slučajnost gubi ako se posmatra aritmetička sredina rezultata pojedinih eksperimenata.

7

Konvergencija u zakonu raspodeleKonvergencija u zakonu raspodele

• Neka je dat niz X1, X2, ... slučajnih promenljivih i neka je j 1, 2, j p j jF1(x), F2(x), ... odgovarajući niz funkcija raspodele. Ako Fn(x)→F (x), za svako x∈R, kad n→∞, gde je F (x) funkcija raspodele tada se kaže da niz X X konvergira uraspodele, tada se kaže da niz X1, X2, ... konvergira u zakonu raspodele (ili u raspodeli) ka slučajnoj promenljivoj X kojoj je F (x) funkcija raspodele.

• Oznaka za ovu vrstu konvergencije je:

∞→→ nXXZ

∞→→ nXXn ,Konvergencija u

zakonu rasp.

8

Centralna granična teoremaCentralna granična teorema

• Neka je dat niz slučajnih promenljivih X1, X2, ... i neka jej j p j 1, 2, j

)...(11 nn XX

nX ++=

n• Neka slučajna promenljiva X ima N(0,1) raspodelu. Ako

važi:

XXDXEX Z

n

nn →−

)()(

• Tada kažemo da za niz X1, X2, ... važi centralna granična teorema.

9

TeoremaTeorema

• Neka su date nezavisne slučajne promenljive X1, X2, ... j p j 1, 2,koje imaju istu raspodelu, sa konačnim matematičkim očekivanjem a i disperzijom σ2. Tada za posmatrani niz slučajnih promenljivih važi centralna graničnaniz slučajnih promenljivih važi centralna granična teorema, tj.

x t2

∞→π

→

<σ−

∫∞−

ntx

n

aXPx t

n ,de21 2

-

n

)...(11 nn XXX ++= aXE n =)( XD n

2

)( σ=)( 1 nn n n )(nn )(

10