1.2.1任意角的三角函数

春晖中学冯志华春晖中学冯志华

教学目标 :

知识目标： 1. 掌握任意角的三角函数的定义； 2. 已知角 α 终边上一点，会求角 α 的各三角函数值； 3. 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标： （ 1 ）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （ 2 ）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （ 3 ）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提

高学生分析、探究、 解决问题的能力。 德育目标： （ 1 ）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自

变量）与比值（函数值）的一种联系方式； （ 2 ）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神

教学重点：

任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在

各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

新课过程

问题 1: 你能回忆一下初中里学过的

锐角三角函数 ( 正弦 , 余弦 , 正切 ) 的定义吗 ?

o

y

x

P(ｘ，ｙ )

的终边

r2 2r x y

cosx

r

siny

αr

tany

x

锐角三角函数定义

问题问题 2:2:

在终边上移动在终边上移动点点 PP 的位置的位置 ,,这三个比值为这三个比值为改变吗改变吗 ??

o

y

x

P(ｘ，ｙ )

的终边

r=1

cosx

r

siny

αr

tany

x

锐角三角函数定义

r=1 cos x

sinα y

tany

x

在直角坐标系中 , 以原点 O 为 圆心 , 以单位长度为半径的圆 叫单位圆

sinα y

P(x,y)

cos x

tany

x

锐角三角函数锐角三角函数可以用可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广 : 我们也可以利用 单位圆定义任意角三角函数 ( 正弦 , 余弦 , 正切 )

任意角的三角函数定义 :

sinα y

cos x

tany

x

y

x

O

( , )P x y

设设 αα 是一个任意角是一个任意角 ,, 它的它的终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点 P(x,P(x,y)y) 则则 ::

y y 叫叫 αα 的正弦的正弦

xx 叫叫 αα 的余弦的余弦

叫叫 αα 的正切的正切x

y

问题 3:

如何求 αα 角的角的三角函数值 ?

求 αα 角的角的三角函数值

即可求 αα 终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点的纵横坐标的纵横坐标或坐标的比值 ..

例题 1

求 的正弦 , 余弦 , 正切的值

3

5

例题 1求 的正弦 , 余弦 , 正切的值

2

3

3

5sin y

y

x

O

5

3

5

3

1

1

2

3

2

1 3,

2 2P

1

2x 3

2y 1r

2

1

3

5cos x

33

5tan

x

y

问题 4

根据上述方法否能求得特殊角三角函数值 ?

1

特殊角的三角函数值

角度

弧度

0 30 45 60 90 120 135 150 180

sin

cos

tan

1 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

例题2:

已知 的终边经过点

求 角的正弦 , 余弦 , 正切的值

)4,3(0 P

PP00(-3,-(-3,-

4)4)

MM00

2 2r x y

cosx

r

siny

αr

tany

x

o

y

x

P(ｘ，ｙ )

的终边

r

事实上 : 三角函数也可定义为 :设设 αα 是一个任意角是一个任意角 ,, 它的终边经过它的终边经过点点 P(x,y),P(x,y), 则则

( ( ))

例题2:

已知 的终边经过点

求 角的正弦 , 余弦 , 正切的值

)4,3(0 P

PP00(-3,-(-3,-

4)4)

问题 5:

根据三角函数的定义能否确定正弦 , 余弦 , 正切的值在四个象限内的符号 ?

r

ya sin　

r

xa cos　 　

x

ya tan　 　

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

（ ）++

- -

+

+

-

-

+

+

-

-

例题 3

求证 : 当且仅当下列不等式组成立时 , 角 为第三象限角 .

0sin

0tan

问题 6: 反思三角函数的定义

直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数

问题 7

根据三角函数的定义 :

终边相同的角的同一三角函数值是否相等 ?

终边相同

{ | 2 , }k k z

)(

tan)2tan(

cos)2cos(

sin)2sin(

zk

k

k

k

终边相同的角的集合

点的坐标相同 同一函数值相同

公式一

例题4

求下列三角函数的值 :

03900sin)1(

4

9cos)2(

)6

11tan()3(

小结 :(1) 任意角的三角函数定义 三角函数 ( 正弦 , 余弦 , 正切 ) 都是以角为自变量 ,

以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .

( 由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系 , 三角函数可以看成是自变量为实数的函数 .)

所以三角函数可以记为 :xy sinxy cosxy tan

定义域为定义域为RR定义域为定义域为 RR

定义域为定义域为 },2

|{ Zkkxx

小结3. 公式一 ( 诱导公式 )

sin( 2 ) sin

cos( 2 ) cos

tan( 2 ) tan ( )

k

k

k k z

应用（ 1 ）判断符号

（ 2 ）求值

00 360~0化到把角

asin　 acos　 　 atan　 　

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

（ ）++

- -

+

+

-

-

+

+

-

-

小结小结(2)(2) 三角函数在象限内的符号三角函数在象限内的符号

作业 :

P23 习题 1.2

2, 3, 5

填表填表 ::

1

特殊角的三角函数值

角度

弧度

0 30 45 60 90 120 135 150 180

sin

cos

tan

1 11 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1\ 1 1 1 1