李寿江

学习目标：1. 理解三角函数的定义。2.会利用三角函数的定义求简单角的函数值。3.理解并掌握三角函数在各象限的符号。教学重点：会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。

求角的函数值时对象限符号的判定。

奎屯王新敞新疆

教学难点：

1. 初中学过的锐角三角函数的定义 :

在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，角 A 为锐角，则用角 A 的对边 BC ，邻边AC 和斜边 AB 之间的比值来定义角 A 的三角函数 .sin

BCA

AB

cosAC

AAB

tanBC

AAC

C

B

A

2. 用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 以角 α 的顶点 O 为坐标原点，以角 α 的始

边的方向作为 x 轴的正方向，建立直角坐标系xOy,

则角 α 的终边落在直角坐标系的第一象限内，

r

y

x M

P

y

xO

记∠ MOP= α

sinα= ， cosα= ， tanα= 。 r

y

r

x

x

y

r

y

x M

P

y

xO

若点 P (x,y) 是角 α 终边上的任意一点，点 P 到原点 O 的距离是 r , 试将角 α 的三角函数用 x、 y、 r 的式子表示出来。

2 2 0r x y

3. 任意角的三角函数 :

（ 1 ）确立任意角 α 在直角坐标系中的位置；

以角 α 的顶点 O 为坐标原点，以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方向，建立直角坐标系xOy ； （ 2 ）在其终边上取点 A ，使 OA=1 ，点 A 的坐标为 (l, m) ，再任取一点 P(x,y) ，设点 P 到原点的距离为 r， OP =r（ r≠0 ），根据三角形的相似知识得：

lr

x m

r

y

因为 A、 P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得

m

l

A r

y

x

P

y

x

O

lr

x m

r

y

l

m

x

y

l

m

x

y

不论点 P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于 α 的大小，与点 P

在 α 终边上的位置无关。即当点 P在 α 的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。 叫做角 α 的余弦，记作cosα ,

即 cosα= ；

r

x

x

r

叫做角 α 的正弦，记作sinα ，

即 sinα= ；

r

y

r

y

叫做角 α 的正切，记作tanα ，

即 tanα=

x

y

x

y

角 α 的正割，记作 secα= = ； r

x

1

cosa

角 α 的余割，记作 cscα= = ； r

y

1

sina

角 α 的余切，记作 cotα= = ； x

y

1

tana

:),(,时

的终边与单位圆交于点任意角特别地yxP

;sin)1( y;cos)2( x

;tan)3(x

y

P(x,y)

O A(1,0)

y

x

依照上述定义，对于每一个确定的角 α ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应： 当 α≠kπ (k Z)∈ 时，它有唯一的正切值与之对应 . 因此这三个对应法则都是以 α 为自变量的函数，分别叫做角 α 的余弦函数、正弦函数和正切函数。

2

4. 几点说明：

(1) 这里提到的角 α 是“任意角” 。

（ 2 ）锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是正值；任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，不一定都是正值。

(3) 三角函数是以角为自变量，以“比值”为函数值的函数。

正弦函数可记作 : f(α) = sinα

余弦函数可记作 :

正切函数可记作 :

h(α) = cosα

g(α) = tanα体会对应法则

对于正弦函数 sinα= , 因为 r>0 ，所以恒有意义，即 α 取任意实数， 恒有意义，也就是说 sinα 恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R ；类似地可写出余弦函数的定义域是 R ；

r

y

r

y

三角函数函数的定义域

对于正切函数 tanα= , 因为 x=0 时，

无意义，又当且仅当 α 的终边落在 y 轴上时，

才有 x=0 ，所以当 α 的终边落不在 y 轴上时，

恒有意义，即 tanα= 恒有意义，所以正切

函数的定义域是 {α|α≠kπ+ （ k Z∈ ） }

y

x x

y

x

y

x

y

2

从而三角函数的定义域是

y=sinα, α∈R

y=cosα, α∈R

2

y=tanα ,α≠kπ+ （ k Z∈ ）

:,,

号符正切函数值在各象限的余弦填写正弦

:,,

号符正切函数值在各象限的余弦填写正弦

y

xo

( )( )

( )( )

sin

y

xo

( )( )

( )( )

cos

y

xo

( )( )

( )( )

tan

2 , , .2

pp例 、求 和 的正弦 余弦 正切值

01 ( 3, 4),

, , .

Pa

a

- -例、已知角 的终边经过点 求

角 的正弦 余弦 正切值

例 3.设 sinθ<0且 tanθ>0 ，确定 θ 是第几象限的角。

解：因为 sinθ<0 ，所以 θ 可能是第三、四象限的角，又 tanθ>0， θ 可能是第一、三象限的角，综上所述， θ 是第三象限的角。

例 4. 确定下列三角函数值的符号 :

（ 1） cos250º; （ 2 ） （ 3） tan(－ 672º) ；（ 4 ）

sin( )4

)3

11tan(

解： （ 1） 250º 在第三象限，所以 cos250º<0.

(2) － 在第四象限，所以 sin( － )<0.4

4

(3) － 672º 在第一象限，所以 tan(－672º)>0.(4) 在第四象限，所以 tan( )<0.11

3

11

3

:5、求下列三角函数值例

9(1)cos ;

4p

11(2) tan( );

6

p-

例 6. 若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合 , 求 的各三角函数值 . 解 : ∵ 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合 ,

∴ 是 第 三 或 第 四 象 限 的角 . 若 是第三象限的角 , 取终边上一点 P(-1, -2), 则 r=

5 . 从而 sin= =- 5 , cos= =- , tan= =2,yr

25

xr

55

yx

cot= = , sec= =- 5 , csc= =- .xy

rx

ry

12

52

若 是第四象限的角 , 取终边上一点 P(1, -2), 则 r=

5 . 从而 sin= =- 5 , cos= = , tan= =-2,yr

25

xr

55

yx

cot= =- , sec= = 5 , csc= =- .xy

rx

ry

12

52

2 2

1

1 0

2 0

3 P x y

x

x y

.判断下列命题是否正确： ( )若 si n ,则 是第一、二象限的角； ( )若 是第一、二象限的角，则 si n ； ( )若 是第二象限的角, ( , )是其终边

- 上的任意一点，则 cos .

课后练习

2 2 3 0P m m m.若点 ( , - )( )在 的终边上， 则 si n , cos , tan

3 2y x.已知 的终边在直线 - 上，

求 si n cos

4. 已知角 的终边上一个点 P 的坐标为 (4t, -3t)(t0), 求

的正弦、余弦和正切值 . 解 : 由已知有 x=4t, y=-3t,∴ |OP|=r=5|t|.

当 t>0 时 , sin= = = =- , yr

-3t 5|t|

-3t 5t

35

cos= = = = , xr

4t 5|t|

4t 5t

45

tan= = =- ; yx

-3t 4t

34

当 t<0 时 , sin= = = = , yr

-3t 5|t|

-3t -5t

35

cos= = = =- , xr

4t 5|t|

4t -5t

45

tan= = =- . yx

-3t 4t

34

5. 若点 p(-8， y) 是角 α 终边上一点，且 sin α=3/5 ，则 y 的值是 __________.

6 、已知角 α=3π/2 ，分别求 sinα， cosα，tanα

7 2 0 0.若 si n ,且 cos ,

则 是第 象限的角.

　　设 α 是一个任意角， α 的任意一点Ｐ ( 除端点外 ) 的坐标 (x,y), 它与原点的距离是 r, 那么：

(1) 比值 y/r 叫做 α 的正弦，记作 sinα,即sinα=y/r;

(2) 比值 x/r 叫做 α 的余弦，记作 cosα,即cosα=x/r;

(3) 比值 y/x 叫做 α 的正弦，记作 tanα,即 tan=y/x;

小结：本节课我们学习了三角函数的定义，即

　　 这一过程反应了人们认识数学概念的分划过程 . 即数学概念是在人们的认识不段深化的过程中逐步完善起来的．

ox

yP(x,y)

y

x

r