研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系

教学目标 1 ．知识目标：理解复数的向量表示和三角表示，了解复数的开平方． 2 ．能力目标：培养学生勇于质疑和善于反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；培养学生的创新意识和实践能力． 3 ．情感、价值观目标：了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神．

以上三个目标是从以下三个方面确定的： ① 根据教材内容及新大纲的教学要求，确定第一个教学目标． ② 由于本节是研究性学习课题，有助于学生提高发现、提出、解决数学问题的能力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确定第二教学目标． ③ 在研究性学习活动中，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过程，体验创造的激情，由此确定第三个教学目标．

重点难点分析 教学重点：复数的向量表示和三角表示、复数的开平方运算． 教学难点：复数与二维向量一一对应的实质和向量 与 的长度 r 以及 与 x

轴的夹角 θ 组成的有序实数对 (r ， θ) 一一对应的实质．

oz oz oz

第一课时一、导入新课( 教师活动 ) 复习提问，并讲述．( 学生活动 ) 思考、回答问题．问题 1 什么叫复数的代数表示形式 ?问题 2 复数集 C 和复平面内所有的点所组成的集合有何对应关系 ?问题 3 在直角坐标系中，平面向量以如何用坐标表示 ? 通过向量的坐标表示，你对复数的表示有何想法 ?

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[ 讲述 ] 我们学习了复数可用代数表示，刚才同学们也想到了复数有可能用向量表示，本节课我们研究复数的向量表示． 设计意图：复习已学知识，为本节课学习做知识铺垫，引导学生提出研究课题．

二、新课讲授 【确定研究方案】 ( 教师活动 ) 以向量的坐标表示为例，分析数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循哪些原则 ? 引导学生确定研究方案． ( 学生活动 ) 确定研究复数向量表示的内容及方案．

[ 字幕 ] 向量的坐标表示遵循了下列原则： (1) 向量 与有序实数对 (x ， y)

存在一一对应关系； (2) 平面向量坐标运算的合理性． [ 提问 ] 我们研究复数的向量表示，要从哪几个方面去思考、分析 ?

( 学生回答 )

设计意图：引导学生确定研究复数向量表示的方案．

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【小组研究学习】 ( 教师活动 ) 将全班划分为 10 个小组，在各小组内进行．引导学生自主探究，巡视学生探索过程，了解学生的进展情况． ( 学生活动 ) 学生自主探究，合作学习，交流研究方法和研究成果，各组组内展开讨论，提出方法并自主探索复数向量表示的运算方法． ( 详细过程略 )

【班级讨论研究】 ( 教师活动 ) 要求各小组简述解决方案以及解决的思维过程并展示研究结果，总结学生研究结果． ( 学生活动 ) 小组代表简述解决方案以及解决的思维过程．投影研究结果。 【学生简述、展示研究结果】 ( 略 )

[ 字幕 ] 设复平面内的点 Z(a ， b) 表示复数 z

=a+bi ，连结 OZ ．则： ① 向量 由点 Z唯一确定，点 Z 由向量 唯一确定． 就是复数 z=a+bi 的向量表示．复数 0 用 表示．

OZOZ OZ

O

用向量 分别表示复数 z1=a+bi,z2=c+di

用向量 表示z=z1+z2

用向量表示 z=z1－ z2

按向量加法的平行四边形法则进行

按向量减法的三角形法则进行 (注意差向量方向 )

21 OZOZ ,

OZ

21 OZOZOZ 21 OZOZOZ

③ 用向量 的长度 (模 )r来表示复数 z=

a+bi 的“绝对值”的大小，称为复数 z=

a+bi 的模，记作 l z l或 Ia+bi I或 r ．则

④用向量 与 x 轴的夹角 ( 以轴的非负半轴 Ox 为始边 ) 表示复数 Z=a+bi 的方向，则 ，其中 θ 的取值范围是

OZ

22 barlOZlbillaZl l OZ

a

btanθ,

r

bsinθ,

r

acosθ

).,(

【例题示范，学会应用】 ( 教师活动 )打出字幕 ( 例题 ) ，分析解题思路，完成解答，并点评． ( 学生活动 ) 思考，与教师一道分析，尝试完成例题解答． [ 字幕 ] 例 1 求复数 z1=3+4i 及的模，并且比较它们的模的大小．

i22

1z2

解：

因为 5>3/2 ，所以 l zl>lz2l ． [ 字幕 ] 例 2 向量 表示的复数为 3+2i ，将向量 向上平移 3 个单位长度再向左平移2 个单位长度，得到向量 ，分别写出： (1) 向量 对应的复数； (2) 点 O’ 对应的复数； (3) 向量 对应的复数．

.2

3)2()

2

1(-llz

5,43llz

222

221

OAOA

OAAO

AO

[ 分析 ] 根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在复平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数；而模长不变、方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数． 解如图所示， O 为原点，点 A 的坐标为 (3 ， 2) ，向上平移 3 个单位长度再向左平移 2 个单位后，点 O’的坐标为 ( 一 2 ， 3) ．点 A’的坐标为 (1 ， 5) ，坐标平

移不改变 的方向和模(1) 向量 对应的复数为 3十 2i ；(2) 点 O’ 对应的复数为 -2+3i ；(3) 向量 对应的复数为 -3-2i ． [ 点评 ] 根据复平面内向量平移的不变性，我们可以把起点不在原点的向量移到原点，使许多问题的求解变得简单．

OAAO

OA

[ 字幕 ] 例 3 设 z=a+bi(a ， b R)∈ 满足 I I z l-4 l+l z I-4=0 ，且 a≥1 ， b≥-1 ，画出复数2 所对应的点的集合的图形． [ 分析 ] 在复平面内要确立一个复数对应的点的集合，必须找到其实部与虚部的关系，即转化为实数方程．本例是一个非常规的方程，如果用模的计算进行转化，将要解一个含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方程，不易得到结论．仔细观察已知条件并注意到复数的模是一个非负数这一性质，我们可以用整体观点处理求解．

解因为 l l z l-4 l+l z I-4=0 ，所以 I I z I-4 I=-(l z I-4) ．又由 l z-4 l R∈ ，且根据实数绝对值的性质，知 l zl4≤0 ． 所以 I z I≤4 ，以 a2+b2≤16 ，又由 a≥1 ， b≤-1 知 Z(a ， b)构成的集合的图形如图中阴影部分所示 (包括边界 ) ．

[ 点评 ] 在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧． 设计意图：通过例题的学习，让学生学会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基本解题技巧。培养学生转化、数形结合的数学思想及良好的思维品质． 【课堂练习】 ( 教师活动 )打出字幕 (练习题 ) ，要求学生完成，并请两位同学板演．巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正。

( 学生活动 )完成练习解答，板演． [ 字幕 ]练习题： 设 z C∈ ，满足下列条件的复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图形 ?画出其图． (1)z=cosθ+isin θ(0≤ θ <2π) ； (2)l z l2-4 I z l +3≤0 ． 设计意图：加深复数向量表示的理解，沟通复数与解析几何之间的联系．反馈教学信息，调节课堂教学． 【分析归纳，小结解法】 ( 教师活动 ) 教师根据反馈的信息，点评练习题解题思路，小结解题方法．

( 学生活动 ) 学生听教师讲评，领悟解题思想方法，并记录笔记． [练习题答案 ]

(1) 解法 1 因为所以点 z 的集合是以原点为圆心，以 1

为半经的圆．

θsinθcos l z l 22

解法 2 设 z=x+yi(z ， y R)∈ ，则 x+yi=co

sθ+isin θ ．根据两个复数相等的充要条件，得 { (0≤ θ <2π) ．消去参数得： x2+

y2=1 ．所以点 Z 的集合是以原点为圆心，以 1 为半径的圆． (2) l z l2-4 I z l+3≤0 ， (l z I-3)(I z I-1)≤0 ，l≤l z l≤3 ．所以点 Z 的集合是以原点为圆心， 1 为内半径， 3 为外半径的圆环，包括圆环的边界，图 ( 略 ) ．

sinθy

cosθx

[ 字幕 ] 小结 1 ．在复平面内求的点集合表示的图形，一般有两个途径： (1) 设 z=z+yi(z ， y R)∈ ，根据已知条件求出 z ， y满足的方程，注意运算过程中化简的等价性； (2)充分考虑复数的整体性，直接探求动点所对应的复数 z具有的特征和满足的方程．

三、小结 ( 教师活动 ) 教师总结本节课所学的知识要点 ( 学生活动 ) 学生回忆，与教师一道归纳，并记录笔记． [ 字蒂 ]1 ．本节课学习了把复数用复平面内的向量表示和复数的模． 2 ．本节课渗透的数学思想方法有：转化、数形结合等数学思想方法；渗透的解题技巧有：整体、化归等观点． 设计意图：培养学生归纳、总结问题的能力，加深对已学知识的理解，便于学生课后复习

四、布置作业 已知集合 A={z l z=x+yi ， x ， y R∈ ，且 y≥ 一 2} ， B={z l z C∈ 且 2≤l z I≤4}

求复平面内 A ∩B 表示的图形面积． 设计意图：供学生思考复数与平面几何、平面解析几何之间的联系．

[ 作业答案 ] 不难求出 A ∩ B 表示的图形如图所示的阴影部分，包括边界，其中大圆面积 S1=16π ，小圆面积 S2=4 π ． 再求弓形 ABC 的面积，在 Rt OCD△ 中，l OD l=2 ， l OC I=4 ，则 I CD I = ，∠DOC= π /3 ．所以弓形 ABC 的面积 S3=S 扇

形 ABC－ S ABC△ =16/3 π － 所以 A ∩ B 表示的图形面积为S1 一 S2 一 S3=20 π /3+ ．

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