13_Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Il Principio Dei Lavori Virtuali

7/25/2019 13_Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Il Principio Dei Lavori Virtuali

1/29

2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

Pagina 1/29

Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 13Titolo: Determinazione delle reazioni vincolari con il

Principio dei Lavori Virtuali

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 13 Determinazione delle reazioni vincolari con il

Principio dei Lavori Virtuali.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

5 13Determinazione delle reazioni vincolari con il Principio deiLavori Virtuali. Condizioni affinch un sistema siastaticamente determinato. Esempi.

I vincoli cui alcuni punti di un sistema sono soggetti impediscono aipunti vincolati di compiere certi spostamenti ed al sistema di assumerecerte configurazioni spostate, realizzando questo impedimento

attraverso lesercizio di forze dette reazioni vincolari. Nelle ultime trelezioni stata mostrata lapplicazione delle Equazioni Cardinali dellaStatica per la determinazione delle reazioni vincolari. Queste, siricorda dalla lezione 3, costituiscono una condizione necessaria esufficiente per lequilibrio di un sistema rigido e coinvolgono tutte leforze esterne ad esso applicate.In questa e nelle due lezioni successive si utilizzer il Principio deiLavori Virtuali per la determinazione delle reazioni vincolari. Questoprincipio, si ricorda dalla lezione 4, costituisce una condizionenecessaria e sufficiente per lequilibrio di un sistema (anche nonrigido) e coinvolge solo le forze attive ad esso applicate.

Premessa

Nella lezione 4 stato ricordato il Principio dei Lavori Virtuali:condizione necessaria e sufficiente affinch un sistema soggetto a solivincoli lisci sia in equilibrio nella configurazione C0 che risulti

0PFPF...PFPFLn

1iiinn1111

)a(=+++=

=

(13.1)

per ogni configurazione spostata C1a partire alla configurazione C0,

essendo n21 F...,,F,F le forze attive applicate ai punti n21 P...,,P,P del sistema e n21 P...,,P,P gli spostamenti virtuali dei punti

n21 P...,,P,P nel passaggio del sistema dalla configurazione C0 allaconfigurazione C1 ed n il numero di punti del sistema ai quali sonoapplicate forze attive.

Si rimarca che la(13.1) per costituire condizione necessaria esufficiente per lequilibrio deve essere soddisfatta per ogniconfigurazione spostata C1che pu essere raggiunta a partire da C0attraverso piccoli spostamenti dei punti del sistema.

Come riconosciuto nella lezione 4, nel caso di sistemi che

possono compiere solo spostamenti reversibili la(13.1) diventa
mailto:[email protected]:[email protected]


2/29


Pagina 2/29




0PFL

n

1iii

)a( == =

(13.2)

Nel seguito si considerano sistemi costituiti da elementi rigidi (per iquali il lavoro delle forze interne attive nullo per ogni elementorigido) soggetti a vincoli bilaterali e quindi suscettibili di compiere solospostamenti reversibili. Per questo verr utilizzata la forma(13.2) delPrincipio dei Lavori Virtuali.

Come gi osservato nella lezione 4, il Principio dei LavoriVirtuali coinvolge unicamente le forze attive e non le reazioni vincolari;non pare quindi idoneo alla determinazione di queste ultime. Tuttavia i

vincoli limitano i possibili spostamenti dei punti vincolati attraversolesercizio di forze che, per essere esercitate dai vincoli, sono dettereazioni vincolari. Pu affermarsi che leffetto di un vincolo su unsistema equivalente alleffetto sul sistema della reazione vincolareesercitata dal vincolo stesso. Perci sempre possibile pensare dirimuovere da un sistema un vincolo e di sostituirlo con la sua reazionevincolare senza che mutino le condizioni del sistema. Questa reazionepu successivamente essere trattata come una forza attiva e quindiessere coinvolta nella (13.1) o nella (13.2).Ad esempio per lasta difigura 13.1a il carrello che vincola il punto A pu essere sostituito con

la reazione vincolare R da questo esercitata sul punto A, comemostrato infigura 13.1b.

Figura 13.1.

La struttura di figura 13.1 prima della rimozione del vincolo isostatica, mentre dopo la rimozione del vincolo una volta labile (haun grado di libert) ed quindi suscettibile di assumere configurazionispostate identificate da un solo parametro di spostamento. Sostituito ilvincolo con la sua reazione vincolare incognita R , quindi possibilevalutare per quale valore del modulo R di R la configurazione inizialeC0del sistema in equilibrio. Per fare questo utilizzando il Principiodei Lavori Virtuali necessario individuare, a partire da C0 leconfigurazioni spostate C1 del sistema e valutare gli spostamentivirtuali dei punti di applicazione delle forze nel passaggio da C0a C1.La generica configurazione spostata C1del sistema difigura 13.1 puidentificarsi ad esempio mediante il parametro di spostamento

(figura 13.2), cio mediante la rotazione dellasta AB attorno al puntoB che ne costituisce il centro di rotazione assoluto.

L/2 L/2

FA B

L/2 L/2

FA B

R

(a) (b)

C C


3/29


Pagina 3/29




Figura 13.2.

Considerando allora la configurazione spostataC

1 identificata da unvalore piccolo ma non nullo di (figura 13.2), nel passaggio da C0aC1ogni punto del sistema compie uno spostamento che, per esserepiccolo e compatibile con i vincoli, uno spostamento virtuale. Diquesti spostamenti (che sono tutti verticali) pu essere tracciato ildiagramma, come mostrato in figura 13.2. Relativamente a questispostamenti virtuali la forza F compie il lavoro:

2

LFvFCFL CF === (13.3)

essendo C lo spostamento virtuale di C nel passaggio dalla

configurazione C0 alla configurazione C1 ed essendo vC lacomponente verticale di C ; il lavoro virtuale(13.4) negativo avendola forza e lo spostamento la stessa direzione e verso opposto.Sempre nel passaggio da C0a C1 la reazione R (considerata comeforza attiva in quanto stato rimosso il vincolo) compie il lavoro

LRvRARL AR === (13.4)

essendo A lo spostamento virtuale di A nel passaggio dallaconfigurazione C0 alla configurazione C1 e vA la sua componenteverticale. Siccome F ed R sono le uniche forze applicate al sistema e

quello considerato lunico spostamento virtuale possibile per ilsistema (a meno dellentit di ), per la (13.2) pu affermarsi checondizione necessaria e sufficiente per lequilibrio del sistema

0LR2

LFLLL RF =+=+= (13.5)

la quale consente immediatamente di determinare la forza R necessaria allequilibrio, cio la reazione vincolare del vincoloinizialmente rimosso:

0LR

2

LF =+ da cui

2

FR = (13.6)

Il procedimento per la determinazione di una componente di reazionevincolare con il Principio del Lavori Virtuali consiste quindi nella

L/2 L/2

FA B

L/2 L/2

F

AB

R

C0C1

C CR

A

x

v(x)

vA

vC

xB

x

y

Oz

C


4/29


Pagina 4/29




rimozione del vincolo che impedisce lo spostamento che fa compiere

lavoro alla componente di reazione incognita (cio il vincolo cheimpedisce la componente di spostamento nella direzione dellacomponente di reazione incognita) con la questa componente direazione incognita e nella valutazione del lavoro compiuto dalle forzerelativamente ad una configurazione spostata che fa compiere ai puntidel sistema (ed in particolare ai punti di applicazione delle forze)spostamenti virtuali. In questo modo nella(13.2) compare la reazioneincognita in quanto questa compie lavoro non nullo per il fatto che stato consentito lo spostamento del suo punto di applicazione.

Tenendo presente il procedimento delineato e considerando un

sistema costituito da elementi rigidi soggetto a certe forze attive notes21 F...,,F,F ed a certi vincoli (figura 13.3), nel seguito ci si pone il

problema di stabilire sotto quali condizioni possibile determinare lereazioni vincolari r21 R...,,R,R , cio le reazioni esercitate sul sistemadai vincoli e, nei casi in cui questo possibile, di determinarle. In altreparole, ricordando le definizioni date nella lezione 5, ci si pone ilproblema di stabilire sotto quali condizioni il sistema staticamentedeterminato . Per i sistemi staticamente determinati si mostrano leoperazioni necessarie alla valutazione delle reazioni vincolariutilizzando il Principio dei Lavori Virtuali. Si considera cio lo stessoproblema discusso nella lezione 10 sulla base delle Equazioni

Cardinali della Statica e lo si affronta sulla base del Principio deiLavori Virtuali.

Figura 13.3.

Bilancio t ra equazioni e reazioni vinco lari incognite

Si consideri una struttura soggetta alle forze s21 F...,,F,F ed avincoli le cui reazioni sono r21 R...,,R,R . Si noti innanzitutto che la(13.2) una sola equazione algebrica lineare rispetto alle componentidelle forze attive nelle direzioni degli spostamenti virtuali

n21 P...,,P,P e quindi consente la determinazione di una solaincognita quando tutte le altre quantit coinvolte sono note.

Seguendo il procedimento delineato la determinazione di unacomponente di reazione vincolare, ad esempio la componenteorizzontale Rjx della reazione jR , richiede la rimozione del vincolo

F1

F2

F3

F3MF3

F4

F5


5/29


Pagina 5/29




corrispondente (cio del vincolo che impedisce lo spostamento del

punto vincolato nella direzione di Rjx) e la sua sostituzione con lacomponente di reazione incognita Rjx. Possono presentarsi i seguenticasi.

- La struttura isostatica; in questo caso la rimozione di un vincolodi molteplicit 1 rende la struttura una volta labile e quindisuscettibile di assumere configurazioni spostate identificate da unsolo parametro di spostamento. Una volta rimosso il vincolo puquindi essere identificata una configurazione spostata dellastruttura e pu essere valutato il lavoro virtuale compiuto da tutte leforze applicate e dallunica componente di reazione incognita, Rjx.

Questultima pu infine essere determinata imponendo lacondizione di equilibrio (13.2). Si conclude che una strutturaisostatica staticamente determinata.

- La struttura iperstatica con grado di iperstaticit ip; in questo casola rimozione di un vincolo di molteplicit 1 rende la strutturaisostatica o iperstatica (isostatica se ip= 1, iperstatica se ip2). Inentrambi i casi dopo la rimozione di un vincolo con molteplicitunitaria la struttura non ha gradi di libert, non possibileidentificarne una configurazione spostata, i lavori compiuti dalleforze applicate non possono essere valutati e non possibile

imporre il soddisfacimento della condizione di equilibrio (13.2).Quindi la componente di reazione Rjxnon pu essere determinata.Si conclude che una struttura iperstatica staticamenteindeterminata. Si rileva che in questo caso per rendere la strutturauna volta labile e consentire cos lidentificazione di unaconfigurazione spostata e di spostamenti virtuali dei punti diapplicazione delle forze sarebbe necessario rimuovere ip+ 1 gradidi vincolo e sostituirli con ip+1 reazioni vincolari incognite. In questocaso lunica equazione(13.2) conterrebbe per ip+ 1 incognite chenon potrebbero essere determinate mediante una sola equazione.Pi precisamente, esistono infiniti valori delle ip + 1 incognite in

grado di soddisfare lunica equazione lineare(13.2).

- La struttura labile con grado di labilit lb; in questo caso larimozione di un vincolo di molteplicit 1 rende la struttura labile congrado di labilit pari a lb+ 1. La struttura ha allora lb+ 1 gradi dilibert ed possibile identificare lb+ 1 configurazioni spostate traloro indipendenti, nel senso ognuna di queste dipende da lb + 1parametri di spostamento indipendenti. Rimosso il vincolo quindipossibile valutare gli spostamenti virtuali dei punti di applicazionedelle forze per ognuna di queste configurazioni spostate ottenendolb+ 1 equazioni di equilibrio del tipo della(13.2).Queste equazioni

(che sempre sono lineari nelle componenti delle forze e dellereazioni incognite) devono essere tutte soddisfatte, dovendoessere nullo il lavoro compiuto per ogni configurazione spostata


6/29


Pagina 6/29




del sistema e costituiscono quindi un sistema lineare con lb+ 1. Le

equazioni del sistema contengono una sola incognita che lareazione vincolare dellunico vincolo che stato rimosso e quindi ingenerale il sistema non ha soluzione. Questo significa che ilvincolo non in grado di esercitare una reazione tale da soddisfaretutte le equazioni(13.2) che possono essere scritte relativamente atutte le possibili configurazioni spostate e cio tale da rendere nulloil lavoro virtuale per ogni configurazione spostata. Si conclude chelequilibrio del sistema impossibile. Si ricorda ancora che peraversi una configurazione di equilibrio la (13.2) deve esseresoddisfatta per ogni spostamento virtuale.

Si pu giungere alle conclusioni appena esposte con unragionamento alternativo. Si consideri una struttura costituita da nelementi rigidi tra loro connessi soggetta alle forze s21 F...,,F,F ed avincoli le cui reazioni sono r21 R...,,R,R . Si immagini di rimuovere tuttii vincoli dalla struttura e sostituirli con le relative componenti direazione vincolare incognite. Queste componenti sono in numero parialla somma v delle molteplicit dei vincoli cui la struttura soggetta(essendo v > r in quanto alcuni degli r vincoli possono essere doppi otripli). Rimuovendo tutti i vincoli esterni ed interni ogni asta rigida libera nel piano e quindi si ottiene un sistema con N = 3n gradi dilibert e quindi suscettibile di N = 3n configurazioni spostate

indipendenti. Nelle condizioni di equilibrio la (13.2) deve esseresoddisfatta per ogni configurazione spostata e quindi lequilibrio deveessere imposto scrivendo la (13.2) per ognuna di queste 3nconfigurazioni spostate. Si ottiene cos un sistema lineare costituitodalle 3n condizioni(13.2),scritte per ogni configurazione spostata delsistema. Possono presentarsi i seguenti casi.

- Il numero v delle componenti di reazione vincolare incognite parial numero N = 3n dei gradi di libert e quindi di equazioni (13.2)disponibili; in questo caso (salvo casi particolari che sarannodiscussi in seguito) la soluzione del sistema di equazioni unica e

le v componenti di reazione vincolare possono essere determinaterisolvendo il sistema. Daltra parte si ricorda che un sistema dotatodi v = N = 3n gradi di vincolo isostatico; si conclude che unsistema isostatico staticamente determinato.

- Il numero v delle componenti di reazione vincolare incognite superiore al numero N = 3n dei gradi di libert e quindi di equazioni(13.2) disponibili. In questo caso il sistema di equazioni lineari(13.2) costituito da N = 3m equazioni nelle v > N componenti direazione vincolare incognite. Questo sistema ha infinite soluzioni equindi non possibile determinare univocamente le reazioni

incognite. Ricordando che un sistema dotato di v > N = 3m gradi divincolo iperstatico, si conclude che un sistema iperstatico staticamente indeterminato.


7/29


Pagina 7/29




- Il numero v delle componenti di reazione vincolare incognite

inferiore al numero N = 3m di gradi di libert e quindi di equazioni(13.2) disponibili. In questo caso il sistema di equazioni lineari(13.2) costituito da N = 3m equazioni nelle v < N componenti direazione vincolare incognite. Questo sistema non ha, in generale,soluzione. Ricordando che un sistema dotato di v < N = 3m gradi divincolo labile, si conclude che per un sistema labile il problemadella determinazione delle reazioni vincolari nelle condizioni diequilibrio , in generale, impossibile.

Una pi dettagliata discussione del problema pu essereeffettuata sulla base del teorema di Rouch-Capelli.


8/29


Pagina 8/29




LEZIONE 13 Sessione di studio 1

Determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei LavoriVirtuali.

Nella lezione descritto il bilancio tra numero di reazioni vincolariincognite e numero di equazioni indipendenti che possono essereottenute applicando il Principio dei Lavori Virtuali per ladeterminazione delle reazioni vincolari incognite. In questa sessioneviene mostrato quanto descritto nella lezione attraverso un sempliceesempio.

Si consideri la struttura isostaticadifigura 13.4a.

Figura 13.4.

Volendo determinare la componente verticale yC della reazione CR dellappoggio C necessario consentire al punto C uno spostamentotale da far compiere lavoro alla componente di reazione yCincognita equindi sostituire lappoggio C con un carrello disposto in modo daimpedire la componente orizzontale e consentire quella verticale dellospostamento di C. In questo modo stato rimosso il vincolo diimpedimento dello spostamento verticale del punto C, che vienesostituito dalla relativa componente di reazione vincolare incognita yC(figura 13.4b). La reazione incognita yCcompir lavoro relativamente

allo spostamento verticale di C e quindi comparir nella condizione diequilibrio espressa mediante il Principio dei Lavori Virtuali. La strutturacos ottenuta ha un grado di libert ( una volta labile), pertanto unasua configurazione spostata identificata da un solo parametro dispostamento in funzione del quale sono determinabili gli spostamentidi tutti i suoi punti. Si considera come parametro di spostamentoindipendente la rotazione 1 dellelemento 1; si fa compiereallelemento 1 la rotazione 1, arbitraria purch piccola. Possonoallora essere tracciati i diagrammi degli spostamenti (che sono piccolispostamenti) orizzontali e verticali applicando i criteri esposti nellalezione 8. Osservando che A C1 il centro di rotazione assoluto

dellelemento 1, che B C12 il centro di rotazione relativo tra glielementi 1 e 2, che il centro di rotazione assoluto C2dellelemento 2deve giacere sulla retta r, orizzontale per C e ricordando le propriet di

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)F1

F2

A

B

E

CD

(b)

yC

12

12


9/29


Pagina 9/29




allineamento dei centri di rotazione, si ottengono i diagrammi difigura

13.5.

Figura 13.5.

Si determinano preliminarmente con considerazioni geometriche la

distanza a indicata infigura 13.5

L8

3a = (13.7)

e la rotazione 2 dellelemento 2 in funzione del parametro dispostamento assunto

= aL4

3L

4

321 da cui 12 2= (13.8)

Considerando i diagrammi difigura 13.5 immediato valutare il lavoro

compiuto dalle forze relativamente agli spostamenti virtuali dei loropunti di applicazione.La forza 1F compie il lavoro

( )

LF4

5LF

8

5L

8

3LF

aLFvFEFL

112121

21E111F

==

=

==== (13.9)

essendo E lo spostamento virtuale del punto E nel passaggio dellastruttura dalla configurazione iniziale C0alla configurazione spostataC1 identificata da 1 (figura 13.6). Le componenti uE e vE dello

spostamento E si leggono sui diagrammi degli spostamenti difigura13.5. Nel presente caso il lavoro compiuto da 1F relativamente allacomponente orizzontale uEdello spostamento di E nullo essendo la

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

E

C

D

yC

x

v(x)

u(y)

xC1

12

A C1

B C12

C2

r

xC2 xC12

yC1

yC2

yC12

vE

vC

1

2

uD

1

2

a

uE

y


10/29


Pagina 10/29




forza ortogonale a questa componente di spostamento, mentre il

lavoro compiuto da 1F relativamente alla componente verticale vEdello spostamento di E positivo avendo la forza e la componente dispostamento la stesso verso.la forza 2F compie il lavoro

2

LFuFDFL 12D222F === (13.10)

essendo D lo spostamento virtuale del punto D nel passaggio dellastruttura dalla configurazione iniziale C0alla configurazione spostataC1 identificata da 1 (figura 13.6) ed essendo uD la componenteorizzontale di D , che si legge sul diagramma degli spostamentiorizzontali difigura 13.5.Infine, la forza

Cy compie il lavoro

( )

Ly4

13Ly

8

13

aL2yvyCyL

1c2c

2cCCCyC

==

====

(13.11)

essendo C lo spostamento virtuale del punto C nel passaggio dellastruttura dalla configurazione iniziale C0alla configurazione spostataC1 identificata da 1 (figura 13.6) ed essendo vC la componenteverticale di C , che si legge sul diagramma degli spostamenti verticalidifigura 13.5.Gli spostamenti, ( )CC v,uC= , ( )DD v,uD= e ( )EE v,uE= dei punti C, Ded E relativamente al passaggio della struttura dalla configurazioneiniziale C0a quella spostata C1sono rappresentati infigura 13.6.

Figura 13.6.

Le componenti orizzontali uE, uDe uCe verticali uE, uDe uCdi questispostamenti sono rappresentate in figura 13.6 si leggono suidiagrammi difigura 13.5.Il sistema in equilibrio quando yCha il valore che rende nullo il lavorovirtuale delle forze applicate; la condizione (13.2) per il presente caso:

0Ly4

13

2

LFLF

4

5LLLL 1c1211yC2F1F =+=++= (13.12)

F1

F2

A

B

E

C

D

yC1

2E

E

uEvED

DuD

vDC

C=vC

C1

C0


11/29


Pagina 11/29




dividendo ambo i membri per 1(che piccolo ma non nullo) e per L

si ottiene lequazione

0y4

13

2

1FF

4

5c21 =+ (13.13)

e quindi

13

F2F5y 21c

+= (13.14)

Si ribadisce che se il modulo diCy ha il valore dato dalla (13.14) il

lavoro virtuale nullo per ogni configurazione spostata a partire dalla

configurazione inizialeC

0. Questo in quanto il sistema ha un sologrado di libert e quindi ogni sua configurazione spostata identificatada un solo parametro. Avendo assunto 1 come parametro dispostamento per identificare le posizioni spostate del sistema, duediverse configurazioni spostate possono al pi differire per il valore di1 (che comunque deve essere assunto piccolo) e quindi sonocaratterizzate da una diversa entit degli spostamenti ma dalla stessaforma. Daltra parte, ripetendo immaginando di ripetere ilragionamento con un altro valore di 1si otterrebbe ancora la(13.14)in quanto questa risulta indipendente da 1 (sempre purch assuntopiccolo).

In modo analogo pu determinarsi la componente orizzontalexC della reazione CR . In questo caso necessario sostituire lacerniera C con un carrello disposto in modo da impedire lacomponente verticale e consentire quella orizzontale dellospostamento di C in modo che xCpossa compiere lavoro per questospostamento. Si rimuove quindi il vincolo di impedimento dellospostamento orizzontale del punto C che viene sostituito dallacomponente di reazione vincolare incognita xC, la quale compirlavoro per lo spostamento orizzontale di C (figura 13.7b).

Figura 13.7.

La struttura cos ottenuta ha un grado di libert ( una volta labile),pertanto una sua configurazione spostata identificata da un soloparametro di spostamento in funzione del quale sono determinabili gli

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a) F1

F2

A

B

E

CD

(b)

xC

12

12


12/29


Pagina 12/29




spostamenti di tutti i suoi punti. Si considera come parametro di

spostamento indipendente la rotazione 1 dellelemento 1 e conconsiderazioni analoghe a quanto appena visto si ottengono idiagrammi degli spostamenti tracciati infigura 13.8.Si determinano preliminarmente con considerazioni geometriche larotazione 2dellelemento 2

L4

5L

4

321 = da cui 12

5

3= (13.15)

e la distanza b indicata infigura 13.8

bL21

= da cui L3

5b = (13.16)

Considerando i diagrammi di figura 12.8 si valuta il lavoro compiutodalle forze relativamente agli spostamenti virtuali dei loro punti diapplicazione.

Figura 13.8.

La forza 1F compie il lavoro

LF5

3

LFvFEFL 1121E111F ==== (13.17)

la forza 2F compie il lavoro

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

E

CD xC

y

v(x)

u(y)

xC1

1 2

A C1

B C12

C2

r

xC2xC12

yC1

yC2

yC12

1 2vE

1

uCuD

2b

x


13/29


Pagina 13/29




2

LFuFDFL 12D222F === (13.18)

e la forza Cx compie il lavoro

Lx10

13Lx

6

13

b2

LxuxxL

1c2c

2cCCCCxC

==

=

+===

(13.19)

essendo E , D e C gli spostamenti virtuali dei punti E, D e Crelativamente al passaggio della struttura dalla configurazione iniziale

C0a quella spostata C1(figura 13.9).

Figura 13.9.

Le componenti orizzontali e verticali di questi spostamenti si leggonosui diagrammi di figura 12.8.Il sistema in equilibrio quando xCha il valore che rende nullo il lavorovirtuale delle forze applicate; la condizione (13.2) per il presente caso:

0Lx10

13

2

LFLF

5

3LLLL 1c1211xC2F1F =+=++= (13.20)

dividendo ambo i membri per 1e per L si ottiene lequazione

0x10

13F

2

1F

5

3c21 =+ (13.21)

e quindi

13

F5F6x 21c

+= (13.22)

Le componenti di reazione xC ed yC avrebbero potuto esseredeterminate anche rimuovendo il vincolo C e sostituendolo conentrambe le componenti della sua reazione vincolare (figura 13.10). In

questo modo sono consentite sia la componente orizzontale che lacomponente verticale dello spostamento di C ed entrambe le

F1

F2

A

B

E

CD

xC1

2E

E

uE

vE

D

D

uDvD

C

C=uC

C1

C0


14/29


Pagina 14/29




componenti xCed yCdella reazione compiono lavoro relativamente a

queste componenti di spostamento.

Figura 13.10.Si ottiene un sistema due volte labile, cio avente due gradi di libert,la cui generica configurazione spostata identificata da due parametridi spostamento indipendenti. Si considerano come parametri dispostamento indipendenti le rotazioni 1 dellelemento 1 e 2dellelemento 2. Scelte arbitrariamente le due rotazioni piccole 1e 2si ottengono i diagrammi degli spostamenti difigura 13.11.

Figura 13.11.

I diagrammi degli spostamenti difigura 13.11 possono essere tracciatiseguendo uno dei procedimenti alternativi: a) si scegliearbitrariamente la rotazione 1 dellelemento 1 e si tracciano iconseguenti diagrammi relativi a detto elemento; successivamente apartire dalle ordinate che rappresentano gli spostamenti del punto B(centro di rotazione relativa) si tracciano i diagrammi degli spostamentidellelemento 2, che sono rette aventi linclinazione 2 arbitrariarispetto agli assi di riferimento x ed y; b) si sceglie arbitrariamente larotazione 1 dellelemento 1 e si tracciano i conseguenti diagrammi

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

E

CD

xCv(x)

u(y)

xC1

1 2

AC1

B C12

C2

xC12

yC1

1

uC

yC

vE

2

xC2 x

vC

yC12

1

2uD

vB

uB

y

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)

F1

F2

A

B

E

CD

(b)

xC

12

12

yC


15/29


Pagina 15/29




relativi a detto elemento; restano cos identificate le ordinate dei

diagrammi che rappresentano le componenti di spostamento di Brelativamente allelemento 1. Successivamente si scegliearbitrariamente un centro di rotazione C2per lelemento 2 sulla rettacontenente AB (i centri di rotazione devono essere allineati); idiagrammi degli spostamenti dellelemento 2 si ottengono unendo consegmenti le ordinate che rappresentano lo spostamento di B con leproiezioni del centro C2sugli assi di riferimento.Si osserva che in entrambi i casi la forma di questi diagrammi dipendeda due parametri arbitrariamente scelti; nel primo caso dalle rotazioni1 e 2; nel secondo caso dala rotazione 1 e dala posizione di C2sulla retta contenente AB.Si rimarca che i sistemi delle figura 13.5 e 13.8 hanno un grado dilibert; infatti in questi casi la rotazione 2 stata determinata infunzione di 1 che il solo parametro ad essere sceltoarbitrariamente. Il sistema difigura 13.11 invece ha due gradi di liberte le rotazioni e 1 e 2 sono indipendenti e possono essere scelteentrambe arbitrariamente.Considerando i diagrammi di figura 13.11 immediato valutare illavoro compiuto dalle forze relativamente agli spostamenti virtuali deiloro punti di applicazione.La forza 1F compie il lavoro

+=== L

4

1L

4

3FvFEFL 211E111F (13.23)


2

LFuFDFL 12D222F === (13.24)

la forza Cx compie il lavoro

=== L

2

1LxuxCxL 21cCCCxC (13.25)

e la forzaCy compie il lavoro

+=== L4

5L

4

3yvyCyL 21cCCCyC (13.26)

essendo E , D e C gli spostamenti virtuali dei punti E, D e Crelativamente al passaggio della struttura dalla configurazione inizialeC0a quella spostata C1(figura 13.12).Le componenti orizzontali e verticali di questi spostamenti si leggonosui diagrammi difigura 13.11.

Il sistema in equilibrio per i valori di xC ed yCche rendono nullo illavoro virtuale delle forze applicate per ogni configurazione spostata,cio per ogni coppia di valori di 1, 2.


16/29


Pagina 16/29




Figura 13.12.

La condizione (13.2) per il presente caso

0L4

5L

4

3yL

2

1Lx

2

LFL

4

1L

4

3F

LLLLL

21c21c

12211

yCxC2F1F

=

+

++

+=

=+++=

(13.27)

dividendo ambo i membri per L/4 e riordinando si ottiene lequazione

( ) ( ) ( ) 053y2x2F23F 21c21c12211 =+++ (13.28)

che deve essere soddisfatta per ogni coppia di rotazioni 1, 2. Inparticolare la (13.28) deve essere soddisfatta per gli spostamentirelativi alla configurazione spostata identificata da 10 e 2= 0; inquesto caso la (12.28) diventa

0y3x4F2F3 1c1c1211 =+ (13.29)

Daltra parte la (12.28) deve essere soddisfatta anche per glispostamenti relativi alla configurazione spostata identificata da 1= 0e 20; in questo caso la (12.28) diventa

0y5x2F 2c2c21 =+ (13.30)

Dovendo la (13.2), e quindi la (13.28), essere soddisfatta per ognispostamento virtuale, deve in particolare essere soddisfatta per leconfigurazioni spostate definite da 10 e 2= 0 e da 1= 0 e 20.Dovendo dunque la(13.29) e la(13.30) essere contemporaneamentesoddisfatte, dividendo la prima per 1e la seconda per 2si ottiene ilsistema

=+=+

0y5x2F

0y3x4F2F3

cc1

cc21 (13.31)

cio

=

+=+1cc

21cc

Fy5x2F2F3y3x4

(13.32)

F1

F2

A

B

E

CD

xC1

2

E

E

uE

vE

D

CD

uDvD

yC

C

uC

vC

1

2C1

C0


17/29


Pagina 17/29




risolvendo il quale si trova

13

F5F6x 21c

+= 13

F2F5y 21c

+= (13.33)

Si osserva che la scelta tra le infinite configurazioni spostate chepossono identificarsi assegnando arbitrariamente 1 e 2 di quellacaratterizzata da 10 e 2= 0 e di quella caratterizzata da 1= 0 e20 del tutto arbitraria ed assolutamente ininfluente sul risultatofinale. Infatti qualunque altra configurazione spostata pu pensarsicome prodotta da una rotazione 1non nulla con 2= 0 seguita dauna rotazione 2non nulla che avviene mantenendo fissa 1. In altreparole gli spostamenti dei punti relativamente a qualunque altraconfigurazione spostata possono ottenersi come combinazione linearedi quelli delle due configurazioni spostate considerate.Conseguentemente le equazioni tipo (13.34) che si otterrebberoconsiderando altre due configurazioni spostate sarebberocombinazione lineare delle (13.35) trovate.

Si consideri ora la struttura iperstaticadifigura 13.13a.

Figura 13.13.

Volendo determinare la componente verticale yC della reazione CR dellappoggio C e pensando di procedere come appena descritto

necessario sostituire il vincolo con un carrello disposto in modo daimpedire la componente orizzontale e consentire quella verticale dellospostamento di C ed evidenziare la componente di reazione yC(figura13.13b). La struttura cos ottenuta non ha un gradi di libert (isostatica), pertanto non pu assumere configurazioni spostate ed ipunti di applicazione delle forze non possono avere spostamentivirtuali. Si pu allora pensare di rendere labile la strutturadiminuendone ancora il grado di vincolo. Ad esempio lincastro A puessere sostituito da una cerniera (in modo da consentire la rotazionedellelemento 1) e dalla relativa reazione vincolare, cio da una coppiadi momento zA incognito. Si ottiene cos il sistema una volta labile difigura 13.14b.

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)

F1

F2

A

B

E

CD

(b)

yC

12

12


18/29


Pagina 18/29




Figura 13.14.

Per questo sistema si considera come parametro di spostamento

indipendente la rotazione 1 dellelemento 1. Possono essere alloratracciati i diagrammi degli spostamenti orizzontali e verticali figura13.15.Determinate la distanza

L8

3a = (13.36)

e la rotazione 2dellelemento 2

= aL4

3L

4

321 da cui 12 2= (13.37)

pu essere valutato il lavoro compiuto dalle forze relativamente agli

spostamenti virtuali dei loro punti di applicazione.

Figura 13.15.

La forza 1F compie il lavoro

( )

LF4

5LF

8

5L

8

3LF

aLFvFEFL

112121

21E111F

==

=

====

(13.38)

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

E

C

D

yC

x

y

v(x)

u(y)

xC1

12

A C1

B C12

C2

r

xC2 xC12

yC1

yC2

yC12

vE

vC

1

2

uD

1

2

a

zA

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)

F1

F2

A

B

E

CD

(b)

yC

12

12

zA


19/29


Pagina 19/29





2

LFuFDFL 12D222F === (13.39)

la forzaCy compie il lavoro

( )

Ly4

13Ly

8

13

aL2yvyCyL

1c2c

2cCCCyC

==

====

(13.40)

e la coppia di momento zAcompie il lavoro

1AzA zL =

(13.41)essendo E , D e C gli spostamenti virtuali dei punti E, D e Crelativamente al passaggio della struttura dalla configurazione inizialeC0a quella spostata C1(figura 13.16).

Figura 13.16.

Naturalmente le componenti orizzontali e verticali di questispostamenti si leggono sui diagrammi difigura 13.15.Il sistema in equilibrio quando yC e zA hanno i valori che rendononullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione (13.2) per ilpresente caso :

0zLy4

13

2

LFLF

4

5LLLLL

1A1c1211

zAyC2F1F

=+=

=+++= (13.42)

dividendo ambo i membri per 1si ottiene lequazione

0zLy4

13LF

2

1LF

4

5Ac21 =+ (13.43)

Si osserva che essendo la struttura di figura 13.14b ad un grado dilibert la (13.40) rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per ognispostamento virtuale in quanto tutte le configurazioni spostate del

sistema possono essere identificate dal solo parametro 1: dueconfigurazioni spostate possono al pi differire per il valore di 1chele identifica, restando caratterizzate dalla stessa forma. Immaginando

F1

F2

A

B

E

C

D

yC1

2E

E

uEvED

DuD

vD

CC=vC

C0

C1


20/29


Pagina 20/29




di considerare una configurazione spostata caratterizzata da un

diverso valore di 1 si otterrebbero ancora le (13.40) e (13.41). Sivede quindi come la (13.41), essendo una sola equazione nonconsenta la determinazione univoca delle incognite yCe zA; la(13.41)ha infinite soluzioni nel senso che per ogni valore di una delleincognite pu determinarsi laltra. Questo significa che esistono infinitivalori di yCe zAche soddisfano la condizione di equilibrio del sistema.Come osservato relativamente allapplicazione delle EquazioniCardinali della Statica, per la determinazione univoca delle reazionivincolari nel caso delle strutture iperstatiche necessario introdurreulteriori equazioni che coinvolgono le deformazioni della struttura. Sianticipa che queste ulteriori equazioni, dette di congruenza,consentono di scegliere quella giusta tra tutte le soluzioni equilibraterappresentate per il presente caso dalla (13.41). Queste ulterioriequazioni dipendono dalle ipotesi adottate sul comportamentomeccanico dei materiali di cui le aste sono costituite.

Si consideri infine la struttura una volta labile di figura 13.17a,la quale, senza rimozione di vincoli, suscettibile di configurazionispostate tipo quella difigura 13.17b.

Figura 13.17.

A queste configurazioni spostate corrispondono i diagrammi di

spostamento difigura 13.18,tracciati con i criteri esposti nella lezione8.Si considera come parametro di spostamento indipendente larotazione 1. Determinate la rotazione 2dellelemento 2

L4

5L

4

321 = da cui 12

5

3= (13.44)

e la distanza b indicata infigura 13.18

bL 21 = da cui L3

5b = (13.45)

si pu valutare il lavoro compiuto dalle forze relativamente aglispostamenti virtuali dei loro punti di applicazione.

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

1 2

F1

F2

A

B

E

CD

1

2E

E

uE

vE

D

D

uDvD

(b)C0

C1


21/29


Pagina 21/29




Figura 13.18.

La forza 1F compie il lavoro:

LF5

3LFvFEFL 1121E111F ==== (13.46)

e la forza 2F compie il lavoro;

2

LFuFDFL 12D222F === (13.47)

essendo E e D gli spostamenti virtuali dei punti E e Drelativamente al passaggio della struttura dalla configurazione inizialeC0a quella spostata C1(figura 13.17b).Il sistema in equilibrio quando soddisfatta la condizione (13.2) ecio, per il presente caso:

02

LFLF

5

3LLL 12112F1F =+=+= (13.48)


0F2

1F

5

321 =+ (13.49)

e quindi

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

E

CD

y

v(x)

u(y)

xC1

1 2

A C1

B C12

C2

r

xC2xC12

yC1

yC2

yC12

1 2vE

1

uCuD

2b

x


22/29


Pagina 22/29




12 F5

6F = (13.50)

Si pu concludere che, assegnate arbitrariamente due forze 1F ed 2F il sistema di figura 13.17a non in equilibrio, quali che siano lereazioni dei vincoli. Cio lequilibrio del sistema , in generale,impossibile. Il sistema in equilibrio solo per particolari valori deimoduli delle forze 1F ed 2F soddisfacenti la(13.48).


23/29


Pagina 23/29






Sono proposte nel seguito alcune osservazioni in merito a quantoesposto nella lezione e nella prima sessione di studio.

Osservazione 1

Nella discussione presentata nella lezione si fatto riferimentoalla determinazione delle reazioni vincolari senza specificare sequeste fossero reazioni di vincoli esterni o di vincoli interni. Gli esempi

presentati sessione 1 si riferiscono alla determinazione di vincoliesterni. Sotto le condizioni discusse, il Principio dei Lavori Virtualinella forma (13.2) pu evidentemente essere utilizzato per ladeterminazione delle reazioni dei vincoli interni. Volendo ad esempiodeterminare la componente orizzontale della reazione della cerniera Bdella struttura isostatica di figura 13.19a si pu sostituire la cernieracon un pendolo interno disposto in modo da consentire glispostamenti relativi orizzontali ed impedire gli spostamenti relativiverticali (figura 13.19b) e con la componente di reazione vincolareincognita, la quale compie lavoro relativamente alle componentiorizzontali degli spostamenti degli estremi B delle aste 1 e 2, nel

seguito indicati per comodit B1e B2rispettivamente.

La struttura cos ottenuta ha un grado di libert ( una voltalabile) ed una sua configurazione spostata identificata da un soloparametro di spostamento in funzione del quale sono determinabili glispostamenti di tutti i suoi punti. Si considera come parametro dispostamento indipendente la rotazione 1 dellelemento 1 e si facompiere allelemento 1 la rotazione 1, arbitraria purch piccola.

Figura 13.19.

Possono essere allora tracciati i diagrammi degli spostamenti

orizzontali e verticali applicando i criteri esposti nella lezione 8.Osservando che A C1 il centro di rotazione assoluto dellelemento1, che C C2 il centro di rotazione assoluto dellelemento 2, che il

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)

F1

F2

A

B1

E

CD

(b)

12

12xB

xB

B2


24/29


Pagina 24/29




centro di rotazione relativo C12tra gli elementi 1 e 2 deve giacere sulla

retta r, verticale per B e ricordando le propriet di allineamento deicentri di rotazione, si identifica la posizione del centro di rotazionerelativo C12e si ottengono i diagrammi difigura 13.20.

Figura 13.20.

Si determina preliminarmente con considerazioni geometriche larotazione 2dellelemento 2

L4

5L

4

321

= da cui 125

3= (13.51)

Considerando i diagrammi difigura 13.20 si valuta il lavoro compiutodalle forze relativamente agli spostamenti virtuali dei loro punti diapplicazione.La forza 1F compie il lavoro

LF5

3LFvFEFL

1121E111F ==== (13.52)

la forza 2F

compie il lavoro

2

LFuFDFL

12D222F === (13.53)

la forza xBapplicata allelemento 1 (punto B1) compie il lavoro

LxuxBxL1B1BB1B1xB

=== (13.54)

e la forza xBapplicata allelemento 2 (punto B2) compie il lavoro

1B2B2BB2B2xB x

10

3

2

LxuxBxL ==== (13.55)

essendo E e D gli spostamenti virtuali dei punti E e D e 1B e 2B gli spostamenti del punto B pensato appartenente allelemento 1(punto B1) ed allelemento 2 (punto B2), relativamente al passaggio

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2 1

C12

r

yC1

yC2

yC12

uD

F1

F2

E

D

xy

v(x)

u(y)

2

A C1

B2

B1

C C2

xB

xB

xC1

xC2xC12

vE1 2

2

1

uB2 uB1


25/29


Pagina 25/29




della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1

(figura 13.21).

Figura 13.21.

Naturalmente le componenti orizzontali e verticali di questispostamenti si leggono sui diagrammi difigura 13.20.Il sistema in equilibrio se xB ha il valore che rende nullo il lavorovirtuale delle forze applicate; la condizione (13.2) per il presente caso:

0x10

3Lx

2

LFLF

5

3

LLLLL

1B1B1211

2xB1xB2F1F

=+=

=+++=

(13.56)


0x10

3xF

2

1F

5

3BB21

=+ (13.57)

e quindi

13

F5F6x

21

B

+= (13.58)

Osservazione 2

Le conclusioni della discussione presentata nella lezione,relativamente alla possibilit di determinare le reazioni vincolari peruna struttura isostatica, iperstatica o labile, sono le stesse gi ottenuteragionando sulla base delle Equazioni Cardinali della Statica (lezione10). Questo deriva dal fatto che, avendo considerato solo sistemicostituiti da elementi rigidi, nullo il lavoro compiuto dalle forze interneattive. Nel caso invece di sistemi deformabili questo lavoro non nulloe va considerato nel bilancio (13.2).

F1

F2

A

B

E

CD

12

E

D

E

uEvE

B1 B2uD

vDD

B1

uB1vB1

B2vB2=vB1

uB2

C1

C0


26/29


Pagina 26/29






Sono proposte nel seguito ulteriori osservazioni in merito a quantoesposto nella lezione e nella prima sessione di studio. Questeosservazioni sono analoghe a quelle discusse nella lezione 10 sullabase delle Equazioni Cardinali della Statica.

Osservazione 3

Secondo quanto appena esposto, le strutture isostatiche sono

staticamente determinate, quelle iperstatiche sono staticamenteindeterminate, mentre per quelle labili la soluzione in termini direazioni vincolari nelle condizioni di equilibrio , in generale,impossibile. Questo vero per la grandissima maggioranza dei casi diinteresse tecnico ma non pu essere affermato in generale. Si rilevainfatti che il giudizio sulla isostaticit, iperstaticit o labilit di unastruttura dipende esclusivamente dal bilancio tra i gradi di libert e lamolteplicit dei vincoli cui la struttura soggetta e non dalladisposizione dei carichi, mentre il giudizio sulla determinazione staticao meno, dipendendo dallesistenza di una soluzione unica di unsistema costituito dalla (13.2) scritta relativamente ad ogni possibile

configurazione spostata del sistema, dipende anche dalla disposizionedei carichi. quindi logico attendersi che questi giudizi non sianosempre perfettamente sovrapponibili. Ad esempio una strutturavincolata in modo da essere labile pu essere, per particolaridisposizioni di carico, staticamente determinata, come accade adesempio alla struttura labile di figura 13.17 quando le forze applicatesono tali da soddisfare la (13.48). Infatti, supponendo per questastruttura soddisfatta la (13.48) e volendo determinare la reazione yCsipu sostituire il carrello con la reazione stessa (figura 13.22b),ottenendosi il sistema due volte labile gi considerato nelle figura

13.11 e nella figura 13.12.

Figura 13.22.

L/2 L/4 L/4 L/2 L/2

L/2

L/2

F1

F2

A

B

E

CD

(a)F1

F2

A

B

E

CD

(b)

12

12

yC


27/29


Pagina 27/29




La condizione di annullamento del lavoro delle forze allora ancora

data dalla (13.27) nella quale deve porsi xC= 0, cio

0L4

5L

4

3y

2

LFL

4

1L

4

3F

LLLL

21c

12211

yC2F1F

=

+

++

+=

=++=

(13.59)

dividendo ambo i membri per L/4 e riordinando si ottiene lequazione

( ) ( ) 053yF23F 21c12211 =+++ (13.60)

che deve essere soddisfatta per ogni coppia di rotazioni 1, 2. Inparticolare, relativamente ad una configurazione spostata identificatada 10 e 2= 0 la(13.58) diventa

0y3F2F3 1c1211 =+ (13.61)

mentre relativamente ad una configurazione spostata identificata da1= 0 e 20 la(13.58) diventa

0y5F 2c21 = (13.62)

Dovendo la (13.2) e quindi la (13.58) essere soddisfatta per ogniconfigurazione spostata, deve in particolare essere soddisfatta per leconfigurazioni spostate definite da 10 e 2= 0 e da 1= 0 e 20.Dovendo dunque la(13.59) e la(13.60) essere contemporaneamentesoddisfatte, dividendo la prima per 1e la seconda per 2si ottiene ilsistema

=

=+

0y5F

0y3F2F3

c1

c21 (13.63)

Dalla seconda si ottiene la reazione vincolare

5Fy 1c = (13.64)

che sostituito nella prima fornisce la gi trovata condizione (12.56)

12 F5

6F = (13.65)

Solo per la particolare disposizione di forze che soddisfa la(13.63) quindi possibile determinare con la (13.62) la reazione vincolare

Cy

della struttura labile.

Osservazione 4I casi di sistemi soggetti a vincoli mal disposti (esempio 6.11)

possono essere facilmente riconosciuti attraverso il Principio dei


28/29


Pagina 28/29




Lavori Virtuali che in questi casi non consente la determinazione delle

reazioni vincolari. Infatti questi sistemi, pur essendo dotati dimolteplicit di vincolo pari al numero di gradi di libert, ammettonoconfigurazioni spostate senza la necessit di riduzione del grado divincolo. Lequazione (13.2) pu quindi essere impostata senzacoinvolgere le reazioni vincolari e, come per la struttura labile di figura13.17, consente solo la determinazione, se esiste, della particolaredisposizione di forze applicate sotto la quale il sistema in equilibrio,denunciando cos il fatto che lequilibrio non pu sussistere per unadisposizione di forze generica. Ad esempio, il sistema difigura 13.23apur essendo caratterizzato da v = N ammette la configurazionespostata di figura 13.23b, cui corrispondono i diagrammi deglispostamenti difigura 13.24.

Figura 13.23.

Figura 13.24.

Relativamente a questi spostamenti la condizione (13.2) :

0LFLF2

3

LF

vFuFuF

LLL

11y12x11x

D1yE2xD1x

2F1F

=+=

+==+=

(13.66)

D

Fx1

Fy1

L L L

L/2

L/2

L/4

L/4E

A C1

F2 Fy2

Fx2

12

F1

Fx1

Fx1

Fx2

Fy2

x

v(x)

y

xC1

xC2xC12

12

vD

u(y)yC1

1

yC12

yC12A C12

C C2

uE

uD

F1

D

F1

Fx1

Fx1

F2

L/2

L/2

L/4

L L L

L/4E

A

B

CF2 Fx2

Fx2

12

(a)

E

A

B

C

2

F1

1

(b)

C1

C0 F2


29/29




essendo nullo il lavoro della componente Fy2 in quanto nullo lo

spostamento verticale del punto E ed essendo la rotazionedellelemento 2

12 2= (13.67)

Dividendo per 1e per L la condizione di equilibrio si riscrive

0FF2

3F 1y2x1x =+ (13.68)

e quindi

2x1y1x F

2

3FF =+

(13.69)che la condizione determinata nella lezione 10 mediante leEquazioni Cardinali della Statica. La struttura in equilibrio quando leforze applicate soddisfano la (13.67). Altrimenti la condizione diequilibrio non pu essere soddisfatta quali che siano le reazionivincolari.

Osservazione 5

Le equazioni (13.2) sono lineari rispetto alle forze applicate, edin particolare rispetto alle reazioni vincolari incognite. Ricordando lenozioni di Algebra Lineare, possono ripetersi esattamente leaffermazioni viste nella lezione 10 relativamente alla possibilit disovrapposizione degli effetti.

Documents

13_Determinazione Delle Reazioni Vincolari Con Il Principio Dei Lavori Virtuali