§1.4 晶体结构的对称性 平移操作 ______ 周期平移 T， 分数周期平移 T/n晶体操作 点操作（至少一点不动） _____ 旋转、反演、镜象等

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一 . 基本点对称操作1. 旋转操作：将晶体绕某轴旋转一定角度 后，晶体能自身重合的操作。 若转动的角度 θ ＝ 2π/n , 则称该轴为 n度旋转轴。 由于晶体周期性的制约，晶体只有 1 ， 2 ，

3 ， 4 ， 6 五种转轴，常用 C1 ， C2 ， C3 ，C4 ， C6 表示。请看动画《对称操作》 说明：传统的讲法认为，晶体不存在五重轴。

2. 中心反演对称性 ( 用 i 表示 ) 以晶体中一点 O 为中心。将晶体中的位矢 r 变为－ r 以后，晶体完全重合的操作。 O 点称为反演中心。

请看动画 GT009b

3. 镜象操作－－－用 σ 表示 在晶体中选一平面，以这平面为镜面进行镜象操作，若操作后晶体能自身重合，则说该晶体具有镜象操作对称性。 若镜面是与 X 轴垂直的 Y － Z 面，镜象操作相当于坐标变换： x -x, y,z 不变。

请看动画《 GT009》

4. 旋转－反演操作（象转操作） 若绕某轴旋转 θ ＝ 2π/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转－反演操作，此轴称为 n 度旋转－反演轴。 n=1,2,3,4,6. 分别用 C1 ， C2 ， C3 ，C4 ， C6 表示。 可以证明， C1 i

C2 σ 镜面垂直于转轴

C3 C3 i ( 表示联合操作） 类似， C6 C3 σ （ σ 与 C3 轴垂直） 以上要求左、右互为充要条件，且C3 ,C6 与 C3 为同一转轴。 注意： 与 C4,i并不互为充要条件。请看动画 GT021a和 GT021b。

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可选以下操作为晶体结构基本点对称操作C1 ， C2 ， C3 ， C4 ， C6 ， i,σ, C4共八个

把晶体按照点对称性进行分类，可分成32 类 , 称为 32 种点群，

把 B 格子按照点对称性进行分类，可分成7 类，称为七种晶系。 45

二 . 分数周期平移 T/n平移： a. 周期平移 T ，晶体自身重合； b. 分数周期平移 T/n ，本身并不能使晶体 自身重合，而与转动或镜象操作结合后 才能使晶体重合，即二者结合构成一个 操作。1.n 度螺旋轴 U ：绕轴旋转 2π/n ，再沿该轴平移 L×T/n ，其中 T 为轴方向的周期， n=1,2,3,4,6 ， L 为小于 n 的整数。

2. 滑移反映面 先经过某面进行镜象操作，再沿平行于该面的某个方向平移 T/2 后，晶体自身重合，则称该面为滑移反映面。（见图）

考虑了平移操作后，晶体共有 230 种对称类型，称为 230 种空间群B 格子共有 14 种对称类型，称为 14 种 B格子。

四 . 七种晶系和十四种布拉菲格子晶体结构

• 点群数 32

• 空间群 230

布拉菲格子• 7

（七种晶系）• 14 （十四种 B 格

子）

讨论： 超出空间群的结构 1. Penrose 拼砌图和准晶

在急冷的 Al-Mn 合金中获得了具有二十面体对称性 ( 包括五重对称轴 ) 、斑点明锐的电子衍射图。可认为，这是三维准周期结构，简称准晶 (quasicrystal) 。

2 ．色群和磁结构 如果我们将太极图沿垂直于图面的轴旋转 180’，再引入一个新的对称操作：黑白颠倒，图形就可以复原。

黑白群也可以看作三维空间群朝四维的推广，而第四个维度限于两种值：黑与白，正与反。当然可以推广到多种颜色。还可以是波函数的相位、自旋、电荷符号等。这类广义的对称群被称为色群。磁结构是由磁性材料的晶体结构加上磁性原子的磁矩构成的。磁对称群是一种色群，第四个变量为磁性原子的自旋。在一般的对称操作基础上，加上使磁矩反转的操作，可把 230 种空间群增加到能描述铁磁和反铁磁性晶体对称性的 1651 个对称群，这还不包括螺旋磁结构。

3 ．无公度调制结构

无公度调制是指在基本晶格 ( 周期为 a) 上附加一个周期为 的某种调制，／ a 为无理数，就得到无公度调制，得到的相为无公度相 。 在无公度相中，调制只对基本晶格产生另一周期的微扰，基本晶格的衍射图样仍然保留，但在正常衍射斑点之间偏离有理分数处出现卫星斑点。 无公度相严格来讲也是一种准周期结构 。

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