(168~183)수학1교과서-OK 2009.5.25 2:51 PM 페이지170 mac01 T …viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%EA%B5%90%EA%B3%BC%EC%84%9C%E… · 2012. 5. 23. · 170 Ⅳ. 수열의극한 2 무한급수

170 Ⅳ. 수열의극한

2

무한급수 1학습목표

•무한급수의뜻, 부분합, 수렴및발산의뜻을이해한다.

•주어진무한급수의수렴또는발산을판별할수있다.

•무한급수의성질을이해한다.

무한급수

수족관의물속에는 무기 물질이 골고루 퍼져 있다. 그런데 수족관의

물은 자연 증발하므로 일정량의 물을 빼고 다시 보충하여도 무기

물질의 양은 증가한다. 이때, 무한급수의 개념을 적용하면 수족관에 농

축되는무기물질의양을계산할수있다.

인체에잔류하는약의성분, 호수에흘러드는유해물질의양도무한급

수를이용하여구할수있다.

다 가 서 기 / 수족관에 농축되는 무기 물질

와~ 멋지다!

우리다음주에또오자!

어? 다음주는쉰다는대?

미안해요.다음주는수족관의물을모두갈아줘야해요.

평소에는그렇게한단다. 그런데

조금씩만바꿔주면안되나요?

조금씩만계속바꾸면수족관에쌓이는무기물질이무한급수를이루어기준을

넘게된단다. 우엥? 무한급수?수족관에도수학이들어있었네!

(168~183)수학1교과서-OK 2009.5.25 2:51 PM 페이지170 mac01 T

2. 무한급수 171

알 아 보 기 / 무한급수의뜻과부분합을알아보자.

무한수열 {a«}의각항을차례로덧셈기호+로연결한식a¡+a™+a£+y+a«+y

을 무한급수라고 한다. 이때, a«을 이 무한급수의 제n항이라 하고, 이무한급수를기호¡를사용하여기호로

;;NN''++!!a«

과같이나타낸다.

무한급수 ;N'+!a«에서첫째항부터제n항까지의합

S«=a¡+a™+a£+y+a«=;;Kn+!a˚

를무한급수의제n항까지의 부분합이라고한다. 이때, 무한급수를부분합 S«의극한을이용하여기호로

limn ⁄⁄¶

S«

과같이나타낸다.

무한급수 ;N'+!a«의부분합으로이루어진수열 {S«}이다음과같이일정한

수 S에수렴할때, 이무한급수는 S에수렴한다고한다.

limn ⁄¶

S«=limn⁄¶

;;Kn+!a˚=S

이때, S를이무한급수의 합이라하고, 이것을기호로

a¡+a™+a£+y+a«+y=S 또는 ;N'+!a«=S

와같이나타낸다.

한편무한급수 ;N'+!a«의부분합으로이루어진수열 {S«}이발산할때, 이

무한급수는발산한다고한다. 이경우에그합은생각하지않는다.

탐 구 하 기 / 수열의합

무한급수의뜻과수렴, 발산01

다음수열의첫째항부터제n항까지의합을구하여보자.

1. 1, 3, 5, y, (2n-1), y

2. , , , y, , y111111342n¥2(n+1)11236¥8

11234¥611232¥4

무한급수를영어로 infinite

series라고한다.

부분합을영어로 partial

sum이라고한다.

기호 ;N'+!a«은무한급수를나

타내기도 하고, 무한급수의

합을나타내기도한다.

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:14 AM 페이지171 mac02 T


1

함 께 하 기 /

다음무한급수의수렴또는발산을조사하고, 수렴하면그합 S를구하

여라.

(1) ;N'+! = + + +y+ +y

(2) ;N'+!('ƒn+1-'ßn)=('2-'1)+('3-'2)+y

+('ƒn+1-'ßn)+y

11115534n(n+1)11233¥4

11232¥311231¥2

11115534n(n+1)

= -1112

n+111n

111123n(n+1)

｜풀이｜

(1) 제n항까지의부분합을 S«이라고하면

S«= + + +y+

(1) S«={;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;n!;- }

S«=1-

∴ S=limn⁄¶

S«=limn⁄¶

{1- }=1

따라서주어진무한급수는수수렴렴하고, 그합 S=1이다.

(2) 제n항까지의부분합을 S«이라고하면

S«=('2-'1)+('3-'2)+y+('ƒn+1-'ßn)

S«='ƒn+1-1

∴ S=limn⁄¶

S«=limn⁄¶

('ƒn+1-1)=¶

따라서주어진무한급수는발발산산한다.

1112n+1

1112n+1

1112n+1

11115534n(n+1)

115523¥4

115522¥3

115521¥2

익힘책 144쪽 익힘책 145쪽 익힘책 146쪽

다음 무한급수의 수렴 또는 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하

여라.

(1) ;N'+! (2) ;N'+!{ - }

(3) ;N'+! log (4) ;N'+! 1112111115'2ƒn+1+'2ƒn-1

n112n+1

n+11124n+2n1124n+1

11115525n(n+2)

스 스 로 하 기 /

1


(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지172 mac02 T

2. 무한급수 173

다음무한급수가발산함을보여라.

(1) ;N'+!(-2)« (2) ;N'+!(2n-3) (3) ;N'+! n-111232n+3


1


알 아 보 기 / 무한급수의수렴과일반항의극한값사이의관계를알아보자.

무한급수 ;N'+!a«이 S에수렴할때, 제n항까지의부분합을 S«이라고하

면 limn⁄¶

S«=S이고 limn ⁄¶

S«–¡=S이다.

그런데 a«=S«-S«–¡ (næ2)이므로수열 {a«}의극한은다음과같다.

limn⁄¶

a«=limn⁄¶

(S«-S«–¡)=limn⁄¶

S«-limn⁄¶

S«–¡=S-S=0

일반적으로다음이성립한다.

위의 [1]의역은성립하지않는다. 즉, limn⁄¶

a«=0이어도무한급수 ;N'+!a«

이발산하는경우가있다. 예를들어 a«='ƒn+1-'ßn이라고하면

limn⁄¶

a«=limn⁄¶

('ƒn+1-'ßn)=limn⁄¶

=0

그러나 무한급수 ;N'+!a«= ;N'+!('ƒn+1-'ßn)=limn ⁄¶

('ƒn+1-1)=¶

이므로이무한급수는발산한다.

11115511'ƒn+1+'ßn

｜보기｜ 무한급수 ;N'+! =;5!;+;7@;+y+ +y에서

limn⁄¶

=;2!;+0이므로이무한급수는발산한다.n1112n+3

n112342n+3n1112n+3

무한급수의성질02

[1] 무한급수 ;N'+!a«이수렴하면 limn⁄¶

a«=0이다.

[2] limn ⁄¶

a«+0이면무한급수 ;N'+!a«은발산한다.

무한급수의수렴과발산

[2]는 [1]의대우이다.

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지173 mac02 T


알 아 보 기 / 무한급수의성질을알아보자.

두무한급수 ;N'+! , ;N'+! 의부분합을각각 S«, T«이라고하면

S«=1-{;2!;}n , T«=;2!;[1-{;3!;}n ]

이때, 두수열 {S«}, {T«}은각각 1, ;2!;로수렴한다. 즉,

;N'+! =1, ;N'+! = yy㉠·

한편무한급수 ;N'+!{ + }의부분합을U«이라고하면

limn⁄¶

U«=limn ⁄¶

(S«+T«)=limn⁄¶

S«+limn⁄¶

T«=1+;2!;=;2#;

∴ ;N'+!{ + }=;2#; yy㉡·

㉠, ㉡에의하여

;N'+!{ + }=;N'+! +;N'+!

일반적으로무한급수에대하여다음과같은성질이성립한다.

1133«1132«1133«1132«

1133«1132«

1133«1132«

1121133«1132«

1133«1132«

;N'+!a«=2이고 ;N'+!b«=3일때, 다음무한급수의합을구하여라.

(1) ;N'+!(a«+b«) (2) ;N'+!(2a«-b«)

(3) ;N'+!(3a«+4b«) (4) ;N'+!{ - }b«136a«133


2


무한급수 ;N'+!a«과 ;N'+!b«이수렴할때

(1) ;N'+!(a«+b«)=;N'+!a«+;N'+!b«

(2) ;N'+!(a«-b«)=;N'+!a«-;N'+!b«

(3) ;N'+!ka«=k ;N'+!a« (단, k는상수)

무한급수의성질

;N'+!a«b«+;N'+!a«;N'+!b«

;N'+! +;N'+!a«113;N'+!b«

a«15b«

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지174 mac02 T

2. 무한급수 175

2 학습목표

•무한등비급수의뜻을이해한다.

•무한등비급수의합을구할수있다.

•무한등비급수를활용하여여러가지문제를해결할수있다.

무한등비급수 2

무한급수

영원히지급되어야 할 장학 기금의 계산에 이 단원에서 배우는 무한

등비급수가활용된다.

또 상품에 덤으로 제공되는 경품 교환권 1장의 가치를 계산할 때에도

무한등비급수가유용하게쓰인다.

다 가 서 기 / 장학 기금 모으기

후배들을위하여장학기금을모으는게어떨까요?

많을수록좋지않을까요?

음……. 그러면장학금은언제까지지급해야하나요?

너무걱정마세요. 그정도는수학을잘배운우리후배들이

척척계산할거예요.

계산해야할것이그렇게많습니까?

좋습니다. 그런데어느정도를모아야할까요?

은행금리와물가상승에따른장학금의증가율도고려하고…….

10년정도? 아니, 모교가존재하는한영원히지급해야지요.



알 아 보 기 / 무한등비급수의수렴, 발산에대하여알아보자.

첫째항이 a(a+0)이고, 공비가 r인무한등비수열 {ar« —⁄ }에서얻은무

한급수

;N'+!ar « —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ +y yy㉠·

를첫째항이 a이고공비가 r인무한등비급수라고한다.

무한등비급수㉠의수렴또는발산을알아보자.

[1] |r|<1일때

[1] 무한등비급수㉠의제n항까지의합 S«은다음과같다.

[1] S«=a+ar+ar¤ +y+ar « —⁄ =

[1] 그런데 limn⁄¶

r « =0이므로

[1] limn⁄¶

S«=limn⁄¶

= limn⁄¶

(1-r« )=

[1] 따라서무한등비급수㉠은수렴하고, 그합은 이다.

[2] |r|æ1일때

[1] limn⁄¶

ar « —⁄ +0이므로무한등비급수㉠은발산한다.

a1141-ra1141-r

a(1-r« )11111-r

a(1-r« )11111-r

a1141-r

탐 구 하 기 / A0 용지나누기

무한등비급수의수렴, 발산01

오른쪽그림과같이A3, A4, A5, y등

의용지는A0용지를반으로나누고, 나누

어진 용지를 또다시 반으로 나누는 과정을

반복하여 만들어진다. A0 용지의 넓이를

1이라고할때, 다음물음에답하여보자.

1. A1, A2, A3, y의 넓이를 a¡, a™,

a£, y으로나타낼때, a«을구하여라.

2.부분합 S«=a¡+a™+a£+y+a«을 구

하여라.

3.부분합으로이루어진수열 {S«}의극한값을구하여라.

무한등비급수를영어로

infinite geometric series

라고한다.

841

1189

A0

A1

A2A3

A4A5

...

(단위: mm)

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지176 mac02 T

2. 무한급수 177

이상을정리하면다음과같다.

｜보기｜ (1) 무한등비급수 3-;2#;+;4#;-;8#;+;1£6;-y는 첫째항이 3이

(1) 고 공비가-;2!;이다. 이때, |-;2!;|<1이므로주어진무한

(1) 등비급수는수렴하고, 그합 S는

(1) S= = =2

(2) 무한등비급수 1+;2#;+;4(;+:™8¶:+;1*6!;+y은첫째항이 1이

(2) 고공비가 ;2#;이다.

(2) 이때, |;2#;|>1이므로주어진무한등비급수는발산한다.

311;2#;

3111552521-{-;2!;}

다음무한등비급수의수렴또는발산을조사하고, 수렴하면그합을구

하여라.

(1) ;N'+! (2) 2+;3$;+;9*;+;2!7^;+;8#1@;+y

(3) ;N'+! (4) 1-'3+3-3'3+9-9'3+y4«133«

1133«


1

다음무한등비급수가수렴하도록실수 x값의범위를정하여라.

(1) 1+x+x¤ +x‹ +x› +y

(2) 1-2x+4x¤ -8x‹ +16x› -y

2


무한등비급수 ;N'+!ar « —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar « —⁄ +y (a+0)은

[1] |r|<1일때, 수렴하고그합은 이다.

[2] |r|æ1일때, 발산한다.

a1141-r

무한등비급수의수렴, 발산

무한등비급수 ;N'+!ar« —⁄이수렴

HjK a=0 또는-1<r<1

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지177 mac02 T


1

함 께 하 기 /

다음무한급수의합을구하여라.

(1) ;N'+! (2) ;N'+!{;2!;} n sin ;2N;p2« +3«1114«

｜풀이｜

(1) ={;2!;} n+{;4#;} n이고, 두 무한등비급수 ;N'+!{;2!;} n과 ;N'+!{;4#;} n이

(1) 모두수렴하므로

(1) ;N'+! =;N'+![{;2!;} n+{;4#;}n ]=;N'+!{;2!;}n+;N'+!{;4#;}n

= + =1+3=4

(2) n이짝수일때, sin ;2N;p=0이므로

(2) ;N'+!{;2!;} n sin ;2N;p=;2!;sin ;2“;+{;2!;} 3 sin ;2#;p+{;2!;}5 sin ;2%;p+y

=;2!;- + -y= = ;5@;;2!;111512

11-{-15}

2¤

1152fi

1152‹

;4#;11151-;4#;

;2!;11151-;2!;

2« +3«11154«

2« +3«11244«


(1) ;N'+!{ + } (2) ;;;N'+!{ - }

(3) ;;;N'+! (4) ;N'+!{ - }5156«3152«

2« +3«11236«

1154«1153«

1155«1152«


3

다음무한등비급수의합을구하여라.

(1) ;N'+!{-;3!;}n sin ;2N;p (2) ;N'+! cosnp1152«

4

다음무한수열의극한값을구하여라.

'3, "ç3'3, "√3"ç3'3, "√3"√3"ç3'3 , y5



무한급수 ;N'+!a«, ;N'+!b«이

수렴하면

;N'+!(a«+b«)=;N'+!a«+;N'+!b«

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지178 mac02 T

2. 무한급수 179

무한등비급수의활용02

무한등비급수를이용하여다음순환소수를분수로나타내어라.

(1) 0.H8 (2) 0.H3H6

(3) 0.H12H3 (4) 1.3H2H1


1


1

함 께 하 기 /

무한등비급수를이용하여다음순환소수를분수로나타내어라.

(1) 0.H6 (2) 0.4H1H9

｜풀이｜

(1) 0.H6=0.6+0.06+0.006+0.0006+y

= + + + +y

이것은첫째항이 ;1§0;이고, 공비가 ;1¡0;인무한등비급수이므로

0.H6=

0.H6=;9^;=;3@;

(2) 0.4H1H9=0.4+0.019+0.00019+0.0000019+y

=0.4+ + + +y

이것은둘째항부터첫째항이 ;10!0(0;이고, 공비가 ;10!0;인무한등비급수

이므로

0.4H1H9=0.4+ =;1¢0;+;9¡9ª0;

0.4H1H9=;9$9!0%;= 8311223344198

;10!0(0;111231-;10!0;

1913410‡

1913410fi

1913410‹

;1§0;11151-;1¡0;

613410›

613410‹

613410¤

61310


무한등비급수를

활용하여순환소수를

분수로나타내어

봅시다.

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지179 mac02 T


삼각형의중점연결정리

삼각형 ABC의 두 변 AB,

AC의중점을각각 D, E라

고하면

DE”∥BC”, DE”=;2!;BC”

오른쪽그림과같이한변의길이가 1인정사

각형의각변의중점을차례로연결하여정사

각형을 만들고, 이 정사각형의 각 변의 중점

을연결하여또다른정사각형을만드는과정

을한없이반복한다고하자. 이때, 색칠한부

분의넓이의합을구하여라.


2


2

함 께 하 기 /

오른쪽 그림에서 삼각형 ABC는 한 변의

길이가 1인 정삼각형이고, 점 B¡은 선분

AB의 중점, 점 C¡은 선분 AC의 중점,

점 B™는 선분 AB¡의 중점, 점 C™는 선분

AC¡의 중점이라고 하자. 이와 같은 과정

을한없이반복할때,

BC”+C’B¡”+B’¡C¡”+C’¡B™”+B’™C™”+C’™B£”+y

의값을구하여라.

｜풀이｜

BC”, B’¡C¡”, B’™C™”, y는 삼각형의 중점연결정리에 의하여 첫째항이 1이

고, 공비가 ;2!;인무한등비수열을이룬다.

한편 C’B¡”= 이므로 C’B¡”, C’¡B™”, C’™B£”, y은삼각형의중점연결정리

에의하여첫째항이 이고, 공비가 ;2!;인무한등비수열을이룬다.

따라서구하는값은

BC”+C’B¡”+B’¡C¡”+C’¡B™”+B’™C™”+C’™B£”+y

=(BC”+B’¡C¡”+B’™C™”+y)+(C’B¡”+C’¡B™”+C’™B£”+y)

= + =2+'3

'31221115

1-;2!;

111151-;2!;

'3122

'3122


A

B C

B¡

B™B£

C¡

C™C£이번에는


활용하여도형과관련된

문제를풀어볼까요?


2. 무한급수 181

오른쪽 그림과 같이 파일 드라이버로

기둥을 땅속에 박고 있다. 파일 드라

이버로 기둥을 내려칠 때마다 기둥이

200 cm, 100 cm, 50 cm, 25 cm,

y와 같이 직전의 ;2!;만큼씩 땅속에 박

힌다고하자. 이때, 땅속에박히는기둥의최대길이를구하여라.


3


매달 100만원의돈을버는사람이그달에번돈과이전부터이월된돈

의합계의 40 %를매달소비한다고한다. 이와같이한없이반복할때,

남게되는금액을구하여라.

4

지면

파일 드라이버

기둥

3

함 께 하 기 /

현재까지모은장학기금을연이율이 r이고 1년마다의복리로계산하는

예금에 저축하였다. 이것으로 1년 뒤에 a원의 장학금을 수여하고, 그

다음 해부터는 직전 해보다 5 % 증액된 장학금을 영구히 수여할 수 있

다고한다. 현재까지모은장학기금은최소얼마인지구하여라.

(단, r>0.05)이

｜풀이｜

n년 뒤에 수여할 장학금은 a(1+0.05)n-1원이므로 이를 위하여 현재 저

축해야할최소의기금을A«원이라고하면

A«(1+r)« =a_1.05« —⁄ ∴A«=

그러므로현재까지모은장학기금의최소금액 S원은

S=A¡+A™+A£+y+A«+y

S= + + +y+ +y

S= [1+ +{ }2+y+{ }n - 1+y]

S= _ = ((원원))a1111112233r-0.05

111111.05

1-1141+r

a1131+r

1.051131+r

1.051131+r

1.051131+r

a1131+r

a_1.05« —⁄111125(1+r)«

a_1.05¤1111(1+r)‹

a_1.0511125(1+r)¤

a1131+r

a_1.05« —⁄111134(1+r)«



활용하여실생활과

관련된문제를

풀어봅시다.

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지181 mac02 T

182 Ⅳ. 수열의극한182 Ⅳ. 수열의극한

다음무한급수의수렴또는발산을조사하고, 수렴하면그합을구하여라.

(1) ;N'+! (2) ;N'+!

(3) ;N'+!(1-'2 )« (4) ;N'+!('ƒ2n+1-'ƒn-1)

3125111111(3n+1)(3n-2)2n125144n-1

1무한급수의수렴, 발산

다음무한등비급수가수렴하도록실수 x값의범위를정하여라.

(1) ;N'+!2(2-x)«« —⁄ (2) ;N'+! {x(x-1)}«« —⁄

3무한등비급수의수렴, 발산


(1) ;N'+! (2) ;N'+! 3« +4«125135«21251534n¤ -1

2무한급수의 합

오른쪽 그림과 같이 점 P가 원점 O를 출

발하여 x축또는 y축과평행하게

O’P¡”=1, P¡ÚP™”=;1ª0;O’P¡”,

P™P£”=;1ª0;P¡ÚP™”, y

를만족하는점P¡, P™, P£, P¢, y를거쳐

움직이고있다. 이때, 점 P는어떤점에한없이가까워지는지구하여라.

4무한등비급수의 활용

계산

문제 해결

이해

이해

중 단 원

확 인 하 기

_2. 무한급수새로나온용어와기호

무한급수, 부분합, 무한급수의합, 무한등비급수, ;N'+!a«, limn ⁄¶

S«

O x

y

P¡

P™P£P§

P∞P¢

1

어떤도시에있는의류제조회사는 1년에 20억원의임금을지불한다고

한다. 그러면임금중 60%가그도시에서사용되고, 이렇게사용된돈

의 60%가 그 도시에서 다시 사용되며 이러한 과정이 한없이 반복된다

고한다. (이를경제학에서승수효과라고한다.) 이회사의 1년임금으로

인하여그도시에서사용되는돈의총액을구하여라.

5무한등비급수의 활용승수 효과

문제 해결


2. 무한급수 183

영국의수학자그레고리(Gregory, J. ; 1638~1675)는삼각함수에대한연구로부터다음과같

은결과를얻었다.

;4“;=1-;3!;+;5!;-;7!;+y+ +y

그런데독일의수학자라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)도이결과를독자적으로발

견했기때문에이것을‘그레고리의공식’또는‘라이프니츠의공식’이라고부르고있다.

스위스의수학자오일러(Euler, L. ; 1707~1783)는 1734년경다음사실을발견하였다.

=1+ + + +y+ +y

=1+ + + +y+ +y

그리고오일러는위와같이분모가자연수의짝수거듭제곱인모든경우를포함하는무한급수의

합에 대한 공식을 1740년에 발견하였다. 분모가 자연수의 (3 이상의) 홀수 거듭제곱인 경우에도

위와같은꼴의무한급수는수렴한다. 그렇지만그합의정확한값은알려지지않고있다.

위의 무한급수들의 부분합을 계산하면 원주율의 근삿값을 구할 수 있다. 그렇지만 원주율의 근

삿값을계산할때에는더하는항의개수가적어도정확한값을쉽게얻을수있는무한급수를이용

한다.

1985년원주율의근삿값을소수 1700만자리이상까지계산하는데이용된공식은인도의수학

자라마누잔(Ramanujan, S. ; 1887~1920)이 1914년에발견한다음과같은무한급수이다.

= ;N'+) ¥

여기서 n!은 n_(n-1)_(n-2)_y_2_1을뜻한다.

1103+26390n125252511125396› «

(4n)!1252525(n!)›

'8125259801

115p

112n›

1124›

1123›

1122›

p›1290

112n¤

1124¤

1123¤

1122¤

p¤126

(-1)« —⁄11112n-1

무한급수와원주율읽 을

거 리

원주율 p를무한급수로처음나타낸사람은나그레고리이지!

허허. 미적분에서는뉴턴과다툼이있었는데이제는그레고리와다투게되다니…….

선생님들께서는다투시지않는것이

좋겠습니다. 제가모든것을해결하지요.

수학의세계에서도경쟁이심하구나!

(168~183)9교과9-OK 2008.11.18 11:15 AM 페이지183 mac02 T

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(168~183)수학1교과서-OK 2009.5.25 2:51 PM 페이지170 mac01 T …viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%EA%B5%90%EA%B3%BC%EC%84%9C%E… · 2012. 5. 23. · 170 Ⅳ. 수열의극한 2 무한급수