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9.4 对面积的曲面积分. 一、概念的引入. 二、对面积曲面积分的概念. 三、对面积曲面积分的计算. 四、小结. 一、概念的引入. 实例. 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 , 且当点在曲面上连续移动时 , 切平面也连续转动. 二、对面积的曲面积分的概念. 1. 定义. 2. 对面积的曲面积分的性质. 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似. ⅰ ）线性性. ⅱ ）可加性. ⅲ ）存在性. 三、对面积的曲面积分的计算法. 按照曲面的不同情况分为以下三种：. 则. 则. 则. 把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式. - PowerPoint PPT Presentation
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9.4 对面积的曲面积分
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二、对面积曲面积分的概念
三、对面积曲面积分的计算
一、概念的引入
四、小结
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一、概念的引入
若曲面是光滑的, 它的面密度为连
续函数 ),,( zyx , 求它的质量.
实例
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 , 且当点在曲面上连续移动时 ,切平面也连续转动 .
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二、对面积的曲面积分的概念 设曲面是光滑的, 函数 ),,( zyxf 在上有界, 把分成n小块 iS （ iS 同时也表示第i小块曲面的面积）,设点 ),,( iii 为 iS 上任意取定的点,作乘积 ),,( iiif iS ,
并作和
n
iiiif
1
),,( iS , 如果当各小块曲面
的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.
1. 定义
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即
dSzyxf ),,( iii
n
ii Sf
),,(lim1
0
记为
dSzyxf ),,( .
叫被积函数，其中 ),,( zyxf .叫积分曲面
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dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf .
2. 对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若 ,21
ⅰ ）线性性
gdSfdSdSgf )(
ⅱ ）可加性 1 2
fdSfdSfdS )( 21
ⅲ ）存在性 存在则连续若
dSzyxfzyxf ),,(,),,(
由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似
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;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxfxyD
yx
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz 若曲面则
按照曲面的不同情况分为以下三种：
三、对面积的曲面积分的计算法
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;1]),,(,[ 22 dxdzyyzzxyxfxzD
zx
dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxfyzD
zy
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ：若曲面
则
2. : ( , )y y x z 若曲面
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把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式
简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
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注：（ 1 ）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加
（ 2 ）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（ 3 ）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数（ 4 ）切记任何时候都要换面积元
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计算
dszyx )( , 其中为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分.
例 1
积分曲面： yz 5 ,
解
投 影 域 ：}25|),{( 22 yxyxD xy
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dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2 xyD
dxdyx)5(2
5 2xyD
dxdy .2125
dxdyzzdS yx221
dxdy2)1(01 ,2dxdy
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例 2 计算
dSyx )( 22 22 yxz 是锥面其中
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面
解 分成两部分将
10: 221 zyxz
11: 222 yxz
21 , 在 xoy 内的投影区域1: 22 yxD o
x
y
z 1:2 z
1
1
)( 22
dSyx故
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D
yx dxdyzzyx 2222 1)(
D
dxdyyx )(2 22
2
0
1
0
2
22
2 rdrrd
2
)( 22
dSyx D
dSyx )( 22
2
2
0
1
0
2
rdrrd
21
)()( 2222
dSyxdSyx 2
21
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计算
xdS , 其中是圆柱面 122 yx ,
平面 2xz 及 0z 所围成的空间立体的表面.
例 3
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解
321
其中1：0z , 2： 2xz ,
3： 122 yx . 投影域1D： 122 yx
显然 011
D
xdxdyxdS ,
,01112
D
dxdyxxdS
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讨论3时, 将投影域选在xoz上.
（注意： 21 xy 分为左、右两片）
3
xdS
31
xdS
32
xdS
（左右两片投影相同）
xzD
zx dxdzyyx 2212 xoz
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xzD
dxdzx
xx
2
2
112
1
1
2
0212
x
dzdxx
x
,
xdS 00 .
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（1）计算 , 其中： 例 4
解：（ 1 ）2 2 2 2 2 41 1 4
( )3 3 3
x dS x y z dS a dS a
2x dS 2222 azyx
（2）计算 , 其中：
2 2 2( )x y z dS
2 2 2 2x y z ay
（ 2 ） 2 2 2
4
( ) 2
2 2 8
x y z dS aydS
a ydS ayA a
其中 为均匀球面重心的纵坐标， A 为球的表面积y a
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注 对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性设 对称于 xoy （或 yoz ，或 zox ）坐标面
若 f （ x , y , z ) 关于 z （或 x ，或 y ）是奇函数
0),,( dSzyxf则
若 f （ x , y , z ) 关于 z （或 x ，或 y ）是偶函数
1
),,(2),,( dSzyxfdSzyxf
部分位于对称坐标面一侧的是其中 1
完全类似于三重积分的对称性
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四、小结
2 、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算 .
1 、 对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
ii Sf
),,(lim1
0
（按照曲面的不同情况分为三种）
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思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中 , 有因子 , 试说明这个因子的几何意义 .
221 yx zz
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思考题解答
是曲面元的面积 ,dS 221
1),cos(
yx zzzn
221 yx zz 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数 .
z
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一 、 填 空 题 :1、 已 知 曲 面 的 面 a积为 , 则
ds10 _ _ _ _ _ _ _ ；
2、
dszyxf ),,( = yzD
zyzyxf ),),,(( _ _ _ _ _ _ _ _ dydz ；
3、 设 为 球 面 2222 azyx 在 xoy 平 面 的 上 方 部分 , 则
dszyx )( 222 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
4、
zds3 _ _ _ _ _ , 其 中 为 抛 物 面 )(2 22 yxz
在 xoy 面 上 方 的 部 分 ；5、
dsyx )( 22 _ _ _ _ _ _ , 其 中 为 锥 面 22 yxz
及 平 面 1z 所 围 成 的 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 .
练 习 题
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二 、 计 算 下 列 对 面 积 的 曲 面 积 分 :1 、
dszxxxy )22( 2 , 其 中 为 平 面
622 zyx 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 ；2 、
dszxyzxy )( , 其 中 为 锥 面 22 yxz 被
柱 面 axyx 222 所 截 得 的 有 限 部 分 .
三 、 求 抛 物 面 壳 )10)((2
1 22 zyxz 的 质 量 , 此 壳
的 面 密 度 的 大 小 为 z .
四 、 求 抛 物 面 壳 )10()(21 22 zyxz 的 质 量 ， 此
壳 的 面 密 度 的 大 小 为 .z
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练习题答案
一 、 1、 a10 ； 2、 22 )()(1zx
yx
；
3、 42 a ； 4、 10
111；
5、 2
21 .
二 、 1、4
27 ； 2、 421564
a .
三 、6
.
四 、 )136(152
.
