1第二章第 讲 1

第二章 离散时间信号与系统的第二章 离散时间信号与系统的变换域分析变换域分析

序列的 序列的 ZZ 变换变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析希尔伯特（希尔伯特（ HilbertHilbert ））变变换换

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 2

§1 §1 序列的序列的 ZZ 变换变换 ZZ 变换的定义变换的定义

抽样信号

nnT nTtnTxnTttxttxtx

nTxnx

)()()()()()()(ˆ

)()(

nSTd enTt )]([

n

nsTenTxsX )()(

n

nznxnxzX )()]([)( ZSTeZ 令：令： 双边Ｚ变换双边Ｚ变换

0n

nznxnxzX )()]([)( Z 单边Ｚ变换单边Ｚ变换

拉氏变换与Ｚ变换： 拉氏变换与Ｚ变换： )()( sXzX STez

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 3

例例 11 ：求序列 ：求序列 xx ((nn)= )= aan n u(u(nn) ) 的的 ZZ 变换。 变换。 解：

为保证收敛，则为保证收敛，则]Re[za0

收敛域收敛域

0

)()()(n

n

n

nn

z

aznuazX

1z

a

|||| az 或

ZZ平面平面

||||)(1

1)( az

az

zzX

za

1||1

)(

zz

znu若 若 a a = 1, = 1, 则则

Z 变换的定义

]Im[zj

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 4

Z 变换的定义例例 22 ：求序列 ：求序列 xx((nn)= -)= -aan n u(-u(-nn-1)-1)的的 ZZ 变换。 变换。

解：

为保证收敛，则为保证收敛，则 1a

z|||| az 或

]Im[zj

]Re[za0收敛域收敛域

ZZ平面平面

1

)()1()(n

n

n

nn

z

aznuazX

01

)(1)(n

n

n

n

a

z

a

z

||||)(1

11)( az

az

zzX

az

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Z 变换的定义例例 33 ：求序列 ：求序列 xx ((nn)= (1/3))= (1/3)||n| n| 的的 ZZ 变换。 变换。

解：

0

31

1

31

31 )()()()(

n

nn

n

nn

n

nn zzzzX

0

31

131 )()(

n

nz

n

nz

31z

z||z|>1/3z|>1/3 时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。

||z|<3z|<3 时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。3

z

z

3||3

1 z当 时：当 时：

))(3(3)(

31

38

31

zz

z

z

z

z

zzX

零点：零点： 00 ，极点：，极点： 33 ，， 1/31/3

]Re[z310

收敛域收敛域

ZZ 平平面面

]Im[zj

3

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Z 变换的收敛域 ZZ 变换的收敛域变换的收敛域

)(nx对于任意给定的序列 ，使其 Z 变换收敛的所有 z值的集合称为 的收敛域。)(zX

其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：

n

nznx )(

根据级数收敛的阿贝尔定理

发散不定收敛

1

1

1

limn

nna

对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。)(nx

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Z 变换的收敛域 收敛域内不包含任何极点，在极点处， X(z) 为无穷大，

Z 变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个 Z 平面 , 可能除开 z=0,

z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+

x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+···· |

z|< 如果是右边序列，并且 |z|=位于收敛域内，那么， |

z|>也位于收敛域内。

00

)()()(n

jn

n

n enxznxzX 越大收敛越快。越大收敛越快。

所以，收敛域在圆外所以，收敛域在圆外。。

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如果是如果是左边序列左边序列，并且，并且 ||z|=z|= 位于收敛域内，那么， 位于收敛域内，那么， 0<|0<|z|<z|< 的全部 的全部 zz 值也位于收敛域内。值也位于收敛域内。

0

0

)()()(n

jn

n

n enxznxzX

所以，收敛域在圆内。所以，收敛域在圆内。 如果是如果是双边序列双边序列，收敛域由圆环组成。，收敛域由圆环组成。

]Im[zj

]Re[z0

收敛域收敛域

右边序列的收敛域右边序列的收敛域

]Im[zj

]Re[z0收敛域收敛域

左边序列的收敛域左边序列的收敛域

]Re[z0

收敛域收敛域

]Im[zj

双边序列的收敛域双边序列的收敛域

Z 变换的收敛域

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逆逆 ZZ 变换变换

逆 Z 变换

从给定的 Z 变换表达式 ( 包括收敛域 ) 求原序列的过程称为逆 z 变换。其实质是求 X(z) 的幂级数展开式各项的系数。 逆逆 ZZ 变换的三种基本方法变换的三种基本方法

围线积分法围线积分法 部分分式展开法部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法） 围线积分法围线积分法

dzzzXj

nxc

n 1)(2

1)(

式中 C 为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。

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逆 Z 变换

是被积函数 X(z)zn-1 在围线 C 内的一组极点是被积函数 X(z)zn-1 在围线 C 外的一组极点

ka

kb

],)([Re)( 1k

k

n azzXsnx

],)([Re)( 1k

k

n bzzXsnx

如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有 :

z

1)( nzzX)(nx

若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分 。根据留数定理， 等于围线 C 内全部极点留数之和，即 :

1)( nzzX

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逆 Z 变换

在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及 n 值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在 n 小于某一值时，被积函数在围线内部 z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。

如果 为单阶极点，按留数定理 :

kzz

nk

kkk

n zzXzzzzzXs

11 )()(],)([Rekz

如果 为 阶极点，则其留数为 :

kzz

nmkm

m

kn zzXzz

dz

d

mzzzXs

])()[(

)!1(

1],)([Re 1

1

11

kz m

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求 原 序 列x(n)

已知某序列的 Z 变换为 : azazzX 11)1()(

解 :

dzzazj

dzzazj

nx

c

n

c

n

1

2

1

)1(2

1)( 111

并且当 时， z=0 处不是极点，被积函数仅有单阶极点 a ，在收敛域内取围线 C 包含极点 a ，可求得 :

0n

az 由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。

例1:

逆 Z 变换

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逆 Z 变换例 2

：

))((

))(1()(

1

1

azaza

z

azaz

zzzX

n

nn又

||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX

求原序列 x(n)

已知序列的 Z 变换为：

解：

]Re[z0

]Im[zj

a 1/a

收敛域

|z|=|a|

围线C

|||||| 1 aza ∵ 所给收敛域 为环域∴ 原序列 必为双边序列)(nx

|z|=|1/a|

在收敛域内作包围原定的围线 C

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逆 Z 变换

当 时，只有一个单阶极点 z=a,其围线积分为：

0n

01

],))((

1[Re)(

21

na

aaz

azazasnx

nn

当 n<0 时，被积函数在围线内除了在 z=a 处有一个单阶极点，在 z=0 处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1 只有一个单极点 z=a-1 ，因此有 :

2

||

1)(

a

anx

n

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部分分式展开法部分分式展开法

逆 Z 变换

用部分分式展开法求反 Z 变换， )(

)()(

zA

zBzX 通常为有理分式。

1 、单极点

N

i

ii

M

i

ii

za

zb

zA

zBzX

1

0

1)(

)()(

若序列为因果序列，且 N≥M ，当 X(z)的 N 个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：

]max[1

)(1

10 k

N

k k

k zzzz

AAzX

则其逆 Z 变换为： )()()(1

0 nuzAnAnx nkk

N

k

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逆 Z 变换

说明： 1 、 X(z) 较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1…,N) 。 2 、 X(z) 较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1…,N) ， 此 时 为 了 方 便 通 常 利 用X(z)/z 的形式求取：

],)(

[Re)()1(

]0,)(

[Re)0(

1

0

kzzkk

N

N

zz

zXszXzzA

z

zXs

a

bXA

k

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逆 Z 变换2 、高阶极点

当上述有理分式中的 M≥N 且具有高阶极点时，若设除单极点外，在 zi 处还有一个 s 阶的极点，则其展开式修改为：

si

ks

kk

ksN

k

kk

NM

k zz

C

zz

AzBzX

)1(1)(

11

110

式中 Bk(k=0,1…,N)为 X(z) 整式部分的系数，可用长除法求得。 Ak 仍按上面的方法计算， Ck 的计算公式为：

skz

zXzz

dz

d

ksC

izz

siks

ks

k ,,1])(

)[()!(

1

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逆 Z 变换

例： 已知 ，求 X(z) 的原序列。 2)5.0)(2(

)(2

zzz

zzX

解：

3/1,3/4 21 AA由求系数 Ak 的公式求得

)()5.0(3

1)()2(

3

4)( nununx nn

因为 X(z) 的收敛域为 ，为因果序列，从而求得

2z

5.02)5.0)(2(

)( 21

z

A

z

A

zz

z

z

zX

将 X(z) 变为 X(z)/z 的形式并化为部分分式

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 19

逆 Z 变换 长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）

21

0

)2()1()0()()( zxzxxznxzXn

n

若把若把 XX(z)(z) 展开成展开成 zz-1-1 的幂级数之和，则该级数的各系的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 数就是序列 xx((nn) ) 的值。的值。在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列 Z 变换为 z 的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边序列， Z 变换为 z 的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。

典型例题典型例题

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)()( nuanx n

用长除法求

azazzX 11)1()( 的逆 Z 变换。

由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成 z 的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。

例 :

解：

nn

n

zazaazzX

0

2211)( 即：

逆 Z 变换

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 21

逆 Z 变换

例 : 用长除法求 ||||||,)]1)(1[()( 111 azaazazzX 的逆 Z 变换∵ 收敛域 为环域，

∴ x(n) 必为双边序列。|||||| 1 aza

]1

1[

1

1

)1)(1(

1)(

21 azaz

a

aazazzX

解：

对右边序列

23

2312

12

12

za

zaza

za

zaa

33221 zazaazaaz

∴ 右边序列为 : 0

1)(

2

n

a

anx

n

对左边序列

az-1

33

3322

22

22

za

zaza

zazaaz

az

3322111

zazaazaz

∴ 左边序列为 : 0

1)(

2

na

anx

n

综上可得 : 21

)(a

anx

n

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逆 Z 变换例 : 求 的逆 Z 变换。 ||||)1ln()( 1 azazzX

az 由收敛域 知原序列应为因果序列。)1ln( x 的幂级数展开式为

1

1

1||)1(

)1ln(n

nn

xn

xx

||||)1(

)(1

1

n

nnn

azn

zazX

故有 ，即： 1azx 1x用 代入上式，因 az

00

1)1(

)(

1

n

nn

anx

nn

解：

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序 列序 列 Z Z 变 换变 换 收 敛 域收 敛 域

11 全部全部 zz)(n

)(nu 111

1 zzz 1z

)(nuan11

1 azaz

z az

)(nRN 11 11

)1(1

zz

zzz N

N

N0z

)(nnu 21

1

2 )1()1(

zz

zz 1z

)()sin( 0 nun 20

10

1

02

0

cos21

sin

1cos2

sin

zz

z

zz

z

1z

)()cos( 0 nun2

01

01

02

02

cos21

cos1

1cos2

cos

zz

z

zz

zz

1z

)()sin( 0 nune an aa

a

ezez

ez22

01

01

cos21

sin

aez

)()cos( 0 nune an aa

a

ezez

ez22

01

01

cos21

cos1

aez

)()sin( 0 nun 2

01

01

cos21

)sin(sin

zz

z

1z

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线性性

Z 变换的性质与定理

yy

xx

RzRzYnyZ

RzRzXnxZ

)()]([

)()]([设

RzRzbYzaXnbynaxZ )()()]()([则],min[],max[ yxyx RRRRRR其中

序列的移位

xx RzRzXnxZ )()]([若

xxn RzRzXznnxZ )()]([ 0

0则 序列乘指数序列（尺度性）

xx RzRzXnxZ )()]([若

xxn RazRazaXnxaZ )()]([ 1则

返回返回

返回返回

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Z 变换的性质与定理 序列的反褶

xx RzRzXnxZ )()]([若

xx RzRzXnxZ /1/1)()]([ 1则 序列的共轭

xx RzRzXnxZ )()]([若

xx RzRzXnxZ )()]([则 Z 域微分性

xx RzRzXnxZ )()]([若

xx RzR

dz

zdXznnxZ

)()]([则

返回返回

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Z 变换的性质与定理 初值定理

若 x(n) 为因果序列，它的初值为：)(lim)0( zXx

z

若 x(n) 为因果序列，且其 Z 变换的极点除在 z=1 处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有： )()1(lim)(lim

1zXznx

zn

终值定理

卷积定理

hh

xx

RzRzHnhZ

RzRzXnxZ

)()]([

)()]([设

RzRzHzXnhnxZ )()()]()([则],min[],max[ hxhx RRRRRR其中

返回返回

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Z 变换的性质与定理 序列相乘（复卷积定理）

hh

xx

RzRzHnhZ

RzRzXnxZ

)()]([

)()]([设

hxxhc

RRzRRdvvvHv

zX

jnhnxZ 1)()(

2

1)]()([

则

Parseval 定理

yy

xx

RzRzYnyZ

RzRzXnxZ

)()]([

)()]([若

yxxy RRRR 1且

c

n

dvvv

YvXj

nynx 1*

** )1

()(2

1)()(

则

返回

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Z 变换的性质与定理 重抽样序列的 Z 变换

对序列抽取运算时，将序列 x(n)以M： 1 抽取后形成的新序列 y(n) 。两者之间的关系为：

,2,1,0)()( nnMxny)()]([ zXnxZ 若

1

0

)/2(/1 )(1

)(M

l

lMjM ezXM

zY 则

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典型例题典型例题求序列 的 z 变换，

并确定其收敛域。

)()cos()( 0 nunrnx n

解：

rrezzre

nuerZ

rrezzre

nuerZ

azaz

nuaZ

jj

njn

jj

njn

n

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1)]([

1

1)]([

1

1)]([

2210

10

110

)cos2(1

)cos(1

]1

1

1

1[

2

1)]()cos([

00

zrzr

zr

zrezrenunrZ jj

n

rz

例 例 11

线性性

查看性质查看性质

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xRznxZzXnunxnx )],([)(),()()(设

求 的 z 变换和收敛域。

n

m

mxny0

)()(

解： )1()()()()(1

00

nynymxmxnxn

m

n

m

)]1()([)]([ nynyZnxZ

)()()( 1 zYzzYzX

]1,max[)(1

1)(

1 xRzzXz

zY

即

例 例 22

典型例题典型例题 查看性质查看性质

序列的移位性

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 31

典型例题典型例题 查看性质

例例 33

解：

1

2

1

)(

az

az

dz

zdX

1

1

1

)()]([

az

az

dz

zdXznnxZ

aznun

anx

nn

)1()1(

)(1

)1()(])(1

[]1

[ 11

11

1

11

nuaa

az

zaZ

az

azZ n

X(z)对 z 进行微分：

Z 域微分性

逆 Z 变换

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典型例题典型例题 查看性质

例例 44用卷积定理求

)()( nunx 设 )()( nuanh n 1a)()()( nhnxny

1||1

1)]([)(

1

z

znuZzX

||||1

1)]([)(

1az

aznuaZzH n

1||1

1

1

1)()()(

11

z

azzzHzXzY

dzazz

z

jzHzXZny

n

c ))(1(2

1)]()([)(

11

)(1

1

11

1

],))(1(

[Re]1,))(1(

[Re

11

11

nua

a

a

a

a

aazz

zs

azz

zs

nn

nn

解：

卷积定理

逆 Z 变换

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典型例题典型例题 查看性质

例例 55 ),()( nuanx n已知 )()( nubnh n)()()( nhnxny 1||1|| ba 、其中

用复卷积定理求 )]([)( nyZzY

解：

||||1

1)]([)(

1bz

bznubZzH n

||||1

1)]([)(

1az

aznuaZzX n

dvbvzav

az

j

dvbv

v

vz

ajnyZzY

c

c

))(/(

/

2

1

1)(1

1

2

1)]([)(

1

1

1

复卷积定理

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典型例题典型例题 查看性质

在 v 平 面 中 ， 被 积 函 数 有 2 个 极 点 ， 即v1=z/a 和 v2=b 。因 x(n)和 h(n) 都是因果序列，其收敛域为：

a

zvb

可见，只有一个极点 v2=b在围线 C 内。由留数定理求得：

|]||,max[|||1

1

],))(/(

/[Re)(

1baz

abz

bbvzav

azszY

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Z 变换与拉氏变换的关系 SS 平面到平面到 ZZ 平面的映射平面的映射

Z 变换与拉氏变换的关系 : )(ˆ|)( sXzX aez sT

这一关系实际上是通过 将 S 平面的函数映射到了 Z 平面。

sTez

若将 Z 平面用极坐标表示 ， S 平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：

jrez sTez js Ter T

上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。

映射关系：

)(10

)(10

)(10

平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆

zr

zr

zr

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Z 变换与拉氏变换的关系

T

zs

/

10

2,00 (S 平面实轴映射到 Z 平面的正实轴 ) (S 平面原点映射到 z =1 点 )( 当由 - /T 增加到 + /T 时 , 对应于 由 - 增加到 + )

由于 是 的周期函数， S 平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于 Z 平面从 - 到 + 旋转了一周。这样就有：

jrez

1)~( z

即 S 平面的整个虚轴都映射到了 Z 平面 =1 的单位圆上 , 因此由 S 平面到 Z 平面的映射是多值映射 , 这些关系示于下图示：

z

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 37

抽样序列的抽样序列的 ZZ 变换表示变换表示

Z 变换与拉氏变换的关系

抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的 S→Z 平面的映射关系，它映射到 Z 平面 =1 的单位圆上，故有

jSz

)(ˆ)()( jXeXzX a

Tj

ez Tj

1 2( ) ( ) ( )j T j

an

X e X e X j j nT T

或

定义： Z 平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。

sf

fT

2

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序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义

§§2 2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换

序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 { } 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 { } 对模拟信号进行展开相似。

nje tje

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 39

§§2 2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换

1 ．序列傅立叶正变换

n

njj enxnxFeX )()]([)(

x(n) 的傅立叶变换定义如下 :

是 的连续函数。但由于 其中 M 为整数，故有

nMjnj ee )2(

)()()( )2()2( MjnMj

n

j eXenxeX

可见 还是 的周期函数，周期为 2 。 )( jeX

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序列傅立叶变换的定义2 ．序列傅立叶变换与 Z 变换的关系

比较后可见：序列的傅立叶变换是 Z 变换在 时的Z 变换，即 Z 变换在的单位圆上 的特殊情况。

jez 1z

jez

j zXeX

)()(

序列的傅立叶变换式：

n

njj enxnxFeX )()]([)(

n

n

znxzX

)()(

序列的 Z 变换定义式：

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 41

序列傅立叶变换的定义

由于单位圆上的 Z 变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 42

序列傅立叶变换的定义

一般为 的复变函数，可表示为 : )( jeX)(arg|)(|)()()(

jweXijjI

jR

j eeXejXeXeX

其中， 分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有：

)( jeX、)( j

R eX )( jI eX )( jeX

)(arg)( jeX2/122 )]()([|)(| j

Ij

Rj eXeXeX

)](/)([)(arg)( jR

iI

j eXeXarctgeX 显然 都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。

、)( jeX )(

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 43

序列傅立叶变换的定义3 ．序列的傅立叶反变换

)]([)( 1 jeXFnx 通常傅立叶反变换记为

deeX

dzzzXj

nx

jnj

c ez

nj

)(2

1

|)(2

1)( 1

4 ．序列的傅立叶变换的收敛条件

)()( nxenxn

nj

n

即序列绝对可和

该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非

必要条件

有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如 、某些周期序列，见后例。

njenu 、)()(

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 44

序列傅立叶变换的定义

5 ．常用序列的傅立叶变换 序 列序 列 傅 立 叶 变 换傅 立 叶 变 换

)(n 1

1)( anuan 1)1( jae

)(nRN )2/sin(/)2/sin(2/)1( Ne Nj

1

k

k )2(2

)(nu

k

j ke )2()1( 1

nje 0

k

k )2(2 0

)cos( 0n

k

kk )2()2( 00

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 45

典型例题典型例题已知 ，求它的傅立叶变换。 )()( 5 nRnx

)2/sin(

2/5sin

)(

)(

1

1)]([)(

2

2/2/

2/52/5

2/

2/5

54

0

j

jj

jj

j

j

j

jnj

n

j

e

ee

ee

e

e

e

eenxFeX

解：

其幅度谱和相位谱分别为： ,|

)2/sin(

2/5sin|)(

jeX ]

)2/sin(

2/5sinarg[2)(

例例 11

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 46

典型例题典型例题 例例 22

||0

||01)(

c

cjeH

已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。

解：

deeHFnh njc

c

j

2

1)]([)( 1

nn

n

jn

e

jn

e cnjnj cc

,sin

)(2

1

c

c

cj

n

c deHn

n

22 |)(|

2

1|

sin|

显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立叶变换。

)(nh

Parseval 定理

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 47

典型例题典型例题 例例 33

njenx 0)( 证明复指数序列 的傅立叶变换为：

k

j keX )2(2)( 0

证： 根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有：)(

k

nj deknx )2(22

1)( 0

njnj ede 00 )(

10 00 nje ，则若

k

kF )2(2]1[ 即

m

nmj

meanx

)(若序列为复指数和的形式：

推论

k m

mmj kaeX ）则 2(2)(

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 48

典型例题典型例题 例例 44 求余弦序列 的傅立叶变换 nnx 0cos)(

)]2()2([ 00 kkk

}]{2

1[

][cos)]([)(

00

0

njnj

j

eeF

nFnxFeX

解：

可见：序列 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，并以 2 为周期进行周期延拓。

n0cos 0

利用上例结论

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 49

序列傅立叶变换的性质

下面所列出的性质都可直接由 Z 变换令 得到，可自行证明。

因序列的傅立叶变换是 Z 变换在 的单位圆上的特例，故所有 Z 变换的性质对傅立叶变换都成立。

jez

1z

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 50

序列傅立叶变换的性质 线性性

),()]([ jeXnxF 若 )()]([ jeYnyF )()()]()([ jj ebYeaXnbynaxF 则

序列的移位)()]([ jeXnxF 若

)()]([ 00

jnj eXennxF 则 频域的相移

)()]([ jeXnxF 若][)]([ )( 00 jnj eXnxeF则

序列的反褶),()]([ jeXnxF 若

)()]([ jeXnxF 则

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 51

序列傅立叶变换的性质 序列的共轭

)()]([ jeXnxF 若)(*)](*[ jeXnxF 则

频域微分性)()]([ jeXnxF 若

d

edXjnnxF

j )()]([ 则

对时域信号进行线性加权对应于频域的微

分

时域卷积定理),()]([ jeXnxF 若 )()]([ jeHnhF

)()()( jjj eHeXeY 则)()()( nhnxny 设

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 52

序列傅立叶变换的性质 频域卷积定理（序列相乘）

),()]([ jeXnxF 若 )()]([ jeHnhF )()()( nhnxny 设

)]()([2

1)(

jjj eHeXeY 则

deHeX jj ][)(2

1 )(

序列相关

)()()( jjjxy eYeXeR 则

),()]([ jeXnxF 若 )()]([ jeHnhF

n

xy mnynxmr )()()(设

2)()()()( jjjj

xx eXeXeXeR

推论

序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱 ---维纳 -辛欠定

理

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序列傅立叶变换的性质 Parseval 定理

)()]([ jeXnxF 若

deXnx j

n

2

2

)(2

1)(则

该定理表明：信号在时域中的能量等于频

域中的能量

重抽样序列的傅立叶变换)()]([ jeXnxF 若

1

0

)2

()(

1)(

M

l

M

l

Mjj eX

MeY

则

2,1,0)()( nnMxny设

1

0

)2

()(

1)(

M

l

M

ljMj eX

MeY

或

该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了 M 倍，并将展宽后的频谱以

为周期扩展了 M个，幅度则下降到

原来的 1/M。

M/2

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序列傅立叶变换的对称性 序列的共轭对称性质

若序列 满足 )()( nxnx ee )(nxe

)(nxe则称 为共轭对称序列)()( nxnx oo )(nxo类似地，若序列 满足

)(nxo则称 为共轭反对称序列 任何序列 均可表示成上述两种序列之和，

)()()( nxnxnx oe 即)(nx

)}()({2

1)(

)}()({2

1)(

nxnxnx

nxnxnx

o

e

其中

版权所有 违者必究 第二章第 1 讲 55

序列傅立叶变换的对称性)(nxe若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示：

)()()( njxnxnx eiere )()()( njxnxnx eiere 则

)()()()( nxnxnxnx eieierer 此式表明： 的实部是 n 的偶函数，而虚部是 n 的奇函数； 的实部是 n 的奇函数，而虚部是 n 的偶函数。

)(nxe

)(nxo

序列傅立叶变换的共轭对称性质)()()(1 nxnxnx oe 、若将序列分成

)]([)]([)( nxFnxFeX oej 对其实施傅立叶变换

)( jeX将 分成实部与虚部 )()()( jI

jR

j ejXeXeX

共轭对称部分

共轭反对称部分

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序列傅立叶变换的对称性

)()](Im[)}()({2

1)]([ * j

Ijjj

o ejXeXjeXeXnxF

)()](Re[)}()({2

1)]([ j

Rjjj

e eXeXeXeXnxF 则

上式表明： 的傅立叶变换对应于 的实部； 的傅立叶变换对应于 的虚部 (加上 j 在内 )。

)(nxe

)(nxo

)( jeX)( jeX

)()()(2 njxnxnx ir 、若将序列分成)]([)]([)( nxjFnxFeX ir

j 对其实施傅立叶变换

n

njrr

je enxnxFeX )()]([)(定义

n

njii

jo enxjnxjFeX )()]([)(

)()()( jo

je

j eXeXeX 则

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序列傅立叶变换的对称性

)()(,)()( jo

jo

je

je eXeXeXeX

结论： 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质。

)( je eX

)( jo eX

若序列为纯实数序列，即若 )()( nxnx r)()( jj eXeX 则

所以实序列 x (n) 的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数；幅度是的偶函数，而相位是的奇函数

)](Im[)](Im[ jj eXeX )](Re[)](Re[ jj eXeX

推论

若序列为纯虚数序列，即若 )()( njxnx i)()( jj eXeX 则

所以纯虚数序列的傅立叶变换是的奇函数。