· 2 УДК 519.21 Вижва З.О. Статистичне моделювання в геології. Навчальний посібник.– К.: ВПЦ

1

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Вижва З.О.

СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В ГЕОЛОГІЇ

Навчальний посібник

Київ Видавничо-поліграфічний центр

«Київський університет» 2019

2

УДК 519.21 Вижва З.О. Статистичне моделювання в геології. Навчальний

посібник.– К.: ВПЦ «Київський університет», 2019. – 395 с. В навчальному посібнику розглядаються нові методи

статистичного моделювання випадкових процесів та випадкових функцій в багатовимірних просторах (випадкових полів) та їх впровадження у розв'язання геологічних задач. Книга може бути корисна для студентів ННІ “Інститут геології” та механіко-математичного факультету, які вивчають методи статистичного моделювання, аспірантів, спеціалістів з теорії ймовірностей та математичної статистики, а також представникам геологічних спеціальностей для застосування запропонованих методів до вирішення практичних задач.

Затверджено Вченою радою

механіко-математичного факультету 27 червня 2019 р.

Рецензенти: Р.Є. Майборода, д-р фіз.-мат. наук, професор, М. І. Орлюк, д-р. геологічних наук, професор, В.І. Зацерковний, д-р технічних наук, професор.

@ Вижва З.О., 2019

3

ЗМІСТ

Передмова.................................................................................7 Вступ………………………………………………………….12 ЧАСТИНА 1. Статистичне моделювання випадкових

процесів та полів за спектральними розкладами......................................................................................19

Розділ 1. Статистичне моделювання періодичних випадкових процесів............................................................................................22 1.1. Спектральний розклад стаціонарних випадкових процесів та їх середньоквадратичне наближення. Приклади.........................24 1.2. Статистична модель 2Т–періодичного випадкового процесу та алгоритм статистичного моделювання.....................................53 1.3. Статистичне моделювання випадкових процесів у аеромагнітометрії............................................................................71 Вправи..............................................................................................84

Розділ 2. Статистичне моделювання однорідних та ізотропних випадкових полів на площині...................................86 2.1. Спектральний розклад однорідних та ізотропних випадкових полів на площині та приклади.................................88 2.2. Опис алгоритмів чисельного моделювання випадкового поля на площині...........................................................................110 2.3. Статистичне моделювання однорідного ізотропного випадкового поля на площині із кореляційною функцією типу Коші................................................................................................118 2.4. Статистичне моделювання карстово-суфозійних процесів в дослідженнях на території потенційно-небезпечних об`єктів..145 2.5. Статистичне моделювання випадкових полів на площині сплайновими апроксимаціями (на прикладах даних аеромагнітометрії).........................................................................162 Вправи............................................................................................176

Розділ 3. Статистичне моделювання однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі..........................................................................................178 3.1. Спектральний розклад однорідних та ізотропних випадкових полів у тривимірному просторі та їх

4

середньоквадратичне наближення рандомізованим представленням спектрального розкладу..................................182 3.2. Статистична модель однорідного та ізотропного випадкового поля в тривимірному просторі та алгоритм статистичного моделювання. Приклади...................................187 3.3. Приклад практичного застосування методу Монте-Карло для досліджень на проммайданчику Рівненської АЕС............198 3.4. Оцінки наближень однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі частковими сумами стохастичних рядів. Модель та алгоритм статистичного моделювання.................................................................................207 Вправи...........................................................................................213

Розділ 4. Статистичне моделювання ізотропних випадкових полів на сфері................................................................................215 4.1. Спектральний розклад ізотропного випадкового поля на сфері...............................................................................................215 4.2. Однорідне та ізотропне випадкове поле в тривимірному евклідовому просторі R3 та його звуження на сферу...............222 4.3. Опис алгоритму чисельного моделювання випадкового поля на одиничній сфері........................................................................238 4.4. Статистичне моделювання випадкових полів у тривимірному просторі в задачах моніторингу геологічного середовища....................................................................................243 Вправи...........................................................................................252

ЧАСТИНА 2. Статистичне моделювання випадкових процесів та полів за інтерполяційними розкладами.................253

Розділ 5. Статистичне моделювання випадкових процесів та полів з рівномірною решіткою інтерполяції.............................255 5.1. Статистичне моделювання випадкових процесів з рівномірною решіткою інтерполяції..........................................256 5.1.1. Зображення сепарабельних випадкових процесів у вигляді розкладу в нескінченні інтерполяційні ряди.............................256 5.1.2. Моделі та алгоритми статистичного моделювання випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції........265

5

5.1.3. Приклади застосування моделей та алгоритмів статистичного моделювання стаціонарних випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції.............................................271 Вправи............................................................................................281 5.2. Статистичне моделювання випадкових полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції...........................................281 5.2.1.Зображення сепарабельних випадкових полів на площині у вигляді розкладу в нескінченні інтерполяційні ряди................282 5.2.2. Моделі та алгоритми статистичного моделювання випадкових полів на площині з регулярною решіткою інтерполяції....................................................................................290 5.2.3. Приклади застосування моделей та алгоритмів статистичного моделювання випадкових полів на площині з регулярною решіткою інтерполяції............................................297 Вправи............................................................................................305

Розділ 6. Статистичне моделювання випадкових полів з просторово-часовими координатами.........................................311 6.1. Теорема Котельникова-Шеннона для випадкових полів на циліндрі.........................................................................................312 6.1.1. Випадкові поля на циліндрі..............................................313 6.1.2. Приклади кореляційних функцій випадкових полів на циліндрі..........................................................................................316 6.1.3. Однорідні за часом випадкові поля на циліндрі..........................................................................................317 6.1.4. Однорідні за часом випадкові поля з обмеженим спектром........................................................................................318 6.1.5. Про апроксимацію випадкових полів, однорідних за часом, випадковими полями з обмеженим спектром...............320 6.1.6. Статистичне моделювання однорідних за часом ізотропних випадкових полів на циліндрі..................................321 Вправи............................................................................................328 6.2. Теорема Котельникова-Шеннона для однорідних за часом ізотропних випадкових полів на сфері та статистичне моделювання..................................................................................329 6.2.1. Деякі відомості із теорії сферичних функцій...................329 6.2.2. Випадкові поля на RSn....................................................330

6

6.2.3. Однорідні за часом випадкові поля з обмеженим спектром.........................................................................................333 6.2.4. Про апроксимацію однорідних за часом випадкових полів випадковими полями з обмеженим спектром............................335 6.2.5. Статистичне моделювання однорідних за часом ізотропних випадкових полів на сфері.......................................336 Вправи............................................................................................340 6.3. Розклад Шеннона для однорідних за часом однорідних ізотропних випадкових полів за просторовими координатами в двовимірному просторі та статистичне моделювання.............341 6.3.1. Модель та алоритм.............................................................342 6.3.2. Приклад чисельного моделювання...................................348 6.3.3. Спектральний аналіз виділеного та згенерованого шуму...............................................................................................355 Вправи............................................................................................359 6.4. Розклад Шеннона для однорідних за часом однорідних ізотропних випадкових полів за просторовими координатами в тривимірному просторі та статистичне моделювання.............360 6.4.1. Модель та алоритм..............................................................360 6.4.2. Приклад чисельного моделювання....................................367 Вправи............................................................................................379 Перелік посилань....................................................................380

7

Передмова

В навчальному посібнику розглядається один із важливих напрямків математичної статистики – методи статистичного моделювання реалізацій випадкових процесів та багатовимірних випадкових функцій (випадкових полів) та їх застосування до геологічних задач. Ці методи розробляються протягом більше 40 років, зокрема, на механіко-математичному факультеті Київському національному університеті імені Тараса Шевченка і були запропоновані, як окремий напрямок для досліджень і як засоби для прикладних аспектів, професором, член-кореспондентом НАН України Ядренком М.Й.

За останні десятиріччя широко розвивається напрямок статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових процесів та полів, що знаходить значне застосування у різних розділах науки і техніки: геології, геофізиці та сейсмології, радіофізиці та астрономії, теорії автоматичного регулювання, проблем теорії і техніки передачі, прийому та обробки інформації, біології, медичній діагностиці та ін. В розвитку теорії статистичного моделювання випадкових функцій (випадкових процесів і полів) велику роль відіграють розклади таких функцій у вигляді рядів. Статистичне моделювання стаціонарних випадкових процесів і однорідних та ізотропних випадкових полів можна здійснити при застосуванні їх спектральних розкладів, які є рядами тригонометричними (для процесів) і рядами спеціальних функцій (ортонормована послідовність дійсних сферичних гармонік – для полів).

Якщо випадкові процеси не стаціонарні, а випадкові поля не однорідні та ізотропні, але вони мають обмежений спектр, то можна подати такі випадкові функції у вигляді розкладів в ряди іншого типу. Статистичне моделювання випадкових процесів та полів можна також здійснювати, використовуючи інтерполяційні розклади в узагальнені ряди Шеннона.

Навчальний посібник складається із двох частин, які містять шість розділів, та переліку посилань.

8

В перших чотирьох розділах посібника (перша частина) наведено алгоритми та моделі статистичного моделювання стаціонарних періодичних випадкових гауссівських процесів та однорідних ізотропних гауссівських випадкових полів (двовимірних та тривимірних), які побудовано на основі їх спектральних розкладів та оцінок середньоквадратичних наближень та їх застосування до важливих у науках про Землю прикладів кореляційних функцій. П’ятий та шостий розділи цієї книги (друга частина) присвячено проблемам статистичного моделювання випадкових функцій за інтерполяційними формулами Шеннона .

В першому розділі посібника розглядається задача статистичного моделювання реалізацій стаціонарних періодичних випадкових процесів, розроблена на основі спектрального розкладу таких процесів. Побудовано статистичну модель та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій гауссівських стаціонарних періодичних випадкових процесів, які задані своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією. Наведено обчислення спектральних коефіцієнтів. Проводиться дослідження оцінок середньоквадратичних наближень випадкових процесів частковими сумами спектрального розкладу. Наводиться приклад застосування моделі та алгоритму до статистичного моделювання випадкових процесів у аеромагнітометрії. В другому розділі книги розглядається задача статистичного моделювання реалізацій гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів на площині та подається розробка методів побудови моделей і алгоритмів статистичного моделюваня таких полів із заданими статистичними характеристиками. Ці методи базуються на спектральній теорії полів. Досліджуються оцінки середньоквадратичних наближень двовимірних полів моделями. Обчислено спектральні коефіцієнти прикладів кореляційних функцій. Наведено застосування статистичного моделювання двовимірних полів до досліджень на території потенційно-небезпечних об`єктів, а

9

також на прикладах даних аеромагнітометрії з використанням сплайнових апроксимацій. Третій розділ посібника присвячений задачі статистичного

моделювання реалізацій однорідних ізотропних гауссівських випадкових полів в тривимірному просторі, яка розроблена на основі спектрального розкладу таких полів. Використовується підхід до чисельної побудови випадкових функцій із заданою спектральною щільністю – метод рандомізації. Він визначається відповідним рандомізованим представленням спектрального розкладу кореляційної функції однорідного випадкового поля і застосовується у поданій частині для моделювання випадкових полів. Побудовано статистичну модель та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій однорідних ізотропних гауссівських випадкових полів в тривимірному просторі, які задані своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією. Наведено приклад практичного застосування методу Монте-Карло в тривимірному просторі для досліджень на проммайданчику Рівненської АЕС.

В четвертому розділі розглядається задача статистичного моделювання реалізацій гауссівських ізотропних випадкових полів на тривимірній сфері та подається розробка моделі та методу побудови алгоритму статистичного моделювання таких полів із заданими статистичними характеристиками, який базується на спектральній теорії. Наведено приклад застосування статистичного моделювання тривимірних полів у задачах моніторингу геологічного середовища. В п’ятому розділі розглядається задача статистичного моделювання сепарабельних випадкових процесів та полів на площині на основі теореми Котельникова-Шеннона за інтерполяційними формулами з регулярною решіткою. Наводиться приклад впровадження розроблених моделей в дослідження параметрів сейсмічного шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками.

В шостому розділі побудовано модель та алгоритм статистичного моделювання для випадкових полів на циліндрі з

10

використанням теореми Шеннона. Також застосовано розклад Шеннона таких випадкових полів у вигляді ряду із значень цих полів на деякій послідовності рівновіддалених моментів часу для статистичного моделювання однорідних за часом ізотропних з обмеженим за часом спектром ізотропних випадкових полів на сфері. Розклади Шеннона застосовано для однорідних за часом з обмеженим за часом спектром однорідних ізотропних за просторовими координатами в дво- та тривимірному просторі випадкових полів. Наводяться оцінки апроксимації в середньому квадратичному процесів та полів частковими сумами таких розкладів. Сконструйовано моделі випадкових таких полів і побудовано алгоритми статистичного моделювання. Впровадження цих алгоритмів продемонстровано на прикладах.

В основу навчального посібника покладено наукові результати, які опубліковані автором в періодичних вітчизняних та зарубіжних виданнях, в одноосібній монографії “Статистичне моделювання випадкових процесів та полів” ( К.: ВГЛ “Обрії”, 2011, 388 с.), а також матеріали навчальних посібників:

1. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання випадкових процесів та полів на площині у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2004, 59 с.

2. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання тривимірних випадкових полів у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2004, 46 с.

3. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання випадкових процесів та полів у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2007, 160 с.

11

В навчальному посібнику представлено оригінальні достатньо адекватні методи статистичного моделювання випадкових процесів та полів на просторах різної розмірності. Велику увагу в книзі приділено впровадженню розроблених моделей та алгоритмів до геологічних задач.

Професор Зоя Олександрівна Вижва

Київ, 2019

12

Вступ.

Неможливо уявити собі сучасну науку без широкого

застосування математичного моделювання. Суть цієї методології полягає в заміні вихідного об’єкту його “образом” – математичною моделлю – та подальшому дослідженні моделі за допомогою обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються на комп’ютерах [90]. Цей метод пізнання , конструювання, проектування суміщає в собі багато переваг як з теоретичної точки зору, так і в практичному застосуванні. Робота не з самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і без суттєвих затрат дослідити його властивості і поведінку в будь-яких можливих ситуаціях (переваги теорії). В той же час обчислювальні ( комп’ютерні, симуляційні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють, опираючись на потужність сучасних обчислювальних методів та технічних інструментів інформатики, детально і глибоко вивчати об’єкти в достатній повноті, що недоступна чисто теоретичним підходам. Тому не дивно, що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи все нові сфери – від розробки технічних систем та управління ними до аналізу найскладніших економічних, природничих та соціальних процесів.

Елементи математичного моделювання використовувались з самого початку появи точних наук, і не випадково, що деякі методи обчислень носять імена таких корифеїв науки, як Ньютон та Ейлер, а слово “алгоритм” походить від імені середньовічного арабського вченого Аль-Хорезмі. Друге “народження” цієї методології прийшлось на кінець 40-х – початок 50-х років ХХ століття і було обумовлено, в основному, двома причинами. Перша із них – поява ЕОМ (комп’ютерів), хоча і скромних по нинішнім міркам, але тим не менше, які змогли вивільнити вчених від великої за об’ємом рутинної обчислювальної роботи. Друга – безпрецедентне соціальне замовлення – виконання національних програм колишнього

13

СРСР та США по створенню ракетно - ядерного щита, які не могли бути реалізовані традиційними методами. Математичне моделювання впоралося з цією задачею: ядерні вибухи та польоти ракет і супутників були попередньо “здійснені” в надрах ЕОМ за допомогою математичних моделей і лише потім втілені на практиці. Цей успіх в більшості визначив подальші досягнення методології, без застосування якої в розвинутих країнах ні один широкомасштабний технологічний, екологічний або економічний проект тепер серйозно і не розглядається. Це справедливо і по відношенню до деяких соціально-політичних проектів.

Зараз математичне моделювання перейшло в третій принципово важливий етап свого розвитку, ”вбудовуючись” в структури так званого інформаційного суспільства. Вражаючий прогрес засобів переробки, передачі та збереження інформації відповідає світовим тенденціям до ускладнення та взаємному проникненню різних сфер людської діяльності. Без володіння інформаційними “ресурсами” не можна і думати про розв’язок все більш різноманітних і глобальніших проблем, що стоять перед світовим співтовариством. Однак інформація, як така, часто мало що дає для аналізу та прогнозу, для прийняття рішень та контролю за їх виконанням. Потрібні надійні способи переробки інформаційної “сировини” в готовий “продукт”, тобто, в точне знання. Історія методології математичного моделювання переконує: вона може і повинна бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, всього процесу інформатизації суспільства.

Технічні, екологічні, природничі, економічні та інші системи, які вивчаються сучасною наукою, більше не піддаються дослідженню (в потрібній повноті та точності) звичайними теоретичними методами. Прямий натурний експеримент над ними довгий, дорогий, часто або небезпечний, або просто неможливий, оскільки багато із цих систем існують в “єдиному екземплярі”. Ціна помилок і прорахунків при їх використанні недопустимо висока. Тому математичне (ширше –

14

інформаційне) моделювання є неминучою складовою науково-технічного прогресу.

Постановка питання про математичне моделювання якого-небудь об’єкту породжує чіткий план дій. Його можна умовно розбити на три етапи: модель – алгоритм – програма (див. схему).

На першому етапі вибирається (або будується) “еквівалент”

об’єкта, який відображає в математичній формі найважливіші його властивості – закони, яким він підпорядкований, зв’язки, які притаманні його частинам і т. д. Математична модель (або її фрагменти) досліджуються теоретичними методами, що дозволяє отримати важливі попередні знання про об’єкт.

Другий етап – вибір (або розробка) алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері. Модель подається у формі, зручній для застосування чисельних методів, визначається послідовність обчислювальних логічних операцій, які потрібно виконати, щоби знайти шукані величини із заданою точністю. Обчислювальні алгоритми повинні не спотворювати основні властивості моделі і, що з цього випливає, самого об’єкта, який досліджується. Вони мають бути економічними і такими, що адаптуються до задач, які розв’язують, а також до комп’ютерів, що використовуються.

На третьому етапі створюються програми, які “перекладають” модель і алгоритм на доступну комп’ютеру

15

мову. До них також ставляться вимоги економічності та адаптивності. Їх можна назвати “електронним” еквівалентом об’єкта, який вивчається, таким, що годиться для безпосереднього випробовування на “експериментальній установці” – комп’ютері.

Створивши тріаду ”модель-алгоритм-програма”, дослідник отримує в руки універсальний, гнучкий і недорогий інструмент, який спочатку підлагоджується, тестується в “пробних” обчислювальних експериментах. Після того, як адекватність (достатня відповідність) тріади вихідному об’єкту перевірена, з моделлю проводяться різні та детальні “досліди”, які дають всі необхідні якісні та кількісні властивості та характеристики об’єкта. Процес моделювання супроводжується покращенням і уточненням, залежно від необхідності, всіх ланок тріади.

В той же час, математичне моделювання не підміняє собою математику, фізику, біологію та інші наукові дисципліни, які конкурують з ними. Навпаки, важко переоцінити його синтезуючу роль. Створення та застосування тріади неможливе без використання самих різних методів та підходів – від якісного аналізу нелінійних моделей до сучасних мов програмування. Воно дає нові додаткові стимули розвитку самим різним напрямкам науки.

Розв’язуючи проблеми інформаційного суспільства, було б наївно розраховувати лише на комп’ютери та інші засоби інформатики. Постійне удосконалення тріади математичного моделювання та її впровадження в сучасні інформаційно-моделюючі системи – методологічний імператив. Лише його виконання дає можливість отримувати таким чином потрібну нам високотехнологічну, конкурентоздатну і різновидну матеріальну та інтелектуальну продукцію.

А в цьому навчальному посібнику розглядаються стохастичні математичні моделі, які описують різноманітні явища природи і суспільства, що мають ймовірнісний характер. Приклади застосування таких моделей наведено в геологічних науках, хоча область їх використання можна розширити на будь-які

16

чисельні дані, що містять елементи випадковості (фізичні, біологічні, економічні, соціологічні, психологічні, тощо ).

Теорія ймовірностей є той розділ математики, який вивчає математичні закономірності випадкових явищ. Надалі не будемо розглядати основні поняття і положення цієї науки (з ними можна ознайомитися в численних підручниках), а перейдемо до розгляду методу статистичного моделювання (інша назва – метод Монте–Карло). Метод Монте–Карло – це обчислювальний метод розв’язування математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин.

Датою народження методу статистичного моделювання прийнято вважати 1949 рік, коли з’явилась стаття під назвою “The Monte Carlo method”. Засновниками цього методу вважають американських математиків Дж. Неймана та С. Улама.

За допомогою методів статистичного моделювання можна згенерувати на комп’ютері реалізації випадкового процесу або випадкового поля, для яких отримано засобами статистичної обробки необхідну інформацію. А саме, якщо процес або поле гауссівські, то необхідно знати їх математичне сподівання та кореляційну функцію або матрицю. Якщо такі статистичні характеристики відомі для негауссівської випадкової функції, то цього може бути досить при розв’язку задач, де суттєві лише ефекти, що пов’язані з моментами не вище другого порядку.

Наведемо опис основних підходів до статистичного моделювання випадкових процесів та випадкових полів, які розроблені вченими, що займаються проблемами у цій галузі:

Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон, 1981 [165], С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов, 1982 [59], А.Ф. Сизова, Т.М. Товстік, 1984 [91], И.М. Соболь, 1985 [94], З.О. Грих (З.О. Вижва), 1987 [53], М. Ядренко, З. Грих, О. Ядренко, 1993 [149], З.О. Вижва, 1997, 2003, 2004, 2006, 2011, 2012, 2013(a), 2013 (б) [12, 13, 18, 20-23, 192, 193], С.М. Пригарін, 1994, 2005, [86, 87], T. Гнеттінг, 1996, 2007, 2010 [147-149], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], M. Шлатер, 1999 [184], М.Й. Ядренко, З.О. Вижва, 2000 [43], Ю.В. Козаченко, А.О. Пашко, 1999, 2007, 2016 [63-65], С.А. Вижва, З.О. Вижва, 2000(а), 2001, 2003, 2004 [33,34, 36, 41], З.О. Вижва,

17

В.К. Демидов, А.С. Вижва, 2006, 2008, 2010(а), 2010(б), 2011, 2012(а), 2012(б), 2018 (а), 2018 (б), 2018 (в) [42, 43, 26-30, 195-197], З.О. Вижва, О.Г. Зражевський, 2008 [31], З.О. Вижва, А.С. Вижва, 2010, 2016 [25, 203], З. Вижва, K. Федоренко, 2013, 2016 [200, 203], З. Вижва, K. Федоренко, А. Вижва, 2016 (a), 2016 (б), [201, 202], З. Вижва, В. Демидов, K. Федоренко, А. Вижва, 2017 [198].

Перший спосіб моделювання випадкових функцій, заданих дробово-раціональною спектральною щільністю, полягає у розв’язанні стохастичних диференціальних рівнянь. Цей метод відносно просто реалізується, оскільки такі рівняння наближено замінюються їх аналогом у вигляді скінченних різницевих рівнянь.

Другий спосіб – це моделювання випадкових процесів та полів типу ковзного підсумовування або за допомогою авторегресії та ковзного середнього, який, на відміну від першого, може використовуватись для моделювання гауссівських випадкових функцій із будь-якою спектральною щільністю.

Третій спосіб моделювання випадкових функцій базується на зображенні моделі випадкового процесу чи поля у вигляді детермінованих функцій від випадкових величин і має назву методу канонічних розкладів. Його зручно використовувати у тих випадках, коли для випадкової функції, що досліджується, вдається ідентифікувати всі складові її канонічного розкладу. До цього методу статистичного моделювання відносяться розроблені у посібнику методи на основі спектральних та інтерполяційних розкладів випадкових процесів та випадкових полів.

І четвертий підхід до чисельної побудови випадкових функцій із заданою спектральною щільністю – це метод рандомізації. Він визначається відповідним рандомізованим представленням спектрального розкладу кореляційної функції однорідного випадкового поля і застосовується у посібнику для такого типу випадкових полів.

18

Також слід додати, що вченими Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165] запропоновано генерування випадкових полів на двовимірних та тривимірних просторах оригінальним методом TBM (turning band method) у застосуванні до задач гірничої справи та гідрології.

Наведемо деякі відомості із статистичного моделювання стаціонарних випадкових процесів та однорідних ізотропних випадкових полів .

Як відомо, випадковий процес називається стаціонарним, якщо його властивості не змінюються з часом, якщо змінна – час, або із зміною положення, якщо змінна – відстань. Просторова випадкова функція, тобто випадкове поле із тими ж характеристиками, називається однорідною. Нижче будуть наводитись строгі математичні означення цих понять.

В теорії випадкових функцій властивість стаціонарності випадкових процесів та аналогічна властивість для двовимірних та тривимірних випадкових функцій (випадкових полів) – це однорідність та ізотропність, надають можливість представити такі випадкові функції у вигляді деяких рядів. Ці ряди називаються спектральними розкладами, а розділ теорії ймовірностей, що їх вивчає, має назву спектральної теорії випадкових полів. Статистичне моделювання однорідних та ізотропних випадкових полів можна здійснити при застосуванні їх спектральних розкладів (М.Й. Ядренко, 1980 [109]), якщо відома їх кореляційна або спектральна функція.

Математичний аналіз властивостей кореляційних функцій для гауссівських випадкових полів, що розглядаються, який можна застосовувати на практиці (зокрема, в задачах статистичного моделювання) для конкретних прикладів, наведено в монографії П. Абрахамсен [112].

19

ЧАСТИНА 1.

Статистичне моделювання випадкових функцій на основі спектральних розкладів

В геології багато явищ описуються випадковими функціями

із властивістю однорідності (стаціонарності). Як відомо, випадковий процес називається стаціонарним, якщо його властивості не змінюються з часом, якщо змінна – час, або із зміною положення, якщо змінна – відстань. Прикладом стаціонарного процесу може служити сейсмічний запис з автоматичним регулятором підсилення на довільному інтервалі довжиною 0,5 с. Якщо така властивість не має місця для отриманих даних, то існують способи зведення випадкових процесів до стаціонарних, а випадкових полів – до однорідних. Це, наприклад, застосування простої процедури вирівнювання, або віднімання лінійного тренду із спостережень.

В теорії випадкових функцій властивість стаціонарності випадкових процесів та аналогічна властивість для двовимірних та тривимірних випадкових функцій (випадкових полів) – це однорідність та ізотропність, надають можливість представити такі випадкові функції у вигляді деяких рядів. Ці ряди називаються спектральними розкладами, а розділ теорії ймовірностей, що їх вивчає, має назву спектральної теорії випадкових полів (М.Й. Ядренко, 1980 [109]). Статистичне моделювання стаціонарних періодичних випадкових процесів та однорідних ізотропних випадкових полів можна здійснити при застосуванні їх спектральних розкладів.

Слід зазначити, що ізотропні випадкові поля відіграють велику роль в моделюванні просторових явищ. В роботі T. Гнеттінг, 1997 [147] розглядається ряд проблем, пов’язаних із кореляційними функціями ізотропних випадкових полів, що находять застосування в геологічних науках. В ній наводиться класифікація прикладів таких функцій та проводиться аналіз компютерного генерування двовимірних ізотропних випадкових полів методом ТВМ (методом обертання груп).

20

Р. Френк [143] підготував досконалий перелік кореляційних моделей, які пропонувались в метеорології. С. Мейєр [166] навів огляд моделей ізотропних кореляційних функцій, які застосовуються в фізичній геодезії. П.Т. Стол [190] зібрав приклади таких функцій, які використовуються в дослідженнях опадів. Книга Х. Васкернегел [204] містить достатньо вичерпну таблицю кореляційних функцій із багатовимірної геостатистики, а робота С. Мейєр та В. Келлер [167] дає спектральні щільності таких кореляційних функцій. Книга A. M. Яглома [209, 210] має більш теоретичну орієнтацію, але містить корисний розділ із прикладами ізотропних кореляційних функцій, що застосовують в метеорології. В гірничій справі моделями ізотропних кореляційних фунцій займались Ж. Матерон. [162], М. Армстронг, Р. Ябін [115], в геостатистиці – М. Армстронг, П. Даймонд [113], в геоморфології – M.Е.Олівер, Р. Вебстер [171].

В московському інституті проблем безпеки розвитку атомної енергетики Р. В. Арутюнян , Л.А. Большов та ін. застосували методику аналізу просторово розподілених даних з використанням пакета прикладних програм GEO-EAS [146], створеного при участі Агентства по Охороні Оточуючого Середовища США, до даних по Чорнобильським випадінням. В рамках досліджень було промодельовано анізотропне двовимірне випадкове поле таких випадінь за допомогою сферичної кореляційної моделі (Р. В. Арутюнян , Л.А. Большов, 1994 [3]).

Доповнюють перелік робіт про моделі кореляційних функцій із застосуванням в геофізиці роботи Кулханека О. [68], А. А. Нікітіна [77-80] про оцінку впливу кореляції перешкод в задачах фільтрації, роботи Ф.М. Гольцмана [50-51] про опис кореляційних властивостей аномалій в структурній гравірозвідці, роботи М. К. Полшкова та інших. [84], В. Н. Трояна [95] про оцінку кореляційних властивостей похибок в гравірозвідці та сигналів у сейсморозвідці.

В роботі авторів Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128] досліджується приклад трикутної кореляційної функції для випадкових процесів, а також її періодичне продовження на всю

21

дійсну числову вісь. Це пов’язано із застосуванням такої функції до проблем гірничої геостатистики.

Математичний аналіз властивостей кореляційних функцій для гауссівських випадкових полів, що розглядаються, який необхідно застосовувати на практиці (зокрема, в задачах статистичного моделювання) для конкретних прикладів, наведено в монографії П. Абрахамсен [112].

У цій частині посібника розроблено алгоритми статистичного моделювання стаціонарних періодичних випадкових процесів та однорідних ізотропних випадкових полів в просторах різної розмірності на основі їх спектральних розкладів у застосуванні до більшості із перелічених вище прикладів кореляційних функцій.

22

-------------------------------------------------------------- Розділ 1.

Статистичне моделювання періодичних випадкових процесів

--------------------------------------------------------------

У зв’язку з розвитком комп’ютерної техніки, методи чисельного моделювання випадкових процесів широко застосовуються в різних областях геологічних наук, зокрема таких, як геофізика, гідрогеологія, метеорологія, геоінформатика, метеорологія, тощо.

В першому розділі досліджується задача статистичного моделювання реалізацій стаціонарних періодичних випадкових процесів, розроблена на основі спектрального розкладу таких процесів. Наведено обчислення спектральних коефіцієнтів для важливих у застосуванні прикладів кореляційних функцій випадкових процесів, що розглядаються. В другому підрозділі 1.2 стаціонарні періодичні випадкові процеси розглядаються як “звуження” однорідних та ізотропних випадкових полів на площині на коло фіксованого радіуса. Доповнено ряд важливих прикладів кореляційних функцій випадкових процесів та наведено обчислення спектральних коефіцієнтів для них. В першому розділі також досліджується оцінка середньоквадратичного наближення стаціонарного періодичного випадкового процесу частковими сумами рядів Фур’є. Зокрема, розглядається оцінка для 2-періодичного випадкового процесу. На основі наведених результатів побудовано статистичну модель та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій гауссівських стаціонарних періодичних випадкових процесів, які задані своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією.

Періодичні випадкові процеси часто є об’єктом досліджень в геофізиці, фізиці атмосфери, гідрогеології, сейсмології,

23

метеорології та інших науках. Випадкові процеси називаються періодичними, якщо їх поведінка повторюється через деякий проміжок часу, коли у них змінна – час, або через деякий проміжок відстані, якщо у них змінна – відстань. Такі явища, як флуктуації приливів та відливів, сезонні зміни температури, послідовності шарів земної поверхні та багато інших мають властивості періодичності. Періодичними також є записи, що породжені пристроєм, який називається дифрактометром X–променів.

Метод статистичного моделювання періодичних стаціонарних випадкових процесів на основі спектрального розкладу таких процесів дає можливість за окремими отриманими значеннями їх реалізацій знайти досконале зображення цих процесів на всьому інтервалі спостережень. Такий напрямок наукових досліджень розробляється вже відносно давно. За останні десятиріччя цей математичний підхід до вирішення геологічних задач використовували, поряд з іншими дослідниками, вчені М. Шінозука та C.M. Жан [185], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], а також розглядався у роботах С.А. Вижви, З.О. Вижви, 2000(1), 2001, 2003(б), 2004 [34, 36, 40, 41], З. Вижви, В. Демидова, А. Вижви, 2012(а) [29].

В цьому розділі розглянута задача статистичного моделювання періодичних стаціонарних випадкових процесів, яка розроблена на основі їх спектрального розкладу авторами: З.О. Вижва, 2003, 2004, 2005 [12, 13, 19], З.О. Вижва, А.С. Вижва, 2010 [25]. Наведено обчислення відповідних спектральних коефіцієнтів для типових прикладів кореляційних функцій випадкових процесів, які мають широке застосування в геологічних науках. Побудовано статистичну модель та алгоритм чисельного моделювання періодичних стаціонарних випадкових процесів з використанням спектральних коефіцієнтів. Наведено оцінки середньоквадратичного наближення періодичного (з періодами 2Т та 2 ) стаціонарного випадкового процесу частковими сумами ряду, яка дає можливість задавати точність моделювання.

24

Продемонстровано в роботі З. Вижви, В. Демидова, А. Вижви, 2012 [29] (див. параграф 1.3) застосування запропонованого алгоритму на прикладі до задач аеромагнітометрії.

1.1 Спектральний розклад стаціонарних періодичних

випадкових процесів та приклади. Статистичне моделювання випадкових процесів та

випадкових полів засноване на теорії випадкових функцій. В першому розділі розглядаються одновимірні випадкові функції, тобто випадкові процеси.

Нехай ( Т, Т ] ) – дійснозначний стаціонарний в широкому розумінні випадковий процес другого порядку.

Стаціонарність в широкому розумінні означає, що виконуються наступні умови:

1) TTconst ,, (для спрощення

викладок припустимо, що 0); 2) ,,,),( 212121 TTB

тобто, кореляційна функція В випадкового процесу залежить лише від зміни різниці аргументів ρ =φ1- φ2.

А те, що – випадковий процес другого порядку, означає скінченність другого моменту цього процесу, тобто:

.,,2 TT (1.1.1)

Введемо для випадкового процесу припущення, що він є

неперервним в середньому квадратичному. Це означає, що для кожної точки * Т, Т ] справедлива умова:

25

.,,0**

2

12 TT

Тоді кореляційна функція )(B неперервного в

середньоквадратичному стаціонарного дійснозначного процесу допускає спектральний розклад, який випливає із теореми Хінчина (враховуючи парність кореляційної функції в дійснозначному випадку):

).(cos2)( uduВ

(1.1.2)

де ( )u – монотонно неспадна функція, яка називається спектральною функцією стаціонарного випадкового процесу . Причому, функція ( )u визначається формулою (1) з точністю до довільного постійного доданку, який підбибрається

так, щоб виконувалась умова ( ) 0 . Далі сформулюємо цю теорему (І.І. Гіхман, А.В. Скороход,

М.Й. Ядренко [49]).

Спектральний розклад кореляційної функції стаціонарного процесу

Теорема (Хінчина). Для того, щоб функція )(B була кореляційною функцією неперервного в середньоквадратичному слабо стаціонарного процесу , необхідно і достатньо, щоб вона мала вигляд:

).()()( uduiеxpВ

(1.1.3)

де )(u – монотонно неспадна функція. Очевидно, що функція

)(u визначається формулою (1.3) лише з точністю до

26

довільного постійного доданку, який можна вибрати так, щоб

виконувалось співвідношення ( ) 0. В дійснозначному випадку, як відомо

)()( BB

і це означає: 2/)()()( BBB ,

тому формулу (1.1.3) тут можна переписати у наступному вигляді :

).(cos)(cos2)(0

uGduuduВ

, (1.1.4)

)()()( ududuGd ,

де )()()( ududuGd , при .0u Кореляційна функція (А.М. Яглом [106])

)(B стаціонарного випадкового процесу при умові, що

0)( , буде збігатися до нуля при . Нехай

)(B спадає при настільки швидко, що

.)(

dВ (1.1.5)

В такому випадку )(B може бути розкладена в інтеграл Фур’є :

udufuiеxpВ )()()(

, (1.1.6)

27

де )(uf – обмежена і неперервна функція. Формула (1.1.6), очевидно, являється частковим випадком формули (1.1.3). Вона отримана, якщо при умові (1.1.5) скористатися співвідношеннями:

udufиФи

)()( (1.1.7)

де ).()( иФuf Вираз для кореляційної функції (1.1.6) можна ще записати, враховуючи парність кореляційної функції в дійснозначному випадку, у вигляді:

.)()(2)(0

udufuсоsВ

(1.1.8)

Звідси видно, що в розглянутому випадку, )(u – диференційована функція. Представлення кореляційної функції )(B у вигляді інтеграла Фур’є (1.1.3) або (1.1.6) називається спектральним розкладом (в інтегральній формі) кореляційної функції. Функція )(u , що входить в цей розклад, називається спектральною функцією стаціонарного випадкового процесу , якщо ж вона представлена у вигляді (1.1.6), то )(uf називають спектральною щільністю цього процесу. В силу формули (1.1.4) маємо

2,)()0()(

Вud

28

так що

,)()()(

ud

тому спектральна функція – обов’язково обмежена. Якщо існує спектральна щільність )(uf , то, очевидно,

)0()( Вuduf ;

таким чином, спектральна щільність завжди інтегрована.

Згідно з формулами (1.1.3) і (1.1.6), знаючи спектральну функцію )(u або спектральну щільність )(uf стаціонарного

процесу , неважко визначити його кореляційну функцію )(B . Навпаки, по кореляційній функції )(B процесу ,

можна обчислити і його спектральну функцію )(u або його

спектральну щільність )(uf . Зовсім інше діло, коли виконується умова (1.1.5), і тому існує неперервна спектральна щільність )(uf ; згідно (1.1.6), )(B тут являється

перетворення Фур’є функції )(uf , і тому щільність )(uf може бути визначена за допомогою звичайної формули обернення інтегралів Фур’є:

.)()(2

1)(

dВuiеxpuf

(1.1.9)

Нехай ( Т, Т ] ) – дійснозначний стаціонарний в

широкому розумінні 2Т-періодичний випадковий процес другого порядку.

Періодичність випадкового процесу передбачає періодичність його кореляційної функції.

29

При виконанні наведених вище припущень справедлива теорема про спектральний розклад такого випадкового процесу [109 ].

Теорема 1.1. Стаціонарний 2Т–періодичний неперервний в середньому квадратичному випадковий процес ( Т, Т]) можна подати у вигляді спектрального розкладу:

,sincos2 1

0

T

k

T

kkk

k

(1.1.10)

де ,...)2,1,0(, kkk послідовності випадкових

величин, що задовольняють умовам:

1) ,...;2,1,0,0;0 krkkk (1.1.11)

2) ),1,( rkbkrkrkrk (1.1.12)

де ,,...;2,1,01

kkk bkb (1.1.13)

а rk – символ Кронекера.

При цьому, кореляційну функцію В випадкового процесу можна подати у вигляді розкладу, який є спектральним розкладом кореляційної функції:

,cos2 1

0

k

k T

kb

bB

(1.1.14)

де коефіцієнти ,...)2,1,0( kbk є спектральними

коефіцієнтами. Вони виражаються через кореляційну функцію випадкового процесу формулою:

30

.cos1 d

T

kB

Tb

T

T

k

(1.1.15)

Відзначимо, що ряд (1.1.1) збігається у середньому

квадратичному. Коефіцієнти ,...)2,1,0(, kkk в розкладі (1.1.10)

визначаються співвідношеннями:

.sin1

,cos1 d

T

k

Td

T

k

T

T

T

k

T

T

k

Доведення цієї теореми наведено в роботі [12].

Відзначимо також, що таким чином можна довести, що:

.2 020 b

Зауважимо, що коли припустити виконання додаткової умови: ,1)(0 DB то спектральні коефіцієнти

kb задовольняють рівність:

.12 1

0

k

kbb

(1.1.16)

Доведення цього твердження також наведено в роботі [12]. Слід зауважити, що у випадку, коли розглядаються –

гауссівські випадкові процеси, то випадкові величини ,...)2,1,0(, kkk є взаємнонезалежними і нормально

розподіленими. Формула (1.1.15), у якій спектральні коефіцієнти

виражаються через кореляційну функцію випадкового процесу , надалі буде використовуватися для обчислення спектральних коефіцієнтів для конкретних важливих у

31

застосуванні прикладів кореляційних функцій випадкових процесів. Такі коефіцієнти можна виразити через кореляційну функцію (враховуючи її парність) випадкового процесу формулою:

0

2cos .

T

kk

b B dT T

(1.1.17)

Також можна вивести вираз для спектральних коефіцієнтів у

вигляді інтегралу від спектральної щільності )(uf :

,)()(

)sin(

)(

)sin(2

0

duufkТu

kТu

kТu

kТubk

(1.1.18)

де ...,2,1,02

2

k

T

ku

.

Це – вираз для обчислення спектральних коефіцієнтів ( 0,1, 2,...)kb k стаціонарного 2Т-періодичного випадкового

процесу , коли відома його спектральна щільність )(uf . Формули (1.1.15) та (1.1.18), у якій спектральні коефіцієнти

виражаються через кореляційну функцію В або спектральну щільність )(uf випадкового процесу , використовуються

для обчислення спектральних коефіцієнтів ( 0,1, 2,...)kb k для конкретних прикладів кореляційних функцій випадкових процесів. Потрібно відзначити, що не завжди вдається знайти явний аналітичний вигляд цих коефіцієнтів. Тому саме в таких випадках, коли виникають наведені вище труднощі, в цій статті пропонується використовувати обчислене за допомогою відомих математичних пакетів програм чисельне значення

32

інтегралів (1.1.15) на прикладі кореляційної функції типу гауссівської кривої.

В наступних викладках наводяться приклади періодичних

стаціонарних випадкових процесів, які мають широке застосування в геофізиці та інших геологічних науках і науках про Землю. Слід відзначити, що їх перелік можна значно розширити, якщо розглядати періодичні стаціонарні випадкові процеси, як “звуження” однорідних та ізотропних випадкових полів на площині r, (r R+, 0, 2] – полярні координати точки на площині) на коло радіуса r. Деякі відомості із спектральної теорії випадкових полів на площині наведені в параграфі 2.1.

В роботі Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128] детально досліджується приклад трикутної кореляційної функції, а також її періодичне продовження на всю дійсну числову вісь. Це пов’язано з її застосуванням до проблем гірничої геостатистики. В цьому параграфі наводиться для такого типу функцій спектральні коефіцієнти у явному вигляді, які будуть далі використовуватись з метою статистичного моделювання випадкових процесів, що розглядаються, запропонованим методом. Також вказується спосіб визначення необхідної кількості гармонік ряду, у вигляді якого зображено процес, і такий, що відповідає заданій точності моделювання.

Далі розглядаються приклади кореляційних функцій періодичних стаціонарних випадкових процесів. Для такого типу функцій наводяться виведення аналітичних формул для спектральних коефіцієнтів ,...)2,1,0k(bk , які можна використати з метою статистичного моделювання випадкових процесів, що розглядаються, запропонованим методом. Результати обчислень подано в табл. 1.

Розглянемо наступні приклади. Приклад 1.«Білий шум в скінченній смузі частот» Яглом

А.М. [106]. Дуже часто в застосуваннях можна вважати, що процес , який розглядається, має постійну спектральну щільність ƒ(u) на деякому відрізку, тобто:

33

.,0

,,0

u

ufuf (1.1.19)

Відповідна їй кореляційна функция B(ρ) , очевидно, має

вигляд:

0 0 0

sinexp ( ) 2 0, 0.B f i u d u f f

(1.1.20)

В практичних застосуваннях до геологічних задач часто

зустрічається y модель стаціонарних випадкових процесів, яка має назву кардинальний синус [128]. Наведена вище кореляційна функція (1.1.20) відноситься до сімейства Бесселя ( при значенні параметра n= 1 ) вигляду:

,,2,1,0,

)()(

2/2/ n

JB

nn

де J(x) – функція Бесселя першого роду порядку . Це видно із рівності:

.0,

)(sin)( 2/1

2/1 cc

cJ

c

cB

(1.1.21)

За формулою (1.1.18) можна обчислити спектральні

коефіцієнти для цього прикладу з використанням інтегрального сінуса:

34

.sin

2)(

0

duu

uxsi

x

(1.1.22)

Отже, підставимо вираз (1.1.19) в формулу (1.1.18) і отримаємо вираз:

,)sin()sin(

20

0 dukuТ

kuТ

kuТ

kuТfbk

звідки, обчисливши інтеграли, отримаємо формулу для спектральних коефіцієнтів кореляційної функції бесселевого типу (1.1.20) :

02( ) ( ) 0,1, 2,... .k

fb si Т k si Т k k

Т (1.1.23)

Приклад 2. На практиці [106] зустрічається модель

стаціонарних випадкових процесів, яка має вигляд косинусоїди, а саме:

.0,0c,coscB (1.1.24)

Відповідна їй спектральна щільність ƒ(u) зображується

наступною формулою:

,,2

1Ruuuc

uf (1.1.25)

де δ(u) – дельта-функція, поява якої пов’язана з тією обставиною, що кореляційна функція (1.1.24) не затухає на нескінченності, точніше:

( ) ,d

t tdt

де

35

0 , 0

1( ) , 0 ,

21, 0 .

t

t t

t

Обчислимо спектральні коефіцієнти ,...)2,1,0k(bk для

кореляційної функції B(ρ) типу косинусоїди. Для цього скористаємось виразом (1.1.17) при Т=π/2, звідки маємо:

.dk2coscosC4

b2

0

k

Обчисливши цей інтеграл, отримаємо наступний вираз для

спектральних коефіцієнтів kb :

...,2,1,04

,)2(

)2(2

sin

)2(

)2(2

sin2

22

kk

k

k

k

kCbk

. (1.1.26)

Приклад 3. Узагальнений вид трикутної кореляційної

функції вивчався А.М. Ягломом у застосуванні до метеорологічних явищ [106]. Нехай для стаціонарного випадкового процесу кореляційна функція має вид трикутної функції, тобто:

36

,,0

,),(

Tt

TttTCtB (1.1.27)

де С, Т > 0; 1Rt . Тоді відповідна їй спектральна щільність подається у вигляді

формули:

.,)2/(sin2 1

2

2

Ruu

TuCuf

(1.1.28)

Приклад 4. Спрощений вид трикутної кореляційної функції випадкового процесу , тобто такої, що залежить лише від одного параметра, має вигляд:

,,0

,,1

at

ata

ttB (1.1.29)

де а > 0. Графічне зображення такої кореляційної функції наводиться

на рис. 1.1. При цьому відповідна їй спектральна щільність залежатиме

теж від одного параметра а. Вона зображується у вигляді виразу:

12

2

,)2/(sin2

Ruua

uauf

, (1.1.30)

або у вигляді:

12

,)(cos11

Ruua

auuf

. (1.1.31)

37

B(t)

-a a 0

t

a

4 a

2 0 a

2 a

4

f(u)

u

(а) (б) Рис 1.1.1. Трикутна кореляційна функція (а) із параметром а та

відповідна їй спектральна щільність (б). Функція (1.1.29) – не періодична, але вона визначена на

деякому відрізку [– a , a ] та підсумовувана на ньому. Це дає можливість (Бари Н.К., [5]) функцію B(t) періодично продовжити до функції BТ(t) з періодом 2Т (Т a) на всю пряму R1. Виберемо функцію BТ(t) такого виду:

.],2,2[,0

],2,2[,2

1

kTkaTkat

TkaTkata

TkttBT

(1.1.32)

де а > 0, Т a.

Тоді кореляційну функцію BТ(t) можна подати [12] у вигляді ряду:

38

,/Ttki

kkT ebtB

(1.1.33)

де коефіцієнти )( kbk визначаються за виразами:

,...)2,1,0(,2

1

kdeB

Tb T

kT

T

k

(1.1.34)

або, враховуючи, що функція BТ(t) – парна, то вона розкладається в ряд (1.1.14), де спектральні коефіцієнти

)( kbk визначаються із формули (1.1.17) за виразом:

0

1(1 ) cos ( 0, 1, 2,...).

T

k

t k tb d t k

T a T

(1.1.35)

Після інтегрування частинами знаходимо явний вигляд

спектральних коефіцієнтів для 2Т-періодичного випадкового процесу із кореляційною функцією (1.1.29), а саме:

,2

10

a

T

ab

...,2,1

,cos1)1(sin1

k

T

ak

k

la

T

ak

kbk

(1.1.36)

Далі наведемо часткові випадки виразів (1.1.21) для прикладу

кореляційної функції (1.1.29), що розглядається. Нехай у формулі (1.1.29) параметр набуває значення а=1, тоді

спектральні коефіцієнти для 2Т-періодичного випадкового

39

процесу із трикутною кореляційною функцією визначаються за формулами:

...,2,1,cos1

1,

2

120

k

T

k

kb

Tb k

(1.1.37)

При цьому кореляційну функцію випадкового процесу

можна подати у вигляді ряду:

.cos1

2

2

1)(

12

T

tk

kT e

T

k

k

T

TtB

або, враховуючи, що ,...)2,1( kbb kk , можна

спростити цей ряд, отримавши розклад BТ(t) по косинусам:

.coscos1

2

2

1)(

12 T

tk

T

k

k

T

TtB

kT

(1.1.38)

Наведемо вирази для коефіцієнтів розкладу

,...)2,1,0( kbk при деяких значеннях періоду Т.

а) Нехай Т = 1, тоді:

.2,0

)(,12,4

,2

1 20

mk

Nmmkkbb k

Відзначимо, що ряд

0kkb перетворюється в добре

відоме співвідношення, яке можна отримати за допомогою формули підсумовування Пуассона [96]:

40

.1)12(

14

2

1

122

m m

b) Нехай Т = 2, тоді:

.4,0

,122,4

)(,12,2

,4

12

2

0

mk

mkk

Nmmkk

bb k

c) Нехай Т = 3, тоді маємо:

.6,0

,63,4

,6462,3

,)(,12,1

,6

1

2

2

2

0

mk

mkk

mmkk

Nmmkk

bb k

d) Оскільки часто на практиці найтиповішими бувають

періодичні процеси з періодом 2, то розглянемо випадкові процеси із кореляційними функціями прикладу 2 при значенні періоду Т = (приймаючи значення параметра а=1). Спектральні коефіцієнти для 2 – періодичного випадкового процесу із трикутною кореляційною функцією (1.1.29) в цьому випадку виражаються спрощеними формулами:

,...2,1,

cos1,

2

120

k

k

kbb k

(1.1.39)

41

Слід зауважити, що трикутна кореляційна функція (1.1.29) є

кореляційною функцією лише на прямій, а такою не являється в просторі R2 та в Евклідовому просторі вищої розмірності [115, 133].

Також відзначимо щодо застосування в геофізиці, то трикутна кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу описує властивості похибок при визначенні ефективної швидкості в сейсморозвідці [46].

Далі наводиться ще один із відомих в теорії випадкових функцій приклад кореляційних функцій періодичних випадкових процесів, яким відповідають спектральні коефіцієнти найпростішого вигляду. Цей тип функцій зустрічається при розгляді тривимірних випадкових полів на сфері 109].

Приклад 5. Нехай для 2-періодичного випадкового процесу спектральні коефіцієнти мають вигляд:

.0,)1,0(, cqqcb kk (1.1.40)

Отже, сферична кореляційна функція в одновимірному

випадку, тобто на одиничному колі, має наступний вигляд:

.cos21

1

2)(

2

2

qq

qcВ

(1.1.41)

Відзначимо, що в більш загальному випадку 2Т-періодичного

випадкового процесу вираз для сферичної кореляційної функції В() на колі радіуса /Tr має наступний вигляд:

.cos21

1

2)(

2

2

qT

q

qcB

(1.1.42)

42

Приклад 6. В гідрології та гірській справі знаходять застосування кореляційні функції, які називаються експоненціальними функціями [165]. Такі ж функції характерні для потенціальних геофізичних полів (напруженість магнітного поля, похідні гравітаційного потенціалу та інші). Вони зображаються у вигляді формули:

.0, aeB a (1.1.43)

Відповідна спектральна щільність в одновимірному просторі буде така:

.,1 1

22Ru

au

auf

(1.1.44)

Графічне зображення такої кореляційної функції наведено на

рис. 1.2(а), а відповідної спектральної щільності (при n = 1) – на рис. 1.2(б).

За формулою (1.1.17) можна обчислити (Вижва З.О., [12, 13, 19] ) спектральні коефіцієнти для цього прикладу (період Т = ) експоненціальної кореляційної функції :

...,2,1,]1)1([

22

1

kka

eab

ak

k

. (1.1.45)

Слід зазначити, що кореляційні функції (1.1.15)

застосовувались в геофізиці для оцінки впливу кореляції перешкод в задачах фільтрації [68], [80].

Функції (1.1.43) є кореляційними функціями не тільки випадкових процесів, але і випадкових полів розмірності n (n, n>1).

Якщо розглядати періодичний випадковий процес з періодом 2 як “звуження” випадкового поля на площині r,,

43

r R+, 0, 2 ], 2

sin2 21 r ) на коло радіуса

r=1. Тобто, при фіксованому r = 1 випадкове поле r, можна вважати 2-періодичним випадковим процесом. Тоді, за вираз для спектральних коефіцієнтів випадкового процесу можна взяти вираз для )(rbk із прикладу 2 в параграфі 2.1.

Аналогічно можна розглянути інші приклади із параграфа 2.1.

Слід відзначити, що Е.Т. Вуд 206] навів ряд умов, при яких будь-яка позитивно визначена кореляційна функція стаціонарного, неперервного в середньому квадратичному, дійснозначного випадкового процесу буде кореляційною функцією випадкового процесу на колі.

Приклад 7. На практиці 106]. часто зустрічається модель стаціонарних випадкових процесів, яка має назву експоненціально затухаючої косинусоїди. Така кореляційна функція має вигляд:

.0,0,0,cos acecB a (1.1.46)

Відповідна їй спектральна щільність зображується

формулою:

12 22 2

1 1, .

2

caf u u R

u a u a

(1.1.47)

Графічне зображення затухаючої косинусоїди та відповідної

їй спектральної щільності подано на наступному рисунку.

44

B(t)

t

(а)

2f(u)/B(0)

u

(б) Рис.1.1.2. Кореляційна функція із назвою експоненцально затухаюча косинусоїда (а) та відповідна їй нормована спектральна щільність (б). За формулою (1.1.17) можна обчислити спектральні

коефіцієнти для цього прикладу (Т = ; с = = 1 ).У роботі [12] отримано наступні вирази для обчислення спектральних

45

коефіцієнтів кореляційної функції типу експоненціально затухаючої косинусоїди. Спектральні коефіцієнти для 2-періодичного випадкового процесу визначаються за формулою:

,...2,1

,11

)1(12 2222

1

k

kbabkae

ab ka

k

(1.1.48)

Якщо випадковий процес – 2Т-періодичний, то маємо наступний вираз для обчислення спектральних коефіцієнтів :

22

)(sin)(cos

T

kba

kbTT

kbkbTea

T

eb

TaTa

k

.

)(sin)(cos

22

T

kba

kbTT

kbkbTea Ta

(1.1.49)

Кореляційні функції випадкових процесів типу затухаючої по

експоненті косинусоїди застосовувались в геофізиці для оцінки кореляційних властивостей похибок в гравірозвідці та сигналів в сейсморозвідці [84], [95]. Такі функції також використовувались в задачі доповнення із заданою детальністю даними результати вимірювань повного вектора напруженості магнітного поля в роботі З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [29].

Приклад 8. В геології часто знаходять використання кореляційні функції, які називаються Гауссівськими кривими. Вони задаються формулою:

46

.0,exp)( 2 aaCB (1.1.50)

Відповідна спектральна щільність ƒ(u) для цих кореляційних функцій випадкових процесів має вигляд:

.,4

exp2

12

Rua

u

a

Cuf

(1.1.51)

Цікавою особливістю такої функції є те, що така кореляційна

функція B(ρ) та відповідна їй спектральна щільність ƒ(u) мають однакову форму, тобто їх графіки відрізняються лише вибором масштабів вздовж осей координат.

Для Гауссівської кривої спектральні коефіцієнти в явному аналітичному вигляді не вдається знайти. Тому в якості спектральних коефіцієнтів ,...)2,1,0k(bk пропонується використовувати чисельне значення інтеграла:

.dT

kcos)а(ехрС

T

2)k,a(fb 2

T

0

k

(1.1.52)

Було проведено в роботі авторів З.О. Вижви, А.С. Вижви [25]

аналітичне дослідження засобами пакета програм MathCad залежності обчисленихв цьому пакеті значень спектральних коефіцієнтів 521 b,,b,b , які відповідають кореляційній

функції В(ρ) експоненціального типу – Гауссівської кривої (1.1.50) від величини параметра а>0. На наступному рис. 1 зображено графіки такої залежності, що свідчить про спадання значень спектральних коефіцієнтів до нульового рівня із ростом їх номера к та зменшення їх різниці із збільшенням значення параметра а.

47

f(a, 0) f(a, 1) f(a, 2) f(a, 3) f(a, 4) f(a, 5)

a 0 1 2 3 4 5

1

2

3

(а)

f(a, 0) f(a, 1) f(a, 2) f(a, 3) f(a, 4) f(a, 5)

a 0 10 20 30

1

2

3

(б) Рис. 1. 1. 3. Графіки залежності спектральних коефіцієнтів f(a,k) гауссівської кореляційної функції від параметра а : (а) – параметр а змінюється від 0 до 5, (б) – параметр а змінюється від 0 до 30.

48

Таке дослідження можна використовувати для застосування

до вирішення практичних задач, що пов’язані із необхідністю генерування комп’ютерними засобами реалізацій стаціонарних гауcсівських випадкових процесів, які задаються своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією типу Гауссівської кривої. Продемонстрована на рис. 1 збіжність значень спектральних коефіцієнтів )5,...2,1,0k()k,a(fbk до нуля із ростом їх номера к дає можливість використовувати наведений нижче алгоритм та модель із достатньо високою адекватністю та точністю.

Отримані спектральні коефіцієнти можна використовувати для статистичного моделювання випадкових стаціонарних гауcсівських випадкових процесів, які задаються своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією (або спектральною щільністю) за алгоритмом, сформульованому в наступному параграфі.

49

Таблиця 1.1.1. Кореляційні функції, спектральні щільності та відповідні спектральні коефіцієнти стаціонарних випадкових процесів.

N )(B )( )(rbk

1

Трикутна двопараметрична(Т≥а>0)

,akT2t,0

,akT2t,a

kT2t1

.

,)2/(sin2

1

2

2

Ru

au

Tau

,

2

a1

T

ab0

...,2,1

cos1)1(sin1

k

T

ak

k

la

T

ak

kbk

1аТрикутна двопараметрична

(Т=1, а=1) .

,)2/(sin2

1

2

2

Ru

u

u

.m2k,0

)Nm(,1m2k,k

4

b,2

1b 2

k0

1б

Трикутна двопараметрична (Т=2, а=1)

.

,)(sin2

1

2

2

Ru

u

u

.m4k,0

,1m22k,k

4

)Nm(,1m2k,k

2

b,4

1b

2

2

k0

50

1в

Трикутна двопараметрична (Т=3, а=1)

.

,)2/3(sin2

1

2

2

Ru

u

u

.m6k,0

,m63k,k

4

,m64m62k,k

3

,)Nm(,1m2k,k

1

b,6

1b

2

2

2

k0

1 г

Трикутна двопараметрична (Т=2π, а=1)

.

,)(sin2

1

2

2

Ru

u

u

,...2,1k,k

kcos1b,

2

1b

2k0

2

На S2 (одиничне коло)

.q

Tcosq21

q1

2

c

2

2

.0c,)1,0(q,qcb kk

3

Експоненціальна

1n,0c,cexp

1n,cu

1c22

22

c1k

kc

]1e)1([c

4

Експоненціально затухаюча косинусоїда

1,0,0T

,0a,0c,Tcosec a

2222 aT

1

aT

1

2

ac

T,1,1c

k1a

1

1ka

1)1(e1

2

a2222

1ka

51

5 Косинусоіда

,0,0T,C

,TcosC

T,C

,TT,2/C

,T,0

k2T

)k2T(sin

k2T

)k2T(sin

4

C

6 Бесселевого типу

.0c,

c

)c(J2/1

2/1

.u,0

,u,fuf 0 ))()(

2 0 kТsikТsiТ

f

де si(x) – інтегральний синус

52

1.2. Cтатистична модель 2Т–періодичного випадкового процесу та алгоритм статистичного моделювання

Після викладеного у попередньому параграфі теоретичного

матеріалу наведемо розроблений метод статистичного моделювання 2Т-періодичного стаціонарного гауcсівського випадкового процесу, який задається своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією. За модель такого випадкового процесу вибирається часткова сума ряду (1.1.10) виду:

0

1

cos sin ,2

N

N k kk

k kN

T T

(1.2.1)

де Nkk ...,,2,1,0, та Nkk ...,,2,1,0, -

послідовність некорельованих гауcсівських випадкових величин з нульовим математичним сподіванням та дисперсіями :

,...2,1,0,,00 kbDDbD kkk (1.2.2)

Щоб побудувати алгоритм статистичного моделювання

випадкового процесу , необхідно знайти для заданої для як завгодно малої точності відповідне натуральне число N, яке визначає оптимальну кількість гармонік в моделі (1.2.1) з метою наближення цього процесу моделлю з точністю . Для цього будемо використовувати оцінку середньоквадратичного наближення 2Т-періодичного стаціонарного випадкового процесу частковими сумами (1.2.1), яку отримано в роботі Вижви З.О. [12]. Така оцінка справедлива для класу функцій Dm.

Введемо означення Dm. Dm – клас функцій, які мають наступні властивості: для них

існують похідні до порядку m-1 включно і похідна m-1 порядку абсолютно неперервна, а m-та похідна підсумовувана та обмежена.

53

Теорема 1. 2. Припустимо, що кореляційна функція B() 2Т-періодичного стаціонарного випадкового процесу належить до класу Dm. Тоді справедлива наступна оцінка середньоквадратичного наближення випадкового процесу частковими сумами (1.2.1):

2 2 ( 1), , 2

( 1)

m

N m m

Т N mK N m

N m

, (1.2.3)

де m – індекс класу функцій Dm, )(max )(

20

m

Tm BK

–

максимум m-ї похідної від кореляційної функції B(). Доведення теореми наведено в роботі [12]. Наслідок. Для 2-періодичних випадкових процесів оцінка

(1.2.3) спрощується до такої:

2 2( 1), , 2

( 1)N m m

N mK N m

N m

(1.2.4)

Тепер на основі статистичної моделі (1.2.1) та оцінки (1.2.3)

середньоквадратичного наближення моделлю випадкового процесу , можна побудувати алгоритм для генерування реалізацій 2T-періодичного стаціонарного гауcсівського випадкового процесу, який задається своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією B(). Перед цим необхідно попередньо перевірити належність функції B() до класу функцій Dm (m2).

Алгоритм

1. Для заданої точності визначається відповідне натуральне

число N, яке задовольняє таку нерівність (див. (1.2.3)) :

54

.)1(

)1(2

mN

mNТK

m

m

m (1.2.5)

2. Моделюються послідовності некорельованих гауcсівських

випадкових величин Nkk ,...,2,1,0, та

Nkk ,...,2,1,0, з нульовим математичним сподіванням

та дисперсіями (1.2.2).

3.Обчислюється значення реалізації випадкового процесу у заданій точці за формулою (1.2.1), попередньо підставляючи в неї знайдену величину числа N та змодельовані послідовності випадкових величин за попереднім пунктом. Можна також використовувати для моделі трохи удосконалену формулу:

),sin~cos~

(22

~)(

1

00

T

k

T

kb

bkk

N

kkN

(1.2.6)

де kk ~,~

– послідовності стандартних гауcсівських

випадкових величин. 4. Знаходиться статистична оцінка для кореляційної функції

по отриманій реалізації випадкового процесу і порівнюється із заданою кореляційною функцією B(), а також проводиться статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність.

Область застосування наведеного алгоритму може бути розширена на класи випадкових процесів з іншим типом розподілу, якщо замість послідовностей гаусcівських випадкових величин в (1.2.1) розглядати послідовності з відповідним типом розподілу.

Слід зазначити, що при чисельному моделюванні гауcсівських випадкових процесів, моделі, які використовуються, насправді є наближено гауcсовими (субгауcсовими). Про такі випадкові процеси наведено ряд задач в роботі Ю.В. Козаченко, А.О. Пашко [63].

55

Важливо зауважити, що наведений метод дозволяє генерувати реалізації випадкового процесу , які визначаються при значеннях змінної k, k = 1,…, N, які можуть бути як і рівновіддаленими точками так і нерівновіддаленими, в залежності від вимог поставлених задач.

Відзначимо, що у прикладі 4 спектральна щільність має вигляд дробово-раціональної функції. Це дає можливість скористатись у цьому випадку простішим способом чисельного моделювання випадкових процесів, а саме методом розв’язання стохастичних диференційних рівнянь [59]. У роботі [2]. наведено результати моделювання стаціонарних випадкових процесів із різними заданими одновимірними розподілами та експоненціальною кореляційною функцією способом чисельного моделювання таких процесів на основі стохастичних диференціальних рівнянь та стійкого методу чисельного розв'язку таких рівнянь. Можна також розглянути запропоновану Ж. Франклін [144] для випадкових процесів із такими спектральними щільностями ще більш спрощену схему моделювання. Задачу моделювання стаціонарного, марківського, гауcсівського випадкового процесу із експоненціальною кореляційною функцією методом ковзного підсумовування описано в [94]. Кожен із наведених методів статистичного моделювання має свої переваги та свої недоліки. Тому необхідно для конкретного явища, яке досліджується, підбирати спосіб чисельного генерування реалізацій оптимальним способом.

Отже, за допомогою запропонованого методу та алгоритму статистичного моделювання можна згенерувати реалізації періодичного стаціонарного випадкового процесу, який задається своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією (або спектральною щільністю). Цей метод дає можливість доповнити експериментальні реалізації даними, яких недостає при вирішенні геологічних задач.

56

Експериментальна робота по генеруванню реалізацій гауссівського випадкового процесу із кореляційними функціями різних типів

1. Статистичне моделювання періодичного

випадкового процесу із сферичною кореляційною функцією

На основі побудованого моделюючого алгоритму в параграфі 1.2 була проведена експериментальна робота по генеруванню реалізацій гауссівського випадкового процесу із сферичною кореляційною функцією із прикладу 5 методом Монте-Карло.

Для цього скористаємось формулами (1.1.40) та (1.1.42) поклавши q=0,5 і розглядаючи випадок r=T/π, T=π, c=2/3. Кореляційна функція буде мати наступний вигляд:

.cos45

1)(

В (1.2.7)

а спектральні коефіцієнти для цієї функції:

.,1,0,2

1

3

2

kb

k

k (1.2.8)

57

0 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

B(t)

Рис.1.2.1. Графік кореляційної функції сферичного типу

.cos45

1)(

В

Побудовано таблицю залежності числа підсумовування N в

моделі (1.2.6) від наперед заданої точності наближення (при

q=0,5) за нерівністю k

k N

b

.

Таблиця 1.2.1. Визначення числа N, яке відповідає заданій точності апроксимації випадкового процесу із сферичною кореляційною функцією.

10-5 10-6 10-7

N 15 16 22

58

Обчислено спектральні коефіцієнти )23,...2,1,0( kbk для

цього прикладу за формулою (1.2.8) з використанням пакету прикладних програм MathCad і отримано наступне.

Таблиця 1.2.2. Спектральні коефіцієнти випадкового

процесу із сферичною кореляційною функцією (1.2.15):

0 0,666666667

12 0,00016276

1 0,333333333 13 8,13802E‐052 0,166666667 14 4,06901E‐053 0,083333333 15 2,03451E‐054 0,041666667 16 1,01725E‐055 0,020833333 17 5,08626E‐066 0,010416667 18 2,54313E‐067 0,005208333 19 1,27157E‐068 0,002604167 20 6,35783E‐079 0,001302083 21 3,17891E‐0710 0,000651042 22 1,58946E‐0711 0,000325521 23 7,94729E‐08

k kb k kb

59

ξ1(φ)

φ

Рис.1.2.2. Графік згенерованої реалізацій 1 гауcсівського

випадкового процесу із кореляційною функцією B() сферичного типу в 40 точках моделювання (=0, 1, …, 40).

Отримано результати генерування реалізацій гауcсівського випадкового процесу при кількості точок моделювання 40 (Рис.1.2.2) .

Побудовано гістограму розподілу згенерованих значень

реалізацій гауcсівського випадкового процесу із кореляційною функцією сферичного типу. Вона наведена на наступному рисунку і дає можливість зробити висновок, що результати моделювання за розробленим алгоритмом мають наближено гауссівський розподіл.

60

Рис.1.2.3. Гістограма згенерованої реалізацій гауcсівського

випадкового процесу із кореляційною функцією сферичного типу (1.2.7) в 40 точках моделювання

Для згенерованих значень реалізацій гауcсівського

випадкового процесу із кореляційною функцією сферичного типу (1.2.) була також побудована у пакеті прикладних програм Statistica емпірична кореляційна функція. Її графічна інтерпретація наведена на наступному рисунку.

Histogram of Var2Spreadsheet6 2v*16c

Var2 = 16*0,5*normal(x; 0,07; 1,0143)

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Var2

0

1

2

3

4

5

No

of o

bs

Кількість випадків

61

Autocorrelation FunctionVAR1

(Standard errors are white-noise estimates)

Conf. Limit-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,00

15 -,161 ,1220

14 -,095 ,1244

13 -,033 ,1268

12 +,022 ,1291

11 +,071 ,1314

10 +,120 ,1336

9 +,180 ,1358

8 +,252 ,1380

7 +,337 ,1402

6 +,431 ,1423

5 +,533 ,1443

4 +,639 ,1464

3 +,747 ,1484

2 +,850 ,1504

1 +,936 ,1524

Lag Corr. S.E.

0

151,3 0,000

149,6 0,000

149,0 0,000

148,9 0,000

148,9 0,000

148,6 0,000

147,8 0,000

146,0 0,000

142,7 0,000

136,9 0,000

127,7 0,000

114,1 0,000

95,06 0,000

69,70 ,0000

37,78 ,0000

Q p

Рис.1.2.4. Емпірична кореляційна функція згенерованої

реалізацій гауcсівського випадкового процесу із кореляційною функцією сферичного типу в 40 точках моделювання.

При порівнянні графіків на рисунках 1.2.1 та 1.2.4

спостерігається ідентичність емпіричної кореляційної функції згенерованої реалізацій гауcсівського випадкового процесу із теоретичною кореляційною функцією сферичного типу (1.2.7). Встановлено, що похибка, тобто середньоквадратичне відхилення кореляційної функції, не перевищує 0,022 відсотки.

62

2. Статистичне моделювання періодичного випадкового процесу з кореляційною функцією типу експоненти.

Була проведена експериментальна робота на основі

побудованого моделюючого алгоритму в параграфі 1.2 по генеруванню реалізацій гауссівського випадкового процесу із експоненціальною кореляційною функцією із прикладу 6 методом статистичного моделювання.

Для цього в формулі (1.1.43) вибрано значення параметру а=1 та розглянуто випадок періоду T=π. Кореляційна функція при цьому буде мати наступний вигляд:

. eB (1.2.9)

Побудовано графік теоретичної кореляційної функції (1.2.9) в пакеті Mathematica і наведено на наступному рисунку.

Plot[Exp[-x],x,-0.01,Pi]

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B(ρ)

ρ

Рис. 1.2.5. Теоретична кореляційна функція

( )B e випадкового процесу

63

Спектральні коефіцієнти (1.1.45) такої кореляційної функції

спростяться до виразу:

1

2

2 [ ( 1 ) 1 ], 0,1, 2,...

1

k

k

eb k

k

(1.2.10)

Наведемо обчислені за формулою (1.2.10) значення

спектральних коефіцієнтів при 0,1,...,64k . Таблиця 1.2.3. Спектральні коефіцієнти випадкового процесу із

експоненціальною кореляційною функцією (1.2.9).

k kb 23 0.00053 45 0.00014

0 0.16603 24 0.00053 46 0.00015

1 0.06091 25 0.00045 47 0.00013

2 0.03321 26 0.00045 48 0.00014

3 0.01792 27 0.00039 49 0.000127619

4 0.01277 28 0.00039 50 0.00013

5 0.00823 29 0.00034 51 0.000112589

6 0.00664 30 0.00035 52 0.000118173

7 0.00469 31 0.0003 53 0.000104407

8 0.00405 32 0.0003 54 0.000109737

9 0.00302 33 0.00026 55 0.000102174

10 0.00272 34 0.00027 56 0.000102174

11 0.0021 35 0.00023 57 0.0000905065

12 0.00195 36 0.00024 58 0.0000953663

13 0.00155 37 0.00021 59 0.000084575

14 0.00147 38 0.00022 60 0.0000892169

15 0.00119 39 0.00019 61 0.0000792079

16 0.00115 40 0.0002 62 0.0000836437

64

17 0.00094 41 0.00017 63 0.000074336

18 0.00092 42 0.00018 64 0.0000785767

19 0.00076 43 0.00016

20 0.00075 44 0.00016

21 0.00063

22 0.00063

Для заданої точності 2 3 410 , 10 , 10 за нерівністю

kk N

b

визначено відповідне натуральне число N, яке задає

оптимальну в середньоквадратичному розумінні кількість гармонік моделі (1.2.6).

Таблиця 1.2.4. Визначення числа N, яке відповідає заданій точності апроксимації випадкового процесу із експоненціальною кореляційною функцією (1.2.9).

10-2 10-3 10-4

N 64 636 6366 Моделювання реалізації процесу проведено в скінченній

кількості точок інтервалу [0, ]t з однаковим кроком

розбиття, тобто в точках i

it

n , 0,1,2.....i n , при цьому

досліджується різна детальність дискретизації інтервала спостереження числом точок n=10, 20, 40..

Алгоритм статистичного моделювання реалізацій гауссівського випадкового процесу із експоненціальною кореляційною функцією (1.2.9) запрограмований в пакеті Mathematica.

65

Моделюємо реалізацію 1 процесу в 40n точках

i

it

n інтервалу [0, ]t . Графічне зображення такої реалізації

наведено далі.

ξ1(φ)

φ

Рис. 1.2.6. Реалізація 1 випадкового процесу із кореляційною функцією ( )B e в 40 точках

Для отриманих даних обчислено значення емпіричної

кореляційної функції у вказаних точках і побудовано графік, який зображено на наступному рисунку.

66

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B(ρ)

ρ

Рис. 1.2.7. Емпірична кореляційна функція ( )B e , кількість

точок 40n Отже, порівнявши рис.1.2.5 та рис.1.2.7, можемо зробити

висновок, що відхилення отриманої кореляційної функції від початкової є незначним. Підраховано, що середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,3%, тобто є у межах норми.

Дані результати проведених експериментів свідчать про доцільність використання наведеного методу моделювання в практичних дослідженнях періодичних стаціонарних випадкових процесів.

2. Кореляційна функція типу експоненціально затухаючої

косинусоїди. Була проведена експериментальна робота по генеруванню

реалізацій гауссівського випадкового процесу із кореляційною функцією типу експоненціально затухаючої косинусоїди (приклад 7). Для цього використовувались формули (1.1.46) при значеннях параметрів 1, 1, 1a c і розглядався випадок

Т = . Кореляційна функція буде мати наступний вигляд:

.cos eB (1.2.11)

67

Відповідна їй спектральна щільність зображується

формулою:

12 22 2

1 1 1, .

2 1 1 1 1f u u R

u u

(1.2.12)

Графічне зображення затухаючої косинусоїди подано на

наступному рисунку.

0 2 4 6

0

0.5

1 B(t)

t

Рис.1.2.7. Графік теоретичної кореляційної функції типу експоненцально затухаючої косинусоїди .cos eB

За формулою (1.1.56) можна обчислити спектральні

коефіцієнти для цього прикладу (Т=; а=с==1). Підставивши значення наведених констант, отримаємо, що

спектральні коефіцієнти для 2-періодичного випадкового процесу визначаються за виразом:

68

,...2,1,0

,11

1

11

1)1(1

122

1

k

kkeb k

k

(1.2.13)

Обчислено спектральні коефіцієнти для цього прикладу за

формулою (1.2.13) з використанням пакету прикладних програм Mathematica і отримано наступне

Таблиця 1.2.5. Спектральні коефіцієнти випадкового

процесу із кореляційною функцією типу експоненцально затухаючої косинусоїди (1.2.19):

k

kb k kb

0 0.332065 11 0.0051158 1 0.365465 12 0.0046752 2 0.199239 13 0.0036463 3 0.0788259 14 0.0036463 4 0.0459783 15 0.002731 5 0.0261462 16 0.0026144 6 0.019413 17 0.0021221 7 0.0129167 18 0.0020624 8 0.0106909 19 0.0016966 9 0.0077008 20 0.0016686 10 0.0067714

Для заданої точності обчислено відповідне натуральне

число N, яке задовольняє наступну нерівність:k

k N

b

та

визначає оптимальну кількість гармонік в моделі (1.2.6).

69

Таблиця 1.2.6. Визначення числа N, яке відповідає заданій точності апроксимації випадкового процесу із кореляційною функцією типу експоненцально затухаючої косинусоїди (1.2.11).

10-1 10-2 10-3

N 10 64 364

Моделювання реалізацій процесу проводилось тричі в скінченній кількості точок інтервалу [ , ]t з різним кроком

розбиття, тобто в точках 2i

it

n

, ,.....

2 2

n ni ,

10,20,30,40n .

ξ1(φ)

φ

Рис. 1.2.8. Реалізація 1t випадкового процесу t із кореляційною функцією типу експоненцально затухаючої косинусоїди (1.2.11)

при i

it

n

, 0,...,40i

70

Обчислено емпіричну кореляційну функцію змодельованої реалізації 1t випадкового процесу t із кореляційною функцією типу експоненцально затухаючої косинусоїди (1.2.11).

1 2 3 4 5 6 7

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B(ρ)

ρ

Рис. 1.2.9. Емпірична кореляційна функція типу експоненцально

затухаючої косинусоїди cos eB випадкового процесу

t при кількості точок моделювання i

it

n

, 0,...,40i

Порівнявши рис.1.2.7 та рис.1.2.9, можемо зробити

висновок, що відхилення отриманої кореляційної функції від початкової є незначним.

Отримані результати генерування реалізацій випадкового процесу мають похибку, яка не перевищує Середнє квадратичне відхилення 1,5% , тобто є у межах норми.

71

1.3. Статистичне моделювання випадкових процесів у аеромагнітометрії

Більшість результатів геофізичних досліджень подається у

цифровій формі, точність якої залежить від різних випадкових впливів (в тому числі від точності вимірювання апаратури). При цьому виникає ряд проблем, наприклад, у побудові карт за даними вимірювань, коли їх неможливо отримати із заданою детальністю в деяких ділянках. В таких ситуаціях рекомендується застосовувати методи статистичного моделювання реалізацій випадкових процесів та багатовимірних випадкових функцій (випадкових полів).

Цей напрямок наукових досліджень розробляється вже відносно давно. За останні десятиріччя такий математичний підхід до вирішення геологічних задач використовували, поряд з іншими дослідниками, вчені М. Шінозука та C.M. Жан [185], Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], а також розглядався у роботах С.А. Вижви, З.О. Вижви [34, 40].

При цьому використовувались різні способи побудови моделей геологічних об’єктів. В роботі З.О. Вижви [20] запропоновано застосовувати метод статистичного моделювання випадкових процесів на основі їх спектрального розкладу, який дає можливість за окремими отриманими значеннями їх реалізацій знайти досконале зображення цих процесів на всьому інтервалі спостережень.

Такий метод використовується як для періодичних, так і для неперіодичних стаціонарних випадкових процесів, які можна періодичним способом продовжити на всю числову пряму.

В статті З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [29] описано побудовану модель та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій випадкового процесу, який є об’єктом геофізичних досліджень. При цьому було попередньо визначено на основі статистичного аналізу польових даних вимірювань оцінки їх статистичних характеристик: математичного сподівання та кореляційної функції.

72

Об’єктом дослідження є дані аеромагнітної зйомка масштабу 1:10 000 в районі Овруцької западини, яка була проведена на протязі 1996 – 2002 років. В загальному плані – це зона зчленування Українського кристалічного щита і Прип’ятської западини. Роботу здійснено по 25 профілям із відстанню між ними - 100 метрів. Всі отримані дані є опрацьованими, тобто, в них внесено необхідні поправки.

Запропоновано застосовувати метод статистичного моделювання випадкових процесів на основі їх спектрального розкладу , який дає можливість за окремими отриманими значеннями їх реалізацій знайти більш детальне зображення цих процесів на всьому інтервалі спостережень.

Проведено аналіз статистичного розподілу двовимірних даних аеромагнітної зйомки з використанням програмного продукту для статистичної обробки випадкових полів GeoR. Діаграма даних аеромагнітної зйомки має наступний вигляд на рис. 1.3.1.

Рис. 1.3.1. Діаграма вхідних даних ΔTан по профілю ПР1

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

1

2

3

4

5

6

7

ΔTан, нТл


73

На основі побудованої діаграми зроблено висновок про те, що щільність розподілу двовимірних даних має наближено логарифмічно - нормальний вигляд. Це дає нам підставу прологарифмувати дані і звести їх до наближено нормально розподілених (рис. 1.3.2.). Таке перетворення надає нам можливість використати розроблений алгоритм для генерування на комп’ютері реалізацій імітованих даних із залученням послідовностей нормально розподілених випадкових величин.

3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,40

1

2

3

4

5

6

7

Гістограма прологорифмованихвхідних даних ΔTан по ПР1


Рис. 1.3.2. Діаграма прологарифмованих вхідних даних ΔTан по профілю ПР1

Щоб побудувати модель та алгоритм статистичного

моделювання для даних аеромагнітної зйомки, окремо по кожному профілю було попередньо здійснено їх статистичний аналіз.

ΔTан, нТл

74

Для цього, за графіком даних, які спочатку прологарифмовано, виділено стаціонарну випадкову складову ξi(x) 25,,2,1 i (так званий «шум» – випадковий процес) і тренд fi(x) 25,,2,1 i у вигляді детермінованої функції (експоненціально затухаючої косинусоїди або синусоїди). В результаті цього зроблено висновок, що вхідні дані по кожному профілю (рис. 1.3.3) є випадковим процесом ηi(x) 25,,2,1 i такого вигляду( i – номер профіля, M=25– кількість профілів):

.,,2,1),()( Mixxfx iii (1.4.1)

На рисунку (рис. 1.3.3 а)) синя крива відображає графік для

експериментальних даних ΔTан по ПР1 по одному профілю, а червона крива – відповідний підібраний тренд, оптимальний в розумінні мінімального середньоквадратичного відхилення.

(a) Рис.1.3.3.(а). Вхідні дані ΔTан по профілю ПР1

75

Далі (рис. 1.3.3 (б)) наведено гафічне зображення

прологарифмованих вхідних даних по першому профілю та відповідного тренду.

(б)

Рис.1.3.3.(б). Прологарифмовані вхідні дані ΔTан по ПР1

Підібрано для тренда fi(x) оптимальні в

середньоквадратичному розумінні параметри ai , bi , ci . Після цього для даних аеромагнітної зйомки окремо по кожному профілю тренди із формули (1.3.1) описуються аналітичними функціями :

,0,0,0

,)2

(cos

iii

iixb

ii

bac

xceaxf i

,25,,15,0

;14,,2,1,1

i

ii (1.3.2)

76

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 5 10 15 20 25

Для вхідних даних Для змодельованих даних

ρ

B

Рис. 1.3.4. Кореляційна функція ΔTан по профілю ПР1 ,cos

ih

iiiedB де параметри набувають значень:

a=4,54, b=0,015, с= D =0,15.

Наступний етап роботи полягав у статистичному дослідженні стаціонарної випадкової складової - ηi(x) вхідних даних по кожному профілю випадкового процесу ξi(x).

Підбір моделі кореляційної функції виділеного шуму ξi(x) здійснено за допомогою пакета програм для статистичної обробки випадкових процесів Statistica (розподіл наближено гауссівський).

Емпіричну кореляційну функцію для кожного профіля було наближено теоретичною кореляційною функцією Вi(ρ) виду експоненціально затухаючої косинусоїди (рис. 1.3.4).

MiedB ih

iii ,,2,1,cos

(1.3.3)

де визначено відповідні оптимальні в середньоквадратичному розумінні значення параметрів hi, ωi та di= D.

(i) для даних.( для

77

профіля 1 параметри набувають наступних значень: hi,=01058, ωi=0,4045 та di = D

(i) =0,0059).

На основі статистичного аналізу кореляційної функції Вi(ρ)

випадкової складової ξi(x) вхідних даних по і-му профілю побудовано модель [20] такого випадкового процесу, яка описується формулою:

)sincos(22

)( )()(

1

)()(

0)(

0)()(

T

xк

T

xкb

bDx i

ki

k

N

k

ik

iiii

N

, (1.3.4)

Mi ,,2,1 ,

де змінна x належить інтервалу спостереження 0, Т , Dξ (i)

- дисперсія, а bk

(i) - спектральні коефіцієнти, які відповідають

підібраній кореляційній функції (1.3.3) та обчислюються за виразом:

22

)(

)(sin)(cos

T

kh

kTT

kkTeh

T

edb

ii

iiiTh

iTh

ii

k

i

i

.

)(sin)(cos

22

T

kh

kTT

kkTeh

ii

iiiTh

ii

(1.3.5)

Mi ,,2,1

де параметри hi, ωi та di= D.(i)

задані в формулі (1.3.2).

78

Було проведено аналітичне дослідження залежності значень спектральних коефіцієнтів b1

(i), b2

(i), b3

(i) , ... b10

(i) (при N=10)

кореляційної функції Вi(ρ) типу експоненціально затухаючої косинусоїди від величини параметра hi,>0. На наступному рисунку (рис. 1.3.5) зображено графіки такої залежності, які побудовано засобами пакета програм MathCad.

Із наведеного графічного представлення неважко зробити висновок про велику швидкість спадання значень спектральних коефіцієнтів із ростом їх номера k та зменшення їх різниці із збільшенням значення параметра hi, (рис. 1.3.5). Такі властивості коефіцієнтів гарантують достатню до застосування в сформульованому нижче алгоритмі збіжність ряду:

0 2 4 6 8 100.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

f a 2( )

f a 3( )

f a 4( )

f a 5( )

f a 6( )

f a 7( )

f a 8( )

f a 9( )

f a 10( )

a

Рис.1.3.5. Графіки залежності bk=f(h,k) спектральних коефіцієнтів кореляційної функції типу експоненціально затухаючої косинусоїди від параметра h (для першого профіля : i=1)

- 0 2 4 6 8 10

0

0,4

0,3

0,2

0,1

f(h, 2) f(h, 3) f(h, 4) f(h, 5) f(h, 6) f(h, 7) f(h, 8) f(h, 9) f(h, 10)

h

79

.0

)(

k

ikb (1.3.6)

Модель (1.3.4) є основою для побудови наступного алгоритму статистичного моделювання реалізацій для стаціонарної випадкової складової ξi(x) даних аеромагнітної зйомки окремо по кожному профілю.

Алгоритм

1. Для заданої точності визначається відповідне натуральне

число N, яке задовольняє таку нерівність [20]:

).10( 3)(

Nk

ikb (1.3.7)

2. Моделюються послідовності некорельованих стандартних

гауcсівських випадкових величин Nkik ,...,2,1,0,)( та

Nkik ,...,2,1,0,)( .

3. Обчислюється значення реалізації випадкового процесу

ξi(x) у заданій точці x із інтервалу спостережень за формулою (1.3.3), підставляючи в неї знайдену за п.1 величину числа N та змодельовані послідовності випадкових величин за попереднім пунктом (рис. 1.3.5).

4. Знаходиться статистична оцінка для кореляційної функції по отриманій реалізації випадкового процесу ξi(x) допомогою пакета Statistica і порівнюється із заданою кореляційною функцією Вi(ρ). а також проводиться статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність.

При використанні наведеного алгоритму можна згенерувати

реалізації для стаціонарної випадкової складової ξ(x) даних аеромагнітної зйомки окремо по кожному профілю. Їх необхідно додати за формулою (1.3.1) до тренда f(x), що описується

80

формулою (1.3.2) і в результаті будемо мати реалізації η(x) для даних аеромагнітної зйомки, окремо по кожному профілю у будь-якій точці із інтервалу спостережень (рис. 1.3.6).

Було побудовано діаграму розподілу згенерованої реалізації для стаціонарної випадкової складової ξ1(x) даних аеромагнітної зйомки по першому профілю.

Рис. 1.3.6. Графік ΔTан по ПР1 (прологорифмований), вхідні дані,

тренд, змодельовані дані

81

4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Гістограма прологорифмованихзмодельованих даних ΔTан по ПР1


Рис. 1.3.7. Діаграма змодельованих прологарифмованих даних ΔTан по профілю ПР1

Діаграма на рис. 1.3.7 згенерованої реалізації дає можливість

зробити висновок, що ця реалізація має наближено гаусівський розподіл.

В результаті накладання змодельованих реалізацій на дані вимірів по кожному профілю отримаємо їх більш детальну реалізацію із подвійною точністю.

Отже, за допомогою методу статистичного моделювання випадкових процесів вирішена проблема у генеруванні адекватних реалізацій для даних аеромагнітної зйомки засобами комп’ютера, коли їх неможливо отримати на практиці із заданою детальністю в деяких ділянках. Наведений спосіб моделювання дозволяє із вказаною точністю отримувати значення даних, яких не вистачає, при умові, що результати

82

вимірювань мають властивість стаціонарності, або коли їх можна звести до стаціонарної та детермінованої складових.

Область застосування наведеного алгоритму може бути розширена на класи випадкових процесів з іншим типом розподілу, якщо замість послідовностей гаусcівських випадкових величин в моделі (1.3.1) розглядати послідовності з відповідним типом розподілу.

На наступній схемі відображено вся послідовність процесу моделювання адекватних даних аеромагнітної зйомки по профілям та їх перевірки на відповідність реальним даним.

83

Рис. 1.3.8. Схема процесу моделювання адекватних даних випадкових процесів по профілях аеромагнітної зйомки.

84

Вправи 1. Побудувати алгоритм для отримання реалізацій

періодичного стаціонарного гауссівського випадкового процесу із трикутною кореляційною функцією:

.],2,2[,0

],2,2[,2

1

kTkaTkat

TkaTkata

TkttBT

а) при а = 1, Т = 1; d) при а = 1, Т = , b) при а = 1, Т = 2; е) при а > 0, Т a. c) при а = 1, Т = 3; 2. Визначити число N в моделі (1.2.1) за формулою (1.2.3),

яке відповідає точності моделювання = 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, для кореляційних функцій:

а) 2

2

cos21

1

2)(

qq

qcB

, при q = 0,5.

b)

],21,21[,0

],21,21[,21

TkTkt

TkTktTkttBT

при Т = . 3. Побудувати алгоритм та отримати реалізації 2-

періодичного стаціонарного випадкового процесу із кореляційною функцією:

85

2

2

cos21

1

2)(

qq

qcB

, при q = 0,5

в точках ,1,...2,1,0,2

MiM

ii

де М = 10, 20, 50, 100,

1000. 4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій 2 - періодичного

стаціонарного випадкового процесу за допомогою пакета Statistica знайти оцінку кореляційної функції В()* та визначити:

а) середньоквадратичне відхилення оцінки кореляційної функції В()* від кореляційної функції В() випадкового процесу;

b) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної

функції В()* від кореляційної функції В() випадкового процесу.

86

-----------------------------------------------------------------------------------

Розділ 2

Статистичне моделювання однорідних та ізотропних

випадкових полів на площині

-------------------------------------------------------------------------------

Цей розділ посібника присвячений проблемам чисельного моделювання випадкових функцій, які залежать від двох змінних, тобто випадкових полів на площині. Розглядається задача статистичного моделювання реалізацій однорідних та ізотропних випадкових полів на площині, розроблена на основі спектрального розкладу таких полів. В першому підрозділі 2.1 наведено обчислення спектральних коефіцієнтів для практично важливих прикладів кореляційних функцій випадкових полів, що розглядаються. В другому підрозділі 2.2 наводяться оцінки середньоквадратичного наближення однорідних та ізотропних випадкових полів на площині частковими сумами рядів спеціального вигляду. На основі наведених результатів побудовано статистичні моделі та розроблено алгоритми статистичного моделювання реалізацій гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів на площині, які задані своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією (або спектральною функцією) .

Випадкові поля на плоскій області є об’єктом досліджень в геофізиці, метеорології, океанографії, гідрології, статистичній радіофізиці, астрономії та ін. Оскільки неможливо обчислювати спостереження в кожній точці простору з певних причин, то на практиці приходиться мати справу із змодельованими значеннями цих випадкових полів. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових полів на площині дає можливість отримувати такі значення.

Статистичне моделювання на плоскій області для вирішення задач геології застосовується вже відносно давно і зараз воно

87

стає стандартним засобом в геологічних науках [158]. Так у роботі американського вченого Ж. Матерон [163] був запропонований і набув подальшої розробки в роботах вчених Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165], П. Брукер [125], А. Томпсон та ін. [191], П. Довд [136], Ч. Лантуєджоул [161], С. Дітріх [ 135], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], T. Гнеттінг [147] метод TBM (turning band method) для генерування випадкових полів на площині. При цьому використовувались приклади кореляційних функцій таких випадкових полів, які мають широке застосування в геофізиці, гідрогеології, гірській справі та інших геологічних науках. Основною ідеєю цього методу є зведення двовимірного моделювання до одновимірного моделювання вздовж прямої лінії, яка повертається на площині. Але використання методу TBM приводить до розв’язання інтегрального рівняння, яке в загальному випадку важко розв’язати. Тому цей метод застосовують у дуже обмежених випадках.

Більш простий спосіб статистичного моделювання випадкових полів на площині, які мають параметри і розподіл, що характеризують ґрунтові відклади (soil deposit) запропонував Р. Бейкер [117]. В його роботі чисельна процедура для генерації реалізацій таких випадкових полів представляється як скінчена диференціальна апроксимація для стохастичного диференціального рівняння. Цей метод більш ефективний ніж ТВМ, коли потрібно отримати велику кількість реалізацій випадкового поля, але він обмежений тільки одним типом кореляційної функції.

Ізотропними випадковими полями на площині можна описувати поширення пружних коливань вздовж окремих плоских зрізів, розподіл на поверхні потенційних полів, розподіли температури і тиску на окремих глибинах (П. Джуліан, A. Клаін [155]) та багато іншого.

В роботі подається розробка методів побудови моделей і алгоритмів статистичного моделювання гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів на площині із заданими статистичними характеристиками, який базується на

88

спектральній теорії таких полів. Теорію та практичні впровадження таких методів наведено в працях наступних вчених: Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165], С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов [58, 59], М.Й. Ядренко [150], М. Ядренко, З. Грих, О. Ядренко [149], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], З.О. Вижва [20], С.А. Вижва, З.О. Вижва [35, 37], С.А. Вижва, З.О. Вижва, В.К. Демидов [41], С. М. Пригарін [87], Ю.В. Козаченко, А.О. Пашко [ 63], Ю.В. Козаченко, А.О. Пашко, І. В. Розора [64], З.О. Вижва, В.К. Демидов, А.С. Вижва [196], З.О. Вижва, О.Г. Зражевський [31], З.О. Вижва, А.С. Вижва [205], З. Вижва, В. Демидов, K. Федоренко, А. Вижва [198] та ін.

2.1. Спектральний розклад однорідних та ізотропних

випадкових полів на площині та приклади Розглядається x) (xR2) – дійснозначне і неперервне в

середньому квадратичному однорідне та ізотропне випадкове поле на площині. Це означає, що:

1) x const xR2 (припустимо, що x 0); 2) x y x, y R2,

де x y – відстань між точками x та y, а – кореляційна функція випадкового поля x) Тобто, функція залежить лише від відстані між точками x та y.

Як відомо [109], кореляційну функцію випадкового поля x) можна подати у вигляді:

),()()(0

0

dJB (2.1.1)

де – обмежена незростаюча функція, що є спектральною функцією, а J0(x) – функція Бесселя першого роду порядку 0.

Спектральну щільність )()( f через кореляційну функцію можна визначити за формулою [87]:

89

0

0 )()()( dxxBxJxf (2.1.2)

Позначимо через r та ( r R+ , 0, 2 ] ) – полярні

координати точки х на площині. При цьому, відстань між точками x1 = (r1, 1) та x2 = (r2, 2) буде рівною

)(cos2 21212

22

1 rrrr . Тоді випадкове поле r можна подати у вигляді розкладу, що є його спектральним розкладом:

,)()(sin)()(cos),(0 0

21

0

dZrJkdZrJkr kkkkk

k

(2.1.3)

де

,0,2

;0,1

k

kk а Zk

i ( )k=0 , і=1, 2 – послідовності

дійснозначних ортогональних випадкових мір на підмножинах Бореля із інтервалу [ 0, + , таких, що:

,2,1,),()()( 2121 jiSSSZSZ n

kj

ij

nik (2.1.4)

для будь-яких множин Бореля S1, S2, причому:

S

udS ),()( (2.1.5)

а Jk (x) – функція Бесселя першого роду порядку k. Таке твердження слідує із наступної теореми [150]. Припустимо, що випадкове поле x) – неперервне в

середньому квадратичному. Тоді справедливе наступне твердження:

90

Теорема 2.1. Неперервне в середньому квадратичному однорідне та ізотропне випадкове поле на площині r можна подати у вигляді спектрального розкладу (2.1.3).

Доведення цієї теореми – в роботі М. Ядренко, З. Грих, О. Ядренко [150].

Якщо розглядати “звуження” випадкового поля на площині r на коло радіуса r, то при фіксованому r випадкову функцію r, можна розглядати, як 2r-періодичний випадковий процес. Кореляційна функція такого випадкового процесу має вигляд:

)(2

sin2,,)( 21

0

02121 udruJrrB

,

(2.1.6)

або, за теоремою додавання, вона допускає розклад:

),()()(cos2)()()(0

221

10

2021

drJkdrJB kk

(2.1.7) ).2,0[, 21

Звідси слідує, що спектральні коефіцієнти в цьому випадку

можна виразити через спектральну функцію так:

).()(2)(0

2 udurJrb kk

(2.1.8)

Тоді кореляційна функція такого процесу допускає розклад в

ряд, який називають спектральним розкладом кореляційної функції:

91

.)(cos)()(2

1)( 21

1021

kk krbrbB (2.1.9)

Якщо скористатись співвідношенням 6.681 із книги І.С.

Градштейна та І.М. Рижика [52] :

,...2,1,2cos)sin2()(0

02 nxdxnxzJzJ n

то вираз (2.1.8) можна переписати , враховуючи вираз (2.1.1), у вигляді зображення спектральних коефіцієнтів через кореляційну функцію, що залежить від sin :

,...2,1.2cos )sin2(B2

)(0

kdkrrbk

(2.1.10)

Можна також використати до виразу (2.1.8) співвідношення

6.681.5. із [52]:

,...2,1,2cos)cos2()(10

02 nxdxnxzJzJ n

k

Тоді матимемо зображення спектральних коефіцієнтів через кореляційну функцію, що залежить від соs :

,...2,1,2cos)cos2(2

)1()(0

kdkrBrb kk

(2.1.11)

92

Наведені формули (2.1.8), (2.1.10) та (2.1.11) далі використаємо для обчислення спектральних коефіцієнтів

Якщо розглянути звуження випадкового поля r на коло радіуса r, то при фіксованому r випадкову функцію r можна приймати, як 2r -періодичний випадковий процес. Кореляційна функція такого процесу має вигляд (2.1.6), а спектральні коефіцієнти можна подати у вигляді:

.2cos)sin2(2

)(0

dkrBrbk (2.1.12)

Зауважимо, що якщоr – гауссівське випадкове поле, то

випадкові міри Zki (.) k=0

є гауссівськими випадковими мірами з незалежними значеннями.

Далі, розклад (2.1.3) можна використати для статистичного моделювання гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів на площині із заданою спектральною функцією (або кореляційною функцією).

Після викладення теоретичних розробок із статистичного моделювання випадкових полів на площині доцільно розглянути ряд важливих прикладів таких випадкових полів, які часто застосовуються для опису геологічних явищ. Деякі із запропонованих прикладів досліджувались статистичним методом ТВМ вченими Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165] при обробці даних, отриманих у гірничій справі. Далі наводяться кореляційні функції та відповідні їм спектральні щільності випадкових полів на площині, а також вирази для спектральних коефіцієнтів, які необхідні для використання запропонованого методу.

Приклад 1. Нехай спектральна функція випадкового поля – ступінчата функція, що має скінчене число стрибків у точках q, (k>0, k=1, 2,…q) а величини стрибків – с1, с2, …, сq (ck>0, k=1, 2,…q). Тоді спектральні коефіцієнти можна обчислити за формулою:

93

,)(2)(1

2k

q

kkkk crJrb

(2.1.13)

а кореляційна функція подається виразом:

,2

sin2)( 210

121

rJcB k

q

kk (2.1.14)

де J0(x) – функція Бесселя першого роду порядку 0.

Така кореляційна функція при k= 1, 1 = 1, с1 = 1 відноситься

до сімейства Бесселя вигляду:

,0,)(

)1(2)(

JB (2.1.15)

де J(x) – функція Бесселя першого роду порядку , при значенні параметра = 0. Це сімейство розглядалось T. Гнеттінг в роботі [147] у застосуванні до задач в науках про Землю. Також така кореляційна функція при значенні параметра =0 застосовувалась до задачі статистичного моделювання карстово-суфозійних явищ в роботі З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С.

94

Вижви [41], а при =1 до проблеми доповнити із заданою детальністю даними результати вимірювань повного вектора напруженості магнітного поля в роботі Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [27].

Приклад 2. Розглядається кореляційна функція випадкового поля на площині, що використовується в гідрології [165], це так звана експоненціальна модель:

)0,0()( aeB a . (2.1.16)

Відповідна цій кореляційній функції на площині спектральна

щільність буде така:

., 1

2

322

Ruau

uauf

(2.1.17)

Вираз для спектральних коефіцієнтів випадкового поля у

цьому прикладі має вигляд:

).(2)( 2 raJrb kk (2.1.18)

Приклад 3. Складнішим за попередній є приклад

експоненціальної кореляційної функції, яка називається Гауссівською кривою.

.0,exp)( 2 aaB (2.1.19)

Відповідна спектральна щільність для цих кореляційних функцій на площині буде така:

.,4

exp2

12

Rua

u

a

uuf

(2.1.20)

95

Вираз для спектральних коефіцієнтів випадкового поля r,

(r R+, 0, 2] ):на площині з кореляційною функцією типу (2.1.19) такий:

,...2,1,22exp)( 22 kraIrarb kk (2.1.21)

де Ik(t) – модифікована функція Бесселя.

Слід зауважити, що більш узагальнена кореляційна функція випадкових полів такого типу має вигляд (рис. 2.1.1):

.0,0,)( ceBkc

(а)

B(ρ)

ρ

96

(б)

f(u)

u n=1

n=2 n=3 n=10

n=100

Рис. 2.1.1. Експоненціальні кореляційні функції (а) при значенняхпараметрів = 1, с=1 та k = 0, 0,5, 1,0, 1,5 та 2,0. Ізотропні n –вимірні функції спектральної щільності (б), що відповідаютьекспоненціальній кореляційній функції при значенні параметра k = 1, при значеннях розмірності n = 1, 2, 3, 10 та 100

Ягломом А.М. [106] встановлено, що така функція при k > 2 не може бути кореляційною функцією випадкового

поля, а при 0 < k < 1 та 1 < k < 2 – може бути. Приклад 4. Заслуговує уваги кореляційна функція

модифікованого Бесселевого типу:

,0),(1 aaKaB (2.1.22)

де К1(х) – модифікована функція Ганкеля. Їй відповідає спектральна щільність на площині:

.0,,2 1222

2

aRuau

uauf (2.1.23)

97

Було обчислено спектральні коефіцієнти для такої кореляційної функції у вигляді виразів:

,...2,1,2

4)(

11

kraIraKraIraKra

raIraKr

krb

kkkk

kkk (2.1.24)

де Іk(x) – модифікована функція Бесселя першого роду порядку k.

Слід зауважити, що можна вказати більш загальний вигляд кореляційних функцій такого типу (Гнеттінг T. [147]) . Вони зображаються формулою:

.0,0),()(

2)(

1

ccKcB (2.1.25)

Такі кореляційні функції при значеннях параметра =1/2, 1,

3/2, 5/2 створюють сімейство Whittle-Matren. При =1/2 маємо експоненційну кореляційну функцію із прикладу 2, а при = 1 – кореляційну функцію модифікованого Бесселевого типу із прикладу 4.

Графічне зображення кореляційних функцій модифікованого Бесселевого типу із деякими значеннями параметра показано на рис. 2.2.

98

B(ρ)

ρ

Рис. 2.1.2. Модифіковані Бесселеві кореляційні функції при

значеннях параметра =0.065, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 4 та 25. Додається для порівняння експоненціальна кореляційна функція при значеннях параметра k= 0.75 та 2.

Розглянемо часткові випадки. а) Кореляційна функція типу Whittle-Matren при значенні

параметра =3/2:

3/2

3/2

3/2 3/2

2( ) ( ), 0.B c K c c



99

3/21

52 2 2

3, .

a uf u u R

u a

Для першого випадку (=3/2) спектральні коефіцієнти

обчислюються за формулою у вигляді інтегралу:

3/2 2

52 20 2

( ) 6 ( ) .k k

ub r a J r u d u

u a

б) Кореляційна функція типу Whittle-Matren при значенні

параметра =5/2:

5/2

3/2 5/2

1 2( ) ( ), 0.

3B c K c c



5/21

72 2 2

5, .

a uf u u R

u a

Для другого випадку (=5/2) спектральні коефіцієнти

обчислюються за наступною формулою у вигляді такого інтегралу:

100

5/2 2

72 20 2

( ) 10 ( ) .k k

ub r a J r u d u

u a

Такі кореляційні функції мають важливі застосування в теорії

турбулентності та в теорії електричних шумів, що має велике значення при їх використанні в геофізиці, геології та гідрометеорології. Вони розглядались в роботі З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [196].

Приклад 5. Наступна кореляційна функція також відноситься до функцій, які у вигляді виразу, що містить добре відомі в математичній фізиці Бесселеві функції першого роду.

Вона належить до сімейства Бесселя (2.1.30) при значенні параметра =1 та зображається формулою:

.0,)(2 1 a

a

aJB

(2.1.26)

Відповідна спектральна щільність на площині для таких

кореляційних функцій буде мати вигляд:

.,0

,0,2

2

au

aua

uuf

(2.1.27)

Обчислено спектральні коефіцієнти, які відповідають

кореляційній функції (2.1.26) у вигляді формули:

21 1( ) 2 ( ) ( ) , 1, 2,... .k k k kb r J a r J a r J a r k (2.1.29)

де Jk(x) – функція Бесселя першого роду порядку k.

Слід зауважити, що викликають інтерес кореляційні функції бесселевого типу узагальненого виду:

101

2 ( )( 1) 2 , 0, 0.

J aB a

a

(2.1.30)

Такі кореляційні функції бесселевого типу узагальненого

виду (2.1.30):при значеннях параметрів а=1 та =0, 1/2, 1, 3/2 створюють сімейство Бесселя. При =1 та а=1 маємо кореляційну функцію із прикладу 5.

Графічне зображення таких кореляційних функцій із деякими значеннями параметра показано на рис. 2.1.3.

B(ρ)

ρ

Рис. 2.1.3. Бесселеві кореляційні функції при значеннях параметра

=0, 0.25, 0.5, 1, 2, 5 та 10.

Приклад 6. Наведемо широко відому кореляційну функцію, яка зветься моделлю Коші. В узагальненому вигляді така

102

модель вивчалась А.М. Ягломом [106] , а також Гнеттінг Т. [147] розглядав сімейство Коші при значеннях параметра =1/2, 3/2, 5/2, 7/2. Узагальнена модель Коші має вигляд:

.0,0,12

2

aa

B

(2.1.31)

Графічне зображення таких функцій при різних значеннях

параметра наводиться на рис. 2.1.4.

B(ρ)

ρ

Рис. 2.1.4. Кореляційні функції типу Коші при значеннях параметра

=0,01, 0,25, 0,5, 1, 2, 5 та 50. б) Кореляційна функція типу Коші при значенні параметра

=1/2:

103

Розглянемо спочатку модель Коші при значенні параметра =1/2.

Вона має вигляд:

.0,22

aa

aB

(2.1.32)

Кореляційній функції (2.1.32) відповідає спектральна

щільність на площині:

.0, aeauf au (2.1.33)

Обчислимо відповідні такій кореляційній функції

спектральні коефіцієнти за формулою (2.1.8). Для цього знайдемо за допомогою значення інтегралу 6.612.3 із роботи [52] наступний інтеграл:

.)(2)(0

2 dueurJarb uakk

(2.1.34)

Маємо, що відповідні такій кореляційній функції спектральні

коефіцієнти виражаються формулою:

,...2,10,0ImRe,2

22)(

2

22

2

1

krra

r

raQ

r

arb

kk

,

де Qp(y) – функція Лежандра p–го порядку.

Із наведеного виразу можна зробити висновок, що в загальному випадку для випадкового поля із уявним r спектральні коефіцієнти обчислюються, як значення функції Лежандра і вони будуть комплеснозначними. Тому доцільно розглядати окремі випадки при різних та дійснозначному r.

104

б) Кореляційна функція типу Коші при значенні параметра =1:

Кореляційна функція при значенні параметра=1 має наступний вигляд:

)0(,)(22

2

aa

aB

. (2.1.36)

Знайдемо її спектральну щільність:

022

2

0

0

0 )()()()( dxxa

axxJdxxBxxJf ,

),()( 02 aKaf (2.1.37)

де )(0 xK – модифікована функція Ганкеля порядку 0. Ця

щільність порахована за допомогою формули 6.532(4) із роботи [52].

Щоб знайти спектральні коефіцієнти в цьому випадку скористаємось формулою (2.1.8) та обчислимо за допомогою формули 6.522(3) [52] інтеграл:

.)()(2)( 0

0

22 duuaKuurJarb kk

Отже, спектральні коефіцієнти кореляційної функції типу Коші при значенні параметра =1 такі:

2 2 2 2

2 2( ) 1 , 0, 0, 0,1, 2,... .

4 4

k

k

a ab r a r k

a r a r

(2.1.38)

105

Такі кореляційні функції мають важливі застосування в геофізиці. Вони розглядались в роботі З. Вижва, В. Демидов, K. Федоренко, А. Вижва [198], де наведено приклад статистичного моделювання карстово-суфозійних явищ в задачі моніторингу густини крейдяної товщі на території Рівненської АЄС.

Приклад 7. На практиці часто зустрічається модель випадкових полів, яка має назву експоненціально затухаючої косинусоїди. Така кореляційна функція має вигляд:

cos , 0, 0, 0.aB c e c a (2.1.39)

Зокрема, при значеннях параметрів 1,1,1 ac маємо:

.0,cos ttetB t (2.1.40)

Визначено спектральну щільність такої кореляційної функції

[20]:

34 4 2

34 2

3 4 ( 4)( )

4

u uuf u

u

(2.1.41)

Знайдено в роботі З. О. Вижви, О.Г. Зражевського [ 31] за

допомогою (2.1.10) формулу для обчислення спектральних коефіцієнтів випадкових полів із кореляційною функцією типу експоненціально затухаючої косинусоїди (2.1.39) у вигляді :

.2222)( 22 rkirJrkirJcrb kkk (2.1.42)

Приклад 8. Часто знаходять застосування кореляційні

функції поліноміального типу [165]. Найпростішим прикладом такого типу є так звана циклічна модель:

106

2

arccos 1 , ;( ) 2

0, .

aB a a a

a

(2.1.43)

Графічне зображення таких функцій при різних значеннях

параметра а наведено на рис на рис. 2.1.5.

10 20 30 40 50

1

2

3

4

5B(ρ)

ρ

Рис. 2.1.5. Циклічні кореляційні функції при значеннях параметра а=10, 20, 30, 40 та 50

Результати обчислень спектральних коефіцієнтів для практично важливих кореляційних функцій однорідних та ізотропних випадкових полів на площині наведено в таблиці 2.1.1.

Потрібно зазначити, що рисунки 2.1.1 – 2.1.5 містяться в роботі П. Абрахамсена [112] .

107

На завершення розгляду прикладів випадкових полів на площині слід відзначити, що приклади 2, 3 та 7 використовувались для статистичного моделювання методом обертання стрічок (ТВМ) у роботі Е. Мантоглова, Д. Л. Вілсона [165]. Також потрібно зауважити, що кореляційні функції типу 2 та 4 мають відповідні спектральні щільності дробово-раціонального виду і тому для них можна застосувати спосіб чисельного моделювання реалізацій випадкових полів шляхом розв’язування стохастичних диференційних рівнянь [59].

108

Таблиця 2.1.1. Кореляційні функції, спектральні щільності та відповідні спектральні коефіцієнти однорідних та ізотропних випадкових полів на площині.

N )(B )( )(rbk

1 .0,0,1

,)2

sin2(

1

10

mm

s

mm

s

mmm

cpp

cJp

s

i

miim

c

siccp

c

,1

1,1,,

,,0

11

1

)(2 2

1

rcJp mk

s

mm

2 1,0,exp ncc

2

322

)(

c

c

)2(2 2 rciJ k

3 0,exp 2 cc

cc 2exp

2)(

2

)2(2exp 22 rcIrc k

де Іk(x) – модифікована функція Бесселя

4 .0,)(

2 1 cc

cJ

.,1

,0,2

c

cc

)()()(2 11

2 rcJrcJrcJ kkk

109

5 0),(1 ccKc 222

2

2)(c

c

rcIrcKk kk)2(22

де К1(х) – функція Ганкеля

6 .1,0,

22

nc

c

c

cec )(

,2

222

22

21

r

rcQ

r

ck

0,0ImRe rra де Qp(y) – функція Лежандра

7 )0(,)(22

2

aa

aB

)()( 0

2 aKa де К0(х) – функція Ганкеля

0,0,0

,4

21

4

22222

kra

ra

a

ra

ak

8 1,0,0,,

,cos

Tac

Tec a

)22(2 rairTJc k

)22(2 raiTrJ k

110

2.2 Опис алгоритмів статистичного моделювання випадкових полів на площині та теореми про

середньоквадратичне наближення Метод, що пропонується у цьому параграфі, базується на

спектральній теорії випадкових полів на площині, елементи якої наведено вище. Розроблено в роботі М. Ядренко, З. Грих, О. Ядренко [150] кілька способів побудови моделі та формування на її основі алгоритмів статистичного моделювання однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині. В одному із способів приймається за статистичну модель випадкового поля, що розглядається, часткова сума ряду (2.1.3) виду:

,)()(sin)()(cos),(0 0

21

0

dZrJkdZrJkr kkkk

N

kN

(2.2.1) де N – деяке натуральне число.

При цьому значення числа N визначається за допомогою нерівності, яка є оцінкою наближення випадкового поля r) частковими сумами N(r в середньому квадратичному. Таке число має відповідати наперед заданому як завгодно малому числу . Згадана нерівність отримана в роботі [150] і має вигляд:

,2

11),(),( 2

21

2

rr

Nrr N (2.2.2)

де 0

( ), 1, 2.kk d k

На основі моделі (2.2.1) та оцінки (2.2.2) можна побудувати алгоритм статистичного моделювання гауссівського однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині, яке задається своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією.

111

Алгоритм 1

1. Визначити значення числа (кількості гармонік) N,

відповідно наперед заданому числу , за допомогою нерівності (2.2.2), де r – радіус точки площини, в якій генерується реалізація випадкового поля r).

2. Обчислити спектральні коефіцієнти

,...)2,1,0()( krbk для конкретного прикладу кореляційної

функції. 3. Змоделювати набори незалежних стандартних

гауссівських випадкових величин Nkk ,...,2,1,0, та

Nkk ,...,2,1,0, .

4. Обчислити значення реалізації випадкового поля r) у

точці площини r, у вигляді суми при підстановці в неї знайдених за попередніми пунктами величин :

.sincos)(),(0

kkrbr kk

N

kkkN

(2.2.3)

5. Знайти статистичну оцінку для кореляційної функції по

отриманих реалізаціях випадкового поля r) за допомогою програм S-Plus, GeoR і порівняти із заданою кореляційною функцією B(), а також провести статистичний аналіз цих реалізацій на адекватність.

Слід зазначити, що наведений алгоритм можна застосувати і

до випадкових полів з іншим типом розподілу. Тоді випадкові величини Nkrk ,...,2,1,0),( та Nkrk ,...,2,1,0),(

мають бути розподілені за відповідним законом.

112

Другий спосіб статистичного моделювання базується на використанні методу рандомізації. Для побудови алгоритму та моделі цього методу необхідно скористатись результатами теореми [150] про оцінку середньоквадратичного наближення випадкового поля r) сумами спеціального виду.

Для цього розглядається розбиття інтервалу:

,),0[1

11mі

m

іі

m

і

(2.2.4)

де діаметри областей : 1 iiі aa

),1,( miRai – скінченні, а область

: mm a має нескінченний діаметр. Вибирається

в кожній області і точку-змінну і.

Нехай гауссівське випадкове поле r) задається своїми математичним сподіванням і спектральною функцією Ф(λ). Нехай також існує спектральна щільність )()( uu . Тоді

випадкова точка ),1(, kiiii має щільність

розподілу

,

,

,0

,)(

)(

i

iii

u

up

uup

(2.2.5)

де ).(

dpi

i

Будемо розглядати середньоквадратичне наближення випадкового поля r) сумами виду:

113

,)()(sin)()(cos),( 21

01

i i

dZrJkdZrJkr kkkk

N

k

k

m

i

Nm

(2.2.6)

Отриманий результат середньоквадратичного наближення випадкового поля r) сумами спеціального виду (2.2.6) сформулювано в [150] у вигляді наступної теореми.

Теорема 2.2. Вводяться припущення, що при m

величини N та am прямують до нескінченності так, що виконуються умови:

1) ;ma

N 2) ;0

N

am 3) );1(0m

N

4) ;02

m

am 5) ;0)(

dNma

6)1 1max ( );m

ii m

c ad c R

m 7)

0

( ) ( ) 1.D x d

Тоді

mxdxxQx

Nm ,0)()(

2 ,

де Q – деяке дійсне невід’ємне число (радіус кулі), і справедлива наступна оцінка:

xdxxQx

Nm

2)()(

)()34(2122 2

24

dNQN

m

acQ

ma

m

114

.3

2

22

Qa

N

m meN

a

N

QQ

(2.2.7)

Доведення теореми наведено в монографії З.О. Вижви [ 20]. Зауважимо, що існують послідовності N(m) та am, які

задовольняють умовам теореми. Покладемо, наприклад, N =m,

am = m, де 0 . Тоді 1m

Nта при m:

21

ma

N

m

,011

mm

m

N

am

.01

21

2

mm

am

Отже, умови 1) – 4) виконуються.

Далі ми виведемо дуже важливий наслідок, використовуючи наступне твердження: Лема . Для кожного дійсного та натурального справедлива нерівність:

2 2

1

1 1 1( ) .

2 2kk N

J z z zN

(2.2.8)

Доведення леми наведено в [20].

115

Наслідок. Нехай виконується умова

0

2 )( d

та позначимо суму (2.2.1):

,)()(sin)()(cos),(0 0

21

0

dZrJkdZrJkr kkkk

N

kkN

Тоді справедлива оцінка:

2

21

2

2

11)()(

rr

Nxx N , (2.2.9)

де

0

).( dkk

Для доведення достатньо зауважити, що:

2 2

1 0

( , ) ( , ) 2 ( ) ( )N kk Nx Q

r r d x J r d

та застосувати твердження леми 8. Побудовано метод статистичного моделювання випадкових

полів на площині з використанням отриманої вище оцінки (2.2.7) середньоквадратичного наближення випадкового поля r) частковими сумами (2.2.6). За основу взято метод рандомізації із роботи Г.А. Михайлова [70].

Для вибору статистичної моделі такого поля можна скористатись його частковою сумою (2.2.6). Тоді модель має вигляд:

,)(sin)(cos),( 2,1,

01

ikik

ikik

N

kk

m

ii

Nm ZrJkZrJkpr

(2.2.10)

116

де )2,1(,,1,,0;, jmiNkZ lik (2.2.11)

– набори стандартних незалежних гауcсівських випадкових

величин. Далі, на основі такої моделі будується алгоритм для

генерування реалізацій гауcсівського випадкового поля r) методом рандомізації.

Алгоритм 2

1. Змоделювати послідовність випадкових величин

),1(, miiii із щільностями розподілу ( )ip u

(2.2.5). 2. Визначити відповідне для заданої точності наближення

() значення числа за допомогою оцінки (2.2.7):

)()34(2122 2

24

dNQN

m

acQ

ma

m

Qa

N

m meN

a

N

QQ

2

32

2

де Q – деяке дійсне невід’ємне число (радіус кулі), am – остання точка поділу (2.2.4) інтервалу .

3. Змоделювати набори незалежних стандартних гауcсівських випадкових величин:

)2,1(,,

1,0, jZ

mN

ikji

k .

117

4. Обчислити значення реалізації випадкового поля r) у точці площини r, за формулою (2.2.10) при підстановці значення величин, обчислених за пунктами 1,2 та 3.

5. Знайти статистичну оцінку для кореляційної функції по

отриманих реалізаціях випадкового поля r, за допомогою програм S-Plus, GeoR і порівняти із заданою кореляційною функцією B(), а також провести статистичний аналіз цих реалізацій на адекватність.

Необхідно зауважити, що наведені алгоритми можна використовувати для генерування реалізацій випадкових полів не тільки гауcсівського типу, а й інших типів розподілів. Для цього потрібно використати відомі в літературі перетворення негауссівських випадкових полів до гауcсівських. В цій монографії також розглядається дуже актуальне в геологічних дослідженнях питання моделювання багатокомпонентних випадкових полів із областями випадкової форми.

На завершення слід зазначити, що розвиваються і інші методи статистичного моделювання двовимірних випадкових полів. Наприклад, у роботі П. Брукер, М. Стюарт [121] повідомляється про результати порівняння чотирьох способів статистичного моделювання багатовимірних (зокрема двовимірних) випадкових полів Y(x) зі спеціальними експоненціальними варіограмами виду:

,1()()(2

1)( 2 a

h

eCBhYhxYhg

де h – вектор тієї ж розмірності, що і x та a, а B, C – константи. Слід вказати, що Т.М. Товстік в [94] описано спосіб

чисельного моделювання однорідного гауcсівського поля методом ковзного підсумовування. Напрямок спектральних моделей гауcсівських випадкових полів, а також теорії збіжності таких моделей розроблявся Г.О. Михайловим [71] та його учнями А.В. Войтішеком [45] і С.М. Пригаріним [86].

118

2.3. Статистичне моделювання однорідного ізотропного випадкового поля на площині із кореляційною функцією

типу Коші

В цьому параграфі побудовано модель та сконструйовано алгоритм для генерування реалізацій випадкових полів із кореляційною функцією, яка зветься моделлю Коші, яка розглядалась в роботі З. О. Вижви, К. В. Федоренко, А.С. Вижви [33]. Така функція розглядалася в прикладі 5 попереднього розділу 1.3:

2

2( ) 1 , ( 0, 0)B a

a

.

Графічне зображення таких кореляційних функцій виконано в

програмі Matlab і показано на малюнках при різних значеннях параметра 0, 25; 0,5; 1; 2; 5; 10.

B(ρ)

ρ

Рис. 2.3.1. Кореляційні функції типу Коші при а=0,1.

119

B(ρ)

ρ

Рис. 2.3.2. Кореляційні функції типу Коші при а=1.

B(ρ)

ρ

Рис. 2.3.3. Кореляційні функції типу Коші при а=2

120

B(ρ)

ρ

Рис. 2.3.4. Кореляційні функції типу Коші при а=10

В даній практичній частині буде розглядатися модель Коші

при двох значеннях параметра ν=1/2, ν=1. Для кожної з них побудована програма для генерування реалізацій таких випадкових полів в пакеті Mathematica.

Модель Коші при ν=1/2 Розглянемо модель Коші кореляційної функції (2.1.32) при

значенні параметра ν=1/2:

2 2( ) , ( 0)

aB a

a

. (2.3.1)

Їй відповідає спектральна щільність

( ) , 0auf u ae a .

Спектральні коефіцієнти в цьому випадку можна обчислити у

вигляді інтегралу (2.1.8):

121

.)(2)(0

2 dueurJarb uakk

(2.3.2)

Метод моделювання базується на спектральній теорії

випадкових полів на площині, елементи якої наведені вище (п. 2.1). Розроблено кілька способів побудови моделі та формування на її основі алгоритмів статистичного моделювання однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині (п. 2.2). В одному із способів (алгоритм 1) приймається за статистичну модель випадкового поля, що розглядається, часткова сума виду:

0

( , ) ( ) cos sin ,N

N k k k kk

r b r k k

(2.3.3)

де N – деяке натуральне число (кількість гармонік ряду), Nkk ,...,2,1,0, та Nkk ,...,2,1,0, –

послідовності незалежних стандартних гауссівських випадкових величин, ,...)2,1,0()( krbk – спектральні коефіцієнти

(2.3.2) кореляційної функції типу Коші (для нашого прикладу). При цьому, значення числа N визначається за допомогою

нерівності, яка є оцінкою наближення випадкового поля r) частковими сумами Nr) в середньому квадратичному. Таке число має відповідати наперед заданому як завгодно малому ε (точності моделювання). Задана нерівність (2.2.9) має вигляд:

2

212

11rr

N (2.3.4)

де

0

( )kk d

.

122

Проводилось дослідження залежності N від r та ε. Оскільки, щільність розподілу має вигляд

( ) , 0auf u ae a

то перший та другий момент після обчислення інтегралів матимуть такі значення:

1 0

0 0

0

1( ) |

1 10 | ;

ay ay ay

ay

yyae dy a e e dy

a a

ea a

(2.3.5)

2 22 0

0 0

20 0

( ) | 2

2 20 2 .

ay ay ay

ay ay

аy e dy y e ye dy

ye dy aye dya a

(2.3.6)

Підставивши ці вирази в нерівність (2.3.4), отримаємо вираз

для визначення числа доданків N моделі (2.3.3) в залежності від радіуса r точки площини та точності моделювання ε (модель Коші кореляційної функції при значенні параметра ν=1/2) :

)2

2

1(

1)

2

1(

1),( 2

222

1 ra

ra

rrrN

123

)

2

2

1(

11),( 2

2r

ar

arN

. (2.3.7)

На основі моделі (2.3.3) та оцінки (2.3.7) можна побудувати

алгоритм статистичного моделювання гауссівського однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині, яке задано своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією типу Коші за таким алгоритмом:

Алгоритм при ν=1/2

1) Визначити значення числа доданків N, відповідно наперед заданій точності ε, за допомогою нерівності (2.3.7):

a

11 ,

22

2

a ,

)

2

2

1(

11 2

2r

ar

a, (2.3.8)

де r – радіус точки площини, в якій генерується реалізація випадкового поляr). В нашому випадку N=27 при заданій точності моделювання 210*3 .

За допомогою наступної таблиці можна прослідкувати, як змінюється значення N в залежності від r та a.

124

Таблиця 2.3.1. Динаміка зміни значення числа гармонік моделі N в залежності від полярного радіуса точки моделювання r та параметра a кореляційної функції Коші при значенні параметра ν=1/2

Це – матриця розміру 15x15, де по рядках параметр а пробігає значення від 1 до 15 з кроком 1, а по стовпчиках – r пробігає значення від 1 до 15 з кроком 1. Вона допомагає підібрати таке значення параметра a та проміжок для r, щоб число N не було дуже велике. В цьому випадку ми покладемо N=27. Тоді a=1, а для r значення вибираємо 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1, тобто з інтервалу [0,1].

2) Обчислюють спектральні коефіцієнти )(rbk за формулою

(2.3.2) при значенні параметра a=1 за таким виразом:

125

.)(2)(0

2 dueurJrb ukk

27,...,1,0k (2.3.9)

Взагалі кажучи, цей інтеграл (2.3.9) не знаходиться в явному аналітичному вигляді, тому для обчислення коефіцієнтів потрібно знаходити його наближене значення. Такі значення

коефіцієнтів )(rbk , 27,...,1,0k було обчислено за допомогою

пакету програм Mathematica і фрагмент для 0,1,...,9k наведено в наступній таблиці 2.3.2. Вони мають збігаються до нуля зі зростанням номера k, що задовольняє накладені на них теоретичні умови.

В отриманій матриці по рядках пробігають значення k ( 0,1,2,..., 27)k , а по стовпчиках пробігають значення

( 0.1* , 1,...,10)ir i i . В таблиці 2.3.2 наведено фрагмент для

( 0.1* , 1,...,6)ir i i . Величини спектральних коефіцієнтів

)(rbk кореляційної функції Коші при значенні параметра ν=1/2

залежить від k та r, тому за допомогою наведеної таблиці можна прослідкувати динамку їх зміни із зростанням вказаних параметрів.

Таблиця 2.3.2. Спектральні коефіцієнти однорідного ізотропного

випадкового поля r) на площині із кореляційною функцією типу Коші при значенні параметра ν=1/2

126

3) Моделюють послідовності незалежних стандартних гауссівських випадкових величин 27,...,2,1,0, kk та

27,...,2,1,0, kk . Такі випадкові величини не залежать від r.

Це – набір з 28 чисел, які легко генеруються в будь-якій математичній програмі , що має датчики нормально розподілених випадкових чисел.

Перший набір, що відповідає значенням випадкових величин eta( 27,...,2,1,0, kk ):

Другий набір, що відповідає значенням dzeta ( 27,...,2,1,0, kk ):

127

4) Обчислюються значення реалізації випадкового поля r) у точках площини 10,1,,, jir ji за допомогою моделі у

вигляді суми (2.3.3) при підстановці в неї знайдених за попередніми пунктами величин:

N

kikikikiiiN kkrbrbr

100 )sincos()(2)(),(

(2.3.10)

де 9,...,0,10

2* iii

, 10,...,1,*1.0 iiri .

В наступній таблиці наведено результати обчислень такої

реалізації.

128

Таблиця 2.3.3. Обчислені значення реалізації випадкового поля r) у точках площини jir , із кореляційною функцією типу

моделі Коші при значенні параметра ν=1/2

5) Знаходиться статистична оцінка для емпіричної кореляційної функції по отриманій реалізації випадкового поля r) і порівнюється із заданою теоретичною кореляційною функцією

2 2( ) , ( 0)

aB a

a

, а також наводиться

статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність.

Слід відзначити, що наведений алгоритм можна застосовувати і до випадкових полів із іншим типом розподілу. Тоді випадкові величини Nkrk ,...,2,1,0),( та

Nkrk ,...,2,1,0),( мають бути розподілені за відповідним

законом. Для даної задачі був складений алгоритм та написано

програму для обчислювальної системи Mathematica:

129

За допомогою пакету програм GeoR було складено програму, яка будує варіограму ( ) (0) ( )B B для отриманих

реалізацій Nr) із встановленими параметрами: В результаті використання цієї програми побудовано дві варіограми – одна теоретична (чорного кольору), а друга – емпірична (червоного кольору):

γ (ρ)

ρ

Рис. 2.3.5. Емпірична (хрестики) та теоретична γ(ρ) варіограми для реалізацій із кореляційною функцією типу Коші при ν=1/2

Далі для більш точних результатів було проведено

усереднення по 20 матрицям реалізацій. Масштаб при усереднені змінюється, бо з 20-ти різних реалізацій ми створюємо найоптимальніші. Дисперсія при усередненні суттєво зменшується та емпіричні данні розсіюються менше відносно теоретичної кривої. Проведено аналогічну побудову варіограм, що дає такий результат:

130

γ (ρ)

ρ

Рис. 2.3.6. Емпірична (хрестики) та теоретична γ(ρ) варіограми для усереднення по 20 реалізаціям із кореляційною функцією типу Коші при ν=1/2

На другому рисунку не одразу видно, що результат

покращується, але, насправді, він стає набагато кращим. Це не прослідковується явно, бо на першому рисунку масштаб від 0 до 0,7, а на другому – масштаб від 0 до 0,025. На останньому рисунку збіжність теоретичних значень до емпіричної варіограми краща.

Для графічної інтерпретації змодельованого поля було побудовано в програмі Surfer каркасну карту за отриманими реалізаціями випадкового поля із кореляційною функцією типу Коші при ν=1/2:

131

y x

Рис. 2.3.7. Поверхня реалізації 1r) випадкового поля r) із

кореляційною функцією типу Коші при ν=1/2

2,

10

2],1,1.0[r .

Модель Коші при ν=1

Кореляційна функція при цьому значенні параметра має

наступний вигляд:

)0(,)(22

2

aa

aB

. (2.3.11)

132

Її спектральна щільність:

022

2

0

0

0 )()()()( dxxa

axJxdxxBxJxf ,

),()( 02 aKaf (2.3.12)

де K0(x) – модифікована функція Ганкеля порядку 0. Цей вираз для щільності знайдено за допомогою формули 6.532(4) із І.С. Градштейн, И.М. Рижик [52].

Щоб вивести аналітичні формули для спектральних коефіцієнтів в цьому випадку, скористаємось виразом (2.3.2) та обчислимо інтеграл:

.)()(2)()(2)( 0

0

220

2

0

2 duauKurJuaduauKuaurJrb kkk

0,0,0,4

21

4

22222

)(

kra

ra

a

ra

ab

k

k r (2.3.13)

Ці спектральні коефіцієнти пораховані за допомогою формули 6.522(3) із [52]:

,)()()()()( 12121

21

1

0

0

rrrrrrdxcxJbxJaxKx

,))((,))(( 2/1222

2/1221 cbarcbar

133

|Im|Re,1Re,0 bac

Далі проводимо дослідження, аналогічно моделі Коші з

параметром ν=1/2. Дослідимо залежність N від r та ε. Оскільки, щільність

розподілу у цьому випадку має вигляд:

0),()( 02 aaKaf

то скористаємося формулою 6.561(16) із [52]:

,2

1

2

12)( 11

0

adxaxKx

]0Re,0)1[Re( a

Тоді:

2 21 0

0 0

( ) ( ) .2

y f y dy a y K ay dya

(2.3.14)

2

2 2 32 0

0 0

2( ) ( ) .y f y dy a y K ay dy

a

(2.3.15)

Отже, із формули (2.3.4) отримаємо вираз для визначення

числа доданків N моделі (2.3.3) в залежності від радіуса r точки площини та точності моделювання ε (модель Коші кореляційної функції при значенні параметра ν=1):

)4

4(

1)

2

1(

1),( 2

222

1 ra

ra

rrrN

134

)

4

4(

11),( 2

2r

ar

arN

(2.3.16)

На основі моделі (2.3.3) та оцінки (2.3.16) можна побудувати

аналогічний попередньому алгоритм статистичного моделювання гауссівського однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині, яке задано своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією із зазначеним параметром:

Алгоритм при ν=1

1) Визначається значення числа доданків N, відповідно до

наперед заданої точності ε, за допомогою нерівності (2.3.16):

a21

, 2

2

2

a ,

)

4

4(

11 2

2r

ar

a, (2.3.17)

де r – радіус точки площини, в якій генерується реалізація випадкового поля r). В нашому випадку N=39 при заданій точності моделювання ε=4*10–2.

За допомогою наступної таблиці 2.3.4. можна відстежити, як змінюється значення N в залежності від r та a:

Це – матриця розміру 15x15 . В ній по номеру рядка пробігає значення параметра a від 1 до 15 із кроком 1, а по номеру стовпця пробігає значення r від 1 до 15 із кроком 1. Таблиця 2.3.4. показує динаміку зміни значення числа гармонік N моделі в залежності від полярного радіуса точки моделювання r та

135

параметра a кореляційної функції Коші (2.3.11) при значенні параметра ν=1. Таблиця 2.3.4. Динаміка зміни значення числа гармонік N моделі в залежності від полярного радіуса точки моделювання r та параметра a кореляційної функції Коші при значенні параметра ν=1

За її допомогою ми можем підібрати таке значення параметра a та проміжок для r, щоб число N не було дуже велике, тобто в оптимальних допустимих межах. У випадку, що розглядається в цьому прикладі, ми вибираємо за таблицею N=39. Тоді за значення параметра a приймаємо число a=1, а для значення полярного радіуса точки моделювання r вибираємо число із

136

наступної послідовності 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1, тобто з інтервалу [0,1].

2) Обчислюються спектральні коефіцієнти за формулою (2.3.13) значенні параметра a=1 і заданому радіусі r:

0,41

21

41

2)(

22

r

rrrb

k

k , 39,...,1,0k (2.3.18)

Інтеграли (2.3.13) обчислюються однозначно і точно за

виразом (2.3.18). В програмі були обчислені за формулою

(2.3.18) значення спектральних коефіцієнтів )(rbk ,

39,...,1,0k однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині із кореляційною функцією типу моделі Коші (2.3.11) при ν=1. Вони мають достовірний вигляд, бо із достатньою швидкістю збігаються до нуля зі збільшенням числа N.

В цій матриці по рядках пробігають значення k ( 0,1,2,...,39)k , а по стовпчиках пробігають значення r

( 0.1* , 1,...,10)ir i i , тобто прослідковується, як )(rbk

залежить від k та r. Фрагменти результатів таких обчислень для ( 0,1,2,...,9)k та

( 0.1* , 1,...,6)ir i i наведено в таблиці 2.3.5.

137

Таблиця 2.3.5. Спектральні коефіцієнти однорідного ізотропного випадкового поля r) на площині із кореляційною функцією типу моделі Коші при ν=1

3) Моделюються набори незалежних стандартних гауссівських випадкових величин 39,...,2,1,0, kk та 39,...,2,1,0, kk .

Потрібно звернути увагу, що ці випадкові величини не залежать від r.

Перший набір, що відповідає значенням випадкових величин eta( 39,...,2,1,0, kk ), має вигляд:

138

Другий набір, що відповідає значенням dzeta

( 39,...,2,1,0, kk ):

Це – два набори по 40 чисел, які генеруються в математичній програмі, що має датчик нормально розподілених випадкових величин. 4) Обчислюються значення реалізації випадкового поля r) в точці ( , ), 1,2,...,10; 0,1,...,9i ir i j плоскої області у вигляді

суми при підстановці в неї знайдених за попередніми пунктами величин:

0 01

( , ) ( ) 2 ( )( cos sin )N

N i j i k i k i k ik

r b r b r k k

(2.3.19)

де 2

* , 0,...,9;10j i j 0.1* , 1,...,10.ir i i

В нашому випадку реалізації Nr) мають вигляд:

139

Таблиця 2.3.5. Обчислені значення реалізації випадкового поля r) у точках площини ( , ), 1,2,...,10; 0,1,...,9i ir i j із кореляційною

функцією типу моделі Коші при значенні параметра 1

5) Знаходиться статистична оцінка для емпіричної кореляційної функції по отриманій реалізації випадкового поля r) і порівнюється із заданою теоретичною кореляційною

функцією )0(,)(22

2

aa

aB

, а також приводиться

статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність.

Для даної задачі був складений алгоритм та написано програму для обчислювальної системи Mathematica:

За допомогою пакету програм GeoR було побудовано програму, яка будує варіограму ( ) (0) ( )B B для

отриманих реалізацій Nr) із встановленими параметрами:

140

γ (ρ)

ρ

Рис. 2.3.8. Емпірична (хрестики) та теоретична γ(ρ) варіограми для

реалізацій із кореляційною функцією типу Коші при ν=1

Отже, було побудовано дві варіограми – одна теоретична (чорного кольору), а друга – емпірична (червоного кольору) (див. попередній малюнок). Далі для більш точних результатів було проведено усереднення по 20 матрицям реалізацій та проведено аналогічну побудову варіограм:

141

γ (ρ)

ρ

Рис. 2.3.9 . Емпірична (хрестики) та теоретична γ(ρ) варіограми для

усереднення по 20 реалізаціям із кореляційною функцією типу Коші при ν=1

Масштаб при усереднені змінюється, бо з 20-ти різних

реалізацій ми створюємо найоптимальнішу. Дисперсія при усередненні суттєво зменшується та емпіричні дані розсіюються менше відносно теоретичної кривої. На останньому рисунку 2.3.10 збіжність теоретичних значень до емпіричної варіограми краща. Для графічної інтерпретації змодельованого поля було побудовано в програмі Surfer каркасну карту за нашими реалізаціями випадкового поля:

142

y x

Рис. 2.3.10. Поверхня реалізації випадкового поля r) із

кореляційною функцією типу Коші при ν=1 та

a=1 ])2,10

2[],1,1.0[( r .

Для знаходження значень теоретичної та емпіричної

варіограм використовувався такий прийом – лінійка з програми Surfer. Кожна з варіограм помішалася в початок координат(в точку (0,0) лінійки). Далі для кожного фіксованого ρ окремо знаходилися значення як теоретичної, так і емпіричної варіограм (ці значення наведені в таблицях нижче). Далі в програмі Ecxel розраховувалося середньоквадратичне відхилення S теоретичної варіограми від емпіричної за формулою:

143

n

iet BB

nS

1

2)(1

1 . (2.3.20)

Таблиця 2.3.6. а)– для ν=1/2 ; Таблиця 2.3.6.б) – для ν=1;

Емпіричні

значення eB

Теоретичні значення

tB

Емпіричні значення

eB

Теоретичні значення

tB

1 0,43630573 0,547770701 1 1,93877551 1,85714286 2 0,55732484 0,550955414 2 1,87755102 1,81632653 3 0,53184713 0,51910828 3 1,16326531 1,20408163 4 0,50636943 0,487261146 4 1,81632653 1,81632653 5 0,50318471 0,487261146 5 1,26530612 1,32653061 6 0,4522293 0,487261146 6 1,73469388 1,73469388 7 0,47133758 0,464968153 7 1,73469388 1,73469388 8 0,48152866 0,464968153 8 0,6122449 0,69387755 9 0,44585987 0,429936306 9 0,63265306 0,69387755 10 0,37898089 0,433121019 10 1,65306122 1,69387755 11 0,2866242 0,423566879 11 1,65306122 1,69387755 12 0,36624204 0,404458599 12 1,53061224 1,6122449 13 0,42038217 0,398089172 13 1,59183673 1,6122449 14 0,42675159 0,398089172 14 1,57142857 1,59183673 15 0,35031847 0,382165605 15 0,95918367 0,95918367 16 0,35031847 0,382165605 16 1,55102041 1,59183673 17 0,51910828 0,382165605 17 1,40816327 1,44897959 18 0,39808917 0,363057325 18 1,3877551 1,44897959 19 0,39808917 0,363057325 19 1,3877551 1,44897959 20 0,37898089 0,363057325 20 1,2244898 1,30612245 21 0,35987261 0,363057325 21 1,34693878 1,30612245 22 0,30254777 0,331210191 22 1,26530612 1,18367347 23 0,31528662 0,331210191 23 1,18367347 1,18367347 24 0,34394904 0,331210191 24 1,18367347 1,18367347 25 0,3566879 0,331210191 25 1,16326531 1,2244898

144

26 0,36624204 0,331210191 26 0,40816327 0,40816327 27 0,3089172 0,318471338 27 0,40816327 0,40816327 28 0,29299363 0,299363057 28 1,08163265 1,12244898 29 0,33757962 0,286624204 29 1,04081633 1,04081633 30 0,33121019 0,286624204 30 1,12244898 1,04081633 31 0,31847134 0,286624204 31 0,97959184 1,04081633 32 0,29299363 0,286624204 32 1,02040816 1,04081633 33 0,25796178 0,270700637 33 0,73469388 0,81632653 34 0,21974522 0,270700637 34 0,75510204 0,81632653 35 0,27388535 0,25477707 35 0,75510204 0,81632653 36 0,29617834 0,25477707 36 0,7755102 0,81632653 37 0,23248408 0,248407643 37 0,63265306 0,69387755 38 0,23566879 0,248407643 38 0,63265306 0,69387755 39 0,18789809 0,21656051 39 0,69387755 0,69387755 40 0,20700637 0,21656051 40 0,69387755 0,69387755 41 0,21656051 0,21656051 41 0,65306122 0,69387755 42 0,22611465 0,21656051 42 0,65306122 0,69387755 43 0,17515924 0,165605096 43 0,48979592 0,57142857 44 0,1656051 0,162420382 44 0,53061224 0,57142857 45 0,15605096 0,162420382 45 0,48979592 0,57142857 46 0,14968153 0,162420382 46 0,51020408 0,57142857 47 0,05414013 0,038216561 47 0,51020408 0,51020408 48 0,0477707 0,038216561 48 0,46938776 0,51020408 49 0,03821656 0,038216561 49 0,2244898 0,16326531 50 0,05095541 0,031847134 50 0,16326531 0,18367347 51 0,05095541 0,031847134 51 0,18367347 0,16326531 52 0,05095541 0,031847134 52 0,16326531 0,10204082 53 0,03821656 0,02866242 53 0,10204082 0,10204082 54 0,03503185 0,02866242 54 0,10204082 0,10204082 55 0,03503185 0,02866242 55 0,02040816 0,02040816 56 0,02229299 0,02866242 56 0,42857143 0,42857143 57 0,02866242 0,01910828 57 0,36734694 0,42857143 58 0,02866242 0,01910828 58 0,42857143 0,42857143 59 0,01592357 0,015923567 59 0,28571429 0,28571429 60 0,01592357 0,015923567 60 0,28571429 0,28571429

145

Для випадку ν=1/2 таке середньоквадратичне відхилення становить

60

1

21 )(

59

1

iet BBS =0,036889123 %7,3 . (2.3.21)

Для випадку ν=1 таке середньоквадратичне відхилення рівне

60

1

22 )(

59

1

iet BBS =0,4841132 %8,4 . (2.3.22)

Із наведених обчислень можна зробити висновок, що похибка

наближення випадкового поля моделлю – в межах норми. 2.4. Статистичне моделювання карстово-суфозійних

процесів в дослідженнях на території потенційно-небезпечних об`єктів

Наведено метод, алгоритм та приклад статистичного

моделювання карстово-суфозійних явищ. Побудована статистична модель розподілу усередненої густини крейдяної товщі на плоскій області та розроблено алгоритм чисельного моделювання. Наводиться опис розробленого програмного забезпечення, яке дає можливість отримувати реалізації предмету дослідження на сітці спостережень будь-якої детальності і регулярності. Проводиться статистичний аналіз результатів чисельного моделювання та їх перевірка на адекватність.

Розроблені в попередньому параграфі моделі та алгоритми використовувались для доповнення моделюванням бази даних ДП КІІВД „Енергопроект”, які отримано протягом 1984–2002 років при контролі зміни густини верхньої частини розрізу на території проммайданчика Рівненської АЕС з використанням радіоізотопних методів досліджень (рис. 2.4.1 ).

146

Рис. 2.4.1. Діаграма усереднених по всій товщі значень густини скелету крейдяних відкладів (зліва) та дисперсних ґрунтів (справа), які їх перекривають, за 1984–2002 рр. (режимна свердловина 62, проммайданчик Рівненської АЕС). Перед будівництвом на території розташування РАЕС

проводився комплекс геофізичних досліджень, що цілком виправдовує себе, якщо брати до уваги важливість цього об’єкту. Але через те, що ці дослідження проводились до початку експлуатації, то вони викликають менший інтерес, ніж ті, що мають моніторинговий характер. Серед методів геофізики, які використовувались, були: сейсморозвідка КМЗХ (1983–1984 рр.), електророзвідка ВЕЗ (1978–1979 рр.), міжсвердловинне прозвучування (1983 р.), радіоактивний каротаж (1982–1983 рр.), резистивиметрія в свердловинах (1982 р.) та ін.

Серед моніторингових спостережень найбільший інтерес викликають радіоізотопні дослідження густини та вологості ґрунтів по периметру збудованих споруд за період 1984–2002

147

рр. Густину ґрунтів визначали методами гамма-гамма каротажу, вологість ґрунтів – методом нейтрон-нейтронного каротажу.

Саме результати останніх двох методів є найбільш цікавими з точку зору наявності тривалих рядів спостережень за зміною параметрів.

Виникає проблема доповнення моделюванням даних, які отримано протягом 1984–2002 років при контролі зміни густини крейдяної товщі на території досліджуваної проммайданчика з використанням радіоізотопних методів по сітці, що включала 29 свердловин. Схематичне зображення результатів вимірів на території об’єкту, який досліджується, та розташування свердловин представлено на рис. 2.4.2. Цих даних недостатньо для представлення загальної картини стану крейдяної товщі, де під дією втрат із комунікацій агресивних вод значно активізувалися карстово-суфозійні процеси.

Рис. 2.4.2. Точки режимних спостережень та усереднені дані густини крейдяної товщі на проммайданчикуі Рівненської АЕС

148

Таку проблему можна вирішити методом статистичного моделювання випадкових функцій, який надає можливість відображати явище (випадкове поле на площині) у будь-якій точці простору. При цьому моделюються усереднені значення густини крейдяної товщі на території проммайданчика. Поле значень густини в межах спостережень вважається однорідним та ізотропним випадковим полем на площині.

У процесі побудови карт за даними густини крейдяної товщі було виділено детерміновану та випадкову складові. При цьому, детерміновану функцію можна підбирати шляхом наближення різними методами. Ця процедура називається виділенням тренда для даних площини. Для поля значень густини крейдяної товщі ηz(x,y)= η(x,y) на плоскій області рівня z=30 м. була побудована детермінована трендова поверхня f(x,y) за допомогою сплайнової інтерполяції. Для цього використовувалось середовище MathCad.

Приклад побудови за допомогою програми «Surfer» карти трендової поверхні f(x,y) густини товщі крейди за даними спостережних свердловин (усереднено за всі роки та по координаті z на рівні z=30 м.(29 точок спостережень) наведено на рис. 2.4.3 (а).

На наступному етапі роботи було обчислено різниці між поверхнею вхідних даних η(x,y) (значень густини порід) та трендовою поверхнею f(x,y). Значення таких різниць утворюють випадкове поле відхилень ξ(x,y) на плоскій області, яке у більшості випадків вважається однорідним та ізотропним.

Після такої операції вхідні дані можна подати у вигляді суми однорідної ізотропної випадкової складової ξ(x,y) (так званий “шум”– випадкове поле) та тренда f(x,y) – детермінованої функції двох змінних, тобто суми:

, ( , ) ( , ).x y f x y x y (2.4.1)

Отже, задача звелась до такої, коли на трендовий каркас,

побудований на сітці більшої детальності, ніж сітка реальних спостережень, необхідно накласти додаткові змодельовані

149

значення випадкового поля “шуму”, які можна отримати розробленим авторами методом чисельного моделювання випадкових поліна площині. На рис. 2.4.3 (б) наведено приклад побудови за допомогою програми Surfer карти такого випадкового поля відхилень ξz(x,y) = ξ(x,y) на рівні z=30 м. (100 точок спостережень), накладеного на трендовий каркас.

(а)

X, м

Y, м ρ, 103 кг·м-3

150

(б)

Рис. 2.4.3. (а) Карта розподілу густини крейдяної товщі на проммайданчику Рівненської АЕС по зрізу 30 м за усередненими даними по спостережним свердловинам за 1984 - 2003 рр. – тренд; (б) результуюча карта, що побудована за усередненими та змодельованими даними – тренд із накладеним змодельованим “шумом”.

У роботі С.А. Вижви, З.О. Вижви, В.К. Демидова [41] запропоновано використовувати для цього метод статистичного моделювання випадкових полів на площині на основі їх спектрального розкладу, який дає можливість за окремими отриманими значеннями їх реалізацій знайти досконале зображення таких полів у всій області спостережень. При цьому

X, м

Y, м ρ, 103 кг·м-3

151

такі випадкові поля “шуму” мають бути однорідними та ізотропними.

Застосування розробленої авторами методики статистичного моделювання передбачає попередню статистичну обробку даних з метою визначення розподілу випадкового поля даних та його інших статистичних характеристик (математичного сподівання та кореляційної функції). Якщо гіпотеза про гауссовість досліджуваного поля підтверджується, то математичне сподівання та кореляційна функція повністю його визначають і дають нам можливість будувати статистичну модель такого випадкового поля на базі спектральної теорії випадкових функцій. Елементи цієї теорії та принципи побудови моделі й алгоритму наведено далі.

Побудова статистичної моделі поля випадкової складової даних густини крейдяної товщі на плоскій області та алгоритм чисельного моделювання.

Після викладення теоретичних розробок із спектральної теорії випадкових полів на площині доцільно розглянути важливий приклад такого випадкового поля, який ми застосуємо для опису явища, що досліджується. Наводиться кореляційна функція та обчислено відповідний їй вираз для спектральних коефіцієнтів, які використовуються для запропонованого методу чисельного моделювання.

152

Рис.2.4.4. Гістограма розподілу густиникрейдяної товщі по територіїї проммайданчика Рівненської АЕС (29cвердловин). 1 – кількість спостережень в окремому інтервалі густини; 2 – теоретична гауссівська крива

Попередня статистична обробка даних з метою визначення

його розподілу показала, що гістограма розподілу густини крейдяної товщі по території проммайданчика Рівненської АЕС (29 cвердловин) відповідає наближеному гауссівському розподілу (рис. 2.4.4).

За статистичну модель однорідного та ізотропного гауссівського випадкового поля, приймається модель у вигляді часткової суми (2.2.3). При цьому значення числа доданків ряду N визначається за допомогою нерівності (2.2.2), яка є оцінкою наближення випадкового поля r частковими сумами N(r в середньому квадратичному. Таке число має відповідати наперед заданому як завгодно малому числу – точності моделювання. Але перед застосуванням нерівності (2.2.2) та алгоритму 1 із параграфа 2.2 необхідно підібрати для даних

153

адекватну кореляційну функцію. Таку функцію визначаємо оптимальним способом, порівнюючи середньоквадратичне наближення емпіричної та теоретичної варіограм і вибираючи мінімальне.

Отже, на основі моделі (2.2.3) та оцінки (2.2.2) можна побудувати алгоритм статистичного моделювання гауссівського однорідного ізотропного випадкового поля r на площині густини крейдяної товщі, який служить основою для написання наступної програми.

Опис програми Spectr 2.1 чисельного моделювання однорідного ізотропного випадкового поля на площині Процедура чисельного моделювання реалізується за

допомогою програми Spectr 2.1 при заданих кореляційній функції та її коефіцієнтах розкладу bk (k=0,1,2,...n). Блок-схему такої програми наведено на рис. 2.4.5. Комп’ютерна реалізація наведеного вище математичного апарату статистичного моделювання розроблена за допомогою мови програмування Delphi з використанням сучасних математичних пакетів Statistika 6.0, S-Plus, GeoR для попередньої оцінки експериментальних даних та перевірки на адекватність згенерованих даних.

Процес ksi(r,φ) моделюється на плоскій області – прямокутнику, який визначається інтервалами [r0, rgr] та [φ0, φgr], в точках цієї області спостережень із полярними координатами xm, j = (φm, rj), де φm=φ0+mΔφ та rj=r0+jΔr, а m та j визначаються за заданою кількістю точок випадкового поля, що необхідно для моделювання. Даний алгоритм реалізовано як для регулярної мережі, так і для нерегулярної у будь-якій точці плоскої області із полярними координатами rj та φm..

Опис параметрів програми Spectr 2.1: R [r0, rgr] – полярні радіуси; φ [φ0, φgr] – полярні кути; j – крок, з яким проходить моделювання по R; m – крок, з яким проходить моделювання по φ; n – число підсумовування, яке залежить від точності;

154

ksi(r, φ) – вектор змодельованих реалізацій; B(φ) – вектор значень кореляційної функції для

змодельованої реалізації.

155

Рис. 2.4.5. Блок-схема програми Spectr 2.1 для обчислення вектора

реалізації випадкового поля на площині

a, c

Генерування випадкових чисел

r = r0, φ = φ0, = 0

r <= rgr

sksi = 0, seta = 0, ssseta = seta =0

k = 1..n, 1

Розрахунок суми sksi, seta

Розрахунок bk, ksi(φ), B(φ)

φ = φ + m; = + k ; r = r + j; seta 0

stop

<= gr

φ <= φgr

a

b

c

156

Cтатистичне моделювання карстово-суфозійних явищ на

території РАЕС

Для того, щоб застосувати розроблений математичний апарат до реальних даних радіоізотопних досліджень густини ґрунтів на території спостереження, проводилася їх попередня підготовка та статистична обробка.

На етапі підготовки даних було виключено, по можливості, похибки вимірів (за оператора, за апаратуру, за умови спостереження і т.п.). З цією метою виконано наступне:

– по-перше, відкидався верхній шар (біля 10 м), так як він складається з мішаних насипних ґрунтів;

– по-друге, зводились дані по свердловині за різні роки до середнього, яке отримувалось за три роки по свердловинам, що вибрані за опорні (для цього відбирався реперний шар суглинків, який лежить над шаром крейди). По шару суглинків за три роки обчислювалося середнє, а потім в дані вносилася відповідна поправка із знаком “+” чи “–“. Подібного роду обробка виконувалась за допомогою програми Statistiсa 6.0.

Таку операцію було здійснено над масивом даних значень густини крейдяної товщі за 1984-2002 рр. по 29 свердловинам проммайданчика РАЕС. Встановлено, що розподіл даних має характер наближений до гауссівського (рис. 2.4.5). Це дозволяє безпосередньо скористатись наведеним вище методом чисельного моделювання та за допомогою статистичних характеристик (математичного сподівання та кореляційної функції) відображати явище (випадкове поле) у будь-якій точці на площині.

Далі підбиралась статистична модель кореляційного зв’язку значень випадкового поля, для чого визначено математичне сподівання та оптимально вибрано кореляційну функцію. Математичне сподівання даних а=1,327586207.

За допомогою програми GeoR було побудовано кореляційну функцію випадкового поля. На рис. 2.4.6 наведено емпіричну

157

варіограму та відповідну такій кореляційній функції змодельовану варіограму.

ρ), c=5.

Рис. 2.4.6. Емпірична (хрестики) та теоретична (зірочки) γ(ρ)

варіограми для кореляційної функції даних значень густини крейдяної

товщі у вигляді функції Бесселя B(ρ)= J0(c)

Встановлено, що φ кореляційна функція такого випадкового поля має вигляд бесселевого типу:

1 21 2 0( ) 2 sin ,

2B J c r

(2.4.2)

Відстань кореляції ρ

Емпірична та

змодельована

варіограмма γ(ρ)

158

де 0 ( )J – функція Бесселя першого роду.

Визначено відповідне експериментальним даним значення параметра с = 5 та спектральні коефіцієнти цієї функції мають вигляд:

.5),()( 2 crcJrb kk (2.4.3)

Виходячи з цього, будується відповідна модель випадкового поля на площині для генерування його реалізацій. Вона має вигляд (2.2.3) із спектральними коефіцієнтами (2.4.2).

На рис. 2.4.7 наведено приклад побудови карти густини товщі крейди за даними спостережних свердловин (усереднені за всі роки та по координаті z, 29 точок спостережень) за допомогою програми Surfer 7.

X, м

Y, м ρ, 103 кг·м-3

159

Рис.2.4.7. Усереднені дані густини крейдяної товщі на території промплощадки Рівненської АЕС, побудовані за даними режимних свердловин за допомогою програми Surfer 7.

Детальність цієї побудови не може забезпечити надійну апроксимацію стану крейдяної товщі. Особливо це відноситься до точок, які знаходяться на значній відстані від спостережних свердловин.

На рис.2.4.8 зображена сітка змодельованих точок, на якій отримано згенеровані значення випадкового поля розподілу густини на плоскій області за підібраною моделлю. Така кількість точок перевищує кількість точок спостережень приблизно в 6 разів.

Рис. 2.4.8. Сітка змодельованих точок та отриманий розподіл густини крейдяної товщі на території промплощадки Рівненської АЕС (180 точок).

X, м

Y, м ρ, 103 кг·м-3

160

При необхідності, запропонована методика дозволяє збільшити число точок чисельного моделювання випадкового поля на потрібний порядок. При порівнянні даних моделювання з результатами експериментальних спостережень густини отримані відхилення знаходяться в межах точності польових методів.

На рис.2.4.9 наведено ізолінії рівних значень густини крейдяної товщі, які побудовані на основі змодельованих даних з урахуванням значень густини в режимних свердловинах.

Рис.2.4.9. Усереднені дані густини крейдяної товщі на території промплощадки Рівненської АЕС, побудовані за результатами моделювання з врахуванням реальних даних.

X, м

Y, м ρ, 103 кг·м-3

161

Детальність такої побудови значно відрізняється від отриманої на рис.2.4.7 та дозволяє прийняти рішення про необхідність проведення додаткових досліджень на території промплощадки РАЕС.

На рис. 2.4.10 побудована варіограма, яка отримана за допомогою пакету GeoR, що відповідає змодельованим даним, зображеним на рис.2.4.9. Із рисунка видно, що змодельовані дані відповідають кореляційній функції бесселевого типу (2.4.6), як і в експериментальних даних.

Рис 2.4.10. Варіограма змодельованих даних: 1 – значення емпіричної варіограми; 2 – модель γ(ρ) емпіричної варіограми (за GeoR)

Отримані результати свідчать про те, що модель для даних досліджуваного майданчика була підібрана адекватно та те, що розроблена програма Spectr 2.1 працює із достатньою точністю.





1

2

162

Підтвердженням є наведені вище рисунки результатів (добре співпадають кореляційні функції, що розраховані за програмою GeoR, та побудовані за реальними та змодельованими даними карти, які отримано за допомогою програми Surfer 7 (рис.2.4.7 та рис.2.4.9).

Отже, розроблена теорія, методика та алгоритми статистичного моделювання двовимірних полів дозволяють значно підвищити ефективність моніторингових спостережень на території потенційно небезпечних об’єктів, моделювати значення параметрів в проміжках режимної сітки спостережень та за її межами, адекватно описувати реальні геологічні процеси. Це дає змогу створити основу для прогнозу розвитку небезпечних геологічних процесів та їх поведінки за глибиною, за часом та в просторі.

Проведена апробація розроблених методів та алгоритмів на експериментальних даних по ряду свердловин та полів параметрів густини крейдяної товщі підтвердила високу надійність розроблених методик прогнозування цих характеристик в проміжках та поза межами сітки спостережень. При контролі незалежними методами відхилення між даними польових спостережень та змодельованими даними знаходяться в межах точності польових методів.

2.5. Статистичне моделювання випадкових полів на

площині сплайновими апроксимаціямиу (на прикладах даних аеромагнітометрії)

В геофізиці більшість результатів досліджень подається у

цифровій формі, точність якої залежить від різних випадкових впливів (в тому числі від похибки вимірювання апаратури). При цьому виникає проблема кондиційності карт у випадку, коли дані неможливо отримати із заданою детальністю в деяких ділянках. В таких ситуаціях для доповнення даними, яких не вистачає, рекомендується застосовувати методи статистичного моделювання реалізацій випадкових процесів та багатовимірних випадкових функцій (випадкових полів)

163

Постановка задачі та методи її вирішення. В представленій роботі об’єктом дослідження є дані аеромагнітної зйомки масштабу 1:10 000 в районі Овруцької западини, яка була проведена на протязі 1996 – 2002 років. В загальному плані – це зона зчленування Українського кристалічного щита і Прип’ятської западини. Досліджувався повний вектор напруженості магнітного поля Т. Роботу здійснено по 25 профілях із відстанню між ними 100 метрів. В отримані дані внесено всі необхідні поправки.

Статистичний аналіз об’єкта дослідження (рис.2.5.1(а)) засобами програми GeoR (пакет програм для статистичного аналізу випадкових функцій та графічних побудов) показав, що для значень ΔTан перших 7 профілів та останніх 5 характерна залежність у вигляді кореляційної функції бесселевого типу з одними параметрами, а по проміжних 13 профілях – з іншими (рис.2.5.1(б)). Тому для чисельного моделювання даних, які доповнюють експериментальні результати з більшою детальністю, окремо потрібно розглядати моделі для першої частини та другої частини профілів

На рис. 2.5.1(а) та рис. 2.5.1(б) наведено графіки варіограм γ(), які відповідають підібраним моделям кореляційних функцій бесселевого типу для випадкового поля експериментальних даних:

.0,)(2 1 a

a

aJB

(2.5.1)

Для всіх 25 профілів параметр a ≈ 2,5*103 (рис.2.5.1(а)), а для частини профілів від 7 по 20 параметр a ≈ 3,5*103 (рис.2.5.1(б)).

Відомо [128], що варіограма γ() пов’язана із кореляційною функцією B() виразом:

0B B

Варіограма описує залежність середнього квадрата різниці значень випадкового поля (в загальному випадку – неізотропного) у двох точках від відстані та напрямку між цими

164

точками. Ця функція для ізотропного випадкового поля залежить лише від відстані між точками.

(а) Рис 2.5.1(а). Варіограма даних ΔTан по ПР1 -ПР25, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу

12 ( ).

J aB

a

(a≈ 2,5*103).

(б) Рис 2.5.1(б). Варіограма даних ΔTан по ПР7 - ПР20, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу

12 ( ).

J aB

a

(a≈ 3,5*103).

Із наведеного рисунку 2.5.1(а) видно, що дані аеромагнітної зйомки візуально можна розділити на частину більшості профілів із кореляційною функцією (2.5.1) бесселевого типу із значенням параметра a ≈ 3,5*103. До цієї частини віднесено починаючи від 7 профіля до 20. Решта (перші 7 та останні 5) профілів описується тією самою кореляційною функцією, але з іншим значенням параметра а ≈ 2,5*103. Рис.2.5.1(б) містить варіограму 13 профілів більшої частини, які є предметом детального дослідження цієї статті. Другу частину даних рекомендується моделювати за аналогічною схемою, використовуючи інше значення параметра а.

Значення

γ(

)

Відстань (м)

Значення

γ(

)


165

При побудові графіків даних по кожному профілю виявлено, що з них доцільно виділити детерміновану та випадкову складові. Детерміновану функцію можна підбирати різними способами. Один із методів визначення її аналітичного вигляду (тренд fi(x) у вигляді функції - експоненціально затухаючої косинусоїди або синусоїди) розглядався раніше. Але існує більш точний спосіб виділення детермінованої складової – наближення даних кубічними сплайнами. Різниця між сплайновою апроксимацією даних із пропусками (наприклад, через один) по кожному профілю та сплайновою кривою для всіх точок є випадковим процесом, причому для більшості профілів – стаціонарним.

За графіками даних кожного профілю виділено стаціонарну випадкову складову ξi(x) (“шум” – випадковий процес) і тренд fi(x) у вигляді детермінованої функції - сплайна, а вхідні дані по профілю є випадковим процесом ηi(x):

( ) ( ) ( ), 7,8,..., 20.i i ix f x x i (2.5.2)

На рис.2.5.2 суцільною лінією нанесено сплайнову

апроксимацію Si(1)(x), побудовану засобами пакета програм

MathCad для даних ПР1, які беруться без пропусків. Для такого сплайну було визначено відповідні даним параметри. Вони задають на кожному профілі тренд fi(x). Великим штрих-пунктиром зображено графік сплайнової апроксимації Si

(2)(x) даних першого профілю із пропусками через одну точку спостереження (тобто, для 50 точок із 100). Шум отримали, обчислюючи наступні різниці

1( ) ( ) ( ), 7,8,..., 20i x iS x S x 2

i i

166

Рис.2.5.2. Прологорифмовані вхідні дані та ΔTан по профілю ПР1

Із спостережень (значень) шуму ξi(x) по всіх 13 профілях

було утворено двовимірний масив, який представляє однорідне та ізотропне випадкове поле (r на площині (r та φ – полярні координати точки х) із нульовим математичним сподіванням. До полів із такими властивостями можна застосувати метод статистичного моделювання випадкових полів на основі їх спектральних розкладів [20], який дає можливість за окремими значеннями їх реалізацій знайти досконале зображення полів на всій області спостережень. Тобто, згенерувавши додатково дані шуму в точках, в яких не було проведено геомагнітних вимірювань, наприклад, із подвійною точністю з інтервалом через 50, а не 100 метрів, ми можемо накласти ці дані на сплайнову криву тренда Si

(1)(x) і для кожного профіля отримати більш детальну реалізацію даних аеромагнітної зйомки. Цей метод відрізняється від традиційних, які використовують в якості точки між відомими вузлами вимірювання усереднене значення сусідніх вузлів, тим, що враховується інформація про

Y Si

(1)(x) Si

(2)(x) Si

(2)(x)

ln ΔTан

, нТл

Номер ПК по профілю (через 100 м.)

167

кореляційний зв'язок точок даних та про їх статистичний розподіл. Використання наведеного методу дає можливість доповнювати дані у тій частині області дослідження, де їх не вистачає, із урахуванням їх статистичної природи.

На основі побудованої гістограми для даних зроблено висновок про те, що щільність їх розподілу має наближено логарифмічно-нормальний вигляд (рис. 2.5.3(а)). Це дає нам можливість прологарифмувати дані і звести їх до наближено нормально розподілених (рис. 2.5.3(б)).

(a) Рис. 2.5.3(а). Гістограма

вхідних даних ΔTан по ПР1

(б) Рис. 2.5.3(б). Гістограма

прологорифмованих вхідних даних ΔTан по ПР1.

Таке перетворення дозволяє використати розроблений в [41]

алгоритм для генерування на комп’ютері реалізацій імітованих даних із залученням згенерованих послідовностей нормально розподілених випадкових величин.

За допомогою програми GeoR емпіричну кореляційну функцію випадкового поля (r, що досліджується, було наближено теоретичною кореляційною функцією B()

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1Відносна часто

3,8 4,05 4,3 4,55

ΔTан,

нТл

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02Відносна частота

50 75 100 125

ΔTан,

нТл

168

бесселевого типу (5.4.1), де визначено відповідне оптимальне в середньоквадратичному розумінні значення параметра а (a=3,5*10-5).

На наступних рисунках 2.5.4(а) та 2.5.4(б) відображено графік відповідної підібраній кореляційній функції варіограми виділеного шуму (рис. 2.5.4(а) та варіограми змодельованого шуму (рис. 2.5.4 (б)).

(а) Рис. 2.5.4(а). Варіограма випадкової складової даних ΔTан по ПР7-ПР20, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу (2.5.1) (a≈3,25*105)

(б) Рис. 2.5.4(б). Варіограма змодельованого шуму даних ΔTан по ПР7-ПР20, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу (2.5.1)(a≈3,25*105)

Модель випадкового поля (r на площині із такою

кореляційною функцією описується наступною формулою:

0

( , ) ( ) ( ) cos ( )sin .N

N k k k kk

r b r r k r k

(2.5.3)

Значення

γ(

) Відстань (м)

Значення

γ(

)


169

де:

0,k2,

0;k1,νk

r та φ ( r R+ , 0, 2 ] ) – полярні координати точки

х на площині (належать області спостереження), причому, відстань ρ між точками площини x1 = (r1, 1) та x2 = (r2, 2) буде рівною )(cos2 2121

22

21 rrrr ,

N – деяке натуральне число (кількість доданків в

моделі), значення якого визначається в залежності від заданого як завгодно малого числа ε (точності апроксимації) за допомогою нерівності із роботи [20], яка є оцінкою наближення випадкового поля (r частковими сумами N(r в середньому квадратичному;

( ) ( 0, 1, 2,..., )kb r k N - спектральні коефіцієнти,

які відповідають підібраній кореляційній функції (2.5.1), і мають наступний вигляд:

21 1( ) 2 ( ) ( ) , 1, 2,..., .k k k kb r J a r J a r J a r k N (2.5.4)

Jk (x) – функція Бесселя першого роду порядкa k, параметр а

має те саме значення, що і кореляційна функція (a≈3,5*10-5). Процедура чисельного моделювання реалізацій поля шуму за

наведеною вище моделлю (2.5.3) проводилась за допомогою програми Spectr 2.1, описаної в роботі [41].

При цьому значення числа N для побудованої моделі визначається за допомогою нерівності, яка є оцінкою наближення випадкового поля (r частковими сумами N(r в середньому квадратичному. Таке N має відповідати наперед заданому як завгодно малому числу ε (точності наближення).

170

Згадана нерівність отримана в роботі [150] і має наступний вигляд:

,2

11),(),( 2

21

2

rr

Nrr N (2.5.5)

де 0

( ), 1, 2.kk d k

На основі моделі (2.5.3) та оцінки (2.5.5) було побудувано алгоритм статистичного моделювання гауссівського однорідного ізотропного випадкового поля (r на площині, яке задається своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією B() бесселевого типу (2.5.1).

Алгоритм

1. Обчислюється значення числа N=30, відповідно наперед заданій точності ε (ε =10-5 ), за допомогою нерівності (2.5.5) :

2

1 2

1 1,

2r r

N

(2.5.6)

де r – радіус точки площини, в якій генерується реалізація випадкового поля(r.

2. Обчислюються спектральні коефіцієнти

( ) ( 0, 1, 2,..., )kb r k N за формулою (2.5.4) для кореляційної

функції (2.5.1).

171

3. Моделюються набори незалежних стандартних гауссівських випадкових величин ( ), 0,1, 2,...,k r k N

та ( ), 0,1, 2,...,k r k N .

4. Обчислюються значення реалізації у вигляді суми (2.5.3)

при підстановці в неї знайдених за попередніми пунктами величин.

5. Знаходиться статистична оцінка для кореляційної функції

по отриманій реалізації випадкового поля (r за допомогою програм S-Plus, GeoR і порівнюється із заданою кореляційною функцією B(), а також проводиться статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність (рис. 2.5.5 (а), (б)).

Слід відзначити, що наведений алгоритм можна застосувати і

до випадкових полів з іншим типом розподілу. Тоді випадкові величини ( ), 0,1, 2,...,k r k N та

( ), 0,1, 2,...,k r k N мають бути розподілені за відповідним

законом.

172

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

(а) Рис. 2.5.5(а). Гістограма прологорифмованих змодельованих даних ΔTан по ПР1.

(б) Рис. 2.5.5(б). Варіограма масиву змодельованих та вхідних даних ΔTан по ПР7-ПР20, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу (2.5.1) (a≈3,25*105).

За наведеним алгоритмом була отримана реалізація шуму на області дослідження із подвоєною детальністю (200 точок) по кожному профілю (13 профілів). При перевірці її на адекватність зроблено висновки, що відповідна гістограма шуму (рис. 2.5.5(а)) має гауссівський розподіл. Побудована варіограма цієї реалізації має найкраще наближення теоретичною варіограмою, яка пов’язана із кореляційною функцією бесселевого типу (2.5.1) із параметром a≈3,25*105 (рис. 2.5.4(б)). Це підтверджує адекватність змодельованої реалізації.

Варіограма масиву змодельованих та вхідних даних ΔTан по ПР7-ПР20, що відповідає кореляційній функції бесселевого типу

4,15 4,25 4,35 4,45 4,55 4,65 4,75 4,85

Значення

γ(

)


Відносна частота

ΔTан, Тл

173

(2.5.1) при значенні параметра a≈3,25*105наведена на рисунку 2.5.5(б).

Завершальним етапом роботи було накладення масиву шуму на сплайнову апроксимацію реальних даних. В результаті цього отримано більш детальну реалізацію для даних геомагнітних спостережень у виділеній області. На рисунку наведено карти, які побудовано до чисельного моделювання та після доповнення масиву даних із подвоєною детальністю (рис. 2.5.6).

Рис 2.5.6 (а) Карта магнітного поля ΔTан (загальна) М: 1:10 000, ( ПР7-

ПР20) (б) Карта змодельованого магнітного поля ΔTан М: 1:10 000.

X, м

Y, м

ρ, 103 кг·м-3

Y, м

X, м

ρ, 103 кг·м-3

(a)

(б)

174

Отже, метод статистичного моделювання реалізацій випадкових полів дає можливість доповнити із заданою детальністю даними результати вимірювань повного вектора напруженості магнітного поля. Він може також застосуватись для виявлення аномальних областей. При вивченні геомагнітних даних такі ділянки можна точніше виділити, якщо порівнювати реальні відхилення від ідеального змодельованого випадкового геомагнітного поля із властивостями однорідності та ізотропності.

Послідовність етапів моделювання адекватних даних випадкового поля аеромагнітної зйомки та їх перевірки на відповідність реальним даним відображено на наступній схемі.

175

Рис. 2.5.7. Схема процесу моделювання адекватних даних двовимірного випадкового поля аеромагнітної зйомки.

176

Вправи

1. Побудувати алгоритм для отримання реалізацій

однорідного ізотропного гауссівського випадкового поля (r на площині із кореляційною функцією:

1)

2sin2)( 21

01

21

rcJB k

q

kk , при

ск=k, k = 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,5; k= 1, 2,..., 5;

2) )0,0()( aeB a , при a = 0,1; 1; 1,5;

10.

3) )0(exp)( 2 aaB , при a = 0,1; 1; 1,5; 10.

4) )0()(1 aaKaB , де К1(х) – функція Ганкеля, при a = 0,1; 1; 1,5; 10.

5) 0,)(2 1 a

a

aJB

, де Jk(x) – функція

Бесселя першого роду порядку 1, при a = 0,1; 1; 1,5; 10.

6) 0,22

aa

aB

, при a = 0,1; 1; 1,5;

10. 2. Визначити число N в моделі (2.2.3) за формулою (2.2.2),

яке відповідає точності моделювання = 10-2, 10-3, 10-4,

177

10-5, 10-6, для кореляційних функцій 1 – 6 із попереднього завдання.

3. Побудувати алгоритм та отримати реалізації

однорідного ізотропного гауссівського випадкового поля (r на площині з кореляційною функцією:

2sin2)( 21

01

21

rcJB k

q

kk , при ск = k,

к = 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,5; k= 1, 2,...,5; в точках (rj i , де rj = j, j = 1, 2, …P;

,1,...2,1,0,2

MiM

ii

при P = 10, 20, 30, 100; та

М= 10, 20, 50, 100. 4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій однорідного

ізотропного гауссівського випадкового поля r на площині за допомогою пакетів Statistica та S-Plus знайти оцінку кореляційної функції B()* та визначити:

а) середньоквадратичне відхилення оцінки кореляційної

функції B()* від кореляційної функції B() випадкового поля на площині;

b) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної

функції B()* від кореляційної функції B() випадкового поля на площині.

178

--------------------------------------------------------------

Розділ 3

Статистичне моделювання однорідних та ізотропних

випадкових полів в тривимірному просторі

--------------------------------------------------------------

Цей розділ посібника присвячений проблемам чисельного моделювання випадкових функцій, які залежать від трьох змінних, тобто випадкових полів в тривимірному просторі. Розглядається задача статистичного моделювання реалізацій однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі, розроблена на основі спектрального розкладу таких полів. В першому підрозділі 3.1 наводяться оцінки середньоквадратичного наближення таких випадкових полів частковими сумами рядів спеціального вигляду, що використовуються для методу рандомізації. В другому підрозділі 3.2 наведено обчислення спектральних коефіцієнтів для практично важливих прикладів кореляційних функцій випадкових полів, що розглядаються. На основі наведених результатів побудовано статистичну модель та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій тривимірних гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів, які задані своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням та кореляційною функцією.

Випадкові поля в тривимірному евклідовому просторі є більшим узагальненням випадкової функції з точки зору розмірності аргументу порівняно з випадковими процесами та випадковими полями на площині. Метод статистичного моделювання тривимірних випадкових полів на основі спектральної теорії дає можливість за окремими отриманими значеннями таких просторових полів відтворити їх досконале зображення в тривимірному просторі.

179

Вперше статистичне моделювання випадкових полів в тривимірному просторі було застосовано більше 30 років тому. У 1972 році розроблена модель для випадкових полів простору будь-якої цілочислової розмірності N вченими М. Шінозука та C.M. Жан [185]. У випадку розмірності простору N=3 така модель має вигляд, який наведено далі.

Нехай спектральна щільність S() заданого своїми статистичними характеристиками випадкового тривимірного поля Z(x) є незначною назовні паралелограма:

,3,2,1;: iiii

де і (i=1, 2, 3) – це заданий вектор з додатними елементами.

Далі, позначимо i

ii N

2 – це інтервал вздовж і-ї вісі

частот, де Ni – це число інтервалів на цій осі. Тоді випадкове поле в тривимірному просторі можна змоделювати за допомогою ряду:

),cos(

),,(2)(

321321

32

1

1

2

2

3

3

1

332211

2

1

321321 1 1

1

kkkkkk

kk

N

k

N

k

N

kks

xxx

SxZ

де 321 kkk – це незалежні випадкові рівномірно розподілені

між 0 та 2 кути, а

180

1, 1, 2,... ; 1, 2,3,

2

, 1, 2,... ; 1, 2, 3.

i

i i

ik i i i i i

ik ik i i i

k k N i

k N i

Вище позначено через i малу випадкову частоту, яка

додається, щоб уникнути періодичності. Вона рівномірно

розподілена між і/2 та і/2, якщо і <<і.

Така модель має один суттєвий недолік при використанні для статистичного моделювання суцільних випадкових полів, які широко застосовуються в геології. А саме, час обчислення за наведеними формулами значно зростає, коли кількість точок моделювання буде більше 10.

Більш економний спосіб моделювання розробили вчені Ж. Матерон, 1973 [163], Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон, 1981 [165], Ж. Хрістакос, 1987 [129]. Цей метод називається методом обертання груп (ТВМ). Він полягає в тому, що проблема моделювання в дво- та тривимірному просторі зводиться до моделювання в одновимірному випадку. Ідея методу – проектування вектора від початку координат до точки моделювання в тривимірному просторі на одиничний вектор від початку координат із випадковим напрямком, який в цьому просторі обертається. Після таких перетворень, в якості одномірної моделі підбирають вже відомі моделі випадкових процесів (наприклад, [185]): ТВМ використовувався для статистичного моделювання тривимірних випадкових полів з різними коваріаційними функціями у гірничій справі вченими А. Джорнел, Ч. Хюджбрегтс [154] протягом багатьох років. Однак, зауважимо, що для застосування цього методу необхідно, щоб задана коваріаційна функція

( )sC досліджуваного тривимірного випадкового поля

зводилась до одновимірної коваріаційної функції )(1 C наступним перетворенням:

181

))(()(1

sCd

dC

Таку умову диференційованості може задовольнити не кожна

функція. В роботі З.О. Вижви, 2003 [192] запропонована розроблена

на основі спектральної теорії випадкових полів [109] рандомізована модель для статистичного моделювання випадкових полів у тривимірному просторі, які задаються будь-яким типом кореляційних функцій, і сконструйовано алгоритм для генерування реалізацій таких випадкових полів, який не потребує громіздких обчислень. В роботах С.А. Вижви, З.О. Вижви [39] та С.А. Вижви, З.О. Вижви, В.К. Демидова [43] впроваджено застосування цього методу до задач моніторингу геологічного середовища.

Метод рандомізації, який використовувався в наведених статтях, дає можливість уникнути складнощів у зв’язку з обчисленням спектральних коефіціентів, але він є менш точним. Інший метод статистичного моделювання випадкових полів у тривимірному просторі із використанням спектральних коефіціентів був розроблений та застосований до дослідження густини крейдяної товщі методом Монте-Карло на території проммайданчика Рівненської АЕС в роботі С.А. Вижви, З.О. Вижви, В.К. Демидова [42] і набув подальшої розробки в статті З.О. Вижви [22].

Якщо розглядати статистичне моделювання випадкових полів у тривимірному просторі та їх звуження на сферу при фіксованому радіусі, то можна застосовувати розроблені методи статистичного моделювання випадкових полів на сфері. Ці методи будуть описані в наступному розділі 4.

Потрібно зазначити, що різні методи статистичного моделювання випадкових полів у тривимірному просторі описані в книзі Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], але в ній методи на базі спектральних розкладів випадкових полів суттєво відрізняються від наведених в цьому розділі.

182

3.1. Спектральний розклад однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі та їх

середньоквадратичне наближення рандомізованим представленням спектрального розкладу

Наведемо деякі відомості із спектральної теорії випадкових

полів в тривимірному просторі [109]. Нехай

( ) ( , , ); , [ 0, ], [ 0, 2 ]x x r r R

– однорідне та ізотропне, неперервне в середньому

квадратичному випадкове поле в просторі R3 зі сферичними координатами із нульовим математичним сподіванням та дисперсією, що обчислюється за формулою:

,)()(0

2

dx

де Ф(λ) – спектральна функція випадкового поля )(x .

Таке випадкове поле можна зобразити у вигляді спектрального розкладу (доведення цього твердження наведено в [192] ):

1

2

( )

, ,10 0 0

( , , ) (cos ) cos ( )m

J rml l

m l m mrm l

r C P l z d

,)(sin 2,

0

)(2

1

dzl lmr

rJm

(3.1.1)

де ,)!(

)!()12(, lm

lmmC llm

(3.1.2)

183

,0,2

;0,1

k

kl

)(zPlm – приєднані функції Лежандра (див. (4.1.13) ),

)(zJ m – функція Бесселя першого роду m-го порядку, а

)2,1((.) ,0,0,

pZ mlm

lpm – набори ортогональних

випадкових мір на σ-алгебрі борелівських множин із інтервалу [0,+ ), таких, що:

,()()( 21

~~~

2

~

~,~1, SSSZSZ k

kll

mm

l

km

lkm (3.1.3)

.),0[, 21 SS

Далі задача полягає в знаходженні середньоквадратичного наближення цього випадкового поля частковими сумами ряду (3.1.1) спеціального виду, які будуть використані для побудови моделі такого поля методом рандомізації.

Для цього розглядається розбиття інтервалу

,),0[1

11kі

k

іі

k

і

(3.1.4)

де діаметри )1,1( kіd і областей

),1,(: 1 kiRaaa iiiі – скінченні, а

область : kk a має нескінченний діаметр.

Виберемо в кожній області і випадкову точку і.

Нехай гауссівське випадкове поле rθ) задано своїми

184

математичним сподіванням і спектральною функцією Ф(λ) (або кореляційною функцією). Нехай також існує спектральна щільність )()( . Тоді випадкова точка

, ( 1, )i i i i k має щільність розподілу

,

,

( ),

( )

0,

iii

i

upp

u

(3.1.5)

де ).(

dpi

i

Розглядається рандомізоване представлення спектрального

розкладу випадкового поля:

1

2

( ),

, ,11 0 0

( , , ) (cos ) cos ( )i

m

i

i

J rk ml i l

k m l m mri m l

r C P l z d

.)(sin ,2,

)(2

1

dzl limr

rJ

i

i

im

(3.1.6)

Досліджується середньоквадратичне наближення

випадкового поля rθ) сумами виду:

1

2

( )

, ,11 0 0

( , , ) (cos ) cos ( )i

m

i

i

J rk N mN l lk m l m mr

i m l

r C P l z d

185

.)(sin 2,

)(2

1

dzl lmr

rJ

i

i

im

(3.1.7)

Як буде показано далі, такі суми та оцінки можна

використати при розв’язанні проблем статистичного моделювання випадкових полів в тривимірному просторі із заданими статистичними характеристиками.

Потрібно знайти оцінку для середньоквадратичного наближення такого випадкового поля сумою (3.1.7), тобто, оцінку для:

2( ) ( ) .N

k

x Q

x x d x

(3.1.8)

Отриманий результат можна сформулювати у вигляді

наступної теореми. Теорема 3.1. Вводиться припущення, що при k

величини N та ak прямують до нескінченності так, що виконуються умови:

1) ;ka

N 2) ;,0

Qe

Na

N

ak

k

3) );1(0k

N 4) ;0

2

k

ak

5)3

1 10, ( ) ;ka

N d

6) );(,max11

Rck

acd k

iki

186

7)3

3( ) ;ka

d

0

8) ( ) ( ) 1,D x d

де Q – деяке дійсне невід’ємне число (радіус кулі).

Тоді

kxdxxQx

Nk ,0)()(

2

і справедлива наступна оцінка:

xdxxQx

Nk

2)()(

24

224

2)2(2

121

2 Nk N

NQ

N

N

k

acQ

1

22)1(2

)12(12)2(2

1

)32(22

1 NNQN

N

N

NeNN

,1

21

324232

2

N

NQe

NQ Qa

N

k (3.1.9)

де Q – деяке дійсне невід’ємне число (радіус кулі).

Доведення цієї теореми наведено в роботі [192].

187

3.2. Статистична модель однорідного та ізотропного випадкового поля в тривимірному просторі та алгоритм статистичного моделювання. Приклади.

Побудовано метод статистичного моделювання однорідних

та ізотропних випадкових полів із змінними в тривимірному просторі з використанням отриманої вище оцінки (3.1.9) середньоквадратичного наближення випадкового поля

3( , , ), ( , , )r r R частковими сумами (3.1.7). За основу взято метод рандомізації [70].

Для вибору статистичної моделі такого поля можна скористатись частковою сумою (3.1.7) ряду, який є спектральним розкладом тривимірного однорідного та ізотропного випадкового поля. Тоді побудована модель має наступний вигляд:

1

2

( ), ,

, ,1 ,21 0 0

( , , ) (cos ) cos sin ,i

m

i

J rk N mN l i l i lk ml m m mr

i m l

r C P Z l Z l

(3.2.1)

де випадкова точка , ( 1, )i i i i k має щільність

розподілу (3.1.5),

, ,,, 0, 0, 1

, ( 1, 2)N m ki l

m p m l iZ p

– набори незалежних

стандартних гауссівських випадкових величин. з нульовим математичним сподіванням та дисперсіями:

;2,1,1,

, pZD lipm (3.2.2)

kimlNm ,...,2,1;,...,1,0;,...,1,0

Далі, на основі наведеної моделі з використанням оцінки (3.1.9) середньоквадратичного наближення випадкового поля частковими сумами будується алгоритм для генерування

188

реалізацій тривимірного гауссівського однорідного та ізотропного випадкового поля rθ) методом рандомізації. Наведемо цей алгоритм.

Алгоритм 1

1. Моделюється послідовність випадкових величин

),1(, kiiii із щільностями розподілу рі, які

задаються формулами (3.1.5). 2. Визначається відповідне для заданої точності

наближення значення числа N за допомогою оцінки (3.1.9):

)2(2

1

)32(22

1

2)2(2

121

2 )1(2

24

224

N

N

N

NeNN

NQ

N

N

k

acQ

NNk

2

2 2 2 3 2 41 32

12 1 (2 1) 2 .

1k

N

a Q NQ N N Q e Q

NN

(3.2.3)

3. Моделюються набори незалежних стандартних гауссівських випадкових величин:

)2,1(,,,

1,0,0

,,

pZ

kmN

ilm

lipm .

4. Обчислюються значення реалізації випадкового поля

rθ) в точці 3( , , )r R за формулою (3.2.1) при підстановці значення величин, обчислених за пунктами 1, 2 та змодельованих гауссівських випадкових величин за пунктом 3.


за допомогою пакетів прикладних програм S-Plus по отриманій

189

реалізації випадкового поля rθ) і порівнюється із заданою кореляційною функцією B(r), а також проводиться статистичний аналіз і перевірка цієї реалізації на адекватність.

Слід зауважити, що наведений алгоритм можна

використовувати для генерування реалізацій випадкових полів не тільки гауссівського типу, а й інших видів розподілу. Для цього потрібно використати відомі в літературі перетворення негауссівських випадкових полів до гауссівських.

Після викладення теоретичних міркувань доцільно розглянути ряд важливих прикладів випадкових полів у тривимірному просторі. Слід зазначити, що приклади для кореляційних функцій випадкових полів на площині, які наведено в параграфі 2.1, є також прикладами кореляційних функцій випадкових полів в тривимірному просторі. Викликають інтерес приклади кореляційних функцій випадкових полів, які досліджувались раніше статистичним методом ТВМ [165] при обробці даних вимірювань, що отримані у гірничій справі та гідрогеології.

Потрібно враховувати, що для використання запропонованого методу статистичного моделювання необхідно вказати для випадкових полів із такими кореляційними функціями відповідні їм спектральні функції Ф(λ) або спектральні щільності ( ) ). Наведемо далі важливі для застосування на практиці приклади кореляційних функцій та відповідних їм спектральних цільностей і спектральних функцій.

Приклад 1. Розглядається випадкове поле в тривимірному просторі із експоненціальною кореляційною функцією:

.0,exp)( crcrB (3.2.4)

Спектральна щільність в тривимірному просторі, яка

відповідає даній спектральній функції, буде мати вигляд дробово-раціональної функції:

190

.4

)( 222

2

cu

ucu

(3.2.5)

Приклад 2. Наведемо випадкові поля в тривимірному

просторі із кореляційною функцією, яку називають Гауссівською кривою:

.0,exp)( 2 crcrB (3.2.6)

В цьому випадку для похідної від спектральної функції маємо вираз у вигляді добутку квадрата аргументу і експоненти від змінної з протилежним знаком із урахуванням параметра:

c

u

c

uu

4exp

2

)(2

3

2

(3.2.7)

Приклад 3. Розглянемо кореляційні функції випадкового поля Бесселевого типу, а саме:

,0),()( 1 crcKrcrB (3.2.8)

де K1(t) – модифікована функція Ганкеля. Відповідна їй спектральна щільність, тобто похідна від

спектральної функції буде дробово-раціональна, а саме:

.

2

9)(2

522

2

2

52

cu

ucu

(3.2.9)

Приклад 4. Наступна кореляційна функція також

191

відноситься до функцій Бесселевого типу. Вона задається формулою:

,0,

)(

23

2

32

3

aa

aJ

B

(3.2.10)

де )(

2

3 zJ – функція Бесселя першого роду порядку 3/2.

Відповідна спектральна функція в тривимірному просторі для таких кореляційних функцій буде мати вигляд:

.,1

,0,3

au

aua

uu (3.2.11)

Для знаходження спектральної щільності легко підрахувати

похідну від виразу (3.2.11). Приклад 5. Розглянемо модель Коші (2.1.31), тобто

дробово-раціональну функцію. Вона є кореляційною функцією випадкового поля в тривимірному просторі при значенні параметра =1 та має вигляд формули:

.0,11

2

2

aa

B (3.2.12)

Відповідна спектральна щільність в тривимірному просторі

для моделі Коші буде у вигляді добутку аргументу і експоненти від змінної з протилежним знаком із урахуванням параметра:

uauau exp)( 2 (3.2.13)

192

Приклад 6. Можна для прикладу навести ще один тип кореляційної функції тривимірного випадкового поля, що належить сімейству Бесселя. Вона має наступний вигляд:

.0,

)(

22

12

1

aa

aJ

B

(3.2.14)

де )(

2

1 zJ – функція Бесселя першого роду порядку 1/2.

Спектральна функція в тривимірному просторі для цієї кореляційної функції буде мати вигляд:

.,1

,0,0

au

auu

(3.2.15)

Зрозуміло, як підрахувати відповідну спектральну щільність для такого прикладу.

Приклад 7. Часто знаходять застосування кореляційні функції поліноміального типу [165]. Найпростішим прикладом такого типу є так звана сферична модель:

.,0

;,2

1

2

31)(

3

a

aaaB

(3.2.16)

Сферична кореляційна функція зображена на рис. 2.5 при

значенні розмірності n=3.

193

B(ρ)

ρ

Рис. 3.2.1. Сферичні кореляційні функції при значеннях параметра n=1, 2, 3 та 5. Додається для порівняння експоненціальна кореляційна функція при значеннях параметра k=1 та 2

При a ( 0 для сферичної моделі відповідна спектральна щільність в тривимірному просторі буде мати вигляд:

3 2 2

2 16 4 1 24 3 24( ) [( )cos sin ].

2

a a af a a

a a

(3.2.17)

Наведені приклади кореляційних та спектральних функцій,

спектральних щільностей однорідних та ізотропних тривимірних випадкових полів рекомендується використовувати при статистичному моделюванні реалізацій таких випадкових

194

полів у тривимірному просторі із заданими статистичними характеристиками. Якщо ж вигляд кореляційної залежності для даних випадкових полів невідомий , то необхідно визначити із необхідною точністю методом статистичного аналізу відповідний тип кореляційної функції та її параметри.

Далі розглянуті приклади кореляційних та спектральних функцій зведено у компактну таблицю, яка є зручною у використанні на практиці.

195

Таблиця 3.1. Кореляційні та спектральні функції, спектральні щільності однорідних та ізотропних випадкових полів із змінними у тривимірному просторі

N )(B )(

1

.0,

)(

22

12

1

cc

cJ

.,1

,0,0

c

c

2

.0,0,1

,

)(

2

1

2

12

1

1

mm

s

mm

m

ms

mm

cpp

c

cJ

p

s

i

miim

c

siccp

c

,1

1,1,,

,,0

11

1

3 23

23

)(

)(9

c

cJ

.,1

,0,3

c

cc

196

4 0,exp 2 cc

cc 4exp

2)(

2

3

2

5 0,

22

2

cc

c

.)( 2 cec

6 1,0,exp ncc

.

4)(

222

2

cu

ucu

7 0),(1 ccKc

.

2

9)(2

522

2

2

52

cu

ucu

197

8 0,)( 222

4

cc

c

32( )

2cc

e

9

33 1

1 , ;2 2

0, .

aa a

a

3

2 2

2 16 4 1( ) [( )cos

2

24 3 24sin ].

a aa

a

aa

a

198

На завершення потрібно зауважити, що існують методи, за допомогою яких можна звести в деяких випадках неоднорідні та неізотропні випадкові поля до однорідних та ізотропних. Тому запропоновані в цьому параграфі алгоритми статистичного моделювання випадкових функцій мають досить широкий спектр використання.

3.3. Приклад практичного застосування методу Монте-

Карло для досліджень на проммайданчику Рівненської АЕС На попередньому етапі в роботі Вижви С.А, Вижви З.О,

Демидова В.К. [43] проводилась статистична обробка даних в тривимірній області спостережень, які описано в прикладі практичного застосування частини 2 (параграф 2.4) із врахуванням тривимірної структури.

Рис.3.3.1. Гістограма густини товщі крейди (осереднені дані за всі роки спостережень, тривимірний випадок): 1 – кількість спостережень в окремому інтервалі густини; 2 – теоретична гауссівська крива

1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,550

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Кількість спостережень

ρ , 103 кг м -1

1

2

199

.Для визначення розподілу вхідних даних було побудовано гістограму (рис. 3.3.1 ). Звідси встановлено, що вони мають наближено гауссівський розподіл.

Далі підбиралась статистична модель розподілу густини крейдяної товщі в просторі, для чого визначено її кореляційну функцію за допомогою пакету програм GEO R. Моделювання проводилось по трьох рівнях (28, 29, 30 м від поверхні). Встановлено, що найбільш адекватно описували наші вхідні дані два типи кореляційної функції, а саме: функція Бесселя (3.2.10) при значенні параметра 5,1a та функція Коші (3.2.12):

;5,1,

)(

)(

23)(

2

32

3

a

a

aJ

B

(3.3.1)

.0,1)(1

2

2

aa

B (3.3.2)

Потрібно зауважити, що на основі статистичних досліджень

можливе також достатньо адекватне наближення в тривимірному моделюванні даних моделлю експоненціально затухаючої косинусоїди, яка використовувалась для одновимірних даних в частині 1 ( параграф 1.3).

Із спектральної теорії слідує, що відповідна рандомізована модель такого тривимірного випадкового поля має вигляд суми (3.2.1).

Використовується алгоритм статистичного моделювання тривимірного випадкового поля (параграф 3.2), який побудовано методом рандомізації на основі оцінки апроксимації (3.1.9) середньоквадратичного відхилення:

2

( ) ( ) ,Nk

x Q

M x x d x

200

де Q – деяке дійсне невід’ємне число (радіус сфери області спостереження).

Згенеровано реалізації тривимірного випадкового поля із бесселевою кореляційною функцією виду (3.3.1) при значенні параметра а=1,5. Моделювання проводилося методом використання спектрального розкладу шляхом знаходження спектральных коефіціентів (див. наступний розділ 4, підозділ 4.4) та методом рандомізації.

Для моделювання гауссівського тривимірного випадкового поля із бесселевою кореляційною функцією методом рандомізації використовувався наступний

Aлгоритм

1. Моделюється послідовність випадкових величин:

32

31

3

),1(,a

aaki ii

iiii

(α – рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1) випадкова величина) із щільностями розподілу, які задано формулою:

,

,31

3

2

,0

,3

)(

i

iiii

u

uaa

uup (3.3.3)

де параметр а =1, 5. При цьому, вибираючи інтервал розбиття, приймаємо

.,,1,0,, kiik

aaaa ik

201

2. Визначається відповідне для заданої точності наближення значення числа за допомогою оцінки:

22 24 4

2( 1)

2 1 1 11

2 2( 2) 2 2 2(2 3) 2( 2)k

N N

Nca N N eN NQ Q

k N N N N

324232

122

12

1)12(12

2

N

NQe

NQNNQ Qa

N

k

(3.3.4)

Зазначимо, що для наших даних .10;5,1 kaaQ k

3. Моделюються набори незалежних стандартних

гауссівських випадкових величин )2,1(,,,

1,0,0,, pZ kmN

ilmlipm

із нульовим математичним сподіванням та дисперсіями (3.1.3).

4. Обчислюються, при підстановці значень величин, обчислених за пунктами 1, 2 та змодельованих гауcсівських випадкових величин за пунктом 3, значення реалізації випадкового поля r,, в точці 3( , , )r R за формулою:

1, ,2

, ,1 ,21 0 0

( )

( , , ) (cos ) cos sinik N mm

N l l i l ik ml m m m

i m li

J r

r C P Z l Z lr

.

(3.3.5)

5. Знаходиться статистична оцінка для кореляційної функції по отриманій реалізації випадкового поля r,, і порівнюється із заданою кореляційною функцією B(), а також проводиться статистичний аналіз цієї реалізації на адекватність.

202

На основі висновків із статистичної обробки даних та

наведеного алгоритму для моделювання реалізацій значень таких даних у тривимірному випадку в середовищі Delphi 7.0 була розроблена оригінальна програма Spectr 3_1, де використовувались підібрана кореляційна функція бесселевого типу (3.3.1) (рис. 3.3.2). Зауважимо, що при моделюванні дані по рокам для кожної свердловини було усереднено.

Для моделі, що відповідає типу (3.2.1), яка використовувалась авторами для генерування реалізацій досліджуваного поля в фіксованій точці тривимірного простору, обчислення Бесселевих функцій та функцій Лежандра здійснювалось за допомогою оригінальної програми та перевірялися пакетом програм Mathematika 4.0.

Результати, які було отримано за допомогою моделювання за сформульованими алгоритмами, зображені на рис.3.3.4. На рис. 3.3.4(а) наведено приклад побудови карти густини крейдяної товщі за даними спостережених свердловин (дані усереднені за всі роки по 30 свердловинах на рівні 30 м) за допомогою програми Surfer 7. Детальність цієї побудови за наявними даними не може забезпечити надійну характеристику стану крейдяної товщі, оскільки такої кількості результатів вимірювань для цього недостатньо.

На рис. 3.3.4(б) наведено ізолінії рівних значень густини крейдяної товщі, що побудовані на основі змодельованих даних з урахуванням значень в режимних свердловинах за допомогою обчислених спектральних коефіціентів методом спектрального розкладу. Додатково отримані дані (змодельовано додатково 160 значень в проміжках між точками спостережень для даного рівня) дозволяють мати більш надійну апроксимацію, що дає можливість більш обґрунтовано приймати рішення про стан крейдяної товщі та визначати місця для перевірки та проведення додаткових досліджень.

На рис. 3.3.4(в) наведено ізолінії рівних значень густини крейдяної товщі, що побудовані на основі змодельованих даних з урахуванням значень в режимних свердловинах методом

203

рандомізації. Додатково отримані дані (змодельовано додатково 160 значень в проміжках між точками спостережень для даного рівня) дозволяють мати більш детальну апроксимацію, що дає можливість більш обґрунтовано приймати рішення про стан крейдяної товщі та визначати місця для перевірки та проведення додаткових досліджень.

На рис.3.3.5(а), та рис.3.3.5(б) представлена варіограми, що побудовані за допомогою пакета GeoR для змодельованих даних, які зображені на рис. 3.3.4(б) та 3.3.4(в) відповідно.

Одержані результати свідчать, що модель підібрана для даних достатньо адекватно, а розроблена програма Spectr 3_1 працює з достатньою точністю.

Отримані в результаті побудови кореляційні функції та побудовані моделі дозволяють зробити висновок, що метод рандомізації дає можливість уникнути складнощів в зв’язку з обчисленням спектральних коефіціентів, але він є менш точний.

204

3.3.4. Карти візуалізації

(a)

(б)

(в)

ρ, 103 кг·м-3

ρ, 103 кг·м-3

ρ, 103 кг·м-3

X, м

Y, м X, м

X, мY, м

Y, м

205

(а)

3.3.5(а) Варіограма бесселевого типу змодельованих даних значень

густини крейдяної товщі методом спектральних коефіцієнтів





206

(б) Рис. 3.3.5 (б). Варіограма бесселевого типу змодельованих значень

густини крейдяної товщі методом рандомізації

(а)

Рис.3.3.6(а). Діаграма реалізації густини товщі крейди

ρ, 103 кг·м-3






207

(б)

Рис. 3.3.6(б). Діаграма розподілу реалізації густини крейдяної товщі за глибиною (метод рандомізації)

3.4. Оцінки наближень однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі частковими

сумами стохастичних рядів. Модель та алгоритм статистичного моделювання

В цьому параграфі пропонується простіший, ніж в попередньому параграфі метод статистичного моделювання реалізацій однорідних та ізотропних випадкових полів в тривимірному просторі R3 із заданою спектральною функцією, розроблений авторами М.Й. Ядренком та О.Г. Гамалій [110] на основі спектрального розкладу таких полів]. Для цього використано розроблені С.М. Ермаковим [58] в теорії статистичного моделювання алгоритми моделювання випадкових величин із заданими розподілами

Розглядається дійснозначне випадкове поле ( )x в просторі R3, яке можна подати у вигляді стохастичного ряду:

ρ, 103 кг·м-3


208

1

2

( )1 2

, , ,0 0

( , , ) (cos ) cos sin ,m

J r ml

ml m ml mlrm l

r C P l l

(3.4.1)

де , , 0,1,2,..., 0,1,..., , 1,2іm l m l m i – послідовність

взаємно незалежних випадкових величин таких, що j

ij

isl

km

jsk

ilm ,,, – символ Кронекера, а ζ –

незалежна від 1 2

, , ( 0,1,2,...; 0,1,..., )m l m lі m l m

випадкова величина із функцією розподілу )(

(спектральна функція випадкового поля rθ)) коефіцієнти ,m lC визначаються за виразом:

,)!(

)!()12(, lm

lmmC llm

де

,0,2

;0,1

k

kl

)(zPlm – приєднані функції Лежандра, )(zJ m – функція

Бесселя першого роду m-го порядку. Теорема 1. Випадкове поле rθ) є однорідним та

ізотропним випадковим полем із нулевим математичним сподіванням та кореляційною функцією:

,)(sin

),,(),,(0

222111

drrM (3.4.2)

де ρ – відстань між точками ),,( 111 r та ),,( 222 r Доведення. Теорема 1 випливає із (3.4.1), теореми додавання

для многочленів Лежандра та теореми додавання для функції Бесселя [7].

Функція )( в представленні (3.4.2) називається

спектральною функцією випадкового поляrθ).

209

Формулу (3.4.1) можна використати для статистичного моделювання однорідного та ізотропного випадкового поля в просторі R3 із заданою спектральною функцією )( . Для цього достатньо використати добре розроблені в теорії статистичного моделювання алгоритми моделювання випадкових величин із заданими розподілами [58], використовуючи часткову суму стохастичного ряду (3.4.1), а саме:

1

2

( )1 2

, , ,0 0

( , , ) (cos ) cos sin ,m

J rN ml

N m l m m l m lrm l

r C P l l

(3.4.3)

При цьому природно виникає питання про оцінку похибок

моделювання в різних метриках. Позначимо моменти через

.),(0

idii

Теорема 2. Якщо 3 , то для всіх N=1, 2 ,... має

місце нерівність

.4

5),,(),,(

232

NrrM N

(3.4.4)

Доведення теореми 2 наведено в роботі [110]. З точки зору практики, важливо гарантувати, що частинні

похідні певного порядку для Nrθ) також близькі до частинних похідних однорідного та ізотропного випадкового поля rθ). Тому розглянемо наступні оцінки.

Теорема 3. Якщо 5 , то для всіх N = 1, 2 ,... має місце

нерівність:

210

.)1(2

5

)1(3

4),,(),,(52

3

3

2

N

r

N

r

r

r

r

rM N

(3.4.5)

Доведення теореми 3 наведено в роботі [110].

Теорема 4. Якщо 5 , то для всіх N = 1, 2 ,...

виконується нерівність:

.)1(2

3),,(),,(52

32

N

rrrM N

(3.4.6)

Доведення теореми 4 наведено в роботі [110]. Наведемо опис алгоритму статистичного моделювання

реалізацій гауссівських однорідних та ізотропних випадкових полів в просторі R3, які мають нульове математичне сподівання і задані спектральною функцією )( . Необхідно зробити припущення, що виконується умова:

,1)(),,(0

drD

тобто )( – функція розподілу. Якщо ж ця умова не виконується і матиме місце наступна рівність:

,1)(),,( 2

0

drD

то цей випадок при практичному моделюванні зводиться до

того, щоб помножити розглянуту вище суму на константу σ2≠1.

211

Метод моделювання випадкового поля в точці rθ) ґрунтується на використанні часткових сум стохастичного ряду (3.4.1) як моделі. На основі такої моделі будується алгоритм для генерування реалізацій тгауссівського однорідного та ізотропного випадкового поля rθ) в тривимірному просторі R3 методом статистичного моделювання. Далі наведено такий алгоритм в більш удосконаленій формі, порівняно із [110].

Алгоритм

1. Обчислюємо моменти :

0

( ), 3,5.ii d i

2. В залежності від необхідних умов оцінювання та існування

моментів знаходимо за допомогою однієї з оцінок (3.4.4), (3.4.5) та (3.4.6) значення числа доданків N часткових сум стохастичного ряду (3.4.1), що відповідають заданій точності ε.

3. Моделюються набори незалежних стандартних

гауссівських випадкових величин

),...,1,0,...,2,1,0(, 2,

1, mlmlmlm

із статистичними характеристиками :

,02,

1, lmlm

j

ij

isl

km

jsk

ilm ,,, - символ Кронекера.

4. Моделюється випадкова величина ζ із функцією розподілу

)( .

212

5. Обчислюємо часткову суму стохастичного ряду (3.52), підставляючи змодельовані за пунктами 3 і 4 випадкові величини.

6. Знаходиться статистична оцінка емпіричної кореляційної

функції за допомогою пакетів прикладних програм S-Plus по отриманій реалізації випадкового поля rθ) і порівнюється із заданою теоретичною кореляційною функцією B(ρ), а також проводиться статистичний аналіз і перевірка цієї реалізації на адекватність.

213


однорідного ізотропного гауссівського випадкового поля rθ) в тривимірному просторі із кореляційною функцією:

1) )0,0()( aeB a , при a = 0,1; 1; 1,5; 10.

2) )0(exp)( 2 aaB , при a = 0,1; 1; 1,5;10.

3) )0()(1 aaKaB , де К1(х) – функція Ганкеля, при a= 0,1; 1; 1,5;10.

4)3

23

2

( )

( ) 3 , 0;2

( )

J a

B a

a

де Jk(x) – функція Бесселя

першого роду порядку 3/2, при a= 0,1; 1; 1,5; 10.

5) .0,11

2

2

aa

B , при a = 0,1; 1; 1,5; 10.

4. Визначити число N в моделі (3.1.7) за формулою

(3.1.9), яке відповідає точності моделювання =10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, для кореляційних функцій 1 – 5 із попереднього завдання.

5. Побудувати алгоритм та отримати реалізації

однорідного ізотропного гауссівського випадкового поля rθ) в тривимірному просторі R3 з кореляційними функціями 1-5 із п. 1 в точках :

214

(rj l,i , де rj = j, j = 1, 2, …P; l= πl/T, l = 1, 2, …, T-1;

,1,...2,1,0,2

MiM

ii

при P=10, 20, 30, 100; T=10, 20 та

М=10, 20, 50, 100. 4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій однорідного

ізотропного гауссівського випадкового поля r,, в тривимірному просторі за допомогою пакетів Statistica та S-Plus знайти оцінку кореляційної функції B(ρ)* та визначити:


функції B(ρ)* від кореляційної функції B(ρ) випадкового поля; b) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної

функції B(ρ)* від кореляційної функції B(ρ) випадкового поля.

215

--------------------------------------------------------------

Розділ 4

Статистичне моделювання ізотропних випадкових полів

на сфері

--------------------------------------------------------------

В цьому розділі посібника розглянута задача статистичного моделювання реалізацій ізотропних випадкових полів на сфері в тривимірному просторі, сформульовано алгоритм для генерування таких реалізацій, який побудований на основі спектрального розкладу ізотропного випадкового поля на сфері, а також наведено приклади кореляційних функцій таких випадкових полів. Окремо вивчаються ізотропні випадкові поля на сфері як “звуження” випадкових полів у тривимірному просторі на сферу радіуса r.

Задачі статистичного моделювання реалізацій ізотропних випадкових полів на сфері вивчалися в роботах вчених А.Ф. Сизової, Т.М. Товстік, 1984 91 З.А. Грих (З.О. Вижви), 1987 [53], З.О. Вижви, 1997 3 З.О. Вижви, М.Й. Ядренка, 2000 44 С. М. Пригаріна, 2005 87, З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви 2018(а), 2018(в) [195, 197]та ін

4.1. Спектральний розклад ізотропних випадкових полів на сфері

При вирішенні задачі статистичного моделювання реалізацій

дійснозначних випадкових полів на сфері в тривимірному просторі використовується спектральний розклад таких полів, в якому мають місце дійснозначні випадкові величини. Наведемо цей розклад.

Нехай )2,0),,0 – сферичні

координати)– дійснозначне випадкове поле на одиничній сфері S3 в тривимірному просторі.

216

Випадкове поле називається ізотропним в широкому розумінні, якщо:

1) const (будемо вважати надалі, що 0), 2) Вcos),

тобто, кореляційна функція Вcos) поля залежить від кутової (геодезичної) відстані між точками x1 і x2, яку позначимо через cos

.)(cossinsincoscoscos 212121 (4.1.1)

Припустимо, що – неперервне в середньому

квадратичному випадкове поле. Тоді виконуються умови (див. М.Й. Ядренко 109, стор. 61) для розкладу цього поля в ряд по сферичним гармонікам, тобто:

),,(),(12

1

lm

om

m

l

lm S

(4.1.2)

або,

,),(~~

),( lm

om

m

ml

lm S

(4.1.3)

де l

m , lm~ – послідовності випадкових величин, що

задовольняють умовам:

1) ;0 lm ;0

~ l

m (4.1.4)

2) ;l l l mm m l m mb

;l l l mm m l m mb

(4.1.5)

деpp – символ Кронеккера, bm – послідовність чисел,

така, що виконується наступна умова:

217

,)12(0

mbm

m , bm 0 (4.1.6)

)(xSl

m – сферичні гармоніки вигляду:

,)(cos),( , lil

mlmlm ePсS (4.1.7)

де ( )!1

, 2 ( )! (2 1) ,lv m lm l m lс m

(4.1.8)

,0,2

,0,1

l

ll (4.1.9)

Нагадаємо, φщо ортонормовані послідовності дійснозначних

сферичних гармонік ),( lmS для тривимірного простору зі

зміною індексації мають вигляд:

),2,0(),,0(,2

1),(0

0

S

,...,2,1),(cos),( 00 mPсS mmm

( , ) (cos )cos( ), 1,2,..., 1,..., ,l l lm m mS с P l m l m

( , ) (cos )sin( ), 1,2,..., 1,..., ,l l lm m mS с P l m l m

а властивість ортонормованості задана виразом:

218

,sin),(),(2

0 0

ij

nm

in

jm ddSS

(4.1.10)

причому, функції )(xPlm – так звані приєднані поліноми

Лежандра, які пов’язані з поліномами Лежандра )(xPm рівнянням:

22( ) (1 ) ( ), 0,1,2,..., 0,1,..., ,l

ll

m ml

dP x x P x m l m

d x (4.1.11)

де 21

( ) [( 1) ], 0,1,2,... .2 !

mm

m m m

dP x x m

m dx (4.1.12)

Звідси випливає вираз для приєднаних поліномів Лежандра:

].)1[(!2

)1()( 2

2/2m

ml

ml

m

ll

m xdx

d

m

xxP

(4.1.13)

Потрібно зауважити, що приєднані поліноми Лежандра

можна визначити із рекурентних співвідношень:

).()()()1()()12( 11 xPlmxPlmxxPm lm

lm

lm

Розклад (4.1.2) називається спектральним розкладом

ізотропного випадкового поля на сфері. Необхідно відзначити, що ряд (4.1.2) збігається в середньому

квадратичному. При цьому, кореляційна функція В(u) ізотропного випадкового поля на одиничній сфері подається у вигляді розкладу, який називається спектральним розкладом кореляційної функції:

219

.cos)12(4

1)(cos

0

mm

m PmbB (4.1.14)

Коефіцієнти розкладу bm будемо називати спектральними

коефіцієнтами. Неважко бачити, що спектральні коефіцієнти bm можна

подати через кореляційну функцію В(u) у вигляді інтегралу:

dPBxdxPxBb mmm sin)(cos)(cos2)()(20

1

1

.

(4.1.15)

Дійсно, заміняючи в (4.1.14) cos на x, маємо:

xPmbxB mm

m )12(4

1)(

0

(4.1.16)

Помноживши обидві частини цієї рівності на Рm(x) та,

інтегруючи по x від –1 до 1, маємо (4.1.15) (необхідно використати ортогональність многочленів Лежандра на

інтервалі –1, 1 і той факт, що 12

2)(

1

1

2

mdxxPm ).

Проте, при розв’язанні задач статистичного моделювання реалізацій дійснозначних випадкових полів на одиничній сфері у тривимірному просторі використовується спектральний розклад таких полів, в якому мають місце дійснозначні випадкові величини. Наведемо такий розклад. Справедливе наступне твердження:

Теорема. 4.1. Нехай – дійснозначне ізотропне, неперервне в середньому квадратичному випадкове поле на одиничній сфері S3 в тривимірному просторі, яке має нульове математичне сподівання. Тоді випадкове поле можна подати у вигляді розкладу:

220

]sincos[)(cos),( 2,1,0 0

, llPc lm

lm

lm

m

m

llm

,

(4.1.17) де l

km , ( k=1, 2 ) – послідовності дійснозначних випадкових

величин, таких, що:

1) ;0, lkm (4.1.18)

2) ,,, mkk

mm

ll

lkm

lkm b

(4.1.19)

де сm,l – константи (4.1.8), а bm – спектральні коефіцієнти.

Доведення. Для доведення теореми скористаємось спектральним розкладом кореляційної функції (4.1.14) та формулою додавання для многочленів Лежандра:

)(cos)(cos)cossinsincos(cos kkk PPP

.cos)(cos)(cos)!(

)!(2

1

mPPmk

mk mk

mk

k

m

Отримаємо:

cos)12(4

1),(),(

02211 m

mm Pmb

)(cos)!(

)!()12(

4

11

10

lm

m

lmm P

lm

lmbm

]sincoscos[)(cos 2212 lllPlm

221

Застосовуючи до цього виразу теорему Карунена, отримаємо розклад в ряд (4.1.17) випадкового поля, що і потрібно було довести.

Слід зазначити, що розглядаючи приведену теорему для класу гауcсівських випадкових полів, потрібно мати на увазі, що в цьому випадку коефіцієнти розкладу (4.1.17) випадкового поля є взаємонезалежними і гауссівськими випадковими величинами.

Наведемо деякі приклади кореляційних функцій ізотропних випадкових полів на сфері в тривимірному просторі та їх спектральних коефіцієнтів.

Приклад 1. Нехай спектральні коефіцієнти випадкового поля на тривимірній сфері мають вигляд:

.)1,0(,12

4

qq

mb m

m

(4.1.20)

Тоді кореляційна функція такого випадкового поля має

вигляд виразу:

.)cos21()(cos 212 qqB (4.1.21)

Приклади, які розглядатимемо надалі, пов’язані із

наступними міркуваннями. Нехай r,– однорідне і ізотропне випадкове поле в R3 з кореляційною функцією B(). Зафіксуємо радіус r і будемо розглядати r,як функцію від , тобто, будемо розглядати «звуження» випадкового поля r,на сферу радіуса r – S3r). Отримаємо ізотропне випадкове поле на сфері S3r) з кореляційною функцією:

,)2

sin2(),,(),,( 2211

rBrr

де cos – кутова відстань (4.1.1).

222

4.2. Однорідне та ізотропне випадкове поле в тривимірному евклідовому просторі R3 та його звуження на сферу

Розглядається дійснозначне однорідне та ізотропне

випадкове поле r,в тривимірному євклідовому просторі R3 ( r, −полярні координати).

Відомо (див. параграф 3 ), що неперервне в середньому квадратичному дійснозначне однорідне та ізотропне випадкове поле r,в просторі R3 можна подати у вигляді розкладу в ряд по сферичним гармонікам, який називається спектральним розкладом такого випадкового поля:

),,()(),,( lm

om

m

ml

lm Srr

(4.2.1)

де ,)()(

)()(

021

21

dZ

r

rJr l

m

mlm

причому,

(.) lmZ – послідовність ортогональних випадкових мір на

борелівських множинах із інтервалу , таких, що:

,)()()( 2121 SSSZSZ mm

ll

lm

lm

(4.2.2)

де – неспадна обмежена функція, яку називають спектральною функцією, а сферичні гармоніки мають вигляд (4.1.7).

Кореляційну функцію В() однорідного і ізотропного випадкового поля r,в тривимірному просторі R3 можна подати у вигляді розкладу:

223

),(sin

)(0

dB (4.2.3)

(оскільки )/sin2

)(21 tttJ

(4.2.4)

де – відстань між точками x, y R3 ( x = (r, 1 , 1) , y=(s,2,2))

,cos222 srsr (4.2.5)

а cos – кутова відстань (4.1.1). При r=s відстань між точками має вигляд sin( / 2),r а

спектральні коефіцієнти bm(r) обчислюємо за формулою:

12

22

0

( )( ) ( ) ( ) ( ).

ml lm m m

J rb r D r r d

r

(4.2.6)

( l = 1, 2,..., h ( m, 3 ) )

Mожна також навести формулу для обчислення спектральних

коефіцієнтів у вигляді виразу, що містить відповідну кореляційну функцію випадкового поля.

Для цього скористаємось інтегралом 7.7.3(14) із книги Г. Бэйтмен, А. Эрдейи 7 (стор. 58). В нашому випадку маємо:

.sin)(cos)()1(

!2)(

21

21

21

0

2

dPJm

rmrJ mm

(4.2.7)

224

Підставимо (4.2.7) в (4.2.6) ) при )2/sin(2 r −

відстань між точками сфери радіуса r і отримаємо:

).(sin)(cos)(2)(21

21

00

ddPJrb mm

Враховуючи вираз (4.2.3) для кореляційної функції, маємо:

dPBrb mm sin)(cos)(2)(0

або

dPrBrb mm sin)(cos)2

sin2(2)(0 .

Отже, отримали формулу для обчислення спектральних

коефіцієнтів випадкового поля, якщо відома його кореляційна функція.

Зауважимо, що якщо розглянути «звуження» випадкового поля r,на сферу радіуса r, то кореляційну функцію такого випадкового поля можна розкласти в ряд:

12

22 1

1 2 2 20 1 0

( )1( ) ( , ) ( , ) ( ),

4

mml l

m mm l

J rВ S S d

r

або, за теоремою додавання для сферичних гармонік, маємо:

.)()(cos)12(4

1)(

0

rbPmВ mmm

225

Наведемо спектральний розклад однорідного та ізотропного випадкового поля в просторі R3. В такому розкладі мають місце стохастичні інтеграли по дійснозначним випадковим мірам з ортогональними значеннями.

Теорема 4. 2. Однорідне та ізотропне неперервне в середньому квадратичному дійснозначне випадкове поле r,в просторі R3 можна подати у вигляді спектрального розкладу:

12

12

, ,10 0 0

( )( , , ) (cos ) cos ( )

( )

mml l

m l m mm l

J rr c P l Z d

r

])()(

)(sin

0

2,21

21

dZ

r

rJl l

m

m (4.2.9)

де сm,l – константи (4.1.8) , а Pm

l(x) – приєднані функції Лежандра,

(.) ,l

kmZ (k = 1, 2) – набори випадкових мір з

ортогональними значеннями, що задані на – алгебрі борелевських множин і такі, що:

)()()( 212,1, SSSZSZ kk

mm

ll

lkm

lkm

Доведення теореми наведено в роботах20, стор. 210,

та44. Розглянемо вираз для кореляційної функції випадкового поля

в просторі R3 (див. 109, стор. 6 ):

12

12

0

( )( ) ( ) ( ) / 2 ( )

( )

J x yB x y d

x y

(4.2.10)

226

Нехай (r1, , та r2, , 2– полярні координати точок x і

y. Тоді 2 21 2 1 22 cosr r r r , де cos – косинус

кута між векторами x та y в просторі R3 (4.1.1). Зауважимо, що якщо розглянути «звуження» випадкового

поля r,на коло радіуса r, то кореляційна функція такого випадкового поля має вигляд:

0

sin ( sin )2( ) ( ),

2 sin2

rB x y d

r

(4.2.11)

або, по теоремі додавання для бесселевих функцій, маємо:

12

22 1

1 2 2 20 1 0

( )( ) ( , ) ( , ) ( ).

2

mml l

m mm l

J rB x y S S d

r

Наведемо деякі приклади кореляційних функцій випадкових полів в просторі R3 та спектральних коефіцієнтів, що їм відповідають.

Приклад 1. Нехай розглядається кореляційна функція

випадкового поля має вигляд:

23

23

)(

)(2/3)(

rc

rcJrB , ( с R )

де Jp(x) – функція Бесселя першого роду р-го порядку.

Така кореляційна функція належить сімейству Бесселя ( див. нижче (4.2.13) ) при значенні параметра ν=3/2.

Такій кореляційній функції відповідає спектральна функція виду:

227

.,1

,0,)( 3

3

c

cc

Зауважимо, що загальний вигляд функцій сімейства Бесселя

[147] наступний:

.0,)(

)1(2)(

JB (4.2.12)

Для обчислення спектральних коефіцієнтів скористаємось

формулою (4.2.6) та співвідношенням 7.14.10 із [7] (стор. 104). Отже, маємо:

1 12 2

312

2 23

0 0

312

62( ) ( ) ( ) .

c

m m mb r J r d J c u r u d u

c r c r

Остаточно отримаємо вираз для обчислення спектральних

коефіцієнтів випадкових полів в просторі R3 з кореляційною функцією бесселевого типу:

1 1 12 2 2

223

( ) ( ) ( ) ( )m m m mb r J c r J c r J c r

с r

Приклад 2. Нехай кореляційна функція випадкового поля

належить сімейству Бесселя (4.2.12) при значенні параметра =1/2. Вона має назву «синус кардинальний»:

.0,sin

2)(sin

2)( a

a

aacB

228

Або, враховуючи , що (4.2.4), маємо іншу форму запису цієї кореляційної функції :

rc

rcJrB

)(

2)( 2

1

Підставимо цей вираз в (4.2.8) і, враховуючи інтеграл 7.334.1

із [52] (стор. 846), отримаємо наступну формулу для спектральних коефіцієнтів, що відповідають такій кореляційній функції:

)(

)(2)(

2

2 21

rc

rcJrb

m

m

.

Зауважимо, що така кореляційна функція бесселевого типу

при значенні параметра =1/2 застосовувалась до задачі статистичного моделювання карстово-суфозійних явищ в роботі С.А. Вижви, З.О. Вижви, В.К. Демидова [41], а при значенні параметра =3/2 – на прикладі моделювання даних аеромагнітометрії в роботі З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [27].

Приклад 3. Розглянемо кореляційну функцію випадкового поля експоненціального типу (Гауссівська крива) :

,exp)( 2 cB

де с – деяка константа ( с 0 ). Похідна від спектральної функції в цьому прикладі така:

.4

exp2

)(2

3

2

cc

Підставимо цю формулу у вираз (4.2.6) і скористаємось

229

інтегралом 7.7.3 (25) із [7] (стор. 60). Після цього отримаємо наступний вираз для спектральних коефіцієнтів:

).2(2exp2

1)( 22

21

23

rcIcrrc

rbmm

де Im(z) – модифікована функція Бесселя першого роду m - го порядку.

Приклад 4. Нехай кореляційна функція випадкового поля має вигляд дробово-раціонального виразу:

.,)( 122

2

Rccr

crB

Функції більш загального типу, ніж кореляційна функція в

цьому прикладі, мають вигляд (сімейство Коші):

.1,0,)(

)(2

122

1

nccr

crB n

n

У наведеному прикладі параметр n=3 – це розмірність

простору. Тоді відповідна такїй кореляційній функції спектральна

функція має похідну:

.)( 2 cec

Підставляючи цю похідну у формулу (4.2.6) та скориставшись інтегралом 6.612.3 із [52] (стор. 729), отримаємо вираз для обчислення спектральних коефіцієнтів у цьому випадку:

230

derJr

crb c

mm

0

222

)(2

)(21

Скористаємося інтегралом:

,2

1)()(

222

021

QtdtJtJe t

Остаточно отримаємо для обчислення спектральних

коефіцієнтів випадкових полів у просторі R3 з кореляційною функцією такого типу наступний вираз:

,2

2

2

1)(

2

222

23

r

rcQ

r

crb

mm

де Qp(x)– функція Лежандра другого роду р-го порядку.

Зауважимо, що така кореляційна функція типу Коші застосовувалась до задачі дослідження густини крейдяної товщі методом Монте-Карло на території проммайданчика Рівненської АЕС в роботі З.О. Вижви, В.К. Демидова, А.С. Вижви [28].

Приклад 5. Розглянемо кореляційну функцію більш загального типу (сімейство Коші) , ніж в попередньому прикладі, тобто:

1

22

1

,)(

)(2

1 Rccr

crB n

n

Потрібно зауважити, що загальний вигляд функцій сімейства

Коші (наприклад, в T. Гнеттінг [147]) наступний:

231

.0,0,12

2

aa

B

У цьому прикладі параметр = (n + 1)/2. Спектральна щільність, що відповідає такій кореляційній

функції (при n = 3) , має вигляд:

.2

1)( 23 cec

Підставимо цей вираз у формулу (4.2.6), і, враховуючи

інтеграли 7.7.3.15 із [7] (стор. 58), а також формулу для гіпергеометричної функції:

2 1

( ) ( )( , , ,1) ,

( ) ( )

Re ( ) 0

c c a bF a b c

c a c b

c a b

маємо вираз для обчислення спектральних коефіцієнтів:

1212

22

3)(

m

m c

rmcrb

.4

!)12(2

3!

!)122(!)22(2

2

02

k

k c

r

kmkmk

kmkm

232

або

1212

22

3)(

m

m c

rmcrb

.2

)1(

2

3!

!)122()22(

02

k

k

k c

r

kmk

kmkm

Наведений перелік прикладів кореляційних функцій та

відповідних спектральних коефіцієнтів можна продовжити, якщо скористатись таблицею, що міститься в кінці посібника. Ця таблиця надає також можливість на основі спектральних розкладів здійснювати статистичне моделювання випадкових полів розмірності n=4 і більше. Аналог таблиці для розмірності простору n=3 наведено далі.

233

Таблиця 4.1. Кореляційні і спектральні функції, спектральні коефіцієнти однорідних та ізотропних випадкових полів в R3

N )(B )( )(rbk

1

1

21

2

( )

, 0.2

J c

cc

0, 0 ,

1, .

c

c

rc

rcJk

)(2

2

2 21

2

1

21

1 2

1

( )

,2

1, 0, 0.

ms

mm

m

s

m m mm

J c

pc

p p c

1

11

0, ,

, , 1, 1

1,

i

m i im

s

c

p c c i s

c

m

mks

mm c

cJ

p

)(

2 2

1

1

2

3 23

23

)(

)(2/3

c

cJ

3

, 0 ,

1, .

cc

c

12

3 122

223

[ ( )

( ) ( )]

m

mm

J ccr

J c J c

234

4 2exp , 0c c

2 2

3( ) exp

42 cc

32

12

2

2

1exp 2

2

(2 ).m

cc

I c

5

2

2 2, 0

cc

c

.)( 2 cec

,2

2

2

12

222

21

cQ

ck

6

4

2 2 2, 0

( )

cc

c

32( )

2cc

e

1212

22

3k

c

rkc

)1(

2

3!

!)122()22(

02

m

mkmm

kmmk

235

Розглянемо розклад випадкового поля r, в іншому, порівняно із (4.2.9), вигляді, ввівши позначення для інтегралів. Такий розклад розглядався в роботі З.О. Вижви [22]. Запишемо його виразом:

, ,1 ,20 0

( , , ) (cos ) ( )cos ( )sin ,m

l l lm l m m m

m l

r c P r l r l

(4.2.13)

де випадкові процеси .,...,1,0,...;1,0;2,1),(, mlmkrlkm

мають вигляд

12

12

, ,

0

( )( ) ( ),

( )

1, 2; 0,1,...; 0,1,..., .

ml lm k m k

J rr Z d

r

k m l m

Із припущення, що Mr,=0, випливає наступне:

.,...,1,0,...;1,0;2,1,0)(, mlmkrM lkm (4.2.14)

Теорема 2. Якщо r, − однорідне ізотропне випадкове

поле на R3 , то

, ,( ) ( ) ( ),

, 1,2; , 0,1,...; , 0,1,..., ,

l l m k lm k m k m k l mM r r b r

k k m m l l m

(4.2.15)

236

де mm − символ Кронеккера, …0,1,=m,)(rbm – послідовність

додатньо визначених ядер на R+, які задовольняють умові

0

)()12(m

m rbm та мають вигляд (4.2.6).

Дисперсію випадкового поля r, можна визначити за виразом:

.)()12(2/),,(),,(0

2

m

m rbmrDrМ

(4.2.16)

Доведення теореми наведено в роботі З.О. Вижви [22]. Статистичне моделювання однорідних ізотропних

випадкових полів на R3 як звуження на сферу Наведений вище спектральний розклад (4.2.13) можна

використати для статистичного моделювання реалізацій гауссівських однорідних ізотропних випадкових полів на R3 із заданими статистичними характеристиками. Для побудови наближеної моделі гауссівських полів, що розглядаються, використаємо часткову суму розкладу (4.2.13) випадкового поля r,. Побудована модель має такий вигляд:

, ,1 ,20 0

( , , ) (cos ) ( ) cos ( )sinM m

l l lМ m l m m m

m l

r c P r l r l

(4.2.17)

Лема . Мають місце нерівності:

,1,0,)(2

1

2

M

zzJ

Mmm (4.2.18)

237

та .4

5)(

2

12

4

1

22/1 M

zzJm

Mmm

(4.2.19)

Теорема 3. Якщо

)(3

0

3 d , то для всіх M= 1,

2 ,... має місце оцінка середньоквадратичного наближення:

.4

5),,(),,(

23

32

M

rrrM M

(4.2.20)

Теорему доведено в [22]. Опишемо побудований на основі моделі (4.2.13) та оцінки

середньоквадратичного наближення (4.2.20) однорідних ізотропних випадкових полів на R3з обмеженим спектром алгоритм для моделювання реалізацій таких випадкових полів, які розподілені за гауссівським законом.

Алгоритм

1. Вибираємо, відповідно до необхідної точності ε>0,

натуральне число М для моделі (4.2.13) за допомогою нерівності:

2

33

4

5

M

r, (4.2.20*)

де )(3

0

3

d , де r – полярний радіус точки в тривимірному

просторі, в якій генерується реалізація випадкового поля r,.

2. Моделюємо послідовності гауссівських випадкових

величин (випадкових процесів при фіксованому r)

238

.,...,1,0,...;1,0;2,1,)(, mlmkrlkm які задовольняють умовам

(4.2.14), (4.2.15). 3. Обчислюємо вираз (4.2.13) у заданій точці 3),,( Rr ,

підставляючи в нього обчислені за попередніми пунктами 1 та 2 значення величини М і послідовності гауссівських випадкових величин.

4. Перевіряємо згенеровану в п. 3 реалізацію випадкового

поля r,на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння відповідних статистичних характеристик.

Слід відзначити, що наведений алгоритм можна застосувати і

до випадкових полів з іншим типом розподілу, а не лише з гауссівським.

Отже, із використанням отриманої оцінки

середньоквадратичної апроксимації однорідних ізотропних випадкових полів у тривимірному евклідовому просторі моделлю, побудованою на основі спектрального розкладу, розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій таких випадкових полів. При цьому запропоновано залучати обчислені аналітичні формули спектральних коефіцієнтів для практично важливих типів кореляційних функцій випадкових полів у просторі R3.

4.3. Опис алгоритму чисельного моделювання

випадкового поля на одиничній сфері Чисельне моделювання ізотропних випадкових полів на

сфері виконується на основі спектрального розкладу (4.1.17) таких випадкових полів. При цьому за модель приймаємо часткову суму ряду (4.1.17) виду:

239

,1 , 20 0

( , ) (cos ) cos sin ,N m

l l lN ml m m m

m l

c P l l

N

(4.3.1) При побудові алгоритму використовується оцінка похибки

середньоквадратичного наближення випадкового поля частковими сумами :

2),(),(),( NNL (4.3.2)

Оцінку LN( можна отримати за допомогою результатів

роботи З.О. Вижви [193]. Із теореми додавання для многочленів Лежандра випливає,

що:

2,1 ,2

0 0

( , ) (cos ) cos sin N m

l l lN ml m m m

m l

L c P l l

)12(4

1

1

mbNm

m (4.3.3)

Звідси слідує, що треба дослідити та знайти оцінку для

залишку ряду:

)()12(4

1)(

0

xPmbxB mm

m

в точці x = 1 ( оскільки 1)1( mP ).

Із відомих результатів книги І.П. Натансона [76] про розклади функцій в ряди по многочленам Лежандра та теорем

240

Джексона випливають наступні твердження. Теорема 4.3. 1) Припустимо, що функція B(x) – неперервна (ця умова

рівносильна середньоквадратичній неперервності випадкового поля).Тоді має місце оцінка:

,22 )1(1),(),( NN EN

де EN – величина найкращого наближення функції B(x) многочленами степеня N на відрізку – , 1 .

2) Якщо функція B(x) має на відрізку –, 1 s неперервних похідних, причому, модулем неперервності для B(s)(x) є s() , то при N > s справедлива нерівність:

2

12

( , ) ( , )

12 11 ( 1) .

!

N

s s

ss

sN

s N N s

3) Якщо B(s) (x) LipM , то виконується нерівність:

2

12

( , ) ( , )

12 ( 1)1 ( 1) .

N

s s

s

s s MN

s N

4) Якщо в B(x) існує обмежена похідна B(s+1 )(x), причому B(s+1) (x) Ms+1, то

241

2

1121

( , ) ( , )

12 ( 1)1 ( 1) .

!

N

s ss

s

Ms sN

s N

Оцінки залишку розкладів в ряди по функціям Лежандра та коефіцієнтів Фур’є в таких розкладах розглядались в ряді робіт К.В. Холшевнікова. Наведемо оцінку для середньоквадратичного наближення (4.3.2), яка випливає із результатів К.В. Холшевникова [103].

Теорема 4.4. Припустимо, що кореляційна функція B(x) випадкового поля продовжується з відрізка –, 1 до функції, голоморфної в області X. Тоді має місце нерівність:

.)1(2

)32(),(),( 2

22

p

N

N Bp

pN

Цей результат приводить до наступного, яким можна скористатись для побудови алгоритму. Така оцінка в [53] має вигляд :

2 1 24

2

( , )

85576 1 (2 3) (1 2 )1 ,

2 81675 (1 )

N

N N

L

p N p N pp

p

p (0,1) (4.3.4)

242

Опишемо побудований на основі моделі (4.3.3) та оцінка

(4.3.4) похибки середньоквадратичного наближення випадкового поля частковими сумами моделюючий алгоритм для генерування незалежних реалізацій ізотропних випадкових полів на тривимірній сфері.

Алгоритм

1. Вибирається у відповідності до необхідної точності

границя підсумовування – число N для моделі (4.3.3) на основі нерівності (4.3.4):

,)1(

)21()32(1

81675

855761

2 2

2124

p

pNpNpp

NN

(4.3.5) p

2. Моделюється набір незалежних гауссівських випадкових

величин ;,...,1;,...2,1,0;2,1,, mlNmklkm

що задовольняють умовам (4.1.18). 3. Обчислюються значення реалізації випадкового поля

за формулою (4.3.3) при підстановці значення величин, обчислених за п. 1 та змодельованих гауcсівських випадкових величин за п. 2.


по отриманій реалізації випадкового поля за допомогою програм S-Plus, GeoR і порівнюється із заданою кореляційною функцією B().

Чисельне моделювання ізотропного випадкового поля на

сфері здійснюється за допомогою наведеного алгоритму.

243

Область застосування запропонованого алгоритму поширюється на класи випадкових полів з будь-яким необхідним типом розподілу.

Що до питання про знаходження спектральних коефіцієнтів, яке при цьому виникає, то воно в загальному випадку розглянуте в роботі А.Ф. Сизової, Т.М. Товстік [91]. Зокрема, якщо випадкове поле гаусcівське, то слід моделювати випадкові величини , , 1, 2; 0,1, 2,... ; 1,..., ;l

m k k m N l m

незалежними і нормально розподіленими.

4.4. Статистичне моделювання випадкових полів у тривимірному просторі в задачах моніторингу геологічного

середовища Наведено метод, алгоритм та приклад статистичного

моделювання тривимірних полів геофізичних параметрів при дослідженні карстово-суфозійних процесів у роботі С.А. Вижви, З.О. Вижви, В.К. Демидова [42].

Одним із важливих напрямків сучасної геофізики є моніторинг територій розташування потенційно небезпечних об’єктів. Це питання є особливо актуальним в зв’язку з необхідністю оцінки екологічної небезпеки окремих територій і об’єктів, одними із головних складових якої є дослідження розвитку небезпечних геологічних процесів (зсуви, карсти, природна та наведена сейсмічність, підтоплення, просідання, опускання території та інше). Для забезпечення безаварійного функціонування окремих важливих об’єктів та промислових агломерацій необхідно забезпечити моніторинг за станом геологічного середовища, а саме контроль в просторі та часі за рядом параметрів, що відповідають за його стійкість.

В зв’язку із складною залежністю між геофізичними параметрами і динамічними багаторівневими процесами, що відбуваються у багатокомпонентному геологічному середовищі, а також недостатньо дослідженою їх фізичною природою і, відповідно, спектрально–часовою структурою, необхідно було

244

розробити ряд універсальних підходів та методик щодо обробки та аналізу результатів польових спостережень та їх інтерпретації.. Зокрема, нових ефективних методів обробки дискретних даних, які б дозволити отримати надійні оцінки стану середовища та забезпечили би прогноз направленості небезпечних природних і природно-техногенних процесів.

Одними із найбільш перспективних для вирішення подібних задач є методи багатовимірної математичної статистики, завдяки яким з’являється можливість обробки результатів режимних геофізичних спостережень шляхом об’єднання даних про об’єкти досліджень в групи, котрі знаходяться в узгодженні з прийнятими класифікаціями, і встановити кількісні співвідношення між змінними навіть при неповній інформації щодо об’єкту дослідження.

Для моніторингу природних і природно-техногенних геодинамічних процесів найчастіше застосовуються просторові стаціонарні системи спостережень, що інколи доповнюються окремими спеціальними дослідженнями, які забезпечують збір інформації про просторовий розподіл і часову динаміку геофізичних характеристик геологічного середовища, наприклад, С.А. Вижва [32]. Густота сітки спостережень, вид та кількість параметрів, що досліджуються, глибинність, часовий інтервал між рядами спостережень вибираються в кожному конкретному випадку окремо в залежності від складності поставленої геологічної задачі, розмірів та особливостей умов території дослідження.

При геофізичному моніторингу промислово завантажених територій постає досить багато різних питань, які додатково необхідно вирішувати порівняно з традиційними геофізичними зйомками. Це, наприклад, нерівномірність сітки спостережень, відсутність інформації про значення параметрів під фундаментами споруд, розриви в часових рядах спостережень, необхідність прогнозувати розвиток небезпечних процесів з часом чи у просторі поза мережею спостережень та інші.

У роботі запропоновано метод, який базується на наступній ідеї: якщо розглянути «звуження» випадкового поля r, на

245

сферу радіуса r, то ми матимемо справу із випадковим полем на сфері. Тоді задача статистичного моделювання однорідних та ізотропних випадкових полів у тривимірному просторі зводиться до задачі статистичного моделювання реалізацій ізотропних випадкових полів на сфері в тривимірному просторі.

Приклад практичного застосування методу Монте-Карло

на проммайданчику Рівненської АЕС Для контролю за станом потенційно карстонебезпечної

крейдяної товщі та перекриваючих її дисперсних ґрунтів на території проммайданчика РАЕС силами ДП”КІІВД „Енергопроект” створена сітка режимних свердловин (підрозділ 2.4). З 1984 регулярно (не рідше 1 разу в рік) проводиться контроль густини та вологості ґрунтів за допомогою свердловинних радіоізотопних методів досліджень. Найбільш інформативним параметром вважається густина скелету крейдяної товщі. Спеціалістами ДП”КІІВД „Енергопроект” встановлено, що зменшення значення цього параметра до 1.25103 кг/м3 призводить до втрати несучої здатності грунтів. Однак малий радіус досліджень застосованих зондів (до 30 см) та нерегулярна сітка спостережень (тільки 30 свердловин мають безперервні ряди спостережень протягом всього періоду часу та розташовані вони навколо основних споруд) не дають змоги оцінювати стан геологічного розрізу в проміжках між точками спостережень та під фундаментами споруд.

На попередньому етапі проводилась статистична обробка даних.

Далі підбиралась статистична модель розподілу густини крейдяної товщі в просторі, для чого визначено її кореляційну функцію за допомогою пакету програм Gео R. Моделювання проводилось по трьох рівнях (28, 29, 30 м від поверхні). Встановлено, що кореляційна функція густини крейдяної товщі для тривимірного поля має вигляд функції із сімейства Бесселя (приклад 2):

246

,sin

c

cB 0,5 c . (4.4.1)

Також достатньо адекватно така кореляційна функція

наближається експоненціально затухаючою косинусоїдою :

.40;1853,6,cosexp baxbxaB (4.4.2)

Із спектральної теорії слідує, що відповідна модель такого тривимірного випадкового поля (4.4.1) має вигляд:

,11 0

( , , ) ( ) (cos ) ( ( ) cosN m

l lN m ml m m

m l

r b r c P r l

,2 ( ) sin )lm r l (4.4.3)

де r, φ, θ ― сферичні координати, Plm ― функція Лежандра,

а rcrcJrb km

k /))((2)( 2

2

12

― спектральні коефіцієнти із прикладу 2 попереднього параграфу, причому константи cm l – вигляду (4.1.8).

Для моделі (4.4.3), яка використовувалась авторами для генерування реалізацій досліджуваного поля в фіксованій точці тривимірного простору, обчислення Бесселевих функцій та функцій Лежандра здійснювалось за допомогою пакету програм Mathematika 4.0.

В середовищі Delphi 7.0 була розроблена оригінальна програма для моделювання реалізацій значень параметрів методом спектрального розкладу шляхом знаходження спектральних коефіцієнтів у тривимірному випадку. Зауважимо, що при моделюванні дані по рокам для кожної свердловини було усереднено.

Перед застосуванням методу було перевірено дані на гауссовість, для чого побудовано гістограму за допомогою

247

програми Statistika 6.0 (рис. 4.1). Це дає можливість побачити, чи мають дані нормальний розподіл, або такий, що можна звести до нього. Так наприклад, отриманий розподіл усереднених значень густини крейдяної товщі має нормальний вигляд.


Рис.4.1. Гістограма розподілу густини (103 кг/м3) крейдяної товщі

по території промплощадки Рівненської АЕС (29 cвердловин). 1 – кількість спостережень в окремому інтервалі густини; 2 – теоретична гауссівська крива

Наступним етапом статистичного аналізу даних є підбор для них адекватної кореляційної функції (рис. 4.2) за допомогою пакету програм GeoR. Після досліджень було визначено, що при тривимірному моделюванні можна наблизити таку функцію функцією Бесселя першого роду половинного порядку. Також можливе застосовування експоненціально затухаючої косинусоїди (див. частину 3).

248

Рис. 4.2. Емпірична варіограмма для кореляційної функції змодельованих даних у вигляді функції B(ρ)=exp(cρ) cos(p), 3D випадок, де points – вихідні дані, holeeffect - exp(cρ) cos(p).

На основі висновків із статистичної обробки даних для моделювання розроблена оригінальна програма Spectr 3, де використовувались визначені кореляційні функції (рис 4.2) та моделі для цієї функції. Результати, які було отримано, подані на рис.4.3 та рис.4.4. На рис. 4.4 наведено приклад побудови карти густини крейдяної товщі за даними спостережених свердловин (дані усереднені за всі роки по 30 свердловинах на трьох рівнях - 28, 29 і 30 м) за допомогою програми Surfer 7. Детальність цієї побудови за наявними даними не може забезпечити надійну характеристику стану крейдяної товщі.

На рис. 4.4 наведено ізолінії рівних значень густини

249

крейдяної товщі, що побудовані на основі змодельованих даних із врахуванням значень в режимних свердловинах. Додатково отримані дані (змодельовано додатково 180 значень в проміжках між точками спостережень для кожного рівня) дозволяють мати більш надійну апроксимацію, що дає можливість більш обґрунтовано приймати рішення про стан крейдяної товщі та визначати місця для перевірки та проведення додаткових досліджень.

На рис.4. 5 представлена варіограма, яка побудована за допомогою пакета GeoR для змодельованих даних, які зображені на рис. 4.4.

Одержані результати свідчать, що модель підібрана для даних достатньо адекватно, а розроблена програма Spectr3 працює з достатньою точністю.

1. В результаті проведених досліджень розроблено теорію, методику модель та алгоритм статистичного моделювання тривимірних полів геофізичних параметрів на основі їх спектральних розкладів, які дозволяють значно підвищити ефективність моніторингових спостережень на території потенційно небезпечних об’єктів, моделювати значення параметрів у проміжках режимної мережі спостережень та за її межами на різних глибинах досліджень.

2. Розроблений підхід може бути використаний при статистичному моделюванні будь-яких геофізичних і геологічних даних із наведеними типами кореляційних функцій.

3. Проведена апробація розробленого методу та алгоритму на експериментальних даних режимних спостережень радіоізотопними методами густини крейдяної товщі на проммайданчику РАЕС, що виконані ДП”КІІВД „Енергопроект” протягом 1982-2003 рр. для дослідженні карстово-суфозійних процесів.

250

Рис. 4. 3. Емпірична та змодельовані варіограми для кореляційної

функції згенерованих даних у вигляді функції Бесселя

12

( ) ( ) , 52

B J c cc r

І

Відстань кореляції ρЕмпірична та



251

Рис. 4.4. Карта розподілу густини крейдяної товщі на

проммайданчику Рівненської АЕС по зрізу 28 м за усередненими даними по спостережним свердловинам за 1984 - 2003 рр. (а), змодельованим даним (б) та результуюча карта (в), що побудована за усередненими та змодельованими даними.

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

180

200

220

240

260

280

300

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

180

200

220

240

260

280

300

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

180

200

220

240

260

280

300

1.2

1.22

1.24

1.26

1.28

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

1.44

1.46

ρ, 103 кг·м-3

ρ, 103 кг·м-3

ρ, 103 кг·м-3

X, м

Y, м X, м

X, мY, м

Y, м

(a)

(б) ґґ

(в)

252


ізотропного гауссівського випадкового поля , на сфері із кореляційною функцією:

122(cos ) (1 2 cos ) , (0,1)B q q q ,

при q=0,1, 0,5; 0,7. 6. Визначити число N в моделі (4.2.17) за формулою

(4.2.20*), яке відповідає точності моделювання =10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, для кореляційної функції із попереднього завдання.

7. Побудувати алгоритм та отримати реалізації ізотропного

φгауссівського випадкового поля , на сфері з кореляційною функцією із п. 1 в точках :

(l,,i, де l=πl/T, l = 1, 2, …, T-1; 2

, 0,1, 2,... 1,i i i MM

T=10, 20 та М=10, 20, 50, 100. 4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій ізотропного

гауссівського випадкового поля , на сфері за допомогою пакетів Statistica та S-Plus знайти оцінку кореляційної функції B(cos ψ)* та визначити:

а) середньоквадратичне відхилення оцінки кореляційної функції B(cos ψ)* від кореляційної функції B(cos ψ) випадкового поля на сфері;

b) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної функції B(cos ψ)* від кореляційної функції B(cos ψ) випадкового поля на сфері.

253

ЧАСТИНА 2 Статистичне моделювання випадкових процесів та полів

за інтерполяційними розкладами

За останні десятиріччя широко розвивається напрямок статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових процесів та полів, що знаходить значне застосування у різних розділах науки і техніки: геології, геофізиці та сейсмології, радіофізиці та астрономії, теорії автоматичного регулювання, проблем теорії і техніки передачі, прийому та обробки інформації, біології, медичній діагностиці та ін. В розвитку теорії статистичного моделювання випадкових функцій (випадкових процесів і полів) велику роль відіграють розклади таких функцій у вигляді рядів. Статистичне моделювання стаціонарних випадкових процесів і однорідних та ізотропних випадкових полів можна здійснити при застосуванні їх спектральних розкладів ( наприклад, М.Й. Ядренко [109]), які є рядами тригонометричними (для процесів) і рядами зі спеціальних функцій (ортонормована послідовність дійсних сферичних гармонік – для полів). Про це йшлося в перших п'яти розділах монографії, де наведено статистичні моделі і побудовано алгоритми статистичного моделювання таких випадкових процесів та полів. В цьому випадку основна проблема полягає в адекватному підборі кореляційної функції випадкового процесу або поля та обчисленні відповідних спектральних коефіцієнтів. Якщо випадкові процеси не стаціонарні, а випадкові поля не однорідні та ізотропні, але вони мають обмежений спектр, то можна подати такі випадкові функції у вигляді розкладів в ряди іншого типу.

Статистичне моделювання випадкових процесів та полів можна також здійснювати, використовуючи інтерполяційні розклади в узагальнені ряди Шеннона. Такий підхід розглядався вченими: [J.R. Higgins [151, 152], , З.О. Вижва [17, 18, 20, 21, 23, 24, 37, 38, 219-222], С.І. Халікулов [99, 100], С. М. Пригарин [87], T. Gneiting [148, 149], N. Cressie [133, 134], О.В. Кендзера

254

[38], К. В. Федоренко [35, 37, 38, 199-202], А.С. Вижва [37, 38, 200-202].

Такий метод не потребує від об’єктів дослідження необхідною умовою властивості стаціонарності для випадкових процесів і властивостей однорідності та ізотропності для випадкових полів. При використанні наведених нижче алгоритмів необхідно знати для випадкових функцій, що досліджуються, лише закон розподілу, математичне сподівання і кореляційну матрицю. Якщо в перших чотирьох розділах не відігравало ролі те, на якого типу сітці спостережень задається випадкова функція, то в цьому розділі важливо знати, чи рівновіддаленими чи нерівновіддаленими вузлами інтерполяції є задані спостереження об'єкта досліджень. Від цього залежить вибір типу узагальненого ряду Шеннона, який буде основою для побудови статистичної моделі та алгоритму статистичного моделювання зімітованих реалізацій для даних випадкової функції.

В п’ятому розділі другої частинирозглядаються задачі статистичного моделювання сепарабельних випадкових процесів та полів на площині з обмеженим спектром на основі теореми Шеннона за інтерполяційними формулами з регулярною решіткою. А в шостому розділі цієї частини побудовано моделі та алгоритми статистичного моделювання для випадкових полів з обмеженим спектром на циліндрі та на сфері з використанням теореми Шеннона, а також розглянуто на базі цієї теореми задачі статистичного моделювання реалізацій випадкових полів з обмеженим спектром, які залежать від часу та задані на дво- та тривимірних просторових областях.

255

-------------------------------------------------------------- Розділ 5 Статистичне моделювання випадкових процесів та полів

з рівномірною решіткою інтерполяції -------------------------------------------------------------- Як відомо, випадкові процеси та двовимірні випадкові поля

(не завжди стаціонарні або однорідні та ізотропні) є об’єктом досліджень в геофізиці, фізиці атмосфери, гідрогеології, сейсмології та інших. Більшість геофізичних вимірювань проводиться з постійним кроком по окремим профілям чи системам профілів у польових умовах, або з постійною швидкістю при геофізичних дослідженнях свердловин та аерозйомках. Це дає змогу практично майже завжди звести отримані дані до регулярної решітки. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових процесів та полів на площині на основі узагальненого ряду Шеннона на рівномірній решітці інтерполяції дає можливість за окремими отриманими значеннями реалізації таких процесів та полів знайти їх досконале зображення на всьому інтервалі або області спостережень. При цьому застосовуються інтерполяційні формули з регулярною решіткою, наприклад: В.Н. Нагорний [74, 75], J.R. Higgins [151, 152], З.О. Вижва [18], С.А. Вижва [36], О.В. Кендзера, З.О. Вижва, К. В. Федоренко, А.С. Вижва [38].

В розділі 5 розглянуто задачу статистичного моделювання реалізацій сепарабельних випадкових процесів, випадкових полів на площині, які задано на рівномірній решітці інтерполяції, що може знайти застосування у різних розділах науки і техніки, зокрема в задачах геології. На основі інтерполяційних формул сформульовано алгоритми, які дають можливість отримати такі реалізації. Сконструйовано статистичні моделі для гауссівських випадкових процесів та полів з рівномірною решіткою інтерполяції, які задаються своїми статистичними характеристиками: математичним сподіванням і кореляційною матрицею.

256

На основі теореми Шеннона за інтерполяційними формулами з регулярною решіткою вирішена задача статистичного моделювання сепарабельних випадкових процесів (підрозділ 5.1) та полів на площині (підрозділ 5.2).

5.1. Статистичне моделювання випадкових процесів з

рівномірною решіткою інтерполяції В параграфі наведено деякі теоретичні дослідження із

статистичного моделювання випадкових процесів із рівномірною (регулярною) решіткою інтерполяції , знайдено похибки при зображенні таких випадкових процесів у вигляді інтерполяційних розкладів та на основі наведених оцінок сформульовано алгоритми статистичного моделювання стаціонарних гауссівських випадкових процесів J.R. Higgins [151,152], З.О. Вижва [18], С.А. Вижва [36], О.В. Кендзера, З.О. Вижва, К. В. Федоренко, А.С. Вижва [38].

5.1.1. Зображення сепарабельних випадкових процесів у

вигляді розкладу в нескінченні інтерполяційні ряди Зображення випадкових процесів у вигляді розкладу в

нескінченні інтерполяційні ряди веде до необхідності дослідження похибок при наближенні цих функцій скінченими рядами, оскільки на практиці ми часто неспроможні виміряти всі параметри деякого явища із повною точністю. Найбільш близько пов’язаною із походженням теорем моделювання є похибка наближення – “aliasing errors” (Higgins J.R. [151], стор.118). Наведемо її означення.

Означення1. Нехай Аw означає операцію розкладу довільної функції f(t) (t R) в кардинальні ряди і нехай А означає різницю між f та результатами застосування операції Аw. Таким чином, ми маємо :

),(sin:))(( nwtcw

nftfA

nw

(5.1.1.1)

257

де

0,1

0,sin

:sinv

vv

vvc

(5.1.1.2)

є так званий синус кардинальний. Тоді похибкою наближення А є:

.)()()()( tfAtffA w (5.1.1.3)

У наступному означенні ми вкажемо клас функцій Q, який

підходить для вивчення похибок наближення. Означення 2.

),(),()(:: 12 RLfRCRLffQ

(5.1.1.4)

де

f – обернене перетворення Фур’є функції f , яке пов'язане із нею виразом (6.1.1.5).

Наприклад, ми маємо простір Пеллі-ВінераP W w Q, w 0.

Інший важливий факт про Q полягає в тому, що поточкове представлення його членів є оберненим перетворенням Фур’є.

Ми знайшли, що якщо f Q, тоді апріорі

f L1L2 Таким

чином, (

f ) можна обчислити в L1 або L2 і результати повинні майже завжди відповідати.

Отже, для всіх f Q маємо:

dxexftfR

ixt

)(2

1)(

(5.1.1.5)

258

і це справедливо для кожного t R, якщо f – неперервна функція.

Класичним результатом, що надає границю для змішаної помилки А, є наступна теорема, яка сформульована Р. Вейсом і потім доведена Броуном, який ще і знайшов екстремум Х.

Теорема 1. Нехай f Q і нехай задано Аw формулою (5.1.1.1), тоді:

dxxftAwx

)(ˆ2

2)( . (5.1.1.6)

Якщо f є дійсною, то границя зменшиться до

dxxftAw

)(ˆ8)( , (5.1.1.7)

а екстремумом для (5.1.1.6) є вираз:

).12(sin)( wtctX (5.1.1.8)

Кажуть, що Х є екстремумом в тому розумінні, що існує по крайній мірі одна величина t, для якої має силу рівність у виразі (5.1.1.6), коли Х ми розклали за формулою (5.1.1.1).

Границя похибки, яка наведена у попередній теоремі, узагальнюється у дослідницькій літературі по різним напрямкам. Наведемо один із них, який є простим, але значним і цікавим і розроблений C.J. Standish [186].

Теорема 2. Нехай Ф – функція обмеженої варіації в просторі R, неперервна в точках ((2k+1)w, k Z і нормалізована так, щоб вона була справа неперервною кругом. Нехай f – обернене перетворення Фур’є-Стілтьеса від функції Ф, тобто:

259

xdetfR

ixt 2

1)( . (5.1.1.9)

Тоді оператор наближення Аw, який задається формулою

(5.1.1.1), збігається для кожного tR і справедлива оцінка:

wx

w xdtfAtftA

)(2

2))(()()( (5.1.1.10)

Розглянемозастосуванняцієїтеоремидоприкладу.Приклад 1. Нехай функція f має вигляд:

texf )( (5.1.1.11) Тоді маємо оцінку:

.arctan2

4)()()()(

2

tfAtftA w (5.1.1.12)

При цьому за функцію Ф потрібно взяти

.1

1)(

2xx

(5.1.1.13)

Наступне наше дослідження полягає в тому, щоби перейти в

викладеному вище матеріалі від детермінованих функцій до випадкових.

Нехай (t) (- t +) – випадковий процес “другого порядку” з дійсними або комплексними значеннями, сепарабельний разом із усіма своїми похідними, якщо такі існують. Для спрощення вважаємо, що (t) = 0 (- t +).

260

Критерій сепарабельності [62] : випадковий процес (t,ω), t G (G підмножина R1), ωΩ, називають сепарабельним, якщо

існує зліченна або скінченна підмножина jsS j ,

множини G, що для кожного відкритого інтервалу (a, b) (- a < b +), перетин якого із G непорожній, виконується умова:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )inf ( , ) inf ( , ), sup ( , ) sup ( , ).

j j

j js S G a b t G a b t G a b s S G a bs t t s

Таким чином, поведінка процесу на скінченній або зліченній

множині точок S дозволяє робити висновки відносно його

поведінки на всьому інтервалі спостережень, зокрема часу.

Нехай (t) є стаціонарним процесом, тоді він подається у вигляді “спектрального розкладу”:

),()( dxZet ixt (5.1.1.14)

де Z(dx) – процес з ортогональними приростами [49], причому (за теоремою Хінчина) його кореляційна функцію можна подати у вигляді:

),()( xdetB ixt (5.1.1.15)

де Z(x)2 = (x), xR. При цьому (x) є функцією обмеженої варіації , точніше в даному випадку – неспадна обмежена функція. Вона називається спектральною функцією випадкового процесу (t).

261

Якщо функція (x) – диференційована, то кореляційну функцію можна також виразити через спектральну щільність p(x):

,)(2

1)( xdexptB ixt

(5.1.1.16)

де

).(2

1)(xp

dx

xd

Оскільки p(x) є звичайним перетворенням Фур’є для В(t), то ця функція має вигляд наступного інтегралу:

.)(1

)( tdetBxp txi

(5.1.1.17)

Ця формула є основним співвідношенням між спектральною

щільністю випадкового процесу (t) та його кореляційною

функцією. Потрібно зауважити, що p(x) та В(t) є парними функціями

своїх аргументів. Тому вирази (5.1.1.16) та (5.1.1.17) можуть бути записані у дійснозначній формі косинус-трансформацій Фур’є :

0

,cos)()( xdxtxptB

(5.1.1.18)

0

.cos)(2

)( tdxttBxp

(5.1.1.19)

Звідси можна зв’язок між спектральною щільністю

випадкового процесу та його дисперсією:

262

0

.)()0())(( xdxpBtD

(5.1.1.20)

Слід зауважити, що для спектральної щільності p(x)

випадкового процесу (t) та його кореляційної функції В(t) має

силу загального характеру зв'язок між шириною спектра та

величиною, що називається інтервалом кореляції, а саме:

, tp де μ – константа порядку одиниця. Інтервал кореляції Δt має

значення ефективного полягання функції кореляції та може

визначатися по різному. Розглянемо середньоквадратичне відхилення випадкового

процесу (t) від його кардинального ряду вигляу:

)(sin:))(( ntwcw

ntA

nw

(5.1.1.21)

Теорема 3. Нехай (t) (- t +) – стаціонарний

комплекснозначний випадковий процес “другого порядку”, який сепарабельний разом з усіма своїми похідними, якщо такі існують. Тоді справедлива оцінка оцінку наближення стаціонарного випадкового процесу (t) його кардинальним рядом (Aw)(t) :

.)(2

)()()(2

wx

w xdtAt

(5.1.1.22)

Теорема доведена в роботі [18]. На основі цієї теореми розглянемо інтерпретацію прикладу 1

для випадкового процесу.

263

Приклад 2. Одна із найпростіших кореляційних функцій випадкового процесу (t), яка широко використовується в гідрології та в інших напрямках геологічних та географічних досліджень, це – кореляційна функція експоненціального типу (див. [165] ). Вона має вигляд:

.)( ueuB (5.1.1.23)

Середньоквадратичне наближення такого випадкового процесу його кардинальним рядом має оцінку:

arctan4

2)()()(2 tAt w . (5.1.1.24)

За статистичну модель випадкового процесу беремо часткову

суму ряду (5.1.1.21) виду:

)(sin:)(, kwtctM

NkwkMNw

(5.1.1.25)

Перед тим, як приступити до побудови алгоритмів

статистичного моделювання випадкових процесів, необхідно навести деякі відомості із теорії інтерполяції випадкових процесів із регулярною послідовністю вузлів інтерполяції [83].

Теорема 4. Нехай (t) (- t +) – стаціонарний випадковий процес із функцією коваріації;

),()( )( dFestB sti (5.1.1.26)

де – обмежена область дійсних чисел,

при цьому такий процес можна подати у вигляді (5.1.1.14), то для майже всіх вибіркових функцій такого процесу справедлива формула:

264

,)(

)(sin)(

kk

k

t

tkt

або (5.1.1.27)

,)/(

)/(sin)(

k kt

ktkt

або

(5.1.1.28)

,)/(sin)(

k

ktck

t

(5.1.1.29)

де )(sin xc є так званий синус кардинальний (5.1.1.2), –

довільне фіксоване число ( =π/Δt , Δt – інтервал дискретизації по змінній t; θ θ sup q(), , де q()– показник функції

tietf ),( ), а також для будь-якого фіксованого числа t і при всіх досить великих N справедлива нерівність:

),0()(

)()(22

220

22

BN

LLtt f

N

(5.1.1.30)

де B(0) – вираз (5.1.1.20),

,)(expsup,

xtiLtx

f

(5.1.1.31)

ze

zL sin2

1

2)(0

(5.1.1.32)

265

– скінчена функція в будь-якій області зміни, а часткова сума має вигляд:

sin ( )( )

( )

sin ( ), ( ).

( )

N k

N kk N

N k

kk N

tkt

t

tkf Z d

t

(5.1.1.33)

5.1.2. Моделі та алгоритми статистичного моделювання випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції

Наведені теореми дають корисні оцінки для наближення

випадкових процесів скінченними рядами та для побудови алгоритмів статистичного моделювання стаціонарних випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції із заданими статистичними характеристиками.

Нехай випадковий процес (t) (- t +) задається своїми математичним сподіванням (припустимо, що (t)=0 ) та кореляційною матрицею B(u,u). Тоді, на основі розкладу (5.1.1.33), будуємо статистичну модель для випадкового процесу (t) виду :

N

Nkk

k

kN t

tt ,

)(

)(sin)(

(5.1.2.1)

де N – деяке натуральне число, а k – послідовність гауcсівських випадкових величин, які мають такі статистичні характеристики:

266

;,,0 NNkk

NNk

kkBD k ,,;

, (5.1.2.2)

де В(u,u) –діагональні елементи кореляційної матриці випадкового процесу (t).

Тепер опишемо побудований на основі теореми 3 алгоритм для статистичного моделювання гауссівських випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції, які задані своєю кореляційноюматрицеюВ(u,u), де відповідна кореляційна функція B(u,v) належить класу функцій Q.

Алгоритм 1

1. Вибираємо, відповідно до необхідної заданої точності

0, число w R (w 0), яке задовольняє умові:

.)(2

wx

xd (5.1.2.3)

де (x) є спектральною функцією випадкового процесу (t).

2. Підбираємо натуральні числа M, N для моделі (5.1.1.25),

які відповідають регулярній послідовності вузлів інтерполяції випадкового процесу (t).

3. Моделюємо послідовність гауссівських випадкових

величин MNkwk ,, із статистичними характеристиками

:

;,,0 MNkwk

267

,,,; MNkkkBD wk (5.1.2.4)


4. Обчислюємо значення виразу (5.1.1.25), підставляючи в

нього значення числа w , знайденого в п. 1, змодельовану за п 2

послідовність MNkwk ,, , значення аргументу t[0,T]

(T – довжина інтервала спостереження) та отримуємо значення )(, tMNw

згенерованої реалізації заданого випадкового процесу

(t)в будь-якій точці t інтервалу [0,T]. 5. Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового

процесу (t)на адекватність даним цього випадкового процесу шляхом порівняння статистичних характеристик.

Слід зауважити, що для статистичного моделювання

випадкових процесів також важливо знати залежність точності їх наближення рядом від кількості гармонік часткової суми цього ряду при використанні на практиці. Тому доцільно навести наступний алгоритм статистичного моделювання стаціонарного гауссівського випадкового процесу (t), який побудовано на основі теореми 4 із використанням статистичної моделі (5.1.2.1).

Алгоритм 2

1. Підбираємо, відповідно до заданої точності 0, натуральне число , яке задовольняє умові:

268

)0()( 22

220

2

BN

LL f (5.1.2.4)

де =π/Δt , Δt – інтервал дискретизації по змінній t; θ θ sup

q(), , де q() – показник функції tietf ),( ( –

обмежена область дійсних чисел), величина fL обчислюється

за формулою (5.1.1.33) , а

)(0 zL – (5.1.1.34), а )0(B можна

обчислити за формулою [108]:

),,(1

1)0(

0

kkBN

BN

k

(5.1.2.5)



величин NNkk ,, із статистичними

характеристиками (5.1.2.2). 3. Обчислюємо значення виразу (5.1.2.1) в точці t[0,T] (T

– довжина інтервала спостереження), підставляючи в нього число та згенеровану послідовність k, що і буде значенням згенерованої реалізації заданого випадкового процесу (t).

4. Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового

процесу (t) на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння статистичних характеристик.

Можна сформулювати наведений алгоритм із

використанням простішої за (5.1.2.4) нерівності у випадку стаціонарного процесу, спектральна функція якого зосереджена на скінченному інтервалі . Її зручніше використовувати на практиці при підборі кількості гармонік статистичної моделі

269

для випадкового процесу (t) виду (5.1.2.1), що відповідає заданій точності 0.

Згадаємо наступне твердження, яке належить Ю.К.Бєляєву 8.

Лема. Якщо (t) – стаціонарний процес , спектральна функція якого зосереджена на інтервалі - aa ~,~ і a a~ , при цьому випадковий процес подається у вигляді розкладу в ряд, часткова сума якого має вигляд:

,sin

)(

a

rta

a

rta

a

rt

N

NrN

(5.1.2.6)

то оцінка середньоквадратичного наближення випадкового процесу (t) частковою сумою N(t) має вигляд:

,~1

)()()(

2

2

2

22

aaN

ttt N

(5.1.2.7)

де 2 ( ).D t

Відзначимо, що функцію (t) ми подаємо в уточненому

порівняно з 8 вигляді :

.14

)(

t

at

(5.1.2.8)

На основі твердження наведеної вище леми можна

побудувати алгоритм для моделювання реалізації заданого

270

стаціонарного випадкового процесу (t) із обмеженою спектральною функцією (x).

Алгоритм 3

1. Підбираємо, відповідно до заданої точності 0,

натуральне число , яке задовольняє умові:

2

2

2

2

~1

)(

a

aN

t, (5.1.2.9)

де (t) визначається за формулою (5.1.2.8), числа a~ та a~ – межі інтервала, на якому визначена спектральна функція

(x) випадкового процесу(t), а константа ).(2 tD 2. Моделюємо послідовність гауссівських випадкових

величин NNkk ,, із статистичними характеристиками

(5.1.2.2). 3. Обчислюємо значення виразу (5.1.2.1) при a в

точці t[0,T] (T – довжина інтервала спостереження), підставляючи в нього число , визначене за п. 1 та генеровану послідовність k, що і буде значенням генерованої реалізації заданого випадкового процесу (t) в точці t.

4. Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового процесу (t) на адекватність даним цього випадкового процесу шляхом порівняння статистичних характеристик.

Отже, в цьому підрозділі побудовано моделі (5.1.2.1) та

(5.1.1.25) та алгоритми 1–3 моделювання випадкових процесів, заданих на регулярній решітці інтерполяції. Точність моделювання за такими алгоритмами залежить від довжини смуги, на якій зосереджено спектральну функцію (x), та від кількості вузлів інтерполяції інтервала спостережень випадкового процесу (t). Обидва алгоритми базуються на

271

аналогічних моделях у вигляді узагальненого ряду Шеннона для випадкових процесів та потребують при використанні таку статистичну інформацію для даних випадкового процесу (t), як математичне сподівання та дисперсію в кожній вузловій точці. Якщо процес ергодичний, то для знаходження таких статистичних характеристик достатньо однієї реалізації випадкового процесу, що спостерігається (див., наприклад, [9]). В протилежному випадку, коли процес неергодичний, необхідно мати певну кількість реалізацій випадкового процесу, який досліджується.

При використанні наведених алгоритмів необхідно перевірити дані спостереження випадкового процесу (t) на тип статистичного розподілу шляхом побудови гістограми. При цьому, найкраще наближення випадкового процесу розробленими в цьому параграфі моделями буде у випадку, коли цей процес має гауссівський (нормальний), логнормальний моделями або наближено гауссівський розподіл. При інших типах розподілу застосування вказаних алгоритмів можливе, але з меньшою точністю.

5.1.3. Приклади застосування моделей та алгоритмів

статистичного моделювання стаціонарних випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції

Оскільки більшість геофізичних вимірювань проводиться з

постійним кроком, розглянемо застосування наведених вище моделей та алгоритмів статистичного моделювання стаціонарних випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції в цій області геологічної науки. Цікаво вибрати за об'єкт досліджень приклад із сейсмології, тому що сейсмограми є зразком реалізацій випадкового процесу із обмеженим спектром.

Прикладний аспект такого застосування є дуже актуальний, оскільки за результатами статистичного моделювання сейсмограм можна здійснювати моніторинг геологічного стану навколишнього середовища.

272

Зокрема, проводилось дослідження параметрів сейсмічного шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками.

Було відібрано 15 відрізків шуму на сейсмограмі для напрямку Е деякого сейсмологічного пункту спостереження в Одесі під назвою PNT1. Це дало нам достатню кількість реалізацій випадкового процесу (t) (шуму на сейсмограмі) із числом відліків 2001 довжиною 20,01секунди для того, щоб визначити таку статистичну інформацію для даних, як розподіл, математичне сподівання та дисперсію в кожній вузловій точці. Із графічного зображення (рис. 5.1.1) сейсмограми для напрямку Е можна зробити висновок, що випадковий процес (t), який описує такий сейсмічний сигнал, є неергодичний. Тому при моделюванні важливо отримати наведені вище статистичні характеристики для усередненої за відібраними 15 відрізками шуму реалізації.

273

t, с

Рис.5.1.1. Графічне зображення сейсмограми для напрямку Е, записаної протягом 10 хвилин (від 22.20 до

22.30 години). Амплітуда коливань вимірється в мілівольтах.

Пропонується будувати модель випадкового процесу шумів в

сейсмограмах у вигляді часткових сум (5.1.2.1) модифікованих рядів Шеннона, які мають наступний вигляд (параграф 5.1.2):

,)/(

)/(sin)(

2/

2/

N

NkkN kt

ktt

(5.1.3.1)

де α – параметр, який визначається через інтервал дискретизації Δt проміжку спостережень випадкового процесу (t) (0≤ t ≤Т) за виразом: 1/α=Δt =Т/N ( N – кількість точок спостережень);

274

NNkk ,, – послідовність нормально розподілених

незалежних випадкових величин, які мають такі статистичні характеристики:

;,0,1

1

Nkmtn k

n

іkik

(5.1.3.2)

Nkmtn

D k

n

ikkik ,0,

1

1 2

1

2

(5.1.3.3)

де ki t –значення амлітуди процесу і-тої реалізаціїшуму

сейсмограми(t) в tk- му вузлі. В цих формулах підсумовування проводиться по індексах

,,1 ni які вказують на номер реалізації (n=15). Наведемо приклади фрагментів масивів обчислених за

формулами (5.1.3.2) та (5.1.3.3) відповідно вибіркових середніх та вибіркових дисперсій.

До графіка сейсмограми за напрямком Е фрагмент масиву

середніх: -1951.87,-1919.73,-1975.07,-1993.6,-1962.4,-1946.73,-

1969.07,-2008.87,-2071.8,-2135.8,-2144.6,-2097.07,-2011.07,-1920.27,-1846.67,-1813.,-1790.67,-1788.13,-1845.,-1960.93,-2063.93,-2104.6,-2131.2,-2179.13,-2199.67,-2180.6,-2186.8,-2223.2,-2216.13,-2161.93,-2139.87,-2154.33,-2111.4,-2006.4,-1938.,-1950.13,-1934.4,-1887.53,-1867.73,-1866.73,-1843.73,-1821.47,-1823.2,-1838.73,-1873.6,-1941.87,-2023.2,-2060.,-2049.07,-2016.2,-2018.2,-2025.67,-2028.27,-2016.8,-2003.27,-1956.8,-1887.53,-1838.,-1815.,-1779.53,-1773.07,-1833.2,-1898.8,-1890.73,-1836.8,-1785.,-1769.2,-1754.47,-1760.8,-1876.8,-2029.73,-1993.8,-1813.47,-1803.8,-2002.2,-1893.47,-1683.6,-1726.53,-1899.33,-1918.33,-1858.13,-1943.13,-2097.53,-2072.,-1950.4,-

275

1989.27,-2084.53,-1994.47,-1976.27,-2039.33,-2020.,-1904.8,-1869.27,-1965.47,-2067.53,-2105.67,-2134.4,-2163.93,-2093.73,-1963.87,-1949.27,-1958.6,-1894.87,-1835.,-1873.,-1940.6,-1926.73,-1829.93,-1764.27,-1801.67,-1833.13,-1877.87,-1985.2,-2041.87,-2008.8,-1984.67,-2055.4,-2142.6,-2121.,-2031.4,-2026.33,-2042.4,-1970.27,-1961.6,-2036.27,-2045.4,-1974.53,-1951.33,-2020.73,-2089.47,-2104.,...

До графіка за напрямком Е фрагмент масиву дисперсій: 247291.,224337.,210244.,171851.,126899.,137361.,174316.,204

425.,233509.,308977.,280304.,216053.,195624.,177443.,208498.,260656.,278979.,331569.,332844.,262595.,213465.,219532.,201953.,172338.,143631.,166734.,210120.,251119.,281568.,290508.,349760.,375341.,287426.,183505.,150236.,217570.,374011.,542936.,585092.,514098.,398529.,279304.,205508.,215970.,306607.,342491.,306252.,430057.,679132.,795606.,853798.,880270.,774111.,564814.,374353.,231692.,153910.,161914.,199414.,254016.,379273.,472773.,429132.,436859.,439092.,350969.,340251.,491187.,552092.,259001.,720774.,631417.,558283.,609575.,509733.,310907.,673555.,354088.,198842.,206064.,548010.,513454.,561244.,416491.,480465.,271970.,202065.,299721.,393727.,268701.,264035.,138919.,244029.,149382.,181286.,152733.,248810.,134892.,140278.,253502.,304196.,389286.,235656.,221467.,172824.,186064.,100360.,119174.,100234.,201969.,221872.,288633.,254060.,291506.,297431.,234569.,159635.,177456.,165322.,177645.,192498.,271108.,240600.,235463.,232756.,309440.,347356.,323157.,351288.,331120.,296146.,211240.,148508.,155680.,227459.,280436.,286189.,...

Для спрощення процедури моделювання будемо розглядати

модель центрованого та нормованого шуму )(tN

, який

пов'язаний із шумом в сейсмограмі N(t) співвідношенням:

,)(/)()()( tDttt NNNN

(5.1.3.4)

276

тобто, зведемо модель до такої, що її математичне сподівання

0)( tN

,а дисперсія 1)( tD N

.

Модель усередненого центрованого та нормованого шуму має наступний вигляд:

,)/(

)/(sin)(

1000

1000

kkN kt

ktt

(5.1.3.5)

де NNkk ,,

послідовність незалежнихх гауссівських

випадкових величин із центрованим середнім значенням і нормованою дисперсією.

Для наших даних довжина інтервалу спостережень випадкового процесу (t) дорівнює Т=20,01 секунди, інтервал дискретизації Δt проміжку спостережень випадкового процесу (t) – Δt=0,01 секунди, кількість точок спостережень – N=2001, тоді параметр моделі (6.1.3.1) α=100.

Оцінка середнього значення та дисперсії випадкового процесу-шуму (t)(для наших даних m=1969,856202):

;2001,15,1

)(1

NnmmN

tEN

kk (5.1.3.6)

2 2

1 1

1( ) ,

1

15, 2001;

N n

i kk i

D t t mNn

n N

(5.1.3.7)

277

Тоді NNkk ,,

послідовність гауссівських

випадкових величин, які мають такі статистичні характеристики:

;2001,1,0 kmmm kkk

(5.1.3.8)

,2001,...,1,22

2

kD kk

k

(5.1.3.9)

Наведемо приклади фрагменту масиву, обчисленого за

формулою (5.1.3.8), вибіркових середніх. До графіка сейсмограми за напрямком Е фрагмент масиву

центрованих середніх: 17,9862019; 50,1262019; -5,213798101; -23,7437981;

7,456201899; 23,1262019; 0,786201899; -39,0137981; -101,9437981; -165,9437981; -174,7437981; -127,2137981; -41,2137981; 49,5862019; 123,1862019; 156,8562019; 179,1862019; 181,7262019; 124,8562019; 8,926201899; -94,0737981; -134,7437981; -161,3437981; -209,2737981; -229,8137981; -210,7437981; -216,9437981; -253,3437981; -246,2737981; -192,0737981; -170,0137981; -184,4737981; -141,5437981; -36,5437981; 31,8562019; 19,7262019; 35,4562019; 82,3262019; 102,1262019; 103,1262019; 126,1262019; 148,3862019; 146,6562019; 131,1262019; 96,2562019; 27,9862019; -53,3437981; -90,1437981; -79,2137981; -46,3437981; -48,3437981; -55,8137981; -58,4137981; -46,9437981; -33,4137981; 13,0562019; 82,3262019; 131,8562019; 154,8562019; 190,3262019; 196,7862019; 136,6562019; 71,0562019; 79,1262019; 133,0562019; 184,8562019; 200,6562019; 215,3862019; 209,0562019; 93,0562019; -59,8737981; -23,9437981; 156,3862019; 166,0562019; -32,3437981; 76,3862019; 286,2562019; ...

278

За алгоритмом 2 параграфа 5.1.2 на основі моделі (5.1.3.5) згенеровано реалізацію заданого випадкового процесу (t) в точках ti=i Δt, tі[0,T] (і=0,2001). При цьому використано згенеровану послідовність NNkk ,,

гауссівських

випадкових величин, які мають визначені експериментально статистичні характеристики (6.1.3.8), (6.1.3.9).

Графічне зображення такої реалізації, відкорегованої до математичного сподівання MN(t) та дисперсії DN(t) вхідних даних – випадкового процесу шуму в сейсмограмі, що досліджується, наведено на наступному рисунку.

t, c 5 10 15 20

-4000

-3000

-2000

-1000

Амплітуда (м/с) Рис. 5.1.2. Зімітоване зображення шуму сейсмограми, де

час t від 0 до 20 секунд. Далі проводився статистичний аналіз згенерованої реалізації

заданого випадкового процесу (t) на адекватність. Побудовано

279

діаграму для центрованих та нормованих вхідних даних, тобто

центрованого та нормованого шуму )(t

, який є фрагментом

шуму в заданій сейсмограмі напрямку Е. Вона наведена на наступному рисунку.


Рис. 5.1.3. Діаграма для центрованих та нормованих вхідних

даних пункту PNT1 за напрямком Е . Також побудовано діаграму для центрованих та нормованих

вихідних даних, тобто центрованого та нормованого шуму

)(tN

, який є змодельваною реалізацією шуму в заданій

сейсмограмі напрямку Е ( рис. 5.1.4 ).

280


Рис. 5.1.4. Діаграма вихідної центрованої та нормованої реалізації пункту PNT1 за напрямком Е .

В процесі порівняльного аналізу встановлено, що

гауссівський розподіл вхідної та вихідної центрованої та нормованої реалізацій за параметрами має незначну похибку

Змодельвана реалізаця може бути отримана за вказаним алгоритмом і моделлю (6.1.3.5) при підборі кроку дискретизації: Δt=1/α, де параметр α – це межа інтервалу[-α,α], в якому

зосереджено спектр випадкового процесу )(t

. Адекватність відтворення процесу у такій кількості відліків слідує із теореми Шеннона.

Отже, внаслідок використання запропонованої моделі та алгоритму можна отримати імітоване адекватне зображення сейсмічного шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками. Такі реалізації важливо використовувати на практиці для виділення шуму від зовнішнього впливу і для того, щоб отримати відповідні оцінки частотних характеристик геологічного середовища області спостереження. Вказані оцінки

281

важливо враховувати при будівництві об'єктів різного призначення з метою забезпечення надійності споруд.

Вправи 2. Підібрати, відповідно до заданої точності моделювання

= 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, натуральне число , яке задовольняє умові (5.1.2.4), для заданого гауссівського випадкового процесу (t).

3. За алгоритмом 2 параграфа 5.1.2 на основі моделі (5.1.2.1)

згенерувати реалізацію заданого випадкового процесу (t) в точках ti=i Δt, tі[0,T] ( і=0,…, р; р=10, 20, 30, 40, 50). При цьому використати згенеровану послідовність

, ,k k N N гауссівських випадкових величин, які мають

задані статистичні характеристики: математичне сподівання та дисперсії.

4. Перевірити згенеровану реалізацію заданого випадкового

процесу (t) на адекватність.

5.2. Статистичне моделювання випадкових полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції

Як відомо, випадкові поля на площині (не завжди однорідні

та ізотропні) є об’єктом досліджень в геофізиці, фізиці атмосфери, гідрогеології, сейсмології та інших. Зокрема, більшість геофізичних вимірювань проводиться з постійним кроком по окремим профілям чи системам профілів у польових умовах, або з постійною швидкістю при геофізичних дослідженнях свердловин та аерозйомках. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових полів на площині з рівномірною решіткою на основі теореми Шеннона дає можливість за окремими отриманими значеннями реалізації

282

таких полів знайти досконале зображення цих полів в усій області спостережень. При цьому застосовуються інтерполяційні формули з регулярною решіткою

В підрозділі 5.2. посібника розглянуто задачу статистичного

моделювання реалізацій випадкових полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції на основі інтерполяційного розкладу таких полів [18]. Проводиться дослідження похибок наближення при зображенні двовимірних випадкових полів у вигляді інтерполяційних розкладів із рівномірною решіткою інтерполяції. На основі наведених оцінок похибок наближення сформульовано алгоритм для статистичного моделювання реалізацій випадкових полів на площині. Сконструйовано статистичну модель для гауссівських випадкових полів з рівномірною решіткою інтерполяції, які задаються своїми статистичними характеристиками. Математичні вирази, які складають модель, легко реалізуються на практиці.

5.2.1.Зображення сепарабельних випадкових полів на

площині у вигляді розкладу в нескінченні інтерполяційні ряди

Зображення випадкових функцій на площині в цьому

параграфі у вигляді розкладу в нескінченні інтерполяційні ряди веде до необхідності дослідження похибок при наближенні цих функцій скінченними рядами, оскільки на практиці ми часто неспроможні виміряти всі параметри деякого явища із повною точністю. Найбільш близько пов'язаною із походженням моделюючих теорем є похибка отримання результату експерименту, якому байдуже до гіпотез, що перевіряються, тобто, так звана "похибка перейменування" ("aliasing errors") [171]. Означення такої похибки (формула (5.1.1.1)) та деякі теореми, що пов'язані із нею та наведені в згаданій вище книзі в одновимірному випадку ( див. підрозділ 5.1.1 цієї монографії) , ми застосуємо і узагальнимо до двовимірних функцій.

Наведемо означення "похибки перейменування".

283

Означення1. Нехай Аw ),( 21 www означає операцію

розкладу довільної функції f(t) (t = (t1,t2) R2) в кардинальні ряди і нехай А означає різницю між f та результатами застосування операції Аw, тобто:

),(sin)(sin:)()( 2221112

ntwcntwcw

nftfA

nw

(5.2.1.1)

де vcsin – є так званий синус кардинальний (див.

(6.1.1.2)), а n = (n1,n2) Ζ2. Тоді похибкою наближення ("похибкою перейменування") А

є модуль різниці:

.)()()()( tfAtffA w (5.2.1.2)

Потрібно зауважити, що наведений вираз розглядається для

функції f(t) , що задається в смузі-області виду

.,, 2211 wwww

Вкажемо клас функцій Q, який підходить для вивчення

"похибок перейменування", тобто:

)(),()(:: 21222 RLfRCRLffQ

(5.2.1.3)

Використовуючи класичний результат, що надає границю для похибки А, а також його наслідок для функцій обмеженої варіації, доведений К. Стендіш одновимірному випадку (див. [151], стор. 119-120), розглянемо границю для похибки в двовимірному випадку.

Теорема 1. Нехай Φ(x) (x=(x1,x2) R2 )– функція обмеженої варіації в просторі R2 , яка неперервна в точках

284

2,1,0),,(,,12 21 iwwwwZkwk i

і нормалізована так, щоб вона була справа неперервною кругом. Нехай також функція f(t) є оберненим перетворенням Фур'є - Стілт'єса від функції Φ(x), тобто:

xdetfR

ixt 22

1)(

. (5.2.1.4)

Тоді оператор наближення Аw , який задається виразом

(5.2.1.1), збігається для кожного tR2 і справедлива оцінка:

.),(1

)()()()(2211

21

wxwx

w xxdtfAtftA

(5.2.1.5)

Теорема доведена в роботі Вижва З.О. [18]. Наступне наше дослідження полягає в переході від

детермінованих двовимірних функцій до випадкових. Нехай (t) (t = (t1,t2) R2) однорідне в широкому розумінні

випадкове поле на площині. Для спрощення далі вважатимемо, що його математичне сподівання (t)=0. Відомо [48], що його кореляційну функцію B(u) можна подати у вигляді розкладу:

),()()(

2

21,21 xFdettВtВ

R

ttxi (5.2.1.6)

де dF(.) – скінченна міра на σ-алгебрі борелівських множин в R2,

яка зветься спектральною функцією випадкового поля ξ(t).

285

Припустимо, що функція В(t) належить класу Q. Також відомо [48], що однорідне випадкове поле (t) можна

подати у вигляді стохастичного інтегралу по ортогональній випадковій мірі. А саме, у вигляді спектрального розкладу:

xdZetR

txi2

)( (5.2.1.7)

де Z(S) – адитивна випадкова функція множин, яка задана на σ-алгебрі В2 борелівських множин в просторі R2 і така, що:

.,),()()( 2212121 BSSSSFSZSZ

тобто 2

)()( AZdAFd .

Зазначимо, що функція F(x) є функцією обмеженої варіації. Теорема 2. Якщо (t) (t R2 ) – однорідне випадкове поле, а

його кореляційна функція B(t) Q, тоді для оператора перейменування справедлива наступна середньоквадратична оцінка:

.),(1

)()()(2211

212

2

wxwx

w xxdtAt

(5.2.1.8)

Теорема доведена в роботі Вижви З.О. [18]. Ця оцінка середньоквадратичного наближення однорідного

випадкового поля моделлю на практиці має велике значення, оскільки вона дає можливість визначити середньоквадратичну похибку наближення цього випадкового поля його кардинальним рядом в залежності від області спостереження функції Φ(x) – прямокутника .,, 2211 wwww

286

Наведемо алгоритм, побудований із використанням оцінки наближення

(5.2.1.8), для статистичного моделювання реалізацій гауссівських випадкових полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції. Для таких полів необхідно, щоб кореляційна функція B(t) належала класу функцій Q (5.2.1.3).

Алгоритм 1

1. Вибираємо, відповідно до заданої точності ε > 0,

значення величини ),( 21 www R2 0w , яке

задовольняє умові:

.),(1

2211

212

wxwx

xxd (5.2.1.9)


величин

2,1,,,21, iNMn iiinn , (5.2.1.10)

які мають такі статистичні характеристики:

,2,1,,,021 , iNMn iiinn (5.2.1.11)

,2,1,,),,;,(2

2

1

1

2

2

1

1

21 , iNMnBD iiiwn

wn

wn

wn

nn

де B(u,v), (u,v) R2 – кореляційна матриця послідовності

випадкових величин .21 ,nn .

3. Підставляємо в модель випадкового поля (t) на площині з рівномірною решіткою інтерполяції значення натуральних чисел 2121 ,,, NNMM , що є межами сітки інтерполяції ,

287

значення підібраною за першим пунктом величини w та змодельовану за пунктом 2 послідовність гауссівських

випадкових величин .21,nn . Модель має наступний вигляд:

),(sin)(sin)( 222111,, 21

2

22

1

11

ntwcntwct nn

N

Mn

N

MnNM

(

5.2.1.12)

де vcsin – так званий синус кардинальний (див. (5.1.1.2)),

число t = (t1,t2) R2.означає точку, яка задається в смузі-області спостереження виду .,, 2211 wwww

Після обчислення виразу (5.2.1.10) отримаємо значення реалізації випадкового поля на площині в заданій точці t = (t1,t2).

5. Визначаємо середньоквадратичне відхилення дисперсії

D(t) випадкового поля на площині (t) в заданій точці t ,

обчисленого за змодельованими реалізаціями )(, tNM від

значення кореляційної функції B(t,t), t R2 випадкового поля (t). Таке значення кореляційної функції можна отримати одним із методів інтерполяції двовимірних функцій (наприклад в MathCad) по обчисленим значенням кореляційної матриці для даних значень випадкового поля(t):

,2,1,,),,;,(2

2

1

1

2

2

1

1 iNMnB iiiwn

wn

wn

wn ,

).,( 21 www (5.2.1.13)

Для статистичного моделювання реалізацій випадкових полів

на площині з рівномірною решіткою інтерполяції також важливо знати залежність точності середньоквадратичного наближення таких полів кардинальним рядом від кількості

288

гармонік цього ряду при використанні на практиці його часткової суми. Тому наведемо наступну теорему [75].

Теорема 3. Нехай (t,s) (- t, s +) – сепарабельне випадкове поле із (t,s) =0, яке можна подати у вигляді інтегралу:

),,(),(),(),( 212

dvduZvsfutfstU (5.2.1.14)

де U – деяка множина параметрів u (обмежена область дійсних чисел), U2= = UU , а функція Z(du,dv) – випадкова функція

множин на UU така, що виконується умова:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ), , , , .Z S S Z G G F S S G G S S G G B (5.2.1.15)

Причому, ( , )F S G є комплекснозначною функцією множин,

яка адитивна по всіх аргументах, позитивно визначена і така, що

виконується умова: 2 2

( , ) .U U

F d d

Припустимо, що функції fi(t,u), i=1, 2 можна довизначити на площині комплексної змінної відносно t до цілих функцій експоненціального типу із скінченними показниками і нехай будуть справедливі обмеження:

.2,1,),(supsup

iutfL itUu

fi (5.2.1.16)

Нехай qi(u), i=1,2 – показники функцій fi(t,u), i= 1,2

відповідно і виконуються умови:

sup ( ) , 1, 2i

i i iu U

q u i

(5.2.1.17)

289

Тоді з ймовірністю одиниця справедливий розклад

випадкового поля в ряд:

,)(

)(sin

)(

)(sin,),(

,

mk

m

m

k

kmk

s

s

t

tst

(5.2.1.18)

де α і β (=π / Δt , β=π / Δ s , Δt, Δs – інтервали дискретизації по змінним t та s відповідно; , θ1 β θ2 θі , і=1,2 – числа, які задовольняють вказаним умовам (6.2.1.19), функція vcsin –

так званий синус кардинальний (див. (5.1.1.2)). Також має місце оцінка:

2),(),( stst N (5.2.1.19)

2

11011101220222 ),,()(1),,()(4),,()(16

21NtLNtLNsLLL ff

,),(2 2

ddFU U

де ,2)(

),,( 2

1)(

111

1

N

еN

N (5.2.1.20)

,2)(

),,( 2

1)(

222

2

N

еN

N (5.2.1.21)

ttL

sin2

)(2

01

, ssL

sin

2)(

2

02

–

290

функції, скінченні в будь-якій обмеженій області зміни t та s

відповідно, fiL – функції (5.2.1.16), fi (i=1,2) – функції в

розкладі (5.2.1.14) випадкового поля (t,s),а N(t,s)–часткова сума ряду (5.2.1.18), що має вигляд:

.)(

)(sin

)(

)(sin,),(

,

N

Nmkm

m

k

kmk

N s

s

t

tst

(5.2.1.22)

5.2.2. Моделі та алгоритми статистичного моделювання двовимірних випадкових полів на площині з регулярною решіткою інтерполяції

На основі інтерполяційного розкладу (5.2.1.17) випадкового

поля (t,s) на площині із рівномірною решіткою інтерполяції можна побудувати статистичну модель цього поля. Вона має наступний вигляд:

,)(

)(sin

)(

)(sin),(

,,

N

Nmkm

m

k

k

mkN s

s

t

tst

(5.2.2.1)

де N – деяке натуральне число.

Далі наводиться алгоритм для статистичного моделювання реалізацій випадкових полів на площині, які задані на рівномірній решітці інтерполяції.

Він побудований на основі моделі (5.2.2.1) та використовує оцінку (5.2.1.19) середньоквадратичного наближення таких полів частковою сумою ряду (5.2.1.18).

291

Алгоритм 2

1. Вибираємо, відповідно до необхідної заданої точності ε > 0 натуральне число N, яке задовольняє умові:

,)0(),,()(1),,()(4),,()(162

11011101220222

21 BNtLNtLNsLLL ff

(5.2.2.2)

де L01(t) , L02(s) – функції, скінченні в будь-якій обмеженій

області зміни t та s відповідно, 1f

L – функції (5.2.1.15), а fi

(i=1,2) – функції в розкладі (5.2.1.14), а ).,()0( stDВ 2. Моделюємо послідовність гауссівських випадкових

величин:

NNmkmk ,,,, , (5.2.2.3)

які мають такі статистичні характеристики:

,

,

0, , , ,

( , ; , ), , , ,

k m

k m k mk m

k m N N

D B k m N N

(5.2.2.4)

де B(u,v), (u,v) R2 – кореляційна матриця випадкового поля (t,s).

3. Обчислюємо значення виразу (5.2.1.22) в точці (t,s),

підставляючи в нього значення послідовності гауссівських випадкових величин (5.2.2.3).

292

4. Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового поля (t,s) на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння статистичних характеристик.

Отже, в цьому параграфі наведено два алгоритми

статистичного моделювання реалізацій випадкових полів на площині, які задано на рівномірній решітці інтерполяції. Точність моделювання за першим алгоритмом визначається середньоквадратичною похибкою наближення (5.2.1.8) випадкового поля його кардинальним рядом в залежності від області спостереження функції Φ(x). При цьому, кількість гармонік кардинального ряду залежить від числа вузлів інтерполяції, в яких задано це поле. Другий алгоритм дає можливість генерувати реалізації випадкового поля на площині із точністю, що залежить від кількості вибраних для моделювання точок рівномірної решітки інтерполяції області спостережень. Обидва алгоритми базуються на аналогічних моделях у вигляді узагальненого ряду Шеннона для двовимірних випадкових полів та потребують при використанні таку статистичну інформацію про дані випадкового поля, як математичне сподівання та дисперсію в кожній вузловій точці.

Далі розглянуто задачу вдосконалення алгоритму, розробленого в [38], статистичного моделювання реалізацій випадкових процесів та полів на площині на основі модифікованих інтерполяційних розкладів Шеннона для впровадження в сейсмологічні дослідження з потребами визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками. Побудовано моделі та на основі оцінок похибок середньоквадратичного наближення випадкових процесів і полів, сформульовано та удосконалено алгоритми для чисельного моделювання реалізацій таких процесів та полів, адекватних реалізаціям шуму сейсмограм у випадках однієї та двох змінних.

Реалізації статистичного моделювання випадкових процесів важливо використовувати на практиці для виділення сейсмічного шуму від зовнішнього впливу і для того, щоб

293

отримати відповідні оцінки частотних характеристик геологічного середовища області спостереження. Вказані оцінки необхідно враховувати при будівництві об'єктів різного призначення з метою забезпечення надійності споруд.

Для статистичного моделювання спостережених шумів сейсмограм використовувався метод, розроблений З.О. Вижвою [18, 20]. на основі модифікованих інтерполяційних розкладів Шеннона для випадкових процесів та випадкових полів у двовимірній області спостережень з обмеженим спектром на регулярній сітці спостережень

Нехай (t) (- t +) – стаціонарний випадковий процес з обмеженим спектром, який задано на рівномірній решітці спостережень. Змінна t може бути інтерпретована, як час спостереження випадкового процесу. Нехай відомі такі його статистичні характеристики, як математичне сподівання (припустимо, що М(t)=0) та дисперсія − В(0). Побудовано на основі розкладу (5.1.1.27) в роботі [18] статистичну модель N(t) (0 t T, T – довжина інтервала спостереження випадкового процесу) для такого випадкового процесу (t) вигляду:

N

Nkk

k

kN t

tt ,

)(

)(sin)(

(5.2.2.5)

де α – параметр, який визначається за частотою Найквіста; N − деяке натуральне число, з яким пов’язана кількість доданків

ряду в моделі; ;,, NNkk − послідовність гауcсівських


;0 k2

( ; ), ,k kk k

kD E D B k N N

(5.2.2.6)

294

де NNkk

,,

− послідовність відліків (значень)

випадкового процесу (t), В(x, x), х R – коваріаційна матриця реалізації випадкового процесу (t).

Для удосконалення побудованого в [18] алгоритму використано результати [81] та знайдено покращену оцінку середньоквадратичного відхилення моделі N(t) від випадкового процесу (t)вигляду:

).0()12(

4)()(

2

2B

NttE N

(5.2.2.7)

Тоді в алгоритмі для заданої точності моделювання ( 0)

можна визначати значення натурального числа N, з яким пов’язана кількість доданків ряду в моделіN(t), за наступною нерівністю:

.)0()12(

42

BN

(5.2.2.8)

Якщо розглядати випадкове поле (t,s) (-≤ t, s ≤+) на

двовимірній області спостережень із властивістю стаціонарності та із обмеженим спектром по кожній змінній, то на основі модифікованого інтерполяційного розкладу Шеннона можна побудувати модель такого поля [18]. Змінна s може бути інтерпретована, як відстань пункту спостереження модельованого шуму сейсмограми від початкового пункту спостереження.

Аналогічна модель N,М(t,s) (0≤ t ≤Т, 0≤ s ≤S; T, S – довжини інтервалів спостереження по часу і по відстані відповідно) для гауcсівського випадкового поля (t,s) на двовимірній області спостережень із зазначеними властивостями має вигляд:

295

, ,

sin ( )sin ( )( , ) ,

( ) ( )

mN M k

N M k m k mk N m M

stt s

t s

(5.2.2.9)

де α, β – параметри, які визначаються за частотою Найквіста по кожній змінній; N, M − деякі натуральні числа, з якими пов’язані кількості доданків у рядах моделі; а

MMmNNkmk ,;,,, − послідовності гауcсівських


,

,

0, , , ;

( , ; , ), , ; , ,

k m

k m k mk m

Е k m N N

D B k N N m M M

(5.2.2.10)

дt В(u, v), (u, v) R2 − кореляційна матриця реалізації випадкового поля (t,s).

За результатами [81] знайдено покращену оцінку середньоквадратичного відхилення моделі N,M(t,s) від таких випадкових полів (t,s) у вигляді нерівності.

).0()12)(12(

16),(),(

4

2

, BMN

ststE MN

(5.2.2.11)

Тоді, на основі оцінки (5.2.2.11), в наступному алгоритмі для

заданої точності моделювання (0) можна визначати значення натуральних чисел N та М, з якими пов’язана кількість доданків у рядах моделі N,M(t,s).

Побудовано на основі моделі (5.2.2.9) та оцінки (5.2.2.11) алгоритм для чисельного моделювання реалізацій гауссівських випадкових полів (t,s)на двовимірній області спостережень із

296

властивістю стаціонарності та з обмеженим спектром по кожній змінній, який має вигляд:

Алгоритм 3

1. Підбираємо, відповідно до заданої точності 0, натуральні числа N та M , які задовольняють умові:

.)0()12()12(

164

BMN

(5.2.2.12)

де В(0)= D(t,s) – дисперсія випадкового поля (t,s).


величин MMmNNkmk ,;,,, із статистичними

характеристиками (5.2.2.6).

3. Обчислюємо значення виразу (5.2.2.5) в точці (t,s) t[0, T], s[0, S] (T – довжина часового інтервалу спостереження, S − довжина просторового інтервалу спостереження), підставляючи в нього числа N та М і згенеровані

послідовності MMmNNkmk ,;,,, , що і буде

значенням згенерованої реалізації заданого випадкового поля (t,s) у цій точці.

4. Перевіряється згенерована за п. 3 реалізація випадкового

поля (t,s) на заданій регулярній сітці точок із двовимірної області [0, T] × [0, S] на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння статистичних характеристик.

Потрібно зауважити, що модель (5.2.2.5) та алгоритм 1 мають одне суттєве обмеження, яке полягає в тому, що відліки реалізацій даних мають бути задані на рівномірній решітці. Якщо для часової змінної t ця умова, в основному, виконується, то для просторової змінної s задовольнити таке обмеження можна у дуже рідких випадках. Тому пропонується у просторі змінних (t,s), t[0, T], s[0, S] моделювати реалізацій таких

297

випадкових полів (t,s) іншим способом, використовуючи другий підхід для випадкових полів на циліндрі (пункт 5.3).

Перед застосуванням запропонованих алгоритмів дані перевіряються на тип статистичного розподілу шляхом побудови гістограми. При цьому, найкраще наближення випадкового поля на площині розробленими в цьому параграфі моделями буде у випадку, коли це поле має гауссівський (нормальний), логнормальний або наближено гауссівський розподіл. При інших типах розподілу застосування вказаних алгоритмів можливе, але з меньшою точністю.

Розроблені в цьому параграфі алгоритми можна застосовувати не тільки до випадкових полів, які задані на квадратній регулярній сітці вузлів площини розміру NN , а і на будь-якій прямокутній сітці, що не перевищує за лінійними розмірами цей квадрат. При цьому пусті вузли квадрата потрібно вважати із нульовими значеннями.

5.2.3. Приклади застосування моделей та алгоритмів

статистичного моделювання двовимірних випадкових полів на площині з регулярною решіткою інтерполяції

Випадкові поля на двовимірній області є об’єктом

досліджень в геофізиці, фізиці атмосфери, гідрогеології, сейсмології та інших. Більшість геофізичних вимірів проводиться з постійним кроком по окремим профілям чи системам профілів у польових умовах, або з постійною швидкістю при геофізичних дослідженнях свердловин та аерозйомках. Це дає змогу практично майже завжди звести отримані дані до регулярної решітки. Метод статистичного моделювання (метод Монте-Карло) випадкових полів на площині на основі теореми Шеннона дає можливість по окремим отриманим значенням реалізації таких полів знайти досконале зображення цих полів на всій області спостереження.

Оскільки більшість геофізичних вимірювань проводиться з постійним кроком, розглянемо застосування наведених вище моделей та алгоритмів статистичного моделювання

298

стаціонарних випадкових процесів на регулярній решітці інтерполяції в цій області геологічної науки. Цікаво вибрати за об'єкт досліджень приклад із сейсмології, тому що сейсмограми є зразком реалізацій випадкового процесу із обмеженим спектром.

Прикладний аспект такого застосування є дуже актуальний, оскільки за результатами статистичного моделювання сейсмограм можна здійснювати моніторинг екологічного стану навколишнього середовища та дослідити сейсмічні характеристики земної поверхні. Зокрема, проводилось дослідження параметрів шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками.

Розглядалися сейсмограми двох пунктів спостережень в Одесі: BUG3 та PNT1. Було відібрано по 9 відрізків шуму на сейсмограмі для кожного з двох сейсмологічних пунктів спостереження. Загальний час записування інформації, з якої обиралися 9 реалізацій, тривав протягом 1,5 години окремо по кожному пункту та за певними напрямками Е, N, та Z. Для цих реалізацій випадкового поля (t,s) шуму в сейсмограмі (s – просторова змінна) із числом відліків 2001 (тобто реалізація довжиною 20 секунд) визначено таку статистичну інформацію для даних, як розподіл, математичне сподівання та дисперсію в кожній вузловій точці.

Пропонується будувати модель випадкового поля шумів в сейсмограмах на основі часткової суми (5.1.2.1) модифікованого ряду Шеннона, яка має наступний вигляд:

,)sin()sin(

),(2/

2/ ,

,,

0

ks

ks

kt

ktmst

N

Nk jk

jkjkM

jN

або

(5.2.3.1)

299

.)sin()sin(

),(2/

2/ 0,

ks

ks

kt

ktst

N

Nk

M

jjkN

(5.2.3.

2)

де α – параметр, який визначається через інтервал дискретизації Δt проміжку спостережень першої випадкового поля (t,s) (0≤ t ≤Т) за виразом: 1/α=Δt =Т/N ( N – кількість точок спостережень за параметром t);

β – параметр, який визначається через інтервал дискретизації Δs проміжку спостережень другої змінної випадкового поля (t,s) (0≤ s ≤S) за виразом: 1/β=Δs =S/M ( M – кількість точок спостережень за параметром s);

MiNNkik ,...,1,0,,,, – послідовність нормально

розподілених незалежних випадкових величин, оцінки статистичних характеристик яких визначаються за формулами:

;,0;1,0;,1

,1

, Nkjmstn jk

n

іjkijk

(5.2.3.3)

(для математичного сподівання)

22

, , ,1

1, ; 0,1; 0, ;

1

n

k j i k j k j k ji

D t s m j k Nn

(5.2.3.4)

(для дисперсії)

де jki st , – значення амплітуди процесу і-тої реалізації шуму

сейсмограми ),( sti в tk- му вузлі j-го пункту спостереження. В

цих формулах підсумовування проводиться по індексах

,,1 ni які вказують на номер реалізації (n=9).

300

Далі визначаємо оцінки середнього значення та дисперсії процесів (t,0) та (t,1) за напрямком Z по кожному із двох сейсмологічних пунктів спостереження BUG3 та PNT1:

;1,0,2001,9,1

)(1

,

jNnmmN

t j

N

kjk (5.2.3.5)

;1,0,2001,9,,1

1)(

1

2

1

2

jNnmstNn

tDN

kj

n

ijjki

(5.2.3.6)

Тоді 1000,1000;1,0, , kjjk

– послідовності у виразі

(5.2.3.1) гауссівських випадкових величин (центрованих та нормованих), які мають наступні статистичні характеристики:

;1,0,2001,1,0,,, jkmmm jkjjkjk

(5.2.3.7)

;1,0,2001,1,2,2

2,

, jkD jkj

jkjk

(5.2.3.8)

Отже, для нашого прикладу сума часткового ряду (5.2.3.2)

буде в межах від –1000 до 1000 та запишеться у вигляді:

ks

ks

kt

ktst

kjk

jN

)sin()sin(),(

1000

1000,

2

0

(5.2.3.9)

)/(/

)/(/sin

)/(/

)/(/sin1000

10000, sss

sss

tktt

tktt

kk

301

./

/sin

)/(/

)/(/sin1000

10001, ss

ss

tktt

tktt

kk

де – 1000,1000, 1,0, kkk

– послідовності змодельованих

значень амплітуди шуму для пункту BUG3 за певним напрямком , незалежні гауссівькі випадкові величини, які мають такі статистичні характеристики: математичне сподівання (5.2.3.7) та дисперсію (5.2.3.8);

– кількість відліків 2N+1=2001, тобто інтервал 20секунд; Δt=0,01 – інтервал дискретизації для кількості відліків; Δs=1 – інтервал дискретизації для кількості пунктів

спостереження; Для наших даних довжина інтервалу спостережень

випадкового поля st,

за часом t дорівнює Т=20,01 секунди, інтервал дискретизації Δt проміжку спостережень випадкового

поля jst,

за часом t – Δt=0,01 секунди, точок спостережень

(кількість відліків) – N=2001, тоді параметр моделі (5.2.3.9) дорівнює величині α=100; інтервал дискретизації Δs проміжку

спостережень випадкового поля st,

за відстанню між пунктами спостережень – Δs=1 умовних одиниць, кількість точок спостережень за параметром s – M=3, тоді параметр моделі (5.2.3.9) β=1/ Δs=1.

За розробленими в цьому параграфі алгоритмом і моделлю (5.2.3.8) генеруємо реалізацію випадкового поля

st,

в точках 2/1,1000,1000,, jjk skst . При цьому

використовуємо значення двох центрованих та нормованих масивів даних шумів в сейсмограмах , які отримано із пунктів

спостереження BUG3 1000,1000,0, kk та PNT1

302

,1000,1000,1, kk за напрямком Z. Фрагменти таких

масивів наведено в наступних таблицях. Фрагмент вхідного масиву центрованих та нормованих

даних пункту спостереження BUG3 за напрямком Z: -0.397447,-0.651423,-0.927571,-1.00215,-1.10697,-0.994088,-

0.550639,-0.252318,0.160896,0.557984,0.580157,0.715207,1.15866,1.73111,2.27333,2.67646,2.85989,2.82562,2.54947,2.0133,1.203,0.437044,-0.33093,-1.06061,-1.50204,-1.83059,-1.97371,-2.08659,-2.04627,-1.6512,-1.19969,-0.584905,-0.0507506,0.344322,0.884524,1.19897,1.2151,1.17881,0.951041,0.215319,-0.683674,-1.27628,-1.91324,-2.52197,-2.85053,-2.74571,-2.72556,-2.70137,-2.42522,-1.77012,-0.95579,-0.357134,0.342307,0.997402,1.22316,1.27355,1.48318,1.62629,1.35418,1.17478,1.09214,0.703113,-0.0205154,-0.764301,-1.47785,-2.08054,-2.51391,-2.63888,-2.1652,-1.53832,-1.00013,-0.528466,0.0722058,0.755521,1.23122,1.5497,1.89438,2.27131,2.5918,2.67445,2.3217,1.67669,1.03167,0.289899,-0.365196,-0.675611,-0.899351,-0.919508,-0.723987,-0.655454,...

Побудуємо графічне зображення вхідної реалізації шуму

сейсмограми

1000;,;01,0;0,0),,( NNNkktsjst kjjk (час

t від 0 до 20 секунд) пункту спостереження BUG3 за напрямком Z.

303

Амплітуда (м/с)

-10 -5 5 10

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

t,с Рис. 5.1.2.1. Зображення вхідної реалізації шуму

сейсмограми 1000;,;01,0;0,0),,( NNNkktsjst kjjk , (час t від

0 до 20 секунд) пункту спостереження BUG3 за напрямком Z.

Фрагмент вхідного масиву центрованих та нормованих

даних пункту спостереження PNT1 за напрямком Z: 1.35929,1.24939,1.01389,0.599417,0.0518091,-0.45498,-

0.754531,-0.910901,-1.1106,-1.34359,-1.50749,-1.40953,-1.05471,-0.715596,-0.551062,-0.608209,-0.924089,-1.41957,-1.85163,-1.90752,-1.70908,-1.2877,-0.725644,-0.0587173,0.527826,0.821098,0.82675,0.654052,0.38904,0.144124,

304

0.138472,0.476331,0.736947,0.747623,0.52029,0.223879,0.0172696,-0.0153859,0.146636,0.454979,0.750763,0.897713,0.918437,0.841194,0.663472,0.353245,-0.00596607,-0.286678,-0.377737,-0.287934,-0.193107,-0.237695,-0.508987,-0.986888,-1.43025,-1.4202,-1.15268,-0.677916,-0.078813,0.505847,1.00008,1.29021,1.31909,1.142,0.844962,0.556714,0.416672,0.553574,0.751391,0.730667,0.52343,0.162336,-0.223879,-0.483867,-0.610093,-0.636469,-0.507103,...

Далі наведемо графічне зображення вхідної реалізації шуму

сейсмограми

1000;,;01,0;1,1),,( NNNkktsjst kjjk (час

t від 0 до 20 секунд) пункту спостереження PNT1 за напрямком Z.


-10 -5 5 10

-8000

-6000

-4000

-2000

2000

4000

t, с

Рис. 5.1.2.2. Зображення вхідної реалізації шуму сейсмограми

305

1000;,;01,0;1,1),,( NNNkktsjst kjjk (час t

від 0 до 20 секунд) пункту спостереження PNT1 за напрямком Z.

Перед застосуванням наведених масивів в алгоритмі

перевіримо їх на відповідність гауссівському розподілу, побудувавши діаграми, які зображено на наступних рисунках.

Кількість випадків Кількість випадків

, а) б) Рис. 5.1.2.3. а), б) . Діаграми для вхідних даних центрованих

та нормованих BUG3 та PNT1 відповідно за напрямком Z. Зображені діаграми наведених масивів показують подібність

параметрів гауссівського розподілу, тому доцільно використовувати значення двох центрованих та нормованих масивів даних шумів в сейсмограмах в алгоритмі для

306

генерування реалізації випадкового поля st, в точках

2/1,1000,1000,, jjk skst .

Наведемо приклади фрагменту масиву реалізації випадкового

поля шуму ;1000,1000;2/1),,( ksst jjk , обчисленого за

формулою (6.2.3.9)) із використанням попередніх двох центрованих та нормованих масивів даних пунктів спостереження BUG3 та PNT1 за напрямком Z. Цей масив є реалізацією випадкового поля шуму в сейсмограмі, яку можна було би отримати в уявному пункті спостереження, який знаходиться між пунктами спостереження BUG3 та PNT1 та рівновіддалений від них.

Фрагмент вихідного масиву даних отриманих реалізацій за

напрямком Z для пункту спостереження, рівновіддаленого від пунктів BUG3 та PNT1, який теоретично знаходиться між ними:

0.612326,0.380677,0.0549535,-0.256388,-0.671734,-0.922505,-

0.830897,-0.740529,-0.604602,-0.50013,-0.59036,-0.442017,0.0661736,0.646496,1.09643,1.31669,1.23237,0.895118,0.44426,0.0673423,-0.322178,-0.541542,-0.672636,-0.712583,-0.620203,-0.642665,-0.730176,-0.911979,-1.05503,-0.959434,-0.675591,-0.0691205,0.436846,0.695154,0.894333,0.905813,0.784548,0.740661,0.698803,0.426725,0.0427105,-0.241005,-0.63331,-1.07002,-1.39232,-1.52309,-1.73894,-1.90225,-1.78442,-1.3102,-0.731411,-0.37868,-0.106112,0.00669347,-0.131839,-0.0933614,0.210405,0.603756,0.811922,1.06992,1.33195,1.26899,0.826701,0.240452,-0.40291,-0.970097,-1.33514,-1.32755,-0.900057,-0.514168,-0.30348,-0.233086,...

Отримано реалізацію випадкового поля шуму в сейсмограмі

при s=1/2 є реалізацією випадкового процесу. Графічне зображення такої реалізації,

випадкового процесу

307

;1000,1000;2/1),,( ksst jjk шуму в сейсмограмі, що

досліджується, наведено на наступному рисунку.


-10 -5 5 10

-6000

-4000

-2000

t, c Рис. 5.1.2.4. Зображення згенерованої реалізації шуму

сейсмограми (реалізація поля при

308

sj=1/2) 1000;,;01,0;2/1),,( NNNkktsst kjjk , де час t

від 0 до 20 секунд. Перевіримо згенерований за алгоритмом масив реалізації

випадкового поля шуму в сейсмограмі при sj=1/2 на відповідність гауссівському розподілу, побудувавши діаграму, яка зображена на наступному рисунку.


Рис. 5.1.2.5. Гістограма вихідної центрованої та нормованої

реалізації (реалізація поля при sj=1/2) для пункту спостереження між пунктами BUG3 та PNT1 за напрямком Z.

Наведена діаграма масиву реалізації випадкового поля шуму

в сейсмограмі при sj=1/2 вказує на подібність параметрів гауссівського розподілу до діаграм (рис. 5.1.2.3 ) двох

309

центрованих та нормованих масивів даних шумів в сейсмограмах .

Статистичний аналіз згенерованої реалізації випадкового поля шуму в сейсмограмі при sj=1/2 підтверджує її адекватність вхідним даним.

Змодельвана реалізаця може бути отримана за вказаним алгоритмом і моделлю (6.2.3.9) при підборі кроку дискретизації: Δt=1/α, де параметр α – це межа інтервалу[-α,α], в якому

зосереджено спектр випадкового поля ),( st

. Аналогічно крок дискретизації підбирається по змінній s. Адекватність відтворення поля у такій кількості відліків слідує із теореми Шеннона.

Для графічної інтерпретації змодельованого випадкового поля шуму в сейсмограмі було побудовано в програмі Surfer каркасну карту за фрагментами із трьох отриманих і наведених вище реалізацій випадкового поля. Кожен із фрагментів містить по 100 перших відліків цих реалізацій. Візуалізація вихідних даних показує відповідність між цими реалізаціями.

( , )k jt s

310

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y x

Рис. 5.1.2.5. Поверхня реалізації ( , )k jt s випадкового поля шуму в

сейсмограмі за напрямком Z., побудована в точках

0,1 / 2,1; 0,01; 1, ; 100.j ks t k k N N

311

Вправи 1. Підібрати, відповідно до заданої точності моделювання

= 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, натуральні числа N та M, які задовольняють умові (5.2.2.12), для заданого гауссівського випадкового поля (t,s) на двовимірній області спостережень із властивістю стаціонарності та з обмеженим спектром по кожній змінній.

2. За алгоритмом 3 підрозділу 5.2.2 на основі моделі

(5.2.2.9) згенерувати реалізацію заданого випадкового поля (t,s)

в точках , ,i jt s ti=i Δt, tі[0,T] ( і=0,…, р; р=10, 20, 30, 40, 50);

sj=j Δs, sj[0,S] ( j=0,…, d; d=10, 20, 30, 40, 50). При цьому використати згенеровану послідовність гауссівських випадкових величин, які мають задані

статистичн , , , ; ,k m k N N m M M і характеристики:

математичне сподівання та дисперсії. 3. Перевірити згенеровану реалізацію заданого випадкового

поля (t,s) на двовимірній області спостережень на адекватність.

312

-------------------------------------------------------------- Розділ 6 Статистичне моделювання випадкових полів з

просторово-часовими координатами -------------------------------------------------------------- При вивченні явищ і показників, які залежать від просторово-

часових координат, часто буває важко, а іноді й зовсім неможливо визначити закономірності їх змінюваності на основі фізичних процесів, які обумовлюють ці явища. Нескладні фізичні методи дають можливість побудувати відносно просту модель загального тренда. При деталізації опису даних спостережень спостерігається різке збільшення числа параметрів. Такі складні детерміновані моделі не дають інформації про характер статистичної залежності всередині масиву даних досліджень, а також про їх просторово-часовий розподіл. Ця інформація складається із закономірностей самого явища та впливу різних зовнішніх чинників на показники вимірювань, які отримано в результаті спостережень. Альтернативний підхід – статистичний опис просторово-часового розподілу даних, який несе в собі інформацію як про сам процес дослідження, так і про параметри зовнішніх впливів. Такий метод розробляли вчені Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], В.В. Дем’янов, Е.А. Савель’єва [55], З.О. Вижва [21, 23, 24], З.О Вижва, К. В. Федоренко [35, 37, 38, 219], З.О. Вижва, К.В Федоренко, А.С. Вижва [37, 38, 200-202].

В шостому розділі для випадкових полів з обмеженим спектром на циліндрі за теоремою Шеннона побудовано алгоритм статистичного моделювання таких полів. Також, для статистичного моделювання однорідних за часом ізотропних випадкових полів з обмеженим спектром на сфері застосовано розклад Шеннона таких випадкових полів у вигляді ряду із значень цих полів на деякій послідовності рівновіддалених моментів часу.

313

В цьому розділі також розглянуто задачі статистичного моделювання реалізацій випадкових полів з обмеженим спектром, які залежать від часу та задані на дво- та тривимірних просторових областях із прикладами таких полів.

6.1. Теорема Котельникова-Шеннона для випадкових

полів на циліндрі

В підрозділі вивчаються дійснозначні випадкові поля (t,) де tR=(-,), S2 (S2 – одиничне коло на площині), ізотропні по змінній 99. Встановлюється, що коефіцієнти Фур`є k(t), k(t) в розкладі (t,) по змінній є взаємно некорельованими процесами. Вивчаються випадкові поля однорідні по змінній t та ізотропні по змінній . Для випадкових полів з обмеженим спектром встановлюється аналог теореми Шеннона. Розглядається проблема апроксимації однорідних випадкових полів на RS2 випадковими полями з обмеженим спектром.

6.1.1. Випадкові поля на циліндрі Ми будемо розглядати дійснозначні випадкові поля (t,), де

tR=(-,), 0,2, з нульовим математичним сподіванням, періодичні з періодом 2 за змінною та ізотропні за змінною . Це означає, що

( , ) ( , ) ( , , ).t s B t s1 2 1 2 (6.1.1.1)

Із періодичності (t,) по змінній випливає, що функція

В(t, s,) по змінній є періодичною з періодом 2 і парною. Будемо робити припущення також, що випадкове поле (t,) неперервне в середньому квадратичному : тоді функція В(t, s,) буде неперервною функцією по сукупності змінних. Нехай виконується умова:

( , ) .t2

314

Однорідне по часові випадкове поле на циліндрі

розглядалось в роботах: М.П. Моклячука 73, Н.И. Архиезера 4, P. Роч 182, а в роботі М.П. Моклячука, М.Й. Ядренка 72 розглядались однорідні по часові випадкові поля на RSn, де Sn – сфера в n-вимірному евклідовому просторі (n2) .

Pозглянемо розклад випадкового поля (t,) в ряд Фур`є по змінній :

,sin)(cos)()(2

1),(

10

k

kk ktkttt (6. 1.1.2)

де

k t t k d( ) ( , ) cos .

1 (6. 1.1.3)

k t t k d( ) ( , ) sin .

1(k0,1,2,...) (6. 1.1.4)

Інтеграли в правих частинах рівностей (6.1.1.3) та (6.1.1.4)

маються на увазі в середньоквадратичному значенні (див. 48). Із припущення, що M(t,)=0, випливає наступне:

k t( ) , 0 k t( ) , 0

Теорема 1. Якщо(t,) – ізотропне по випадкове поле на циліндрі, то

k r kr

kt s b t s( ) ( ) ( , ), (6.1.1.5)

k r kr

kt s b t s( ) ( ) ( , ), (6.1.1.6)

315

k rt s( ) ( ) , 0 (6.1.1.7)

де kr – cимвол Кронеккера, а bk(t,s) (k=0,1,...) – послідовність

додатньо визначених ядер на RR така, що виконується умова:

b t tkk

0

( , ) . (6.1.1.8)

Коваріаційна функція випадкового поля (t,) допускає

розклад в ряд:

),(),(),,( 2121 ststB

0 1 21

1( , ) ( , ) cos ( ),

4 kk

b t s b t s k

(6.1.1.9)

де

b t s B t s k dk ( , ) ( , , ) cos .

1

(6.1.1.10)

Доведення наведено в роботі 99. Зазначимо, що

B t s k d( , , ) sin ,

0

в силу парності функції В(t,s,) по . Рівність (6.1.1.9) слідує із (6.1.1.2), (6.1.1.5) – (6.1.1.7). Умова

(6.1.5.8) слідує із припущення ( , )t2 . Зазначимо, що

( , ) ( , ) ( , ) ( , ).t D t b t t b t tkk

20

1

1

4

(6.1.1.11)

316

6.1.2. Приклади кореляційних функцій випадкових

полів на циліндрі Приклад 1. Нехай b(t,s) – довільне додатньо визначене ядро

на RR, a ck– послідовність невід`ємних чисел така, що

.0

kkc

Покладемо в (6.1.5.9) bk(t,s) = ck b(t,s). Тоді маємо, що функція

)(cos4

),(),,( 211

021 kc

cstbstB

kk (6.1.2.1)

є кореляційною функцією випадкового поля на циліндрі

RS2.

Приклад 2. Нехай b(t – s) – довільне додатньо визначене ядро на RR, таке, що b(0) 0. Нехай також 0 q R. Покладемо в (6.1.5.9)

b t s jb t s

bkk

k

( )

( ).

0

Тоді bk(t – s) – послідовність додатно визначених ядер і

виконується умова: bk(t–1) 1, оскільки в силу нерівності Коші-Буняковського b(t – s)b(0). Використовуючи рівність 1.447 із 52, отримаємо наступну рівність:

20 cos21

cos1cos

pxp

xpkxpk

k

( p 1),

та одержимо, що функція

317

)(cos)0(

)(

)0(

)(

4

1),,( 21

121 k

b

stbj

b

stbstB

k

k

k

1

4 0

0

0 2 01 2

2

21 2

2

b t s

b

jb t s b j b t s

b jb t s b j b t s

( )

( )

( ) ( ) cos( ) ( )

( ) ( ) ( ) cos( ) ( )

(6.1.2.2)

є кореляційною функцією випадкового поля на. RS2 .

6.1.3. Однорідні за часом випадкові поля на циліндрі

Випадкове поле (t,), будемо називати однорідним за

часом, якщо B t s B t s( , , ) ( , ). 1 2 1 2 (6.1.3.1)

В цьому випадку процеси k(t), k(t) є взаємно

некорельованими стаціонарними процесами та із відомих фактів спектральної теорії стаціонарних процесів (див. 49 , розд. IV ) випливає наступне твердження.

Теорема 2. Випадкове поле (t,) на циліндрі RS2 , ізотропне по та однорідне за часом, має вигляд:

)(

2

1, 0 dZet ti

,)(sin)(cos1

21

kk

tik

ti dZekdZek

(6.1.3.2)

де Z0( ), Zk1( ), Zk2( ) – набори взаємно некорельованих комплекснозначних випадкових мір на (-,+) (будемо

318

називати їх випадковими спектральними мірами) таких, що для будь-яких борелівських множин S1 і S2 із R:

)(,)()( 2121 SSFSZSZ klj

rkrk lj

(6.1.3.3)

(k = 0, 1, 2,...; r = 0, 1,...; j = 1, 2; l = 1, 2),

а Fk( ) – послідовність невипадкових спектральних мір на (-, ). При цьому має місце рівність:

).()(),( )( dFestbstb ksti

kk

(6.1.3.4)

де ,...)2,1,0()( kstbk – коефіцієнти розкладу в ряд Фур’є

кореляційної функції ізотропного по та однорідного по часові випадкового поля (t,) на циліндрі RS2.

Кореляційна функція однорідного по часові та ізотропного по випадкового поля (t,) на циліндрі RS2 має вигляд:

),(),(),( 2121 ststB

).(cos)()(4

121

1

)(0

)(

kdFedFek

kstisti

(6.1.3.5)

6.1.4. Однорідні за часом випадкові поля з обмеженим спектром

Означення. Випадкове поле (t,) на RS2 будемо називати

полем з обмеженим спектром, якщо всі спектральні міри Fk(.)

зосереджені на деякому інтервалі ~, ~ .c c

319

Скористаємось наступним твердженням, яке ми вже наводили у попередніх параграфах і яке належить Ю.К.Бєляєву 8.

Лема 1. Якщо (t) – стаціонарний процес, спектральна

функція якого зосереджена на ~, ~ .c c і с> ~c ,а

,sin

)(

cl

tc

cl

tc

c

lt

n

nln

(6.1.4.1)

то

,~1

)()()( 2

2

2

22

ccn

ttt n

(6.1.4.2)

де

,14

)(

t

c

t ).(2 tD

Нехай(t,) – однорідне за часом та ізотропне по випадкове

поле на RS2 з обмеженим спектром, зосередженим на - ~, ~c c . Нехай також с – будь-яке число, с ~c . Покладемо :

,sin

,),(

cl

tc

cl

tc

c

lt

n

nln

(6.1.4.3)

Тоді має місце твердження. Теорема 3. Справедлива наступна нерівність:

320

.)0(4

1~

1

1)(),(),(

1022

22

kkn bb

ccn

ttt

(6.1.4.4)

Доведення теореми наведено в роботі 99. Наслідок 1. Для випадкового поля (t,) на циліндрі з

обмеженим спектром має місце розклад Шеннона:

.sin

,),(.

..

cl

tc

cl

tc

c

lt

l

(6.1.4.5)

де ряд в правій частині (6.1.5.20) збігається в середньому квадратичному.

6.1.5. Про апроксимацію випадкових полів, однорідних за часом, випадковими полями з обмеженим спектром

Нехай ~cn – довільна послідовність така, що ~cn і сn .nc

Нехай mn – деяка послідовність натуральних чисел, причому mn+.

Розглянемо випадкове поле:

.

sin

,),(,

nn

nnm

ml nmn

cl

tc

cl

tc

c

lt

n

n

n

(6.1.5.1)

Теорема 4. Припустимо, що виконуються умови:

321

1) c

mn

n

0 , при n ; (6.1.5.2)

2) 1~

n

n

c

c , при n ; (6.1.5.3)

Тоді має місце наступне твердження:

.0),(),(2

, ttnmn при n .

Доведення теореми наведено в роботі 99. Зауважимо, що теорема 4 є аналогом одного результату Т.

Погані із 174, встановленого для стаціонарних процесів.

6.1.6. Статистичне моделювання однорідних за часом ізотропних випадкових полів на циліндрі

Наведені вище розклади Шеннона (6.1.4.1) однорідних за

часом та ізотропних по випадкових полів з обмеженим спектром на RS2 можна використати для статистичного моделювання таких випадкових полів із заданими статистичними характеристиками.

Для побудови моделі гауссівських полів, що розглядаються, використаємо часткову суму ряду (6.1.4.1) виду (6.1.4.3) та часткову суму розкладу випадкового поля (t,) в ряд Фур`є по змінній у формі (6.1.1.2). Сконструйована модель матиме вигляд:

.sin

sincos2

1),(

10,

cn

tc

cn

tck

c

nk

c

n

c

nt

N

Nn

M

kkkMN

(6.1.6.1)

322

Оскільки справедлива оцінка середньоквадратичного наближення (6.1.4.4) однорідного за часом та ізотропного по випадкового поля (t,) на RS2 з обмеженим спектром частковою сумою (6.1.4.3), то, враховуючи скінченність межі підсумовування по параметру m в моделі (6.1.4. 4), можна таку оцінку уточнити до наступної:

.)0(4

1~

1

1)(),(),(

1022

22

,

МmmMN bb

ccN

ttt

(6.1.6.2)

Далі скористаємось оцінкою (1.2.3) середньоквадратичного наближення 2-періодичного стаціонарного випадкового процесу частковими сумами (1.2.1) ряду Фур'є із першого розділу та отримаємо наступне:

2

1

2 ( 1)(0) ,

( 1)

, 2

M m k km М

M kb K

M k

M k

(6.1.6.3)

де k – індекс класу функцій Dk, ),(max 21)(

20

stBK kk

–

максимум k-ї похідної від кореляційної функції

),( 21 stB випадкового поля (t,) на RS2, а

коефіцієнти ,...)2,1,0()0( mbm визначаються за формулою

(6.1.3.4):

),()0( dFb kk

(6.1.6.4)

323

де Fk(. ) – послідовність невипадкових спектральних мір на (-, ).

Тоді оцінка (6.1.4.4) середньоквадратичного наближення однорідного за часом та ізотропного по випадкового поля (t,) на RS2 з обмеженим спектром моделлю (6.1.6.1) буде така:

22

, 22

( ) 1 2( 1)( , ) ( , ) ,

( 1)1

2 .

N M k k

t M kt t K

N M kcc

k

(6.1.6.5)

Опишемо побудований на основі моделі (6.1.6.1) та оцінки (6.1.6.5) середньоквадратичного наближення однорідних за часом ізотропних по випадкових полів (t,) на циліндрі RS2 з обмеженим спектром алгоритм для моделювання реалізацій таких випадкових полів, які розподілені за гауссівським законом.

Алгоритм 1

1) Вибираємо, відповідно до необхідної точності ε>0,натуральні числа N та M для моделі (6.1.6.1) за допомогою нерівності:

.2,)1(

)1(2~

1

1)(22

2

kkM

kMK

ccN

tkk

(6.1.6.6)

2) Моделюємо послідовності гауссівських випадкових

величин:

324

,,0,,,, MkNNnc

n

c

nkk

що задовольняють умовам

),()()( stbst krkrk (6.1.6.7)

),()()( stbst krkrk (6.1.6.8)

k rt s( ) ( ) , 0 (6.1.6.9)

3) Обчислюємо вираз (6.1.6.1) в заданій точці (t,) RS2.,

підставляючи в нього обчислені за попередніми пунктами 1 та 2 величини N та M і послідовність гауссівських випадкових величин.

4) Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового

поля ),( t на адекватність даним цього випадкового

поля шляхом порівняння відповідних статистичних характеристик.

На основі розкладу [99] Шеннона для однорідних за часом t та ізотропних випадкових полів (t,х) (0≤ t ≤Т, 0≤ х ≤Х) по х на циліндрі RS2 одиничного радіуса з обмеженим спектром, зосередженим на ~,~ , побудовано модель [20], яку

узагальнено на циліндр RS(Х)2 довільного радіуса Х/2π. Така

модель ),(~

, xtMN має вигляд ряду:

325

, 0

sin1

( , ) 2

N

N Mk N

nt

kt x

nt

(6.1.6.10)

1

cos sin ,M

k km

k m x k m x

Х Х

де α – (α ~ ) параметр, який визначається за частотою

Найквіста, ,,0,,,, MmNNkkk

kk

−

послідовності гауссівських випадкових величин що задовольняють умовам:

),()()( stbst krkrk

(6.1.6.11)

),()()( stbst krkrk ,0)()( st rk

де ,...)2,1,0()( kstbk – коефіцієнти розкладу в ряд Фур’є

кореляційної функції ),( 21 xxstB ізотропного по х та

однорідного за часом t випадкового поля (t,х) на циліндрі RS(Х)2 , які можна визначити за формулою:

).()( )(

dFestb ksti

k (6.1.6.12)

де Fk( ) – послідовність невипадкових спектральних мір на (-α, α).

Із [18, 20] та [81] випливає, що оцінка середньоквадратичного наближення однорідного за часом та ізотропного по х випадкового поля (t,х) на циліндрі RS(Х)2 з обмеженим спектром моделлю (7. 1.6.10) буде така:

326

.2,)1(

)1(2

)12(

)0(4),(

~),(

2

2

,

p

рM

рMXK

N

Bxtxt

р

p

рMN

(6.1.6.13)

де Х – довжина просторового інтервалу, р – індекс класу функцій Dp

,тобто функцій, для яких існують похідні до

порядку р–1 включно і похідна р–1 порядку B(р-1)() абсолютно неперервна, а р-та похідна B(р)() – підсумовувана та обмежена;

),(max 21)(

20

xxstBK рр

– максимум р-ї похідної

від кореляційної функції ),( 21 xxstB випадкового поля

(t,х) на RS(Х)2, а В(0) – дисперсія випадкового поля(t,х).

Потрібно зауважити, що циліндрична форма області змінних випадкових полів означає те, що за часом t поле – однорідне, а за змінною x (ізотропність) – періодичне, тобто його кореляційну функцію по просторовій змінній х можна періодично продовжити із періодом, рівним інтервалу кореляції.

Опишемо побудований на основі моделі (6.1.6.10) та оцінки (6.1.6.13) середньоквадратичного наближення однорідниого за часом ізотропного по х випадкового поля (t,х) з обмеженим спектром на циліндрі RS(Х)2 алгоритм для моделювання реалізацій таких випадкових полів, які розподілені за гауссівським законом.

Алгоритм 2

1) Вибираємо, відповідно до необхідної точності ε>0,

натуральні числа N та M для моделі (6.1.6.10) за допомогою нерівності:

.2)1(

)1(2

)12(

)0(42

p

рM

рMXK

N

Bр

p

р

327

де рK – максимум р-ї похідної для кореляційної функції

),( 21 xxstB випадкового поля (t,х) на циліндрі RS(Х)2.

2) Моделюємо послідовності гауссівських випадкових

величин ,,0,,,, MkNNkkk

kk

що

задовольняють умовам (6.1.6.11).

3) Обчислюємо вираз (6.1.6.10) в заданій точці (t,х) на RS(Х)2, підставляючи в нього обчислені за пунктом 1) величини N та M і згенеровані за пунктом 2) послідовності гауссівських випадкових величин:

, , , , 0,k k

k kk N N k M

.

4) Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового

поля (t,х) на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння відповідних статистичних характеристик.

За наведеним алгоритмом можна змоделювати реалізацій

випадкових полів, які однорідні за змінною t (час) та ізотропні за просторовою координатою х, та мають обмежений спектр. Такими полями можуть бути масиви шумів у сейсмограмах, які отримано одночасно в пунктах сейсмічних спостережень, розташованих на деякій відстані х один від одного. Алгоритм 2 має деякі переваги над алгоритмом, запропонованим у роботі [38], оскільки відліки реалізацій даних за просторовою змінною х можуть бути задані на нерівномірній решітці, але при цьому потрібно, щоб випадкове поле (t,х) за змінною х було періодичне.

328


однорідного за часом ізотропного по х випадкового поля (t,х) з обмеженим спектром на циліндрі RS(Х)2 із кореляційною функцією:

а) (6.1.2.1); b) (6.1.2.2). 8. Визначити числа N та M для моделі (6.1.6.10), які

відповідають точності моделювання = 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, для кореляційних функцій 1 – 2 із попереднього завдання.

3 Отримати реалізації за побудованим в п. 1 алгоритмом

однорідного за часом ізотропного по х випадкового поля (t,х) з обмеженим спектром на циліндрі RS(Х)2 з кореляційними функціями 1-2 із п. 1.

4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій однорідного за часом ізотропного по х випадкового поля (t,х) з обмеженим спектром на циліндрі RS(Х)2 за допомогою стандартних пакетів програм знайти оцінку кореляційної функції В(t-s,1-,2)* та визначити:


функції В(t-s,1-,2)* від кореляційної функції В(t-s,1-,2)

випадкового поля з обмеженим спектром на циліндрі; b) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної

функції В(t-s,1-,2)* від кореляційної функції В(t-s,1-,2) випадкового поля з обмеженим спектром на циліндрі.

329

6.2. Теорема Шеннона для однорідних за часом ізотропних випадкових полів на сфері та статистичне

моделювання

В параграфі розглядається розклад Шеннона для однорідних за часом ізотропних випадкових полів на сфері, побудований в роботі [100]. Встановлена гранична теорема про апроксимацію таких випадкових полів полями з обмеженим спектром. Наведена оцінка середньоквадратичної швидкості збіжності таких розкладів. Побудовано модель та сформульовано алгоритм статистичного моделювання гауссівських випадкових полів на сфері з наперед заданими характеристиками.

Розглядаються дійснозначні випадкові поля (t,u), де t (–,), u Sn, де Sn – одинична сфера в n-вимірному евклідовому просторі Rn.

6.2.1. Деякі відомості із теорії сферичних функцій Нехай Sn – одинична сфера в n-вимірному евклідовому

просторі, (1,...,n-2, ) – сферичні координати точки x Sn, Sm

l(1,...,n-2, ) – ортонормовані сферичні гармоніки степеня m (l = 1, 2,..., h (m,n)),

!)!2(

)!3()22(),(

mn

nmnmnmh

(6.2.1.1)

– число лінійно незалежних сферичних гармонік степеня m (відносно властивостей сферичних гармонік див., наприклад, 7).

Нехай Сm(z) – многочлени Гегенбауера, які визначаються

генератрисою:

( ) ( ) .1 2 2

0

zt t C z tmm

m (6.2.1.2)

330

Ми будемо використовувати наступні два важливих твердження із теорії сферичних функцій.

Теорема додавання для сферичних гармонік. Для будь-яких двох точок x1 та x2 із Sn

2

( , ) 2

1 2 21 2

(cos )( , )( ) ( ) ,

(1)

nh m n

l l mm m n

l nm

Ch m nS x S x

C

(6.2.1.3)

де соs ψ = cos<x1,x2> = (x1,x2) – «кутова» відстань між точками x1 та x2,

2

2 2

n

n

n

– площа поверхні одиничної сфери Sn. (6.2.1.4)

Теорема Функе - Гекке. Якщо (v) – неперервна функція на [-1, 1], то для будь-якої

точки хSn і будь-яких m, l: m 0, 1 l h (m, n) виконується рівність:

(cos , ) ( ) ( ) ( ), x y S y m dy b S xml

Sn m m

l

n

(6.2.1. 5)

b

C

t C t t dtmn

m

n m

n n

1

2

2

2

2

1

12

2

2

1

1

( )

( ) ( )( ) , (6.2.1.6)

де mn( ) – Лебегова міра на Sn..

6.2.2. Випадкові поля на R Sn

Нехай (t, 1,..., n-1, ) – дійснозначне випадкове поле на R Sn, де R = (-,). Припустимо, що (t, 1,..., n-1, ) – неперервне в середньому квадратичному і 2(t, 1,..., n-1, ).

331

Випадкове поле (t, 1,..., n-1, ) будемо називати ізотропним випадковим полем на сфері , якщо t,u) = const , u = 1,..., n-1, Sn (будемо робити припущення надалі, що t,u)=0), а кореляційна функція ізотропного випадкового поля на сфері t,u) буде така:

),,cos,,(),(),( ustBsut (6.2.2.1)

де (1,..., n-1, )=u , .~,~

,...,~

11 n

Mає місце спектральний розклад ізотропного випадкового поля на сфері.

Теорема 1. Випадкове поле (t,u) ізотропне по просторовій змінній на сфері Sn має вигляд:

),()(),(),(

10

uStut lm

nmh

l

lm

m

(6.2.2.2)

де ),(,...,2,1,...;1,0),( nmhlmtlm послідовність

випадкових процесів така, що

ml

ml

mm

ll

mt s b t s( ) ( ) , ,'' ' ' (6.2.2.3)

а bm(t, s) – деяка послідовність додатно визначених ядер на RR, така, що

0

( , ) ( , ) , ( , ) ( ).lm m m

m

h m n b t t b t t D t

(6.2.2.4)

Кореляційна функція випадкового поля(t,u), ізотропного по просторовій змінній на сфері , має вигляд:

332

2

2

20 2

(cos , )1( , , cos , ) ( , ) ( , ).

(1)

n

mmn

mnm

C uB t s u h m n b t s

C

(6.2.2.5)

Доведення теореми наведено в роботі [100]. Зауважимо, що в цьому випадку спектральні коефіцієнти

можна виразити через кореляційну функцію B(t,s,x) випадкового поля (t,u) формулою:

1 2 3

2 21 2 22

12

( , ) ( , , ) ( ) (1 ) .

(1)

n nn

m mn

m

b t s B t s x C x x dx

C

(6.2.2.8)

Решта тверджень теореми є наслідком (6.2.2.6), (6.2.2.7) та

теореми додавання для сферичних гармонік. Випадкове поле (t,u) називається однорідним за часом

ізотропним полем на сфері, якщо:

).,cos,(),(),( ustBsut (6.2.2.9)

В цьому випадку всі випадкові процеси ml t( ) є

стаціонарними, причому у випадкових процесів ml t( ) (l = 1, 2,

..., h(m,n)) спектральні міри Fm() співпадають. Має місце представлення

).()( )( m

stim dFestb

(6.2.2.10)

Наведемо приклади кореляційних функцій випадкових полів

на RSn . Приклад 1. Нехай n>2 та b(t,s) має вигляд:

333

24

, ( , ) ,2

( )(2 2)2

n

kkb t s t s

nГ k n

де γ(t,s) – довільне додатньо визначене ядро на RR, таке, що γ(0,s)=0 при всіх s. Тоді, використовуючи (6.2.2.5) та вираз (13) із [109, с.76], маємо, що функція

22 2( , , cos , ) [1 2 ( , ) cos , ( , )]

n

B t s u t s u t s

(6.2.2.11)

є кореляційною функцією випадкового поля на RSn.

Приклад 2. Нехай n>2, 0a1 та b(t,s) має вигляд:.

24

, ( , ) ,2

( )(2 2)2

n

kkb t s a t s

nГ k n

Тоді, використовуючи (6.2.2.5) та вираз (14) із [109, с.76],

маємо, що функція 2

2 2( , ,cos , ) ( , )[1 2 cos , ]n

B t s u t s a u a

(6.2.2.12)

є кореляційною функцією випадкового поля на RSn.

6.2.3. Однорідні за часом випадкові поля з обмеженим

спектром Означення. Випадкове поле (t,u) на RSn будемо називати

полем з обмеженим спектром, якщо всі спектральні міри Fm(.) зосередженні на деякому інтервалі [- ~,~c c ].

334

Скористаємось наступним твердженням, яке розглядалось в параграфі 5.1.1. Воно належить Ю.К.Бєляєву 8.

Лема. Якщо (t)– стаціонарний процес , спектральна функція

якого зосереджена на - ~,~c c і с ~c , а

,sin

)(

cr

tc

cr

tc

c

rt

N

NrN

(5.2.3.1)

то

,~1

)()()( 2

2

2

22

ccN

ttt N

(5.2.3.2)

2 D t( ).

Відзначимо, що функцію (t) ми подаємо в уточненому порівняно з 8 вигляді:

.14

)(

t

ct

Нехай (t,u) – однорідне за часом та ізотропне випадкове

поле на R Sn із обмеженим спектром, зосередженим на [- cc ~,~ ].

Нехай с також будь-яке число, с ~c . Покладемо

.sin

,,....,,),,...,,( 1111

cr

tc

cr

tc

c

rt

N

NrnnN

(6.2.3.3) Тоді має місце твердження. Теорема 2. Справедлива така нерівність:

335

2

1 1 1 1

20

22

( , ,..., , ) ( , ,..., , )

( , ) ( , )( ).

1

n N n

mm

n

t t

h m n b t tt

N cc

(6.2.3.4)

Доведення теореми наведено в роботі [100]. Зауважимо, що у нашому випадку:

2

01 1

10

n

mm

nh m n b D t( , ) ( ) ( , , ... , , ).

Наслідок. Для випадкового поля (t,1,...,n-1,) на RSn з

обмеженим спектром має місце розклад Шеннона:

1 1 1 1

sin( , ,..., , ) , ,...., , .n n

r

rc t

r ct

rc c tc

(6.2.3.5)

де ряд в правій частині (6.2.3.5) збігаєтьcя в середньому квадратичному, с ~c .

6.2.4. Про апроксимацію однорідних за часом випадкових полів випадковими полями з обмеженим спектром

Нехай ~cN – довільна послідовність така, що ~cN , і

c cN N ~ , а mN - деяка послідовність натуральних чисел,

причому mN .

336

Розглянемо випадкове поле:

, 1 1 1 1

sin

( , ,..., , ) , ,...., , .N

N

N

NNmN

N m n nr m N

NN

rc t

crt

c rc t

c

(6.2.4.1)

Теорема 3. Припустимо, що:

а) c

moN

N

, при N ;

б) ~c

mN

N

1 , при N .

Тоді

( , ,..., , ) ( , ,..., , ),t tn N m nN1 1 1 1

20 ,

при N .

Доведення теореми наведено в роботі [100]. Отримані результати узагальнюють результати роботи [99].

Ідея апроксимації процесів з необмеженим спектром процесами з обмеженим спектром належить Тібору Погані [173] .

6.2.5. Статистичне моделювання однорідних за часом

ізотропних випадкових полів на сфері Наведені вище розклади Шеннона (6.2.3.5) однорідних за

часом ізотропних випадкових полів на сфері можна використати для статистичного моделювання таких випадкових полів із заданими характеристиками. Зауважимо, що алгоритм моделювання гауссівського ізотропного випадкового поля на

337

одиничній сфері в тривимірному просторі побудовано в роботі 53.

Для побудови моделі гауссівських однорідних по часові ізотропних випадкових полів на сфері використаємо часткову суму ряду (6.2.3.5) виду (6.2.3.3) та спектральний розклад випадкового поля (t,1,...,n-1,) на R Sn у формі (6.2.2.2).

Сконструйована модель матиме вигляд:

, 1 1

( , )

1 10 1

( , , , , )

sin( , , , ) .

N M n

h m nM Nl lm n m

m l r N

t

rc t

r cS

rc c tc

(6.2.5.1)

де

),()(0

)(

2

22

2

dzcr lm

r

rJ

nlm n

nm

(6.2.5.2)

де )),(,1((.) 0 nmhlZ mlm

– послідовність дійснозначних

випадкових мір з ортогональними значеннями , заданих на підмножинах Бореля із інтервалу

0,+ , таких, що виконуються умови:

1) ;0)( SZ lm

2) ),2,1,(),()()( 2121 jiSSSZSZ n

kj

inj

ki

для будь-яких борелівських множин S, S1 та S2 із інтервалу

0,+ , а 212

22

nn

n

nс

.

338

Оскільки справедлива оцінка середньоквадратичного наближення (6.2.3.4), то, враховуючи скінченність межі підсумовування по параметру m в моделі (6.2.5. 2), можна таку оцінку уточнити до наступної:

2

1 1 , 1 1

21

22

( , ,..., , ) ( , ,..., , )

( , ) ( , )( ).

1

n N M n

mm M

n

t t

h m n b t tt

N c

c

(6.2.5.3)

Врахуємо, що:

).,,...,,()0(),(1

110

2

nm

mn

tDbnmh

Наведемо частковий випадок такої оцінки з використанням

результатів дослідження апроксимації полів для тривимірної сфери S3 в частині 4цього посібника.

1

4 2 1 2

2

1(2 1)

4

85576 1 (2 3) (1 2 )1 ,

2 81675 (1 )

(0,1).

mm M

M M

b m

p p N p N p

p

р

(6.2.5.4)

Опишемо побудований на основі моделі (6.2.5.2) та оцінки середньоквадратичного наближення однорідних по часові ізотропних випадкових полів на сфері (6.2.4.3) алгоритм для

339

моделювання реалізацій таких випадкових полів із гауссівським розподілом.

Алгоритм

1) Вибираємо, відповідно до необхідної точності ε>0,

границі підсумовування – натуральні числа N та M для моделі (6.2.5.2) за допомогою нерівності (6.2.5.3):

.~1

),(),()(2

12

2

cc

ttbnmh

N

t

n

Mm m (6.2.5.5)

де ),(),( tDttb lmm .1

4)(

t

ct

2) Моделюємо послідовності гауссівських випадкових величин

),,(,1,,0,, nmhlMmNNrc

rlm

що

задовольняють умовам (6.2.2.3):

,~

,~ ~~~

~

c

r

c

rb

c

r

c

rm

ll

mm

lm

lm

(6.2.5.6)

3)Обчислюємо вираз (6.2.5.2) в заданій точці (t,1,...,n-1,) на R Sn., підставляючи в нього обчислені за попередніми пунктами 1 та 2 величини N та M і послідовність гауссівських випадкових величин. 4) Перевіряється згенерована в п. 3 реалізація випадкового

поля (t,1,...,n-1,) на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння статистичних характеристик.

340


однорідного за часом ізотропного випадкового поля з обмеженим спектром на сфері (t,u), де t (-,), u Sn, де Sn – одинична сфера в n-вимірному евклідовому просторі Rn із кореляційною функцією:

a) (6.2.2.11); б) (6.2.2.12). 2. Визначити числа N та M для моделі (6.2.5.1), які

відповідають точності моделювання = 10-2, 10-3, 10-4, 10-5, 10-6, для кореляційних функцій 1 – 2 із попереднього завдання.

3. Отримати реалізації за побудованим в п. 1 алгоритмом

однорідного за часом ізотропного випадкового поля з обмеженим спектром на сфері (t,u), де t (-,), u Sn з кореляційними функціями 1-2 із п. 1.

4. Для отриманих за пунктом 3 реалізацій однорідного за часом ізотропного випадкового поля з обмеженим спектром на сфері (t,u), де t (-,), u Sn за допомогою стандартних пакетів програм знайти оцінку кореляційної функції

( ,cos , )*В t s u та визначити: а) середньоквадратичне відхилення оцінки кореляційної

функції ( ,cos , )*В t s u від кореляційної функції

( ,cos , )В t s u випадкового поля з обмеженим спектром на сфері;

б) середнє абсолютне відхилення оцінки кореляційної функції

( ,cos , )*В t s u від кореляційної функції

( ,cos , )В t s u ) випадкового поля з обмеженим спектром на сфері.

341

6.3. Розклад Шеннона для однорідних за часом однорідних ізотропних випадкових полів за просторовими

координатами в двовимірному просторі та статистичне моделювання

Розглянуто задачу статистичного моделювання реалізацій

випадкових полів з обмеженим спектром, які залежать від часу та задані на області площини, для впровадження в сейсмологічні дослідження з потребами визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками. Побудовано модель та на основі оцінок похибок середньоквадратичного наближення таких випадкових полів цією моделлю сформульовано алгоритм для чисельного моделювання реалізацій полів, адекватних реалізаціям шуму сейсмограм.

Реалізації статистичного моделювання таких випадкових полів важливо використовувати на практиці для виділення сейсмічного шуму від зовнішнього впливу і для того, щоб отримати відповідні оцінки частотних характеристик геологічного середовища області спостереження на площині. Вказані оцінки необхідно враховувати при будівництві об'єктів різного призначення з метою забезпечення надійності споруд.

Застосування розкладів одновимірних та багатовимірних детермінованих функцій в ряди Фур’є, в ряди Фур’є-Бесселя та в ряди по синк-функціям (інтерполяційні формули Шеннона) до просторового вивчення сил тяжіння та земного геомагнетизму, спектрального вивчення геологічної будови земної кори, дослідженню вільних коливань Землі та сфероїдальних коливань при збудженні землетрусами використовувалось вже давно, наприклад, [6].

Моделі та алгоритми статистичного моделювання випадкових процесів та полів на основі розкладів в ряди широко використовується в геологічних науках порівняно недавно, наприклад: Е. Мантоглов, Джон Л. Вілсон [165], T. Гнеттінг [147], С. М. Пригарин [87], Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128], М.Й. Ядренко, З.О. Вижва [43], З.О. Вижва [20] та ін.

342

Розглянуто приклад застосування побудованих моделей та алгоритмів статистичного моделювання випадкових процесів та полів до задачі дослідження параметрів сейсмічного шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками на плоскій області спостереження.

6.3.1. Модель та алоритм

При статистичному моделюванні спостережених шумів

сейсмограм використовувався метод, розроблений на основі спектрального розкладу [109] та модифікованої теореми Шеннона для випадкових полів з обмеженим спектром, однорідних за часом та однорідних ізотропних за просторовими координатами на площині.

Вказано розклад у модифікований ряд Шеннона для таких випадкових полів та отримано оцінки їх середньоквадратичного наближення частковими сумами цього розкладу з використанням результатів А.Я. Оленка [82] та З.О. Вижви [20].

На основі такого розкладу побудовано модель у роботі З.О. Вижви [21] гауссівського однорідного за часом та однорідного ізотропного за просторовими координатами на площині випадкового поля (t,r,) на RR2 з обмеженим за часом t спектром, зосередженим на інтервалі - ~,~ , у вигляді:

,=

sin, , =

N

N Mk N

kt

t rk

t

(6.3.1.1)

0,1 ,1 ,2=1

, 2 , cos , sin ,M

m mm

k k kr r l r l

343

де – будь-яке число: ~ , де , ,m j

kr

значення

випадкових величин, що для усіх , = 0,1, , ,m p M

, = , ,k q N N , =1,2i j , r – фіксоване,

які задовольняють умовам:

, , 0,m j

kM r

(6.3.1.2)

, ,

( ), , , .j p

m i p j i m m

k q k qM r r b r

Причому, ),(

~rstbm − послідовність додатньо визначених ядер

на RR+, які можна обчислити за просторово-часовим спектром

,u випадкового поля (t,r,) та для яких виконується така

умова:

=1

( , )mm

b t s r

Вони мають наступний вигляд:

( ) 2

0

( , ) ( ) ,i t s um mb t s r e J r du d

(6.3.1.3)

де Jm(u) – функція Бесселя першого роду порядка m.

Розглянемо теореми, доведені в роботі З.О. Вижви та К.В.

Федоренко [199],про оцінки швидкості збіжності в середньому квадратичному апроксимації випадкового поля (t,r,) на RR2 однорідного за часом, однорідного ізотропного за просторовими змінними з обмеженим за часом t спектром моделлю (6.3.1.1).

344

Теорема 1 Нехай (t,r,) випадкове поле в просторі RR2, яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r та φ. Якщо спектр (t,r,) обмежений за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді має місце наступна оцінка швидкості

збіжності в середньому квадратичному апроксимації випадкового поля моделлю (6.3.1.1), а саме:

2

,

22

1 2 22

( , , ) ( , , )

2 1 ( ) 2(0, ).

21

N M

M

M t r t r

tr r B r

M N

(6.3.1.4)

де r – фіксоване, – будь-яке довільне число таке, що , а

функція 4= 1t t

та

0

= , ,kk du d

(6.3.1.5)

0=1

(0, ) = (0, ) 2 (0, ).M

M mm

B r b r b r (6.3.1.6)

Теорема доведена в [199]. Враховуючи результати роботи З.О. Вижви та

К.В. Федоренко, С.А. Вижви [200], отримаємо покращену оцінку:

345

2

,

22 0

1 2 22

( , , ) ( , , )

2 1 ( ) 2.

21

N MM t r t r

tr r

M N

Теорема 2. Нехай випадкове поле в просторі RR2, яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r та φ. Якщо спектр (t,r,) – обмежений за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді має місце наступна оцінка швидкості

збіжності в середньому квадратичному апроксимації випадкового поля моделлю (6.3.1), а саме:

2

,

2 22 0

1 2 2 2

( , , ) ( , , )

2 1 2 ( )(0, ),

2 ( )

N M

M

E t r t r

L tr r B r

M v N

(6.3.1.7)

де r та φ – полярні координати точки x, r – фіксоване,

0

2 2( ) = sin ,

1L t t

e

> = sup | |uv u – будь-яке

довільне число, k визначаються за формулою (6.3.1.5), а

(0, )MB r визначається за формулою (6.3.1.6).

Враховуючи результати роботи [200], отримаємо покращену оцінку:

346

2

,

2 22 0

1 2 02 2

( , , ) ( , , )

2 1 2 ( ),

2 ( )

N ME t r t r

L tr r

M v N

Теорема 3. Нехай (t,r,) випадкове поле в просторі RR2,

яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r та φ. Якщо спектр (t,r,) – обмежений за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді має місце наступна оцінка швидкості

збіжності в середньому квадратичному апроксимації випадкового поля моделлю (6.3.1.1), а саме:

2

,

2

1 2 2

( , , ) ( , , )

2 1 8(0, ),

2 (2 1)

N M

M

E t r t r

r r B rM N

(6.3.1.8)

де r та φ – полярні координати точки x, r – фіксоване, k

визначаються за формулою (6.3.1.5), а (0, )MB r визначається за

формулою (6.3.1.6). Враховуючи результати роботи [200], отримаємо покращену

оцінку:

347

2

,

2

1 2 02

( , , ) ( , , )

2 1 8,

2 (2 1)

N ME t r t r

r rM N

На основі наведених теорем сформульовано алгоритм

статистичного моделювання реалізацій гауссівських однорідних за часом та однорідних ізотропних за просторовими змінними на площині випадкових полів (t,r,) з обмеженим за часом t спектром.

Алгоритм


натуральні числа N та М для моделі (6.3.1) за допомогою однієї з наступних нерівностей:

2

21 2 022

2 1 ( ) 2,

21

tr r

M N

2 2

2 01 2 02 2

2 1 2 ( ),

2 ( )

L tr r

M v N

2

1 2 02

2 1 8.

2 (2 1)r r

M N

348

Моделюємо послідовності гауссівських випадкових величин (r –

фіксований полярний радіус) , ,m j

kr

значення випадкових

величин, що для усіх , = 0,1, , ,m p M , = , ,k q N N

, =1,2i j , при фіксованому r, які задовольняють умовам

(6.3.1.2). 2. Обчислюємо вираз (6.3.1.1) у заданій точці

2( , , ) [ , ]t r T T R підставляючи в нього обчислені за

попередніми пунктами 1 та 2 величини N та М і послідовності значень гауссівських випадкових величин.

3. Перевіряємо згенеровану за п. 3 реалізацію випадкового

поля (t,r,) у точках сітки в області спостереження на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння відповідних статистичних характеристик.

6.3.2. Приклад чисельного моделювання

В цьому прикладі розглянуто практичне застосування

розробленого алгоритму та моделі (6.3.1.1) для чисельного моделювання реалізацій дійснозначних однорідних за часом, однорідних ізотропних за змінними t,r, на RR2 випадкових полів (t,r,) з обмеженим спектром із просторово-часовою кореляційною функцією Bx(τ,ρ). При моделюванні випадкових полів із такою кореляцією можна скористатись підходом [Демьянов В.В., 2010], який розділяє просторову та часову компоненти за правилом добутку-суми

21 3, ,x x t x tk k kB B B B B (6.3.2.1)

349

де k1, k2, k3 – коефіцієнти, які можна визначити із наступних співвідношень:

1

(0) (0) (0,0),

(0) (0)x t z

x t

B B Bk

B B

2

(0,0) (0),

(0)z t

x

B Bk

B

3

(0,0) (0).

(0)z x

t

B Bk

B

Просторову кореляційну функцію Bx(ρ) підібрано, відповідно

до побудованої просторової варіограми γx(ρ) у вигляді функції типу Коші при значеннях параметрів а=1 та ν=1, яка задана формулою:

.0,0,12

2

aa

Bx

. (6.3.2.2)

Графічне зображення просторової варіограми γx(ρ)

(емпіричної та теоретичної) для згенерованої реалізації випадкового поля (t,r,) за моделлю (6.3.1.1) при фіксованому значенні часу t=0 на сітці точок площини

2...,,

10

2,0],1...,,1.0,0.0[ наведено на рисунку 6.3.2 (а).

Часова кореляційна функція Bt(τ) була підібрана, відповідно до побудованої часової варіограми γt(τ) у вигляді функції бесселевого типу при значеннях параметрів а=1 та ν=0,55, тобто із сімейства функцій:

,0,)(

)1(2)(

JB

350

2 ( )( 1) 2 , 0, 0,t

J aB a

a

(6.3.2.3)

де )(x − гамма- функція, а )(uJ − функція Бесселя першого

роду порядку .

Графіки просторової кореляційної функції Bx(ρ) типу Коші при а=1 та ν=1 та часової кореляційної функції Bt(τ) бесселевого типу при значеннях параметрів а=1 та ν=0,55 зображено на рисунках 6.3.1 (а) та (б) відповідно.

Bx(ρ)

(a)

351

Bt(τ)

(б) Рис. 6.3.1.: (a) Просторова кореляційна функція Bx(ρ) типу Коші

при а=1 та ν=1; (б) часова кореляційна функція Bt(τ) бесселевого типу при а=1 та ν=0,55

Побудовано часову варіограму γt(τ) результатів моделювання

реалізації випадкового поля (t,r,) за моделлю (6.3.1.1) у фіксованій точці простору (r,) = (0,0), коли час t змінюється в межах 0≤ t ≤Т, Т=20,01 секунди при Δt = 1/ω =Т/N, Δt=0,01 секунди, ω =100 (N – кількість точок спостережень за часом, N=2001). Графічне зображення такої часової варіограми (емпіричної та теоретичної) наведено на рисунку 6.3.2 (б).

352

γx(ρ)

ρ

(a)

γt(τ)

τ

(б) Рис. 6.3.2. Емпіричні (хрестики) та теоретичні (крива) варіограми:

(a) просторова варіограма γx(ρ) − для усереднення по 20 реалізаціям випадкового поля (0,r,) з кореляційною функцією типу Коші при ν=1;

(б) часова варіограма γt(τ) − для усереднення по 15 реалізаціям випадкового поля (t,0,0) із кореляційною функцією бесселевого типу при а=1 та ν=0,55

353

Якщо для прикладу випадкового поля (t,r,) на RR2

вибрати просторову кореляційну функцію Bx(ρ) у вигляді формули (6.3.2.2) та часову кореляційну функцію Bt(τ) із сімейства функцій (6.3.2.3) із вказаними вище значеннями параметрів а та ν , то модель просторово-часової кореляційної функції Bx(τ,ρ) такого випадкового поля можна задати виразом:

0,055 0,055

1 0,0552

1( , ) 2 (1,055) ( )

1zB k J

0,055 0,055

2 3 0,0552

12 (1,055) ( ),

1k k J

(6.3.2.4)

де коефіцієнти k1=0.433745, k2=0.999985, k3 =0.862067.

Для графічної інтерпретації змодельованих реалізацій випадкового поля (t,r,) із такою просторово-часовою кореляційною функцією Bx(τ,ρ) побудовано графік реалізації випадкового процесу (t,0,0) в точках

2001;,1;01,0 NNkktk за час спостереження t від 0 до 20

секунд (рисунок 6.3.3 (а), причому r та φ – фіксовані та рівні нулю), та, з використанням програми Surfer, каркасну поверхню реалізації випадкового поля (0,r,) (t − фіксоване та рівне нулю) на сітці точок площини

2...,,

10

2,0],0.1...,,1.0,0.0[r , яка зображена на рисунку

6.3.3 (б).

354

ξ1(t,0,0)

t

(a)

ξ1(0,r,φ)

Y X

(б) Рис. 6.3.3. Зображення: (a) графіка зімітованої реалізації

випадкового процесу(t,0,0), де час спостереження t − від 0 до 20

секунд; (б) поверхні зімітованої реалізації поля (0,r,) із кореляційною функцією типу Коші при а=1 та ν=1.

355

Відповідна просторово-часовій кореляційній функції Bx(τ,ρ) вигляду (6.3.2.4) випадкового поля (t,r,) модель просторово-часової варіограми Bx(τ,ρ) цього поля буде задана виразом:

0,055 0,055

1 3 0,055( , ) (0) (0) 1 2 (1,055) ( )z x tt k B k B t J t

1 2 2

1(0) (0) 1

1t xk B k B

0,055 0,055

1 0,055 2

1(0) (0) 1 2 (1,055) ( ) 1 ,

1t xk B B t J t

де Bx(0)=0,138 − дисперсія просторових проб, Bt(0)=0,0000348 − дисперсія часових проб, а коефіцієнти k1, k2, k3 – ті самі, що і для просторово-часової кореляційної функції Bx(τ,ρ) у формулі (6.3.2.4).

Графічне зображення просторово-часової варіограми γx(ρ,τ) випадкового поля (t,r,) із просторовою кореляційною функцією Bx(ρ) типу Коші при а=1 та ν=1 та часовою кореляційною функцією Bt(τ) бесселевого типу наведено на наступному рисунку 6.3.4 (а).

6.3.3. Спектральний аналіз виділеного та

згенерованого шуму

Оцінки частотних характеристик геологічного середовища області спостереження (наприклад, під будівельними майданчиками) були отримані шляхом розрахунку та побудови графіків амплітудного та фазового спектрів шумів в сейсмограмах пунктів спостережень у такій області. Розрахунки проводилися прямим способом, описаним, наприклад в [6], тобто методом періодограм. Також було побудоване спектральне відношення земної кори, яке не залежить від

356

спектра падаючих сейсмічних хвиль, а визначається виключно будовою геологічного середовища під досліджуваним пунктом.

На рисунку 6.3.4 б) наведено побудований графік розрахованого амплітудного спектру |S( )| по компоненті NS − «північ-південь» для прикладу усереднених даних масивів шуму сейсмограми на пункті спостереження BUG3 в місті Одеса. Загальний час запису інформації, з якої обиралися реалізації для аналізу, тривав близько 1,5 годин. Такий спектр відповідає з деяким допустимим наближенням теоретичному спектру випадкового процесу(t,0,0), що є звуженням випадкового поля (t,r,) на часову вісь (при цьому змінні r та φ – фіксовані та рівні нулю). Часова кореляційна функція Bt(τ) випадкового процесу (t,0,0) має вигляд функції Бесселя при значеннях параметрів а=1 та ν=0,55 (рис. 6.3.4. (a)) , тобто:

,0,)(

)1(2)(

JB

0,055 0,055

0,055( ) 2 (1,055) ( )tB J

357

γx(ρ,τ)

(а)

(б)

Рис. 6.3.4. (а) Часово-просторова варіограма γx(ρ,τ) випадкового поля

(t,r,) (б) графік амплітудного спектру |S( )| усереднених даних

|S( )|

, Гц

358

масивів шуму сейсмограми (t,0,0) на компоненті NS для пункту спостереження BUG3.

Отже, розроблено модель та алгоритм статистичного

моделювання однорідних за часом, однорідних ізотропних за змінними на площині випадкових полів з обмеженим спектром, застосування яких проілюстровано на прикладі генерування реалізацій шуму сейсмограм плоскої області спостереження. Такі результати є продовженням напрямку досліджень, започаткованим у роботах З.О. Вижви [20, 21], З.О. Вижви, Федоренко К. В. [35] та О.В. Кендзери, З.О. Вижви, К. В. Федоренко, А.С. Вижви [38] і є важливим доповненням до методів Монте-Карло, які використовуються в геології, наприклад, розроблених в Ж.П. Чайлес, П. Делфінер [128]. , Гц

359

Вправи Побудувати модель просторово-часової кореляційної функції

для випадкового поля (t,r,) на RR2 у вигляді формули (6.3.2.2), вибравши просторову кореляційну функцію Bx(ρ) та часову кореляційну функцію Bt(τ) наступного виду:

1)

1/2

1/2

( ), 0,t

J cB c

c

exp , 0.xB c c

2)

cos , 0, 0,

0, 0,1 ,

atB c e T c a

T

2

2

1,

2 1 2 cos

(0,1), 0, 0.

x

c qB

q qT

q c T

360

6.4. Розклад Шеннона для однорідних за часом однорідних ізотропних випадкових полів за просторовими

координатами в тривимірному просторі та статистичне моделювання

У параграфі розглянуто задачу статистичного моделювання

реалізацій випадкових полів з обмеженим спектром, які залежать від часу та задані у тривимірній області, для впровадження в сейсмологічні дослідження з потребами визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками. Побудовано модель та на основі оцінок похибок середньоквадратичного наближення таких випадкових полів цією моделлю сформульовано алгоритм для чисельного моделювання реалізацій полів, адекватних реалізаціям шуму сейсмограм.

Це є подальшим узагальненням вирішених у роботах З.О. Вижви [20, 22], задач стосовно збільшення розмірності

простору, в якому зосереджена область спостереження. Розглянуто перспективи застосування побудованих моделей

та алгоритмів статистичного моделювання випадкових процесів та полів до задачі дослідження параметрів сейсмічного шуму для потреб визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками на тривимірній області спостереження.

6.4.1. Модель та алоритм При статистичному моделюванні спостережених шумів

сейсмограм використовувався метод, розроблений на основі спектрального розкладу [109] та модифікованої теореми [24] Шеннона для випадкових полів з обмеженим спектром, однорідних за часом та однорідних ізотропних за просторовими тривимірними координатами.

Вказано розклад у модифікований ряд Шеннона для таких випадкових полів та тримано оцінки їх середньоквадратичного наближення частковими сумами цього розкладу з

361

використанням результатів А.Я. Оленко [82] та З.О. Вижви [20].

На основі такого розкладу побудовано модель [202] гауссівського однорідного за часом та однорідного ізотропного за просторовими тривимірними координатами випадкового поля (t,r,θ,)в RR3 з обмеженим спектром, зосередженим на інтервалі - ~,~ , у вигляді:

, ,= =0 =0

,1 ,2

sin, , , = cos

, cos , sin ,

N M ml

N M m l mk N m l

l lm m

kt

t r c Pk

t

k kr l r l

(6.4.1.1)

де – будь-яке число: де , ,l

m j

kr

значення випадкових

величин, що для усіх , = 0,1, , ,m p M

, = , ,k q N N , = 0,1, , , , = 1,2l s m i j , при r –

фіксованому,виконуються умови:

, , = 0,lm j

kM r

, ,

( ), , = , ,l s s m j

mm j p i l p i

k q k qM r r b r

де ,mb t s r обчислюється за формулою:

362

2

1( ) 2

0

( )( , ) = ( , ).

mi t s u

m

J rb t s r e du d

r

(6.4.1.3)

де ( )mJ u − функція Бесселя першого роду порядка m.

Причому, ( , )mb t s r − послідовність додатньо

визначених ядер на RR+, які можна обчислити за просторово-часовим спектром ( , )du d випадкового поля

(t,r,θ,) та для яких виконується така умова:

1( , ) .mm

b t s r

Розглянемо теореми про оцінки швидкості збіжності в

середньому квадратичному апроксимації випадкового поля (t,r,θ,) на RR3 однорідного за часом, однорідного ізотропного за просторовими змінними з обмеженим за часом спектром моделлю.

Теорема 1. Нехай (t,r,θ,) випадкове поле в просторі RR3, яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r,θ,. Якщо спектр (t,r,θ,) обмежений спектром за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді мають місце наступні оцінки

швидкості збіжності в середньому квадратичному апроксимації випадкового поля моделлю (6.4.1.1), а саме:

363

32

, 32

2 3

0 322 2

5| ( , ) ( , ) |

2

( ) 1 52 ,

21

N M

rE t x t x

M

t r

N M

(6.4.1.4)

та

2, 0

2 2 22 2

02 22

| ( , ) , | 2

( ) 1 21 2 ,

( 1) (2 1)!!1

N M

MM

E t x t x

t r

N M M

(6.4.1.5)

де r,θ,) – сферичні координати точки x, r – фіксоване, – будь-яке довільне число, таке, що , а функція

4= 1t t

та

0

= , .kk du d

(6.4.1.6)

Теорема доведена в роботі [205].

Сформулюємо теореми про інші оцінки швидкості збіжності в

середньому квадратичному випадкового поля (t,r,θ,) на RR3.

Теорема 2. Нехай (t,r,θ,) випадкове поле в просторі RR3, яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r,θ,. Якщо спектр (t,r,θ,)

364

обмежений спектром за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді мають місце наступні оцінки


32

, 32

2 2 30

0 32 22

5| , , | <

2

52 ,

2

N M

rE t x t x

M

L t r

Mv N

(6.4.1.7)

та

2, 0

2 2 2 20 2 2

02 22

| , , | < 2

21 2 ,

( 1) (2 1)!!

N M

MM

E t x t x

L t r

v N M M

(6.4.1.8)

де r,θ, – сферичні координати точки x, r – фіксоване

0

2 2( ) = sin ,

1L t t

e

> = sup | |uv u – будь-яке

довільне число, k визначаються за формулою (6.4.1.6).

Теорема доведена в роботі [205]. Теорема 3. Нехай (t,r,θ,) випадкове поле в просторі RR3,

яке однорідне за часовою змінною t та однорідне ізотропне за просторовими змінними r,θ,. Якщо спектр (t,r,θ,) – обмежений спектром за часом t та усі його спектральні міри зосереджені на [ , ] ,R тоді мають місце наступні оцінки

365


3

2, 32

3

0 32 2

5| , , | <

2

4 52 ,

(2 1) 2

N M

rE t x t x

M

r

N M

(6.4.1.9)

та

2, 0

2 22 2

0 22

| , , | < 2

4 21 2 ,

(2 1) ( 1) (2 1)!!

N M

MM

E t x t x

r

N M M

(6.4.1.10)

де r – фіксоване, k визначаються за формулою (6.4.1.6).

Теорема доведена в роботі [205]. На основі наведених теорем сформульовано алгоритм

статистичного моделювання реалізацій гауссівських однорідних за часом та однорідних ізотропних за тривимірними просторовими змінними випадкових полів (t,r,θ,) з обмеженим за часом t спектром.

Алгоритм


натуральні числа N та М для моделі (6.4.1) за допомогою однієї з наступних нерівностей:

366

3 2 3

3 0 322 2 2

5 ( ) 1 52 ,

2 21

r t r

M N M

2 23 30

3 0 322 22

5 52 ,

2 2

L tr r

M Mv N

3 3

3 0 32 2 2

5 4 52

2 (2 ) 2.

1

r r

M N M


величин ,lm

kr

, при фіксованому r, для усіх

, = 0,1, , ,m p M , = , ,k q N N , = 0,1, , ( , )l s h m n , які

задовольняють умовам (6.4.2). 3. Обчислюємо вираз (6.4.1) у заданій точці

3( , , ) [ , ],t r T T R , підставляючи в нього обчислені за

попередніми пунктами 1 та 2 величини N та М і послідовності значень гауссівських випадкових величин.

4. Перевіряємо згенеровану за п. 3 реалізацію випадкового

поля (t,r,θ,) у точках сітки в області спостереження на адекватність даним цього випадкового поля шляхом порівняння відповідних статистичних характеристик.

367

6.4.2. Приклад чисельного моделювання

Розглянуто практичне застосування статистичної моделі

(6.4.1.1) та алгоритму чисельного моделювання реалізацій дійснозначного гауссового випадкового поля (t,r,θ,) на RR3

, однорідного за часом t, однорідного ізотропного за змінними r,θ, з обмеженим за часом t спектром із просторово-часовою кореляційною функцією Bz(τ,ρ) .

При моделюванні випадкових полів в RR3 використаємо підхід, наведений в роботі [55], який розділяє просторову та часову компоненти за правилом добутку:

2( , ) ( ) ( ) exp exp .z x tB B B (6.4.2.1)

Просторова кореляційна функція Bx(ρ) (Гауссівська крива)

визначена при значенні параметра c=1 і задається формулою:

2( ) exp , 0.xB c c (6.4.2.2)

Часова кореляційна функція Bt(τ) (експоненціальна модель)

визначена при значенні параметра a=1 і задається формулою:

( ) exp , 0.tB a a (6.4.2.3)

Графіки просторової кореляційної функції Bx(ρ) (Гауссівська

крива) при c=1 та часової кореляційної функції Bt(τ) (експоненціальна модель) при значенні параметра a=1 зображено на рис.6.1. а) та 6.1. б) відповідно.

368

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Type of Gauss model

Cor

rela

tion

func

tion

Вx(ρ)

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Type of Exponential model

Cor

rela

tion

func

tion

Вt(τ)

(б) Рис. 6.1. Кореляційні функції: (а) просторова – Bx(ρ) типу Гауссівська крива при c=1; (б) часова – Bt(τ) типу

експоненціальна модель при а=1

369

Знайдемо спектральну щільність часової компоненти, тобто стаціонарного випадкового процесу, залежного від часу на R:

0

20

2( ) cos( ) ( )

2 2cos( )exp , .

(1 )

tf u u B d

u d u Ru

Зайдемо спектральну щільність просторової компоненти,

тобто однорідного ізотропного випадкового поля на R3, при R :

0

2

0

2( ) ( )sin( ) ( )

2( )sin( )exp

xh B d

d

2 2

exp , .42

R

Загальна спектральна щільність гауссового випадкового поля

(t,r,θ,) на RR3, однорідного за часом t, однорідного

ізотропного за змінними r,θ, з обмеженим за часом t спектром із просторово-часовою кореляційною функцією Bz (τ,ρ) виду (6.4.2.1) має вигляд:

370

2 2

2

( , ) ( ) ( )

2exp , , .

4 (1 )2

g u h f u

R u Ru

(6.4.2.4)

Проаналізуємо, наведений у параграфі 6.4.1, алгоритм

статистичного моделювання реалізацій гауссового випадкового поля (t,r,θ,) на RR3

. Алгоритм

1) Обчислюємо моменти:

2 2

20

2= exp ,

4 (1 )2k

k dudu

0,3,k

при 4

та 0.1 , 1,...,10ir i i . Далі підбираємо,

відповідно до наперед заданої точності 25,3 10 , натуральні числа N=50 та M=50 при значеннях

0.1 , 1,...,10ir i i за допомогою нерівності (6.4.7). При

цьому моменти набувають таких значень:

2 2

0 20

2= exp 0,848,

4 (1 )2dud

u

5 2

3 20

2= exp 15,304.

4 (1 )2dud

u

371

2) Обчислюємо спектральні коефіцієнти при 4

та

0.1 , 1,...,10ir i i , які мають наступний вигляд:

2

1

2

0

22 21

22

0

( )(0, ) = ( , )

( )2

exp4 (1 )2

im

m i

i

im

i

J rb r du d

r

J rd du

r u

2

2 21

22

0

22

10

2

( )2

exp(1 ) 42

(0.

) e4

8477xp

2

im

i

im

i

J rdu d

u r

J r dr

2 2

1

2

exp 2 2 , 0.1 , 1,...,0.847

.7

10i i im

i

r I r r i ir

(6.4.2.5)

3) Генеруємо значення послідовностей гауссових

випадкових величин , ,l

m j

kr

при фіксованому r

( 0.1 , 1,...,10ir i i ) у програмі Mathematica.

4) Обчислюємо вираз для моделі (6.4.1.1) в заданій точці

3( , , , ) [ , ]t r T T R підставляючи в нього

372

послідовності гауссових випадкових величини,

змодельованих в п. 3, натуральні числа N=50 та M=50, де

0.1 , 1,...,10,ir i i , , , ,6 5 4 3

.

Для даної задачі був складений алгоритм, написано програму для обчислювальної системи Mathematica та отримано реалізації дійснозначних гауссових випадкових полів (t,r,θ,) на RR3

,

однорідних за часом t, однорідних ізотропних за змінними r,θ, з обмеженим за часом t спектром із просторово-часовою кореляційною функцією виду (6.4.2.1).

Якщо розглянути змодельовані реалізації у єдиній фіксованій точці часу, наприклад, t=0, то фактично отримаємо значення реалізацій випадкового поля (0,r,θ,), яке однорідне ізотропне за змінними r,θ,. Тоді просторово-часова кореляційна функція (6.4.2.1) перетворюється на просторову кореляційну функцію, при τ=0, яка матиме вигляд:

2(0, ) ( ) exp .z xB B

Графічне зображення просторової варіограми γx(ρ) (емпіричної та теоретичної) для згенерованої реалізації випадкового поля (0,r,θ,) за моделлю (6.4.1.1) при значені параметра c=1 на сітці точок простору 0.1 , 1,...,10,ir i i

, , , ,6 5 4 3

наведено на рис. 6.2.

373

(a)

(б) Рис. 6.2. Емпірична (ламана) та теоретична (крива)

просторові варіограмі γx(ρ) по реалізаціям випадкового поля (0,r,θ,) із кореляційною функцією типу Гауссівська крива при c=1: (а) з кроком ρ=0,1; (б) з кроком ρ=0,2.

374

Якщо розглянути змодельовані реалізації у єдиній фіксованій

точці простору, наприклад, 1( , , ) , , ,10 3 6r то фактично

отримаємо значення реалізацій випадкового процесу

1, , ,10 3 6t , який однорідний за змінною t. Тоді

просторово-часова кореляційна функція (6.4.2.1) перетворюється на часову кореляційну функцію, при ρ=0, яка матиме вигляд:

( ,0) ( ) exp .z tB B

Графічне зображення часової варіограми γt(τ) (емпіричної та

теоретичної) для згенерованої реалізації випадкового поля

1, , ,10 3 6t за моделлю (6.4.1.1) при значені параметра

а=1 на інтервалі точок часу [ 40,...,40]t наведено на рис. 6.3.

375

(a)

(б) Рис. 6.3. Емпірична (ламана) та теоретична (крива) часові

варіограми γt(τ) по реалізаціям випадкового поля

1, , ,10 3 6t із кореляційною функцією типу

експоненціальна модель при a=1: (а) з кроком t=2; (б) з кроком t=5.

376

Оскільки загальна модель просторово-часової кореляційної

функції має вигляд:

( , ) ( ) ( ),z x tB k B B (6.4.2.6)

то просторово-часова варіограма такої кореляційної функції може бути описана наступним чином:

( , ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ,z t x x t x tk B B (6.4.2.7)

де Bt(0) – плато часової компоненти вариограми γt, Bx (0) – плато просторової компоненти вариограми γx, Bz(0,0) – плато просторово-часової варіограми γz

Параметр k визначається з (5.42) за виразом:

(0,0)

,(0) (0)

z

x t

Bk

B B

щоб при нульових відстанях по простору та нульових відстанях

по часу залишається тільки потрібна компонента. У нашому випадку Bx(0)=0,49, , Bt(0)=0,89, 1k та

Bz(0,0)=0,44. Отже, просторово-часова варіограма кореляційної функції (6.4.2.1) має наступний вигляд:

2( , ) (0) (0) 1 expz t xB B

2

(0) (0) 1 exp

(0) (0) 1 exp 1 exp ,

x t

t x

B B

B B

(6.4.2.8)

377

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

20

40

60

80

100

-30

-20

-10

0

10

Spatial-temporal variogram

Var

iogr

am

-25

-20

-15

-10

-5

0

Рис. 6.4. Часово-просторова варіограма γz(τ,ρ) (6.4.2.1)

випадкового поля(t,r,θ,).

На рисунку 6.4. побудована просторово-часова варіограма γz(τ,ρ) (6.4.2.1) випадкового поля (t,r,θ,). Отже, остаточно, вираз для такої варіограми має вигляд:

378

2

2

( , ) 0,44 1 exp

0,44 1 exp 0,44 1 exp 1 exp .

z

Отже, в даному розділі доведена теорема про розклад в ряд

випадкового поля 3( , ) = ( , , , ), ,t x t r t R x R .

Побудована модель випадкового поля з обмеженим спектром (t,r,θ,) в просторі RR3 на основі модифікованих розкладів

Шеннона. Знайдені оцінки швидкості наближення в середньому квадратичному випадкового поля його статистичною моделлю та розроблено алгоритм статистичного моделювання реалізацій гауссових випадкових полів з обмеженим спектром по часовій змінній із наперед заданою точністю. Наведено приклад застосування алгоритму статистичного моделювання реалізацій дійснозначних гауссових випадкових полів в RR3. Статистичне моделювання на основі розкладу Шеннона в RR3 можна застосовувати при дослідженні геофізичних параметрів, які стаціонарно залежні від часу та мають властивості однорідності та ізотропності в тривимірному просторі.

379

Вправи Побудувати модель просторово-часової кореляційної функції

Bx(τ,ρ) для випадкового поля з обмеженим спектром (t,r,θ,) в

просторі RR3 у вигляді формули (6.4.2.1), вибравши просторову кореляційну функцію Bx(ρ) та часову кореляційну функцію Bt(τ) наступного виду:

1) 1/2

1/2

( ), 0,t

J cB c

c

2 2

, 0.x

cB c

c

2)

cos , 0, 0,

0, 0,1 ,

atB c e T c a

T

2exp , 0.xB c c

380

Перелік посилань.

1. Абрамович М.М. Справочник по специальным функциям.

М.:Наука, 1979. 2. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Моделирование стационарных

случайных процесов с заданными одномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией. - Новосибирск, 1984. – 24 с.

3. Арутюнян Р.В., Большов Л.А., Демьянов В.В., Каневская Е.В. и др. Методика Geo-EAS анализа пространственно распределенных данных. Пример исследования: Чернобыльские выпадения. Препринт NSI-24-94. – М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 1994. - 55 с.

4. Архиезер Н.И. Лекции по теории апроксимации.-М.: ГИТТЛ, 1947.-321 с.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматиз, 1961, - 936 с.

6. Бат М. Спектральный анализ в геофизике. М., 1979. 7. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.

М., Т.2, 1974. 8. Беляев Ю.К. Аналитические случайные процессы // Теория

вероятностей и ее применения.-1959.-4.вып. 4.-с.437-444. 9. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.- 6-е изд. стер.- М.:

Высшая школа. 1999, - 576 с. 10. Вербицький С.Т., Рожок Н.І. та ін. Метод Накамури та метод

скінченних елементів при дослідженні АЧХС //Геодинаміка. 2. 2011. - С. 38-40.

11. Вистелиус А.Б. Математическая геология: история, состояние, перспективы. . Препринт ЛОМИ, Р-10-84, 1986, 53 с

12. Вижва З.О. Про статистичне моделювання стаціонарних періодичних випадкових процесів . Частина І //Вісн. Київ. ун-ту. Матем. і Мех. – 2003. – Вип.10.

13. Вижва З.О. Про статистичне моделювання стаціонарних періодичних випадкових процесів . Частина 2 //Вісн. Київ. ун-ту. Матем. і Мех. – 2004. – Вип.11-12,- С. 20-24.

381

14. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання випадкових процесів та полів на площині у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2004, 59 с.

15. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання випадкових тривимірних полів у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2004, 46с.

16. Вижва З.О. Математичні моделі в природознавстві. Розділ: Статистичне моделювання випадкових процесів та полів у науках про Землю. Навчальний посібник з дисципліни «Математичні моделі в природознавстві» для студентів мех.-мат. ф.-ту/ К.: ВГЛ «Обрії», 2007, 160 с.

17. Вижва З.О. Статистичне моделювання випадкових полів з нерівномірною решіткою інтерполяції // Вісн Київ. ун-ту. Мат. і Мех. – 2001. - 7.

18. Вижва З.О. Статистичне моделювання випадкових полів на площині з рівномірною решіткою інтерполяції.//Доповіді НАН України. 5. 2003.

19. Вижва З.О. Статистичне моделювання періодичних випадкових процесів із кореляційними функціями експоненціального типу.// Вісн. Київ. ун-ту. Математика і Механіка. – 2005. - Вип. 11-12. – С. 20-24.

20. Вижва З.О. Статистичне моделювання випадкових процесів та полів. Монографія, - К.: ВГЛ “Обрії”, - 2011, 388 с.

21. Вижва З.О. Статистичне моделювання сейсмічного шуму у двовимірній області змінних для визначення частотних характеристик геологічного середовища// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2012. – Вип.59. – С. 65-67.

22. Вижва З.О. (2013(а)). Про статистичне моделювання випадкових полів у тривимірному Евклідовому просторі// Вісн. Київ. ун-ту. Математика і Механіка. – 2013. - Вип. 30(2). – С. 19-24.

382

23. Вижва З.О. (2013(б)). Статистичне моделювання сейсмічного шуму у тривимірній області змінних для визначення частотних характеристик геологічного середовища// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2013. – Вип.60. – С. 69-73.

24. Вижва З.О. (2013(в)). Статистичне моделювання сейсмічного шуму у чотиривимірній області змінних для визначення частотних характеристик геологічного середовища// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2013. – Вип.61. – С. 69-71.

25. Вижва З.О., Вижва А.С. Статистичне моделювання стаціонарних випадкових процесів// Вісн. Київ. ун-ту. Математика і Механіка. – 2010. - Вип. 24. – С. 33-39.

26. Вижва З.О., Демидов В.К., Вижва А. С. (2010(а)). Статистичне моделювання випадкових полів в задачах геофізики/ IX Міжнародна конференція “Геоінформатика: теоретичні та прикладні аспекти” 11-14 травня 2010, Kиїв. тези доп.- К. : ВАГ, 2010 .- 5 с.

27. Вижва З.О., Демидов В.К., Вижва А. С. (2010(б)). Статистичне моделювання випадкових полів на площині сплайновими апроксимаціями (на прикладі даних аеромагнітометрії) // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2010. – Вип.51. – С. 31-36.

28. Вижва З.О., Демидов В.К., Вижва А. С. Дослідження густини крейдяної товщі методом Монте-Карло на території проммайданчика Рівненської АЕС із застосуванням моделі Коші / X Міжнародна конференція “Геоінформатика: теоретичні та прикладні аспекти” 10-13 травня 2011, Kиїв. тезисы докл.- К. : ВАГ, 2011 .- 5 с.

29. Вижва З.О., Демидов В.К., Вижва А. С. (2012(а)). Статистичне моделювання випадкових процесів і двовимірних полів в аеромагнітометрії// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2012. – Вип.56. – С. 52-55.

30. Вижва З.О., Демидов В.К., Вижва А. С. (2012(б)). Статистичне 3-D моделювання густини крейдяної товщі на територїї проммайданчика Рівненської АЄС/ XІ Міжнародна конференція “Геоінформатика: теоретичні та прикладні

383

аспекти” 14-17 травня 2012 року, Kиїв. тези доп.- К. : ВАГ, 2012 .- 4 с.

31. Вижва З.О., Зражевський О.Г. Про статистичне моделювання випадкових полів на площині// Вісн. Київ. ун-ту. Математика і Механіка. – 2008. - Вип. 19-20. – С. 43-47.

32. Вижва С.А. Геофізичний моніторинг небезпечних геологічних процесів.-К: ВГЛ «Обрій», 2004, – 236 с.

33. Вижва С.А., Вижва З.О. (2002(а)). Застосування статистичного моделювання двовимірних випадкових полів у задачах геофізичного моніторингу екологічного стану територій // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2002. – Вип.23. – С.9-13.

34. Вижва С.А., Вижва З.О. (2000(а)). Про один метод статистичного моделювання періодичних стаціонарних випадкових процесів при вирішенні геологічних задач // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2000. – Вип.17. - С.57-59.

35. Вижва З.О., Федоренко К. В. Статистичне моделювання 3-D випадкового поля за розкладом Котельникова – Шеннона // Теор. Йм. та Мат. Стат..-2013.- . 88,.-С 17- 31.

36. Вижва С.А., Вижва З.О. Перспективи застосування статистичного моделювання випадкових процесів з нерівновіддаленими вузлами інтерполяції для організації геофізичного моніторингу // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. - 2001. - Вип.19. - С.71-73.

37. Вижва З.О., Федоренко К. В., Вижва А.С. Статистичне моделювання сейсмічного шуму в багатовимірній області змінних для визначення частотних характеристик геологічного середовища// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія.-2014.- 58.-С. 57- 61.

38. Вижва З.О., Кендзера О.В., Федоренко К. В., Вижва А.С. Визначення частотних характеристик геологічного середовища під будівельними майданчиками з використанням статистичного моделювання сейсмічного шуму на прикладі спостережень в м. Одесі // Вісн. Київ. ун-ту. Геологія,.- 2012.- 58.- 57- 61.

39. Вижва С.А., Вижва З.О. (2003(а)). Про застосування статистичного моделювання тривимірних випадкових полів у задачах геофізичного моніторингу екологічного стану

384

територій// Вісн. Київ. ун-ту. Геологія. – 2003. - Вип.26. – С. 7-10.

40. Вижва С.А., Вижва З.О. (2003(б)). Застосування в геології статистичного моделювання періодичних випадкових процесів // Геоінформатика. – 2003. – 2. – С.46-51.

41. Вижва С.А., Вижва З.О., Демидов В.К. Статистичне моделювання карстово-суфозійних процесів на території потенційно небезпечних об’єктів// Геоінформатика. – 2004. - 2. – С.78-85.

42. Вижва С.А., Вижва З.О., Демидов В.К. Статистичне моделювання тривимірних полів у задачах геофізичного моніторингу геологічного середовища// Теоретичні та прикладні аспекти геоінформатики: Зб. наук. праць. - Київ, 2006. - С.173-185.

43. Вижва С.А., Вижва З.О., Демидов В.К. Тривимірне статистичне моделювання методом рандомізації в задачах моніторингу геологічного середовища // Геоінформатика. – 2008. - 2. – С.78-85.

44. Вижва З.О., Ядренко М.Й. Статистичне моделювання ізотропних випадкових полів на сфері// Вісн Київ. ун-ту. Мат. і Мех. – 2000. - 5. –C. 5-11.

45. Войтишек А.В. Исследование слабой сходимости моделей гауссовских случайных полей с заданным спектральным разложением кореляционной функции/ Математические имитационные модели систем. - Новосибирск, 1978. – С.17-25.

46. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике: Справочник геофизика/ Под. ред. Дмитриева В.И. – М. : Недра, 1990. - 598 с.

47. Гандин Л.С., Каган Р.Л. Статистические методы интерполяции метеорологических данных. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1976. -359 с.

48. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. . М., Наука, 1971, Т. 1. - 664 с.

49. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.Й. Теория вероятностей и математическая статистика. - К.: Вища школа, 1979. - 408 с.

385

50. Гольцман Ф.М., Калинина Т.Б. Статистическая интерпретация магнитных и гравитационных аномалий. - Л.: Недра,1985. – 248 с.

51. Гольцман Ф.М., Соколов Ю.М. Методы апроксимации геофизических данных на ЭВМ. ЛГУ. – Л. 1989. – 301 с.

52. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971.

53. Грих З.А. О статистическом моделировании изотропных случайных полей на сфере// Аналитические методы в задачах теории вероятностей. Тр. ИМ АН УССР.-Киев, 1987.-С. 18-20.

54. Грих З.А. Статистическое моделирование однородных изотропных случайных полей и изотропных полей на сфере. Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- К.,1987, 18 с.

55. Демянов В.В. ,Савельева Е. А. Геостатистика: теория и практика/ Под. ред. Р.В. Арутюняна; Ин-т проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. – М.: Наука, 2010. – 327 с.

56. Дэвис Дж. С. Статистический анализ данных в геологии: Пер. с англ. В 2 кн. / Пер. В. А. Голубевой; Под ред. Д.А.Родионова. Кн. 1.-М.: Недра, 1990. – 319 с.

57. Дюбрюль О. Геостатистика в нефтяной геологии. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - Изд-во: ИКИ. - 2009 . -256 с.

58. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., Наука, 1971.

59. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М., Наука, 1982. – 296 с.

60. Каневский М.Ф., Демьянов В. и др. Элементарное введение в геостатистику. серия: Проблемы окружающей среды и природных ресурсов, 11, ВИНИТИ, Москва, 1999.

61. Кендзера А.В., Стародуб Г.Р., Стародуб Ю.П. О методике изучения строения земной коры по записям объемных волн от удаленных землетрясений //В сб.: Сейсмопрогностические исследования на территории УССР - Киев: Наукова думка, 1988.

62. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М.. Случайные процесы. Справочник.-К.: Наукова думка, 1983.-366 с.

386

63. Козаченко Ю.В., Пашко А.О. Моделювання випадкових процесів. - К.: ВПЦ “Київський університет”, 1999. - 224 с.

64. Козаченко Ю.В., Пашко А.О., Розора І.В. Моделювання випадкових процесів та полів. - К.: ВПЦ “Задруга ”, 2007. - 230 с.

65. Козаченко Ю.В., Пашко А.О., Точнфсть та надійність моделювання випадкових процесів та полів в рівномірній метриці. - К.: ТОВ “СІК ГРУП УКРАЇНА”, 2016. - 216 с.

66. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.

67. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Нью-Йорк : McGraw-Hill Book Company, 1968.

68. Кулханек О. Введение в цифровую фильтрацию в геофизике. -М.: Недра, 1981. – 198 с.

69. Леоненко Н. Н., Иванов А. В. Статистистический анализ случайных полей. - К.: Вища школа, 1986. - 216 с. 70. Михайлов Г.А. Приближенные модели случайных процессов и полей // ЖВМиМФ. - 1983. - Т.23. - 1. - С.558-566.

71. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. – М., 1987 – 240 с.

72. Моклячук М.П., Ядренко М.И. Линейные статистические задачи для однородных по времени изотропных полей на сфере.І, ІІ //Теория вероятностей и мат. статистика.-1978.-Вып.18, Вып.19.

73. Моклячук М.П. Некоторые задачи линейной экстраполяциии однородных случайных полей на цилиндре. І, ІІ//Исследование операций и АСУ.-1974.-Вып 3.

74. Нагорный В.Н. Об интерполяции случайных процессов. // Теор. вер. и мат. стат. - 1970. - 3.

75. Нагорний В.Н. Про інтерполяцію випадкових полів. //

Доповіді АН УССР. 4. 1970. 76. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.:

Гостехиздат. 1949. 77. Никитин А.А. Геоинформатика. - М.: Недра, 1992. – 302 с.

387

78. Никитин А.А. Методы и средства обработки ядерно-геофизической информации.. - М. : Недра, 1992. – 223 с.

79. Никитин А.А. Статистические методы выделения геофизических аномалий. – М : Недра. 1979. – 280 с.

80. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации. - М.: Недра, 1986. – 342 с.

81. Оленко А.Я. Оцінка помилки інтерполяції в багатовимірній теоремі Котельникова-Шеннона// Вісник Київського університету Серія: фіз..-мат. науки. - 2004, - Вип. 3. – с. 49-54.

82. Оленко А.Я. Порівняння оцінок помилки апроксимації в теоремі Котельникова-Шеннона// Вісник Київського університету Серія: фіз..-мат. науки. - 2005, - Вип. 13. – с. 41-44.

83. Пиранашвили З.А. К вопросу об интерполяции случайных процесов // Теор. вер. и ее применение. Том XII, 4. - 1967. С.708-717.

84. Полшков М.К., Козлов Е.А., Мешбей В.И. и др. Системы регистрации и обработки данных сейсморазведки. - М.: Недра,1984. – 245с.

85. Попов Ю.Д., Винокуров Ю.О. Моделирование однородных и изотропных случайных полей в пространствах. Исследование операций и АСУ, т. 34, К.: Выща школа, 1989, стр.3-7.

86. Пригарин С.М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей. – Новосибирск, 1994. – 164 с.

87. Пригарин С. М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей . Новосибирск: Изд-во ИВМ и МГ, 2005.-259 с.

88. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей: основные понятия, предельные теоремы, случайные прцессы. М.: Наука, 1973, 493с.

89. Прудников А.П., Бричков Ю.А. Интегрвлы и ряды. Дополнит.главы. М.: Наука. 1986, 780 с.

90. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идея. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 c.

388

91. Сизова А.Ф., Товстик Т.М. Моделирование случайного поля на сфере//Вестн. ЛГУ.-1984.-1.-С.118-120.

92. Сидоров Ю.В. и. др. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.

93. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М: «Наука», 1985, 76 с 94. Товстик Т.М. Стационарные случайные процессы с

рациональными спектральными плотностями: Уч. пос. – 2000, СПб. - 84 с.

95. Троян В.Н. Статистические методы обработки сейсмической информации при исследовании сложных сред. - М.: Недра, 1982. – 184 с.

96. Феллер Г. Введение в теорию вероятностей и ее применения. М.,Мир, 1984, Т. 2.

97. Федоренко К. В., Вижва З. О. Про статистичне моделювання випадкових полів на площині з кореляційною функцією типу Коші // Вісн. Київ. ун-ту. Математика і Механіка. – 2012. - Вип. 28. – С. 16-22.

98. . Харкевич А.А. Спектры и анализ. М., 1957 99. Халікулов С.И., Ядренко В. М. Теорема Котельникова-Шеннона

для випадкових полів на циліндрі // Вісн Київ. ун-ту. Мат. і Мех. –. 2000 - 5. – C. 55-60.

100. Халікулов С.І., Вижва З.О. Теорема Котельникова-Шеннона для однорідних по часові ізотропних випадкових полів на сфері та статистичне моделювання// Вісн. КУ, сер. Мат. і Мех. 2001, 6. . – C. 66-71.

101. Холшевников К.В. О величине коефициентов при тессериальных гармониках// // Вестн. ЛГУ. Мат., механика. 1968, 1, с. 149-153.

102. Холшевников К.В. Точная оценка остатка ряда Лапласа аналитической на сфере функции// Вестн. ЛГУ. Мат., механика. 1978, 1, с. 157-158.

103. Холшевников К.В. Точная оценка остатка ряда Фурье-Лежандра аналитической функции// Вестн. ЛГУ. Мат., механика. 1975, 4, с. 64-68.

104. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике.-М.: Изд-во иностр. лит., - 1963. - 830 с.

389

105. Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функцій. // Успехи мат. наук.- 1952, Вып. 5, С. 1-188.

106. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функцій. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981, 280 с.

107. Яглом А. М. Спектральные представления для различных классов случайных функций // Тр. 1У Всесоюзн. мат. съезда., 1963, Т. 1, С. 250-273.

108. Ядренко М.И. Некоторые вопросы теории случайных полей./ Автореф. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- К.,1961, 7 с.

109. Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей.-К.: Вища школа, 1980. - 208 с.

110. Ядренко М.Й., Гамалій О. Статистичне моделювання однорідних та ізотропних тривимірних випадкових полів та оцінки похибок моделювання// Теор. йм. та мат. стат., 1998, 59, С. 171-175. 111. Ядренко М.Й., Рахімов А.К. Статистичне моделювання однорідного та ізотропного випадкового поля на площині та оцінки похибок моделювання// Теор. йм. та мат. стат., 1993, 49, С. 245-251.

112. Abrahamsen P. A Review of Gaussian Random Field and Correlation Functions. Second Edition. Norway, Oslo, Norw. Comp. Center, 1997, 64 p.

113. Armstrong M., Diamond P. Testing variograms for positive-definiteness // Mathematical Geology. 16(4). – 1984. Р.407-421.

114. Armstrong M., Dowd P.A., editors. Geostatistical Simulations. Dordrecht. 1994. Kluwer.

115. Armstrong M., Jabin R.Variogram models must be positive-definite. //Mathematical Geology. 13(5). – 1981. - Р.455-459.

116. Andrews GE, Askey R, Roy R. Special functions. Cambridge; Cambridge University Press, - 1999.

117. Baker R. Modeling Soil Variability as a Random Field // Matematical Geology.V.16, 5, 1984. - pp. 435-449.

118. Bras R.L., Rodriguez-Iturbe I. Random Functions and Hydrology. Dover. New York, second edition. 1993.

119. Brown J.I. Summation of certain series using the Shannon sampling theorem. IEEE Trans. Education, 33, - 1990, pp. 337-340.

390

120. Brown J.I. Sampling of bandlimited signals: fundamental results and some extensions. In: Handbook of Statistics, Vol. 10 (eds N.K. Bose and C.R. Rao) Elsevier, Amsterdam, 1993.-P. 59-101.

121. Brooker P., Stewart M.A. A comparative study of simulation techniques for two dimensional data honoring specified exponential semivariograms // J. Austral. Math. Soc.B.-1995.-36, N 3, pp. 249-260.

122. Brooker P.I. Two-dimensional simulation by turning bands // Mathematical Geology. 17(1). – 1985. - pp. 81-90.

123. Butzer P. L., Dodson M. M., Ferreira P. J. S. G., Higgins J. R., Lange O., Seidler P., and Stens R. L., Multiplex signal transmission and the development of sampling techniques: The work of Herbert Raabe in contrast to that of Claude Shannon, Applicable Analysis . ‐ 90 (2011), no. 3, pp.643–688.

124. Burdis W.S. Underwater Acoustic System Analysis, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J., 1984.

125. Caers J. Modeling Uncertainty in the Earth Sciences. John Wiley & Sons Ltd, 2011. – 246 p.

126. Campbell L. L. Sampling theorem for the Fourier transform of a distribution with founded support// SIAM .I. Appl. Math., vol. 16, 1968, pp. 626-636.

127. Cheung K.F. A multidimensional extension of Papoulis’ generalized sampling expansion with application in minimum density sampling// Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory, R. J. Marcs, II Ed. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1993, pp.86-119.

128. Chiles J.P., Delfiner P. (2012) Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty. 2-nd ed. John Wiley & Sons, Inc. New York, Toronto. - 720 p.

129. Christacos G. The Probability Simulation of Geoprocesses with Space Correlation // Mathematical Geology. – 1987. - V.19. - N.8

130. Christacos G. Modern Spatiotemporal Geostatistics. New York. Oxford Univ. Press. - 2000.

131. Christacos G., Bogaert P. Serre M., Temporal GIS: Advanced Functions for Field-Based Applications.- [S. I. ] : Springer., 2002.-250 p.

391

132. Clark H.W.A. Practical Geostatistics 2000. Publ. by Geostakos Ecosse. -2004.- 440 p.

133. Cressie N.A.C. Statistics for Spatial Data. New York: John Wiley& Sons. - 1991.-900 p.

134. Cressie, N., and C. K. Wikle. Statistics for Spatio-Temporal Data. John Wiley&Sons, New York. - 2011.

135. Dietrich C.R. A simple and efficient space domain implementation of the turning bands method // Water Resources Research. 31(1). – 1995. - pp. 147-156.

136. Dowd P.A. A review of resent developments in geostatistics. //Computers and Geosciences. 17(10). – 1992. - pp..1481-1500.

137. Fishman G.S. Monte-Carlo: Consepts, Algorithms and Applications - NY: Springer, 1999.

138. Ferreira P. J. S. G., Higgins R.. The Establishment of Sampling as a Scientific Principle—A Striking Case of Multiple Discovery// Notices of the AMS. Vol. 58, Nо. 10. – 2011., pp. 1446-1450.

139. Feichtinger H., Grochenig K. Irregular sampling theorems and series expansions of band-limited functions// J. Math. Anal. Appl.- Vol. 167. – 1992. - pp. 530–556.

140. Feichtinger H., Grochenig K. Iterative reconstruction of multivariate band-limited functions from irregular sampling values// SIAM J. Math. Anal. – Vol. 23(1) . – 1992. - pp. 244–261.

141. Fishman G.S. Monte-Carlo: Consepts, Algorithms and Applications - NY: Springer, 1999.

142. Fogel L. J. A note on the sampling theorem// IRE Tram. Inform Theory, vol. IT-l,- 1955, pp. 47-48.

143. Franke R., Barker E., Goerss J. The use of observed data for the initial-value problem in numerical weather prediction // Cоmputers and Mathematics with Applications. - 16. – 1988, pp.169-184.

144. Franklin J.N. Numerical simulation of stationary and nonstationary gaussian random processes // SIAM Review. - 1965. - V.7. - N.1. - P.68.

145. Gardner W. A. A sampling thmrem for nonstatiionary random proccmes// IEEE Tram. Information Theory. Vol. 18,- 1972, pp. 808-809.

392

146. Geo-EAS 1.2.1. – Geostatistical Environmental Assessment Software, User’s Guide, E. England A. Sparks U. S. ERA, Las Vegas 1991.

147. Gneiting T. Symmetric Positive Definite Functions With Applications in Spatial Statistics. Von der Universitat Bayeuth zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung.1997. - P.107. Gneiting T. (1997) Symmetric Positive Define Functions With Applications in Spatial Statistics. PhD thesis, University of Bayreuth.

148. Gneiting, T., M. G. Genton, and P. Guttorp. Geostatistical space-time models, stationarity, separability, and full symmetry. In Statistical Methods for Spatio-Temporal Systems, B. Finkenstadt, L. Held, V. Isham, eds. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2007, pp. 151-175.

149. Gneiting, T., P. Guttorp. Continuous-parameter spatio-temporal processes. In Handbook of Spatial Statistics, A. E. Gelfand, P. Diggle, M. Fuentes, P. Guttorp, eds. Chapman & Hall, London, 2010, pp. 427-436.

150. Grikh Z., Yadrenko M., Yadrenko O. About approximation and statistical simulation of isotropic fields // Random operators and stochastic equations. 1993.-V.1, pp.37-45.

151. Higgins J.R. Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis. Clarendon Press. Oxford. New York, 1996. - 225 P.

152. Higgins J.R., Schmeisser G., Voss J.J., The sampling theorem and several equivalent results in analysis,// J. Comput. Anal. Appl. –Vol. 2 – 2000. - pp. 333–371.

153. Hinsen G., Klosters D., The sampling series as a limiting case of Lagrange interpolation// Appl. Anal. 49 .- Vol. 72 . – 1993, pp. 49–60.

154. Journel A.G, Huijbregts Ch.I.. Mining Geostatistics, London: Academic Press, Inc., New York.- 1978.-600 p.

155. Julian P.R., Cline A. The Direct Estimation of Spatial Wavenumber Spectra of Atmospheric Varsables // Jour. Atmospheric Sci., 1974, Vol.31, pp. 1526-1539.

156. Kanevsky M., Maignan M. Analysis and modeling of spatial environmental data.- Lausanne: EPFL Press, 2004.- 288 p.

393

(програмное обеспечение «Геостат Офис» для построения пространственных трендов даных)

157. Kanevsky M., Arutyunyan R. and other. Chernobyl Fallouts: Review of Advanced Spatial Data Analysis, geoENV I − Geostatistics for Environmental Applications. ed. A Soares, J. Gomes-Hernandes, R. Froidvaux, Kluwer Academic Publishers, 1997, pp. 389-400.

158. Koltermann C.E., Gorelick S.M. Heterogeneity in sedimentary deposits: A review of structure-imitating, process-imitating and descriptive approaches // Water Resources Research. 32(9). – 1996. - pp. 2617-2658.

159. Kramer H. P. A generalized sampling theorem// J. Math. Phys.Vol. 38, - 1959/60 , pp.68–72.

160. Lacoss R. T., Data adaptive spectral analysis methods. Geophus. vol. 86, - 1971, pp. 661-675.

161. Lantuejoul Ch. Non conditional simulation of stationary isotropic multigaussian random functions (with discussion) // In M.Armstrong and P.A.Dowd, editors. Geostatistical Simulations. Proceedings of the Geostatistical Simulation Workshop. Fontainebleau. France. Kluwer. – 1994. - pp.147-184.

162. Matheron G. Les Variables Regionalisees et leur Estimation. Masson, Paris, 1965.

163. Matheron G. The intrinsic random functions and their application // Adv. Appl. Prob. 1973. - V.5. - P.439-468.

164. Matern B. Spatial Variation. Vtdd. Statens Skogsforsknigsinst., 1960, 49(5).

165. Mantoglov A., Wilson John L. Simulation of random fields with turning bands method// ‘’MIT Ralph M.Parsons Lab. Hydrol. And Water Syst. Rept’’, 1981, N 264, 199 p.

166. Meier S. Planar geodetic covariance functions // Revievs of Goephysics and Space Physics. - 19(4). - 1981. pp..673-686.

167. Meier S., Keller W. Gеostatistic. Springer. Wien. 1990. 168. Neveu J. Mathematical Foundations of Calculus of Probabiliry.

San Francisco: Holden-Day ,- 1965. 169. Nakamura Y. A. Method for Dynamic Characteristics Estimation

of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface //

394

Quarterly Report of RTRI, Railway Technical Research Institute (RTRI), 1989, Vol. 30, No. 1.

170. Nakamura Y., Gurler E.Dilek, Sanita J. and oth Vulnerability investigation of Roman Colosseum using Microtremor . Proceedings, 12th WCEE 2000 in Auck-land, NZ. – pp. 1-8.

171. Oliver M.A., Webster R. Semi-variograms for modeling the spatial pattern of landform and soil properties. Earth Surface Processes and Landforms, . – 1986. 11: pp.491-504.

172. Orsingher E. Evaluating The area of Gaussian isotropic fields on the sphere// Rev. Roum. Math. Pures at Appl. - 1985. – Vol. 30.- No. 2. - pp. 111-129.

173. Pogany T. An approach to the sampling theorem for continuous time process//Austr. J. Statist.-1989.-Vol.31, N 3, pp. 427-432.

174. Pogany T. On the perfect linear prediction of bandlimited stationary stocastic processes // Proceedings of the KOI’91,Zagreb (Lj.Martic L. Neralic cds.) Ekonomski fakultet, Zagreb, 1991.-256-259.

175. Rodriguez-Iturbe I., Mejia J.M. The design of rainfall networks in time and spase. Water Recourses Research, 1974, 10(4), pp.713-728.

176. Papoulis A. The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, 1962.

177. Papoulis A. Generalized Sampling expansion/ IEEE Trans. Circuits Syst. - 1977 , vol. CAS-24, pp.652-654/

178. Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. New York: McGraw-Hill, 1965.

179. Papoulis A. SignaI Analysis. New York: McGraw-Hill, 1977. 180. Ripley B.D. Stochastic Simulation // Wiley, New-York, 1987. 181. Ripley, B.D. Spatial statistics, John Wiley & Sons, Inc., New

York, -2004. 182. Roch R/ Spectral analysis for a random prosess on the circle

//Jornal Appl. Probab.-1972.-9- pp. 745-757. 183. Shannon C. E., Communication in the presence of noise// Proc.

IRE, vol. 37, - 1949, pp. 10-21. 184. Schlather M. An introduction to positive-definite functions and

unconditional simulation of random fields. Technical Report ST-99-10, Lancaster University, 1999, 19.

395

185. Shinozuka M, Jan C.M. Digital simulation of random processes and its applications // Jorn. of Sound and Vibration, 1972, V 25, N 1, 111-128.

186. Standish C.J. Two remarks on the reconstruction of sampled non bandlimited functions. IBM. J . Res. Develop., 11, 1997, pp. 648-649.

187. Stein Michel L. Interpolation of Spatial Data. Springer. New York. 1998, 247 p.

188. Seip K. Interpolation and Sampling in Spaces of Analytic Functions. University Lectures Series, 33. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

189. Stickler D. C. An upper bound on aliasing error// Pm. IEEE. Vol. 55, -. 1967, pp. 418-419 .

190. Stol P.T. Rainfall interstation correlation functions. I. An analytic approach // Jornal of Hydrology. - 50. - 1981. - pp. 45-71.

191. Thompson A.F.B., Ababou R., Gelhar W. Implementation of the three-dimensional turning bands random field generator // Water Resources Research. 25(10). – 1989. - pp. 2227-2243.

192. Vyzhva Z.O. About Approximation of 3-D Random Fields and Statistical Simulation// Random Operator and Stochastic Equation, 2003, Vol. 4, No. 3, pp. 255 – 266.

193. Vyzhva Z.O. On Approximation of Isotropic Random Fields on the Sphere and Statistical Simulation// Theory of Stochastic Processes. 1997, Vol. 3(19), N 3-4, pp. 463-467.

194. Vyzhva Z.O. The Statistical Simulation of Random Fields on the Plane whith Regular Lattice of Interpolation // Abstracts of the International Conference “Stochastic Analysis and its Applications”. 10-17 June 2001, Lviv, Ukraine. P.81.

195. Vyzhva, Z.O., Demidov, V.K., Vyzhva, A.S. (2018(a)). The statistical simulation algorithm of random fields on the sphere by the aircraft magnetometry data. 17th International Conference on Geoinformatics - Theoretical and Applied Aspects, 14-17 May 2018. Кiev. Ukraine.

196. Vyzhva, Z.O., Demidov V.K., Vyzhva A.S. (2018(б)). The Statistical Simulation of Random Fields with Whittle-Matren Сorrelation Function in the Geophysics Problem of Environment

396

Monitoring// XI International Scientific Conference «Monitoring of Geological Processes and Ecological Condition of the Environment» 13-16 November 2018, Kyiv, Ukraine– P 4.

197. Vyzhva, Z.O., Demidov V.K., Vyzhva A.S. (2018(в)). About statistical simulation methods of random fields on the sphere by the aircraft magnetometry data. //Visn. Kyiv University. Geology, 3(82), 107-113.

198. Vyzhva Z.O., Demidov V.K., Vyzhva A.S., Fedorenko K.V. Statistical simulation of 2D random field with Cauchu correlation function in the geophysics problem of environment monitoring//. //Visn. Kyiv University. Geology, 2017, 1(76), 93-99.

199. Vyzhva Z. O., Fedorenko K.V. The statistical simulation of 3-D random field by Kotelnikov-Shennon decompositions // Theor. Probability and Math. Statist., 2013, No. 88, 17- 31.

200. Vyzhva Z. O., Fedorenko K.V., Vyzhva A.S. The advanced procedure of statistical simulation оf seismic noise in the multidimensional area for determination the frequency characteristics of geological environment// Visn. Kyiv University. Geology, 2015, Vol. 2, No. 69, 79-86.

201. Vyzhva Z. O., Fedorenko K.V., Vyzhva A.S. (2016(a)). About advanced algorithm of statistical simulation of seismic noise in the flat observation area for determination the frequency characteristics of geological environment// Visn. Kyiv University. Geology, 2016. – Вип. 3 (74) – С. 81 – 87.

202. Vyzhva Z. O., Fedorenko K.V., Vyzhva A.S. (2016(б)). Statistical simulation of 4D random fields by means of Kotelnikov-Shannon decomposition// Geoinformatica Polonica, 2016, No. 2, pp. 73-83.

203. Vyzhva Z. O., Vyzhva A.S. About methods of statistical simulation of random fields on the plane by the aircraft magnetometry data// Visn. Kyiv University. Geology, 2016, Vol. 4, No. 74, 88-94.

204. Wackernagel H. Multivariate Geostatistics. Springer. Berlin. 2003. - 387p

205. Vyzhva Z. O., Fedorenko K.V. About Statistical Simulation of 4D Random Fields by Means of Kotelnikov-Shannon Decomposition

397

/Columbia International Publishing, Journal of Applied Mathematics and Statistics.-2016.- Vol. 3.- No. 2.- pp. 59-81.

206. Wood A.T.A. When is a truncated covariance function on the line a covariance function on the circle? // Statistics @ Probability Letters. 24. - 1995. - pp. 157-164.

207. Yaglom A.M. Correlation Theory of Stationary and Related Random Functions. - Vol.I: Basic Results. Springer. New York. - 1987.

208. Yaglom A.M. Correlation Theory of Stationary and Related Random Functions. Vol. II: Supplementary Notes and References. Springer. New York. - 1987.

Documents

· 2 УДК 519.21 Вижва З.О. Статистичне моделювання в геології. Навчальний посібник.– К.: ВПЦ