ÊÎÍÊÓ�ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀçà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“26 þëè 2011 ã.Âàðèàíò �3Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è ñúññâîáîäåí îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ñ ⊠ å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è:4 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Öåíàòà íà ñìàðò�îí â íà÷àëîòî íà 2009 ã. å áèëà 1000 ëâ.  êðàÿ íà âñÿêàãîäèíà öåíàòà ìó ñå íàìàëÿâà ñ 10% ñïðÿìî öåíàòà â íà÷àëîòî íà ãîäèíàòà.Öåíàòà íà ñìàðò�îíà â êðàÿ íà 2010 ã. å áèëà:⊠ 810 ëâ. � 850 ëâ. � 900 ëâ. � 980 ëâ.

• Àêî cn =3 − n

2n2, òî çà êîå n å â ñèëà 0,1 ≤ cn ≤ 0,2 :

� n = 1 ⊠ n = 2 � n = 3 � n = 4

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 2x

x + 2− 4

x=

x − 4

xñà:

⊠ x = 2 � x = −2 è x = 0 � x = 0 è x = 4 � x =2

31

• Ïî-ãîëåìèÿò îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 2x2 + x − 3 = 0 å:� x = −3

2� x = 0 ⊠ x = 1 � x = 3

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 9x2 − 6x + a = 0, êúäåòî a å ïàðàìåòúð, ñà ðåàëíèïðè:� a ∈ (−∞;−1] ⊠ a ∈ (−∞; 1] � a ∈ [−1; +∞) � a ∈ [1; +∞)

• Àêî x1 è x2 ñà êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 − 7x + 10 = 0, òî x21x2 + x1x

22 =

� −70 � −30 � 30 ⊠ 70

• Çà ðåøåíèÿòà (x; y) íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x − y = 2xy = 3

å â ñèëà:� x2 + y2 = 4 � x2 + y2 = 9 ⊠ x2 + y2 = 10 � x2 + y2 = 13

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 4x + 1

x + 2≤ 3 ñà:

� x ∈ (−∞; 5) ⊠ x ∈ (−2; 5] � x ∈ (−2;−1

4] � x ∈ (−2; +∞)

• Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = −x2 + 10x − 9, x ∈ [0; 10], å:� −9 � 0 � 5 ⊠ 16

• Êîé èíòåðâàë ñúäúðæà êîðåí íà óðàâíåíèåòî √4x2 − 11 = 5 :

� (−∞;−4) � [−1; 1] ⊠ [2; 4) � [4; +∞)

• Êîëêî ïîëîæèòåëíè êîðåíà èìà óðàâíåíèåòî 3x+2 +1

3x

= 6 :⊠ 0 � 1 � 2 � 4

• Ñòîéíîñòòà íà èçðàçà lg 2 + lg 4 + lg 5 + lg 25 å:⊠ 3 � 4 � 10 � 36

2

• Çà àðèòìåòè÷íàòà ïðîãðåñèÿ {an} å äàäåíî a3 = 6 è a7 = 18. Ñáîðúò îò÷ëåíîâåòå íà ïðîãðåñèÿòà a4 + a5 + a6 å ðàâåí íà:� 24 � 30 ⊠ 36 � 72

• Òðåòèÿò è ÷åòâúðòèÿò ÷ëåí íà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñèÿ ñà a3 =1

4è a4 =

1

8.Ïúðâèÿò ÷ëåí íà ïðîãðåñèÿòà å ðàâåí íà:

� 0 �1

8�

1

2⊠ 1

•  △ABC å ïðåêàðàíà âèñî÷èíàòà AH, H ëåæè íà îòñå÷êàòà BC. ÀêîAH = 12, BH = 9 è CH = 5, òî ïåðèìåòúðúò íà △ABC å:� 32 � 36 � 39 ⊠ 42

•  ðàâíîáåäðåí òðàïåö äèàãîíàëèòå ñà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíè è ïðåñå÷íàòàòî÷êà íà äèàãîíàëèòå ãè äåëè â îòíîøåíèå 5 : 12. Àêî a å äúëæèíàòà íàãîëÿìàòà îñíîâà, b � íà ìàëêàòà îñíîâà è c � íà áåäðîòî íà òðàïåöà, òî:� b < a < c � b = c < a ⊠ b < c < a � c < b < a

•  ïðàâîúãúëíèêà ABCD ñ äúëæèíè íà ñòðàíèòå AB = 4 è BC = 2 åïðåêàðàíà úãëîïîïîëîâÿùàòà CL (L ∈ AB) íà <) BCD. �àçñòîÿíèåòî îòòî÷êàòà D äî ïðàâàòà CL å:� 2 ⊠ 2

√2 � 4 �

2√2

• Â △ABC å äàäåíî AB = 6, BC = 10 è <) ABC = 60◦. Äúëæèíàòà íàñòðàíàòà AC å:⊠ 2

√19 � 8 � 14 � 19

√2

• Êîëêî êîðåíà èìà óðàâíåíèåòî 3 tgx − 2 = 0 â èíòåðâàëà (−π

2;π

2) :

� 0 ⊠ 1 � 2 � ïîâå÷å îò 2• Êîÿ îò òî÷êèòå å îò ãðà�èêàòà íà �óíêöèÿòà y = 2x − 3 :

� A(2;−3) � B(2; 3) � C(1; 1) ⊠ D(0;−3)

3

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð◮ �ðóïà îò 10 ñòóäåíòè ñå ÿâÿâà íà èçïèò, êàòî îöåíêà 6 ïîëó÷àâàò 2 ñòóäåíòè,îöåíêà 5 ïîëó÷àâàò 5 ñòóäåíòè, îöåíêà 4 ïîëó÷àâàò 3 ñòóäåíòè. Ñðåäíèÿò óñïåõîò èçïèòà íà ãðóïàòà å:Îòãîâîð: 4,90

◮ �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî (4

3

)2x−1

≥ 1 ñà:Îòãîâîð: x ∈ [1

2; +∞)

◮ Ìíîæåñòâîòî îò äîïóñòèìèòå ñòîéíîñòè íà 1

log3(x − 2)å:Îòãîâîð: (2; 3) ∪ (3; +∞)

◮ Ïðîèçâîäíàòà íà �óíêöèÿòà y(x) = x4 + 2x − 3 sin x å:Îòãîâîð: 4x3 + 2 − 3 cos x

◮ Çà êîè ñòîéíîñòè íà x �óíêöèÿòà f(x) = 2x3 + 3x2 − 3, x ∈ (−∞; +∞), èìàëîêàëíè åêñòðåìóìè?Îòãîâîð: 0 è −1

◮ Ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê èìà äúëæèíà íà õèïîòåíóçàòà 8 è ðàäèóñ íà âïè-ñàíàòà îêðúæíîñò 2. Ëèöåòî íà òðèúãúëíèêà å:Îòãîâîð: 20

◮ Â △ABC å äàäåíî <) ACB = 30◦ è <) BAC = 45◦. Îòíîøåíèåòî AB2 : BC2å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 1 : 2

◮  ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäà äúëæèíàòà íà îñíîâíèÿ ðúá å 12, à íàîêîëíèÿ ðúá √136. Ïúëíàòà ïîâúðõíèíà íà ïèðàìèäàòà å:Îòãîâîð: 384

◮ Öèëèíäúð å îïèñàí îêîëî ñ�åðà ñ ïîâúðõíèíà 64π. Îáåìúò íà öèëèíäúðà å:Îòãîâîð: 128π

◮ Îò êóòèÿ ñ 15 ÷åðâåíè è 6 ñèíè òîïêè ñà èçâàäåíè áåç âðúùàíå 2 òîïêè. Âåðî-ÿòíîñòòà èçâàäåíèòå òîïêè äà áúäàò ÷åðâåíà è ñèíÿ å:Îòãîâîð: 3

7 4