EL MÉTODO DE LA EL MÉTODO DE LA SECANTE SECANTE

Métodos abiertosMétodos abiertos

El Método de la SecanteEl Método de la Secante Se deriva del Se deriva del

método de método de Newton-RaphsonNewton-Raphson

Se aproxima la Se aproxima la derivada derivada mediante mediante diferencia finita diferencia finita dividida hacia dividida hacia atrásatrás

)(

)(1

i

iii xf

xfxx

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

Fórmula de la SecanteFórmula de la Secante Se obtiene la fórmula de la secanteSe obtiene la fórmula de la secante::

Se observa que este método requiere Se observa que este método requiere 2 valores iniciales de x. 2 valores iniciales de x.

Sin embargo, no se necesita que f(x) Sin embargo, no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo que no es un cambie de signo, por lo que no es un método cerrado.método cerrado.

)()(

))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Algoritmo para la SecanteAlgoritmo para la Secante

1) Se dan 2 valores: X1) Se dan 2 valores: Xii y X y Xi-1i-1

2) Se calcula f(x2) Se calcula f(xii) y f(x) y f(xi-1i-1))

3) Se obtiene X3) Se obtiene Xi+1i+1 mediante la fórmula mediante la fórmula de la secantede la secante

4) Se vuelve al paso 2 para encontrar 4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva raízuna nueva raíz

Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y Falsa PosiciónFalsa Posición

Si recordamos la Si recordamos la fórmula de la falsa fórmula de la falsa posición:posición:

Y vemos la fórmula Y vemos la fórmula de la secante:de la secante:

)()(

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ul

uluur xfxf

xxxfxx

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))((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y Falsa PosiciónFalsa Posición

Se diferencian Se diferencian por la forma por la forma en que uno de en que uno de los valores los valores iniciales se iniciales se reemplaza con reemplaza con la la aproximación.aproximación.

Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de SecanteSecante

Problema 6.5 (Chapra, Canale):Problema 6.5 (Chapra, Canale):

Determine la menor raíz real de:Determine la menor raíz real de:

a) Gráficamentea) Gráficamente

b) Usando el método de la secante para un b) Usando el método de la secante para un valor de Evalor de Ess con tres cifras significativas con tres cifras significativas

32 5.2172211)( xxxxf

Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf

xx yy

-1-1 30.530.5

-0.5-0.5 4.564.56

00 -11-11

11 -18.5-18.5

22 -7-7

33 8.58.5

44 1313

55 -8.5-8.5

a) Gráficamentea) Gráficamente

4.0x

Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf

b) Por el método de la secante (Eb) Por el método de la secante (Ess<0.05%)<0.05%)

IteraciónIteración xxi-1i-1 xxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)

11 -1-1 00 -0.2651-0.2651 --

22 00 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 35.735.7

33 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 8.78.7

44 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 0.520.52

55 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 -0.3813-0.3813 0.0040.004

Método de la Secante Método de la Secante ModificadoModificado

Se aproxima la Se aproxima la derivada de la derivada de la función con un función con un método de cambio método de cambio fraccionario de la fraccionario de la variable.variable.

Se reemplaza en la Se reemplaza en la ecuación de ecuación de Newton-RaphsonNewton-Raphson

i

iiii x

xfxxfxf

)()(

)(

)(

)(1

i

iii xf

xfxx

Con lo que se obtiene la fórmula de la Con lo que se obtiene la fórmula de la secante modificada:secante modificada:

Nótese que ahora solo se requiere un valor Nótese que ahora solo se requiere un valor de x inicial y el valor del cambio fraccionario.de x inicial y el valor del cambio fraccionario.

Fórmula de la Secante Fórmula de la Secante ModificadaModificada

)()(

)(1

iii

iiii xfxxf

xfxxx

Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de Secante ModificadoSecante Modificado

Problema 6.7 (Chapra, Canale):Problema 6.7 (Chapra, Canale):

Calcule la raíz real de xCalcule la raíz real de x3.33.3=79, con el =79, con el método de la secante modificado que método de la secante modificado que cumpla con Ecumpla con Ess=0.1%. Intente diferentes =0.1%. Intente diferentes valores de δ y analice los resultados. valores de δ y analice los resultados.

Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7793.3 x

Para δ=0.01 x=3.758707344Para δ=0.01 x=3.758707344

IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)

11 3.53.5 3.5353.535 3.78033.7803 --

22 3.78033.7803 3.81813.8181 3.75893.7589 0.50.5

33 3.75893.7589 3.79643.7964 3.75873.7587 0.0050.005

Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7793.3 x

Para δ=0.1 x=3.758707344Para δ=0.1 x=3.758707344

IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)

11 3.53.5 3.853.85 3.77233.7723 --

22 3.77233.7723 4.14954.1495 3.75923.7592 0.30.3

33 3.75923.7592 4.13514.1351 3.75873.7587 0.010.01

Ejemplo Programado en Ejemplo Programado en MatLab …MatLab …