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学员专用 请勿外泄
2019 年杭州教师招聘统考备考指导
数学
前言
致即将踏上征程的你：
教师，乃文明薪火之传承者，亦人生幸福之完满者。孟子之“三乐”，惟教师而能得之。家
庭美满，一乐也；无愧天地，二乐也；得天下之英才而教育之，三乐也。光荣而高尚的职业，快
乐而美满的生活；桃李天下，幸福人生，是人之梦想，亦为国家民族之梦想！
今天，你为自己的教师梦想而来，带着你的热情与信心，带着你的勤奋与努力，同时也带着
你的憧憬与想象。此时此刻，你的梦想已经连接了所有人的梦想：
你连接了那些将成为你的学生们的梦想——接受你的教育，改变命运！
你连接了国家民族的中国梦想——国家富强、民族振兴、人民幸福！
当然，你的梦想也连接了中公教师的梦想！
中公教师致力于帮助他人实现梦想为自己的梦想。十余年间，中公教育初心不忘，善心不改。
雄厚的师资力量，严谨的治学风范，丰富的教学经验，是中公教育屹立的姿态。
翻开这本书，你的梦想就与中公教师的梦想合二为一了！
我们的热情，将是你勇敢前进的呐喊声；
我们的经验，将是你攀登高峰的垫脚石；
我们用心血和汗水凝聚的这本《备考指导》，将是你走向三尺讲台实现梦想道路上的坚实阶
梯！
考情分析帮助你拨开迷雾，指引方向；
实战练习帮助你演练考试，查漏补缺。
相信通过你的努力，可以迈过一条条的沟坎，翻越一座座的高山，最终抵达理想的高峰！
来吧，让我们一起，为实现你的教师梦，成就幸福快乐的人生，努力吧！
学员专用 请勿外泄
目录
第一部分 考情分析..........................................................................................................1
第二部分 专业知识..........................................................................................................5
小学数学..................................................................................................5
中学数学................................................................................................19
第三部分 教材教法........................................................................................................35
第四部分 实战练习........................................................................................................47
浙江杭州教师招聘考试小学数学模拟卷............................................47
浙江杭州教师招聘考试中学数学模拟卷............................................52
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1
第一部分 考情分析
小学数学考试科目及题型题量
2017年 5月浙江杭州教师招聘考试题型题量 2018年 1月浙江杭州教师招聘考试题型题量
科目名称：《小学数学》
总分值：100 分 总时限：120 分钟
一、选择题（共 8 题，每题 3 分，共 24 分）
二、填空题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分）
三、解答题（共 6 题，19 题 6 分，20 题 6 分，21
题 6 分，22 题 8 分，23 题 6 分，24 题 14 分，共 46 分）
科目名称：《小学数学》
总分值：100 分 总时限：120 分钟
一、填空题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分）
二、选择题（共 8 题，每题 3 分，共 24 分）
三、解答题（共 4 题，19 题 6 分，20 题 6 分，21
题 6 分，22 题 8 分，共 26 分）
四、教学设计题（共 2 题，23 题 6 分，24 题 14
分，共 20 分）
总结：
1．考试科目对比：《小学数学》。
2．考试时间对比：前者为 2017 年 5 月 30 日；后者为 2018 年 1 月 14 日，杭州统考一般一
年考两次，一次在 1 月份，一次在 5 月份。
3．考试题型题量对比：2018 年 1 月题型增加教学设计，总题量无变化，一般都是考查选择
题、填空题、解答题，其中 2018 年 1 月的教学设计为之前的解答题分出去的两道教材教法题，
总体无变化。
各模块考点分值对比
模块名称 年份 具体内容 分值（分） 比重（%）
模块：小学知识
2017 年 5 月
数的认识：真分数、假分数
数的运算：因数与倍数、商与余数的
关系、找规律、分数的拆分、减法运
算、最小公倍数与最大公约数、小数
乘法、2，3，4，5 的倍数特征
空间与图形：图形的拆拼
应用题：工程问题、组合数、抽屉原
理、分数问题、分数问题
66 分 66%
2018 年 1 月
数的认识：整数的认识与大小比较、
整数的奇偶性、分数除法和倒数、分
数与近似数的概念、十进制数与二进
制数的换算
数的运算：余数与公倍数、数字的规
律、分数加减运算、最小公倍数与因
数
60 分 60%
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2
空间与图形：常见几何体的直观图、
圆锥体积
应用题：抽屉原理、隔板法求组合数、
分数应用题、浓度问题
模块：初中知识
2017 年 5 月三角形：构造三角形、勾股定理
圆：弧长计算6 分 6%
2018 年 1 月
三角形：勾股定理、面积
正方形：面积
图形与变换：正方形的展开图、简单
图形的旋转
统计与概率：中位数、等可能事件的
概率
20 分 20%
模块：高中知识
2017 年 5 月 三角函数：余弦定理 8 分 8%
2018 年 1 月 无 0 分 0%
模块：教材教法
2017 年 5 月
教材解读：设计意图、教学目标、学
习意义
教案设计：毫米，分米的认识
20 分 20%
2018 年 1 月
教材解读：几何直观”意义、用几何
直观探索算式的积
教学设计：异分母分数加、减法
20 分 20%
模块：小学知识
1．具体知识点变化：涉及到的考点无变化，但细节的知识点有明显增加比如增加十进制与
二进制的转换、整数的奇偶性等。
2．所占比重的变化：减少 6%。
3．提分知识点：小学考查占比较大，小学知识点考查涉及数的认识、数的运算、空间与图
形、应用题等知识点，但小学知识的考查也不是很常规有点偏奥数，因此考生在学习小学部分时
应该多注重一些奥数知识点的学习并能对小学基础知识熟练掌握。
模块：初中知识
1．具体知识点变化：2018 年 1 月增加了对四边形、图形与变换、统计与概率的考查，减少
了对圆的考查。
2．所占比重的变化：增加 14%。
3．提分知识点：初中知识考查的明显增加，初中知识点的考查涉及三角形、四边形、圆、
图形与变换、统计与概率等知识点，但初中知识的考查也是一些较基础的知识与小学知识联系很
紧密，比如初中知识的考查较多的涉及的平面图形的考查，多求解面积周长等。
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3
模块：高中知识
1．具体知识点变化：2018 年 1 月减少了对三角函数考查。
2．所占比重的变化：减少 8%。
3．提分知识点：高中知识考查占比很小，两次考试只涉及到三角函数的考点，但是综合近
几年的考情高中知识点的考查在逐渐减少，但三角函数、函数等知识点还是一些常考点，故应对
高中的常考点做到熟练掌握。
模块：教材教法
1．具体知识点变化：无变化。
2．所占比重的变化：无变化。
3．提分知识点：教材教法部分一般的考查涉及两个题，其中一个的考查比较偏教材解读的
考查，其中教材解读的考查比较新颖，会出现一些与教学知识、课程标准联系的题型的考查，另
一篇为教学设计的考查比较常规，因此需要我们对教材进行熟知并且能够与教学知识、课程标准
联系起来，教学设计的内容需要多加练习。
中学数学考试科目及题型题量
2017年 1月浙江杭州教师招聘考试题型题量 2017年 5月浙江杭州教师招聘考试题型题量
科目名称：《中学数学》
总分值：100 分 总时限：120 分钟
一、解题部分（共 81 分）
（一）选择题（共 10 题，每题 3分，共 30分）
（二）填空题（共 7题，每题 3分，共 21 分）
（三）解答题（共 3题，共 30 分）
二、教法部分（共 2题，共 19 分）
科目名称：《中学数学》
总分值：100 分 总时限：120 分钟
一、解题部分（共 80 分）
（一）选择题（共 10 题，每题 3分，共 30分）
（二）填空题（共 7题，每题 3分，共 21 分）
（三）解答题（共 3题，共 29 分）
二、教法部分（共 2题，共 20分）
总结：
1．考试科目对比：《中学数学》。
2．考试时间对比：前者为 2017 年 1 月 2 日；后者为 2017 年 5 月 30 日，杭州统考一般一年
考两次，一次在 1 月份，一次在 5 月份。
3．考试题型题量对比：题型与题量无变化，一般都是考查选择题、填空题、解答题和教法
部分。
各模块考点分值对比
模块名称 年份 具体内容 分值（分） 比重（%）
模块：高中知识 2017 年 1 月
函数：函数的单调性、奇偶性、函
数最值、函数零点
三角函数：诱导公式、解三角形
不等式：基本不等式
平面向量：向量的点乘与模长
数列：数列的通项公式与前 n 项和
81 分 81%
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4
直线与圆：直线间的位置关系
圆锥曲线：双曲线、抛物线的计算
立体几何：线与面的位置关系
复数：复数的简单计算
2017 年 5 月
集合与简易逻辑：交集、补集、充
分必要条件
函数：函数与方程、零点、最值
导数：切线方程、求参数值
三角函数：平移、诱导公式、二倍
角、余弦定理、解三角形
不等式：基本不等式、恒成立
向量：垂直、数量积
数列：等差数列
直线与圆：位置关系
圆锥曲线：双曲线、椭圆、过定点
问题
立体几何：直线与平面平行判定、
异面直线所成的角、线面垂直
二项式定理：常数项
80 分 80%
模块：教材教法
2017 年 1 月数学课程标准：四基、四能
教案设计：绝对值不等式的应用19 分 19%
2017 年 5 月数学教学知识：数学核心素养
数学案例分析20 分 20%
模块：高中知识
1．具体知识点变化：2017 年 5 月增加了对集合与简易逻辑、导数、二项式定理的考查，减
少了对复数的考查。
2．所占比重的变化：几乎无变化大约占比 80%。
3．提分知识点：高中知识考查的范围比较广，占比也较大，其中考查到的知识点为集合与
简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、不等式、数列、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、二
项式定理、复数等知识点，因此考生应对高中知识点做全面重点学习。
模块：教材教法
1．具体知识点变化：2017 年 5 月份增加了对教学知识、案例分析的考查，减少了对课程标
准、教学设计的考查。
2．所占比重的变化：几乎无变化大约占比 20%。
3．提分知识点：考查了课程标准中的四基四能和教学知识中的核心素养，学生可以做好相
关的记忆准备；还考查了学生对高中教材的理解，需要理解知识点的前后逻辑，认识到学生的学
习经验；在教学设计中，考查了学生的编题与课堂小结的能力，可多练习教案的书写，在案例分
析中给出一个教学设计案例让写出小结。
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第二部分 专业知识
小学数学一、考点
考点·数的有关概念
1．四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比 5 小就舍去，是 5 或大于 5 舍去
尾数向前一位进 1．2．因数和倍数：如果数 a能被数 b（b≠0）整除，a就叫做 b的倍数，b就叫做 a的因数（或
a的约数）；倍数和因数是相互依存的；一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．
3．最大公因数和最小公倍数
（1）最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．其中最大的一个，叫做这
几个数的最大公因数．如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数是 1．（2）最大公因数的性质
几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；
几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；
几个数都乘以一个自然数 n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以 n．（3）最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这
几个数的最小公倍数．如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数．
（4）最小公倍数的性质
几个数的最小公倍数分别除以它们，所得的几个商是互质数；
几个数的公倍数，都是这几个数的最小公倍数的倍数；
几个数都乘以一个自然数 n，所得的积的最小公倍数等于这几个数的最小共倍数乘以 n．4．奇数和偶数：自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数；能被 2 整除的数叫做偶
数；0 也是偶数；不能被 2 整除的数叫做奇数．
奇数与偶数的运算性质
性质 1：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数
性质 2：偶数±奇数＝奇数
性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质 5：偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数
5．质数与合数：一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），
100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数；
1 不是质数也不是合数，非零自然数除了 1 外，不是质数就是合数．
6．倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数；求一个数（0 除外）的倒数，只要把这个数的分子、
分母调换位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数．
考点·数的基础运算
1．基本运算
（1）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算．
加数＋加数＝和；被减数－减数＝差．
（2）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算．
被乘数×乘数＝积；被除数÷除数＝商……余数．
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（3）减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算．
2．运算顺序
（1）没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘除法，后算加减
法．
（2）有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的．
3．运算定律
（1）加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a b b a+ = + ．
（2）加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数
相加，它们的和不变，即 ( ) ( )a b c a b c+ + = + + ．
（3）乘法交换律
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a b b a´ = ´ ．
（4）乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相
乘，它们的积不变，即 ( ) ( )a b c a b c创 = 创 ．
（5）乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即
( )a b c a c b c+ ´ = ´ + ´ ．（反过来就是提取公因数）
（6）减法的性质
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即
( )a b c a b c ．
拓展： a b c a c b a b c a c b，- - = - - - + = + - ， ( ) ( )a b c a b c a b c a b c； ；+ - = + - - + = - -
( )a b c a b c- - = - + ； ( ) ( )a b c a b c a b c a b c；+ - = + - - + = - - ，其中 , ,a b c各表示一个数．
上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．
考点·运算技巧
1．加减法中的速算与巧算
（1）凑整法
凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，
再将各组的结果相加．
①移位凑整法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其他的数相加．
②借数凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
③分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与
被减数有相同尾数的减数．其中“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，
就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
（2）找“基准数”法：
当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减
去，把少加的数加上）．
2．乘法凑整
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千……的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相
乘，使得运算简便．
理论依据：
乘法交换率：a×b＝b×a
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乘法结合率：（a×b）×c＝a×（b×c）乘法分配率：（a＋b）×c＝a×c＋b×c积不变规律：a×b＝（a×c）×（b÷c）＝（a÷c）×（b×c）常见凑整： 4 25 100 ， 8 125 1000 ， 5 20 100 ，
12345679 9 111111111 （去 8 数，重点记忆）．
7 11 13 1001 （三个常用质数的乘积，重点记忆）．
3．提取公因数
思想核心：当一个算式中，每个乘法的运算部分中都有相同的因数时，我们可以逆用乘法分
配律，将这个相同的数提到括号外面，然后先计算括号内的数的加减运算，凑整后再与外面的数
相乘，使得运算简便．理论依据： ( )a x b x c x a b c x
4．乘、除法混合运算的性质
（1）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着
符号搬家）．
（2）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则
（3）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．
5．要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
（1）在“ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ ”、“ ”号都不变；
（2）在“ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ ”、“ ”号都改变，其中“ ”
号变成“ ”号，“ ”号变成“ ”号；
（3）在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“ ”号都不变，但此时括号
内不能有加减运算，只能有乘除运算；
（4）在“ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“ ”号都改变，其中“”
号变成“ ”号，“ ”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
6．分数与小数混合运算的技巧
技巧 1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便．
技巧 2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数．此时
要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数．
技巧 3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便．
技巧 4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定．
技巧 5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的互化，把这些常用数
的互化形成表格记忆对学习非常重要．
考点·比与比例
1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项
相当于除数，比值相当于商．
2．比例尺：（1）数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺；（2）线段比例尺：在图上
附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离．
3．比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
4．正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量
中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正
比例关系．用字母表示 y/x=k（一定）；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就
叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用字母表示 x×y=k（一定）．
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考点·面积和体积
1．平面图形
（1）长方形：S=ab．（2）正方形：S=a²．
（3）三角形：2ahS ．
（4）平行四边形：S=ah．
（5）梯形：
2a b h
S
．
（6）圆：S=πr2．
（7）扇形：2π
360n rS ．
（8）环形：S=π（R²-r²）．（9）弓形：一般来说，弓形面积 扇形面积－三角形面积（除了半圆）．
（10）“弯角”：如图： “弯角”的面积 正方形面积－扇形面积．
（11）“谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积×2．
2．立体图形
（1）长方体：S=2（ab+ah+bh），V=Sh，V=abh．（2）正方体：S 表=6a²，V=a³．（3）圆柱：S 侧=ch，S 表=S 侧+S 底×2，V=Sh．
（4）圆锥：3ShV ．
3．常用的思想方法
转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）；等积变形（割补、平移、旋转等）；
借来还去（加减法）；外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关
系”）．
考点·应用题
1．相遇问题
数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式．
2．追及问题
数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
3．植树问题
数量关系：线形植树棵数＝距离÷棵距＋1环形植树棵数＝距离÷棵距
方形植树棵数＝距离÷棵距－4（注：端点不植树）
三角形植树棵数＝距离÷棵距－3（注：端点不植树）
面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）
解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式．
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4．年龄问题
数量关系：年龄问题往往与和差，和倍，差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思
路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点．
解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法．
5．行船问题
数量关系：（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式．
6．列车问题
（1）列车过桥（隧道）
列车车长＋桥（隧道）长度（总路程）＝列车速度×通过的时间
（2）列车＋树（电线杆）
列车车长（总路程）＝列车速度×通过时间
（3）列车＋列车
错车问题：相当于相遇问题
快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度＋慢车速度）×错车时间
超车问题：相当于追及问题
快车车长＋慢车车长（总路程）＝（快车速度—慢车速度）×错车时间
7．时钟问题
数量关系：分针的速度是时针的 12 倍，
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算．
解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式．
8．工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式．
9．鸡兔同笼问题
数量关系：第一鸡兔同笼问题
假设全都是鸡，则有：兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有：鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔．如
果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．这类问题也叫置换问题．通
过先假设，再置换，使问题得到解决．
10．商品利润问题
数量关系：利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
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亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%解题思路和方法：简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式．
11．存款利率问题
数量关系：年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
考点·等腰三角形
1．等腰三角形的性质与判定
（1）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）．②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）．③等腰三角形是轴对称图形．
（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简
称为“等角对等边”）．2．等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的性质
①等边三角形的内角相等，且都等于 60°．②等边三角形的三条边都相等．
③等边三角形同样具有“三线合一”的性质．
④等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
（2）等边三角形的判定
①三条边相等的三角形是等边三角形．
②三个角相等的三角形是等边三角形．
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．
考点·直角三角形
1．直角三角形性质�
b
�
a
�
c
�
h
�
E
�
D
�
B
�
A
�
C
（1）角的关系： A B 90°．
（2）边的关系： 2 2 2a b c （勾股定理）．
（3）边角关系：90 130 2
CBC AB
A
（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一
半）（另外还有三角函数关系）．
（4）90 1
2C
CE ABAE BE
（直角三角形斜边上的中线 CE等于斜边 AB的一半）．
（5） 2ch ab S （如图， S是 Rt△ABC的面积， h是斜边上的高）．
（6）外接圆半径2cR ；内切圆半径
2a b cr
．
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11
2．直角三角形的判定
（1）有一个角等于 90°的三角形是直角三角形．
（2）有两角互余的三角形是直角三角形．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．
（4）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三
角形是直角三角形．
考点·三角形全等的判定
1．边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或
“SAS”）．
2．角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或
“ASA”）．
3．角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”
或“AAS”）．
4．边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
5．斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜
边、直角边”或“HL”）．
考点·平行四边形
1．平行四边形
（1）性质
①平行四边形对边平行且相等，对角相等；邻角互补；对角线互相平分．
②平行四边形两个邻角的平分线互相垂直，邻边不相等的平行四边形的两个对角的平分线互
相平行．
（2）判定
①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形．
③角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
④对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．矩形
（1）性质
①矩形的四个角都是直角．
②矩形的对角线相等．
③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）判定
①有三个角是直角的四边形是矩形．
②对角线相等的平行四边形是矩形．
3．菱形
（1）性质
①菱形的四条边都相等．
②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．
③菱形具有平行四边形的所有性质．
（2）判定
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①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
②四条边都相等的四边形是菱形．
4．正方形
（1）性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
②正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
③正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称
轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
（2）判定
①一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
②一组邻边相等的矩形是正方形．
③对角线互相垂直的矩形是正方形．
④有一个角是直角的菱形是正方形．
⑤对角线相等的菱形是正方形．
考点·圆
1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角对的弧、弦、弦心距有一组相等则其他几组对应相等．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
考点·视图
1．视图
主视图：从正面看到的图；左视图：从左面看到的图；俯视图：从上面看到的图．
2．画三视图的原则
长对正，高平齐，宽相等；在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线
通常画成虚线．
3．由三视图还原几何体
观察三视图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部
分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置．
考点·概率
1．事件的分类
10
1
PP
P
必然事件：确定事件
事件 不可能事件：
不确定事件(随机事件)：0
2．概率的计算方法
（1）利用概率的定义直接计算
一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A
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13
包含其中的 m种结果，那么事件 A发生的概率为： ( ) mP An
．
（2）树形图法．
（3）列表法．
（4）用频率估计概率（在大量重复试验中，事件 A发生的频率为mn ，我们可以估计事件 A
发生的概率为mn ）．
3．用面积法求概率：当随机事件的概率大小与几何图形的面积有关时，往往利用面积法求
概率，计算公式为：P（A）= A事件 发生的面积
总面积．
4．当一次试验要涉及 1 个因素时，通常采用枚举法求事件的概率；当一次试验涉及 2 个因
素时，可用列表法或画树状图法求概率；当一次试验涉及 3 个或 3 个以上的因素时，必须用画树
状图法求概率．
5．用试验估算某事件发生的概率 ： = 此事件出现的次数某事件发生的概率
实验的总次数．
考点·三角函数的图象与变换
1．三角函数的图象和性质
函数性
质siny cosy tany
定义域 R R ,2
k k Z
在一个
周期内
的图象
值域 1,1 1,1 R
对称性对称轴：
2x k k Z
对称中心： , 0k k Z
对称轴： x k k Z
对称中心：
,02
k k Z
对称中心：
,02k k Z
周期 2 2
单调性
单调增区间
2 , 22 2
k k ，
单调减区间
32 , 22 2
k k k Z
单调增区间
2 , 2k k
单调减区间
2 , 2k k
k Z
单调增区间
,2 2
k k k Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
2．函数 siny x 的图象经变换得到 siny A x 的图象的步骤如下
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考点·三角函数恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） sin sin cos cos sin ．
（2） cos cos cos sin sin ．
（3）tan tantan( )
1 tan tan
．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1） sin2 2sin cos ．
（2） 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ．
（3） 2
2 tantan 21 tan
．
3．辅助角公式
函数 sin cosf a b （ ,a b为常数）可以化为 2 2 sinf a b (0 2 ) ，其中
可由 ,a b的值唯一确定， tan ba
．
常见的有 sin cos 2 sin4
；
sin 3cos 2sin3
；
3sin cos 2sin6
．
考点·正余弦定理
1．正弦定理：a
sin A＝
bsin B
＝c
sin C＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（2）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
2RsinC；（3）sinA＝ a2R
，sinB＝ b2R
，sinC＝ c2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．余弦定理
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可以变形：cosA＝b2＋c2－a2
2bc，cosB＝a2＋c2－b2
2ac，cosC＝a2＋b2－c2
2ab．
3．S△ABC＝12absinC＝1
2bcsinA＝1
2acsinB＝abc
4R＝
12（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），
并可由此计算 R、r．4．在△ABC中，已知 a、b和 A时，解的情况如下
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 sina b A＝ sinb A a b a b a b解的个
数一解 两解 一解 一解
二、例题讲解
1．已知 A，B都是小于 10 的自然数，并且 A≠0，相同的字符所表示的数字也相同，那么
六位数 ABABAB一定（ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A．是偶数 B．能被 6 整除 C．是 5 的倍数 D．能被 3 整除
2．下面是一道有余数的整数除法，除数共有（ ）种可能．【2017 年 5 月浙江杭州】
34 = 4 （ ）（ ）
A．8 B．5 C．4 D．33．用若干台计算机同时录入一部节稿，计划若干小时完成。如果增加 3 台计算机，则只需
原时间的 75％，如果减少 3 台计算机，则比原定时间多用 56小时。那么原定录入这部书稿的时
间是（ ）小时．【2017 年 5 月浙江杭州】
A． 53
B． 103
C． 56
D． 116
4．算式 1 3 2 5 7 9 10 11 12+ + + + + + + +3 4 5 7 8 20 21 24 35
的得数是（ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A． 435
B． 445
C． 455
D． 465
5．下图中有 6 个点，分别为 A、B、C、D、E、F，选择其中不在同一条直线上的三个点作
为顶点可连出一个三角形．一共能连出（ ）个三角形．【2017 年 5 月浙江杭州】
A．120 B．22 C．20 D．186．下列叙述中，正确的是（ ）．
A．比例尺是一种尺子
B．图上距离和实际距离的比，叫作比例尺
C．由于图纸上的图上距离小于实际距离，所以比例尺小于 1
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D．按 5∶1 的比画出的图形比原图形小
7．如图，AD是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD上任意一点，
若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ）．
A．15 B．20 C．15+5 2 D．15+5 58．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分 AB 于 D，若 AC=9，
则 AE 的值是（ ）．
A． 6 3 B． 4 3 C．6 D．4
9．如图，AB∥EF，AB＝EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD（ ）．
A．BD＝FC B．∠A＝∠E C．AC∥DE D．AC＝ED
10．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小
相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）．
A． 13
B． 23
C． 19
D． 12
11．为得到函数1sin( )2 3
y x 的图象，只需将
1sin2
y x 图象上的每一个点纵坐标不变，横
坐标向（ ）．
A．左平移3个单位 B．右平移
3个单位
C．左平移23个单位 D．右平移
23个单位
12．一只袋子里装有同样大小的数量足够多的红球、白球和蓝球，小明从中每次摸 2 个球（摸
后放回），那么至少摸__________次才能保证其中有三次摸到的球相同．【2018 年 1 月浙江杭州】
13．自然数 N 除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 6．N 最小是__________．【2018 年 1 月
浙江杭州】
14．某车间有三道不同的工序，A 工序需要 5 名男工完成；B 工序需要 4 名男工和 2 名女工
完成；C工序需要 4名男工和 3 名女工完成；每道工序都有若干条流水线．已知这个车间有 9 条
流水线、38 名男工，18 名女工．求：C工序有_________条流水线．
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15． 183 183+2013 2014 2014 2015
的和是___________．（填最简分数）【2017 年 5 月浙江杭州】
16．在 1-100 的全部自然数中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有_________个．
17．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径为 4dm，高 5dm．容器中装有一些水，深 27cm，
现在在容器中放入一个底面半径为 1dm，高 4dm 的圆柱体铁棒，把铁棒垂直于容器底面，竖直
放在容器中，容器中水面上升多少 cm？
18．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图所示，请写出该几何体的名称，并根据图中
所给的数据求出它的表面积和体积．
19．如图，已知△ABC为等边三角形，点 D，E分别在 BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与
BE相交于点 F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．
20．如图，平行四边形 ABCD中，点 O是 AC与 BD的交点，过点 O的直线 EF与 BA，,DC
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的延长线分别交于点 E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF．
（2）请连接 EC，AF，则 EF与 AC满足什么条件时，四边形 AECF是矩形,并说明理由．
21．已知函数 2( ) 2sin 2 3sin cos 1f x x x x
（1）求 ( )f x 的最小正周期及对称中心；
（2）若 [ , ]6 3
x ，求 ( )f x 的最大值和最小值．
22．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 cosC＝45，c＝2bcosA．
（1）求证：A＝B；
（2）若△ABC的面积 S＝152，求 c的值．
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中学数学一、考点
考点·集合
1．集合的运算
（1）交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．（2）并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．（3）补集：∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．2．集合的运算性质
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．（3）补集的性质：A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A．（4）摩根定律：∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）．
考点·简易逻辑
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
（1）如果 p⇒q，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件．
（2）如果 p⇒q，q⇒p，则 p是 q的充要条件．
4．简单复合命题的真值表
p q 非 p 非 q p或 q p且 q
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
5．命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）p或 q的否定：非 p且非 q；p且 q的否定：非 p或非 q．
考点·函数基础知识
1．函数的定义
设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数 x ，
在集合 B中都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 :f A B 为从集合 A到集合 B的一个函
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数，记作 ,y f x x A ．
2．函数的单调性
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，
如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 1 2,x x
当 1 2x x＜ 时，都有 1 2f x f x＜ ，
那么就说函数 f x 在区间 D上是增函数
当 1 2x x＜ 时，都有 1 2f x f x＞ ，
那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函
数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
3．函数的奇偶性
（1）奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x 就
叫做偶函数．
一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么函数 f x 就
叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称．
（2）奇、偶函数的性质
①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
相反．
②在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、
积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
③复合函数的奇偶性可以概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
4．函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任
何值时，都有 f x T f x ，那么就称函数 y f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做 f x 的最小正周期．
（3）由周期函数的定义，采用迭代法可得结论
①函数 f x 满足 f x a f x ，则 f x 是周期为 2a的函数．
②若 1 0f x a af x
恒成立，则 2T a ．
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③若 f x a f x a ，则 2T a ．
④若
11
f xf x a
f x
，则 4T a ．
5．函数的图象变换
（1）平移变换： 0y f x a a ＞ 的图象，可由 y f x 的图象沿 x 轴方向向左或向右平移
a 个单位得到； 0y f x b b ＞ 的图象，可由 y f x 的图象沿 y轴方向向上或向下平移 b个单
位得到．即“左加右减，上加下减”．
（2）对称变换： y f x 与 y f x 的图象关于 y轴对称； y f x 与 y f x 的图象关
于 x 轴对称； y f x 与 y f x 的图象关于原点对称； 1y f x 与 y f x 的图象关于直线
y x 对称．
（3）伸缩变换： 0y kf x k ＞ 的图象，可由 y f x 的图象上每一个点的纵坐标伸长 1k＞
或缩短 1k＜ 到原来的 k 倍而得到； 0y f kx k ＞ 的图象，可由 y f x 的图象上每一个点的横
坐标伸长 1k＜ 或缩短 1k＞ 到原来的1k 倍而得到．
（4）翻折变换：要得到 y f x 的图象，可先画出 y f x 的图象，然后“上不动，下翻
上”即可得到；由于 y f x 是偶函数，要得到 y f x 的图象，可先画出 y f x 的图象，然
后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．
6．函数图象的对称性
（1）若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 2 2f x b f a x ，则 y f x
的图象关于点 ,a b 成中心对称．
（2）若对函数 y f x 的定义域内的任一自变量 x 的值都有 2f x f a x ，则 y f x 的
图象关于直线 x a 成轴对称．
（3）函数 y f x 的图象与函数 2 2y b f a x 的图象关于点 ,a b 对称．
（4）函数 y f x 的图象与函数 2y f a x 的图象关于直线 x a 对称．
考点·函数的零点
1．函数零点的定义
对于函数 y f x x D ，把使 0f x 成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点．
2．几个等价关系
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方程 0f x 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点．
3．函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数 y f x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0f a f b ，那么
函数 y f x 在区间 ,a b 内有零点，即存在 ,c a b ，使得 0f c ，这个 c也就是 0f x 的根．
考点·指对幂函数
1．指数函数的图象与性质
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R值域 （0，＋∞）
性质
过定点（0，1）当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时，0＜y＜1 当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1
在（－∞，＋∞）上是增函数 在（－∞，＋∞）上是减函数
2．对数函数的图象与性质
y=logax a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
性质
过定点（1，0）当 x＞1 时，y＞0；当 0＜x＜1 时，y＜0 当 x＞1 时，y＜0；当 0＜x＜1 时，y＞0
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
3．幂函数的图象与性质
y＝xα α＝1 α＝2 α＝3 α＝ 12
α＝－1
定义
域R R R [0，＋∞） {x|x∈R且 x≠0}
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y∈R且 y≠0}奇偶
性
奇函
数偶函数
奇函
数
非奇非偶函
数奇函数
单调 增 x∈[0，＋∞）时，增； 增 增 x∈（0，＋∞）时，减；
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性 x∈（－∞，0]时，减 x∈（－∞，0）时，减
考点·三角函数的图象与变换
1．三角函数的图象和性质
函数性
质siny cosy tany
定义域 R R ,2
k k Z
在一个
周期内
的图象
值域 1,1 1,1 R
对称性对称轴：
2x k k Z
对称中心： , 0k k Z
对称轴： x k k Z
对称中心：
,02
k k Z
对称中心：
,02k k Z
周期 2 2
单调性
单调增区间
2 , 22 2
k k ，
单调减区间
32 , 22 2
k k k Z
单调增区间
2 , 2k k
单调减区间
2 , 2k k
k Z
单调增区间
,2 2
k k k Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
2．函数 siny x 的图象经变换得到 siny A x 的图象的步骤如下
考点·三角函数恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） sin sin cos cos sin ．
（2） cos cos cos sin sin ．
（3）tan tantan( )
1 tan tan
．
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2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1） sin2 2sin cos ．
（2） 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin ．
（3） 2
2 tantan 21 tan
．
3．辅助角公式
函数 sin cosf a b （ ,a b为常数）可以化为 2 2 sinf a b (0 2 ) ，其中
可由 ,a b的值唯一确定， tan ba
．
常见的有 sin cos 2 sin4
；
sin 3cos 2sin3
；
3sin cos 2sin6
．
考点·正余弦定理
1．正弦定理：a
sin A＝
bsin B
＝c
sin C＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（2）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
2RsinC；（3）sinA＝ a2R
，sinB＝ b2R
，sinC＝ c2R
等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．余弦定理
可以变形：cosA＝b2＋c2－a2
2bc，cosB＝a2＋c2－b2
2ac，cosC＝a2＋b2－c2
2ab．
3．S△ABC＝12absinC＝1
2bcsinA＝1
2acsinB＝abc
4R＝
12（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），
并可由此计算 R、r．4．在△ABC中，已知 a、b和 A时，解的情况如下
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 sina b A＝ sinb A a b a b a b解的个
数一解 两解 一解 一解
考点·平面向量的基本概念及线性运算
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
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25
向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向
量的模平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作 0
单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 aa
平行向量 方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向
量
相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较
大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 02．平面向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法求两个向量和
的运算
交换律：a b b a 结合律：
( ) ( )a b c a b c
减法
求 a 与 b的相
反向量－ b的和的运算叫做
a 与 b的差 三角形法则
( )a b a b
数乘
求实数与向
量 a 的积的运
算
| a |＝||| a |；当 0 时， a 的方向与 a 的
方向相同；
当 0 时， a 的方向与 a 的
方向相反；
当＝0 时， a ＝ 0
a a
a a a
a + b a b
3．共线向量定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 b a ，则向量 b与非零向量 a 共线．
4．平面向量基本定理
如果 1 2e e， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，存在唯一一
对实数 1 2 ， ，使 1 1 2 2e e ＝ ＋a ．
其中，不共线的向量 1 2e e， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 1 2 1,AB x x y y
．
（2）向量加法、减法、数乘
设 1 1,x ya = ， 2 2,x yb = ，则
1 2 1 2,x x y y a + b = ， 1 2 1 2,x x y y a - b = ， 1 1,x y a = ．
（3）平面向量共线的坐标表示
设 1 1,x ya = ， 2 2,x yb = ，则 1 2 2 1 0x y x y ∥a b ．
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26
考点·平面向量的数量积
1．平面向量数量积的重要性质
（1）e·a＝a·e＝|a|cosθ．（2）非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0．（3）当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝ a·a．
（4）cosθ＝ a·b|a||b|
．
（5）|a·b|≤|a||b|．2．平面向量数量积满足的运算律
（1）a·b＝b·a（交换律）．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（λ为实数）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c．3．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
（1）若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ x2＋y2．
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B两点间的距离|AB|＝|AB→ |＝ x1－x22＋y1－y22．
（3）设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
考点·数列
1．等差数列
（1）基本公式： 1 ( 1)na a n d＝ ＋ ； 11
( ) ( 1)2 2
nn
n a a n nS na d ．
（2）等差数列的常用性质
①通项公式的推广： ,n ma a n m d n m N ．
②若 na 为等差数列，且 k l m n （ , , ,k l m n N ），则 k l m na a a a ．
③若 na 是等差数列，公差为d，则 2na 也是等差数列，公差为 2d．④若 na ， nb 是等差数列，则 n npa qb 也是等差数列．
⑤若 na 是等差数列，公差为d，则 2, , ,k k m k ma a a （ ,k m N ）是公差为md的等差数列．
（3）等差数列各项和的性质
①若 na 是等差数列，则 nSn
也是等差数列，其首项与 na 的首项相同，公差是 na 的公
差的12．
② 2 3, ,m m mS S S 分别为 na 的前 m 项，前 2m项，前 3m项的和，则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S 成等差
数列．
③关于非零等差数列奇数项与偶数项和的性质
a．若项数为 2n，则+1
, n
n
S aS S ndS a
奇奇偶
偶
．
b．若项数为 2 1n ，则 1 , , ,1n n n
S nS n a S na S S aS n
奇奇 奇偶 偶
偶
．
④若两个等差数列 na ， nb 的前 n 项和分别为 ,n nS T ，则2 1
2 1
n n
n n
a Sb T
．
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27
2．等比数列
（1）基本公式：1
1n
na a q （ 0q ）；1 1(1 )1 1
nn
na q a a qS
q q
（ 1q ）； 1 nS n a （ 1q ）．
（2）等比数列的常用性质
①通项公式的推广：n m
n ma a q ,nm N ．
②若 na 为等比数列，且 k l m n （ , , ,k l m n N ），则 k l m na a a a ．
③若 na ， nb 是等比数列，则 0na ，1
na
， 2na ， n na b 仍是等比数列．
（3）等比数列前 n项和的性质
①有公比不为 1 的等比数列 na （或公比为 1 且 m 为奇数），则 2 3 2, ,m m m m mS S S S S 仍成
等比数列，其公比为 mq ．
②当项数是偶数时， S S q 奇偶 ；当项数是奇数时， 1S a S q 奇 偶 ．
3．数列求和方法：（1）分组转化法；（2）错位相减法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法．
考点·导数
1．导数的几何意义
函数 f x 在点 0x 处的导数 '0f x 的几何意义是在曲线 y f x 上点 0 0,x f x 处的切线的斜
率．相应地，切线方程为 '0 0 0y f x f x x x ．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0f（x）＝xα（α为实数） f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sinx f′（x）＝cosxf（x）＝cosx f′（x）＝－sinx
f（x）＝ax（a>0，a≠1） f′（x）＝axlnaf（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝logax（a>0，a≠1） f′（x）＝ 1lnx a
f（x）＝lnx f′（x）＝ 1x
f（x）＝tanx f′（x）＝2
1cos x
f（x）＝cotx f′（x）＝－2
1s in x
3．导数的运算法则
（1） ' ' 'f x g x f x g x ．
（2） ' ' 'f x g x f x g x f x g x ．
（3）
' ' '
2 0f x f x g x f x g x
g xg x g x
．
4．复合函数的导数
复合函数 y f g x 的导数和函数 ,y f u u g x 的导数间的关系为' ' 'x u xy y u ，即 y对 x
的导数等于 y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
5．导数与函数的单调性
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28
在某个区间 ,a b 内，如果 ' 0f x ，那么函数 y f x 在这个区间内是增加的；如果 ' 0f x ，
那么函数 y f x 在这个区间内是减少的．
6．导数与函数的极值与最值
（1）判断 0f x 是极值的方法
一般地，当函数 f x 在点 0x 处连续时，①如果在 0x 附近的左侧 ' 0f x ，右侧 ' 0f x ，
那么 0f x 是极大值；②如果在 0x 附近的左侧 ' 0f x ，右侧 ' 0f x ，那么 0f x 是极小值．
（2）求可导函数极值的步骤
①求 'f x ；②求方程 ' 0f x 的根；③检查 'f x 在方程 ' 0f x 的根的左右两侧导数值的符
号．如果左正右负，那么 f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f x 在这个根处取
得极小值．
（3）函数的最值
①在闭区间 ,a b 上连续的函数 f x 在 ,a b 上必有最大值与最小值．
②若函数 f x 在 ,a b 上是增加的，则 f a 为函数的最小值， f b 为函数的最大值；若函数
f x 在 ,a b 上是减少的，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的最小值．
③设函数 f x 在 ,a b 上连续，在 ,a b 内可导，求 f x 在 ,a b 上的最大值和最小值的步骤如
下：a．求 f x 在 ,a b 内的极值；b．将 f x 的各极值与 f a ， f b 进行比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值．
考点·直线、圆的位置关系
1．两直线位置关系
（1）当 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b 时，
1 2 1 2l l k k ， 1 2b b ； 1 2 1 2 1l l k k ．
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否．
（2）当 1 1 1 1: 0l A x B y C ， 2 2 2 2: 0l A x B y C 时，
1 1 11 2
2 2 2
A B Cl lA B C
； 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ．
2．直线与圆的位置关系
设直线 : 0l Ax By C ，圆 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r ，圆心 ( , )C a b 到 l的距离为2 2
Aa Bb Cd
A B
，
则有 d r l 与C相离； d r l 与C相切； d r l 与C相交．
3．圆与圆的位置关系
设圆 2 2 21 1 1: ( ) ( )C x a y b r ， 2 2 2
2 2 2: ( ) ( )C x a y b R ．
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）与圆心距（ d）之间的大小比较来确定．
当 d R r 时两圆外离；当 d R r 时两圆外切；当 R r d R r 时两圆相交；当 d R r
时两圆内切；当 d R r 时两圆内含．
考点·圆锥曲线
1．椭圆
标准方程2 2
2 2 1x ya b （ 0a b ）
2 2
2 2 1y xa b
（ 0a b ）
范围 a x a － ， b y b － b x b － ， a y a －
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
焦点 （±c，0） （0，±c）
离心率cea
∈（0，1）
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29
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
2．双曲线
标准方程2 2
2 2 1x ya b （ 0a ， 0b ）
2 2
2 2 1y xa b
（ 0a ， 0b ）
范围 x a 或 x a－ ，y∈R x∈R， y a－ 或 y a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
焦点 （±c，0） （0，±c）
渐近线 y＝±bax y＝±a
bx
离心率cea
∈（1，＋∞）
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
3．抛物线
标准方
程y2＝2px（ 0p ） y2＝－2px（ 0p ） x2＝2py（ 0p ） x2＝－2py（ 0p ）
范围 0x ，y∈R 0x ，y∈R 0y ，x∈R 0y ，x∈R对称轴 y＝0 x＝0
焦点 Fp2，0
F－p2，0
F0，p
2 F0，－
p2
离心率 e＝1准线方
程x＝－
p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
考点·简单几何体的表面积与体积
1．柱、锥、台和球的面积和体积
面积 体积
圆柱 S 侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S 侧＝πrl V＝13Sh＝1
3πr2h＝1
3πr2 l2－r2
圆台 S 侧＝π（r1＋r2）lV＝1
3（S 上＋S 下＋ S 上S 下）h
＝13
π（r21＋r22＋r1r2）h
直棱柱 S 侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S 侧＝12Ch′ V＝1
3Sh
正棱台 S 侧＝12（C＋C′）h′ V＝1
3（S 上＋S 下＋ S 上S 下）h
球 S 球面＝4πR2 V＝43πR3
2．几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形，它们的表面积等于侧面
积与底面面积之和．
考点·直线、平面的平行与垂直
1．线面平行
（1）判定：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平
行．
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（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线和交线平行．
2．面面平行
（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
3．线面垂直
（1）判定：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
（2）性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两平面平行．
4．面面垂直
（1）判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
（2）性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
考点·二项式定理
1．二项式定理0 1 1 1 *( ) ( )n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N ．
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 ( )na b 的二项展开式，其中的系
数 0,1,2, ,rnC r n 叫做二项式系数．式中的
r n r rnC a b
叫做二项展开式的通项，用 1rT 表示，即展开
式的第 1r 项 1r n r r
r nT C a b ．
2．二项展开式形式上的特点
（1）项数为 1n ．
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n．
（3）字母 a按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐项减 1 直到零；字母b按升幂排列，从
第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n．
（4）二项式系数从0 1,n nC C ，一直到
1,n nn nC C
．
3．二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn nC C ．
（2）增减性与最大值：二项式系数rnC ，当
12nr
时，二项式系数是递增的；当1
2nr
时，
二项式系数是递减的．
当 n是偶数时，中间的一项 2n
nC 取得最大值．
当 n是奇数时，中间两项1
2n
nC
和1
2n
nC
相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和
( )na b 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n ，即0 1 2 2r n nn n n n nC C C C C ．二项展
开 式 中 ， 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等 于 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即1 3 5 0 2 4 12nn n n n n nC C C C C C ．
二、例题讲解
1．若集合1 2| 1 1 3 , | 02
xA x x B xx
，则 A B （ ）．
A． | 4 0x x B． | 0 4x x
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C． | 0 2x x D． | 2 4x x
2．设直线 1 : 2 1 0l x my ， 2 : 1 1 0l m x y ．则 " 2"m 是 1 2" / / "l l 的（ ）．【2017 年 1
月浙江杭州】
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 2 2y x x 在区间 2,3 上的最大值是（ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A．0 B．3 C．4 D．5
4．函数1( ) ( ) sin2xf x x 在区间 [0,2 ] 上的零点个数为（ ）．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．函数 f（x）＝x·2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．当 x＝ 1ln 2
时，f（x）取最大值
B．当 x＝ 1ln 2
时，f（x）取最小值
C．当 x＝－1
ln 2时，f（x）取最大值
D．当 x＝－1
ln 2时，f（x）取最小值
6．为得到函数1sin( )2 3
y x 的图象，只需将
1sin2
y x 图象上的每一个点纵坐标不变，横坐
标向（ ）．
A．左平移3个单位 B．右平移
3个单位
C．左平移23个单位 D．右平移
23个单位
7．在等差数列 na 中， 2 45, 7a a ，则 6a （ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A．9 B．10 C．11 D．12
8．已知向量 ( 3,1), ( ,9)a b x
，若 a b
，则 x （ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A．1 B．2 C．3 D．49．已知圆 O 的方程为 2 2 1x y ，过点 ( 2,0)P 作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则直线
AB 方程为（ ）．【2017 年 5 月浙江杭州】
A． 3x B．12
x C． 2x D．3
2x
10．从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六和星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）．
A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种
11．已知向量 a＝（1，n），b＝（－1，n），a·b＝2，则|a|＝________．
12．已知函数 2( ) 2sin 2 3sin cos 1f x x x x
（1）求 ( )f x 的最小正周期及对称中心；
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（2）若 [ , ]6 3
x ，求 ( )f x 的最大值和最小值．
13．在 ABC 中， a b c、 、 分别是三个内角 A B C、 、 的对边，4sin5
A ， ( , )2
A ， 41a ，
且 ABC 的面积为 4．【2017 年 5 月浙江杭州】
（1）求 cos( )4
A 的值；
（2）求 b c 的值．
14．在等差数列 na 中， 1 22 3 11a a ， 3 2 62 4a a a ，其前 n项和为 nS ．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 nb 满足1
nn
bS n
，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
15．已知 a∈R，函数 f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax．（1）若 a＝1，求曲线 y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若|a|＞1，求 f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．
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16．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧(左)视图与俯视图．已知 CF＝2AD，
侧视图是边长为 2 的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．
17．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为3
2，长轴长为 4 5，直线 l：y＝x＋
m交椭圆于不同的两点 A，B．（1）求椭圆的方程；
（2）求 m的取值范围；
（3）若直线 l不经过椭圆上的点 M（4，1），求证：直线 MA，MB的斜率互为相反数．
18．已知在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F
分别是 AC，AD 上的动点，且AEAC ＝
AFAD ＝λ（0<λ<1），如图．
（1）求证：不论λ为何值，恒有平面 BEF⊥平面 ABC；
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（2）当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？
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第三部分 教材教法
考点·教学设计
课题名称
一、教学目标
知识与技能：
过程与方法：
情感态度与价值观：
二、教学重难点
重点：
难点：
三、教学准备
（教具、学具、教法、学法）（可选）
四、教学过程
1．创设情境，导入新课
2．师生互动，探索新知
3．知识剖析，深化理解
4．生生合作，巩固提高
5．课堂小结，布置作业
五、板书设计
六、教学反思（略）
1．根据新课改的要求，教学目标要从知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观三个维度进行书写．
（1）知识与技能目标
知识与技能目标=行为主体+行为动词+行为条件（可选）+表现程度（可选）+学生行为所对应的内容．
（2）过程与方法目标
所谓过程，其本质是以学生认知为基础的知、情、意、行的培养和发展过程，是以智育为基础的德、
智、体全面培养和发展的过程，是学生的兴趣、能力、性格、气质等个性品质全面培养和发展的过程．所
谓方法，是指学生在学习过程中采用并学会的方法、或问题探究的方法、或问题的观察方法、或思维发散
的方法、或合作交流的方法、或解决问题的方法等．
（3）情感、态度与价值观目标
情感是指人的社会性需要是否得到满足时所产生的态度体验；态度这里不仅指学习态度和对学习的责
任，它还包括乐观的生活态度，求实的科学态度，宽容的人生态度等．价值观本指对问题的价值取向的认
识，这里也可指学生对教学中问题的价值取向或看法．
2．教学重、难点的确定
（1）重点：①课题分析法；②例题分析法．
（2）难点：知识远离学生生活实际，学生缺乏相应的感性知识；知识较为抽象，学生难以理解．
3．常见的课堂导入方法
（1）直接导入法
（2）复习导入法
（3）事例导入法
（4）趣味导入法
（5）悬念导入法
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（6）类比导入法
（7）实验导入法
（8）数学史导入法
4．新课讲授：新授环节分为“生成新知⇒深化新知⇒应用新知”
新课程倡导独立探索、合作交流、动手实践等学习方式，既要求教师的“讲授”，也要求师生的“对话”、
生生的“合作”．探究环节的处理方法可以百花齐放，不拘一格，但其教学的核心是“探究”而非“接受”．
5．课堂提问的原则
（1）目的性原则
（2）启发性原则
（3）适度性原则
（4）兴趣性原则
（5）循序渐进性原则
（6）全面性原则
（7）充分思考性原则
（8）及时评价性原则
6．巩固强化
练习是数学课堂教学的一个重要组成部分，它不仅有助于学生对知识的理解，巩固形成熟练的技能、
技巧，而且对学生智力发展和能力提高起着重要作用．巩固练习要遵循以下几点
（1）练习要有目的性，要围绕教学目标进行．
（2）练习要及时，使学生对当堂所获得信息反复循环，实现记忆层次的转化（瞬时记忆——短时记忆
——长时记忆）．
（3）练习要有层次性．
（4）练习要多样化，为巩固概念，选编基础变式题；为纠正差错选编判断、选择题；为拓宽思路，选
编多变、多解题等等．
（5）练习中要有反馈．
7．小结作业
（1）小结一般是回顾教学内容，紧扣教学重点．
（2）作业要满足不同学生，分层次留作业，低年级以“把知识应用到生活实际中”之类为佳．
考点·教学目标制定
教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量
的标准．教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上．
制定合理教学目标的要求
1．反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质．
2．要有计划性，可评价性．
3．格式要规范，用词要考究．
数学课程的总目标是从知识和技能、数学思考、解决问题、情感态度价值观等方面来阐述的．作为一
节课的课时目标，虽不强求这些方面都必须达成，但其中的一个或几个方面的目标是要达成的．
在表述对象上应该统一，不能以教师角度来描述的——“使学生……”，这种表述显然是不正确的，另
一条又是以学生角度来描述的——“经历……过程”．通常情况下，以学生为主体来表述比较恰当，也能够
充分体现学生的主体地位．
在用词上要慎重，既要有刻画知识技能的目标动词“了解、理解、掌握、灵活运用”，又要有刻画数学
活动水平的过程性目标"经历（感受）、体验（体会）和探索"等，只有明确了每一个词的含义，才能结合自
己的教学预设制定教学目标．否则容易"词不达意"，想的和写的不统一．
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4．要全面，不能“重知轻思”“重知轻情”等．
新课标将教学目标分为三个方面：知识与技能目标、过程与方法目标、情感、态度与价值观目标．也
就是说我们不仅要关注学生知识的获得，还要关注学生情感的变化．但在制定教学目标时，有时往往会特
别关注知识和技能方面的目标，而忽略其他方面的目标．
5．注意教学目标的层次性．
我们可从三个层次来制定教学目标
第一层次，以记忆为主要标志，培养以记忆为主的基本能力．测试基本事实、方法的记忆水平，标准
是：获得的知识量以及掌握的准确性．
第二层次，以理解为主要标志，培养以理解为主的基本能力，测试能否顺利地解决常规性、通用性问
题，包括能否满意地解决综合性问题．测试标准是：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等．
第三层次，以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试能否对解决问题的过程进行反思，
即检验过程的正确性、合理性及其优劣．标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等．
6．要实在具体，不浮华．
要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设．例如，一堂课的
目标中含有下列内容都是不合适的：
培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；
培养学生勇于探索、创新的个性品质；
体验数学的魅力，激发爱国主义热情，等等．
数学教学科学化，从制定教学目标上看，一要全面，二要具有可操作性，这是建立在对教学内容、学
生数学学习规律准确把握基础上的，需要有对细节的不断追求．制定目标的水平是衡量教师专业化水平的
重要标志．从当前的实际情况看，许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的“目标分类细目结构
图”，有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的．简言之，教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有
很大的提高空间，这是提高教师素质急需解决的问题．
【经典例题】
1．教学设计．
在课程基本理念中指出：注重培养学生创新精神和实践能力，要让学生理解最重要的知识与
技能，关注教与学的过程和方法，重点关注学生情感、态度与价值观的培养，突出培养创新精神
和实践能力的要求，激发学生的求知欲和创造潜能，增强学生关注社会、参与实践的积极性．
请根据下面教材素材撰写一份符合课程基本理念的教学过程设计．
三角形的面积
三个小朋友围在桌子前讨论怎么计算三角形的面积
其中 A 提出：能不能把三角形也转化成学过的；
B：用两个一样的直角三角形可以拼出四边形；
C：用两个同样的三角形可以拼出一个平行四边形；
观察拼成的平行四边形和原来的三角形，你发现了什么？
你能自己写出三角形的而积计算公式吗？
三角形的而积=_____________．如图，定义：如果用 S 表示三角形的面积，用 a 和 h 分别表示三角形的底和高，那么三角形
的面积计算公式可以写成： 2S ah ．
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2．根据教材截图回答下列问题．
（1）本节课的教学目标是什么？
（2）本节课的教学重、难点是什么？
（3）写出本节课的教学过程．
长方体和正方体的体积
提出问题：怎样知道一个长方体的体积呢？
A 说：如果能把它切成一些小正方体就好了．
B 说：能不能先测量，再计算出体积呢？
实验：用体积为 1cm2 的小正方体摆成不同的长方体．
说一说你是怎么摆的．
（1）把小组内摆法不同的长方体的相关数据填人下表．
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长 宽 高 小正方体的数量 长方体的体积
（2）观察上表，你发现了什么？
A 说：长方体所含张积单位的数量就是长方体的体积．
B 说：长方体的体积正好等于长宽 高的积．
长方体的体积=______________
如果用字母 V 表示长方体的体积，用 a、b、h 分别表示长方体的长、宽、高．那么长方体的体积计算
公式可以写成：V abh
小天使说：根据长方体和正方体的关系．你能想出正方体的体积怎样计算吗？
如果用字母 V 表示正方体的体积．用 a 表示它的棱长．那么正方体的体职计算公式可以写成：V a a a
小天使说： a a a 也可以写成 3a ，读作“ a 的三次方”，表示 3 个 a 相乘．
正方体的体积计算公式一般写成： 3V a ．
3．教学设计
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《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在课程内容中要求：创新意识的培养是现代数学教
育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；
独立思考、学会思考是创新的核心．归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法．
素材：如图所示：将正方形纸片 ABCD 折叠，使 B 点落在 CD 边上一点 E（不与 CD 重合），
压平后得到折痕 MN．
（1）试根据点 E 在 CD 上的位置变化，设置适当条件，编制一道数学题目；（不要求解答）
（2）依据上述素材和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”解题教学；撰写一份培养
学生观察与发现，归纳与推理能力的教学过程设计．（只需写出教学过程，突出探究的方法与问
题即可）
4．依据以下要求和素材，撰写一份侧重培养能力的教学过程设计（只要求写出教学过程）
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《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在课程总目标中提出，通过义务教育阶段数学的学
习，学生能体会数学知识之间，数学与其他学科之间，数学与生活之间的联系，运用数学的思维
方式进行思考，增强发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力．
素材：正比例函数
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318km，设列车的平均速度为 300km/h．考
虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留
小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 1（单位： h）之间有何数量关系？
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后，是否已经过了距始发站 1100km 的南京南站？
分析：（1）京护高铁列车全程运行时间约需
1318 300 4.4 h ．
（2）京沪高铁列车的行程 y 是运行时间 t的函数．函数解析式为
300 (0 4.4)y t t ．
（3）京沪高快列车从北京南站出发 2.5h 的行程，是当 t =2.5 时函数 y=300 t的值，即
300 2.5 750( )y km ．
这时列车尚未到达距始发站 1100km 的南京南站．
以上我们用函数 300 (0 4.4)y t t 对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论．尽管实际情况
可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律．
思考
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．这些函数解
析式有哪些共同特征？
（1）圈的周长 l随半径 r 的变化而变化．
（2）铁的密度为 37.8 /g cm ，铁块的质量 m（单位： g）随它的体积 V（单位： 3cm ）的变
化而变化．
（3）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本架在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本
的本数 n 的变化而变化．
（4）冷冻一个 0 oC的物体，使它每分下降 2 oC，物体的温度 T（单位：oC）随冷冻时间 t（单
位：min）的变化而变化．
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1） 2l r ；
（2） 7.8m V ；
（3） 0.5h n ；
（4） 2T t ．
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式，
一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数(pro-portional function)，其
中 k 叫做比例系数．
练习
1．下列式于中，哪些表示 y 是 r 的正比例函数？
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（1） 0.1y x ；（2）2xy ；（3） 22y x ；（4） 2 4y x
2．列式表示下列问题中的 y 与 x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为 x cm，周长为 y cm；
（2）某人一年内的月平均收入为 x元，他这年（12 个月）的总收入为 y 元；
（3）一个长方体的长为 2cm，宽为 1.5cm，高为 x cm，体积为 y 3cm ．
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5．阅读下面选自人教版《数学》八年级上册的内容，按要求完成教学设计．（10 分）
13．3.1 等腰三角形
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形（isoscelestriangle），下面，我们利用轴对称
的知识来研究等腰三角形的性质．
探究：
如图 13.3-1，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，在把它展开，得到的
△ABC 有什么特点？
图 13.3-1上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中 AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形．
探究：
把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？
我们可以发现等腰三角形的性质：
性质 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．由上面的操作过程获得启示，我们可以利用三角形的全等证明这些性质．
如图 13.3-2，△ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的中线 AD．
图 13.3-2∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C这样，我们就证明了性质 1．由△BAD≌△CAD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，
从而 AD⊥BC．这也就证明了等腰三角形解形 ABC 底边上的中线 AD 平分顶角∠A 并垂直于底
边 BC．用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，底边上的高平
分顶角并且平分底边，这也就证明了性质 2．从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三角
形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
例 1．如图 13.3-3，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD．求△ABC 各角
的度数．
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图 13.3-3解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=X，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=X+2x+2x=180°．解得 x=36°．所以，在△ABC 中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°练习（略）．
（1）知识技能目标：
（2）教学重点、难点：
（3）教材中的第二个探究主要是培养学生的哪一种推理能力？在证明性质 1 与性质 2 时主
要是培养学生的哪一种推理能力？
（4）课堂小结设计：
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6．根据教材截图完成下列问题．
（1）本节课的教学目标是什么？
（2）本节课的教学重、难点是什么？
（3）写出本节课的教学过程．
解三角形
这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即：
2 2 2 2 cosa b c bc A ，
2 2 2 2 cosb a c ac B ，
2 2 2 2 cosc a b ab C ．
提问：用坐标方法怎样证明余弦定理？还有其他方法吗？
应用余弦定理，我们可以从已知的两边和夹角计算出三角形的第三边．
思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已
知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
从余弦定理，可以得到它的推论：
2 2 2
cos2
b c aAbc
2 2 2
cos2
a c bBac
2 2 2
cos2
a b cCab
应用以上推论，就可以从三角形的三边计算出三角形的三个角．
从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量
化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方
之间的关系，如何看着两个定理之间的关系？
从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所
对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三
边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股订立的推广．
我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．
三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式，你该因此更喜欢三角函数了吧！
例 3 在 ABC 中，已知 60b cm ， 34c cm ， 41oA ，解三角形（角度精确到1o ，边长精确到1cm）．
解：根据余弦定理，
2 2 2 2 cosa b c bc A 2 260 34 2 60 34 cos 41o
3600 1156 4080 0.7547
1676.82
所以 41( )a cm ；
由正弦定理得，
sin 34 sin 41 34 0.656sin 0.54441 41
oc ACa
，
因为 c 不是三角形中最大的边，所以 C 是锐角，利用计算器可得
33oC ，
180 ( ) 180 (41 33 ) 106o o o o oB A C
例 4 在 ABC 中，已知 134.6a cm ， 87.8b cm ， 161.7c cm ，解三角形（角度精确到1o ）．
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解：由余弦定理的推理可得：
2 2 2
cos2
b c aAbc
2 2 287.8 161.7 134.62 87.8 161.7
0.5543
56 20'oA 2 2 2
cos2
a c bBac
2 2 2134.6 161.7 87.82 134.6 161.7
0.8398
32 53'oB
180 ( ) 180 (56 20' 32 53') 90 47'o o o o oB A B
提问：在解三角形的过程中，求某一个角可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，两种方式有什么
利弊呢？
我们讨论的解三角形的问题可以分成几种类型？分别是怎样求解的？要求解三角形，是否必须要至少
已知三角形一边的长？
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第四部分 实战练习
浙江杭州教师招聘考试小学数学模拟卷一、填空题（共 10题，每题 3分，共 30分）
1．化成最简分数：12345679111111111
=___________．
2．甲乙两数，如果甲数的小数点向右移动两位，乙数的小数点向右移动一位，则甲数与乙
数的比是 4 :1 ，甲数与乙数原来的最简整数比是____________．3．已知： 26A B C ， 8A B C ， 10A C ，则 A ___________．4．在下图中（单位：厘米），阴影部分面积是____________平方厘米（ 取 3.14）．
5．定义新运算“ ”，m n m m n n ，则 2 4 4 6 6 8 98 100 _____________．6．蓄水池有甲、乙、丙三个注水管，如果甲单独注水需要 18 小时注满水池；乙、丙合开需
要 9 小时注满水池；甲、丙合开需要 10 小时注满水池．则乙单开需要__________小时注满水池．
7．小明上坡每小时 3.6 千米，下坡每小时行 4.5 千米，有一个斜坡，小明先上坡再沿原路下
坡共用了 1.8 小时，这段斜坡的长度是_____________米．
8．21 颗同样大小的珍珠中有 1 颗次品（次品质量较轻），要找出这颗次品，用天平称，至
少称_____________次才能保证找出这颗次品珍珠．
9．一个长方体容器内盛有高 2.7 厘米的水，容器内部的底面积是 90 平方厘米．在容器中放
入棱长为 6 厘米的正方体铁块后，铁块露出水面_________________厘米．
10．A，B 两校的男、女生人数的比分别为 8:7 和 30:31，两校合并后男、女生人数的比是
27:26，则 A，B 两校合并前人数比是___________．二、选择题（共 8题，每题 3分，共 24分）
11．甲乙两人同时从 A 地到 B 地，10 分钟后乙到达 A 地，又过了 2 分钟，甲才走到 A 地
和 B 地的中点，则甲与乙的速度比为（ ）．
A． 5 : 6 B． 6 : 5 C．12 : 5 D． 5 :12
12．小明所在班级的人数不足30人，但比20人多，那么这个班男、女生人数的比可能是（ ）．
A． 8 : 3 B． 7 :8 C．11: 5 D． 3 : 7
13．如图，A、B 是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形的（ ）．
A．38
B．12
C．58
D．924
14．甲乙丙三人进行足球射门活动，甲五踢四进，乙六踢五进，丙七踢六进，已知三人射进
球的个数相同，共射进 630 个球，丙踢了（ ）个球．
A．144 B．175 C．210 D．24515．在下面的方格图中选一个交叉点（用 C 表示），连接 ABC 使它成为一个等腰三角形．则
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一共可以连出（ ）个等腰三角形
A．4 B．5 C．6 D．716．如图中的五个半圆，两只小虫同时出发，以相同的速度从 A 到 B 点，甲虫沿
1 1 2 2 3, ,ADA AEA A FA 3,AGB路线爬行，乙虫沿 ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）．
A．甲先到 B 点 B．乙先到 B 点
C．甲乙同时到达 B 点 D．无法确定
17．一个长为 19cm，宽为 18cm 的长方形，如果把这个长方形分成若干个正方形，要求正
方形的边长为正整数，那么该长方形最少可分成（ ）个正方形．
A．5 B．6 C．7 D．818．一个数有 6 个因数，其中最小的三个约数和为 11，求满足条件的最小的数为（ ）．
A．63 B．84 C．147 D．210三、解答题（共 6题，共 46分）
19．解不等式1 1 1
2 6x x
，并把解集在数轴上表示出来．（本题 6 分）
20．如下图，是三个半圆拼合在一起，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的面积．（单
位：厘米）（本题 6 分）
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21．如图，某公园摩天轮的半径为 40m，圆心距地面的高度为 50m，摩天轮做匀速转动，每
3min 转一圈，摩天轮上的点 P的起始位置在最低点处．（本题 6 分）
（1）已知在时刻 mint 时 P距离地面的高度 sinf t A t h ，（其中 0, 0,A ），
求 2017min 时 P距离地面的高度；
（2）当离地面 50 20 3 m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看
到公园的全貌？
22．如图，用高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体，
问这个物体的表面积是多少平方米．（ 取 3.14）（本题 8 分）
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23．《数学课程标准 2011 实验版》提出了“创新意识”这一核心词语，说一说什么是创新意
识，请举一个例子来说明“如何在教学中培养学生的创新意识”？（本题 6 分）
24．教学设计：请根据教材设计一份教案．（本题 14 分）
平行四边形的面积
展示两块花坛，其中一个为长方形花坛，一个为平行四边形花坛。
其中 A 说：要怎么比较两个花坛的大小呢？
B 说：要算他们的面积？
C 说：我只会算长方形的面积。
继续展示两个图形放在方格内的平面图，在方格上数一数，然后填写下表。（一个方格代表
1 2m ，不满一格的都按半格计算）
平行四边形 底 高 面积
长方形 长 宽 面积
小天使提问：你发现了什么？
D 说：不按数方格要怎么平行四边形的面积呢？
三个小朋友围在桌子旁边，
A 说：先沿高剪开，把三角形向右平移，再拼成.....B 说：可以把平行四边形变成一个长方形。
C 说：转化成长方形就能计算面积了。
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提出：观察原来的平行四边形和转化后的长方形，你发现它们之间有哪些等量关系？
A 说：平行四边形的底和长方形的（ ）相等。
B 说：这两个图形的面积（ ）。
C 说：平行四边形的（ ）和长方形的（ ）相等。
得到平行四边形的面积=_________________。如果用 s 表示平行四边形的面积，用 a 表示平行四边形的底，用 h 表示平行四边形的高，那
么平行四边形的面积计算公式可以写成： S ah
例 1：平行四边形花坛的底是 6 m，高是 4 m，它的面积是多少？
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浙江杭州教师招聘考试中学数学模拟卷
解题部分（满分 80 分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分）
1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12，则 a5等于（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．72．函数 3( ) sinf x x x (x∈R)，若 f(a)=2，则 f(-a)的值为（ ）．
A．3 B．0 C．-1 D．-2
3．已知向量 (2,3), ( ,4)a b x
，若 a b
，则 x （ ）．
A．-6 B．6 C．83
D．83
4．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 2 2 2 3a c b ac ，则角 B 的值为
（ ）．
A．6
B．3
C．6或
56
D．3或
23
5．若集合 A={x|x2-x＜0}，B={x|0＜x＜3}，则 A∩B 等于（ ）．
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．
6．函数 f(x)=1x
x 的最大值为（ ）．
A．25
B．12
C． 22
D．1
7．设 x 是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若直线 l不平行于平面 a ，且 l 与平面 a 相交，则（ ）．
A． a 内的所有直线与 l异面
B． a 内只存在有限条直线与 l共面
C． a 内存在唯一的直线与 l平行
D． a 内存在无数条直线与 l都相交
9．若(x+12x )n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4 项的系数为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
10．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( 1) ( )f x f x ，当 1,1)x 时，lg 1, 0 1
( ), 1 0x x
f xx x
，
那么函数 ( ) ( ) lgh x f x x 的零点个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共 7小题，每小题 3分，共 21分）
11．若直线 3x+4y+m=0 与圆 2 2 2 4 4 0x y x y 没有公共点，则实数 m 的取值范围是
________．
12．若双曲线2 2
2
16 13x y
p 的左焦点为 7 0 ， ，则 p _______．
13．函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移2个单位后，得到函数 ( )y g x 的图象，则 ( )y g x 的
解析式为_______．
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14．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是________．
15．若曲线 2f x ax lnx 存在垂直于 y轴的切线，则实数 a 的取值范围是________．
16．在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，
且满足BM CNBC CD
，则 AM AN
的取值范围是________．
17．若函数
23 4( 0)( ) ( 0)
0( 0)
x xf x x
x
，则 ( (0))f f ＝_______．
三、解答题（本大题共 3小题，共 29分）
18．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 , ,a b c，且 a c ，已知 2BA BC ，
1cos3
B ， 3b ，
求：
（1） a 和 c的值；
（2） cos( )B C 的值．（9 分）
19．如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD ， ABC DBC 0120 ，E、F、G 分别为 AC、DC、AD 的中点．
（1）求证： EF 平面 BCG；
（2）求三棱锥 D-BCG 的体积．附：椎体的体积公式13
V Sh ，其中 S 为底面面积，h 为高．
20．已知直线经过椭圆 C：2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左顶点 A（-2，0）和上顶点 D（1，0），
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椭圆 C 的右顶点为 B，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 与直线10:3
l x 分别
交于 M，N 两点，如图所示．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求线段 MN 的长度的最小值；
（3）当线段 MN 的长度的最小时，在椭圆 C 上是否存在这样的点 T，使得△TSB 的面积为
15？若存在，确定点 T 的个数，若不存在，请说明理由．（10 分）
教法部分（满分 20 分）
21．简述题：（1）中学数学教学中经常给学生渗透的数学思想有哪些？（2）就你的认识水
平，结合实例就其中一条展开说明．（10 分）
22．阅读下列文字，回答问题：
材料：关于线面垂直的课堂教学程序．
（1）试验：如图，过△ABC的顶点 A翻折纸片，得到折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置
在桌面上（BD、DC与桌面接触）
①折痕 AD与桌面垂直吗？
②如何翻折才能使折痕 AD与桌面所在平面 垂直？
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（2）直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直
线？
（3）师生互动
师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你
能举出更多的例子来吗？
师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？
生：旗杆与地面内任意一条经 B的直线垂直．
师：那么旗杆所在直线与平面内不经过 B点的直线位置关系如何，依据是什么？
生：垂直，依据是异面直线垂直的定义
师：你能尝试给线面垂直下定义吗？．
……
师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明．
师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）学生动
手实验，然后回答问题．
生：当且仅当折痕 AD是 BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直．
师：此时 AD垂直上的一条直线还是两条直线？
生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交．
师：怎么证明？
生：折痕 AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即 AD⊥CD，AD⊥BD……
师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化
的数学思想．
（1）你能否写出这一教学活动的教学目标；
（2）给这一教学活动写一个简短的分析．（10 分）
