หนวยการเรยนท 8

การหาความสงของวตถดวยกลองวดมม รายการเรยนการสอน

เรองท 8.1 หลกการของตรโกณมต เรองท 8.2 การหาความสงของวตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได เรองท 8.3 การหาความสงของวตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได เรองท 8.4 ใบงานท 8 การหาความสงของวตถดวยกลองวดมม

สาระส าคญ 1. งานระดบตรโกณมต เปนการหาคาระดบจดทมความสงหรอยอดเขาทการท าระดบ

ดวยกลองระดบท าไดไมสะดวกเนองจากพนทรก มลกษณะสงๆต าๆ มความลาดชนมาก การใชประยกตใชหลกการทางตรโกณมต

2. การหาความสงของวตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถ เปนวธการท าระดบตรโกณอยางงาย สามารถท างานไดรวดเรว

3. การหาความสงของวตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถ เปนวธการท าระดบตรโกณทซบซอนกวาวธแรก เพราะตองแกปญหาอนเนองจากไมสามารถวดระยะฐานสามเหลยมได ตองใชวธการค านวณชวย

4. ฝกทกษะในการท างานโดยการปฏบตหาความสงของวตถดวยกลองวดมมช านาญและความอดทน ละเอยดรอบคอบ

จดประสงคการเรยนการสอน (สมรรถนะการเรยนร)

1. อธบายหลกการของการระดบตรโกณมตได 2. บอกขนตอนของการหาความสงของวตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได 3. บอกขนตอนของการหาความสงของวตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได 4. มทกษะในการหาความสงของวตถดวยกลองวดมม

เรองท 8.1 หลกการของตรโกณมต

1. อตราสวนรปสามเหลยม ชาวอยปตโบราณท าการวดฐานของพระมดโดยการแบงเสนเชอกออกเปน 12 สวนเทาๆกน แลวท าเชอกใหเปนปมตรงสวนทแบงนน แลวดงใหตงเปนรปสามเหลยม ดวยอตราสวนของดาน 3 : 4 : 5 และมมทอยตรงขามกบดานทยาวทสดจะเปนมมฉากเสมอ จงเปนทนาเชอไดวาทฤษฎปทาโกรสเปนทรจกกนมาแพรหลายแลว

ทฤษฎบทปทาโกรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ดานตรงขามมมฉากยกก าลงสองมคาเทากบผลบวกของก าลงสอง

ของอกสองดาน

พจารณา รปสามเหลยมมมฉาก ABC

B สตร c2 = a2 + b2

c a แทนความยาวของดานตรงขามมม A a b แทนความยาวของดานตรงขามมม B A C c แทนความยาวของดานตรงขามมม C b

2. อตราสวนตรโกณมต(Trigonometric ratios) อตราสวนตรโกณมตเปนอตราสวนทเกยวกบดานและมมของรปสามเหลยมมมฉากทเปนมมแหลม ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมม ACB เปนมมฉาก ดงรป B เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก มความยาว c

c a เรยกวา ดานตรงขามมม A มความยาว a

A b C เรยกวา ดานประชดมม A มความยาว b

ไซนของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ =

c

a

ไซนของมม A เขยนวา sine A หรอเขยนยอวา sin A เชน ไซนของมม 60 เขยนวา sine 60 หรอเขยนยอวา sin 60

โคไซนของมม A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ =

c

b

โคไซนมม A เขยนวา cosine A หรอเขยนยอวา cos A เชน โคไซนของมม 45 เขยนวา cosine 45 หรอเขยนยอวา cos 45

แทนเจนตของมม A = A มมดานประชดความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ = b

a

แทนเจนตของมม A เขยนวา tangent A หรอเขยนยอวา tan A เชน แทนเจนตของมม 30 เขยนวา tangent 30 หรอเขยนยอวา tan 30

3. งานระดบตรโกณมต(Trigonometric Leveling) งานระดบตรโกณมต เปนการหาคาระดบจดทมความสงหรอยอดเขาทการท าระดบดวยกลองระดบท าไดไมสะดวกเนองจากพนทรก มลกษณะสงๆต าๆ มความลาดชนมาก การใชประยกตใชหลกการทางตรโกณมตและ Tacheometry ท าใหการหาคาตางระดบของจดสงทอยหางกนสามารถท าไดสะดวกยงขน ถงแมจะใหความถกตองดไมเทากบการใชกลองระดบกตาม แตหากท างานดวยความระมดระวง และใชเครองมอทมความถกตองสง ผลลพธทไดกจะมความละเอยดถกตองเพยงพอทจะใชกบงานแผนททวไปได การใชกลอง Total Station ทมความถกตองในการวดสง การวดแบบ Electronic Tacheometry กสามารถใชงานแทนกลองระดบในการหาคาตางระดบไดเชนกน แตจะมขอก าหนดกรรมวธการท างานทเครงครด ทเรยกวา “Precise Trigonometric leveling” ซงตองมความเขาใจจงสามารถใหผลเทยบเทากบการใชกลองระดบได งานระดบรโกณมตนยมใชในการหาคาความสงของยอดเขา อาคาร ยอดเจดย เสาวทย เปนตน

เรองท 8.2 การหาความสงของวตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได 8.2.1 กรณระดบเสมอกน

รปท 7.1 วตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได

ความสงของผส ารวจ = h มมสง = Ɵ HD = ระยะราบ VD = ระยะดง

VD = HD . tan Ɵ ……………………..(1)

ความสงของวตถเหนอพนดน = VD + h

8.2.2 กรณระดบดนลาดเอยง

รปท 7.2 วตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถไดระดบดนลาดเอยงลง

H.D

.

Horizontal line θ

V.D

.

h. h.

θ

Horizontal line V.D

.

h

.

h

.

H.D

.

รปท 7.3 วตถทสามารถวดระยะไปยงฐานวตถไดระดบดนลาดเอยงขน

VD = HD (tan Ɵ ±tan α) ……………………..(2)

รป(7.1)ใชเครองหมายบวก (+) รป(7.2)ใชเครองหมายลบ (-) ความสงของวตถเหนอพนดน = VD + h เรองท 8.3 การหาความสงของวตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได 8.3.1 Base line อยในแนวเดยวกนกบวตถ

รปท 7.4 วตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถได

θ

ELEVATION

HORIZONTAL LINE

h

.

h

.

V.D.

H.D.

β B1

E

A1

11 h1

A B

h1

C

C1

D

B2

A1C1 = BC1 cot

B1C1 = BC1 cot β A1B1 = A1C1- B1C1 = BC1(cot -cot β)

และ BC1 = AB…… ……………………..(3) cot -cot β 8.3.1 Base line ไมอยในแนวเดยวกนกบวตถ

รปท 7.5 วตถทไมสามารถวดระยะไปยงฐานวตถไดและBase line ไมอยในแนวเดยวกน

การวดมมท A มมราบ = θ มมสง = การวดมมท B มมราบ = มมสง = β ในสามเหลยม ABC จาก Sin law AC = AB sin cosec(θ + ) และ BC = AB sin θ cosec(θ + ) เนองจาก C1E = AC tan แทนคา C1E = AC sin cosec(θ + ) tan …………(4) ท านองเดยวกน C1E = BC tan β แทนคา C1E = AB sin θ cosec(θ + ) tan β…………(5)

A

A1

E

D

h2

C

B

B1

h 1 h 1

h 2

θ

β

C1

ความสงของวตถ E เหนอพนดนท A = C1E + h1 ความสงของวตถ D เหนอพนดนท A = C1E + h1 – h2

การวดมมในงานระดบตรโกณมตตองการความประณตอยางยง เพอใหไดคาทดทสดมความคลาดเคลอนในการสองเปาระยะไกลนอยทสด ดงนนงานทตองการความถกตองสงมาก ตองใชกลองทสามารถวดมมไดละเอยดถง 1 พลปดาหรอดกวา หลอดระดบมความไวถง 2 พลปดา ท าการวดทงหนาซายและหนาขวา อยางนอย 2 ชด และตองจดคาต าแหนงของหลอดระดบไวเพอค านวณคาปรบแกดวย รวมทงการวดความสงของกลองและเปา เพอแกคา Eye and Object Correction ความคลาดเคลอนเนองจากความโคงของผวโลก แนวเลงของกลองโทรทศนถอวาเปนเสนตรง เมอกลองโทรทศนอยในแนวราบคอ จะมแนวเสนราบตงฉากกบแกนดงทต าแหนงตงกลองนน หรอปรากฏบนระนาบราบ ในขณะทผวระดบ (Level Surface) ไมใชผวระนาบราบ แตเปนผวโคงของผวโลก ดงนน เมอระยะทหางไกลออกไปจากจดตงกลองมากขน จะเหนวา พนผวทงสองจะคอยๆ แยกจากกน โดยระนาบราบจะอยสงกวา ซงท าใหคาทอานไดบนไมระดบมากกวาทเปน คาแกผลกระทบจากความโคงของผวโลกสามารถค านวณไดจากสตร Cc = 0.0785K 2 เมตร เมอ K คอระยะระหวางกลองถงเปาหรอไมระดบ ความคลาดเคลอนเนองจากการหกเหของแสง เนองจากงานระดบตรโกณมต ท าการวดมมดงระหวางจดตงกลองและเปาทมความสงตางกนคอนขางมาก ท าใหเสนเลงเกดการหกเหเนองจากความหนาแนนของชนบรรยากาศเปลยนไป (Atmospheric Refraction) อนเปนสาเหตของความคลาดเคลอนในการวดมมดงกรณทใชเปาเลง หรอ คาระยะทอานบนไมระดบผดไปจากทควรเปนทไดจากการวดมมดงนน การหาขนาดของความคลาดเคลอนจากการหกเหเพอน ามาปรบแกสามารถท าได แตคา Atmospheric Refraction นมคาไมแนนอนเปลยนไปตามความเปลยนแปลงของบรรยากาศ การแกปญหานท าไดโดยใชคาสมประสทธของการหกเหซงเปนอตราสวนระหวางมมหกเห (มมระหวางเสนเลงทสมมตวาเปนเสนตรงกบเสนเลงทเกดขนจรงซงเปนเสนโคง) กบ มมทศนยกลางโลกรองรบโดยสถานทงสอง ความหกเหของแสงแปรผนตามการเปลยนแปลงของอณหภมและความสง คาความหกเหจงเปลยนแปลงตลอดเวลา โดยจะมขนาดโตทสดในตอนเชาและตอนเยน และมขนาดเลกทสดกบทงมการเปลยนแปลงอยางคอยเปนคอยไปในชวงกลางของวน ดงนนการวดมมดงจงท ากนในชวง

ระหวางเวลา 10.00 น. ถง 16.00 น. โดยเฉพาะชวงเวลา 12.00 น.ถง 15.00 น. เปนชวงทดทสด ผลกระทบจากการหกเหของแสงท าใหคาทอานไดบนไมระดบนอยกวาทเปน ดงนน ส าหรบ คาแกความหกเหสามารถค านวณไดจากสตร Cr = 0.14Cc = 0.0110K 2 เมตร เมอ K คอระยะระหวางกลองถงเปาหรอไมระดบ

เรองท 8.4 ฝกทกษะการหาความสงของวตถดวยกลองวดมม ดรายละเอยดตาม ใบงานท 8

แบบทดสอบทายบทท 8 ค าสง เลอกค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว 1. ชาวอยปตโบราณท าการวดฐานของพระมดโดยการแบงเสนเชอกออกเปน ก. 6 สวน ข. 12 สวน ค. 18 สวน ง. 20 สวน 2. ดวยอตราสวนของดาน 3 : 4 : 5 เปนสามเหลยมอะไร ก. หนาจว ข. ดานเทา ค. ดานไมเทา ง. มมฉาก 3. ทฤษฎบทปทาโกรส คอขอใด ก. ดานตรงขามมมฉากมคาเทากบผลบวกของอกสองดาน

ข. ดานตรงขามมมฉากยกก าลงสองมคาเทากบผลบวกของอกสองดาน

ค. ดานตรงขามมมฉากยกก าลงสองมคาเทากบผลบวกของก าลงสองของอกสองดาน

ง. ผดทกขอ

4. คาฟงชนใด = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ

ก. ไซนของมม A ข. โคไซนของมม A ค. แทนของมม A ง. เซคของมม A

5. คาฟงชนใด = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ

ก. ไซนของมม A ข. โคไซนของมม A ค. แทนของมม A ง. เซคของมม A

6. คาฟงชนใด = A มมดานประชดความยาวของ

Aมมมดานตรงขาความยาวของ

ก. ไซนของมม A

ข. โคไซนของมม A ค. แทนของมม A ง. เซคของมม A 7. งานระดบตรโกณมต จะใชเครองมอใดเปนหลก ก. กลองระดบ ข. กลองวดมม ค. เครองค านวณ ง. ไมวดระดบ 8. งานระดบตรโกณมต จะไมจ าเปนตองใชเครองมอใด ก. กลองระดบ ข. กลองวดมม ค. เครองค านวณ ง. ไมวดระดบ 9. งานระดบตรโกณมต จะใหความละเอยดสงเมอใชเครองมอชนดใด ก. กลองระดบ ข. กลองวดมม ค. Total Station ง. Electronic Tacheometry 10. งานระดบตรโกณมตเหมาะกบภมประเทศแบบใด ก. ทราบเรยบ ข. ทรกราง ค. ทสงชน ง. ใชไดทกท จากรป ใชตอบค าถามขอ 11 - 14

HD.

Horizontal line θ

VD.

h. h.

11. ความสงของวตถคอขอใด ก. h ข. HD ค. VD ง. VD + h 12. ถาตองการหาความสงของวตถตองวดปรมาณใดบาง ก. HD และ θ

ข. HD , h และ θ

ค. VD , HD และHD ง. θ และ VD

13. สตรการหาความสงของวตถคอขอใด ก. h + cos θ ข. h + HD . cos θ ค. h + tan θ ง. h + HD . tan θ 14. ถาความสงกลอง 1.50 เมตร ระยะหางกลองและวตถ 35 เมตร วดมมสงได 30 องศา ความสงของวตถเปนเทาใด ก. 20.20 m. ข. 21.70 m. ค. 30.31 m. ง. 31.81 m. จากรป ใชตอบค าถามขอ 15 - 16

15. สตรการหาความสงของวตถคอขอใด

ก. h + HD (tan Ɵ + tan α) ข. h + HD (sin Ɵ + sin α) ค. h + HD (cos Ɵ + cos α) ง. h + HD (tanƟ +sin α) 16. ถาความสงกลอง 1.50 เมตร ระยะหางกลองและวตถ 35 เมตร วดมม Ɵ ได 15 องศา และมม α ได 8 องศา ความสงของวตถเปนเทาใด ก. 15.80 m. ข. 15.43 m. ค. 315.31 m. ง. 531.37 m.

จากรป ใชตอบค าถามขอ 17 - 18

θ

Horizontal line V.D

.

h

.

h

.

H.D

.

17. จากรป สมการใดไมถกตอง ก. AC = AB sin cosec(θ + ) ข. BC = AB sin θ ค. C1E = AC tan ง. C1E = BC tan β 18. ถาความสงกลอง 1.50 เมตร ระยะ AB = 40 เมตร วดมม θ ได 30 องศา ได 50 องศา มมท ACB เปนเทาใด ก. 90 องศา ข. 100 องศา . ค. 110 องศา ง. 120 องศา 19. คาแกความโคงของโลกมคาเปน ก. บวก ข. ลบ ค. ลบและบวก ง. 0 20. คาแกการหกเหของแสงมคาเปน ก. บวก ข. ลบ ค. ลบและบวก ง. 0

A

A1

E

D

h

C

B

B1

h 1 h 1

h 2

θ

β

C1