2.2.4 Clculo de la capacidad de un proceso
(Evans, 710)
Despus de que el proceso llega a un estado de control estadstico
mediante la eliminacin de las causas especiales de variacin, los
datos se pueden utilizar para estimar la capacidad del proceso.
Este enfoque no es tan exacto como el que se describe en el captulo
11, debido a que usa el rango promedio en lugar de la desviacin
estndar estimada de los datos originales. No obstante, se trata de
un mtodo rpido y til, siempre que la distribucin de los datos
originales sea razonablemente normal.
Bajo la suposicin de normalidad, la desviacin estndar de los
datos originales se puede calcular como sigue:
donde d2 es una constante que depende del tamao de la muestra y
tambin se utiliza en e apndice B. Por tanto, la capacidad del
proceso se obtiene mediante 6. La variacin natural de las
mediciones individuales se da mediante .. En la parte posterior de
la forma para el cuadro de control de la ASQ (figura 14.21) se
encuentra una hoja de trabajo para realizar los clculos.
En la figura 14.21 las operaciones para el ejemplo de los wafers
de silicn que se estudiaron antes se muestran en la seccin Lmites
para elementos individuales de la forma. Para un tamao de muestra
de 3, d = 1.693. En la figura 14.21, LSx, y LIx representan los
limites superior e inferior en las observaciones individuales, con
base en los lmites 3.Por consiguiente, se espera que el grosor vare
entre 1.9 y 95,9. El punto cero de los datos es la especificacin ms
baja, lo que significa que se espera que el grosor vari desde
0.0019 debajo de la especificacin ms baja hasta 0.0959 por encima
de la especificacin ms baja. El ndice de la capacidad del proceso
(vea el captulo 12) es
Cp=100/97.8=1.02
Sin embargo, los dices de capacidad inferior y superior son
Cpi = (47-0)/48.9=0.96
Cps = (100-47)/48.9=1.08
Este anlisis sugiere que es necesario mejorar tanto el centrado
como la variacin.
Si las observaciones individuales tienen distribucin normal, es
posible calcular la probabilidad de quedar fuera de la
especificacin. En el ejemplo anterior, suponga que La distribucin
de Los datos es normal. La media es 47 y la desviacin estndar es
97.8/6= 16.3. La figura 14.22 muestra los clculos para los lmites
de la especificacin de 0 y 100. En el tabla de la distribucin
normal, el rea entre 0 y la media (47) es 0.4980, por lo que se
puede esperar que 0.2 por ciento de los resultados caigan por
debajo de la especificacin inferior. El rea a la derecha de 100 es
aproximadamente cero. Por tanto, se puede esperar que todo el
resultado cumpla con la especificacin superior.
Es preciso hacer una advertencia en este punto. A menudo, los
lmites de control se con funden con los lmites de la especificacin.
Las dimensiones de la especificacin casi siempre se establecen en
relacin con las partes individuales para los productos duros, como
partes automotrices. Sin embargo, en otras aplicaciones, como en
los procesos qumicos, las especificaciones se establecen en trminos
de las caractersticas promedio. Por consiguiente, los cuadros de
control podran hacer pensar, en forma equivocada, que si todos los
promedios de las muestras caen dentro de los lmites de control,
toda la produccin ser conforme. Esta suposicin es errnea. Un
promedio de muestras puede caer dentro de los lmites de control
superior e inferior aun cuando algunas de las observaciones
individuales no cumplan con la especificacin. Debido a que
,
los lmites de control son ms estrechos que la variacin natural
en el proceso y no representan su capacidad.Los lmites de control
se relacionan con los promedios de las muestras, mientras que los
lmites de especificaciones se relacionan con las mediciones
individuales.
Figura 14.21 Clculos de la capacidad de un proceso
Figura 14.22 Clculos de probabilidad de la capacidad del
proceso.(Grant, 157, 172)Objetivos de un anlisis de la capacidad de
un proceso.
En esta Parte Uno de este libro se hace hincapi en el empleo de
tcnicas estadsticas para controlar la produccin en curso. Pero, en
muchos casos, los ejemplos y las descripciones y comentarios se
enfocan a los problemas de iniciar un nuevo proceso o de introducir
tcnicas de control en un proceso existente.
El problema estadstico bsico en el control de calidad de un
proceso es el de establecer un estado de control sobre ste, es
decir, eliminar las causas especiales de variacin y, luego,
mantener ese estado de control en el curso del tiempo. Esto se
ilustra en la figura 5-1a. De no menor importancia ese el problema
de ajustar el proceso al punto en el cual la casi totalidad del
producto cumple con las especificaciones. El segundo problema,
ilustrado en la figura 5-1b tiene como objetivo el anlisis de
capacidad. Es decir, una vez que se ha establecido un estado de
control, entonces se desva la atencin hacia la pregunta, cumple el
producto con las especificaciones y si no es as, se puede ajustar
el proceso a un grado en que sea posible lograrlo?
Las acciones que producen un cambio o ajuste en un proceso, que
estn dirigidas a eliminar causas comunes, a menudo son el resultado
de algn estudio de la capacidad. La comparacin de los lmites de
tolerancia natural con los lmites de especificacin y del intervalo
de tolerancia natural con el intervalo de las especificaciones
pueden dar lugar a cualquiera de las siguientes posibilidades de
accin:
1. Ninguna accin. Si Ios lmites de tolerancia natural quedan
bien dentro de los lmites de especificaciones, por lo general, no
se requiere ninguna accin. A menudo, en estos casos, se puede hacer
menos riguroso el control; las grficas normales o R se pueden
sustituir por una grfica de control modificada, descrita en el
captulo 9 o por una grfica p, tema del captulo 7.
Figura 5-1 Ilustracin del efecto de la eliminacin de a) causas
especiales y b) causas comunes de variacin.2. Accin para ajustar el
centramiento. Cuando el intervalo de tolerancia natural es ms o
menos el mismo que el de las especificaciones, quiz un ajuste
sencillo en el centramiento del proceso ser todo lo que se necesite
para que la casi totalidad del producto quede dentro de las
especificaciones.
3. Accin para producir la variabilidad. Suele ser la accin ms
compleja. En los casos en que dos o ms corrientes del producto se
fusionan en una lnea antes de la inspeccin, en forma similar a la
presentada en los ejemplos en este captulo, la accin puede incluir
el trabajo poco complicado de poner las diversas corrientes, por
separado, bajo control a un cierto valor de . En otros casos, se
puede requerir un complejo anlisis de las fuentes de variacin, que
dar por resultado cambios en los mtodos, herramental, materiales o
equipo.
4. Acciones para cambiar las especificaciones. Es una decisin
para diseadores y proyectistas, pero el personal de control de
calidad no la debe pasar por alto. El hecho de que las
especificaciones estn por escrito, no significa por necesidad que
sean intocables. Por otra parte, el personal de manufactura y
control de calidad no pueden simplemente hacer caso omiso de ellas,
sin correr el riesgo de ocasionar problemas graves. Pero, hay un
lmite a la cantidad de tiempo e inversin que se destinarn a los
tipos de anlisis y ajustes descritos en la accin 3 antes de que los
grupos de diseo tengan conocimiento del problema. En algunos casos,
las especificaciones se pueden establecer ms estrictas de lo
necesario. En otros, algunos ligeros cambios en el diseo pueden ser
menos costosos o ms viables que los cambios en la maquinaria o el
herramental. En ocasiones, puede ser factible redisear por completo
la unidad del producto segn lo permita la capacidad productiva del
fabricante. Sale de sobra decir que hay importantes compensaciones
econmicas entre las acciones 3 y 4 que requieren coordinacin muy
estrecha y buenas comunicaciones entre las funciones de diseo
(proyecto), manufactura y control de calidad. sta fue una de las
principales fuerzas que dieron origen al concepto de los Crculos de
Calidad en Japn, que ya ha sido implantado por muchas empresas
estadounidenses.
5. Resignacin a las prdidas. Cuando todo lo dems fracasa, la
administracin se debe resignar a tener un elevado porcentaje de
prdidas. La atencin a este aspecto se concentra en los costos de
los desechos y de volver a trabajar (retrabajar), el grado econmico
de control que se pueda ejercer en el proceso de produccin y los
costos relacionados con la seleccin y examen de todo el producto, a
sabiendas de que todava hay la posibilidad de aceptar artculos no
conformes. En este caso, es de mxima importancia tener buenos
clculos de la forma y tamao de la distribucin del producto a fin de
ayudar al centramiento correcto del proceso.
El lector debera tener en cuenta que, en casi todos los casos,
las decisiones las toma la gerencia. El personal de control de
calidad o de produccin podra recomendar alguno de los cursos de
accin, pero las decisiones las tomarn y apoyar la alta
gerencia.
Etapas en el procedimiento analtico.
Por lo general, un estudio de capacidad se lleva a cabo por
etapas. Como lo implica la descripcin de los pasos en el
procedimiento, estas etapas suelen fluctuar entre las que incluyen
pruebas y ajustes sencillos y las que exigen cambios ms complejos
y, por tanto, ms costosos
Por lo general, el estudio terminar tan pronto como la dispersin
ajustada de la produccin sea menor que el intervalo de
especificaciones; en pocas palabras, tan pronto como se solucione
el problema inmediato. En el largo plazo, este puede ser un
resultado nada conveniente. Un conocimiento bsico de la capacidad
del equipo para manufactura y pruebas, verificada y ajustada de vez
en cuando conforme hay ms datos disponibles, puede ser una gran
ayuda para las funciones de proyecto, manufactura y control de
calidad para establecer especificaciones, calcular los costos de
contratos y nuevos productos, planeacin de la produccin y
decisiones para la adquisicin de nuevas instalaciones. Esto, adems
de su valor usual en el establecimiento de normas para las grficas
de control en nuevas corridas de produccin.
ndices de capacidad del proceso.
En cada uno de los ejemplos presentados hasta ahora, se ha
recalcado la importancia de comparar 6 de un proceso bajo control
estadstico y la de las llamadas tolerancias naturales del proceso,
con el intervalo U-L de especificacin. Cuanto menor sea 6 en
relacin de U-L mayor ser la capacidad del proceso, siempre y cuando
est bien centrado en la dimensin nominal (objetivo). Cuando se
trabaja de acuerdo con el criterio de Deming de un mejoramiento de
la calidad que nunca termina, unobjetivo de la manufactura sera
buscar mtodos para reducir en forma continua 6, aunque queden bien
dentro de los lmites de U-L.
Los japoneses hicieron ms formal este tipo de comparacin y la
incluyeron en una serie de ndices de Capacidad del Proceso que cada
vez se emplean ms en Estados Unidos. El primero de ellos, llamado
tiene una relacin ms estrecha conel potencial de capacidad del
proceso que se ha comentado hasta ahora. Se puede encontrar
con:
Con cualquier valor mayor de 1, el proceso tiene posibilidad de
cumplir con las especificaciones si se mantiene bajo control con un
de (U-L)/2. Se ha sugerido un objetivo mnimo de 1.33 como valor de
.La relacin entre , estimacin del centramiento del proceso y el
valor objetivo, se designa k y se encuentra con
en donde las lneas verticales antes y despus de significan el
valor
absoluto, es decir, no se tome en cuenta el signo del valor y mn
(a,b) significa seleccinese el valor mnimo de a o b. El ndice k
siempre ser mayor o igual que cero y tienen un valor objetivo de
cero.
Donde las tolerancias de la especificacin estn simtricas en
torno al valor nominal, la frmula para k se reduce a:
sta es la forma en que se ven los ndices con mayor frecuencia.
Pero, no es vlida para las tolerancias unilaterales de
especificaciones o cuando hay un solo lmite de especificacin.
Tambin se debera tomar en cuenta que cuando se utilizan tolerancias
unilaterales para las especificaciones, el valor objetivo de no ser
igual a la dimensin nominal, salvo que no haya dispersin posible ms
all de esa dispersin.
Hay los tres ndices adicionales, que se relacionan ms con el
comportamiento actual del proceso que con potencial de capacidad y
son:
Al igual que con el factor k en cada uno de estos ndice se tiene
en cuenta la estimacin ms reciente del centramiento del proceso., y
relacionan la diferencia entre la estimacin actual de la media del
proceso y los lmites de especificacin, L y U a la mitad de la
dispersin natural del proceso. El valor objetivo mnimo de ellos es
de uno. suministra el mnimo de estos dos valores. En las empresas
que han adoptado los ndices de capacidad del proceso en sus
fbricas, suelen especificar su empleo en los contratos de
compra-venta con sus proveedores, en especial .
Se debe tener en cuenta que en cada ndice se pretende implicar
que la distribucin de unidades de producto de un proceso controlado
se puede representar con una distribucin normal de referencia, es
decir, la casi totalidad del producto quedar entre la media 3 (Un
examen de la tabla de la Distribucin Normal indicar que toda la
curva normal, excepto 0.27% queda entre 3.) Se necesita un
histograma de un nmero considerable de mediciones de un proceso
controlado para determinar si la casi totalidad del producto queda
o no dentro de los lmites de 3. Estos lmites simtricos no encajarn
en procesos que puedan producir distribuciones sesgadas. Adems, su
empleo y la interpretacin del valor objetivo se deben modificar en
situaciones en donde se especifica un solo lmite de especificacin,
sea U o L.
Por ejemplo, al probar la dureza del acero, hay un lmite
metalrgico en la dureza de los diversos grados de acero de aleacin.
Por lo general, el grado de un acero escogido para un producto se
basa en este lmite de dureza (y tambin en otras propiedades fsicas
y en factores econmicos). Se menciona un lmite bajo de
especificacin con la intencin expresa de alcanzar un objetivo lo ms
cercano posible al lmite fsico. En tales casos, es el nico ndice
aplicable y el resultado posible es una distribucin con mucho
sesgamiento.
Cuando se emplea control de inventario justo a tiempo (JIT) el
proveedor tiene la responsabilidad de demostrar que el producto
embarcado cumple con las especificaciones. Por lo general, en los
contratos de compra-venta con los proveedores de JIT se requerirn
pruebas documentadas del cumplimiento en cada embarque que hagan. A
menudo, el requisito del clculo del ndice de capacidad del proceso
es parte de esta documentacin. Las pruebas ms significativas del
cumplimiento incluiran un histograma de las muestras de un lote o
de una serie de lotes consecutivos. Un procedimiento tal como el
Mtodo de Shainin para trazo de lotes aplicado por el proveedor dara
valiosa informacin al comprador, adems de cualquier ndice de
capacidad del proceso requerido. El Mtodo de Shainin se describe en
el captulo 17.
(Mongomery, 851)Estimacin de la capacidad del proceso.
Usualmente es necesario obtener alguna informacin sobre la
capacidad del proceso esto es, el rendimiento del proceso cuando
este opera bajo control--. Dos tiles herramientas grficas para
evaluar la capacidad del proceso son la carta de tolerancia y el
histograma. La figura 14-l presenta la carta de tolerancia para las
20 muestras del proceso de fabricacin de alabes. Las
especificaciones para la apertura del alabe son 0.50300001
pulgadas. En trminos de los datos codificados, el lmite superior de
la especificacin es LSE=40, mientras que el lmite inferior de la
especificacin es LIE 20 que son los limites que aparecen en la
carta de la figura 14-11. La carta de tolerancia es til para
revelar patrones en las mediciones con el paso del tiempo, o para
mostrar la forma en que se produjo un valor de o r por una o dos
mediciones poco usuales en la muestra. Por ejemplo, ntese la
presencia de dos observaciones poco usuales en la muestra 9, y la
de una en la muestra 8, Ntese tambin que resulta apropiado graficar
los lmites de la especificacin sobre la carta de tolerancia, puesto
que sta es una carta de mediciones individuales. Nunca resulta
apropiado graficar los limites de la especificacin sobre una carta
de control o hacer uso delas especificaciones para determinar los
lmites de control. Los limites de la especificacin y los de control
no tienen relacin entre si, Finalmente, ntese de la figura 14-11
que el proceso est operando fuera del centro de la dimensin nominal
de 30 (o 0.5030 pulgadas).
La figura 14-12 presenta el histograma de las mediciones de a
apertura del alabe. Las observaciones de las muestras 6, 8, 9, 11 y
19 se han eliminado del histograma. La impresin general, despus de
examinar el histograma, es que el proceso es capaz de cumplir con
la especificacin, pero est corriendo fuera del centro.
Otra manera de expresar la capacidad del proceso es en trminos
de un ndice, el cual se define de la manera siguiente.
Definicin
El cociente de capacidad del proceso (CCP) es
(14-10)
El ancho 6 (3 a cada lado de la media) se conoce como capacidad
bsica del proceso. Los limites 3 de cada lado de la media recibe el
nombre de limites de tolerancias naturales, ya que estos
representan los limites de un proceso bajo control debe cumplir
para la mayor parte de las unidades producidas. Para la apertura
del alabe, puede estimarse como sigue
Por tanto, el CCP estimado es
El CCP tiene una interpretacin natural: es precisamente el
porcentaje del ancho de las especificaciones utilizadas por el
proceso. Es as como el proceso de apertura del alabe utiliza
aproximadamente (1/1.55)100 = 64.5% del ancho de las
especificaciones.
La figura 14-13a muestra un proceso para el que el CCP es mayor
que la unidad. Puesto que los lmites de tolerancia naturales del
proceso se encuentran dentro de las especificaciones, se producirn
muy pocas unidades defectuosas. Si CC = 1, como se muestra en la
figura 14-13b, entonces se producirn ms unidades que no cumplen con
las especificaciones. De hecho, para un proceso con distribucin
normal, si CCP = 1, la fraccin de partes que no cumplen con las
especificaciones es 0.27%, 02700 partes por milln. Finalmente,
cuando el CC es menor que la unidad, como en la figura 14-13c. el
proceso es muy sensible en cuanto al rendimiento, y se produce un
nmero muy grande de unidades que no cumplen con las
especificaciones.
La definicin del CC dada por la ecuacin 14-10 supone de manera
implcita que el proceso esta centrado en la dimensin nominal. Si el
proceso corre fuera del centro, su capacidad real ser menor que la
indicada por el CCP Es conveniente considerar el CCP como una
medida de la capacidad potencial, esto es, de la capacidad con un
proceso centrado. Si el proceso no est centrado, entonces lo ms
utilizado es una medida de la capacidad real. A continuacin se
define este cociente, denominado CCPk
Figura 14-11 Diagrama de tolerancia de apertura de
alabeDefinicin
(14-11)
Figura 14-12 Histograma para la apertura del alabe
Figura 14-13 Fallas en el proceso y cociente de capacidad del
proceso (CCP)
En efecto el CCPk es un cociente de capacidad del proceso
unilateral que se calcula con respecto al lmite de la especificacin
ms prximo a la media del proceso. Para el proceso de apertura del
alabe, se tiene que la estimacin del cociente de capacidad del
proceso CCPk es
Ntese que si CCP=CCPk el proceso esta centrado en la dimensin
nominal. Puesto que para el proceso de apertura del alabe y , es
obvio que el proceso esta corriendo fuera del centro, tal como se
noto por primera vez en las figuras 14-11 y 14-12. Esta operacin
fuera del centro fue rastreada hasta localizar una herramienta de
tamao mayor al necesario. El cambio de herramienta dio como
resultado una mejora sustancial en e! proceso.
Montgomery (1991b, captulo 9) proporciona lineamientos para los
valores apropiados del CCP y una tabla que relaciona el porcentaje
de productos que no cumplen con las especificaciones con el valor
del CCP, para un proceso que tiene una distribucin normal y que se
encuentra bajo control estadstico. Muchas compaas estadounidenses
utilizan un CCP=1.33 como el objetivo mnimo aceptable, y un
CCP=1.66 como objetivo mnimo aceptable para caractersticas de
resistencia, seguridad o crticas. Algunas compaas requieren que los
procesos internos as como los de los proveedores alcancen un CCPk=
2.0. La figura 14-13a ilustra un proceso con CCP = CCPk = 2,0. Si
se supone una distribucin normal, entonces la tasa de artculos
defectuosos es de 0.0018 partes por milln. Un proceso con un
CCPk=2.0 se conoce como proceso seis sigma, debido a que la
distancia desde la media del proceso hasta la especificacin ms
cercana es de seis desviaciones estndar. La razn por la que se
requiere una capacidad grande para el proceso es que resulta difcil
mantener la media del proceso en el centro de las especificaciones
por periodos de tiempo largos. Un modelo comn utilizado para
justificar la importancia de un proceso seis sigma es el que se
ilustra al hacer referencia a la figura 14-1 3a. Si la media del
proceso se desplaza fuera del centro 1,5 desviaciones estndar, el
CCPk disminuye a 4.5/3 = 1.5. Si se supone que el proceso tiene una
distribucin normal, el nmero de partes defectuosas del proceso
desplazado es de 3.4 partes por milln. En consecuencia, la media de
un proceso seis sigma puede correrse 1.5 desviaciones estndar del
centro de las especificaciones y an as mantener una fraccin de
partes defectuosas de 3.4 partes por milln.
Por otra parte algunas compaas de Estados Unidos, en particular
la industria automovilstica, han adoptado la terminologa japonesa
Cp=CCP y Cpk=CCP. Dado que Cp tiene otro significado en estadstica
(en la regresin mltiple; vase el capitulo l0), los autores
prefieren utilizar la notacin CCP y CCPk.
Debe insistirse que los clculos de la capacidad de un proceso
slo tienen sentido cuando el proceso es estable; esto es, cuando el
proceso est bajo control. Un cociente de capacidad de un proceso
indica si la variabilidad natural o aleatoria de este es aceptable
en relacin con las especificaciones.
Construccin por computadora de cartas de control X y R
Existen muchos programas de computadora que construyen cartas de
control y R. La figura 14-14 presenta las cartas generadas por el
paquete Statgraphics para los datos de apertura del alabe del
ejemplo 14-1. Este programa permite que el usuario escoja cualquier
mltiplo de sigma como el ancho de los lmites de control, y que
utilice las reglas Westem Electric para detectar puntos que estn
fuera de control. El programa tambin prepara informes resumidos
para cada muestra o subgrupo, como la tabla 14-3, y calcula los
ndices de capacidad del proceso, CCP y CCPk estudiados
anteriormente.
Figura 14-14 Cartas -R generadas por el paquete Statgraphics
para los datos de apertura del alabe del ejemplo 14-1.
Tabla 14-3 Informe resumido producido por el paquete
Statgraphics para los datos de la apertura del alabe del ejemplo
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