26.predavanje

  • Upload
    veljko

  • View
    220

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/19/2019 26.predavanje

    1/19

    1

    Neka teorijska pitanja

  • 8/19/2019 26.predavanje

    2/19

    2

    PRVI IZVOD

    )( saili  00  x f  y x   ′′

    ′   ≡   ′   = =  + −

    → →

    y f xy

    x

    f x x f x

    x

    xx x0

    00 0

    0 0( ) lim lim( ) ( )

    ∆ ∆

    <

    >0

    Neka je y  = f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x0unutrašnja tačka tog intervala, ∆x ( ) priraštaj argumenta i

    ∆y odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična

    vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštajaargumenta, kad priraštaj argumenta teži nuli, onda za

    funkciju y = f(x) kažemo da je diferencijabilna u tački x0.

    Graničnu vrijednost količnika priraštaja funkcije ∆y ipriraštaja argumenta  ∆x, kad  ∆x→0, zovemo (prvim)

    izvodom funkcije u tački x0 i označavamo sa

    .

  • 8/19/2019 26.predavanje

    3/19

    3

    • Prvi izvod funkcije y = f(x) u tač

    ki x0geometrijski predstavlja koeficijent pravcatangente grafika u tački M0(x0,y0).

     xe

     x

     x

     x

     x

     x x

     x

     x x

     x

     x x x

     x

     x f  x x f  y

     x

     x x

     x

     x x x

     x x

    1

    ln

    1lnlim1ln1

    limln

    lim

    )ln()ln(lim

    )()(lim

    1

    1

    000

    00

    =

    =

     

     

     

       

      

        ∆+=

     

      

        ∆+

    ∆=

    ∆+

    =∆

    −∆+=

    −∆+=′

    →∆→∆→∆

    →∆→∆

  • 8/19/2019 26.predavanje

    4/19

    4

    • Izvod funkcije- definicija.

    • Primjer y=x2

  • 8/19/2019 26.predavanje

    5/19

    5

    ( )

    ( )( ) ( )   x x x x

     x x x x x x

     x

     x x x

     x

     x f  x x f  y

     x x

     x x

    22limlim

    lim)()(lim

    00

    22

    00

    =∆+=∆

    +∆+−∆+

    =∆

    −∆+=∆

    −∆+=′

    →∆→∆

    →∆→∆

    • Samo primjer. Teorija kao kod prethodnog

  • 8/19/2019 26.predavanje

    6/19

    6

    • Ako u tački 2 diferencijabilnafunkcija f(x) ima lokalni minimum, a

    u tački 3 lokalni maksimum, koje je

    od sledećih tvrđenja tačno:

    a) f(3)≥f(2)

    b) f(3) >f(2)

    c) f ′(5)=0

    d) f ′(2)- f ′(3)=0

  • 8/19/2019 26.predavanje

    7/19

    7

    • Riješiti nejednačinu 2x+3y≤6.

  • 8/19/2019 26.predavanje

    8/19

    8

    2x+3y≤6 ⇒ F(x,y)=2x+3y-6

    ⇒ F(0,0)=-6

  • 8/19/2019 26.predavanje

    9/19

    9

    • Veza između određenog i neodređenog

    integrala (Njutn-Lajbnicova formula)-formulacija, dokaz.

    • Varijacija – bez dokaza (objašnjenjepojmova)

  • 8/19/2019 26.predavanje

    10/19

    10

    Označimo sa P(x) površinu ograničenu grafikom

    neprekidne, pozitivne funkcije y = f(x), ordinatama f(a) i

    f(x) i intervalom [a,x], x < b i sa ∆P(x) priraštaj tepovršine ako se x promijeni za ∆x > 0 (šrafirani dio).

  • 8/19/2019 26.predavanje

    11/19

    11

    Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost

    funkcije f(x) na intervalu [x,x+∆

    x], onda jetj.)(   x M  xP xm   ∆⋅≤∆≤∆⋅   M 

     x

     xPm   ≤

    ∆≤

    )(

    ⇒==→∆→∆

     )(limlim jeKako00

     x f m M  x x

    ⇒=∆

    →∆

    )()(

    lim0

     x f  x

     xP x

    ′   =P x f x( ) ( )  ⇒

    P(x) primitivna funkcija funkcije f(x).

    F(x) proizvoljna primitivna funkcija za f(x) ⇒

    P(x) = F(x) + c ⇒ P(b) = F(b) + c i P(a) = F(a) + c.

  • 8/19/2019 26.predavanje

    12/19

    12

    slijedi)()(Iz

    ∫=

     x

    a

    dx x f  xP

    P(a) = 0 i, dakle, F(a) = -c,

    P b f x dx F b F a F xa

    b

    a

    b

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )|= = − ≡∫Njutn-Lajbnicova formula

  • 8/19/2019 26.predavanje

    13/19

    13

    • Dinamika tržišne cijene kod

    linearnog modela tržišta jednogdobra.

  • 8/19/2019 26.predavanje

    14/19

    14

    Okvir modela

    cijenaravnotezna 

    )0,( 

    )0,( 

    δ  β 

    γ  α δ γ  δ γ  

     β  β 

    +

    +=

    >+−=

    >−=

    P

    PQ

    PQ

    s

  • 8/19/2019 26.predavanje

    15/19

    15

    Vremenska putanja

    [ ]   PePP

    ePt P

     jP jdt 

    dP

    P j jPP jdt 

    dP

     jQQ j

    dt 

    dP

    kt 

    t  j

    sd 

    +−=

    +

    ++

    +

    +−=

    +=++

    +−+=−+−=

    >−=

    +−

    )0(

    )0()(

    )()(

     tj.,)()()(

    )0( )(

    )(

    δ  β γ  α 

    δ  β γ  α 

    γ  α δ  β 

    δ  β γ  α δ γ   β α 

    δ  β 

  • 8/19/2019 26.predavanje

    16/19

    16

    Dinamička stabilnost ravnoteže

    O

    P(t): slučaj P(0)>P _ 

    P _ 

    P(0)

    P(0)

    P(t)

    P(t): slučaj P(0)

  • 8/19/2019 26.predavanje

    17/19

  • 8/19/2019 26.predavanje

    18/19

    18

    • Obično uzimamo funkciju iz nekog od

    sljedećih skupova:{ } { } { } { }y y ax b y y ax b y y ax bx y y a

    b

    xy y ab

    x| , | , | , | , |= + = + = + = +

      =2 2

    x x x n1 2, , ... ,y y y n1 2, , ... ,

    - vrijednosti argumenta x

    - odgovarajuće vrijednosti funkcije

    Prema   principu (metodi) najmanjih kvadratasmatraćemo da, od svih funkcija datog skupa,

    funkcija y = y(a,b) najbolje odražava zavisnost

    veličina x i

    ako zbir   ( )   ( ) ( ) ( )G a b y y y y y yn n, ...= − + − + + −1 12

    2 2

    2 2

     y

    gdje je yi = y(a,b)(xi), ima najmanju vrijednost.

  • 8/19/2019 26.predavanje

    19/19

    19

    • Kada funkcija G(a,b) ima najmanju?

    • Ako su njeni parcijalni izvodi (ako postoje) jednaki nuli, tj.

    G

    a

    G

    b

    = =0 0,

    • Normalne jednačine funkcije y = y(a,b).

    • Njihovim rješavanjem (kao sistema) dobijamo

    parametre a i b, odnosno onu funkciju datog oblikakoja po metodu (principu) najmanjih kvadrata

    najbolje odražava zavisnost datih veličina