8/19/2019 26.predavanje

1/19

1

Neka teorijska pitanja

8/19/2019 26.predavanje

2/19

2

PRVI IZVOD

)( saili  00  x f  y x   ′′

′   ≡   ′   = =  + −

→ →

y f xy

x

f x x f x

x

xx x0

00 0

0 0( ) lim lim( ) ( )

∆ ∆

∆

∆

∆

∆

<

>0

Neka je y  = f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x0unutrašnja tačka tog intervala, ∆x ( ) priraštaj argumenta i

∆y odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična

vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštajaargumenta, kad priraštaj argumenta teži nuli, onda za

funkciju y = f(x) kažemo da je diferencijabilna u tački x0.

Graničnu vrijednost količnika priraštaja funkcije ∆y ipriraštaja argumenta  ∆x, kad  ∆x→0, zovemo (prvim)

izvodom funkcije u tački x0 i označavamo sa

.

8/19/2019 26.predavanje

3/19

3

• Prvi izvod funkcije y = f(x) u tač

ki x0geometrijski predstavlja koeficijent pravcatangente grafika u tački M0(x0,y0).

 xe

 x

 x

 x

 x

 x x

 x

 x x

 x

 x x x

 x

 x f  x x f  y

 x

 x x

 x

 x x x

 x x

1

ln

1lnlim1ln1

limln

lim

)ln()ln(lim

)()(lim

1

1

000

00

=

=

 

 

 

   

  

    ∆+=

 

  

    ∆+

∆=

∆

∆+

=∆

−∆+=

∆

−∆+=′

∆

→∆→∆→∆

→∆→∆

8/19/2019 26.predavanje

4/19

4

• Izvod funkcije- definicija.

• Primjer y=x2

8/19/2019 26.predavanje

5/19

5

( )

( )( ) ( )   x x x x

 x x x x x x

 x

 x x x

 x

 x f  x x f  y

 x x

 x x

22limlim

lim)()(lim

00

22

00

=∆+=∆

+∆+−∆+

=∆

−∆+=∆

−∆+=′

→∆→∆

→∆→∆

• Samo primjer. Teorija kao kod prethodnog

8/19/2019 26.predavanje

6/19

6

• Ako u tački 2 diferencijabilnafunkcija f(x) ima lokalni minimum, a

u tački 3 lokalni maksimum, koje je

od sledećih tvrđenja tačno:

a) f(3)≥f(2)

b) f(3) >f(2)

c) f ′(5)=0

d) f ′(2)- f ′(3)=0

8/19/2019 26.predavanje

7/19

7

• Riješiti nejednačinu 2x+3y≤6.

8/19/2019 26.predavanje

8/19

8

2x+3y≤6 ⇒ F(x,y)=2x+3y-6

⇒ F(0,0)=-6

8/19/2019 26.predavanje

9/19

9

• Veza između određenog i neodređenog

integrala (Njutn-Lajbnicova formula)-formulacija, dokaz.

• Varijacija – bez dokaza (objašnjenjepojmova)

8/19/2019 26.predavanje

10/19

10

Označimo sa P(x) površinu ograničenu grafikom

neprekidne, pozitivne funkcije y = f(x), ordinatama f(a) i

f(x) i intervalom [a,x], x < b i sa ∆P(x) priraštaj tepovršine ako se x promijeni za ∆x > 0 (šrafirani dio).

8/19/2019 26.predavanje

11/19

11

Ako su m i M najmanja i najveća vrijednost

funkcije f(x) na intervalu [x,x+∆

x], onda jetj.)(   x M  xP xm   ∆⋅≤∆≤∆⋅   M 

 x

 xPm   ≤

∆

∆≤

)(

⇒==→∆→∆

 )(limlim jeKako00

 x f m M  x x

⇒=∆

∆

→∆

)()(

lim0

 x f  x

 xP x

′   =P x f x( ) ( )  ⇒

P(x) primitivna funkcija funkcije f(x).

F(x) proizvoljna primitivna funkcija za f(x) ⇒

P(x) = F(x) + c ⇒ P(b) = F(b) + c i P(a) = F(a) + c.

8/19/2019 26.predavanje

12/19

12

slijedi)()(Iz

∫=

 x

a

dx x f  xP

P(a) = 0 i, dakle, F(a) = -c,

P b f x dx F b F a F xa

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )|= = − ≡∫Njutn-Lajbnicova formula

8/19/2019 26.predavanje

13/19

13

• Dinamika tržišne cijene kod

linearnog modela tržišta jednogdobra.

8/19/2019 26.predavanje

14/19

14

Okvir modela

cijenaravnotezna 

)0,( 

)0,( 

δ  β 

γ  α δ γ  δ γ  

 β  β 

+

+=

>+−=

>−=

P

PQ

PQ

s

d 

8/19/2019 26.predavanje

15/19

15

Vremenska putanja

[ ]   PePP

ePt P

 jP jdt 

dP

P j jPP jdt 

dP

 jQQ j

dt 

dP

kt 

t  j

sd 

+−=

+

++

+

+−=

+=++

+−+=−+−=

>−=

−

+−

)0(

)0()(

)()(

 tj.,)()()(

)0( )(

)(

δ  β γ  α 

δ  β γ  α 

γ  α δ  β 

δ  β γ  α δ γ   β α 

δ  β 

8/19/2019 26.predavanje

16/19

16

Dinamička stabilnost ravnoteže

O

P(t): slučaj P(0)>P _ 

P _ 

P(0)

P(0)

P(t)

P(t): slučaj P(0)

8/19/2019 26.predavanje

17/19

8/19/2019 26.predavanje

18/19

18

• Obično uzimamo funkciju iz nekog od

sljedećih skupova:{ } { } { } { }y y ax b y y ax b y y ax bx y y a

b

xy y ab

x| , | , | , | , |= + = + = + = +

  =2 2

x x x n1 2, , ... ,y y y n1 2, , ... ,

- vrijednosti argumenta x

- odgovarajuće vrijednosti funkcije

Prema   principu (metodi) najmanjih kvadratasmatraćemo da, od svih funkcija datog skupa,

funkcija y = y(a,b) najbolje odražava zavisnost

veličina x i

ako zbir   ( )   ( ) ( ) ( )G a b y y y y y yn n, ...= − + − + + −1 12

2 2

2 2

 y

gdje je yi = y(a,b)(xi), ima najmanju vrijednost.

8/19/2019 26.predavanje

19/19

19

• Kada funkcija G(a,b) ima najmanju?

• Ako su njeni parcijalni izvodi (ako postoje) jednaki nuli, tj.

∂

∂

∂

∂

G

a

G

b

= =0 0,

• Normalne jednačine funkcije y = y(a,b).

• Njihovim rješavanjem (kao sistema) dobijamo

parametre a i b, odnosno onu funkciju datog oblikakoja po metodu (principu) najmanjih kvadrata

najbolje odražava zavisnost datih veličina