§3-3 QR 法——相似变换法

功能：求任意矩阵 [A] 的全部特征解。

针对：标准特征问题

基本思想：

（特别适合求上 Hessenberg 阵和 对称三对角阵）

xxA

对称阵）（当对角化

为一般方阵）上三角化（变换

正交相似

A

AA

由变换矩阵求出特征向量矩阵

直接求出 n个特征值

X

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

一、任意矩阵的 QR 法（主要介绍思想）

设 xxA nnRA , 任意满阵。

基于在第一章讲过：矩阵的 QR 分解，

1

1111 Q

RRQAA

111112 QRQAQA T

2

222 Q

RRQ

— 上三角阵

— 正交阵 111QQT

111 AQR T

222 AQR T

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

则 QR 法过程如下：

222223 QRQAQA T

3

333 Q

RRQ

11111111 , k

Tkkkkkk

Tkk AQRQRQAQA

333 AQR T

可见： AAAAA kkk 111 ~~~

可以证明：当 k kA时， 的对角线以下元素

收敛于零。 成为上三角阵。kA

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

相似矩阵！

注意：每次相似变换前，先要对新矩阵进 行一次 QR 分解。

通过 n-1 次 H 变换实现 QR 分解。

即

1

2

1

lim

0

n

n

kk

A

即 kA 的对角

元素将收敛于

A 的特征值。

且最右下角先

收敛于最低阶

特征值。而特征向量：

kQQQQX 21

即特征向量矩阵 = 每次变换矩阵的乘积。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

思考：为什么？

这里的变换矩阵可用 Householder

knkkk PPPQ 121 变换矩阵的乘积得到，即：

因为 Householder 变换可以使 上三角阵次变换1

n

HA

可见：当 nnA 一般方阵（即满阵）时， QR 方法

每步所需乘法运算量是相当大的（ 3n 数量级，），这样大的计算量将使该方法对一般矩阵失去实用价值。

因此，一般不对“满阵”直接用 QR 方法，而是对一些特殊的矩阵（上 Hessenberg 阵，对称三对角

阵） QR 方法求全部特征解—可使计算量大大减少！

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

由第一章讲过 QR 分解知，

对称三对角矩阵

上 Hessenberg 矩阵 （也称拟上三角阵 ---- 次对角元以下元素为零。）

实际的做法：

一般方阵

对称时）对称三对角阵（矩阵上

变换

次经过

A

HessenbergA

rHouseholde

n 2

再用 QR 方法求特征解

下边分别介绍这两种特殊矩阵的 QR 法求全部特征解。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

因此，用 QR 方法求全部特征解最适合用于 :

0

0

设 [A]—— 对称三对角阵 xxA

2 、基本迭代过程

1

1

111Q

RRQAA

—— 上三角阵

—— 正交矩阵

111 AQR T

111112 QRQAQA T

22 RQ

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

二、对称三对角阵的 QR 法求全部特征解

1 、基本思想

化为对角阵 iii xx

原问题

新问题

222 AQR T

222223 QRQAQA T

33 RQ

333 AQR T

333334 QRQAQA T

kkkkT

kk QRQAQA 1

11 kk RQ

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

第 k+1 次 QR 分解！

1kA可见：每次迭代后（或变换后，对新的 要进行

一次 QR 分解，目的是得到新的正交相似变换矩阵。 1kQ

对于对称三对角阵用 Givens 旋转变换矩阵实

现 QR 分解最有效。

kT

k

kTT

kT

k

kkT

kk

QAQ

QQQAQQQ

QAQA

2111

1

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

计算量小！

将上述迭代过程写成一个式子，即

从第一章知：

kk QQQQ 21 —— 正交矩阵

可以证明：当 k 时，

1

1

0

0

n

kA

即 AAk ~1

对角阵 对称三对角阵

0

0

0

0

法QR

k 即：

原对称三对角阵 对角阵

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

对角阵

k

T

kk QAQA 1即

与原问题：

kk QQA

XXA 比较

Tkkkk RAQQQQX 21

10

0

n

即：求得了原系统的全部特征解。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

1 k

T

k QQ

上式两边左乘 ，得 kQ

说明：

①QR 形式上是正交相似变换，但本质上是“多个向量

的同时反迭代”，因此它是逐阶收敛的，且最低价 1 先收敛，

1kA并出现在 的右下角。

② 为了加速收敛，也可采用带移位量的 QR 方法，使最接近移位量 μ的特征值最先收敛。

下面介绍对称三对角阵带移位量的 QR 法，特别注意移位量 μ的选取方法。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

（为什么？）

3 、对称三对角阵带移位量的 QR 方法

① 迭代 公式

设 k —— 移位量（每次迭代都要变化！）

kA —— 对称三对角阵

移位 kkkk RQIA —— 用 Givens 实现 QR 分解！

kT

kkkkk QAQIQRA 1

2,1k

AAk ~1 —— 对称三对角阵相似变换

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

可加速收敛！

思考 ?

1kAk当 时 对角阵。

则 iii xxA

2,1i

全部特征解： 1 kA

kQX

T

k

kk

RIA

IAIA1

1

11

1 ))

其中： 121 RRRRR kkk

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

XXA

原 特征标准问题！

另外，在相似变换中：不会改变对称三对角阵的对称特点。

0

0 kA即

2,1k

的带宽不会超过三对角，且只会减少，这是由相似变换算法本身决定的。

可见：带移位量的 QR 法与带移位量的反迭法相当，

但是移位量 k 是在变的。可以证明，它具有三

阶收敛。

② 移位量 k 的选取

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

∵ 当 k

1

1

0

0

n

n

kA

因此，为了使 kA 右下角元素最先成为特征值，移

位量的值用 kA 右下角 2×2 阶矩阵的两个特征值中

接近 knna 的一个，即

0

0 kA

另法：也可直接取 knnk a

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

knn

knn

knn

knn

aaaa

，，

，，

1

111

求出对应的 kk21 ，

然后取 kk21 ， 中最

接近 knna 的 λ 值作为

移位量 k

这样取 k 后，采用移位 QR 法，结果使 kA 的右下角元素最先收敛为低价特征值 1 。

kA 仍为三对角阵！

改变 [A] 的形式，即

注：正交变换过程 中，

算法本身决定！不会

③ 在具体迭 代过程中，当右下角元素成为特征值时，

以后的迭代只要考虑

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

11 nnkA

收缩矩阵

2 再收缩 n

（划行划列得到）

④ 另外，如在迭代过程中，如出现某个非对角元为零时， 即

则以后的迭代中，将 分块处理： kA先考虑此矩阵的右下角子矩阵，

当右下角子矩阵对角化后，再对左上角的子矩

阵迭代，使左上角子矩阵也成为对角阵。这样处理可节省迭代时间，减少计算量。

0

0kA

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

4 、对于对称三对角阵，一般采用旋转变换实现（即 Givens 变换）

[A] 的 QR 分解（每一次迭代都必须做！），

而 Givens 变换矩阵的选取如下：

设

nn

nn

k

deed

deed

A

1

22

21

0

0 —— 对称的三对角阵，每次迭代不影响对称形式。

为了使所有下三角元素为零，必须用 n-1 次旋转变换！

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法 这样计算量小！

即 kk

TkTkn

Tkn RAQQQ 21

经 n-1 次 G ivens 变换 , 使 kA

的 n-1 个上、下次对角元素均为零！

三角阵

或写成 kkT

k RAQ

knkkk QQQQ 32

kkk RQA

其中旋转变换矩阵如下：

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

即用 G ivens 变换实现了 的 QR 分解！ kA

因为对称！

i1i

i1i

ni 32，

i 角由下式确定：

ni

de

de

iii

iii

iii

3,2cossin

21

21

2

1

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

1

cossin

sincos

1

ii

iikiQ

三、上 Hessenberg 矩阵的 QR 法 （多采用带移位量的双步 QR 法）

设一般矩阵 矩阵上次

变换 HessenbergAn

H

2

对于上 Hessenberg 矩阵用移位 QR 法求全部特征解与求对称三对角矩阵 QR 法有如下不同之处：

（ 1 ）所有相似矩阵 2,1kAk都是上 Hessenberg 阵；

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

注：它是非实对称矩阵！特征根可能出现复根！

（ 2 ）当 k 时， kA 可能趋向拟上三角阵，

即：其对角线可能出现某些二阶小方阵，每个小方阵具有一对实特征值或一对共轭复特征值。

个别对角元下方元素不为零。

若无重特征值或共轭复特征值时， kA 趋向于上三角阵。

（ 3 ）由于 [A] 可能具有复特征值，而且移位量也可能 是复数，因此将可能出现复数运算。

因为移位量 k是根据“小方阵”的特征根定！

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

00

0

0

0

为了避免复数运算和减少计算量，实用中往往采用

双步 QR 法。——把 QR 法的二步并成一步计算。

具体计算公式如下：

1 、一般带移位量的双步 QR 法过程推导实数运算）

变为

设原带移位量 QR 法的二步迭代公式为：

IQRA

RQIAIQRA

RQIA

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

1112

1111

1

＊

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

（即把复数运算

第一步迭代公式

第二步迭代公式

其中移位量 kAk 1k和 是 的右下角 2×2 阶矩阵的特征值，即

1,1

,11122 ,

,

k

k

nnnn

nnnn

aaa

aaaA

可能为实数，也可能为一对共轭复数。

由数学上拉梅定理（矩阵相似变换不变量的特性）得：

22221

111

det AA

aa

kk

nnnnkk ，

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

显然，当 kA 为实矩阵时，

其元素为实数，则 α 与 β 也为实数。

22A 也为实矩阵，

另外，由＊式可得

11

111

12

1

kkkT

kT

k

kkT

k

kkkkk

T

kk

kkT

kk

QQAQQ

QAQ

QQQQAQA

QAQA

而

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

设 kk

T

k RRR 1

kk RQB 令

经过上述两步法公式及拉梅定理，可推出

IAAB kk 2

kA由于 是实矩阵， α ， β 为实数，

并可由 kA ， α ， β 直接求出。

这就避免了复数运算（避免了移位量 k 为复数时

复数运算！）

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

所以 [B] 是实矩阵，

即求 [B] 成为实数运算！

当 [B] 求出后，再对 [B] 进行 QR 分解即可。

2 、一般双步带移位量的 QR 法的基本步骤是：

（ 1 ）计算

（ 2 ）对 [B] 进行 QR 分解，从而求出

IAAB kk 2 —— 计算量为实数运算

kQ即 kkk QRQB 求出

（ 3 ）计算矩阵 kk

T

kk QAQA 2

双步迭代并为一步！

这就完成了一次双步 QR 法计算，（相当于两步迭代计算）

次次

1kk

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

当完成一次双步 QR 法后，求得 2kA

再对 进行新的下一次双步 QR 法： 2kA

22

T

24 kkkk QAQA

如此进行下去。

当 时，使 成为上三角阵，k 2kA

即可求得全部特征解。

且完全避免了复数运算，但计算 [B]工作量大。

因此，在实际运算时，采用改进双步 QR 法。

即： FrancisQR 法。

3 、改进的双步 QR 法（即： FrancisQR 法）

这种方法的基本思想是：

不直接计算 IAAB kk 2

而是直接对 kA 用 Householder 矩阵进行相似变换

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

得到一个新的上 Hessenberg 矩阵 [H]

即 221132

nnn

kT

HHHAHHH

PAPH

即： [P] 是 n-2 个 Householder 矩阵的乘积。这里： [P]—— 变换矩阵！

在原双步 QR 法： kk

T

kk QAQA 2

其中 kQ —— 变换矩阵

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

根据有关定理，只要 [P] 和 kQ 的第一列相同，

即 11 eQeP k

1e ——单位向量。同时 [H] 的下次对角中无

零元时，存在 2 kAH 即完成两步迭代过程！

FrancisQR 法具体做法：见教材 :p64 。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

不详细讲了。

小 结第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

1 、 QR 法表面是一种相似变换法，实质是多个向量的同时反迭代！请思考！

2 、 QR 法适合求“对称三对角阵”和“上 Hess

enberg 矩阵”的标准特征问题，计算量小。

第 三 章

第3

节 Q

Ri

法

思考

1 、 QR 法的基本思想；功能？

2 、 QR 法是怎样避免复数运算？

3 、什么情况下会出现复数运算？

4 、为什么最低阶 收敛在 右下角。1 kA

5 、在移位 QR 方法中如何选择移位量？

6 、双步 QR 法主要解决什么问题？