مقدمه3-1

روش اجزا محدود، جهت حل تقریبی معادالت دیفرانسیل حاکم ب��ر محی��ط ه��ای پیوسته است. روش اجزا محدود در ابتدا به عنوان یک روش تحلیل تنش مط��رح گردید و اکنون نیز به طور گسترده ای برای این منظور به کار م��یرود. عالوه ب��ر این در بسیاری از کاربردهای مهندسی از قبیل هدایت حرارت، ت��راوش مایع��ات، دینامیک سیاالت و میدان های الکتریکی و مغناطیسی، این روش جایگ�اه خ�ود را

توان گفت ریاضیدانان اکنون این روش را به عنوان یک مبحثیافته است. میمفید و قابل مطالعه قبول دارند.

48

فصل سوم

روش اجزاءمحدود

ایده کلی همواره جایگزین کردن مسئله اص��لی ب��ا مس��ئله س��اده ت��ر اس��ت و در فرمول بندی ساده شده یا به عبارت دیگر فرمول بن��دی ج��بری از اج��زا مح��دود استفاده شده است. اگر بتوان مسئله ساده تر را حل کرد، و جواب های بدس��ت آمده با تقریب خوب مبین جواب های واقعی باشند، پیداست ک��ه اج��زای مح��دود وظیفه خود را انج��ام داده اس��ت. ق��دیمیترین اس��تفاده از روش اج��زای مح��دود، توس��ط اس��تادان هندس��ه ص��ورت گرفت��ه اس��ت. ق��ریب ب��ه دو ه��زار س��ال قب��ل ریاضیدانان با مسائلی چ��ون تع��یین محی��ط و مس��احت دای��ره دس��ت ب��ه گریب��ان بودند. راه حل های دقیق تا پیش از کشف آنالیز ریاضی بدس��ت نیام��ده ب��ود. ب��ا وجود این، جواب هایی با دقت زیاد با استفاده از روش اجزا محدود بدست آم��د. برای این حالت ساده، مشخصه مهم مربوط به هر جزء یا المان طول آنست. بر حسب این طول میتوان به طور تقریبی، محیط و مساحت دایره و یا ب��ه عب��ارت

دیگر عدد پی را تخمین زد.

این روش همچنین موجب پیدایش راه حل های جالبی ش��د. ب��رای مث��ال میت��وان دایره را یک چن��د ض��لعی محیطی و ی��ا مح��اطی ج��ایگزین ک��رد. یکی از آنه��ا ح��د باالیی و دیگری حد پایینی برای محیط و مساحت دایره به ما خواهد داد. میانگین این دو جواب تقریبی، به جواب واقعی بسیار نزدیک خواهد بود. افزون بر این ب��ا ازدی�اد تع�داد اج�زا، همگ�رایی ب�ه ط�رف ج�واب ه�ای واقعی انتظ�ار م�یرود این

مشخصه ها در کاربردهای مدرن روش اجزای محدود نیز مطرح هستند.

روش تحلیل اجزای محدود یک روش ح��ل ع��ددی ب��رای بدس��ت آوردن پاس��خ در گستره وسیعی از مس��ائل مهندس��ی اس��ت. اگرچ��ه این روش عموم��ا در تحلی��ل مسائل سازه ها و قاب ها مورد استفاده قرار میگیرد، ولی میت��وان از این روش

در حل مسائل مکانیک محیط های پیوسته و میدان های مختلف استفاده کرد.

این روش امروزه به علت توانایی و انعطاف پذیری زیاد به عنوان یک ابزار مهم در اکثر دانشکده های مهندسی و بخش های پژوهش�ی و تحقیق�ات ص�نایع م�ورد توجه قرار گرفته است. آن مسائل ایده آلی که ب��ه وس��یله نظری��ه موج��ود قاب��ل حل بودند از پیچیدگی الزم برای حل مسئله واقعی برخ��وردار نبودن��د و همچ��نین

مدل های دقیقتر نیز قابل حل به وسیله نظریه موجود نبودند.

پژوهش هایی که ب��رای ح��ل این مس��ئله ش��روع ش��د، ب��ه مع��رفی روش اج��زای محدود به معنای مدرن امروزی آن منجر شد. میدانیم که بس��یار از پدی��ده ه��ا در مهندسی با معادله دیفرانسیل قابل بیان هستند. حل این معادالت ب��ا روش ه��ای

یابی به یک حل بسته به طور معمول غیر ممکن است. حل اینگون��هسنتی و دستمعادالت را میتوان از دو دیدگاه مورد بررسی قرار داد.

دیدگاه ریاضی: روش اجزای محدود یک راهکار عددی برای حل تقریبی مع��ادالتدیفرانسیل است.

49

دیدگاه مهندسی: روش اجزای محدود یک راهکار عددی برای حل مسائلی نظ��یرتحلیل تنش، انتقال حرارت، جریان سیاالت، الکترو مغناطیس و غیره است.

عالوه بر علوم مهندسی، اخیرا شناخت پدیده ه��ای ط��بیعی و عل��وم پزش��کی ب��ا مدل اجزای محدود در حال توسعه میباشد. در پزشکی و فیزیولوژی بدن انسان، شناخت مکانیزم های حرکت، اس��تحکام اس��تخوان ه�ای مختل��ف ب��دن در مقاب��ل ضربه ها و نیروهای خارجی، مکانیزم های حرکت و گردش خون و حرکات قلب، ب��ر اس��اس ق��وانین مکانی��ک اس��توار اس��ت و ه��ر روز پیش��رفت جدی��دی حاص��ل میگردد. شناخت پدیده های فوق ال��ذکر این توان��ایی را ایج��اد نم��وده اس��ت ک��ه بتوان مدل اجزای محدود آنها را تهیه و با دقت زیادی اطراف مسائل و مشکالت

آنها بررسی و تجزیه و تحلیل نمود.

باشد:بعضی فواید روش اجزای محدود به شرح زیر می

قدرت روش اجزای محدود در انواع اندازه ها و م��دل ک��ردن س��ازه ه��ا ب��ا.1هندسه دلخواه!!!!!

قدرت روش در برخورد با بارگذاری دلخواه از جمله بارگذاری حرارتی.2 سازه اجزای محدود شبیه به سازه واقعی است و پدیده مجزا و غیر قاب��ل.3

تصور نیست.

روش های تقریبی مانند روش تفاضل محدود، تمام این ویژگی ه��ا را ن��دارد و ی��ادارای ویژگیهای محدودتری هستند.

در اجزای محدود دامنه داده ش�ده، ب�ه زی�ر دامن�ه ه�ایی ب�ه ن�ام اج�زای مح�دود تقسیم میگردد و حل تقریبی برای مسئله روی ه��ر ی��ک از آنه��ا بدس��ت می آی��د.

تقسیم مجموعه به اجزای کوچک دارای دو مزیت است:

بیان دقیق هندسه های پیچیده و با مواد متفاوت را امکان پذیر مینماید..1 بیان دقیق حل در محدوده هر جزء را برای نمایان س��اختن ت��اثیرات محلی.2

ممکن میسازد.

تعدادی از نکات اصلی روش اجزای محدود به شرح زیر میباشد:

یک دامنه را بنا به شکل آن میتوان با بیش از یک جزء ش��بکه بن��دی نم��ود..1 برای مثال برای تقریب دامنه ای ن��امنظم، میت��وان از اج��زاء مس��تطیلی و

مثلثی استفاده کرد. چنانچه بیش از یک نوع جزء برای نمایش دامن��ه ای اس��تفاده ش��ده باش��د،.2

معادالت هر نوع باید به طور مجزا بدست آید. تعداد و محل گره ها در ی��ک ج��زء ب��ه هندس��ه ج��زء، درج��ه چن��د جمل��ه ای.3

تقریب و شکل انتگرالی معادالت بستگی دارد. با بیان ح��ل م��ورد نی��از ب��ر حسب مق�ادیر آن در گ�ره ه�ا، مس�تقیما ح�ل تقری�بی در گ�ره ه�ا حاص�ل

میگردد.

50

در حالت کلی، جمع بندی اج��زا ب��ر این اس��اس اس��توار اس��ت ک��ه ح��ل )و.4 احتماال مشتقات آن برای معادالت مرتبه ب��اال( در م��رز بین اج��زاء پیوس��ته

میباشد. عموما سرهم سازی اجزای محدود تحت شرایط مرزی یا اولیه قرار دارد..5

معادالت منفصل مرتبط با شبکه اجزای محدود تنها بعد از اعمال ش��رایطمرزی و یا اولیه حل میشود.

.روش اجزای محدود روشی ب��رای ح��ل تقری��بی مع��ادالت دیفرانس��یل ح��اکم ب��ر محیط های پیوسته است. به این منظور دستگاهی از معادالت جبری مرب��وط ب��ه تعدادی از متغیرها تشکیل و ح�ل میش�وند. محب��وبیت این روش بیش�تر ب��ه دلی��ل سهولت برنامه نویسی آنست. این روش در اوایل برای حل مسائل سازه ای ب��ه

کار گرفته شد، ولی استفاده از آن در زمینه های مختلف یافت.

اولین گام، جداسازی یا قطع��ه بن��دی محی��ط پیوس��ته م��وردنظر اس��ت. این گ��ام شامل تقسیم بندی محی��ط ب��ه زیرمحی��ط ه�ایی اس��ت ک�ه اج�زای مح��دود گفت��ه میشوند و همچنین انتخاب نقاطی است که به آنها گ�ره میگوین��د. نق�اط گ�ره ای روی مرز المانهای داخل آنه��ا ق��رار دارد. تغی��یر مکانه��ا و نیروه��ا در گ��ره ه��ا ب��ه صورت متغیرهای ج��دا از هم بدس��ت می آی��د. تغی��یر مک��ان و س��ایر کمیت ه��ای وابسته در ی�ک نقط�ه الم�ان ب�ا اس�تفاده از تواب�ع درونی�ابی و متغیره�ای گ�رهی

مربوط میشوند.

1 انتگرال وزنی و تشکیل روابط ضعیف3-2

φمعادله دیفرانسیل ذیل را تحت شرایط مرزی آن برای حل (x).در نظر بگیری��د (x<L>0)به ازای

−ddx [a(x) dφdx ]=q(x )

φ (0 )=φ0 ,(a dφdx )x=L

=Q0

ط��ولL مقادیر معلوم و Q0 و x ، φ0 توابع معلوم بر حسب مختصه q و aدر اینجا همراه با طول دامنه، دادهQ0 و φ0 و ثوابت q و aدامنه یک بعدی میباشند. توابع

های مسئله هستند.

φ،متغیر وابسته در این مسئله است. زمانی که مقادیر معین غیر ص��فر باش��ند شرایط مرزی را ناهمگن گویند و وق��تی ک��ه مق��ادیر معین براب��ر ص��فر باش��ند )

Q0≠0 , φ0≠0.شرایط مرزی را همگن گویند ،)

1 Weak Form

51

(3-1)

( برای مثال در بررسی ه��دایت ح��رارت در ی��ک پ��ره مب��دل1-3معادالت از نوع )حرارتی با یک استوانه متقارن محوری ظاهر میگردند.

شایان ذکر است که هدف اص��لی نوش��تن عب��ارت انتگ��رال وزنی ب��رای معادل��ه رابط�ه ج�بری مس�تقل خطی بینnدیفرانسیل، داشتن ابزاری جهت بدست آوردن

باشد.ضرایب برای تقریب زیر می

φ=∑j=1

n

c jφ j+φ0(x)

تابع وزن مستقل خطی در عبارت انتگ��رالی میس��ر میگ��رددnاین امر با انتخاب که در ادامه آورده شده است.

تولید شکل ضعیف هر معادل��ه دیفرانس��یل در ص��ورت وج��ود دارای س��ه مرحل��ه میباشد. این مراحل به وسیله معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی نمون��ه تش��ریح

شده است:

تمام عبارات معادله دیفرانس��یل در ی��ک ط��رف تس��اوی ق��رار دادهمرحله یک: ش��ود و روی دامن��ه مس��ئله انتگ��رال در کل معادل��ه ض��رب میwشده و تابع وزن

گرفته میشود.

∫0

L

w[−ddx (a dφdx )−q]dx=0

(2-3( را عبارت انتگرال وزنی یا باقیمانده وزنی معادل ب��ا معادل��ه )3-3عبارت ) به وسیله مقدار تقریبی آن جایگزین میگردد، دیگ��ر عب��اراتφنامند. زمانی که می

داخل کروشه برابر صفر نیست.

و بدس��تw ت��ابع مس��تقل خطی ب��رای n( امک��ان انتخ��اب 3-3عبارت انتگرالی )C1,C2,C3 معادله برای ضرایب nآوردن را فراهم می آورد. بای��د توج��ه داش��ت…,

که عبارت انتگرال وزنی هر معادله دیفرانسیل، قاب��ل دس��ترس اس��ت. ب��ه ط��ور در عبارت انتگرالی تحت شرایط پیوستگی ضعیفتری نس��بت ب��هwکلی تابع وزن

ق��رار دارد. عب��ارت انتگ��رال وزنی تنه��ا بی��ان کنن��ده معادل��هφمتغ��یر وابس��ته دیفرانسیل است و هیچ گونه شرایط مرزی را شامل نمیگردد.

رابطه ج��بری بینn در حالی که عبارت انتگرال وزنی بدست آوردن مرحله دو:C j ه���ا ب���رای nت���ابع وزن مختل���ف دلخ���واه را امک���ان پ���ذیر میس���ازد، تواب���ع

52

(3-2)

(3-3)

φشکل)تقریب( j را ملزم مینماید به گونه ای باشند که φدر که تعدادی به معادله دیفرانسیل اصلی آمده است قابل انتگرال گیری باش��د و ش��رایط م��رزی معین را ارضا نماید. چنانچه این موضوع اهمیتی نداشته باشد، میتوان ب��ا عب��ارت

Cانتگرالی ادامه داده و معادالت ج��بری الزم را ب��رای jبدس��ت آورد. روش ه��ای تقریبی که بر اساس عبارات انتگ��رالی وزنی بن��ا نه��اده ش��ده ان��د را روش ه��ای

w و ت��ابع وزن φباقیمانده وزنی مینامند. چنانچه مش��تق گ��یری بین ح��ل تقری��بی φتوزیع شود، شکل انتگرالی بدست آمده، شرایط پیوس��تگی ض��عیفتری را روی j

ایجاب مینماید و بنابراین عبارت انتگرال وزنی را شکل ضعیف مینامند. مشاهده خواهد شد که تشکیل رواب��ط ض��عیف دارای دو مشخص��ه مطل��وب مییاش��د. اوال احتیاج به پیوستگی ض��عیفتر و کم��تری ب��رای متغ��یر وابس��ته میباش��د و اغلب ب��ه دسته ای از معادالت جبری بر حسب ضرایب ختم میش��ود. ثانی��ا ش��رایط م��رزی

تنه��اφطبیعی مسئله در شکل ضعیف آن گنجانده میشود و بنابراین حل تقری��بی الزم است شرایط اساسی مسئله را ارضا نماید. این دو وی��ژگی ش��کل ض��عیف،

نماید.نقش مهمی را در ایجاد شبیه سازی اجزا محدود یک مسأله ایفا می

مراجعه به عبارت انتگرالی و انتگرال گیری جز به ج��ز از اولین قس��مت عب��ارتخواهد بود.

∫0

L {w [−ddx (a dφdx )]−wq}dx=∫

0

L

( dwdx a dφdx −wq)dx−[wa dφdx ]0

L

که رابطه انتگرالگیری جزء به جزء در رابطه زیر آمده است.

∫0

L

w .dφ=−∫0

L

φ .dw+ [wφ ]oL

قسمت مهم مرحله دو شناسایی دو نوع شرایط مرزی طبیعی و اساسی مرتبط با ه��ر معادل��ه دیفرانس��یل میباش��د. بع��د از تغی��یر مش��تق گ��یری بین ت��ابع وزن و متغیرها، به عبارت دیگر بعد از تکمیل مرحله دو، کلیه عبارت های مرزی رابط��ه انتگرالی بررسی میشود. عبارات مرزی، تابع وزن و متغ��یر وابس��ته ه��ر دو را در بر خواه��د داش��ت. ض��رایب ت��ابع وزن و مش��تقات آن در عب��ارت ه��ای م��رزی را

نامند. شناسایی متغیرهای ثانوی��ه روی م��رز، ش��رایط م��رزی می1متغیرهای ثانویه را تشکیل میدهد.2طبیعی

waبرای حالت موجود عبارت مرزی dφdx اس��ت. ض��رایب ت��ابع وزن a

dφdxباش��د. می

aبنابراین متغیر ثانویه ب��ه ص��ورت dφdxباش��د. متغیره��ای ثانوی��ه هم��واره دارای می

1 Secondary Variables2 Natural Boundary Condition

53

(3-4)

(3-5)

(3-5)

مفهوم فیزیکی هستند. در مورد مس�ائل انتق�ال ح�رارت، متغ�یر ثانوی�ه نمای�انگر است. این متغیر به صورت زیر بیان میگردد:Qمقدار گرما

Q=a( dφdx )nx ، وx بیانگر کسینوس هادی میباش��د و براب��ر کس��ینوس زاوی��ه بین مح��ور nx که

جهت عمود بر مرز میباشد.

برای مسائل یک بعدی، جهت عمود ب��ر نق��اط م��رزی هم��واره در راس��تای ط��ول و انتهای س��مت راس��تnx=−1دامنه است. بنابراین در انتهای سمت چپ دامنه

میباشد. nx=+1آن

nx (L )=+1, nx (0 )=−1

متغیر وابسته، به همان صورتی که تابع وزن در عبارت م��رزی ظ��اهر میگ��ردد را را تش��کیل2نامن��د و مق��دار آن روی م��رز، ش��رط م��رزی اساس��ی می1متغیر اوwلی��ه

متغیر اولی��ه اس��ت و ش��رط م��رزیφمیدهد. برای حالت مورد نظر، تابع وابسته در نقاط مرزی را در بر خواهد داشت.φاساسی مقدار معین

باید توجه داشت ک�ه تع�داد و ش�کل متغیره�ای اولی�ه و ثانوی�ه ب�ه درج�ه معادل�ه دیفرانسیل بستگی دارد. تعداد متغیرهای اولیه و ثانویه همیش��ه ب��ا هم برابرن��د و برای هر متغیر اولیه یک متغیر ثانویه وجود دارد )برای مثال جابجایی، نیرو، دم��ا، حرارت و غیره( تنها یکی از شرایط متغیر اولیه و ثانویه را میتوان در ی��ک نقط��ه از م��رز معین نم��ود. بن��ابراین در ی��ک مس��ئله داده ش��ده ش��رایط م��رزی معین

میتوانند به یکی از این سه صورت باشند:

کلیه شرایط مرزی معین اساسی هستند..1تعدادی از شرایط مرزی معین اساسی و مابقی طبیعی هستند..2کلیه شرایط مرزی معین طبیعی هستند..3

و ی��ک متغ��یرφبرای یک معادله درجه دو مانند مس��ئله حاض��ر، ی��ک متغ��یر اولی��ه φ وجود دارد. در نقطه مرزی تنها یکی از دو )Qثانویه ,Q.را میتوان تع��یین ک��رد )

برای یک معادله درجه چهار، مانند نظریه کالسیک تیرها )یا به عبارت دیگر اویل��ر برنولی( از هر کدام دو عدد موجود میباشد )به عبارت دیگر دو متغیر اولی��ه و دو

جفت متغ��یرm، دارای 2mمتغیر ثانویه(. عموم��ا، ی��ک معادل��ه دیفرانس��یل درج��ه اولیه و ثانویه است.

شود:( با نمادگذاری به صورت زیر می4-3معادله )

1 Primary Variables2 Essential Boundary Conditions

54

(3-6)

(3-7)

∫0

L

(a dwdx dφdx −wq)dx−(wQ )0− (wQ )L=0

مرحله سه، س��ومین و آخ��رین مرحل��ه تش��کیل رواب��ط ض��عیف، اعم��ال ش��رایط در نق�اطwمرزی حقیقی مسئله تحت بررسی میباشد. در اینجاست که تابع وزن

مرزی، جایی که شرایط مرزی اساسی معین شده است باید براب��ر ص��فر ش��ود. باید شکل همگن شرایط مرزی اساس��ی معین مس��ئله را ارض��اءwبه بیان دیگر

نماید.

ش��رط م��رزی اساس��ی وφ=φ0ب��ا توج��ه ب��ه نح��وه دس��ته بن��دی ش��رایط م��رزی

(a dφdx )x=L

=Qباشد. بنابراین تابع وزن شرط مرزی طبیعی میwباید شرایط زیر را

ارضاء نماید.

w (0 φ زیرا0=( (0 )=φ0

از آنجا که:

w (0 )=0

و

Q (L )=(a dφdx nx)x=L=(a dφdx )x=L

=Q0

یابد. ( به عبارت زیر کاهش می7-3معادله )

∫0

L

(a dwdx dφdx −wq)dx−w(L)Q0=0

( و شرط مرزی ط��بیعی1-3که شکل ضعیف و معادل معادله دیفرانسیل اولیه ) است. این گ��ام، مراح��ل موج��ود در ایج��اد ش��کل ض��عیف معادل��ه دیفرانس��یل را

کند.شکل ض��عیف ی��ک معادل��ه دیفرانس��یل، ی��ک عب��ارت انتگ��رال وزنیتکمیل می باش��د. بای��دمعادل معادله دیفرانسیل و ش��رایط م��رزی ط��بیعی معین مس��ئله می

توجه داشت که شکل ضعیف ب�رای کلی�ه مس�ائل خطی و غ�یرخطی ک�ه توس�طمعادالت دیفرانسیل درجه دو یا باالتر تشریح شده اند وجود دارد.

به طور خالصه، برای ایجاد شکل ضعیف سه مرحله وجود دارد:

در مرحله اول کلیه عبارات معادله دیفرانسیل در یک طرف قرار داده میشود)به طوریکه طرف دیگر معادله برابر صفر میشود(، سپس ک�ل معادل�ه در ت�ابع وزن ض��رب و در مح��دوده مس��ئله انتگ��رال گ��یری میگ��ردد. عب��ارت حاص��ل را ش��کل

انتگرال وزنی معادله مینامند.

55

(3-8)

در مرحله دوم از انترالگیری جز به جز بهره جسته و مشتق گیری بین متغیرهای وابسته و تابع وزن به طور یکنواخت توزیع میشود و با استفاده از عبارات مرزی

شکل متغیرهای اولیه و ثانویه مشخص میگردد.

در مرحله سوم عبارات مرزی با قید نم��ودن ت��ابع وزن ب��ه ارض��ای ش��کل همگن شرایط مرزی اساسی معین، با جایگذاری متغیرهای ثانویه با مق��ادیر معین آنه��ا،

[. 51گردند]اصالح می

انتگرال گیری عددی به روش گاوس3-3

توابع پیچیده را که به سهولت قابل انتگرالگیری نیس��تند، میت��وان نخس��ت ب��ا ی��ک چند جمله ای تقریب زده و سپس انتگرال گیری عددی نمود. اگ��ر ت��ابع ب��ه ط��ور قابل توجهی از خطی ب��ودن دور باش��د، آنگ��اه خط��ای قاب��ل مالحظ��ه ای انتظ��ار

Xمیرود. ولی این خطا را میتوان با افزایش تعداد تقسیم بندی ها در فاص��له ت��ا0X nکاهش داد. میتوان از چند جمله ای های مرتب��ه ب��االتر ن��یز ب��رای تق��ریب زدن

تابع استفاده نمود، بگونه ای که دقت کار باال برود

در این حالت صورت کلی انتگرال عبارتست از:

I=∑i=0

n

wi f (X i)

تعداد نقاط نمونه است.n+1که در آن

( در ص��ورت مس��اوی ب��ودن فواص��ل9-3چند جمله ای ضرایب وزنی در معادله ) نقاط نمونه، مقدار ثابت خواهند داشت و اصوال برای تطابق دادن یک چند جمل��ه

متغیر وجود دارد. n نقطه فقط n بر روی n−1ای از مرتبه

ولی اگر نامساوی بودن فواصل مجاز باشد و نقاط نیز به گون��ه ای ق��رار گرفت��ه باشند که بهترین تقریب چند جمله ای را بدهند، آنگاه برای تطابق دادن ی��ک چن��د

متغیر خ��واهیم داش��ت.این روش ک��ارایی قاب��ل2n تعداد 2n−1جمله ای از مرتبه توجهی دارد و موسوم به تقریب گاوسی میباشد.

به خاطر حفظ کلیت، مختصات نقاط نمونه یا گاوسی و ضرایب وزنی معموال ب��اشوند. تعریف می1− و 1+حدود انتگرالگیری میان

∫−1

+1

f (ξ)dξ=∑i=0

n

wi f (ξi)

wمقادیر i و ξ i برای مقادیر مختلف n[ موجود میباشد.52 در مرجع ]

.

56

(3-9)

(3-10)

روش های تغییراتی و باقیمانده وزنی3-4

بحث را با در نظر گرفتن سری توابع زیر شروع میکنیم:

∅ 1 ( x ) ,∅ 2 ( x ) ,…,∅ n ( x )

فرض بر اینست که تواب��ع ب��اال، پ��ذیرفتنی هس��تند. ب��ه این مع��نی ک��ه ی��ک س��ریشرایط زیر را برقرار میکنند و از درجه پیوستگی کافی برخوردار هستند.

مستقل خطی نامیده میشود، چنانچه تساوی زیر برقرار باشد.φیک سری توابع

α 1φ1+α2φ2+…+α nφn=0

αیعنی صفر بودن تمام i ها را ایجاب کند. حاصلض��رب داخلی φ1 و φ2ب��ه ص��ورت زیر تعریف میشود:

⟨φ1 , φ2 ⟩=∫x1

x2

φ1 ( x ) . φ2 ( x )dx

φمجموعه ای از توابع مستقل خطی iکامل نامیده میشوند، چنانچه برای هر تابع α و ضرایب ثابتی مانند n عددی مانند φدلخواه پذیرفتنی iوجود داشته باشند، ب��ه

طوریکه نامساوی زیر برقرار باشد:

‖φ−∑i=1

N

αiφi‖<εφ یک کمیت کوچک اختیاری است. در این صورت توابع ε که در آن iتوابع مبن��ا و

αضرایب i ضرایب فوری��ه گفت��ه میش��وند. اپرات��ور Lب��ه ص��ورت ع��املی تعری��ف به صورت زیر حاصل شود:P عمل کند، تابع جدید φمیشود که اگر روی تابع

L (φ )=P

خطی است چنانچه داشته باشیم:Lاپراتور

L (α φ1+ βφ2)=α L (φ1)+ β L(β2)

دو کمیت اسکالر هستند. β و αکه در آن

روش های باقیمانده وزنی تکنیک های عددی هستند که به منظ��ور ح��ل مع��ادالت دیفرانسیل حاکم بر یک مسئله بکار میروند. برای مثال معادله دیفرانسیل ح��اکم

بر خمش صفحات به صورت زیر است.

∂4w∂ x4 +2

∂4w∂x2∂ y2 +

∂4w∂ y4 = q

D

57

(3-11)

(3-14)

(3-15)

(3-16)

(3-12)

(3-13)

س��ختی خمشD ب��ار وارد ب��ر واح��د س��طح ص��فحه و q خیز صفحه، wکه در آن صفحه است.

مسئله را میتوان به صورت زیر مطرح کرد:

L (φ0 )=Px∈V

S (φ0 )=q x∈S

اس��ت و این ناحی��ه مح��دود ب��هV یک نقطه عمومی متعلق به ناحیه Xکه در آنها جواب دقی��قφ0 مربوطه برقرار هستند. X است و معادالت در تمام نقاط Sمرز

به صورت زیر در نظر گرفت:φ را میتوان تقریبا برابر φ0مسئله است.

φ0≅ φ=∑k=1

n

α kφk

αکه در آن ضرایب k.را باید محاسبه کرد

( به طور دقی���ق16-3 را طوری انتخاب کرده ایم که معادله )φkفرض کنید توابع شود، پس شرایط مرزی کامال برقرار شده اند. همچنین فرض کنید کهبرقرار می

این توابع از درجه پیوستگی کافی برخوردار هستند. با جایگ��ذاری ج��واب تقری��بی آید که باقیمانده نامی��ده میش��ود، به دست میε( یک تابع خطای 17-3در معادله )

یعنی خواهیم داشت:

ε=L (φ )−P

ε مخالف صفر است چون φ دقیقا φ0باشد. هدف اینست که تابع خطای برابر نمی εشود. ب��رای اینک��ار انتگ��رال وزنی به طور میانگین به طرف صفر سوق داده می

باقیمانده برابر صفر قرار داده میشود:

⟨ ε ,w i ⟩=0 i=1,2 ,…,n

به عبارت دیگر حاصلضرب داخلی باقیمانده با یکسری توابع وزنی بدس��ت آورده معادل��ه بدس��تnمیشود و سپس مساوی صفر قرار داده میشود. به این ترتیب

α مجه��ول nمی آید ک��ه ب��ا ح��ل آنه��ا kقاب��ل محاس��به خواه��د ب��ود. انتخ��اب ه��ای متفاوتی برای توابع وزنی میتوان داشت که ب��ر اس��اس آنه��ا روش ه��ای مختل��ف

باقیمانده وزنی ابداع شده اند.

روش نقطه یابی3-5

در این روش معادله دیفرانسیل در تعدادی نقاط انتخاب ش��ده، برق��رار میش��ود. به صورت زیر:φبرای یک تابع تقریبی

58

(3-17)

(3-18)

(3-19)

(3-20)

(3-21)

φ=∑k=1

n

α k φk

خواهیم داشت:

ε=L (φ )−p=∑k=1

n

α k L (φk )−p

αمجهوالت k با صفر کردن ε در nنقطه از میدان به دست می آی��د. این روش را میتوان با معرفی تابع دلتای دیراک به صورت زی��ر ک�ه ف�رم عم�ومی روش ه�ای

∆باقیمانده وزنی است تبدیل کرد. ت��ابع دلت��ای دی��راک iب��ه ص��ورت زی��ر تعری��ف میشود:

∆ i ( x )=0x i±c

∫xi−c

x i+c

∆ i ( x )dx=1

بسیار کوچک است. به این ترتیب روش نقطه یابی معادل با رواب���طCکه در آن زیر است:

⟨ ε ,∆ i ⟩= ⟨L (φ )−p ,∆i ⟩=0

روش مینیمم مربعات3-6

در این روش حاصلض��رب داخلی ت��ابع خط��ا ب��ا خ��ودش را تش��کیل داده و اینحاصلضرب مینیمم میشود:

ε=L (φ )−p

F=⟨ ε , ε ⟩=⟨ L (φ )−p , L (φ )−p ⟩

باید میبینمم شود. تابع تقریبی کماکان به صورت رابط��هFدر معادله فوق مقدار مشتق گرفتهα( خواهد بود. برای میبینمم کردن از آن نسبت به ضرایب 3-21)

شود:و حاصل برابر صفر قرار داده می

∂ F∂αi

=0

∂ F∂αi

=∂ ⟨ ε , ε ⟩∂α i

= ∂∂α i

[ ⟨L (∑ αk φk ) , L (∑ αk φk )⟩−2 ⟨L (∑ α kφk ) , p ⟩+⟨ p , p ⟩ ]=0

( به صورت زیر ساده میشود:27-3 یک اپراتور خطی باشد، معادله )Lچنانچه

59

(3-22)

(3-23)

(3-24)

(3-25)

(3-26)

(3-27)

(3-28)

⟨L (∑ αk φk)−p , L(φi)⟩=0.

⟨ ε , L(φ i)⟩=0

روش لنگرها3-7

با توجه به معادله زیر:

⟨ ε ,w i ⟩=0

wمیت��وان از ه��ر س��ری مس��تقل خطی و کام��ل تواب��ع، ب��ه عن��وان تواب��ع وزنی i استفاده شوند. ساده ترین انتخاب برای یک مسئله یک بعد س�ری مقاب�ل اس�ت:

1 , x , x2 , x3 ,…

سطح زیر منحنی خط��ا را براب��رw1=1معنای فیزیکی انتخاب باال اینست که تابع لنگر اول مساحت زیر منح��نی خط��ا را نس��بت ب��ه مرک��زw2=xصفر کرده، تابع

لنگ��ر دوم مس��احت زی��ر منح��نی را براب��ر ص��فرw3=x2مختصات و همچنین ت��ابع شود:میکنند و الی آخر. بنابراین لنگرهای باال برابر صفر می

⟨ ε , x i ⟩=0

روش گالرکین3-8

شامل سه روش میباشد:

روش استاندارد گالرکین: مشابه روش مرکزی در تفاضل محدود میباشد..1 روش پتروف گالرکین: توابع وزنی که همان توابع شکل هس��تند ب��ه نج��وی.2

(1تغییر داده میشوند که وزنشان در باالدست یک گره افزایش یابد )آپویند روش تیلور گالرکین: در این روش از بسط سری تیل��ور اس��تفاده میش��ود..3

این روش طرح آپویند میباشد که روی زمان اثر میگذارد.

روش گالرکین یک متند باقیمانده وزنی خ��اص اس��ت ک��ه در آن ب��ا عن��وان تواب��ع وزنی از همان توابع شکل استفاده میشود. بنابراین اگر با سیستم مع��ادالت زی��ر

سر و کار داشته باشیم:

L (φ0 )−p=0 x∈V

S (φ0 )−q=0 x∈S

از تابع

φ=∑k=1

n

α k φk

1 Upwind

60

(3-29)

(3-30)

(3-31)

(3-32)

φبه عنوان جواب تقریبی استفاده میش��ود س��پس باقیمان��ده ب��ا تواب��ع امتح��انی i ضرب داخلی میشود.

همانطور که در زیر نشان داده شده است:

⟨ ε ,φi ⟩=0

∫V

❑

[ L (∑ α kφk )−p ]φidV=0

( ی��ک س��ری مع��ادالت خطی ب��ه م��ا34-3 یک اپراتور خطی باشد، معادله )Lاگر αمیدهد که با حل آن ضرایب kبدست می آید. با وجود این، توجه کنید ک��ه روش

گالرکین را میتوان در مورد مسائل غیرخطی نیز به کار برد.

فرم عمومی روش گالرکین3-8-1

انتخاب توابع شکل به عنوان توابع وزنی، در بسیاری از مسائل یک تعبیر فیزیکی به روش گالرکین خواهد بخشید. روش گالرکین را میت��وان ب��ه ص��ورت تغی��یراتی دیگر بیان کرد که اغلب کار با آن ساده تر است. ش�رایط تعام�د زی�ر را در نظ�ر

بگیرید:

∫V

❑

[L (φ )−p ]φidV=0

δمیتوان هر یک از معادالت فوق را در یک افزایش دلخواه αi:ضرب کرد. یعنی

δ αi∫ [L (φ )−p ]φidV=∫ [L (φ )−p ] δ α iφidV=0

باتوجه به تعریف زیر:

δφ=δ α 1 . φ1+δ α2 . φ2+…+δ α n . φn

آید:به صورت زیر در می (35-3معادله )

∫V

❑

[L (φ )−p ] δφ.dV=0

ε=Lو با توجه به رابطه (φ )−p برای تغی��یرات ک��امال دلخ��واه δφ[خ��واهیم داش��ت 53:]

⟨ ε , δφ ⟩=0

61

(3-33)

(3-34)

(3-35)

(3-36)

(3-37)

(3-38)

(3-39)

روش های باقیمانده وزنی)برای مثال گالرکین( که پیش از این تش��ریح ش��د، ب��هعلت کمبودهایی همچون مشکل تشکیل توابع تقریب، چندان موثر نیستند.

به علت این کمبود، روش های تقریبی سنتی جدا از سهولت بدست آوردن ح��ل های تقریبی، در مقایسه ب�ا روش ه�ای تفاض�ل مح�دود، هرگ�ز ب�ه عن�وان رقیب

محاسباتی تلقی نگردیده اند.

به صورت ایده آل یک روش محاسباتی موثر باید دارای ویژگیهای زیر باشد:

باید دارای شالوده ریاضی و همچ��نین ف��یزیکی منطقی باش��د.)ب��ه عب��ارت.1 دیگر حل ه��ای همگ��را ارائ��ه نمای��د و قاب��ل اس��تفاده در مس��ائل ک��اربردی

باشد( نبای��د مح��دودیتی در م��ورد هندس��ه و ت��رکیب ف��یزیکی دامن��ه ی��ا ط��بیعت.2

بارگذاری باشد. فرآیند تشکیل روابط باید مستقل از ش��کل دامن��ه و ش��کل وی��ژه ش��رایط.3

مرزی باشد. روش باید دارای انعطاف پ��ذیری ک��افی ب��رای تق��ریب ب��ا درج��ات مختل��ف.4

بدون نیاز به تشکیل دوباره روابط برای کل مسئله باشد.باید دارای فرآیند نظام یافته ای برای استفاده در رایانه های عددی باشد..5

روش اجزاء محدود3-9

روش اجزای محدود روندی است که در آن دامنه مشخص به ص��ورت ترکی��بی از دامنه های ثابت به نام اجزای محدود بیان میگ��ردد، ب��ه طوریک��ه امک��ان تش��کیل منظم توابع تقریب مورد نیاز در تق��ریب باقیمان��ده وزنی ب��رای ح��ل ی��ک مس��ئله روی ه��ر ج��زء وج��ود دارد. بن��ابراین روش اج��زای مح��دود ب��ا روش ه��ای س��نتی گالرکین، حداقل مربعات و روش های باقیمانده وزنی دیگر از نظر طرز تش��کیل

توابع تقریبی تفاوت دارد.

لیکن این تفاوت عهده دار سه ویژگی روش اجزای محدود میباشد:

تقسیم کل به جزء ها. ارائه دامنه های با هندسه های پیچیده را به ص�ورت.1 ترکیبی از دامنه های ساده هندسی مجاز میسازد و اس��تخراج منظم تواب��ع

تقریب را امکان پذیر مینماید. استخراج توابع تقریب برای هر جزء، توابع تقریب اغلب چند جمله ای های.2

جبری هستند که با استفاده از نظریه میان یابی استخراج میگردند. جمع بندی اج��زا، ک��ه ب��ر اس��اس پیوس��تگی ح��ل و ت��وازن ش��ارهای داخلی.3

میباشند.

62

این سه ویژگی ک��ه گامه��ای اص��لی اس��تخراج رواب��ط اج��زای مح��دود را تش��کیل میدهند با هم ارتباط تنگاتنگ دارند. هندسه اجزای مورد استفاده برای بیان دامنه مسئله باید به گونه ای باشد که توابع تقریب را بت��وان منحص��را اس��تخراج نم��ود. توابع تقریب نه تنها به هندسه وابسته هستند بلکه به تعداد و محل نقاط ی��ا گ��ره

ها در جزء و کمیت های میان یابی شده نیز بستگی دارند.

مراحل روش اجزای محدود به ترتیب زیر میباشد:

پیش پردازش: تقسیم دامنه مسئله به اجزای محدود )گسسته سازی(.1رابطه سازی جزء: فراهم آوردن معادالت حاکم بر یک جزء..2 سوار کردن: بدس��ت آوردن مع��ادالت ح��اکم ب��ر دامن��ه مس��ئله از روی هم.3

گذاری معادله های حاکم بر هر جزء.حل معادالت.4 پس پ�ردازش: بدس�ت آوردن کمیت ه�ای م�ورد نی�از مانن�د س�رعت ه�ا و.5

فشارها.

در حالت ساده ای مانند سیستم های شامل فنر و یا خرپاها، میتوان رفت��ار ج��زء را به طور مستقیم تعریف کرد و نی��ازی ب��ه در نظ��ر گ��رفتن معادل��ه دیفرانس��یل

حاکم نیست.

.

شبکه بندی دامنه3-9-1

تقسیم دامنه به اجزای محدود به این علت است که جواب مسئله برای ه��ر ی��ک از اجزا، با دقت باال بدست آمده و سپس با سرهم س��ازی ج��واب در ک��ل اج��زا، جواب کلی مسئله تعیین شود. قوانین عمومی ایجاد ش��بکه ب��رای رواب��ط اج��زاء

محدود شامل موارد زیر میباشد:

تعداد، شکل و نوع )یعنی خطی یا درجه دوم( اجزاء باید به گونه ای باش��د.1که هندسه دامنه را با دقت مورد نظر تقسیم کند.

تراکم اجزا باید به گونه ای باشد که نواحی با گرادیان بزرگ متغیر مسئله،.2 به طور مناسب شبیه سازی شوند. )یعنی اجزای مرتبه باال باید در ن��واحی

با گرادیان بزرگ به کار برده شوند( آرایش شبکه باید به تدریج از نواحی با تراکم زیاد ب��ا ن��واحی ب��ا ت��راکم کم.3

تغییر کند.هندسه مسئله باید توسط اجزا، به طور کامل پوشش داده شود..4

نشان دادن یک دامن��ه توس��ط مجموع��ه ای از اج��زای مح��دود، مس��تلزم رع��ایت نکات زیادی میباشد. تعداد، نوع)مثال خطی یا درج��ه دوم(، ش��کل )مثال مثل��ثی ی��ا

63

مستطیلی( و تراکم )یعنی اصالح سازی شبکه( اجزای ب��ه ک�اربرده ش��ده در ی��کمسئله بستگی به مالحظات زیر دارد:

تقسیم بندی دامنه به اجزای قابل قبول، تا ح��د امک��ان نزدی��ک ب��ه یک��دیگر.1باشند.

دومین مالحظه ای ک��ه نی��از ب��ه دقت مهندس��ی دارد عبارتس��ت از تقس��یم.2 بندی جسم یا قسمتی از جسم به اجزای نسبتا کوچک به طوری ک��ه تن��دی

شیب گرادیان های حل، دقیقا قابل محاسبه باشند.

برای مثال، جریان سیال لزج در اطراف یک استوانه در یک کانال در نظر گرفت��ه میش��ود. جری��ان از س��مت چپ وارد کان��ال میش��ود و پس از عب��ور از اط��راف استوانه، در سمت راست از کانال خ��ارج میش��ود. چ��ون س��طح مقط��ع اس��توانه کوچکتر از سطح مقطع کانال میباشد، انتظار میرود جریان در پ��یرامون اس��توانه شتاب بگ�یرد. همچ�نین س�رعت در فاص�له ای دورت�ر از اس�توانه)مثال در م�دخل ورودی( اساسا یکنواخت است. چون این دانش کیفی از رفتار جریان، یک شبکه درشت )یعنی اجزاء ب�ه ط�ور نس�بی از لح�اظ ان�دازه ب�زرگ باش�ند( در فض�ایی تقریب��ا دور از اس��توانه، و ش��بکه ظری��ف در فواص�ل نزدی��ک اس��توانه را تش�کیل

میدهد. برای اصالح شبکه سه شرط زیر باید تامین شود:

الف( ساختار هندسی مسئله تغییر نکند.

ب( جایگاه گره های قبلی تغییر نکند.

ج( همان مرتبه تقریب سازی برای حل در کلیه مراحل روند اصالح س��ازی ب��اقیبماند.

قسمت مهم مدل کردن اجزای محدود مربوط به شبکه سازی است ک��ه ش��امل شماره گ��ذاری گ��ره ه��ا و اج��زاء و ایج��اد مختص��ات گ��ره ای و م��اتریس اتص��ال میباش��د. در ح��الی ک��ه ایج��اد ک��ردن چ��نین اطالع��اتی ک��امال س��اده ب��وده و ن��وع اطالعات روی بازدهی محاسبات و دقت آنها تاثیر دارد. دقت حل اج�زای مح�دود همچنین وابسته به انتخاب شبکه اجزای محدود میباش�د. ب�رای مث�ال اگ�ر ش�بکه انتخاب شده تقارن مسئله را بهم بزند، جواب دقت کمتری نسبت به حل بدست آمده با استفاده از تق��ارن ف��یزیکی آن دارد. از لح��اظ هندس��ی ی��ک ج��زء مثل��ثی خطوط تقارن کمتری در مقایسه با جزء مستطیلی دارد، بنابراین باید شبکه های

[. 54اجزای مثلثی را با دقت به کار برد]

دقت پاسخ های روش اجزا محدود به اندازه شبکه بندی آن بستگی دارد. چنانچه با ریز کردن شبکه بندی، پاسخ ها به مقدار خاصی همگرا شوند، گفته میشود که حل دارای همگرایی است. انتخاب پاسخ های آزمونی و همچنین ت��ابع ه��ای وزنی در همگرایی حل اج��زاء مح��دود م��وثر اس��ت. ت��ابع ه��ای وزنی و همچ��نین پاس��خ آزمونی باید به اندازه کافی نرم باشند. این نرمی ب��ه درج��ه مش��تق ه��ای ظ��اهر

64

شده در شکل ضعیف معادله حاکم بستگی دارد. در اجزا محدود، تابع های وزنی و همچنین پاسخ آزم�ونی و مش�تق ه�ای آنه�ا ت�ا درج�ه ای ک�ه در ش�کل ض�عیف

معادله حاکم وجود دارد، باید بتوانند مقدارهای ثابت را بپذیرند.

65