Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
40
3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
A méretezés, ellenőrzés célkitűzése:
Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt bizton-
sággal elviselje az adott terhelést anélkül, hogy benne károsodás lépne fel.
Statikus terhelés: a terhelés időben nem változik.
Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél:
- Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra).
- Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra).
3.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra
Feszültségcsúcsra történő méretezés, ellenőrzés esetén a szerkezet veszélyes pontjában kiszá-
mított, a tönkremenetelre jellemző redukált feszültséget hasonlítjuk össze azzal a megengedett
feszültséggel, amelynél már károsodás lép fel.
Károsodás:
-maradó (képlékeny) alakváltozás,
- törés, szakadás.
Anyagszilárdsági jellemző:
0,2pR - folyáshatár,
mR - szakítószilárdság.
Ezek az anyagszilárdsági jellemzők szakító kísérletekkel határozhatóak meg.
a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot.
A méretezés, ellenőrzés a következő egyenlőtlenség alapján történik:
= ,jell
z megn
ahol n a biztonsági tényező,
jell a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző.
Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla: 0 .z
A szilárdsági jellemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre.
Például:
Húzás:
Hajlítás:
hxM
y
z
F F
y
hxM
z
A feszültségi állapot:
0 0 0
0 0 0
0 0 z
F
.
0 0 0
0 0 0
0 0 z
F
.
b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot.
x xy xz
yx y yz
zx zy z
F
Probléma: nem tudjuk, hogy melyik feszültség koordiná-
tát hasonlítsuk össze a meg -tel!
41
Redukált feszültség / egyenértékű feszültség / összehasonlító feszültség
Definíció: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültségi állapotot a károsodás szempont-
jából egyértelműen jellemzi.
A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültségi állapotot egytengelyű
feszültségi állapotra vezetjük vissza. A redukált feszültség kiszámítására különböző elméle-
tek vannak.
A redukált feszültség meghatározására több elméletet is kidolgoztak. Az elméletek nem ál-
talános érvényűek, vannak olyanok, amelyek rideg anyagok és vannak olyanok, amelyek
alakítható anyagok esetén alkalmazhatók előnyösebben, azaz írják le a valósághoz közel-
állóbban a tönkremenetelt.
Rideg anyagok:
mR
Rideg anyag: nem képes képlékeny alakváltozásra.
A rugalmas alakváltozás után hirtelen (képlékeny
alakváltozás nélkül) törik/szakad el.
Például az öntött vas, kerámia, üveg, stb.
m BR az anyag szakítószilárdsága.
Coulomb1- elmélet: egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi
állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag
szakítószilárdságánál.
Főfeszültségek jelölése: 1 2 3 .
A pontban fellépő legnagyobb normálfeszültség: max 1 3max , .
A Coulomb-féle redukált feszültség: max 1 3max , .red Coulomb
Méretezés, ellenőrzés:
m( ) mred eg
RCoulomb
n , ahol n az előírt biztonsági tényező.
Alakítható anyagok
mR
0,2pR
Alakítható anyag: képlékeny alakváltozásra képes.
A törés csak a képlékeny alakváltozás után
következik be.
Például a fémek, acél, alumínium, stb.
0,2p FR az anyag folyáshatára.
Mohr2- elmélet: egy pontbeli feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a fe-
szültségi állapothoz tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője kisebb,
mint a megengedett feszültség.
1 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) francia fizikus és hadmérnök. 2 Christian Otto Mohr (1835-1918) német mérnök.
42
A Mohr-féle redukált feszültség: 1 3red Mohr .
Méretezés, ellenőrzés: m( )jell
red egMohrn
,
ahol jell az anyag tönkremenetelét jellemző szilárdsági érték.
Itt általában 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.
Huber3- Mises
4- Hencky
5- elmélet:
Két feszültségi állapot a károsodás szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a torzulási
alakváltozási energiájuk megegyezik:
1 2T Tu u .
A Huber-Mises-Hencky-féle elmélet szerinti redukált feszültség arányos az Tu torzulási
energiával.
2 22
1 2 2 3 3 1
1( ) 6
2red THMH G u
,
2 2 2 2 2 21
( ) 62
red x y y z z x xy yz xzHMH
.
Méretezés, ellenőrzés: m( )jell
red egHMHn
.
Itt 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.
A Mohr és a HMH szerint redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól.
Általában: red HMH < red Mohr .
c) Méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén:
- A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének megkeresése, meghatározása. A veszélyes
keresztmetszet az, ahol legnagyobbak az igénybevételek.
- A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése, meghatározása. A veszé-
lyes pontok azok, ahol legnagyobb a red redukált feszültség.
- A veszélyes pontokban a méretezés, ellenőrzés elvégzése: max .red meg
3.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján
A szerkezeti jellemzőre történő méretezés, ellenőrzés esetén nem egy pontbeli érték, hanem a
szerkezet egészére jellemző mennyiség figyelembevételével döntjük el, hogy a szerkezetet
mechanikai, szilárdságtani szempontból megfelelőnek tekintjük, vagy nem.
a) Méretezés, ellenőrzés teherbírásra:
3 Makszimillian Titus Huber (1872-1950) lengyel mérnök. 4 Richard Edler von Mises (1883-1953) osztrák mérnök. 5 Heinrich Hencky (1885-1951) német mérnök.
43
A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés esetén azt az állapotot tekintjük tönkremene-
telnek, amikor a szerkezet minden pontjában eléri a feszültség a folyáshatár értékét.
0,2pR
0,2pR
A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés kiinduló felté-
telezése, hogy:
- az anyag jól alakítható,
- az anyag lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny.
Az ábrán egy ilyen idealizált anyagmodell, a lineárisan
rugalmas, ideálisan képlékeny anyag szakító diagramja
látható.
- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra húzás-nyomás esetén:
Ha húzás-nyomás esetén az N húzó/nyomó erőt folyamatosan növeljük, akkor a rúdke-
resztmetszet minden pontjában egyszerre lép fel 0,2pR nagyságú feszültség. Ehhez az ál-
lapothoz tartózó húzó/nyomó igénybevételt KN határerőnek nevezzük. Tönkremenetel az
KN határerőnél lép fel.
yy
S
x
y
z z
0,2pR
növelésetönkremenetel
N .
zN A , 0,2K pN R A . ( KN határerő)
Méretezés, ellenőrzés: max ,Kmeg
K
NN N
n maxN - a rúdban fellépő legnagyobb rúderő,
Kn - előírt biztonsági tényező.
- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra egyenes hajlítás esetén:
Ha tiszta egyenes hajlítás esetén az hxM hajlító nyomatékot folyamatosan növeljük, akkor
a rúdkeresztmetszet szélső pontjaiban lép fel először 0,2pR nagyságú feszültség. Az hxM
hajlító nyomatékot tovább növelve a keresztmetszet egyre nagyobb részén fogja elérni a
z feszültség az 0,2pR értéket. Az hxM hajlító nyomatékot tovább növelve végül olyan
állapot alakul ki, hogy a keresztmetszet x tengely fölötti részén minden pontban 0,2pR , a
keresztmetszet x tengely alatti részén pedig minden pontban - 0,2pR feszültség fog fellépni.
Ehhez az állapothoz tartózó hajlító igénybevételt KM határnyomatéknak nevezzük és azt
mondjuk, hogy tönkremenetel az KM határnyomatéknál lép fel.
44
y
xS
hxM
y
A
A
p0,2R p0,2R
p0,2Rp0,2Ry y
z z z
növelésetönkremenetelhxM
.
Hajlító nyomaték:
hx zM y dA
A
.
A tönkremenetelhez tartozó határ hajlító nyomaték:
0,2 0,2K z p p
xx
M y dA R y dA R y dA
A A A
S AS A
.
0,2 .K p x xM R S A S A
Tiszta hajlítás a feszültségeloszlásból nem származhat eredő erő A A .
Például:
S
x
yy
zA
A
hxM
A A
( ) ( )x xS A S A
Kétszeres szimmetrikus
keresztmetszet:
A keresztmetszetnek két
egymásra merőleges
szimmetria tengelye van. x
y
A
A
dA
y
-ydA
S
x
A
S y dA , ,2
AA A
.x xS A S A
0,2 .2
K p x
AM R S
45
Méretezés, ellenőrzés: max m ,Khx h eg
K
MM M
n
maxhxM - a rúdszerkezetben fellépő legnagyobb hajlító nyomaték,
Kn - az előírt biztonsági tényező.
- Méretezés-ellenőrzés teherbírásra csavarás (kör, körgyűrű) esetén:
x
S
R
Fzy
cM
Határnyomaték:
cK F F
p
M R dA R dA
A A
S
,
poláris statikai nyomaték.pS
.cK F pM S
Méretezés, ellenőrzés: max mcK
c c eg
K
MM M
n ,
- maxcM - a rúdban fellépő legnagyobb csavaró nyomaték,
- Kn - előírt biztonsági tényező.
b) Méretezés, ellenőrzés alakváltozásra
Alakváltozásra történő méretezés esetén a vizsgált szerkezetet akkor tekintjük normál
üzemszerű működésre alkalmatlannak, ha a szerkezet alakváltozása egy előírt mértéket túl-
lép.
Például, ha egy megmunkáló gép állványában a megmunkálás során túl nagy deformációk
lépnek fel ,akkor a gép pontos megmunkálásra alkalmatlan lesz.
Például húzás – nyomás esetén:
max
Nl
A E , max meg .
Alakváltozásra kell méretezni például: megmun-
káló gépeket, hidakat, zsilipeket, nagyméretű cső-
elzárókat, stb.
y
x
l max
N
3.3. Gyakorló feladatok méretezésre, ellenőrzésre statikus terhelés esetén
3.3.1. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra
x
y
a
2a S
z2 kN m
2 m4 m
C
9 kNy
A B
Adott:
A tartó méretei, téglalap ke-
resztmetszetének oldalaránya és
terhelése, valamint:
0,2 330F pR MPa, 2Fn .
46
Feladat:
a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása.
b) A tartó méretezése teherbírásra.
c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra.
Kidolgozás:
a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása:
y
2 kN m
2 m4 mC
9 kN8 kN
4 kN
9 kN 12 kN
yT kN
9
1
812
z
z
hxM kNm
11
20
14
A B z
Támasztó erőrendszer meghatározása:
8 2 9 4 4 5 6 0a ByM F ,
12 kNByF .
6 8 4 9 2 4 1=0b AyM F ,
9 kNAyF .
Az igénybevételi ábrák megrajzolása a szo-
kásos módon történik.
Veszélyes keresztmetszet: C
max 20hxM kNm.
b) A tartó méretezése teherbírásra:
y
hxM x
S
F
F
z
y
Határnyomaték:
/ 2 / 2
2 2 2 ( / 2)K F F F x
x
A A
S
M y dA y dA S A
xS - a fél keresztmetszet x tengelyre számított statikai
nyomatéka.
32
/ 2
/ 22 2
x A
A
a aS ydA a .
Hajlítási határnyomaték:
3/ 2
/ 2
2 2K F F x FA
A
M ydA S a .
47
A tartó megfelel, ha az maxK
hx
F
MM
n , azaz
3
maxF
hx
F
aM
n
feltétel teljesül.
6max 33
12 20 1049,49 mm
330
F hx
F
n Ma
.
c) A tartó méretezése feszültségcsúcsra:
A tartó megfelel, ha a maxF
z
Fn
egyenlőtlenség teljesül:
max
max
hx
z
x
M
K ,
2
32 4
6 6x
a aK a
max
3
6
4
hx F
F
M
na
.
6max
336 6 2 20 10
56,65 mm4 4 330
F hx
F
n Ma
.
3.3.2. feladat: Méretezés teherbírásra és feszültségcsúcsra
y
60kN
60kN
40kN
40kN
x
z
A
BC
D
a
a
bc
h e
e
Adott: A kör keresztmetszetű ABCD tartószer-
kezet, melynek jellemző méretei
0,2ma h , 0,4mb , 0,5mc ,
0,3me és 2Fn , 160MPaF .
Feladat:
a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meg-
határozása.
b) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírás-
ra.
c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra.
Kidolgozás:
a) Az ABCD rúdszakasz igénybevételének meghatározása.
A B pontba redukált nyomaték: 60 0,4 24 kNmB z zM e e .
A D pontba redukált nyomaték: 40 0,6 24 kNmD z zM e e .
Az ABCD rúdszakasz tisztán csa-
varva van!
Veszélyes keresztmetszetek: a B-D
rúdszakasz valamennyi kereszt-
metszete. max 24kNmcM .
xz
cM
z
A B C D
24 24 kNm
a) Az ABCD rúdszakasz méretezése teherbírásra:
48
y
S
x
R
cM
z
F
d
Feszültségeloszlás határállapotban.
Határnyomaték:
cK F F F P
P
A A
M R dA R dA S
S
.
PS - a keresztmetszet S pontra számított poláris statikai
nyomatéka.
/2/2 2 /2 3 32
0 0 0 0
2 23 12
dd d
P
r r rA
r dS r dA r r d dr r dr
.
Csavarási határnyomaték: 3
12cK F P F
dM S
.
A tartó megfelel, ha az maxcK
c
F
MM
n , azaz, ha az
3
max12
Fc
F
dM
n
feltétel teljesül.
6max
3312 12 2 24 10
104,6mm160
F c
F
n Md
.
c) Az ABCD rúdszakasz méretezése feszültségcsúcsra:
y
S
x
R
cM
z
d
Feszültségeloszlás rugalmas alakváltozás esetén.
A tartó megfelel, ha a maxF
Fn
egyenlőtlenség teljesül:
max
max
c
p
M
K ,
3
16p
dK
max
3
16 c F
F
M
nd
.
6max
3316 16 2 24 10
115,2 mm160
F c
F
n Md
.
3.3.3. feladat: Csőtengely méretezése feszültségcsúcsra
49
x
y
d
D
P
Ree
hxM
cM
Adott: egy körgyűrű keresztmetszetű tartó veszélyes ke-
resztmetszetének igénybevétele:
(600 800 ) NmS x zM e e , meg 80 MPa , 2D d .
Feladat:
a) Feszültségeloszlás rajzolása a keresztmetszet x és y
tengelye mentén, a veszélyes pont(ok) meghatározása.
b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és
Huber-Mises-Hencky szerint.
c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint.
Kidolgozás:
a) Feszültségeloszlás megrajzolása a keresztmetszet x és y tengelye mentén, a veszélyes
pont(ok) meghatározása:
x
y
S
A
B
y
z xz
y
z x
yzx
Veszélyes pontok:
- hajlításból az A és B pont,
- csavarásból a palást minden pontja,
- hajlításból és csavarásból együttesen
az A és B pont.
A keresztmetszet méretezését az A, vagy
B pontbeli redukált feszültség figyelem-
bevételével kell elvégezni.
b) A redukált feszültség meghatározása Coulomb, Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint:
, ,
0 0 0
0 0
0
z
R z
z z
F
.
hxz
x
My
I , c
z z
p
M
I , ahol 2p xI I .
max2
hx hxz
x x
M MD
I K , max
2
c cz
p p
M MD
I K , 2p xK K .
A redukált feszültség Coulomb szerint:
50
n
n
2 R 3 1
Z
R
z
z
1( )red Coulomb ,
2
2
12 2
z zz
,
2
2
32 2
z zz
.
22
1max2 2
hx hx c
x x p
M M M
K K K
22
2 2
1max
1
2 2 2
hx hx c redhx hx c
x x p x p
M M M MM M M
K K K K K
.
A redukált feszültség Mohr és Huber-Mises-Hencky szerint:
2
2 2 2
red 1 3( ) 2 42
zz z zMohr
.
2 2 2 2 2 2
red 1 2 2 3 3 1 1 3 1 3
1 1( )
2 2HMH
Behelyettesítés és átalakítás után: 2 2
red 3z zHMH
Összefoglalva:
2 2
red z z , : 4 , : 3Mohr HMH .
2 2
red max red red max maxz zA B ,
red max
22
hx c
x p
M M
K K
2 2
red4hx c
x x
M MM
K K
.
Mohr szerint: 4 : 2 2
4red hx cM M M
2 2 44
6 8 10 1000 Nm4
.
Huber-Mises-Hencky szerint: 3 :
2 2
red4
hx cM M M
2 2 436 8 10 916 5 Nm
4
.
c) A keresztmetszet méretezése Mohr-elmélet szerint:
51
A tartó megfelel, ha red max meg , redmeg
x
M
K red
meg
x
MK
.
Mivel 2D d , ezért 4 4( ) 2
64x
D dK
D
43(16 1) 15
64 64
dd
d
.
A méretezési egyenlőtlenségből: red3
meg
64
15
Md
6
364 10
25 7 mm15 80
,
Szabványos külső átmérőt választva (MSz 4337-64): 60 mmD és 30 mm.d
3.3.4. feladat: Tengely méretezése, ellenőrzése feszültségcsúcsra
x
y
D
d
B
F F
y
z
l
A
Adott:
800 NF , 100 mml ,
150 mmD , 125 MPameg .
Feladat:
A tengely méretezése feszültség-
csúcsra.
Kidolgozás:
Az igénybevételi ábrák megrajzolása:
zyT N
800 800
z
hxM Nm 80
zcM Nm
60
A terhelés redukciója a tengely középvona-
lába.
F
z
y
1M B A
l
Csavaró nyomaték:
1 800 0,075 60Nm2
DM F .
Veszélyes keresztmetszet: A.
Feszültségeloszlás az A keresztmetszetben:
52
x
hxM
cM
S
yT
y y
yz
y
xz
y
z
z
yz
yz
x
x
P
Q
x
nyírás
csavarás
( ),
y x
yz
x
T S y
I a y
max
4,
3
y
yz
T
A
,hxz
x
My
I
max ,hxz
x
M
K
,cz
p
M
I max ,c
z
p
M
K
2 , 2p x p xI I K K .
A veszélyes keresztmetszet
veszélyes pontjai a P és Q
pontok.
Méretezés a P és Q pontokban Mohr szerint:
A redukált feszültség: 2 2
red z xz , : 4Mohr .
2 2
red max red red max maxz xzP Q ,
red max
22
hx c
x p
M M
K K
2 2
red4hx c
x x
M MM
K K
.
Mohr szerint 4 : 2 2
4red hx cM M M
2 24 48 10 6 10 1000 Nm
.
A tartó megfelel, ha red max meg redmeg
x
M
K ,
33red
meg
1000 10800 mm
125x
MK
.
Mivel 3
32x
dK
33 3
32 32 8008150 20,124 mmxK
d
Ellenőrzés az S pontban Mohr szerint:
y
red max meg
44
3
TS
A ,
2 2220,124
318 mm4 4
dA
.
y
red max meg
4 4 8004 2 6,71 MPa 125MPa
3 3 318
TS
A .
A tengely szilárdságtani szempontból megfelel!
53
4. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK
Célkitűzés: Olyan rugalmas szerkezeti elemeket, alkatrészeket (azaz a mechanikai szóhaszná-
lat szerint testeket) akarunk megvizsgálni szilárdságtani szempontból, méretezni,
ellenőrizni, amelyek nem kezelhetők az eddig használt rúdmodellel. A méretezés-
hez, ellenőrzéshez ismernünk kell a rugalmas test szilárdsági állapotát jellemző
mennyiségeket.
Rugalmas test állapotának jellemzői:
- ( , , )u u x y z elmozdulási vektormező,
- ( , , )A A x y z alakváltozási tenzormező,
- ( , , )F F x y z feszültségi tenzormező,
- ( , , )u u x y z fajlagos alakváltozási energiamező.
Kérdés: milyen általános összefüggések állnak fent ezen állapotjellemzők között?
Válasz: A rugalmasságtani egyenletek.
A rugalmasságtani feladat megfogalmazása:
Adott: - a test alakja és méretei,
- a test anyagi viselkedését jellemző mennyiségek,
- a terhelés és a megtámasztás.
Keresett: , , , .u F A u
Feladat: a rugalmasságtani egyenletek megoldása.
4.1. Egyensúlyi egyenletek – feszültségi állapot
x y
z
n dF F dA
r
V
dV
AdA
dA
O
dF qdV
A testből kiragadunk egy olyan V térfoga-
tot, mely teljes egészében a test belsejé-
ben van.
A V térfogat környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe:
- a térfogaton megoszló elemi erő: dF q dV ,
- a felületen megoszló elemi erő: dF dA F n dA
dA
.
A V testrész egyensúlyban van.
Az egyensúly feltétele: a) 0F
b) 0 0M .
54
a) Egyensúlyi egyenletek:
Az első vektoregyenlet:
0 .F q dV F n dA
V A
Gauss6-Osztrogradszkij
7-féle integrál átalakítási tétel:
.F n dA F dV
VA
A Hamilton8-féle (vagy nábla) differenciál operátor:
- derékszögű descartesi koordináta-rendszerben (DDKR-ben): x y ze e ex y z
,
- henger koordináta-rendszerben (HKR-ben): 1
R ze e eR R z
.
Alkalmazva a Gauss-Osztrogradszkij tételt:
0F q F dV
V
.
Az integrálnak bármely V választás esetén el kell tünnie az integrandusz zérus.
Egyensúlyi egyenlet(ek): 0F q . (1 vektor egyenlet 3 darab skalár egyenlet)
Az egyensúlyi egyenletben szereplő mennyiségek:
A feszültségi tenzor (diadikus alakja): x x y y z zF e e e .
A térfogaton megoszló terhelés sűrűségvektora: x x y y z zq q e q e q e .
A skalár egyensúlyi egyenletek előállítása a DDKR-ben:
0x x y y z z x y ze e e e e e qx y z
,
0.yx z q
x y z
0
0 azegyensúlyi egyenletek skaláris alakja.
0
xyx xzx
yx y yz
y
zyzx zz
qx y z
qx y z
qx y z
b) A feszültségi tenzor szimmetriája:
6 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus. 7 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1862) orosz matematikus. 8 William Rowan Hamilton (1805-1865) ír matematikus, fizikus és csillagász.
55
A második vektoregyenlet:
0 0M r q dV r F n dA
V A
.
Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij féle integrál átalakítási tétellel:
0 r q r F dV
V
.
Az r F kifejezés fölötti nyíl arra utal, hogy a nábla operátor erre a szorzatra hat.
Az integrálnak bármely V választása esetén el kell tünnie az integrandusz zérus.
A szorzat differenciálását elvégezve: 0
0
r q F r F
.
A második tag részletezése:
0x y z x x y y z z
r r rr F F e F e F e e e e
x y z
.
A feszültségi tenzor vektorinvariánsa: 1
2x x x y y z zF e e e .
Invariáns: koordináta-rendszertől független (koordináta transzformációval szemben válto-
zatlan, állandó).
Például az xF vektor x irányú koordinátája:
1
02
x x x x x y y x z z xF e e e e e e e
0 vegyesszorzat
0
0 .
y z z y
zy yz zy yz
e e
Ugyanezzel a gondolatmenettel elő lehet állítani az xF többi koordinátáját is:
, .xz zx xy yx
Ezzel bizonyítottuk, hogy az F feszültségi tenzor szimmetrikus.
Tétel: Minden szimmetrikus tenzor vektorinvariánsa zérus.
c) Az eredmények összefoglalása:
0 0 egyensúlyi egyenlet.F F q
0 0 a feszültségi tenzor szimmetrikus.T
M F F
Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer között.
56
4.2. Kinematikai /geometriai/ kompatibilitási egyenletek
4.2.1. Az elmozdulásmező derivált tenzora
P
Q Qu u
dr
Pu
u
A test egy tetszőleges P pontjának elemi kör-
nyezetét vizsgáljuk meg.
A Q a P pont elemi környezetében helyezke-
dik el.
x y zdr dxe dye dze .
Az elmozdulásmező: , , , , , , , ,x y zu u x y z u x y z e v x y z e w x y z e .
Q P Pu u u u u .
Sorfejtés: ((..................................))P
P PP
u u uu u dx dy dz
x y z
lineáris rész
yuxu zu
magasabb rendű tagok
Lineáris közelítés esetén a sorfejtésben a magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk: .u du
Ha 0 xdy dz u u dx ,
Ha 0 ydx dz u u dy ,
Ha 0 zdx dy u u dz .
Relatív elmozdulás vektorok:
x x y z
u u v wu e e e
x x x x
,
y x y z
u u v wu e e e
y y y y
,
z x y z
u u v wu e e e
z z z z
.
Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása lineáris közelítés esetén:
P PP
u u uu du dx dy dz
x y z
xe dr ye drze dr
y yu e dr
x xu e dr
z zu e dr
,x x y y z z x y z
u u udu u e u e u e dr e e e dr D dr
x y z
du D dr .
57
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
x x y y z zD u e u e u e , x y z
u u uD e e e
x y z
.
.D u Nem szimmetrikus tenzor!
A derivált tenzor mátrixa az xyz koordináta-rendszerben:
u u u
x y z
v v vD
x y z
w w w
x y z
x y zu u u
Az elmozdulásmező skaláris koordinátái:
, , ,
, , ,
, , .
u u x y z
v v x y z
w w x y z
A derivált tenzor felbontása: 1 1.
2 2
szimmetrikus ferdeszimmetrikusrész rész
T TD D D D D
4.2.2. Az alakváltozási tenzor
Az alakváltozási tenzor a derivált tenzor szimmetrikus része:
1 1
.2 2
TA D D u u
Kis alakváltozások esetén ez a tenzoregyenlet a kinematikai/geometriai egyenlet.
Ez az egyenlet az u elmozdulásmező és az A alakváltozási (tenzor) mező kapcsolatát adja
meg.
Az alakváltozási tenzor elemeinek jelölése:
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x xy xz
yx y yz
zx zy z
A
x y z
,xy yx
Szimmetrikus tenzor: ,yz zy
.xz zx
Az alakváltozási tenzor koordinátái az értelmezés (a derivált tenzor koordinátái) felhasználá-
sával:
58
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
u v u w u
x x y x z
u v v w vA
y x y y z
u w v w w
z x z y z
.
A kinematikai/geometriai egyenletek skaláris alakja:
, ,x xy yx
u u v
x y x
, ,y yz zy
v v w
y z y
, .z xz zx
w u w
z z x
4.2.3. A forgató tenzor
A forgató tenzor a derivált tenzor ferdeszimmetrikus része:
1 1
2 2
TD D u u .
A forgató tenzor mátrixa:
1 10
2 2
1 10
2 2
1 10
2 2
u v u w
y x z x
v u v w
x y z y
w u w v
x z y z
.
A forgató tenzor az elemi környezet merevtestszerű szögelfordulását jellemzi.
A forgató tenzornak a szilárdságtanban/rugalmasságtanban nincs további szerepe, nem hasz-
náljuk.
4.3. Anyagegyenletek – lineárisan rugalmas anyag
Anyagegyenlet: összefüggés az alakváltozási és a feszültségi állapot között.
4.3.1. Az általános Hooke9-törvény izotróp anyagra
1)
2 1
) 21 2
I
I
FA F E
G
AF G A E
, ahol csúsztató rugalmassági modulus
anyagjellemzők.Poisson tényező
G
9 Robert Hooke (1635-1703) angol természettudós.
59
A feszültségi/alakváltozási tenzor első skalár invariánsai:
1 2 3 1 2 3, .I x y z I x y zF A
Invariáns egy mennyiség, ha a koordináta-transzformációval szemben változatlan, állandó.
Az ) alak skaláris egyenletei:
1,
2 1
1,
2 1
1,
2 1
x x x y z
y y x y z
z z x y z
G
G
G
,
,
.
yx
xy
yz
yz
xzxz
G
G
G
A ) alak skaláris egyenletei:
2 ,1 2
2 ,1 2
2 ,1 2
x x x y z
y y x y z
z z x y z
G
G
G
,
,
.
xy xy
yz yz
xz xz
G
G
G
Más anyagállandók bevezetése:
a) Egyszerű Hooke- törvény – egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás/hajlítás):
0 0 0 0 0
0 0 0 , 0 0 , ahol .
0 0 0 0
x
y x y z
z z
F A
y
zN N
húzás-nyomás hxM
y
hxM
z
hajlítás
Egyszerű Hooke-törvény: .z zE
Általános Hooke-törvény:
21 2
2 2 2 1 .1 2
z z x y z
z z z z z z z
G
G G G
A két alakot összevetve: 21
EG
, vagy 2 1E G ,
ahol E a Young10
-féle rugalmassági modulus.
10 Thomas Young (1773-1829) angol természettudós.
60
b) Összefüggés az első skalár invariánsok között:
IF
13
2 1I x y z x y z IA F
G
1 1 2 1
2 1 3I I IA F F
G K
.
K térfogati rugalmassági modulus (nem független anyagállandó).
13 2
1 2 1 2
EK G
.
c) Fajlagos térfogatváltozás:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
x y z
x y z I
dVA
V
.
( jelentése: lineáris közelítés esetén)
Lineárisan rugalmas, izotróp anyag anyagállandói: , , ,E G K ezek közül kettő független.
Megjegyzés: 0, 0, merta deviátor tenzorok a test tiszta torzulását jellemzik. dI dIA F
Az izotróp anyagra vonatkozó általános Hooke-törvény felírása mátrix alakban:
Kiindulva a Hooke-törvény 1
2 1IA F F E
G
alakjából és felhasználva az 1 1
2G E
összefüggést:
1 1,
1
1 1,
1
1 1,
1
x x x y z x y z
y y x y z y x z
z z x y z z x y
E E E E
E E E E
E E E E
1,
1,
1.
xy xy
yz yz
xz xz
G
G
G
Az alakváltozási és a feszültségi tenzor független koordinátáit oszlopmátrixba rendezve kap-
juk a törvény mátrixos alakját.
Az általános Hooke-törvény
mátrixos alakban:
1
10
1
10 0
10 0 0
10 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
x
x
y
xy
yz
xz
x
y
z
xy
yz
xz
61
Tömören: ,C ahol C az anyagjellemzők/anyagállandók mátrixa.
4.3.2. Az általános Hooke-törvény ortotróp anyagra
Anizotróp anyag: az anyagi tulajdonságok (viselkedés) iránytól függő.
Pl.: faanyag, hosszú szálazással erősített műanyag, stb.
Ortotróp anyag: az anizotróp anyag speciális esete, az anyagi viselkedés egymásra merőleges
irányokban vett anyagjellemzőkkel leírható.
Pl.: egy irányban futó, párhuzamos hosszú szálakkal erősített műanyag.
Azért foglalkozunk ezzel az esettel, mert a gyakorlatban elterjedt szálerősítésű műanyag
kompozitok közül sok ezzel az anyagmodellel leírható.
Kompozit anyag: többféle, eltérő tulajdonságú anyagból összetett anyag.
Részei: - erősítés (üvegszál, szénszál, aramid szál, stb.),
- mátrix (ágyazó anyag: epoxi, poliészter, poliamid, stb.)
Tapasztalat: a kompozit anyag sok esetben jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkezik,
mint az alkotórészei.
Fő előnyök: nagy szilárdság, kis tömegsűrűség (önsúly), korrózió állóság, stb.
mátrixanyag
szálanyag
1
3
2
1, 2, 3 a kompozit anyagi főirányai (az anyag természetes/anyagi koordináta-rendszere).
Valóság: az anyag nem homogén (a szálak és a mátrix anyaga eltérő tulajdonságú).
Mechanikai modell: Egy olyan homogén, ortotróp anyag, amely nem alkalmas a szálakban,
vagy a mátrixban fellépő mechanikai jellemzők (alakváltozások, feszült-
ségek) meghatározására, hanem csak a kompozit anyag egy olyan kisebb
tartományának átlagos jellemzői határozhatók meg vele, amelyben ele-
gendően sok szál van.
62
Áltános Hooke-törvény ortotróp anyagra:
1
2
3
12
23
13
3121
1 2 3
3212
1 2 3
13 23
1 2 3
12
23
13
1
10
1
10 0
10 0 0
10 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
1
2
3
12
23
13
1 2 3, , az irányú húzáshoz tartozó rugalmassági modulus ,E E E 1,2,3
12 23 31, , a csúsztató rugalmassági modulusok,G G G
12 23 31, , a tényezők .Poisson
Például: 12 2 12 1az irányúhúzáshoz tartozó irányú kontrakció : .1 2
.C Az ortotróp Hooke-törvény mátrixos felírás esetén formailag ugyanolyan alakban
írható fel, mint az izotróp Hooke-törvény.
Az anyagtörvény izotróp és ortotróp esetre formailag azonos, különbség a C anyag-
állandó mátrix tartalmában van.
Közös tulajdonság: C szimmetrikus mátrix (energetikai okokból következően) .
Szimmetria: 32 23 31 1321 12
2 1 3 2 3 1
, , .E E E E E E
A lineárisan rugalmas ortotróp anyag viselkedése 9 független anyagállandóval írható le:
1 2 3 12 23 13 12 23 13, , , , , ,E E E G G G .
4.4. Peremfeltételek
uA
x y
z
pA
0p
dA
n
O
Dinamikai peremfeltétel: 0 az n.pF n p A
Kinematikai peremfeltétel: 0 az uu u A -n.
A 0p ismert felületi terhelés.
pA - a test felületének az a része, ahol a felületi terhe-
lés ismert.
Az 0u ismert elmozdulás.
uA - a test felületének az a része, ahol az elmozdulás
ismert.
63
4.5. A rugalmasságtan egyenletrendszere
0 egyensúlyi egyenlet (3db)F q .
1
kompatibilitási egyenlet (6 db)2
A u u .
anyagegyenlet (6db)C .
0
0
dinamikai (3 db),peremfeltételek
(3 db).kinematikai
p
u
A
A
F n p
u u
Ismeretlenek: ( , , ), ( , , ,), ( , , )u x y z A x y z F x y z .
Bebizonyítható: a rugalmasságtan egyenletrendszerének adott peremfeltételek mellett egy és
csakis egy megoldása létezik (egzisztencia és unicitás).
Egzakt megoldás: A keresett , ,u A F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek min-
den egyenletét kielégítik.
Közelítő megoldás: A keresett , ,u A F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek nem
minden egyenletét elégítik ki.
4.6. A kompatibilitási egyenlet más alakjai
Az 1
2A u u geometriai egyenletből indulunk ki.
Átalakítás: szorzás jobbról és balról vektoriálisan -val Saint-Venant–féle kompatibili-
tási egyenlet.
4.6.1. A Saint-Venant – féle kompatibilitási egyenlet
0A (tenzor egyenlet).
A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:
a) Az A kifejezés előállítása:
x x y y z zA e e e , és x y ze e ex y z
.
A levezetésnél felhasználjuk az a b c a b c azonosságot.
x x y y z z x y zA e e e e e ex y z
y yx x z zz y z x y xe e e e e e
y z x z x y
.
A kifejezést átrendezve:
64
y yx xz zx y zA e e e
z y x z y x
.
b) Szorzás vektoriálisan balról -val.
A Saint-Venant tenzor-egyenlet bal oldalán álló kifejezés mínusz egyszeresét jelöljük -
val.
Az A tenzor mátrixának első oszlopába az y z
xez y
vektor
koordinátái kerülnek. Az oszlopmátrix előállítása:
2 2 22 2 2
2 2
y y y yz z z zx y ze e e
z y z x y x z y y zy z
2 2 2 2
1 1
2 2
y yz zy zy x z x
yz
e e e ez x y x z x y x
ee
2 22 2
2 2
1 1 1
2 2 2
xy zyxz zx y z y
z x
e e e ez y z yy y
e e
2 2 22
2 2
1 1 1
2 2 2
xy y yzxzx z y z
y x
e e e ey z y zz z
e e
.
Az átalakítások során felhasználtuk az a b b a azonosságot.
A kifejezés tagjainak átcsoportosítása után:
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
y yz zy zy xy xzz zx x ye e e
y z z y z x y x y zz y z
2 2 22
2
1 1 1
2 2 2
xy y yzxzze
z y z x y xy
.
Hasonló számítások eredményeképpen kapjuk az A tenzor második és har-
madik oszlopát:
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
yz yx zx zx xz xz zy x ye e e
x z y x z y x z x zz x z
2 22 2
2
1 1 1
2 2 2
yz yxxz xze
x y z y x zx
,
65
2 2 2 2 22 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
yx y zy zy xyzx zx xz x ye e e
z y z x y x x y z y z xy x
2 2 22
2 2
1 1
2 2
xy yx yxze
y x x yy x
.
A Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor egyenlet szerint a fenti oszlopok minden koordi-
nátája nullával egyenlő. Ez a kilenc egyenlet a Saint-Venant féle kompatibilitási tenzor
egyenlet skaláris alakja DDKR-ben:
2 2 2 2
2 2
1 10
2 2
y yz zy z
y z z yz y
,
2 2 22
2
1 1 10
2 2 2
zy xy xzz
z x y x y zz
,
2 2 22
2
1 1 10
2 2 2
xy y yzxz
z y z x y xy
,
2 2 22
2
1 1 10
2 2 2
yz yx zxz
x z y x z yz
,
2 2 22
2 2
1 10
2 2
zx xz xz
x z x zx z
,
2 22 2
2
1 1 10
2 2 2
yz yxxz x
x y z y x zx
,
2 2 22
2
1 1 10
2 2 2
yx y zyzx
z y z x y xy
,
2 22 2
2
1 1 10
2 2 2
zy xyzx x
x y z y z xx
,
2 2 22
2 2
1 10
2 2
xy yx yx
y x x yy x
.
Az alakváltozási tenzor szimmetriáját figyelembe véve, hat egymástól különböző skaláris-
egyenlet marad:
2 22
2 2
2 2 2
2 2
2 22
2 2
,
,
,
xy yx
yz y z
xz xz
x y y x
y z z y
z x x z
2
2
2
2 ,
2 ,
2 .
xy yzxz x
yz xy yzx
yz xyzx x
x z y x y z
y x z y z x
z y x z x y
66
Megjegyzés:
Ez hat egyenlet megszorításokat jelent az alakváltozási tenzor koordinátáira nézve. Azt jelenti,
hogy az alakváltozási tenzor koordinátái nem függetlenek egymástól.
Ha figyelembe vesszük az 1
2A u u összefüggést, akkor az egyenletek azonosság-
gá alakulnak. Tehát a Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet fizikai tartalma megegyezik a
4.2.2.pontban felírt geometriai/kinematikai egyenletek tartalmával.
Átalakítás: a Saint-Venant egyenlet + izotróp Hooke-törvény + egyensúlyi egyenletek
Beltrami11
- Michell12
-féle kompatibilitási egyenlet.
4.6.2. A Beltrami-Michell-féle kompatibilitási egyenlet
1
01 1
IF F q q q E
(tenzor egyenlet).
Laplace13
–féle differenciál operátor: 2 2 2
2 2 2x y z
.
A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:
2 2 2
2 2 2F F
x y z
,
yx zqq q
qx y z
,
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
x y x zxx
y x y z y x y zy
z z x z y z
,
yx z
yx zx y z
yx z
qq q
x x xxqq q
q q q qy y y y
qq q
z z z z
, T
q q .
11 Eugenio Beltrami (1835-1900) olasz matematikus. 12 John Henry Michell (1863-1940) ausztrál matematikus. 13 Pierre-Simon de Laplace (1749-1829) francia matematikus, csillagász és fizikus.
67
x x x
xy y y
y
z
z z z
q q q
x y zq
q q qq q
x y z x y zq
q q q
x y z
.
A skaláregyenleteket a kijelölt differenciálások elvégzésével kapjuk.
A feszültségi tenzor diagonális elemeihez kapcsolódó három skaláregyenlet:
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
yx x x x xI zqq qF q
x x y zx y z x
,
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
y y y y yxI zq qqF q
y x y zx y z y
,
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
yxz z z I z zqqF q q
z x y zx y z z
.
A feszültségi tenzor főátlón kívüli elemeihez kapcsolódó hat skaláregyenlet valójában csak
három különböző egyenlet a feszültségi tenzor szimmetriája miatt:
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xy xy xy y xIq qF
x y x yx y z
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xz xz xz xI z qF q
x z x zx y z
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
yz yz yz yI zqF q
y z z yx y z
.
4.7. Gyakorló feladatok a rugalmasságtani egyenletekre
4.7.1. feladat: Rugalmas test elmozdulási és alakváltozási állapota
Adott: A rugalmas test elmozdulási állapota az , ,u r u x y z függvénnyel, továbbá a test
P pontjának Pr helyvektora.
, , ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zu r u x y z u x y z e v x y z e w x y z e ,
/ ,u x y R / 2 ,2 2 2v x y z R /w yz R ,
10 m,R =0,25 , 4 2 5 mm.P x y zr e e e
Feladat: a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor
mátrixának meghatározása.
b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az
elemi triéderen.
68
c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása, ha
0,5n x y
3e e e
2
és +0,5m x y
3e e e
2
.
Kidolgozás:
a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor mátrixá-
nak meghatározása:
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
x x y y z z x y z
u u uD u e u e u e e e e u
x y z
.
0
1
1 10
u u uy x
x y z R R
v v vD x y z
x y z R R R
w w w z yR Rx y z
- nem szimmetrikus tenzor.
A derivált tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének relatív, fajlagos elmozdulási állapo-
tát jellemzi.
Az alakváltozási tenzor:
1 1
2 2
TA D D u u (a derivált tenzor szimmetrikus része).
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x xy xz
yx y yz
zx zy z
A
1 1
2 2
1 1,
2 2
1 1
2 2
u v u w u
x x y x z
u v v w v
y x y y z
u w v w w
z x z y z
0 0
0 0
10 0
yR
A yR
yR
.
Az alakváltozási tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének alakváltozását jellemzi.
A forgató tenzor:
1 1
2 2
TD D u u (a derivált tenzor ferde szimmetrikus része).
69
1 10
2 2
1 10
2 2
1 10
2 2
u v u w
y x z x
v u v w
x y z y
w u w v
x z y z
0 0
10
10 0
xR
x zR R
zR
A forgató tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének merevtestszerű szögelfordulását jel-
lemzi.
b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az elemi
triéderen:
0,25
0,002 0,5 1010
4x y
R
, 0
yx
xy yxG
,
0,25
0,002 0,5 1010
4y y
R
, 0
yz
yz zyG
,
1 1
0,002 2 1010
4z y
R , 0xz
xz zxG
.
-4
0,5 0 0
0 0,5 0 10 .
0 0 -2
x xy xz
P yx y yz
zx zy z
1 1
2 2
1 1A
2 2
1 1
2 2
xe
P
ye
ze
2410
0,5
0,5
c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása:
-4 -4
0,5 0,250,5 0 0
0 0,5 0 3 / 2 10 3 / 4 10
0 0 -2 0 0
n P nA e
.
A fajlagos nyúlás:
-4
0,25
10 3 / 4 0,5 3 / 2 0
0
n n ne
-4 -430,125 10 0,5 10
8
.
A fajlagos szögváltozás: -4
0,251
10 3 / 4 3 / 2 0,5 0 0.2
0
mn n me
70
4.7.2. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – húzott rúd
yb
l
x
z
a
Adott:
Az ábrán látható hasáb alakú (mechanikai szempontból rúd-
nak is tekinthető) rugalmas, önsúlyával terhelt test
elmozdulásmezőjének skaláris koordinátái:
/u g x z E , /v g y z E ,
2
2 2 2 2gw l z x y
E
.
E - az anyag rugalmassági modulusa, - Poisson tényező,
- a test anyagának tömegsűrűsége, g - gravitációs gyors.,
, ,a b l - a test méretei.
Ezeket az elmozdulási koordinátákat a rúdelmélet (húzott -
nyomott prizmatikus rúd) felhasználásával kapjuk.
Feladat: A rugalmasságtani egyenletek teljesülésének ellenőrzése.
Kidolgozás:
a) Az alakváltozási tenzor előállítása:
/x
ug z E
x
, /y
vg z E
y
, /z
wg z E
z
.
0,xy
v u
x y
0,yz
w v
y z
0.xz
u w
z x
1 1
2 2 / 0 01 1
0 / 02 2
0 0 /1 1
2 2
x xy xz
yx y yz
zx zy z
g z E
A g z E
g z E
.
A geometriai egyenletek teljesülnek, mert ezek felhasználásával állítottuk elő az alakválto-
zási tenzort.
b) Az általános Hooke-törvény alkalmazása, a feszültségi tenzor előállítása:
(1 2 )I x y z
g zA
E
, 2 (1 )E G .
2 0,1 2
x x x y zG
0,xy xyG
2 0,1 2
y y x y zG
0,yz yzG
2 ,1 2
z z x y zG gz
0.xz xzG
71
0 0 0
( , , ) 0 0 0
0 0
x xy xz
yx y yz
zx zy z
F x y z
g z
.
A rúdelméletből: ( )
z
N gV g abzgz
A A ab
. Az anyagegyenletek teljesülnek.
c) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: 0F q .
z z zq q e ge
0xyx xz
xqx y z
, 0
xy y zy
yqx y z
,
0 0 0yzxz z
zq g gx y z
. Valamennyi egyensúlyi egyenlet teljesül.
d) A kinematikai peremfeltételek teljesülése:
A z=l egyenletű felületen: 0u .
2 2/ , / ,2
gu g x l E v g y l E w x y
E
,
Ez a feltétel csak az 0x y pontban teljesül.
e) Dinamikai peremfeltételek teljesülése:
A 0z felület terheletlen és 0, 0xz yz z teljesül.
Az 2
bx felületek szintén terheletlenek és 0x xF e teljesül.
Az 2
ay felületek is terheletlenek és 0y yF e teljesül.
4.7.3. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – hajlított, nyírt rúd
y z
x h
h
b
0p
l
y
Adott: Az ábrán látható hasáb alakú (me-
chanikai szempontból rúdnak is te-
kinthető) rugalmas test geometriai
méretei és terhelése: , , , 0h b l p .
Feladat: Annak ellenőrzése, hogy a rúdel-
mélettel kapott megoldás kielégí-
ti-e az egyensúlyi egyenletet és a
peremfeltételeket.
Kidolgozás:
72
a) A feszültségi állapot meghatározása a rúdelméletből:
z
y
l
0 0q p b
terhelés: 0 0q p b ,
nyíróerő: z
y 0 0
0
T z q d p b z ,
hajlító nyomaték: 2hx y 0
1M T dz p b z
2 .
A feszültségi tenzor:
0 0 0
( , , ) 0 0
0
yz
zy z
F x y z
.
3
4
2hx 0z 3
x
M py z y
I h ,
(2 ) 2
12 3
3 3
x
b h bhI .
3
4
y x 2 20yz 3
x
T S y ph y z
I b h ,
2
2 2x
h y bS y b h y h y
2
.
b) Egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: 0
=0
F q .
0 0 0 0 0,xyx xz
xqx y z
2 20
3
30 0 0 0
4
yx y yz
y
pq h y
x y z h
.
Ez a skalár egyenlet csak az y h egyenletű felületeken teljesül.
0 0
3 3
3 30 0 0
2 2
zyzx zz
p yz p yzq
x y z h h
.
c) Dinamikai peremfeltételek teljesülésének ellenőrzése:
Az 2
bx felületen
2
0 0 0 1 0
( ) 0 0 0 0 ,
0 0 0
bx yzx
zy z
F e
- a felületek terheletlen
volta éppen ezt jelenti.
A 0z felületen
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0
z yz yzz
zy z zz
F e z
z
, - a felület
terheletlen volta éppen ezt jelenti.
Az y h felületeken:
0 0 0 0
( ) 0 0 1 0
0 0
y yz zy zy h y h
zy z
F e e
.
73
Ez csak y h esetén teljesíti a dinamikai peremfeltételt, amennyiben a tartó alsó felülete
valóban terheletlen. A felső felület esetén ( y h ) ugyanis 0y yy hF e p e
esetén tel-
jesülne a dinamikai peremfeltétel.
Mivel egy skaláris egyensúlyi egyenlet és egy skaláris dinamikai peremfeltételi egyenlet
nem teljesül, ezért a rúdelmélet alapján előállított megoldás rugalmasságtani szempontból
nem egzakt, hanem közelítő.
4.7.4. feladat: Rugalmasságtani egyenletek
Adott: Az ábrán látható keskeny téglalap keresztmetszetű rúd feszültségmezője:
2 3 30
3
3 1 21
3 34y
p ze y y e
le
,
320
3
3 1
34z
p zz y
le
,
2
2 20
3
3 1
24yz
p zz e y
le
,
0x xy zx .
yy
l
zx
a
e
e
Feladat:
a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata 0q esetén.
b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő rendszerének meghatározása a dinamikai peremfel-
tételekből.
c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani fel-
adat egzakt megoldása, ha 0q .
Kidolgozás:
a) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének vizsgálata 0q esetén:
Ha a térfogati terhelés a rúd minden pontján zérus, akkor az 0F q egyensúlyi
egyenlet az 0F alakra egyszerűsödik.
A vizsgálandó skaláregyenletek a következők: 0xyx xz
x y z
,
0yx y yz
x y z
,
0zyzx z
x y z
.
Az első skaláregyenlet azonnal teljesül, hiszen a benne szereplő feszültségkoordináták azo-
nosan egyenlők nullával.
74
A második skaláregyenlet is teljesül tetszőleges pontban:
2 2 2 20 0
3 3
3 30 1 1 0
4 4
yx y yz p pz ze y e y
x y z l le e
.
Ugyanezt láthatjuk a harmadik skaláregyenlet esetén, ugyanis:
2 20 0
3 3
3 30 2 2 0
24 4
zyzx z p pz zy z y z
x y z l le e
.
Az egyensúlyi egyenlet tehát a rúd minden pontjában teljesül.
b) A rúd terhelésének, illetve támasztóerő-rendszerének meghatározása a dinamikai peremfel-
tételekből:
Mivel térfogati erő nem hat és a feszültségeloszlás folytonos függvényekkel leírható, a rúd-
ra ható terhelés és a támasztóerő rendszer is felületen megoszló erőként jelentkezik. Ennek
számítása a felületi feszültségállapot vizsgálatával lehetséges. Ki kell számítani a rudat ha-
tároló hat téglalap felületen a feszültségeket.
Az xe normálisú felületek terheletlenek, ugyanis 0x xy zx , vagyis
0x xF e .
Az ye normálisú felület (a rúd „felső lapja”) az y e helyettesítéssel áll elő.
3 3 3003
3 1 21 1
3 34y
p z ze e e p
l le
2
2 20
3
3 10
24zy yz
p zz e e
le
, 0xy
A negatív normálfeszültség összenyomást jelent, a felületet tehát 0 1 y
zp p e
l
sűrű-
ségű, felületen megoszló erő terheli.
A ye normálisú felület (a rúd „alsó lapja”) az y e helyettesítéssel áll elő.
3 3 30
3
3 1 21 0
3 34y
p ze e e
le
2
2 20
3
3 10
24zy yz
p zz e e
le
, 0xy . Ez a felület terheletlen.
Az ze normálisú felület a z l helyettesítéssel áll elő.
2320 0
3 3
3 1
34 2z
p p lll y y
le e
2
2 2 2 20 0
3 3
3 31
24 8yz
p lpll e y e y
le e
, 0xz .
A ze normálisú felület a 0z helyettesítéssel áll elő.
75
0z , 0yz , 0xz . A felület terheletlen.
c) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségmező lehet-e valamely rugalmasságtani fel-
adat egzakt megoldása, ha 0q :
Egzakt megoldás esetén a fentieken kívül teljesülnie kell a Beltrami–Michell-féle kompati-
bilitási egyenleteknek is.
Ezek skaláris alakja 0q esetén:
2 2 2 2
2 2 2 2
10
1
x x x IF
x y z x
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xy xy xy IF
x yx y z
,
2 2 2 2
2 2 2 2
10
1
y y y IF
x y z y
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xz xz xz IF
x zx y z
,
2 2 2 2
2 2 2 2
10
1
z z z IF
x y z z
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
yz yz yz IF
y zx y z
.
A deriválásokat (fenti sorrendben/elrendezésben) elvégezve a következő egyenletekre ju-
tunk:
0 0 , 0 0 ,
0 0
3 3
6 611 1 0
14 4
yp ypz z
l le e
, 0 0 ,
0 0
3 3
3 32 1 22 2 0
14 4
p pz z
l le e
,
2 2 2
2 2 20 0 0
3 3 3
3 3 31 22 2 0
2 1 34 4 4
p p pz e zz e y y z
l l l le e l e
.
4.7.5. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – elmozdulási, alakváltozási és feszültségi állapot
y
z
x
l
P
0M
RS
S
Pr
Adott:
Egy kör keresztmetszetű rúd geometriai méretei és csúsz-
tató rugalmassági modulusa, a csavarásakor az elmozdu-
lás vektormező az , ,u r u x y z függvénnyel, továb-
bá a test P pontjának Pr helyvektora.
, , ( ) ( )x yu x y z z y e x z e , 0,1 rad/m ,
0,01 mR , =80 GPaG , =0,1 ml , 0 0 zM M e ,
0,01 0,1 mP y zr e e .
Feladat: a) Az , ,A x y z alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása.
b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása.
76
c) Az Pr helyvektorú P pontban a főnyúlások és az
1 2 3, ,e e e alakváltozási főirányok
meghatározása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése.
d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása.
Kidolgozás:
a) Az , ,A x y z alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása:
1 1
2 2
TA D D u u ,
A kijelölt deriválásokat elvégezve:
0 01
0 02
0
y
A x
y x
.
A P pontban:
4
4
0 0 5 10
0 0 0
5 10 0 0P
A
.
b) A rúd térfogatváltozásának meghatározása:
A relatív térfogatváltozás az alakváltozási tenzor determinánsával egyenlő. (Kis alakválto-
zások esetén közelíthető az IA első skalár invariánssal is.)
det 0V
AV
, tehát az alakváltozás során nincs térfogatváltozás.
c) Az Pr helyvektorú P pontban a főnyúlások és az 1 2 3, ,e e e alakváltozási főirányok meghatá-
rozása. A P pontbeli alakváltozási állapot szemléltetése:
A sajátérték feladat kitűzése és a karakterisztikus egyenlet:
-4
-4
0 5 10 0
0 0 0
5 10 0 0
e x
e y
e z
e
e
e
3 -825 10 0e e .
A főnyúlások, vagyis a karakterisztikus egyenlet (harmadfokú algebrai egyenlet) megoldá-
sai: 4
1 5 10 , 2 0 , 4
3 5 10 .
Az 1e főirány meghatározása:
1
-4
1
1
5 0 5 0
10 0 5 0 0
5 0 5 0
x
y
z
e
e
e
1 1
1
1 1
5 5 0
5 0
5 5 0
x z
y
x z
e e
e
e e
1 1
1 0
z x
y
e e
e
1
2
2x ze e e .
Az 2e főirány meghatározása: 2 ye e .
Az 3e főirány meghatározása: 3 1 2
2 2
2 2x z y x ze e e e e e e e .
77
Szemléltetés az elemi triéderen:
P
5410
5
xe
ye
ze
d) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása:
Az általános Hooke-törvény: 21 2
IAF G A E
.
Ebből a feszültségi tenzor nem zérus koordinátái:
9 4 612 2 80 10 5 10 80 10 80MPa
2xz zx xzG
A feszültségi tenzor:
0 0 80
0 0 0 MPa
80 0 0
F
.
4.7.6. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az alakváltozási tenzor felírása henger koordi-
náta-rendszerben
Adott: Az 1
2A u u kinematikai egyenlet.
Feladat: Az 1
2A u u kinematikai egyenlet skaláris egyenleteinek levezetése az
R z henger koordináta-rendszerben.
Kidolgozás:
A nabla differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben: R z
1e e e
R R z
.
Az u elmozdulásmaző henger koordináta-rendszerben R zu ue ve we .
A derivált tenzor: 1
R z R zD u ue ve we e e eR R z
.
A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől:
( )R Re e , ( )e e , állandóze .
Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai –
szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával:
0R z z R ze ee e e e e
R R R z z z
, de Re
e
, R
ee
.
A kijelölt diadikus szorzás elvégzésénél ezt figyelembe véve:
78
1
R z R zD ue ve we e e eR R z
1 1 1RR R R z R R
eu v w u ve e e e e e e e u e e e
R R R R R R
e
1 1z R z z z z
R
e w u v wv e e e e e e e e e
R R z z z
e
.
Az azonos diádokat összevonva:
1 1R R R z R R
u v w u v u vD e e e e e e e e e e
R R R R R R R
1z R z z z z
w u v we e e e e e e e
R z z z
Ebből az elmozdulásmező derivált tenzorának mátrixa:
1
1
1
u u u
R R R z
v v u vD
R R R z
w w w
R R z
– nem szimmetrikus tenzor.
Az alakváltozási tenzor: 1
2
TA D D , vagyis a derivált tenzor szimmetrikus része:
1 1
2 2
1 1 1
2 2
1 1
2 2
u u v u wv R
R R R z R
u v u v v wA v R R
R R R R R z
u w v w wR
z R R z z
.
4.7.7. feladat: Rugalmasságtani egyenletek – az egyensúlyi egyenletek felírása henger koordi-
náta-rendszerben
Adott: Az 0F q egyensúlyi egyenlet.
Feladat: Az 0F q egyensúlyi egyenlet skaláris egyenleteinek meghatározása az R z
henger-koordinátarendszerben.
79
Kidolgozás:
A differenciáloperátor henger-koordinátarendszerben: R z
1e e e
R R z
,
A F feszültségi tenzor henger-koordinátarendszerben: R R z zF e e e .
A henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok egy része nem független a helytől:
( )R Re e , ( )e e , állandóze .
Ezért henger-koordinátarendszerben a bázisvektorok helykoordináták szerinti deriváltjai –
szemben a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel – nem mind egyenlők nullával:
0R z z R ze ee e e e e
R R R z z z
, de Re
e
, R
ee
.
Az F skaláris szorzás elvégzése:
1
R R z z R zF e e e e e eR R z
1 00
R zR R R z Re e e e e e
R R R
1 1 1 1
0 1 0
01
R R zR R z
R
eee e e e e e e e
R R R R
e e
0 10
R zR z z z ze e e e e e
z z z
.
A diadikus és a skaláris szorzás asszociativitását és a bázisvektorok merőlegességét figyelem-
be véve:
1 1R zRF
R R R z
RR zRR ze e e
R R R
1 1 1R R R zR ze e e
R R R
1 1 1 1 1R zRR R z
R
eee e e
R R R R R
e e
.zRz z
R z R ze e e e e ez z z
A bázisvektorokkal való skaláris szorzás eredményeképpen, a q térfogati erősűrűség megfe-
lelő skaláris koordinátájának figyelembe vételével a következő skaláris egyenleteket kapjuk: