要点梳理1. 正、余弦定理及相关知识

§3.6 解三角形

基础知识 自主学习

定理 正弦定理 余弦定理

内容 ___________________a2=________________;

b2=________________;

c2=________________.

C

c

B

b

A

a

sinsinsin b2+c2-2bccos A

a2+c2-2accos B

a2+b2-2abcos C

变形形式

①a=________,b=_________,c=_________;

②sin A= ,sin B=

,sin C= ;

( 其中 R 是△ ABC 的外接圆半径 )③a∶b∶c=________ ______________④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.

cos A= ; cos B= ; cos C= .

2Rsin A 2Rsin B2Rsin C

R

a

2

R

b

2 R

c

2

sin A∶sin B∶sin C

bc

acb

2

222

ac

bca

2

222

ab

cba

2

222

2. 解三角形时的常用关系式

(1) 三角形中任意两边之和大于第三边 , 任意两边之

差小于第三边 ;

(2) 三角形中大边对大角 , 小边对小角 ;

(3) 正弦定理 ( 其中 R 是

△ABC 外接圆的半径 );

(4) 勾股定理 c2=a2+b2( 其中 c 为直角三角形的斜边长 );

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

(5) 在△ ABC 中 ,

①A+B+C=π,A+B=π-C,

②sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.

tan(A+B)=-tan C.

③

3. 解斜三角形的类型 (1) 已知两角和任一边 , 求其他两边和一角 ;

(2) 已知两边和其中一边的对角 , 求另一边的对角 ,

进而求得其他边、角 ;

(3) 已知三边 , 求三个角 ;

(4) 已知两边和它们的夹角 , 求第三边和其他两个角 .

.π

22

CBA

.sincos,cossin2222

CBACBA

在△ ABC 中 , 已知 a 、 b 和 A 时 , 解的情况如下 :

若 A为锐角 ,a<bsin A时 ,无解 ;

A为钝角或直角 ,a≤b时 ,无解 .

A 为锐角A 为钝角或直角

图形

关系式

a=bsin A

bsin A ＜ a ＜b

a≥b a ＞ b

解个数

一解 两解 一解 一解

说明

4. 判断三角形的形状 在判断三角形的形状时 , 一般将已知条件中的边角 关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或 边边的关系 , 再用三角变换或代数式的恒等变形 ( 如 因式分解、配方等 ) 求解 . 在上面恒等变形中 ,等式两边的公因式不要 约掉 ,要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状 的可能 .

注意

5. 仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内 的水平视线和目标视线的夹角 ,

目标视线在水平视线上方时叫 仰角 , 目标视线在水平视线下方 时叫俯角 .( 如图所示 )

6. 方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角 , 如 方位角 45°, 是指北偏东 45°, 即东北方向 .

7. 坡角 坡面与水平面的夹角 .

8. 坡比

坡面的铅直高度与水平宽度之比 , 即 i= =tan α

(i 为坡比 ,α 为坡角 )( 如图所示 ).

9. 解三角形的一般步骤 (1) 分析题意 , 准确理解题意 .

分清已知与所求 , 尤其要理解应用题中的有关名词、 术语 , 如坡度、仰角、俯角、方位角等 .

(2) 根据题意画出示意图 .

l

h

(3) 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中， 通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正 确求解 . 演算过程中，要算法简炼，计算正确 , 并 作答 .

(4) 检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行 取舍 .

10. 解斜三角形实际应用举例 (1) 常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等 .

(2) 解题时需注意的几个问题 ① 要注意仰角、俯角、方位角等名词 , 并能准确地 找出这些角 ;

② 要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定 理结合起来 , 发现题目中的隐含条件 , 才能顺利解决 .

11.△ABC 的面积公式

(1)S= a·ha(ha 表示 a 边上的高 );

(2)S= = = =

(R 为外接圆半径 )

(3)S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径 ).

2

1

Cabsin2

1Bac sin

2

1Abc sin

2

1

R

abc

4

2

1

基础自测1.(2008· 北京 ) 已知△ ABC 中 ,a= ,b= ,B=60°,

那么角 A 等于 _____.

解析 由正弦定理

所以 A<B, 所以 A=45°.

,sin

,sinsin

23

32

AB

b

A

a得

,.sin 322

2 baA 又可得

45°

2 3

2.(2008· 福建 ) 在△ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的对边分别 为 a 、 b 、 c, 若 (a2+c2-b2)tan B= ac, 则角 B 的值为

__________.

解析

3

.ππ

π,

.sintancos

,tan,

,tan)(

3

2

30

2

3

2

3

2

3222

222

或的值为角

即

BB

BBB

Bac

bca

acBbca

3

2

3

ππ或

3. 在△ ABC 中 ,BC=2,B= 若△ ABC 的面积为

则 tan C=______.

解析

由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos B,

∴AC= ,

∴△ABC 为直角三角形 , 其中 A 为直角 ,

,π

3,

2

3

3

,,sin 12

3

2

1 BABBABCS� Δ 得由

.tan3

3

AC

ABC

3

3

4. 如图所示 , 客轮以速度 2v 由 A 至 B 再到 C 匀速航行 , 货轮从 AC 的中点 D 出发 ,

以速度 v 沿直线匀速航行 , 将货物送 达客轮 . 已知 AB⊥BC, 且 AB=BC=50 海里 . 若两船同 时起航出发 , 则两船相遇之处距 C 点 _______ 海里 .

( 结果精确到小数点后 1 位 ).

解析 如图所示 ,设两船经过时间 t

在 E 处相遇且 CE=s 则 DE=vt

①

又 2vt=50+(50-s)=100-s ②

联立①②解得 s≈40.8( 海里 ).

.

,cos)(

250150

452252225

2

22

sst

ss

即

40.8

【例 1】 (1) 根据下列条件 , 求△ ABC:

① 已知 b=4,c=8,B=30°, 求 C 、 A 、 a;

② 已知 B=30°,b= ,c=2, 求 A 、 C 、 a;

③已知 b=6,c=9,B=45°, 求 C 、 a 、 A.

(2) 在△ ABC 中 , 已知 sin A= ,sin A+cos A<0,

a= ,b=5, 求 c.

主要是根据条件寻找合适的定理去求解 ,利 用正弦定理要注意解的个数 .

典型例题 深度剖析

2

5

3

53

分析

解 (1)① 由正弦定理得

又∵ 30°<C<150°,∴C=90°.

∴A=180°-(B+C)=60°,

② 由正弦定理得

∵c>b,30°<C<150°,∴C=45° 或 C=135°.

当 C=45° 时 ,A=105°,

当 C=135° 时 ,A=15°,

③

∴此题无解 .

.sinsin

sin 14

308

b

BcC

.3422 bca

.sinsin

sin2

2

2

302

b

BcC

;13 a�

.13 a�

,sinsin

sin 14

2345

6

9

b

BcC

(2)∵sin A+cos A<0, 且 sin A=

又∵ a= b=5,

∴由 a2=b2+c2-2bccos A, 得

即 c2+8c-20=0,

解得 c=2 或 c=-10( 舍去 ),

∴c=2.

,5

3

,sincos5

41 2 AA

,53

),()(5

452553 222 cc

跟踪练习 1 (1) 已知下列各三角形中的两边及其一边 的对角 ,先判断三角形是否有解？有解的作出解答 .

①a=7,b=8,A=105°;

②a=10,b=20,A=80°;

③b=10,c= C=60°;

④a= b=6,A=30°.

(2) 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已

知 a=2,c=3,cos B=

① 求 b 的值 ;

② 求 sin C 的值 .

,65

,32

.4

1

解 (1)①a=7,b=8,a<b,A=105°>90°,∴本题无解 .

②a=10,b=20,a<b,A=80°<90°

∵bsin A=20·sin 80°>20·sin 60°=

∴a<b·sin A,∴本题无解 .

③b=10,c= b<c,C=60°<90°,本题有一解 .

∴B=45°,A=180°-(B+C)=75°

310

,65

)(sin

sin

sin

sin135

22426

10

45

7510

B

Aba

2

2

65

6010

sinsinsin

c

CbB

④a= b=6,a<b,A=30°<90°

又∵ bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,∴本题有两解 .

由正弦定理得

B=60° 或 120°.

当 B=60° 时 ,C=90°,

当 B=120° 时 ,C=30°,

∴B=60°,C=90°,c=

或 B=120°,C=30°,c=

(2)① 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=22+32-2×2×3× =10,∴b=

2

3

32

306

sinsinsin

a

AbB

;sin

sin

sin

sin34

30

9032

A

Cac

;sin

sin

sin

sin32

30

3032

A

Cac

34

.32

,32

.104

1

② 方法一 由余弦定理 , 得

∵C 是△ ABC 的内角 ,

方法二 ∵ cos B= 且 B 是△ ABC 的内角 ,

根据正弦定理 得

,cos8

10

1022

9104

2

222

ab

cbaC

.cossin8

631 2 CC

,4

1

.cossin4

151 2 BB

C

c

B

b

sinsin

.sin

sin8

63

10415

3 b

BcC

【例 2】在△ ABC 中，若 试判断三角形的

形状 .

主要就是切化弦 ,用正弦定理将边化为角进 行三角恒等变换或利用余弦定理将角化为边进行代 数恒等变形 .

解 方法一

2

2

b

a

B

A

tan

tan

,sin

sin

cos

cos,

sin

sin

sincos

cossin

B

A

A

B

B

A

BA

BA 2

2

即

,sin

sin

cossincossin

,tan

tan

B

A

BBAA

b

a

B

A2

2

2

2

分析

∴sin Acos A=sin Bcos B,

即 sin 2A=sin 2B.

又∵ 0<2A<2π,0<2B<2π,

∴2A=2B 或 2A+2B=π,

即 A=B 或 A+B=

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 .

方法二

.π

2

.cos

cos

b

a

A

B即

,sin

sin

cossincossin

,tan

tan

b

a

B

A

BBAA

b

a

B

A 2

2

由余弦定理得

∴b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),

∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,

∴a=b 或 c2=a2+b2,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 .

,b

a

bcacb

acbca

2

2222

222

.)(

)(

b

a

acba

bcab

222

222

即

跟踪练习 2 在△ ABC 中 ,a 、 b 、 c 分别表示三个内角 A 、 B 、 C 的对边 , 如果 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·

sin(A+B), 判断三角形的形状 .

解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]

=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]

∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A

由正弦定理得 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A

∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0

∴sin 2A=sin 2B,

又∵ 0<2A<2π,0<2B<2π

得 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=

即△ ABC 为等腰或直角三角形 .

方法二 同方法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B

由正余弦定理 , 即得

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)

即 (a2-b2)(a2+b2-c2)=0

∴a=b 或 a2+b2=c2

∴△ABC 为等腰或直角三角形 .

,π

2

ac

bcaab

bc

acbba

22

2222

2222

【例 3】在△ ABC 中 ,a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对

边 , 且

(1) 求角 B 的大小 ;

(2) 若 b= a+c=4, 求△ ABC 的面积 .

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两 角和的三角函数等基础知识 ,和利用三角公式进行 恒等变形的技能 ,考查运算能力和逻辑思维能力 .

.cos

cos

ca

b

C

B

2

,13

分析

解 (1) 方法一 由正弦定理

得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,

即 2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0,

2sin Acos B+sin(B+C)=0.

∵A+B+C=π,

∴sin(B+C)=sin A,

∴2sin Acos B+sin A=0.

∵sin A≠0,∴cos B=

又 B 为三角形的内角 ,故 B=

,sinsin

sin

cos

cos,

cos

cos

CB

B

C

B

ca

b

C

B

22得中代入

.2

1

.π

3

2

,sinBsinsin

RC

cb

A

a2

方法二 由余弦定理得

整理得 a2+c2-b2=-ac,

又 B 为三角形的内角 ,故 B=

,

,cos

cos

ca

b

cba

ab

ac

bca

ca

b

C

B

2

2

2

2

222

222

得

中代入

,cos,cosab

cbaC

ac

bcaB

22

222222

,cos2

1

22

222

ac

ac

ac

bcaB

.π

3

2

(2) 将 b= a+c=4,B=

代入 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,

∴ac=3,

∴S△ABC= acsin B=

,13 π,3

2

),(2

1121613 ac

2

1.

4

33

跟踪练习 3 (2008·全国Ⅰ )设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c, 且 acos B=3,bsin A=4.

(1) 求边长 a;

(2) 若△ ABC 的面积 S=10, 求△ ABC 的周长 l.

解 (1) 由 acos B=3 与 bsin A=4 两式相除 , 有

又由 acos B=3 知 cos B>0,

则 cos B= sin B= 则 a=5.

(2) 由 S= acsin B, 得到 c=5.

.cotcos

sin

cos

sinsin

cosB

b

B

B

b

b

B

A

a

Ab

Ba

4

3

,5

3,5

4

..,cos 5210522

222

lbac

bcaB 故解得由

2

1

【例 4】 (14 分 )(2008·江苏 )某地有三家工厂，分别 位于矩形 ABCD 的顶点 A ， B 及 CD 的中点 P 处 , 已知 AB=20 km,CB=10 km, 为了处理三家工厂的污水 , 现 要在矩形 ABCD 的区域上 ( 含边界 ), 且与 A,B 等距离 的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km.

(1)按下列要求写出函数关系式 :

①设∠ BAO=θ (rad), 将 y 表示成 θ 的函数关系式 ;

②设 OP=x(km), 将 y 表示成 x 的函数关系式 .

(2)请你选用 (1) 中的一个函数关系式 , 确定污水处 理厂的位置 ,使三条排污管道总长度最短 .

解题示范解 (1)① 由条件知 PQ 垂直平分AB, 若∠ BAO=θ (rad),

又 OP=10-10tan θ ,

.cos

,coscos

10

10

OB

BAO

AQOA

故

则

所以 y=OA+OB+OP=

故所求函数关系式为

[4 分 ] ② 若 OP=x (km), 则 OQ=(10-x) (km),

故所求函数关系式为 [7 分 ]

(2)选择①中的函数模型 ,

[10 分 ]

,tancoscos

10101010

).π

(cos

sin

4010

1020

y

.)( 200201010 222 xxxOBOA所以

).( 100200202 2 xxxxy

22

1210102010

cos

)sin(

cos

)sin)(sin(coscos'

y

当 θ ∈(0, ) 时 ,y′<0,y 是 θ 的减函数 ;

当 θ ∈ 时 ,y′>0,y 是 θ 的增函数 ,

这时点 O 位于线段 AB 的中垂线上 ,

且距离 AB 边 处 . [14 分 ]

.π

,π

,sin,'64

02

10 所以因为得令y

6

π

)π,π(

46

)(km).(,π

min 1031010

2321

1020

6

y时所以

km3

310

跟踪练习 4 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向 前进 40米后 ,望见塔在东北方向，若沿途测得塔 的最大仰角为 30°, 求塔高 .

解 如图所示 , 过 B 作 BE⊥CD

于点 E, 由题意知在 E 点测得塔 的最大仰角为 30°. 在△ BCD

中 ,CD=40,∠BCD=30°,

∠DBC=135°,

由正弦定理 , 得,

sinsin BCD

BD

DBC

CD

在 Rt△BED 中 ,

∠BDE=180°-135°-30°=15°.

在 Rt△ABE 中 ,∠AEB=30°,

∴AB=BEtan 30°= (米 ).

故所求的塔高为 米 .

.sin

sin220

135

3040

BD

).(sin 13104

2622015

BDBE

)( 333

10

)( 333

10

高考中主要考查利用正、余弦定理求三角形的边和

角及判断三角形形状，有时与三角函数联系在一起

考查 ,填空题和解答题均有可能出现 ,属于中低档题 .

在解应用题时主要考查应用定理分析问题、解决问题 .

思想方法 感悟提高

高考动态展望

1. 解三角形时 , 要根据所给的条件选用正弦定理、余 弦定理 , 实施角和边的相互转化 .

2. 在△ ABC 中 ,A>B>C a>b>c sin A>sin B>sin C.

3. 解三角形的题型条件注意与三角形全等的判定条件 作比较 . 如用 S 表示边 ,A 表示角 ,AAA,SSS,SAS, 正、 余弦定理求解 , 解唯一 ,AAS,ASA, 正弦定理求解 , 解 唯一 ;SSA, 正弦定理求解 , 解不定 .

4. 注意挖掘和运用三角形中的隐含条件 .

方法规律总结

5. 正弦定理、余弦定理在实际生活中 , 有着广泛的应

用 , 常见题型有距离问题、高度问题、角度问题以

及平面图形的面积问题等 .

6. 解实际应用问题 , 要准确找出仰角、俯角、方位角 ,

同时要注意与平面几何结合 , 运用正弦定理、余弦

定理 , 发挥题目的隐含条件 , 从而顺利解决问题 .

7. 解实际问题时 , 要注意题目中给出的精确度 , 合理取

近似值 .

一、填空题

1.(2010·江苏靖江调研 ) 在△ ABC 中 , 若 (a+b+c)(b+

c -a)=3bc, 则 A=_____.

解析 ∵ (a+b+c)(b+c-a)

=(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,

∴b2+c2-a2=bc,

.π

,cos32

1

2

222

Abc

acbA

3

π

定时检测

2.(2010·宿迁模拟 ) 在△ ABC 中 , 已知 acos A=bcos B,

则△ ABC 的形状为 ________________________.

解析 由已知 acos A=bcos B 得

又由正弦定理 , 得

整理得 sin Acos A=sin Bcos B,

即 sin 2A=sin 2B.

因为 A 、 B 为三角形内角 , 所以 2A=2B 或 2A=π-2B,

所以 A=B 或 A+B=

即△ ABC 为等腰三角形或直角三角形 .

等腰三角形或直角三角形

,cos

cos

a

b

B

A

,sin

sin

cos

cos,

sin

sin

A

B

B

A

A

B

a

b 所以

,π

2

3.(2010·江苏淮阴模拟 ) 如果把直角三角形的三边 都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ___________.

解析 设增加同样的长度为 x,原三边长为 a 、 b 、 c,

且 c2=a2+b2,a+b>c.

新的三角形的三边长为 a+x 、 b+x 、 c+x, 知 c+x 为最 大边 , 其对应角最大 .

而 (a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,

由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正 ,

则为锐角 ,

那么它为锐角三角形 .

锐角三角形

4.(2010·浙江绍兴模拟 )△ABC 中 ,a,b,c 分别为∠ A,

∠B,∠C 的对边 , 如果 a,b,c成等差数列 ,∠B=30°,

△ABC 的面积为 那么 b=_______.

解析 ∵ a,b,c成等差数列 ,∴2b=a+c.

平方得 a2+c2=4b2-2ac.

又△ ABC 的面积为 且∠ B=30°,

得 ac=6,∴a2+c2=4b2-12.

由余弦定理

,2

3

,2

3

,sinsin2

3

4

130

2

1

2

1 acacBacSΔ故由

.,.

.cos

31324

2

3

4

4

62

124

22

222222

bbb

bbb

ac

bcaB

为边长又解得

31

5.(2008·四川 ,7) △ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边

边长分别为 a 、 b 、 c. 若 A=2B ，则 cos B=

_____.

解析 由正弦定理得

,ba2

5

,sin

sin

B

A

b

a

.cos,sin

sin,

.sin

sin

4

5

2

522

2

5

2

5

BB

BBA

B

Aba

又

可化为

4

5

6.(2010·南通模拟 ) 一船以每小时 15 km 的速度向 东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方 向 , 行驶 4 h 后 , 船到达 B 处 ,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向 , 这时船与灯塔的距离为 ______km.

解析 如图 , 由已知 AB=60 km

∠MAB=30°,∠AMB=45°,

在△ AMB 中 , 由正弦定理得

(km)

sinsin

230

45

60

30

BM

BM

230

7.(2009· 福建泉州二模 ) 如图所示 ,

我炮兵阵地位于地面 A 处 , 两观察 所分别位于地面 C 处和 D 处 , 已知 CD=6 000 m ，∠ ACD=45° ， ∠ADC=75°, 目标出现于地面 B 处时测得∠ BCD=

30° ，∠ BDC=15° ，则炮兵阵地到目标的距离是 ______( 结果保留根号 ).

解析 ∵∠ ACD=45°,∠ADC=75°,

∴∠CAD=60°.

在△ ACD 中 , 由正弦定理可得 ,sinsin 6045

CDAD

在△ BCD 中 , 由正弦定理得

在 Rt△ABD 中 , 由勾股定理可得 AB2=BD2+AD2,

答案

.60002

2322

0006 AD

,sinsin 13530

CDBD

20003

22

000621

BD

(m).)()(|| 4200016000220003 22 AB

420001

8.(2009·江西宜泰模拟 ) 线段 AB 外有一点 C,∠ABC

=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行 驶 , 同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶 , 则运

动开始 ____ h 后 , 两车的距离最小 .

解析 如图所示 ,设 t h 后 ,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E, 则 AD=80t,BE=50t. 因为 AB=200, 所 以 BD=200-80t, 问题就是求 DE最小时 t 的值 .

由余弦定理 :DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°

=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t

=12 900t2-42 000t+40 000. ., 最小时当 DEt43

70

43

70

9.(2009·广东改编 ) 已知△ ABC 中 ,∠A 、∠ B 、∠ C

的对边分别是 a 、 b 、 c, 若 a=c= 且∠ A=75°,

则 b=___.

解析 sin A=sin 75°=sin(30°+45°)

=sin 30°cos 45°+sin 45°·cos 30°

由 a=c= 可知 ,∠C=75°,

所以∠ B=30°,sin B=

由正弦定理得

,26

26

.4

62

.2

1

.sinsin

22

1

462

62

BA

ab

2

二、解答题

10.(2009·安徽 ) 在△ ABC 中 ,C-A= sin B=

(1) 求 sin A 的值 ;

(2)设 AC= 求△ ABC 的面积 .

解 (1) 由 C-A= 和 A+B+C=π,

故 cos 2A=sin B,

,π

2.3

1

2

π

,6

.π

,π

40

22 ABA得

.sin,sin3

3

3

121 2 AA� 即

.

cossin

,cos)π

sin(sin

,π

,π

.sin

sin,

sinsin,

.cos)()(

233

6236

2

1

2

1

2

1

2

22

23

3

612

ABCACCBCACS

AAC

ACAC

ACB

ABC

B

AC

A

BC

A

ABC

得又由正弦定理

得由

11.(2010·山东泰安第二次月考 ) 在海岸 A 处 , 发现北 偏东 45° 方向，距 A 处 ( -1) 海里的 B 处有一艘走 私船 , 在 A 处北偏西 75° 方向 , 距 A 处 2 海里的 C 处的 缉私船奉命以 海里 / 小时的速度追截走私船 ,

此时走私船正以 10 海里 / 小时的速度从 B 处向北偏东 30° 的方向逃窜 , 问缉私船沿什么方向能最快追上 走私船 , 并求出所需要的时间 .

解 如图所示 ,

设缉私船追上走私船需 t 小时 ,

则有 CD= BD=10t.

310

,t310

3

在△ ABC 中 ,∵AB= AC=2,

∠BAC=45°+75°=120°.

根据余弦定理可求得 BC=

∠CBD=90°+30°=120°.

在△ BCD 中 , 根据正弦定理可得 :

∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,

∴BD=BC= 则有

所以缉私船沿北偏东 60° 方向 , 需 14.7 分钟才能追上走私船 .

,13

.6

,sinsin

sin2

1

310

12010

t

t

CD

CBDBDBCD

).(.)(., 分钟小时 714245010

6610 tt

,6

12.(2010·淮安模拟 ) 在 2008年北京奥运会垒球比 赛前 , 中国教练布置战术时，要求击球手与连接 本垒游击手的直线成 15° 的方向把球击出 . 根据经 验及测速仪的显示 , 通常情况下球速为游击手最大 跑速的 4倍 . 问按这样的布置 ,游击手能不能接着球？

解 如图 ,设游击手能接着球 , 接球点 为 B, 而游击手从点 A跑出 ,本垒为 O 点 .

设从击出球到接着球的时间为 t,球速 为 v, 则∠ AOB=15°,

OB=vt,AB≤

在△ AOB 中 , 由正弦定理 , 得

即 sin ∠OAB>1,

∴这样的∠ OAB不存在 , 因此游击手不能接着球 .

.t4

,sinsin

15

AB

OAB

OB

,.)(

,sin

sin

17414834826

264

26

4

15

2

而

vtvt

AB

OBOAB

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