(1)(1) 平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质 ? ? 矩形矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性与平行四边形比较有哪些特殊的性质质 ??

平行四边形平行四边形

边边 ::

角角 ::

对角线对角线 ::

对边平行且相等对边平行且相等

对角相等邻角互补对角相等邻角互补

对角线互相平分对角线互相平分

矩形矩形 角角 :: 四个角是直角四个角是直角对角线对角线 :: 对角线相等对角线相等

菱形除了具有平菱形除了具有平行四边形一切性行四边形一切性质外质外 ,, 它还有什么它还有什么特殊性质特殊性质

菱形菱形边边 :: 四条边相等四条边相等

对角线对角线 ::互相垂直互相垂直

分别平分两组对角分别平分两组对角

AA

BB

CC

DD

菱形性质

角 边 对角线 对称性

对角相等邻角互补

对边平行且四条都相等

互相垂直平分且每条对角线平分一组对角

轴对称 图

形 中心对称 图

形 注意 : 菱形的面积等于其对角线乘积的一半S 菱形 ABCD= AC×BD 2

1

O

A

D B

C

平行四边形再加上一个什么条件 是平行四边形再加上一个什么条件 是菱形呢菱形呢 ??

想一想想一想 ??

由菱形的定义我们得到识别菱形的一条途径由菱形的定义我们得到识别菱形的一条途径 ::

平行四边形平行四边形 菱形菱形++ 一组邻边相等一组邻边相等

平行四边形平行四边形 ++ 两条对角线互相垂直两条对角线互相垂直 菱形菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形

解解 ::∵∵ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形∴∴AO = OCAO = OC(( 平行四边形对角线互相平分平行四边形对角线互相平分 ))

又∵又∵ BO AC⊥BO AC⊥ (( 已知已知))

ＡＡ

ＢＢ ＣＣ

ＤＤOO

∴ ∴ AB = BCAB = BC (( 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 ))

∴∴ 平行四边形平行四边形 ABCDABCD 是菱形是菱形((定义定义 ))

四边形加上一个什么条件四边形加上一个什么条件是菱形呢是菱形呢 ??

+

邻边相等

定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形

判定定理 1 ：四条边都相等的四边形是菱形

四边相等

判定定理 2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线互相垂直

O

A

D B

C

O

A

D B

C

O

A

D B

C

平行四边形A

D

B

C

四边形

A

B

CD

平行四边形A B

CD

AD=DC

AD=DC=CB=BA

AC⊥BD

判断 , 并说明理由 .

(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形 . ( )(2) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 . ( )

(3) 有两边相等的平行四边形是菱形 . ( )(4) 有一组邻边相等的四边形是菱形 . ( ) (5) 有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 . ( )(6) 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 .( )(7) 有一个角是 60° 的平行四边形是菱形 . ( )(8) 对角线互相垂直的矩形是菱形 . ( )

√

√

√×

×

×

×

×

A

B C

E

D

F

例 1 ：△ ABC 中， AD 是角平分线， DE AB ∥ ， DF AC ∥ 求证：四边形 AEDF 是菱形

AD 与 EF 互相垂直吗 ?

(2) 四边形 ABCD 是平行四边形且 AC BD ，所以四边形 ABCD 是菱形。

例 2 ：如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 相交于点 O ， AB= , AO=2 ， OB =1 。5

解：（ 1 ）在三角形 AOB 中， 所以∠ AOB 是直角， 即 AC BD

222 OBAOAB

（ 1 ） AC ， BD 互相垂直吗？为什么？

（ 2 ）四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？

O

D

C

B

A

例 3 、如图， ΔAOD ， ΔAOB ， ΔCOB ， ΔCOD 是四个彼此全等的直角三角形。四边形 ABCD 是菱形吗？

C

BA

D

O

例 4 ：已知在□ ABCD 中， AD=2AB ，AE=AB=BF ， EC 、 FD 分别交 AD 、BC 于 M 、 N 。求证：四边形 DMNC是菱形。

A B

CD

E F

M N

例 5 ： 如图在四边形 ABCD 中， AD∥ BC ，对角线 AC 的垂直平分线与边AD ， BC 分别相交于点 E 、 F 。四边形 AFCE 是菱形吗？为什么？

□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， （ 1 ）若 AB=AD ，则□ ABCD 是 _____ 形； （ 2 ）若 AC=BD ，则□ ABCD 是 _____ 形； （ 3 ）若∠ ABC 是直角，则□ ABCD 是 ____ 形； （ 4 ）若∠ BAO= DAO∠ ，则□ ABCD 是 ____ 形。

A B

CD

O

练一练

菱矩

矩菱

现在我们一起现在我们一起来归纳一下吧来归纳一下吧

菱形的识别方法菱形的识别方法 ::

定义定义 ::一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)(2) 对角线互相对角线互相垂直垂直的的平行四边形是菱形是菱形

(3) (3) 四边相等四边相等的的四边形四边形是菱形是菱形

(1)(1)

四边形

矩形

平行四边形

菱形

1、一个角是直角2、对角线相等

1、一组邻边相等

2、对角线互相垂直

有三个角是直角

四条边都相等

判定一个四边形是菱形？

四边形

矩形

平行四边形

菱形

1 、一个角是直角2 、对角线相等有三个角是直角

1 、一组邻边相等

2 、对角线互相垂直四条边相等