1

3. MATRICE3. MATRICE

2

DEFINICIJE

Matrica A reda (tipa) m×n je pravokutna shema brojeva koja je uređena po redcima (ima m redaka) i po stupcima (ima nstupaca)

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

Aa a a a

a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K K

K K

M M M M

K K

M M M M

K K

element u i-tom retku i j-tom stupcu

3

Brojeve aij u matrici zovemo elementima matrice.

Elemente matrice označavamo malim slovima s dvostrukim indeksima. Prvi indeks (i) označava redak u kojem se promatrani element nalazi, a drugi indeks (j) označava stupac u kojem se element nalazi.

Npr. oznaka a52 znači da se ovaj element nalazi u petom retku i u drugom stupcu

4

Matrice obično označavamo velikim slovima A, B, C, ..., koristeći i kraći zapis matrice pomoću općeg člana matrice i njene dimenzije.

Svaki realni broj možemo shvatiti kao matricu tipa (1,1)

Matrica je formata 2×3, tj. A(2,3)

( )( , )ij m n

A a=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=110013

A

5

Dvije matrice A i B su jednake i pišemo A = B ako su im svi korespodentni elementi jednaki, tj. one su jednake ako su:

istog tipa iako je aij = bij za sve uređene parove indeksa (i, j)

Npr. matrice

nisu jednake jer je a21 ≠ b21

1 2 1 2 i B=

5 7 3 7A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6

Matrice

su različitog formata (A(2,1), B(2,3)), pa nisu usporedive.

2 2 1 0 i

1 1 3 2A B

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

7

VRSTE MATRICA

Matricu koja ima jednak broj redaka i stupaca nazivamo kvadratnom matricom – matrica reda n.U suprotnom je nazivamo pravokutnom matricom.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a aa a a a

A a a a a

a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

K

K

M M M M

K

elementi a11, a22, ..., annkvadratne matrice A reda n čine glavnu dijagonalu

8

Simetrična matrica je kvadratna matrica kod koje su elementi, simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki:

za sve i, j = 1,2,...,n

Primjer simetrične matrice:

ij jia a=

1 0 20 2 52 5 3

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

a23 = a32

9

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi nedijagonalni elementi jednaki nuli, tj. ako je

Dakle, dijagonalna matrica općenito izgleda ovako:

za , a z0 a0 ijija i jj ai= ≠ ≠ =

11

22

33

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 nn

aa

A a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

K

K

M M M O M

K

10

Ako dijagonalna matrica ima sve elemente na glavnoj dijagonali jednake nazivamo je skalarna matrica.

Jedinična matrica I je skalarna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali, tj. za nju vrijedi:

1 za 0 za ij

i ja

i j=⎧

= ⎨ ≠⎩

11

Ako iz konteksta nije jasno o kojoj se jediničnoj matrici radi, to će se posebno i naglasiti. Naime i sljedeće matrice su jedinične matrice, ali prva je jedinična matrica 2. reda, druga je 3. reda, a posljednja 4. reda.

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 0, 0 1 0 ,

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

12

Nul-matrica O je matrica kojoj su svi elementi jednaki 0. Nul-matrica ne mora nužno biti kvadratna matrica.

Na primjer:

[ ]0 0 0 je nul-matrica tipa 1 3, a

0 0 0je nul-matrica tipa 2 3

0 0 0

O

O

= ×

⎡ ⎤= ×⎢ ⎥⎣ ⎦

13

Transponirana matrica matrice A = (aij) tipa m × n je matrica B = (bij) tipa n × m za koju je

bji = aij (i =1,2,...,m ; j = 1,2,...,n)

i pišemo B = AT, tj. transponiranu matricu matrice Adobijemo tako da retke matrice A zamijenimo stupcima.

1 21 1 3

1 02 0 1

3 1

TA A⎡ ⎤

−⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

14

Kvadratna matrica je gornje trokutasta ako su joj svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0, tj. ako je

Donje trokutasta matrica je transponirana gornje trokutasta matrica.

0 za ija i j= f

primjer donje trokutaste matrice

primjer gornje trokutaste matrice

17 32 6 0

0 1 4 , 2 3

0 0 3A B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1442443

1442443

15

ALGEBARSKE OPERACIJE S MATRICAMA

U skupu svih matrica M uvodimo osnovne računske operacije: zbrajanje matrica, oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrica.

1. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE MATRICA

Zbrajati i oduzimati mogu se samo matrice istog tipa

Neka su matrice A = (aij) i B = (bij) matrice tipa m × n. Matrica C = A ± B, C = (cij) je matrica tipa m × n za koju vrijedi:

za svaki 1, 2,..., ; 1, 2,..., .ij ij ijc a b i m j n= ± = =

16

Dakle, zbroj (razlika) dviju matrica A i B je matrica čiji elementi predstavljaju zbroj (razliku) korespodentnih elemenata matrica A i B.

2 6 9 3 7 6Za matrice i odredimo i .

1 0 3 2 1 4

2 6 9 3 7 6 2 3 6 ( 7) 9 6 5 1 31 0 3 2 1 4 1 ( 2) 0 1 3 4 3 1 7

2 6 9 3 7 6 2 3 6 ( 7) 91 0 3 2 1 4

A B A B A B

A B

A B

− −= = + −− −

− − + + − − + − −+ = + = =

− − − + − + + −

− − − − − −− = − =

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6 1 13 151 ( 2) 0 1 3 4 1 1 1

− − −=

− − − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

17

SVOJSTVA ZBRAJANJA:

1. A + B = B +A komutativnost,

2. A + (B + C) = (A + B) +C asocijativnost,

3. A + O = O + A = A,

4. (A + B)T = AT + BT.

18

2. MNOŽENJE MATRICE BROJEM

Umnožak realnog broja λ i matrice A = (aij) je matrica λA koju dobijemo kada svaki element aij matrice A pomnožimo brojem λ

0 3 -1 2 0 2 3 2 (-1) 0 6 -22 2 8 3 2 2 2 8 2 3 4 16 6

-4 0 2 2 (-4) 2 0 2 2 -8 0 4

⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

19

SVOJSTVA MNOŽENJA BROJA I MATRICE:Za bilo koje α i β realne brojeve, A i B matrice istog tipavrijedi: ( ) ( )

( )

( )

1.

2. +

3.

4.

5. O

A A

A A A

A B A B

I A A I

A A O O

α β αβ

α β α β

α α α

=

= +

+ = +

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ =

20

3. MNOŽENJE MATRICA

Množiti se mogu samo ulančane matrice

Dvije matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B, tj. ako je matrica A tipa m ×n, a B tipa n × p

Umnožak matrice A = (aij) tipa m × n i matrice B = (bij) tipa n × p je matrica A·B = C = (cij) tipa m × p, gdje je

∑=

=n

kkjikij bac

1

i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p

21

Dakle, element matrice C dobije se tako da se elementi i-tog retka matrice A pomnože s odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B, pa se dobiveni produkti zbroje.

11 12 1 111 12 1

21 22 2 211 12 1 121 22 2

21 22 2 2

1 21 2

1 2

1 2 1 2

j pn

j pj pn

j p

i i ij ipi i in

n n nj np

m m mn m m mj mp

c c c ca a ac c c cb b b ba a a

b b b bc c c ca a a

b b b ba a a c c c c

⎡⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

L LLL LL LL

M M M ML LM M M

L LM M M ML

L LM M M M M M M

L L L

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

22

Pomnožimo matrice i

Matrica A je tipa 1×3, a matrica B je tipa 3×1, pa su te matrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa 1×1

[ ]3 1 5A = −

242

B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]2

3 1 5 4 3 2 ( 1) 4 5 ( 2) 82

A B⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

23

Matrica B je tipa 3×1, a matrica A je tipa 1×3, pa su te matrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa 3×3

Uočimo da je A · B ≠ B · A

Matrice A i B za koje je A · B = B · A nazivamo komutativnim matricama.

[ ]2 2 3 2 ( 1) 2 5 6 2 104 3 1 5 4 3 4 ( 1) 4 5 12 4 202 2 3 ( 2) ( 1) ( 2) 5 6 2 10

B A⋅ ⋅ − ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

24

SVOJSTVA MNOŽENJA:

Ako su matrice A, B i C odgovarajućeg tipa, a α ∈ R,tada vrijede sljedeća svojstva:

1. (AB)C = A(BC) asocijativnost množenja

2. A(B + C) = AB + AC distributivnost s lijeva

(A + B)C = AC + BC distributivnost s desna

3. α(AB) = (αΑ)B

4. A(αB) = α(AB)

5. (AB)T = BT · AT

25

4. POTENCIRANJE MATRICA

Neka je A kvadratna matrica. Definiramo:

A·A = A2,

A·A·A = A3

i općenito

Po definiciji je A0 = I.

puta

n

n

A A A A⋅ ⋅ ⋅ =K14243

26

Neka je Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn polinom n-tog stupnja s realnim koeficijentima i neka je A kvadratna matrica. Tada definiramo polinom matrice A koji je opet matrica, tipa kao i matrica A:

Pn(A) = a0·A0 + a1A + a2A2 + ... + anAn,

gdje je A0 = I, a I je jedinična matrica tipa kao i matrica A.