P4 LOGICKÉ OBVODY

I. Kombinační Logické obvody

I. a) Základy logiky

Zákony Booleovy algebry1. Komutativní zákon duální forma

a + b = b + a a . b = b . a

2. Asociativní zákon

(a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)

3. Zákon idempotence

a + a = a a . a = a

4. Zákon absorpce

a + (a . b) = a a . (a + b ) = a

5. Zákon agresivnosti nuly a jedničky

a . 0 = 0 a + 1 = 1

Zákon neutrálnosti nuly a jedničky

a + 0 = a a . 1 = a

Distributivní zákon

a . (b + c) = (a . b) + (a . c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

Zákon sporu a vyloučeného třetího

Zákon involuce neboli dvojí negace

= a

Zákon absorpce negace

De Morganovy zákony

a

b a ba.a +=+ a.b b) aa.( =+

z...cbaz....c . b.a ++++=z...c.b.az ... c ba =++++

1 aa 0 a.a =+=1aa 0a.a =+=

Shannonův expanzní teorém - rozklad logické funkce

I. verze součtová :

F(x1, x2, … , xn) = x1 . F(1, x2, … , xn) + . F(0, x2, … , xn)

II. verze součinová :

F(x1, x2, … , xn) = [x1+F(0, x2, … , xn)] . [ + F(1, x2, … , xn)]

D U A L I T A F U N K C Í

FD(x1 , x2, x3, … , xn , 0 , 1 , + , .) = F(x1 , x2, x3, … , xn , 1 , 0 , . , + )

1x

1x

Základní logické funkce

Schematické značky logických členů

Funkce majority

Funkce majority je souměrná logická funkce, která nabývájedničkové hodnoty tehdy, když většina vstupních logických proměnných nabývá logické hodnoty jedna.

Př.: Majorita ze tří je rovna jedné právě když 2 nebo 3 logické

vstupní proměnné nabývají jedničkovou hodnotu.

Označíme ji následovně: M3(x , y , z ) nebo x # y # z

nebo ji můžeme zapsat jako logickou funkci tří proměnných:

M3(x , y , z) = a tu je možné

realizovat : 1 log. členem OR - čtyřvstupovým a

4 log. členy AND – třívstupovými a

3 log. členy NOT – invertory

Tedy bylo by zapotřebí celkem 8 logických členů(prvků)

xyz zxy z yx yz x +++

Můžeme ale udělat úpravu – vytkneme z posledních čl. xy

M3 = =

= = 1

Tuto upravenou funkci můžeme realizovat

1 x OR – třívstupový

2 x AND – třívstupový

1 x AND – dvouvstupový

2 x NOT – invertory

Tedy celkem by bylo třeba 6 logických členů!

A posléze můžeme udělat další úpravu pokud rozšíříme funkci na bázi zákona idempotence : xyz = xyz + xyz + xyz - pak

M3 = =

= = xy + xz + yz

xyz zxy z yx yz x +++ )( z zxy z yx yz x +++

xy z yx yz x ++

xyz zxy z yx yz x +++

)()()( z zxy xz y y yz x x +++++

)( z zxy z yx yz x +++

Nyní již budeme realizovat majoritní funkci se 4 logickými členy:

1 x OR – třívstupový

3 x AND – dvouvstupový Pozn: Invertory nepotřebujeme!

Zápis logické funkce pravdivostní tabulkou a mapou

Zobrazení do mapy :

Mapy pro 3 a 4 proměnné :

Poznámka: Jedna jedničková hodnota zadané logické funkce může

být pokývána libovolněkrát, ale musí být splněna zmíně-

ná kriteria minimality.

Příklad Karnaughovy mapy pro 5 proměnných: použit Grayův kód

Normální formy logických funkcí

a) Úplná normální disjunktní forma (úndf) - součtová

V úplné normální formě je každá jedničková hodnota zadanélogické funkce „pokrývána“ jedním termem resp. implikantem. Takový součinový term obsahuje všechny proměnné zadanélogické funkce jako přímé nebo negované (minterm).

Na příklad u zmíněné majority ze tří (funkce je dána třemi proměnnými) jsou implikanty délky 3 – tj. Prvotní popis majoritní funkce ze 3 je zapsán úplnou normálníformou.

b) Úpná normální konjunktní forma (únkf) - součinová

Konjunktní forma pokrývá nulové hodnoty zadané logické funkce svými součtovými termy – např. (maxtermy –obsahuje opět všechny proměnné).

atd. , zyx ,z x ,xyz yx ,yz

... ).).(( z yxz yx ++++

c) Minimální normální disjunktní forma (mndf)

Minimální normální disjunktní forma (mndf) obsahuje nejmenšímožný počet nejkratších implikantů(součinových termů), tj. přímých implikantů. Kriteria minimality tedy jsou:

1) má minimální délku formy (tj. počet přímých implikantů)

2) má minimální délku implikantů(tj. s min.počtem prom.)

3) eventuelně obsahuje minimální počet negací

Minializace pomocí mapy:Pokrýváním jedničkových stavů zadané logické funkce vytvoříme

nejmenší počet co největších smyček! Řešení nemusí být jediné. Ukázka viz Karnaughova mapa pro 4 proměnné v předchozím slajdu – řešení jsou dvě :

1. F1(a,b,c,d) =

2. F2(a.b.c.d) = dba dcbcbac +++adcb dcbcbac +++a

Příklad na tabulku pokrytí

Je daná následující logická funkce 4 proměnných

Úplná množina přímých implikantů {PI}:

}c.b.a , dc.b , d.b.a , ca. , cb. , a.d , d.c{ {PI} .=

Nejvýhodnějším řešení je první funkce - doplňující implikant má

délku 2 (dvě proměnné) :

Realizace log. funkce s členy NAND (NOR)

Další aplikace logických obvodů s členy NAND

Realizace kaskády NAND : Náhrada NAND

Realizace součtové formy s NAND členy

Návrh kombinačních obvodů s členy NANDVýchozí podmínky: - minimální forma logické funkce - jsou dané typy

logických členů, resp. se volí pro danou technologii- je daná rychlost logického

---------------------------------------------------------------------------------------------- požaduje se snadná diagnostika a oživování- bere se ohled na konstrukční řešení

I. OBECNÁ a KLASICKÁ STRUKTURA AND – OR

Uvažujme realizaci dané logické v minimálním tvaru:

Tuto minimální součtové funkci (mndf) můžeme zakreslit ve struktuře AND - OR

c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=

Úprava minimální logické funkce pro realizaci s členy NAND

c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=

Použijeme zákona dvojí negace (involuce) a

De Morganových pravidel

c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=

)c . b . a( . )d . c . a( . )d . b . a( . )d . a( . )a.b( d) c, b, (a,F3 =

Z této úpravy lze již snadno nakreslit schéma se členy NAND neboťkaždé závorce odpovídá logický člen NAND a negace celého výrazu odpovídá pětivstupovému NAND výstupnímu

Výsledné schéma se členy NAND max. třívstupovými - bylo třeba nahradit výstupní log, člen pětivstupový

Úprava logické funkce

c . b . a . d . c . a . d . b . a . d . a . b . a d) c, b, (a,F3 =

Funkci rozdělíme na 2 větve

c . b . a d . c . a d . b . a d . a b . a d) c, b, (a,F3 ++++=

Další úprava

c . b . a . d . c . a d . b . a . d . a . b . a d) c, b, (a,F3 +=

1. větev 2. větev

Upravené schéma – s 2 a 3 vstupovými log. členy

Prodloužení větví znamená delší reakce na výstupech!!

Příklad sčítačky :