Goniometrické funkceGoniometrické funkce

pro pro III.III. ročník ročníkpro pro III.III. ročník ročník

Milan Hanuš

II. kvadrant

cos2

23°25´1

3,258“

Přehled učiva

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Výuka anglického, německého jazyka a matematiky na středních školách ve třídách s integrovanými žáky se specifickými poruchami učení pomocí

informačních a komunikačních technologií

K učebnici Calda, E.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU 3. díl; Prometheus, 2004, s. 62

Didaktické cíle:

Sinus úhlů v intervalu 0°až 360°

Kosinus úhlů v intervalu 0°až 360°

Tangens úhlů v intervalu 0°až 360°

Grafy goniometrických funkcí

Test

Sinus úhlů v intervalu 0°až 360°

x

y

1-1

-1

1

x

y

1-1

-1

1

α

1M

Jednotková kružnice

II. Kvadrant (90°; 180°)

III. Kvadrant (180°; 270°)

IV. Kvadrant (270°; 360°)

I. Kvadrant (0°; 90°)

sinα = yM / 1 = yM I. kvadrant +

Sinus úhlů v intervalu 0°až 90°

sinα

Příklad: sin 17°35’ = sin 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = sin výsledek.

KalkulačkaOdvození na internetu

Didaktické cíle:

x

y

1-1

-1

1

Sinus úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant)

x

y

1-1

-1

1

M

sinα = sin (180° - α´°) Hf = (0; 1) II. kvadrant +

-1

1

-1

1y

1y

1y

1

x1

-1

α1

sinα

-1

y1

α´

Příklad: sin 162° 25’ = sin(180° - 162° 25’) = sin 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = sin výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = sin výsledek

α

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

realizuje Evropskou strategii zaměstnanosti prostřednictvím investic

do lidských zdrojů

Kalkulačka

x1

-1

α

1sinα

-1

y1

α´

sinα = - sin (α´° - 180° ) Hf = (-1; 0) III. kvadrant -Příklad: sin 197°35’ = - sin(197°35’ – 180°) = - sin 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 197 + 35 : 60 = -180 = sin +/- výsledek, ale lze i zadat přímo 197 + 35 : 60 = sin výsledek

α

Sinus úhlů v intervalu 180° až 270° (III. kvadrant)

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

x1

-1

α

1sinα

-1

y1

α´

sinα = - sin (360° - α´ ) Hf = (-1; 0) IV. kvadrant -Příklad: sin 342°25’ = - sin(360° – 342°25’) = - sin 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 375 + 25 : 60 = +/- +360 = sin +/- výsledek, ale lze i zadat přímo 375 + 25 : 60

= sin výsledek

α

Sinus úhlů v intervalu 270° až 360° (IV. kvadrant)

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

Kosinus úhlů v intervalu 0°až 360°

x

y

1-1

-1

1

x

y

1-1

-1

1

α

1M

Jednotková kružnice

II. Kvadrant (90°; 180°)

III. Kvadrant (180°; 270°)

IV. Kvadrant (270°; 360°)

Jednotková kružnice

Jednotková kružnice

I. Kvadrant (0°; 90°)

cosα = xM / 1 = xM I. kvadrant +

Kosinus úhlů v intervalu 0°až 90°

cosα

Příklad: cos17°35’ = cos 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 17 + 35 : 60 = cos výsledek

Didaktické cíle:

Kalkulačka

x

y

1-1

-1

1

Kosinus úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant)

x

y

1-1

-1

1

M

cosα = - cos (180° - α´°) Hf = (-1;0) II. kvadrant

-

-1

1

-1

1y

1y

1y

1

x1

-1

α1

cosα-1

y1

α´

Příklad: cos 162° 25’ = - cos(180° - 162° 25’) = - cos 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = cos výsledek

α

Didaktické cíle:

Investuje do rozvoje vzdělání

Kalkulačka

x1

-1

α

1

cosα

-1

y1

α´

cosα = - cos (α´° - 180° ) Hf = (-1; 0) III. kvadrant -Příklad: cos 197°35’ = - cos(197°35’ – 180°) = - cos 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 197 + 35 : 60 = -180 = cos výsledek, ale lze i zadat přímo 197 + 35 : 60 = cos výsledek

α

Kosinus úhlů v intervalu 180° až 270° (III. kvadrant)

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

x1

-1

α

1

cosα

-1

y1

α´

cosα = cos (360° - α´ ) Hf = (0; 1) IV. kvadrant +Příklad: cos 342°25’ = cos(360° – 342°25’) = cos 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 375 + 25 : 60 = +/- +360 = sin výsledek, ale lze i zadat přímo

375 + 25 : 60 = sin výsledek

α

Kosinus úhlů v intervalu 270° až 360° (IV. kvadrant)

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

Tangens úhlů v intervalu 0°až 360°

x

y

1-1

-1

1

x

y

1-1

-1

1

α

1

M

tgα = yM / 1 = yM I. kvadrant +

Tangens úhlů v intervalu 0°až 90°

tgα

Příklad: tg 17°35’ = tg 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 17 + 35 : 60 = tan výsledek, ale lze i zadat přímo 17 + 35 : 60 = tan výsledek

t

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

vyrovnává příležitosti v přístupu na trh práce

Kalkulačka

x

y

1-1

-1

1

Tangens úhlů v intervalu 90°až 180° (II. kvadrant)

x

y

1-1

-1

1

M

tgα = - tg (180° - α´°) Hf = (-∞; 0) II. kvadrant -

-1

1

-1

1y

1y

1y

1

x1

-1

α1

tgα

-1

y1

α´

Příklad: tg 162° 25’ = - tg(180° - 162° 25’) = - tg 17° 35’

Jednoduchá kalkulačka: 162+25 : 60 = +/- +180 = tan výsledek, ale lze i zadat přímo 162 + 25 : 60 = tan výsledek

α

t

α´

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

Tangens úhlů v intervalu od 180°do 360°

Goniometrická funkce tangens úhlu má periodu 180° (opakuje se po 180°). Proto platí

tgα = tg (α° - 180° ) Hf = (0; ∞ ) III. kvadrant +

a pro čtvrtý kvadrant:

tgα = - tg (360° - α ) Hf = (- ∞; 0) IV. kvadrant -

pro třetí kvadrant:

Odvození na internetu

Didaktické cíle:

Kalkulačka

Grafy goniometrických funkcí

y = sin α

0,00-0,50-0,87-1,00-0,87-0,500,000,500,871,000,870,500,00sinα

3603303002702402101801501209060300α°

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

360

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Odvození grafu (internet)Vykreslení grafu (internet)

Didaktické cíle:

Grafy goniometrických funkcíy = cos α

030

60

90

120

150180

210

240

270

300

330360

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

1,000,870,500,00-0,50-0,87-1,00-0,87-0,500,000,500,871,00cosα

3603303002702402101801501209060300α°

Odvození grafu (internet)Vykreslení grafu (internet)

Didaktické cíle:

Grafy goniometrických funkcí

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0 50 100 150 200 250 300 350 40090270

y = tg α

Vykreslení grafu (internet)

Didaktické cíle:

K O N E CK O N E C

POHÁDKA

Test

................................... ………………. Jméno a příjmení Třída Datum: …………………………1. Určete hodnoty funkce sinus λ pro následující úhly λ = 25°, λ = 237°, λ = 151° 24´ 56“2. Určete hodnoty funkce kosinus λ pro následující úhly λ = 25°, λ = 237°, λ = 151° 24´ 56“3. Určete velikost úhlu β, jsou-li hodnoty goniometrických funkcí následující sin β = 0,301; cos β = - 0,254; tg β = -12,2.........................................................................................................................................

................................... ………………. Jméno a příjmení Třída Datum: …………………………1. Určete hodnoty funkce kosinus λ pro následující úhly λ = 325°, λ = 37°, λ = 181° 24´ 56“2. Určete hodnoty funkce tangens λ pro následující úhly λ = 325°, λ = 37°, λ = 181° 24´ 56“3. Určete velikost úhlu á pro hodnoty funkce následujících goniometrických funkcí: cos á = 0,911; sin á = - 0,539; tg á = - 1,256

B

A

1. sin25°= 0,423

sin237°= - 0,839

sin 151° 24´ 56“ = 0,478

2. cos 25°= 0,906

cos237°= - 0,545

cos 151° 24´ 56“ = - 0,878

3. β1 = 17°31´3,63“

β2 = 162°28´56,37“

β1 = 104°42´51,62“

β2 = 255°17´8,38“

β1 = 94°41´9,24“

β2 = 274°41´9,24“

1. cos325° = 0,819

cos37 = 0,799

cos181° 24´ 56“ = - 1,000

2. tg325° = -0,700

tg37°= 0,754

tg181° 24´ 56“ = 0,025

3. α1 = 24°21´21,92“

α2 = 335°38´38,08“

α1 = 212°36´56,13“

α2 = 327°23´3,87“

α1 = 128°31´33,76“

α2 = 308°31´33,76“

A B