Upload
dangnguyet
View
239
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Setiap frame dalam dimensi hingga memuat sub bagiannya yaitu suatu basis. Jika ������ �
� adalah suatu frame dalam dimensi hingga tetapi bukan basis maka ada barisan �������
� yang tidak nol, tetapi ∑ �������� = 0, sehingga dapat kita tulis f untuk � ∈ � yaitu:
f = ∑ ⟨�, ��� ��⟩�
��� �� + ∑ ��������
= ∑ �⟨�, ��� ��⟩ + �� ��
��� ��
Contoh 2.8 Misalkan �������
� adalah basis ortonormal dua dimensi dalam ruang vektor V dengan hasil kali dalam. Misalkan:
�� = �� , �� = �� − �� , �� = �� + �� Dan �������
� adalah frame di V, dengan mengunakan operator frame,
S f = ∑ ⟨�, ��⟩ ������
S �� = �� + �� − �� + �� + �� = 3 ��
S �� = - ��� − ��� + �� + �� = 2 ��
dengan operator frame didapat:
��� ��= �� ��, ��� ��= �
� ��
Sehingga bentuk dual frame :
����������� = �
13
��,13
�� − 12
�� ,13
�� + 12
���
Penyajian � dangan � ∈ � adalah:
� = ∑ ⟨�, ��� ��⟩���� ��
= �� ⟨�, ��⟩ ��+ ⟨�, �
� �� − �
� ��⟩ ��� − ��� + ⟨�, �
� �� + �
� �� ⟩ ��� + ���.
3. FRAME DI DIMENSI TAK HINGGA
Frame di dimensi tak hingga mempunyai sifat dan cara serupa dengan fame di dimensi hingga.
4. REDUNDANSI DEKOMPOSISI FUNGSI di RUANG HILBERT
Frame mempunyai penyajian overcomplete artinya fungsi data,sinyal) yang disajikan dalam bentuk frame tidak tunggal sehingga dikatakan bahwa frame tidak ortogonal. Oleh karena itu dekomposisi fungsi yang disajikan dalam bentuk basis ortonormal tidak stabil karena koefisien �� dari � = ∑ ����
���� adalah tunggal yaitu dengan mengubah dekomposisi fungsi f ,
sehingga tidak akan menjadi f lagi. Secara matematis dapat ditulis:
� = ∑ ���� + ���� ∑ ���� �
��� (4.1)
oleh karena
∑ ���� = ���� ∑ ���� �
��� (4.2)
Maka
��= 2� (4.3)
Sehingga untuk ∑ ���� = ���� 0 atau ∑ ���� �
��� = 0, berarti noise yang dicari tidak dapat ditangkap dengan optimal, akibatnya dekomposisi fungsi dengan basis ortonormal selalu didapat “redundansi” nol.
Pada frame dikatakan stabil, artinya dengan mengubah koefisien frame �� menjadi ��� + ��� dari � = ∑ ����
���� tidak mengubah dekomposisi � = ∑ ����
��� � , sehingga
dikatakan bahwa frame adalah stabil. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
fungsi �� mengalami noise sehingga bentuknya sebagai berikut:
��= � ��� + ����
���
��
= ∑ �������� + ∑ ����
��� � (4.4)
Jika bentuk tersebut disederhanakan :
��≈ � + ∑ �������� , dimana ∑ ����
���� ≠ 0 berarti ∑ ����
���� selalu ada, karena
frame bersifat stabil, maka dengan penambahan ∑ �������� tidak mengubah fungsi asal.
Contoh 4.1 Misalkan diketahui �������
� adalah basis ortonormal di ��, dan �������� = ���, ��, ��, ��� adalah
frame di �� , berdasarkan definisi frame (2.2) didapat A=B=2, �������� adalah frame ketat
dengan redundansi dari dekomposisi fungsi f adalah: � = �‖�‖� (R= redundansi, K=konstanta). Contoh 4.2 Andaikan diketahui �������
� adalah basis ortonormal di ��(�), dan andaikan �������
� = ���, ��, ��, ��, ��, ��, … � adalah frame di ��(�), dengan cara serupa contoh 4.1 dan berdasarkan (2.2) didapat A=B=2, �������
� adalah frame ketat dengan redundansi dari dekomposisi fungsi f adalah: � = �‖�‖� (R= redundansi, K=konstanta). Contoh 4.3 Misalkan diketahui �������
� adalah basis ortonormal di �� dengan ����= ���, ��, �� + ��, �� − ��� adalah frame di ��(�), dengan cara serupa contoh 4.1 dan 4.2, berdasarkan (2.2) didapat A=B=3, sedangkan redundansinya adalah � = �
� ‖�‖�
5. PENUTUP Redundansi suatu frame dapat diketahui seperti pada contoh 4.1 dan 4.2 dapat disimpulkan bahwa redundansi dapat dikontrol (secara relatif) oleh ‖�‖ yaitu dengan ketentuan 0 ≤ � ≤ �‖�‖� dengan R adalah redundansi dan K suatu konstanta positif yang bergantung pada penyajian atas frame yang diberikan sedang pada contoh 4.3 diketahui bahwa redundansi secara mutlak dapat dikontrol oleh ‖�‖� sesuai definisi frame (2.2) untuk suatu frame ����� Pada waktu mengalami noise, koefisien frame ���� menjadi ��� + ��� dengan ���� adalah noise, sehingga bentuk dekomposisi fungsi f menjadi fungsi �� dengan demikian
diasumsikan ��≈ � + ∑ �������� , dengan ∑ ����
���� ≠ 0. Karena dekomposisi menggunakan
frame, maka ∑ �������� atau redundannya selalu ada, dan frame bersifat stabil sehingga dengan
penambahan ∑ �������� tidak mengubah fungsi asal. Oleh karena itu redundansi memberikan
pengaruh terhadap dekomposisi fungsi bergantung pada koefisien frame ���� SARAN Untuk penelitian lebih lanjut perlu dikaji masalah aplikasi redundansi frame.
6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Allen Ronald L and Mills Duncan W,(.2004),”Signal Analysis”, A John Wiley&Sons,Inc,Canada. [2] Ballan,R., Casazza,P.G, Edidin,G., dan Kutinyok.G,(2005),” Decompositions of Frames and a New Frame Identity”, Proceeding of SPIE. [3] Bodmann,B.G, Casazza,P.G.,dan Kutinyok.,G, (2010), ”Upper and Lower Redundancy of Finite Frames”, Annual Conference and Information Sciences and Systems (CISS). [4] Casazza,P.G.,(1998),”Every frame is sum of Three (but not two) Orthonormal Bases and Other Frame Representations”, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol4, No.6. [5] Casazza,P., Bodmann,B., dan Kutinyok,G.,(2009),”A Quantitative Notion of Redundancy for Finite Frames”,Illinois/Missori Applied Harmonic Analysis Seminar” [6] Christensen, O.2003. “An Introduction to Frames and Riesz Bases”,Birkhauser,Boston. [7] Kreyszig,E.,(1978),”Introductory Functional Analysis with Applications”,John Wiley & Sons. [8] Mallat.S.1999. A Wavelet Tour of Signal Processing 2�� edition , Academi Press,San Diego [9] Yunus,M.,(2005), Modul Ajar Pengantar Analisis Fungsional, Jurusan Matematika FMIPA ITS. Coura D t Isan Diego