REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO SANTIAGO MARIOEXTENSIN MATURN

Metodo de las Fuerzas o de las Flexibilidades

Profesor: Ing. Lorenzo Mantilla

Ctedra: Estructura II

Maturn, Junio de 2013.

Bachiller(s): Castillo, Luisangela C.I.: 18.926.166

ndice

Introduccin

Mtodo de la Flexibilidad o de las Fuerzas.

Coeficientes de flexibilidad.. Compatibilidad de deformaciones externas con internas.. Presentacin del mtodo por ecuaciones y por matrices. Ecuaciones de desplazamiento consistente.. Formulacin matricial del mtodo de carga unitaria Identificar las caractersticas de las estructurasHiperestticas Elaborar diagramas de fuerzas internas de estructuras estticamente indeterminadas.. Aplicar el mtodo de las fuerzas para resolver estructuras hiperestticas Aplicar el mtodo de las fuerzas en estructuras hiperestticas sometidas a cargas, variacin de temperatura, movimiento de soporte, error de construccin y resorte Aplicar la superposicin de diagramas en el mtodo de las fuerzas.. Interpretar el concepto factor de flexibilidad.. Construir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del mtodo de la fuerza.

Conclusin.

Introduccin

Las bases tericas y mtodos numricos que se utilizan en el anlisis estructural han sido formulados desde hace mucho tiempo. Estos principios plantearon la solucin de las estructuras a partir de grandes sistemas de ecuaciones.

Generalmente este planteamiento corresponde a un enfoque matricial; sin embargo, debido a las dificultades inherentes a la solucin de los sistemas de ecuaciones simultneas resultantes, surgen alrededor de los aos 50s los mtodos iterativos. Entre los ms conocidos se tienen, el mtodo de Hardy Cross, el mtodo Kani, el mtodo de Takabeya, etc.

Tambin surgen algunos mtodos simplificados especiales para el anlisis de estructuras sujetas a cargas laterales (viento o sismo), entre ellos se puede citar el mtodo de Bowman, el mtodo del portal, el mtodo del factor, etc.

Tambin a partir de los aos 50s comienza, un gran desarrollo de lascomputadoras las cuales alcanzan una gran expansin a partir de los aos80s. Esta herramienta ha modificado grandemente el planteamiento de la solucin de muchos problemas de la ingeniera. Se hace entonces posible la utilizacin de mtodos matriciales para el anlisis estructural.

En la actualidad la posibilidad de resolver estructuras complejas en un tiempo relativamente corto ha permitido incluir dentro de este anlisis conceptos de comportamiento no lineal que hasta algunos aos se consideraban impracticables.

Hoy en da, el continuo desarrollo de la tecnologa, nos permite encontrar equipo sofisticado, como es el caso de las calculadoras programables, las cuales nos permiten resolver problemas no tan complejos como los que resuelve una computadora personal, pero s en forma cmoda y con resultados confiables.

METODO DE LAS FUERZAS O METODO DE FLEXIBILIDADES

Coeficientes de flexibilidad

a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y seccin A que, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento L, establece que: L = NL/(EA) o, lo que es lo mismo, L = L/(EA) N.

El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de la barraL y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina flexibilidad bajo esfuerzos axiles de la barra. Este coeficiente representa fsicamente el valor del alargamiento que sufrira la barra sometida a un esfuerzo axil unidad.

b) Aplicando el teorema de Mohr a una mnsula de longitud L con una seccin cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo como: f = PL3/(3EI) o, lo que es lo mismo, f = L3/(3EI) P

El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la carga P que la produce se denomina flexibilidad bajo carga aplicada en su extremo de la mnsula. Este coeficiente puede obtenerse como el valor de la flecha que sufrira la barra sometida a una carga en su extremo de valor unidad.

c) Aplicando el teorema de Mohr a la mnsula anterior sometida, en este caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene el giro de este extremo como: = ML/(EI) o, lo que es lo mismo, = L/(EI) M

El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro y el momento M que lo produce se denomina flexibilidad bajo momento 4 aplicado en su extremo de la barra mnsula. Este coeficiente representa el giro que sufrira la seccin extrema de la mnsula cuando se encuentra sometida a un momento de valor unidad actuando en dicho extremo.

La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una seccin y que permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento (desplazamiento o

coeficientes de flexibilidad, que se definen como las deformacionesproducidas por una fuerza unitaria aplicada a una de las coordenadas. Especficamente, el coeficiente de flexibilidad fij se define como el desplazamiento de la coordenada i, cuando una fuerza esttica unitaria es aplicada a la coordenada j. Usando los coeficientes de flexibilidad correspondientes a una fuerza unitaria aplicada al nivel de cada uno de los pisos del edificio simple y aplicando la superposicin, podemos calcular el desplazamiento de una de las coordenadas como la suma de los productos de los coeficientes de flexibilidad de esa coordenada multiplicndolos por las fuerzas correspondientes.Las fuerzas que actan en el edificio simple de tres pisos (incluidas las fuerzas de inercia). Por lo tanto, los desplazamientos para el edificio de tres pisos pueden expresarse en funcin de los coeficientes de flexibilidad comoOrdenando los trminos en estas ecuaciones y usando matrices, obtenemosDonde [M] es la matriz de masa, ecuacin (9.4), f es la matriz de flexibilidad dada por

giro de la seccin de aplicacin de la carga en la direccin de aplicacin de esta. La unidad de medida de la flexibilidad es el m/N rad/Nm.

El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una carga (fuerza o momento) aplicada en una seccin de una estructura sencilla (barra) y el movimiento (en direccin de la carga) de la seccin en la que se aplica la carga, y que se deducen de las expresiones obtenidas por aplicacin de los teoremas de Mohr, son ejemplos de valores de coeficientes de flexibilidad.

Un mtodo alternativo para expresar las ecuaciones del movimiento de una estructura es la formulacin de flexibilidad. En esta formulacin, las propiedades elsticas de la estructura se describen por medio de los

La compatibilidad de deformaciones de las diversas partes y de cualquiera de ellas con las ligaduras exteriores, que se traduce en ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones que relacionan las deformaciones entre s por medio de la geometra del conjunto.

Llegar a la expresin matemtica de esas ecuaciones requiere en ocasiones estudiar como se desplaza la estructura, planteando las ecuaciones que ligan los desplazamientos de puntos significativos de la estructura. La relacin entre esos desplazamientos y las deformaciones, permitirn finalmente obtener las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.

Deformaciones Dentro del campo elstico y lineal se verifica la ley de hooke:

E

l l l

e {y}, {} y {F} son, respectivamente, los vectores de desplazamiento, aceleracin y fuerza dados en la ecuacin (9.6).Compatibilidad de deformaciones externas con internas l E

N E A

, donde N (z)

l

l N dz0 E A

N l dz

N L Si N = cte.

E A 0 A E

Que es el caso de los elementos de las celosas estructuras articuladas, cuando las uniones se pueden considerar articuladas y las cargas actan slo en los nudos.Equilibrio del nudo: Fhor = 0 N1 cos + N2 = P sen

N1AN2 P1N1

2

P

N2 2

Fvert = 0 N1 sen = P cos

N1 y N2

1Equilibrio barras: en todassus seccionesN1N2

PC

1 1'3

A 2 2' B

P/2

P/2

L/2

L/2

N = cte

Equilibrio nudo A : N1 sen 30 = P/2 N1 = P (compresin)

N1 cos 30 =N2 N2 = P

3 (traccin)2

Dada la simetra: N1 = N1 y N2 = N2 Equilibrio nudo C: N1 = N1 = P2P cos 60 + N3 = P N3 = 0

La resolucin se complica en los casos HIPERESTATICOS, cuando no bastan las ecuaciones de equilibrio.

RA + RB = Q (1) hiperestaticidad grado 1

Hay que acudir a las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.

total = AC + CB = 0 (2)

En (1) las incgnitas son fuerzas; en la (2) son deformaciones.

Las relacionamos con la ley de comportamiento del material. N l AC RA l AC AC EA EA

N lCB

RB lCB

RA l AC

Sustituidas en (2)

RB lCB

CB EA EA EA EA

0 Ecuacin que con (1) nos resuelve el problema.

Presentacin del Mtodo por Ecuaciones y por Matrices.

Formulacin en fuerzas (mtodo de flexibilidad)

El nmero de fuerzas desconocidas en una estructura depende de las reacciones y de las fuerzas en las barras, en tanto que, el nmero de ecuaciones independientes que ofrece la esttica es el mismo. Para el caso de estructuras estticamente indeterminadas el nmero de fuerzas desconocidas es siempre mayor al de las ecuaciones de equilibrio (esttica). Las fuerzas desconocidas en la estructura estticamente determinada pueden obtenerse en forma directa de estas ecuaciones, an sin considerar las dimensiones y propiedades del material de las barras. La deformacin depende de las propiedades elsticas de sus miembros constitutivos, sin embargo, esta informacin no se requiere al determinar las fuerzas internas de una estructura estticamente determinada, ya que stas se obtienen a partir de la geometra original de la estructura.

La situacin es diferente en el caso de una estructura estticamente indeterminada. Si se insiste en que las fuerzas desconocidas sean consideradas como las incgnitas primarias, se requerirn condiciones adicionales a las de la esttica. stas son las relativas a la compatibilidad de deformaciones. Si la indeterminacin es interna, el concepto implica:

1. - El corte de barras de modo que la estructura permanezca estticamente determinada y estticamente estable.

2. - La determinacin de la magnitud del movimiento relativo (separacin o traslape) de los cortes debido a las cargas aplicadas, y

3. - La determinacin de las fuerzas en las barras cortadas, las cuales, cuando se aplican en los cortes, eliminarn la separacin o traslape habidos.

Entonces, las fuerzas desconocidas en las barras seleccionadas para ser cortadas pueden ser consideradas como las super-incgnitas primarias y deben de ser determinadas primero por las condiciones de compatibilidad. De acuerdo a este mtodo, se necesitan las propiedades elsticas de los miembros de la estructura durante la evaluacin y eliminacin posterior de los movimientos relativos de los cortes de la estructura derivada estticamente determinada.

Para el caso de una estructura estticamente indeterminada externamente, si se quitan los apoyos y se sustituyen por acciones (fuerzas o momentos), se obtiene una estructura determinada bajo la accin de las cargas aplicadas y de las acciones desconocidas o incgnitas. Sin embargo, la estructura determinada, debe satisfacer los requisitos geomtricos o de frontera en los puntos de los apoyos redundantes reemplazados por reacciones redundantes.

Si un apoyo de rodillo se remueve en cierto punto, el requisito es que la deflexin en la direccin perpendicular a la superficie de apoyo debe ser cero.

Si se remueve un empotramiento, los tres requisitos, son que la deflexin horizontal, la deflexin vertical y el giro sean cero.

Siempre hay un nmero de condiciones geomtricas igual al nmero de redundantes. Despus de encontrar las componentes de las redundantes,

usando las condiciones geomtricas o de frontera, las dems reacciones pueden determinarse por las ecuaciones de la esttica. Si la estructura es estticamente indeterminada interna y externamente, se eliminarn tantas redundantes (internas y externas) como sea necesario hasta obtener una estructura estticamente determinada y estable.

Este mtodo es considerado como uno de los bsicos, el cual puede describirse por los siguientes pasos.

1. Se identifican las acciones redundantes (reacciones o acciones internas) y se reduce la estructura original a un sistema estable y determinado estticamente.

2. Se analiza la estructura liberada, sujeta a la carga original. Las liberaciones producen incongruencias en desplazamientos por lo que deben calcularse estos errores en la estructura liberada. Los desplazamientos se calculan en la direccin de las reacciones redundantes.

3. Se asigna un valor unitario a cada una de las acciones redundantes y se calculan los desplazamientos que cada una de estas fuerzas unitarias produce en todos los puntos donde actan las acciones redundantes.

4. Para cada restriccin suprimida se define una ecuacin de compatibilidad. Esta ecuacin representa la superposicin de los efectos de las fuerzas redundantes y los efectos de la carga externa en la estructura liberada.

5. Se resuelve el sistema de ecuaciones simultneas de donde se obtiene el valor de las acciones redundantes.

6. Se completa el anlisis calculando las reacciones de los apoyos y acciones internas que no se determinaron en el paso 5.

Formulacin en desplazamientos (mtodo de rigidez)

El mtodo de desplazamiento puede aplicarse a estructuras estticamente indeterminadas o determinadas, siendo ms til en las primeras, donde el grado de indeterminacin esttica es alto. En este mtodo las cantidades desconocidas son los desplazamientos (la translacin y la rotacin de los nudos). El nmero de desplazamientos independientes en una estructura se conoce como grado de indeterminacin cinemtica, o nmero de

grados de libertad. Este nmero es la suma de los grados de libertad de translacin y rotacin. En general, en un marco plano deben considerarse tres grados de libertad por nudo; un desplazamiento longitudinal (axial), uno perpendicular (corte) y una rotacin (flexin). En un marco tridimensional sern seis por nudo; tres desplazamientos y tres rotaciones.

El mtodo puede describirse por los siguientes pasos:

1. Se establece un sistema de coordenadas para identificar la ubicacin y direccin de los desplazamientos de los nudos. Se define despus el grado de indeterminacin cinemtica.

2. En las coordenadas se introducen fuerzas restringentes en igual nmero que el grado de indeterminacin cinemtica para impedir el desplazamiento de los nudos. Se determinan las fuerzas restringentes como una suma de las fuerzas en extremos fijos que se juntan en un nudo. A diferencia del mtodo de la fuerza, este procedimiento no exige que se haga una seleccin con respecto a las fuerzas restringentes. Este hecho favorece el empleo del mtodo de desplazamiento en programas generales de anlisis.

3. Se supone ahora que la estructura esta deformada de tal modo que un desplazamiento en una de las coordenadas es igual a la unidad y todos los dems desplazamientos tienen valor cero. Se determinan entonces todas las fuerzas necesarias para mantener a la estructura en esa configuracin. Estas fuerzas se aplican en las coordenadas que representan los grados de libertad. Se repite ahora este procedimiento para un valor unitario de desplazamiento en cada uno de los grados de libertad por separado.

4. Se determinan los valores de los desplazamientos necesarios para eliminar las fuerzas restringentes introducidas en el punto 2. Esto requiere el uso de ecuaciones de superposicin en que se suman los efectos de los desplazamientos separados sobre las fuerzas restringentes.

5. Se obtienen las fuerzas sobre la estructura original sumando las fuerzas aplicadas sobre la estructura restringida a las fuerzas producidas por los desplazamientos de los nudos determinados en el punto 4.

En el mtodo de los desplazamientos hay siempre tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos ya que a cada coordenada de carga le corresponde una coordenada de desplazamiento, sin tomar en

cuenta el hecho de que la estructura sea determinada o indeterminada estticamente.

Para comparar ambas formulaciones, se plantearn las ecuaciones requeridas segn los procedimientos descritos antes.

Es importante observar que cada uno de los procedimientos representan el inverso del otro, lo que corresponde con la relacin conocida entre flexibilidad y rigidez. Para comparar las ecuaciones resultantes en ambos mtodos, se ignorar la deformacin axial de las barras y slo se considerar una incgnita por nudo, para obtener sistemas de ecuaciones comparables.

Accin en Flexibilidad

Se eliminan todas las incgnitas quedando una estructura isosttica. En la estructura liberada, aparecen unos desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real.

Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas (incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en donde se presentan. Utilizndose as, unos valores unitarios.

La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las condiciones geomtricas de la estructura real, los desplazamientos en cada apoyo deben ser nulos.

Accin en Rigidez

Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento, resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos son debidos a la carga real.

Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos (incgnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las que aparecen las fuerzas. Utilizndose as, unos valores unitarios.

La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).

Para el mtodo de flexibilidad, la suma de desplazamientos en cada apoyo que fue removido, debe ser nula, lo que resulta en:

forma compacta :

[ f ]{ R } = { o } 2.3)

donde : [ f ] es la matriz de coeficientes de desplazamiento o matriz de flexibilidad, { R } es el vector de fuerzas ( reacciones incgnita ) y { o } es el vector de desplazamientos debido a la carga real en la estructura liberada (desplazamientos incongruentes o ficticios).

Para el mtodo de rigidez se tiene que la suma de momentos en cada nudo, representa las condiciones de equilibrio, lo que resulta en :

en forma compacta :

[ K ] { } = { MF } 2.6)

donde [ K ] es la matriz de coeficientes de fuerza o matriz de rigidez, { } es el vector de desplazamientos incgnita y { MF } es el vector de trminos independientes que depende de la carga en la estructura.

Tanto [ f ] como [ K ] tienen propiedades importantes quienes por el momento no se aprecian.

Estas propiedades se discutirn ms adelante. Por el momento se muestra, paso a paso, las caractersticas propias de cada formulacin (fuerza o desplazamiento) para plantear las ecuaciones necesarias para resolver una estructura hiperesttica.

Ecuaciones de desplazamiento consistente.

Con frecuencia, en problemas mecnicos o de resistencia de materiales hiperestticos el clculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto que la situacin fsica real s presenta una solucin unvoca, es decir, las piezas mecnicas toman valores de tensin concretos y las reacciones reales tienen valores totalmente determinados, concluimos que

las ecuaciones de equilibrio deben ser complementadas con algn otro tipo de informacin adicional que haga que el problema sea determinado.

De hecho, muchos problemas se vuelven completamente determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos observados en la realidad tienen valores determinados. As si introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en funcin del resto de variables, podemos llegar a construir un sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema estara formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

(Fig. 1) Problema unidimensional estticamente indeterminado.

Por ejemplo en la figura (Fig. 1) se muestra un problema unidimensional consistente en la aplicacin de una fuerza en un punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el problema es estticamente indeterminado o hiperesttico el anlisis de fuerzas lleva a una nica ecuacin para las dos reacciones incgnita existentes:

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las reaciones observamos que la parte izquierda (entre RAy P) est traccionada y por tanto se estirar, mientras que la parte derecha (entre P y RB) est comprimida y por tanto se encoger. Puesto que la pieza es un nico slido deformable el estiramiento de parte izquierda compensar exactamente el estiramiento de la parte derecha, de lo contrario la pieza se rompera. Por tanto estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, sa es precisamente la condicin de compatibilidad adicional que resuelve el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos mtodos, por ejemplo usando el teoremas de Castigliano o usando la ecuacin de la curva elstica. Si el problema es suficientemente sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la ecuacin de compatibilidad directamente.

Del segundo teorema de Castigliano se sabe:neran los iento (o ema sezamiento a virtual V, QV y rcionalesn de la to de unginal y laFormulacin matricial del mtodo de carga unitaria.Suponga una estructura sometida a un sistema de cargas que ge esfuerzos internos N0, M0, Q0 y T0. Para calcular el desplazam giro i en un punto donde no acta ninguna fuerza del sis procede de la siguiente manera:Se aplica una carga virtual pv en el punto y direccin del despla (Desplazamiento Carga puntual; Giro Momento). Esta carg generar en una seccin cualquiera los esfuerzos internos Nv, M Tv. Si no se excede el lmite elstico dichos esfuerzos sern propoa la carga virtual.Donde N,M,Q,T son valores caractersticos para cada secci estructura y cada variable, obtenidos a partir del anlisis del efec carga virtual unitaria.La energa de deformacin de la estructura debido al sistema ori carga virtual ser:

) i t

Identificar las caractersticas de las Estructuras Hiperestticas.Cuando una estructura tiene ms reacciones externa o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la esttica, la

estructura es estticamente indeterminada o hiperesttica o continua producir fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas. Las losas de concreto, las vigas de apoyo, as como parte de las columnas pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural as como de claro a claro. Cuando se tienen juntas de construccin, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse posteriormente. Adems, el concreto viejo se limpia de manera que el nuevo se adhiera a l tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las estructuras de concreto reforzado son generalmente monolticas o continuas y por ello estticamente indeterminadas.

Inicialmente se debe identificar cuando es una estructura indeterminada. Las estructuras rgidas se componen de miembros rectos conectados por medio de conexiones rgidas (que resisten los momentos), o bien, por conexiones articuladas, para formar configuraciones estables. Por lo general, los miembros de las estructuras se conectan por uniones rgidas, aun cuando a veces se usan las conexiones articuladas.

Una unin rgida impide las traslaciones y rotaciones relativas de lo miembros conectados a ellas, de modo que la unin es capaz de transmitir dos componentes rectangulares de fuerza y un par entre los miembros conectados.

En general, bajo la accin de cargas externos, los miembros de una estructura pueden quedar sujetos a momento flexionante, fuerza, cortante y tensin o compresin axiales.

Se considera que una estructura es estticamente determinada, si los momentos flexionantes, las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, en todos sus miembros, asi como las reacciones externas, se pueden determinar mediante las aplicaciones de las ecuaciones d equilibrio y de condicin.

Fx=0 ; Fy=0 ; M=0.

Se considera una estructura internamente estable o rgida, si mantiene su forma y sigue siendo un cuerpo rgido cuando se separa de los apoyos. De manera inversa, una estructura de denomina inestable (o no rgida), sino pede conservar su forma y puede sufrir grandes desplazamientos bajo pequeas perturbaciones cuando no esta apoyada desde el exterior.

Para una estructura, si el nmero de incgnitas es igual al nmero de ecuaciones, es decir:

6m + r = 3 (m + j) + ec ( 1) Siendo:. m = N de miembros.

. r = N de reacciones.

. j = N de juntas.

. ec= ecuaciones de condicin. O bien:6m + r = 3m + 3j + ec

Despejando se tiene:

3m + r= 3j + ec

Entonces se pueden determinar todas las incgnitas al resolver las ecuaciones de equilibrio y las de condicin y la estructura es estticamente determinada.

Para una estructura, si el nmero de incgnitas es menor que el nmero de ecuaciones disponibles; esto es:

3m + r < 3j + ec

Se dice que esa estructura es estticamente inestable.

Si una estructura tiene ms incgnitas que ecuaciones de las que dispone;es decir, 3m + r > 3j +ec

No se pueden determinar todas las incgnitas mediante la resolucin de las ecuaciones disponibles, (ecuaciones de equilibrio) y se dice que la estructura es estticamente indeterminada.

Las estructuras estticamente indeterminadas tienen ms miembros o reacciones externas, o ms de ambos, que las mnimas requeridas por la estabilidad.

Se dice que los miembros y reacciones en exceso son redundantes y el nmero de miembros y reacciones en exceso se menciona como grado de indeterminacin esttica, i, el cual se puede expresar como:

.- i = (3m + r) (3j + ec)

Las condiciones para la inestabilidad, la determinacin y la indeterminacin de las estructuras se pueden resumir como lo siguiente:

3m + r < 3j + ec 3m + r 3j ec < 0 estticamente inestable

3m + r = 3j + ec 3m + r 3j ec = 0 estticamente determinado

3m + r > 3j + ec 3m + r 3j ec > 0 estticamente indeterminado

Es decir;

.- i < 0, inestable.

.- i= 0 , determinado.

.- i> 0 , indeterminado

En la aplicacin de las ecuaciones (a, b, c); los extremos de la estructura sujetos a los apoyos, asi como cualquier extremo libre; se tratan como (nodos) juntas. Las condiciones para la determinacin e indeterminacin

estticos, como lo expresaron las ecuaciones (a,b,c), son necesarios, pero no suficientes.

Para que estos criterios en relacin con la determinacin e indeterminacin estticos sean validos, la disposicin de los miembros, las reacciones en los apoyos, y las articulaciones y rodillos internos (si los hay), debe ser tal que la estructura seguir siendo geomtricamente estable bajo un sistema general de cargas coplanares.

Recordemos que las ecuaciones de condiciones que se generan en una articulacin interna proporcionan una ecuacin de condicin y que un rodillo interno da lugar a dos de esas ecuaciones.

Cuando varios de los miembros de una estructura se conectan en un nodo anticuado, el nmero de ecuaciones de condicin en este ltimo es igual al nmero de miembros que se encuentran en el menos uno.

Como ya se ha dicho anteriormente las estructuras indeterminadas tienen mas reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad esttica, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuracin geomtrica de la deformacin de las estructuras.

Estas relaciones adicionales, que se denominan condiciones de compatibilidad, garantizan que se mantenga la continuidad de los desplazamientos de uno u otro lado de la estructura y que las diversas partes de esta se ajustan entre si. Por ejemplo: En un Nodo o junta rgida, las deflexiones y las rotaciones de todos los miembros que se unen en este nodo deben ser las mismas. Por lo tanto el anlisis de una estructura indeterminado comprende, adems de las dimensiones y la disposicin de los miembros de la estructura, sus propiedades y de los materiales (como las reas de las secciones transversales, los momentos de inercia, los mdulos de elasticidad, etc); las cuales a su vez, dependen de las fuerzas internas de la estructura. Por lo tanto, el diseo de una estructura estticamente indeterminada, se lleva a cabo de manera iterativa, con la cual inicialmente se suponen el tamao (relativos) de los miembros estructurales y se usan para revisar el tamao de los miembros; si el tamao revisado de estos no estn cercanos a los que se supusieron en

un principio, entonces se vuelve a analizar la estructura usando el tamao mas reciente de esos miembros, se continua la iteracin hasta que el tamao de los miembros basado en los resultados de un anlisis son cercanos a los supuestos para este anlisis.

Anlisis de las Estructuras Indeterminadas

Relaciones fundamentales:

Sin importar si una estructura es estticamente determinada o indeterminada, su anlisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones:

Ecuaciones de Equilibrio. Condiciones de Compatibilidad. Relaciones de fuerza. Deformacin de los miembros.

1. Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actan sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa as como sus partes permanezcan en equilibrio.2. Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.3. Las relaciones de fuerza - deformacin en los miembros, las cualescomprenden las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.

En el anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjuncin con las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como incgnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformacin de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en trminos de los desplazamientos desconocidos o viceversa.

Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo contiene un tipo de incgnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones

fundamentes para determinar las caractersticas restantes de respuestas de la estructura.

Mtodos de anlisis

Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos mtodos para analizar las estructuras estticamente indeterminadas. Estos mtodos se pueden clasificar en trminos generales en dos categoras, a saber:

Los mtodos de las fuerzas (flexibilidad). Los mtodos de los desplazamientos (rigidez).

Dependiendo del tipo de incgnitas (fuerza o desplazamiento, respectivamente) que intervengan en la solucin de las ecuaciones que rigen.

Vigas Estticamente Indeterminadas

Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico, esto es: el nmero de incgnitas es mayor que:

FX 0 FY 0 M 0

La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple A y el otro empotrado B bajo una carga puntual P.

P

a bA B

Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.

A continuacin se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte A existe slo reaccin vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en B hay dos reacciones dado que este soporte no permite nidesplazamientos ni rotaciones. P

VA

Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA y VB y el momento flexionante MB y slo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; M y Fy, la viga es estticamente indeterminada o hiperesttica pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay ms incgnitas que ecuaciones).

Otro tipo de viga hiperesttica es aquella que tiene ms de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.

P Pw

L1 L2 L3A B C D

Fig. 2. Viga continuaEste caso corresponde a una barra mucho ms compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en A.P PwMA

VA VB VC VD

Para la solucin de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio esttico, un camino a seguir consiste en hacer el anlisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este anlisis se plantea ms adelante.

INDETERMINACIN ESTATICA.

Se define como el nmero de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio esttico. Se puede decir que es la diferencia entre el nmero de incgnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio esttico. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:

Nmero de incgnitas = NI = 3Ecuaciones de equilibrio = EE = 2Grado de indeterminacin = GI = NI EE = 3 2 = 1

Viga de la figura 2:

NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2GI = 5 2 = 3

En ambos casos los GI representan el nmero de ecuaciones adicionales para su solucin.

Elaborar diagramas de fuerzas internas de estructuras estticamente indeterminadas.

La cuantificacin de las fuerzas internas producidas por la flexin en las vigas (fuerza cortante y momento flector) es un estudio ms complejo que el necesario para estudiar la fuerza axial o el momento torsor, ya que las fuerzas varan de una seccin a otra de la viga. Esta fuerza cortante y el momento flector de la viga producen dos tipos de efectos importantes para el diseo.

Para definir la fuerza cortante y el momento flector es necesario aplicar la forma de estudio al caso de una viga. En el caso de las vigas el anlisis comienza por realizar un corte aa en un punto cualquiera donde se estudia el equilibrio del diagrama de cuerpo libre obtenido del corte en la porcin de la izquierda. Las fuerzas internas que equilibran las cargas en cada eje son: la fuerza cortante (V) obtenido por las fuerzas perpendiculares al eje; la fuerza axial (P) obtenida por las fuerzas paralelas al eje y el momento flector (M) obtenido por la suma de los momentos de las cargas con respecto al punto donde se realiz el corte. Por equilibrio estas fuerzas internas son iguales a las originadas en la porcin de la derecha pero con sentido contrario al obtenido. En tal sentido, la fuerza cortante representa la suma de las fuerzas perpendiculares al eje que estn ubicadas a la izquierda de la seccin analizada. Asimismo, el momento flector representa la suma de los momentos de todas las fuerzas con respecto a la seccin analizada que actan en la parte izquierda.

En el diseo de elementos estructurales, se debe buscar el mayor efecto producto de las fuerzas internas, por ello determinar la fuerza cortante y el momento flector mximo es imprescindible. Obtener estos valores se facilita mucho mediante un anlisis grfico de la variacin de V y M a lo

largo de la viga. Estos grficos se denominan Diagrama de FuerzaCortante (DFC) y Diagrama de Momento Flector (DMF).

Ejemplo.-

Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 5). Trace tambin los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. Si la seccin transversal es compacta rectangular de 15x25 cm, calcule la flecha al centro del claro para un mdulo elstico de250,000.00 cm4.800 kg

5.00 m 5.00 m1 2Fig. 5)

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuacin de momentos y se le integra sucesivamente.800 kgCriterio de signos: +

M1 M2

Mx V1x M1

0 x 5 1)

V1 x V2

Mx1

V1x1 M1 800(x1 5)

5 x1 19 2)

Integrando la ecuacion 1).

yEId 2dx2

EIdy

V1 x M1

1 V x2 M

x C

3)dx

EIY

2

V1 x 36

1

M1 x2 2

1

C1

x C2

4)

En las ecuaciones 3) y 4), la pendiente (dy/dx) y la felcha (Y) son cero en el apoyo 1, esto es cuando x = 0. Para esta condicin C1 y C2 son cero.

C1 = C2 = 0

Integrando la ecuacin 2).

yEId 2

1dx2

V1 x1 M1 800(x1 5)

EIdy

V x2

800(x1 5)2 dx1

1 1 M1 x1 2 2

C3

5)

V x 3

M x2

800(x1 5) 3EIY

1 1 6

1 1 2 6

C3 x1

C4

6)

En las ecuaciones 3) y 5) la pendiente es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar estas ecuaciones resulta C3 = 0

En las ecuaciones 4) y 6) la flecha es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar estas ecuaciones resulta C4 = 0

Se requieren ahora 2 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen para x1 = 10 en 5) y 6), ya que en este apoyo la pendienete y la flecha son cero.

En 5) cuando x1 = 10, (dy/dx1 = 0):

V1 ( 10 ) 20 2

10 M 1

800 ( 10 5 ) 22

50V1 - 10M 10,000.00 = 0 -------- 7)

En 6) cuando x1 = 10, (Y = 0):

V1 (10) 3 6

M1 (10)2 2

800(10 - 5)3 6

10C3

C4 0

166.666 V1 - 50 M1 - 16,666.666 = 0 ------- 8)

Resolviendo las ecuaciones 7) y 8).

V1 = 400 kg1000 kg.m

800 kg

1000 kg.mM1 = 1000 kg.m

Diagramas de cortante y de momento.

400 kg 400 kg

400Fuerza Cortante

400

1000

Momento Flector

1000

1000

Flecha al centro del claro. Se obtiene en la ecuacin 4) para x = 5.00 m.

EIY

V1 x 3

6

M1 x2 2

C1

x C2

4)

Y 4,1666 .666EIE = 250,000.00 kg/cm2

15 (25) 3 4I 19,531.25 cm12

4,1666.666 (10) 6Y 250,000.00 (19,531.25)

0.853 cm

Aplicar el mtodo de las fuerzas para resolver estructurashiperestticas.

El mtodo de las fuerzas, permite resolver las estructuras hiperestticas considerando como incgnitas a las fuerzas y momentos.En una estructura hiperesttica, tales incgnitas pueden ser exteriores o interiores, estando las primeras asociadas a las componentes de reaccin en los apoyos, en tanto las segundas corresponden a fuerzas en los elementos tales como: N, V, M, Mt.Sea la siguiente estructura aporticada mediante la cul se expondr el mtodo:

En la figura se muestra a una estructura continua cuyo grado de hiperestaticidad exterior es 3; el procedimiento consiste en isostatizar la estructura incluyendo como cargas a las incgnitas escogidas en la isostatizacin. En este caso, corresponde a las componentes de reaccin del apoyo D, tal como se aprecia en la figura 2.Aplicando el principio de superposicin, la estructura isostatizada puededescomponerse en tantas estructuras parciales como cargas existan en

ella. As, en la figura 2a se muestra la estructura isostatizada con todas las cargas externas actuantes.En las figuras 2b, 2c y 2d se muestra la estructura con cada una de las fuerzas incgnitas actuantes en el apoyo D.A continuacin, se determinan los desplazamientos horizontal, vertical ygiro en D pa a cada es ructura parcial, con lo cu aplicando el principiode compa ibilidad se originan las siguientes ecuacionesResolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene las reacciones o incgnitas hiperestticas de la estructura propuesta. Aplicando luego las ecuaciones de equilibrio que nos da la esttica, se pueden encontrar las reacciones restantes.Aplicar el mtodo de las fuerzas en estructuras hiperestticas sometidas a cargas, variacin de temperatura, movimiento de soporte, error de construccin y resorte.

r t l t :

Para este mtodo se considera, en primer lugar, una estructura que llamaremos primaria. Esta se obtiene a partir de la estructura original eliminando las reacciones redundantes para obtener una estructura estticamente determinada, y conservando el sistema de cargas original. Esta estructura primaria deber ser estable y las reacciones redundantes sern aquellas que exceden el numero posible de determinar mediante las ecuaciones de equilibrio.

Luego, aplicado el principio de superposicin, se ir incluyendo el efecto de cada una de las redundantes, modeladas como fuerzas de magnitud desconocida. De esta forma se obtendr un set de ecuaciones para cada una de las redundantes. Superponiendo cada uno de estos efectos y aplicando las condiciones de borde impuestas por los apoyos ser posible resolver la estructura.

El mtodo considera entonces una estructura isosttica, denominada primarias, en la que se calculan desplazamientos (lineales y/o angulares)

pudiendo aplicarse, tambin, el principio de superposicin.Ecuaciones de compatibilidad geomtrica:

en los apoyos que se eliminaron de la estructura hiperesttica inicial, y en las direcciones en las que se eliminaron dichas restricciones. Estos desplazamientos se calculan tambin en estructuras de misma geometra que la estructura primaria, siendo las cargas las reacciones redundantes correspondientes.

La correccin de los desplazamientos de la estructura primaria con los generados por las reacciones redundantes, aplicadas de manera que se cumplan las condiciones geomtricas de la estructura original, permite establecer un sistema de ecuaciones cuyo nmero es igual al nmero de reacciones redundantes.

La solucin del sistema de ecuaciones permite determinar los valores de las reacciones redundantes. Una vez determinadas estas reacciones en los apoyos, los esfuerzos se pueden calcular en todos los miembros de la estructura por medio de las ecuaciones de equilibrio de la esttica,

Mtodo:1. A partir de la estructura hiperesttica, definir la estructura primaria, eliminando las restricciones redundantes y reemplazndolas por fuerzas o momentos Xk.2. Obtener las distribuciones de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la estructura primaria bajo el efecto de las cargas externas originales.3. Aplicar en cada una de las k redundantes una carga unitaria y obtenerExpresado matricialmente:Aplicando el teorema de Castigliano y mtodo de la carga unitaria podemos obtener el desarrollo de las ecuaciones para el desplazamiento en la redundante 1:Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

los diagramas de esfuerzos internos (axial, flexin, corte y torsin) de la estructura.

redundante en estudio. Se analizara el efecto de los desplazamientos anelsticos (independientes de la magnitud de la carga).Supongamos un desplazamiento (asentamiento o giro) del grado de libertad k. Para esta situacin, en la ecuacin de compatibilidad geomtrica correspondiente al grado de libertad en cuestin, se conservara a expresin:con la diferencia de que e valor de k ser distintode cero y conocido.Efectos adicionales a las ecuaciones de compatibilidad1.- AsentamientosEste caso se refiere a los efectos provocados por un desplazamiento de la9. Aplicar superposicin.4. Calcular las deformaciones en las redundantes debido al sistema de carga original.5. Calcular las deformaciones en las redundantes debido a una carga unitaria sobre el mismo punto y las dems redundantes.6. Aplicar las condiciones de compatibilidad geomtrica para obtener el sistema de ecuaciones.7. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las redundantes Xk.8. Obtener el valor de las dems restricciones (no redundantes) mediante las ecuaciones de equilibrio esttico.

l

2.- Defectos de fabricacin, montaje o construccin.Un desplazamiento de un grado de libertas, provocar, adems del efecto sobre la ecuacin de compatibilidad correspondiente, un efecto sobre las dems ecuaciones. Pues generar deformaciones y desplazamientos en toda la estructura, por lo tanto un trabajo.Este es el tpico caso de tensiones generadas por defectos de fabricacin, montaje o construccin.Este efecto se deber incluir en las dems ecuaciones mediante le trminoka. Vale decir las dems ecuaciones adoptaran la forma:El valor de este trmino de correccin se determinara mediante el principio de los trabajos virtuales (Carga unitaria).Ejemplo 1

3.- Efecto TrmicoPara incluir los efectos asociados a la variacin de temperatura (dilatacin- contraccin) se deben agregar trminos relativos a los esfuerzos axiales y de flexin.Si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura uniforme, esta generar una dilatacin-contraccin uniforme expresada de la siguiente forma:Ahora bien, si el elemento estructural esta sometido a una variacin de temperatura no uniforme, vale decir, existe un gradiente de temperaturaProblema tpico de error de fabricacin.

Ejemplo 2

Expresin Generalentre las caras de la barra. Se generar una dilatacin-contraccin de diferente magnitud:4.- Apoyo ElsticoEn este caso se modelaran los efectos propios de apoyos elsticos. Este tipo de apoyo corresponde a los que realmente se generan en el suelo, en que la reaccin generada en el vnculo es proporcional a la deformacin.

extremos de las barras para las cargas dadas considerando a cada barra simplemente apoyada. Para su aplicacin es necesario conocer las formulas de estas rotaciones para vigas simples y cualquier tipo de carga.A continuacin se dan las de uso comn.

Notacin.L1 2

Aplicar la superposicin de diagramas en el mtodo de las fuerzas.El principio de superposicin establece que el efecto de un conjunto de cargas que actua simultneamente, es el mismo cuando se suman los efectos de cada una de ellas actuando por separado. Bajo este concepto, es posible solucionar una viga continua analizando las rotaciones en los1 24EIL 4L

CargaRotacinExtremo IzquierdoRotacionExtremo Derecho1.- Carga uniforme.wLwL31 24EIwL32 24EI2. -Carga parcial uniforme.wL/2 L/29 wL31 384EI7wL32 384EI3.-Carga parcial uniforme.wa b w a 2 2 2 w a 2 2 2 4aL a

2 24EIL 2L a

1 6EIL L b

2 6EIL

1

12 12

CargaRotacinExtremo IzquierdoRotacionExtremo Derecho4.- Carga puntual.PL/2 L/2PL21 16EIPL22 16EI5. Carga puntual.Pa b Pb 2 2 P a L2 a2 6.- Carga variable.wL7 wL31 360EI8 wL32 360EI7.- Carga variable.wa bEI waL2 wabL 7wa2L wa 4 wa 3wabL 2wa2L waL2 wa 48.- Momento en extremo.ML ML ML 9.-Momento en extremo.ML ML ML10.- Momento en la barra.Ma b M 2 2 M 2 36 24L 8

EI2 6

9 6 24L

1 3EI

2 6 EI

1 6 EI

2 3EI

1 6EIL L 3b

2 6EIL

6bL 3b2 2L

Ejemplo 1.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodosde la viga continua de la figura 21).

500 kg 300 kg/m

3.00 3.00 8.00 m.1 2 3Fig. 21). Viga continua.

Incgnitas en la viga. Se dibujan los claros 1-2 y 2-3 por separado indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un momento desconocido, el momento del nodo 2; M2 y se obtienen las vigas equivalentes simplemente apoyadas. Habr tantas vigas equivalentes como momentos de extremo y cargas haya en el clarocorrespondiente. En la figura siguiente se muestra esta condicin.P

=L1 = 6

L2 = 8w23+23=wM2 M2

P

21

+21 M2 M

1 2 2 3Se hacen las siguientes consideraciones:

1.- La rotacin o pendiente es cero en extremos empotrados.

2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la derecha de dicho soporte.

3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el criterio siguiente:

a.- Carga cualquiera. b).- Momento en extremo.

PM

12 21

Pendientes positivas

12 21

Pendiente negativa

Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuacin de equilibrio, pues solo hay un momento desconocido, M2. Esta ecuacin se obtiene sumando las pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la izquierda con las pendientes de la derecha.

2Izq

2Der .

21 21

23 23

PL2

M L

wL3

M2L2 1 2 1 2 16EI

3EI

24EI

3EI

500 (6)2 16

6M2 3

300 (8) 3 24

8M2 3

M2 = 1,612.50 kg.m

Reacciones verticales. Se obtienen por equilibrio esttico mediante suma de momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes.

500 kg 300 kg/m

Criterio de signos:+

3.00 3.00 8.00 m.1 2 31612.50

V1 V2 V3Sumando momentos a la ezquierda del soporte 2:

M2 6V1 1612.50 500(3) 0

V1 = - 18.75 kg.

Sumando momentos a la derecha del soporte 2:

M2 300(8)4 1612.50 8V3 0

V3 = 998.4375 kg

Sumando cargas verticales:

V1 + V2 + V3 - 500 - 300(8) = 0

V2 = 1,920.3125 kg.

Ejemplo 2.- Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos de la viga continua de la figura 22).

300 kg/m

5.00 5.00 8.00 m 3.001 2 3 4 5Figura 22. Viga continua con carga uniforme en todo el claro.

La flexibilidad fij es el efecto cinemtico en i producido por una causa esttica unitaria que acta en j.Basndonos en la anterior definicin de flexibilidades y aplicando el principio de superposicin, los desplazamientos totales Ui que se producirn cuando actan cargas Pi (fig 3) valen:Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos:

Vigas equivalentes:

w

12 21

Interpretar el concepto factor de flexibilidad.

Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones, y sobre las mismas actuarn fuerzas de valor unitario.

Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga.

Los desplazamientos originados en cada direccin los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij, donde i indica la direccin donde se produce y j donde acta la causa unitaria que lo produce. De esta manera la definicin de estos desplazamientos sera:

Hemos encontrado una relacin entre las fuerzas que actan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. Esta relacin lineal se establece a travs de matriz F, que es independiente de las cargas P y slo depende de la estructura y de las direcciones elegidas.La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y est integrada por las flexibilidades fij cuya definicin ya realizramos anteriormente. Estas flexibilidades tienen las siguientes propiedades:fii: flexibilidad directa: Estos efectos son siempre positivos, dado que son los desplazamientos correspondientes con la causa que los producenfij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad, de acuerdo a la ley deMaxwell, de ser igual a fji. Por esta razn la matriz F es simtrica.F = FTConstruir la matriz de flexibilidades y la forma matricial del

mtodo de la fuerza.

La geometra (deformada) de un slido deformado puede caracterizarse por los movimientos (desplazamientos o giros) de un conjunto de puntos o secciones particulares. En una estructura plana el movimiento de un punto del slido ( seccin, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un conjunto representativo de puntos de un slido (entre ellos, probablemente, los propios puntos de aplicacin de las cargas Pi) que caracterizan unvocamente el comportamiento deformacional del slido sometido a las cargas Pi, se denominan, a efectos de anlisis estructural, grados de libertad del slido.

As, por ejemplo:

La proporcionalidad entre la variacin de longitud y la carga aplicada expresada en la ley de Hooke, L = L/(EA) N, implica la caracterizacin del comportamiento deformacional de la barra mediante el movimiento del

has a e punto i siendo e vector desplazamiento i del cua lacomponente en la direccin de aplicacin de a ca ga es i.Definicin.- Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al desplazamiento del punto de aplicacin de la carga Pi, en la direccin de dicha carga, cuando acta una carga unidad en el punto j en la direccin y sentido de Pj.Cuando actan varias cargas e desplazamiento i del punto de aplicacin de una de ellas, justo en la direccin de la carga Pi, es suma de los desplazamientos producidos por cada una de las cargas actuantes.El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultandoA la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz de flexibilidad del slido.Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.

punto extremo en la direccin de aplicacin de la carga; este movimiento sera, pues, el grado de libertad elegido para el anlisis del problema

La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra y la carga aplicada en el extremo de la mnsula expresada en f = L3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento deformacional de la mnsula mediante el desplazamiento del punto extremo en la direccin de aplicacin de la carga; este movimiento sera el grado de libertad elegido para el anlisis del problema; una alternativa podra ser utilizar como grado de libertad descriptivo del problema, el giro en el extremo de la mnsula.

Considrese un slido como el que se muestra en la figura 8.1 sometido a la accin de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando cada una de ellas en un punto i.

Por efecto de aplicacin de las cargas, un punto genrico i se desplazaratl l l lr

, l

EJEMPLO.- Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al sistema de cargas que se muestra en la figura 8.3.Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:

Conclusin

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones.

Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la doble integracin o trabajo virtual.

En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura.

La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solucin determina el mtodo.

Por ejemplo, en el mtodo de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y despus reemplazamos en estas ecuaciones, los desplazamientos en funcin de las fuerzas redundantes, quedando como incgnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aqu se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estticamente determinada, de ah debemos completar la solucin por medio de las ecuaciones de equilibrio esttico. En conclusin, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este mtodo el numero de incgnitas es el nmero de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden.

El otro mtodo que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o de los desplazamientos. Se llama de rigidez porque las ecuaciones finales a solucionar tienen como incgnitas los desplazamientos en funcin de las rigideces de los elementos.

En cualquiera de los dos mtodos que planteemos se utiliza el principio de superposicin, el cual se cumple para sistemas lineales, elsticos y que experimenten desplazamientos pequeos, o sea que las tangentes son iguales a los ngulos.

Debido a que en el mtodo de la rigidez se trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es importante definir lo que es un grado de libertad.

Los procedimientos de Anlisis Estructural pueden clasificarse en dos grandes mtodos esencialmente diferentes:

a) Mtodo de las Fuerzas

b) Mtodo de Rigidez (o de los Desplazamientos)

Tambin existen mtodos mixtos en los que las incgnitas son simultneamente fuerzas y desplazamientos, pero no sern tratados en este curso.

En muchos casos de aplicacin corriente, el Mtodo de las Fuerzas conduce a un sistema de ecuaciones con un nmero menor de incgnitas que el de Rigidez y por eso en el pasado se lo prefera para clculos manuales. En la actualidad, la mayora de los programas de computadora se basan en el Mtodo de Rigidez por ser ms sistemtico y, por ende, ms fcil de programar.