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Índice
Introducción....................................................................................................................................1
Objetivos........................................................................................................................................2
Objetivo General.........................................................................................................................2
Objetivos Específicos.................................................................................................................2
Distribuciones de Probabilidad para una Variable Continua..........................................................3
1.0 Distribuciones de Probabilidad para una Variable Continua...........................................3
1.1 Cálculo De Probabilidades A Partir De La Función De Densidad...................................4
1.2 Función De Distribución...................................................................................................4
A. La Distribución Normal.................................................................................................4
B. Distribución normal estándar........................................................................................8
C. La Distribución Exponencial.......................................................................................10
D. Distribución Uniforme.................................................................................................16
E. Distribución Log-Normal................................................................................................20
Conclusión....................................................................................................................................23
Cuestionario.................................................................................................................................24
Métodos Probabilísticos
Introducción
En el presente trabajo estudiaremos las distribuciones de probabilidad para una variable
continua, tenemos como fin profundizar y estudiar las siguientes distribuciones, tales son:
Distribución Normal.
Distribución Exponencial.
Distribución Uniforme.
Distribución Log-Normal.
Como parte del contenido esta, la ecuación función de la distribución de cada una de las antes
mencionadas, sus características y algunos ejemplos para aclarar cada uno de sus propiedades
y formulas.
Definiendo sobre Variables aleatorias continúas Variable que toma un valor infinito de valores
no numerables. Variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado
de valores.
En este caso, en lugar de trabajar con la probabilidad de valores particulares de la variable,
resulta más apropiado calcular probabilidades asociadas a intervalos. Para distribuir
propiedades se usa una función que mide "concentración" de probabilidades alrededor de un
punto, que se denomina función de densidad de probabilidad (fdp) y se denota como f(x).
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Métodos Probabilísticos
Objetivos
Objetivo General
Identificar los tipos de distribuciones de probabilidades aplicados a una variable continua,
mediante sus conceptualizaciones, ejemplos y gráficos.
Objetivos Específicos
Conocer la Distribución Normal mediante su definición, condiciones y características.
Definir la Distribución Exponencial mediante ejemplos y gráficos.
Conocer el concepto de la Distribución Uniforme y sus aplicaciones.
Definir el concepto de la Distribución Log-Normal, sus gráficos
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Métodos Probabilísticos
Distribuciones de Probabilidad para una Variable Continua
1.0 Distribuciones de Probabilidad para una Variable Continua
Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones
estadísticas de variable continua. Esta se obtiene empíricamente (experimentando u
observando). Aquellas son distribuciones teóricas.
Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una función
y=f (x ) que se llama Función De Probabilidad O Función De Densidad. Ha de ser f ( x )≥0
para todo X.
Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada bajo la
totalidad de la curva es 1. Es decir, tomamos como unidad el área bajo la curva completa.
Para que f (x) se la función de densidad o de probabilidad de una variable aleatoria es
necesario que:
f ( x )nosea negativa paratoda x
el areabajola curva y=f ( x ) seaiguala1
Para hallar la probabilidad P [a≤x ≤b ], obtendremos el área que hay bajo la curva en el
intervalo [a ,b ].
Las probabilidades de sucesos puntuales son cero: P [x=a ]=0.
Por tanto: P [a≤x ≤b ]=P [a<x<b ]
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Métodos Probabilísticos
1.1Cálculo De Probabilidades A Partir De La Función De Densidad
Para calcular probabilidades en distribuciones de probabilidad de variable continua, hay que
hallar las áreas bajo la curva que representa la función de densidad y = f(x). Si las
distribuciones son uniformes (rectángulos f(x) = k) P [a≤x ≤b ]=(b−a ) . K
K=alturadel rectangulo
1.2Función De Distribución
Se llama función de distribución de una variable aleatoria, t, a la función F(x) que describe los
valores que toma la probabilidad acumulada hasta la abscisa x: F ( x )=P [ t ≤ x ]. Es una función
continua creciente que cumple que limx→−∞
F (x )=0 y limx→−∞
F ( x )=1❑
Si la función de densidad sólo toma valores no nulos en el intervalo [a ,b ], entonces F ( x )
¿0 para x≤a y F ( x )=1 para x ≥b .
A. La Distribución Normal
La campana de Gauss o curva normal es una función de probabilidad continua, Simétrica, cuyo
máximo coincide pues con la media μ Para cada valor de μ (media) y cada valor de σ
(desviación típica) hay una curva normal, que se denomina N (μ , σ )
Si se cumples la siguiente condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de
Gauss:
f ( x )= 1σ √2π
e−12 ( x−μ
σ )2
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Métodos Probabilísticos
Una distribución normal se caracteriza por:
1) Los valores de las mediciones tienden a agruparse alrededor de un punto central, la
media.
2) La representación de los datos es simétrica a ambos lados de la media.
3) Las desviaciones estándares quedan situadas a igual distancia unas de otras.
4) La proporción de mediciones situada entre la media y las desviaciones es una constante
en la que:
La media ± 1 * desviación estándar = cubre el 68,3% de los casos
La media ± 2 * desviación estándar = cubre el 95,5% de los casos
La media ± 3 * desviación estándar = cubre el 99,7% de los casos
Podemos analizar el comportamiento de los procesos gráficos y determinar su efectividad
tomando como base su grado de aproximación a la curva de distribución normal a partir de los
datos generados y la creación de histogramas que permitan la comparación con curva de
distribución normal.
Posibilidades:
La curva de distribución normal del proceso coincide o está dentro de los límites
establecidos por la industria
(Bien en las normas de calidad desarrolladas o bien en las recomendaciones establecidas por
las asociaciones). En este caso el proceso opera con eficacia y se pueden realizar trabajos de
alta exigencia con respecto a la variable controlada.
La curva de distribución supera los límites establecidos por la industria.
En este caso puede que estén operando causas asignables de variación o que existen
limitaciones debidas a los recursos y equipos empleados por lo que no es posible realizar
trabajos exigentes con respecto a la variable controlada hasta que no se hayan eliminado las
causas especiales de variación o no se dispongan de los recursos y equipos adecuados.
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Métodos Probabilísticos
El histograma generado no muestra las características básicas de una distribución
normal.
En este caso están claramente actuando causas asignables de variación que habrá que
resolver si queremos conseguir un alto grado de fiabilidad del proceso y realizar trabajos de alta
exigencia.
La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha
desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia , la industria y
el comercio. Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya
forma es muy parecida a la distribución normal.
La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.
Propiedades de la distribución normal
La distribución normal tiene forma de campana.
La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media μ = 0 y
desviación estándar = 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.
La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros μ y σ , en
consecuencia hay un número infinito de distribuciones normales.
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Y
X
Métodos Probabilísticos
Existe una relación del porcentaje de población a la desviación
estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la
curva para ±1σ tiene un porcentaje de 68.26%, ±2σ = 95.46% y
±3σ=99 .73%
La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de la población.
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B. Distribución normal estándar
El valor de z
Determina el número de desviaciones estándar σ entre algún valor X y la media de la población
μ . Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.
Z= X̄−μσ
La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal con media 0 y desviación
estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar = 1
Z~N(0,1): La gráfica de densidad de probabilidad se muestra en la figura.
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1
0
Z
F(z)
z0 1 2 3-1-2-3
z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3
x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3
XX
La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal
Métodos Probabilísticos
La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar. En esta
tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.
Ejemplo 1: El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a
un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones
de la prueba se distribuyen normalmente con media μ= 485 y desviación estándar
σ= 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
Z= X−μσ =
500−48530
=0 .5
Buscamos el valor correspondiente Z en la tabla de distribución normal. Z0.5 = .69146 =
69.146%. Siendo esta la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 P (X<500). Dado
que el porcentaje pedido es P ¿) la solución es 1-.69146 =0.3085, 30.85% de los participantes
pasarán la prueba.
9
485
Z.05
30.85%
Métodos Probabilísticos
C. La Distribución Exponencial
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta.
Esta ley de distribución describe procesos en los que:
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el
tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra
en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no
ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley
que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o
cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un
paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos
de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos
consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que
transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de
densidad es
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , .
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Métodos Probabilísticos
Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,
luego la función de distribución es:
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Métodos Probabilísticos
Figura: Función de distribución, F, de
, calculada como el área que deja por debajo
de sí la función de densidad.
Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en
primer lugar la función característica
para después, derivando por primera vez
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Métodos Probabilísticos
y derivando por segunda vez,
Entonces la varianza vale
6.8.4.1 Ejemplo
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de . Sabiendo que la duración
media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya
desaparecido el de este material?
Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de distribución
exponencial:
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Métodos Probabilísticos
Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el
histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de
estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo
modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de
su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90% del material
radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir
Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de
materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por la función de densidad
exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.
Ejemplo 1:
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución
exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se
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Métodos Probabilísticos
le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el
marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad
de que haya que cambiarlo antes de 25% años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona.
Tenemos que
Entonces
En segundo lugar
Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,
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Métodos Probabilísticos
D. Distribución Uniforme
La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al
caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos
a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la
misma probabilidad. También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente
a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).
De la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el mismo valor
para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del intervalo). Es decir,
.
Gráficamente:
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Métodos Probabilísticos
La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad y viene dada por:
Gráficamente:
Propiedades del modelo Uniforme
1. Su esperanza vale (b + a)/2
2. Su varianza es (b − a)2/12
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Métodos Probabilísticos
Características de la distribución uniforme.
Función de distribución:
Media y Varianza
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Métodos Probabilísticos
Ejemplo 1: el precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede
oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45
ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.
Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto
del intervalo, viene definida por:
Donde:
b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)
a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)
Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:
Es decir, que el valor final esté entre 140 ptas. y 141 ptas. tiene un 5% de probabilidad, que
esté entre 141 y 142, otro 5%, etc.
El valor medio de esta distribución se calcula:
En el ejemplo:
Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el próximo año es de 150 ptas.
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Métodos Probabilísticos
E. Distribución Log-Normal
Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una
función normal:
X = N (µ,σ) Y = eX
Con este cambio de variable quedará:
Función de distribución: G(y) = P(Y≤y) = P(eX ≤y) = P(X≤log y) = F(log y)
Función de densidad : g(y) = G’(y) = F’(log y) * (1/y)
También es conocida como Ley de Galton-Mac. Aliester o ley del efecto proporcional, según
Calot (1988).
Los parámetros principales que la caracterizan son:
Parámetros
Soporte
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Métodos Probabilísticos
cdf
Media
Mediana eμ
Moda
Varianza
Asimetría
Curtose
Entropía
A continuación se muestran unos gráficos de la función de distribución y de la función de
densidad:
Función de densidad
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Métodos Probabilísticos
Función de distribución
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Métodos Probabilísticos
Conclusión
En esta forma las características más importantes de los datos se aproximan muy fácilmente,
compensando así el hecho de que cuando los datos se agrupan de ese modo, la información
inicial referente a las observaciones individuales de que antes se disponía se pierde a través del
proceso de agrupamiento o condensación.
La principal ventaja de usar una de estas tablas de resumen es que las principales
características de los datos se hacen evidentes inmediatamente para el lector.
La principal desventaja de tal tabla de resumen es que no podemos saber cómo se distribuyen
los valores individuales dentro de un intervalo de clase particular sin tener acceso a los datos
originales. El punto medio de la clase, sin embargo, es el valor usado para representar todos los
datos resumidos en un intervalo particular.
El punto medio de una clase (o marca de clase) es el punto a la mitad de los límites de cada
clase y es representativo de los datos de esa clase.
La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. La
probabilidad involucrada es una porción o fracción cuyo valor varía entre cero y uno
exclusivamente. Observamos un evento que no tiene posibilidad de ocurrir (es decir, el evento
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Métodos Probabilísticos
nulo), tiene una probabilidad de cero, mientras que un evento que seguramente ocurrirá (es
decir, el evento cierto), tiene una probabilidad de uno.
La regla mas evidente para las probabilidades es que deben variar en valor de 0 a 1. Un evento
imposible tiene una probabilidad cero de ocurrir, y un evento cierto tiene una probabilidad uno
de ocurrir. La probabilidad simple se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple.
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente
excluyente de todos los resultados posibles para esa variable aleatoria, tal que una probabilidad
particular de ocurrencia esté asociada con cada resultado.
Cuestionario
1) Distribuciones de Probabilidad para una Variable Continua
R/ Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las
distribuciones estadísticas de variable continua. Esta se obtiene empíricamente
(experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas.
2) Cuál es la fórmula para definir la distribución de probabilidad para una variable
continua?
R/ se definen por medio de una función y=f (x ) que se llama función de probabilidad o función
de densidad. ha de ser f ( x )≥0para todo x.
3) Que es una función de distribución
R/ Se llama función de distribución de una variable aleatoria, t, a la función F(x) que describe los
valores que toma la probabilidad acumulada hasta la abscisa x: F ( x )=P [ t ≤ x ].
4) Cuáles son las condiciones que debe cumplir la distribución normalSi se cumples la
siguiente condiciones:
R/
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
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Métodos Probabilísticos
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de
Gauss:
f ( x )= 1σ √2π
e−12 ( x−μ
σ )2
5) Que es y en qué consiste la distribución uniforme?
R/La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al
caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos
a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la
misma probabilidad.
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