LIEPĀJAS INTERNĀRPAMATSKOLA

5. – 9. KLASEI

Atbalsta materiāls- atgādnes

skolniekiem ar

psihiskās attīstības aizturi un mācīšanās grūtībām

Liepājas internātpamatskolā līdztekus vispārējai pamatizglītības programmai tiek realizēta

speciāla pamatizglītības programma izglītojamiem ar psihiskās attīstības aizturi (PAA) un

mācīšanās grūtībām, kuri integrēti vispārējās pamatizglītības iestādē (kods 21015611).

Tas nozīmē, ka, balstoties uz Pedagoģiski medicīniskās komisijas atzinumu, skolēnam,

kuram ir ieteikts turpināt izglītību pēc speciālas pamatizglītības programmas izglītojamiem ar

PAA un mācīšanās grūtībām, ir apgūstamas tās pašas Izglītības standartā noteiktās pamatprasmes,

kas vispārējo pamatizglītības programmu skolniekiem, tikai atbilstoši savām spējām un veselības

stāvoklim.

Katrs bērns, kuram ir konstatēta psihiskās attīstības aizture un mācīšanās grūtības ir ar savu

unikālu attīstības ainu, dinamiku un intensitāti. Izglītojot šādus bērnus, mācību process jāpadara

pēc iespējas individuālāks, lai skolnieks ne tikai apgūtu mācību programmā paredzētās zināšanas

un prasmes, bet arī saņemtu attīstības traucējuma maksimālu korekciju un izstrādātu tā

kompensācijas mehānismu un atbalsta stratēģiju.

Tā kā bērni ar PAA mācību darbībā ierobežoti var balstīties uz saviem izziņas procesiem

(sajūtām, uztveri, atmiņu, domāšanu), tad viens no darba virzieniem, strādājot ar šiem bērniem ir

iemācīt viņiem izmantot atbalsta materiālu- atgādnes un atbalsta stratēģijas, lai kompensētu

attīstības traucējumus un skolnieks sekmīgi varētu apgūt mācību vielu.

Atbalsta materiālu- atgādnes skolnieki var izmantot gan klases telpā, gan individuāli. Klasē

tās ir shēmas, tabulas, kas ir izliktas skolniekiem redzamā vietā. Taču, lai skolnieks varētu lietot

atbalsta materiālu ārpus klases telpas, tika izstrādāts tabulu un shēmu albums katram skolniekam

„Palīgs matemātikā 5. – 9. klasei” Tajā iekļauts pamatskolas klasēs apgūstamās mācību vielas

pamats matemātikā. Shēmas un tabulas tika veidotas tā, lai tās būtu viegli uztveramas,

izprotamas, ar uzdevumu risināšanas paraugu. Atgādnes tika ievietotas A5 formāta dokumentu

kabatiņās, kas sastiprinātas kopā. Tas ļauj saturu brīvi koriģēt un pielāgot katra skolēna

individuālajām vajadzībām.

Turklāt, jāņem vērā, ka ir nepieciešams laiks un darbs, lai skolnieki iemācītos izmantot

atbalsta materiālu. Jāteic, ka skolnieki atzinīgi novērtē šo palīgmateriālu, labprāt to lieto un

mācību procesā balstās uz to.

Izstrādājot atbalsta materiālus tiek ņemts vērā:

katra skolnieka individuālās vajadzības;

apgūstamās mācību vielas apjoms un sarežģītības pakāpe;

atbalsta materiāla pieejamība;

atbalsta materiāla atbilstība skolnieka uztveres spējām, uzskatāmība;

atbalsta materiāla papildināšanas iespējamība.

NEZINĀMĀ APRĒĶINĀŠANA

X + 3 = 5 2 + X = 5 5 – X = 3 X – 3 = 2

X = 5 – 3 X = 5 – 2 X = 5 – 3 X = 2 + 3

X = 2 X = 3 X = 2 X = 5

X . 3 = 6 2 . X = 6 6 : X = 3 X : 3 = 2

X = 6 : 3 X = 6 : 2 X = 6 : 3 X = 2 . 3

X = 2 X = 3 X = 2 X = 6

MATEMĀTISKĀS IZTEIKSMES

Saskaitīšana Atņemšana

4 + 3 = 7 4 – 3 = 1

saskaitāmie summa mazināmais mazinātājs starpība

Reizināšana Dalīšana

4 . 3 = 12 12 : 3 = 4

reizinātāji reizinājums dalāmais dalījums

dalītājs

DARBĪBAS RAKSTOS

Saskaitīšana Atņemšana

2 4 3 6 1 1 1 5 9 7 6 3 8 . . . . . .

+ 1 2 3 5 3 2 7 6 - 7 5 4 0 2 6 3 0 1 0 3 2

2 5 5 9 + 7 4 9 5 2 2 2 3 6 - 5 4 3 3 4 7 8

5 4 0 2 5 8 6 7 5 5 4

Reizināšana

+1 +2 +2

2 3 7 +2

. 4 3 1 4

9 4 8 . +1 +1 7 6

reizina ar 6 1 8 8 4

reizina ar 7 + 2 1 9 8 !!!

saskaita 2 3 8 6 4

Dalīšana

(7 : 3) 7 4 7 : 3 = 2 4 9 .

(2. 3) - 6 (52 : 15) 5 2 3 4 : 15 = 3 4 8, A 14

1 4 (14 : 3) (3 . 15) - 4 5

(4 . 3) - 1 2 7 3 (73 : 15)

2 7 (27 : 3) (4 . 15) - 6 0

(9. 3) - 2 7 1 3 4 (134 : 15 )

0 ( 8 . 15) - 1 2 0

1 4

Reizināšana un dalīšana ar veseliem desmitiem

6 4 5 . 1 0 = 6 4 5 0 2 3 . 2 0 = 2 3 . 2 . 10 = 42 . 10 = 420

6 4 5 .1 0 0 = 6 4 5 0 0 12 . 200 = 12.2 .100 = 24 .100 = 2400

3 5 9 2 0 : 1 0 = 3 5 9 2 3 5 9 2 7 : 10 = 3 5 9 2, A 7

3 5 9 0 0 : 1 0 0 = 3 5 9 3 5 9 2 7 : 1 0 0 = 3 5 9 , A 2 7

2 5 2 1 2

. 3 0 7 5 6 3 6 0

MĒRVIENĪBAS

lai izteiktu no lielāka . mazāku no mazāka : lielāku

DALĀMĪBAS PAZĪMES

Ar 10 dalās, ja pēdējais cipars ir 0 146860 : 10 = 14686_

Ar 100 dalās, ja pēdējie cipari ir 00 1468600 : 100 = 14686_ _

Ar 1000 dalās, ja pēdējie cipari ir 000 14686000 : 1000 = 14686_ _ _

Ar 2 dalās, ja pēdējais cipars dalās ar 2 vai ir 0 138 : 2 ,jo 8 : 2= 4

Ar 5 dalās, ja pēdējais cipars dalās ar 5 vai ir 0 375: 5 , jo 5: 5=1 870 : 5 , jo 10 : 5

Ar 9 dalās, ja ciparu summa dalās ar 9 (saskaita visus ciparus)

765 7+ 6 + 5 = 18 18 : 2 765 : 9

Ar 3 dalās, ja ciparu summa dalās ar 3 (saskaita visus ciparus)

2094 2 + 0 + 9 + 4= 15 15 : 3 2094 : 3

garums:

mm – milimetrs cm – centimetrs

dm – decimetrs m – metrs

km - kilometrs

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

1cm = 10 mm

1 dm = 10 cm = 100 mm

1 km = 1000 m

masa:

g – grams kg – kilograms

c – centners t – tonna

1 kg = 1000 g

1t = 10 c = 1000 kg

1 c = 100 kg

tilpums: ( „kubā3”)

l – litrs

hl – hektolitrs m3- kubikmetrs

1 hl = 100 l 1 l ūdens = 1 kg ūdens

1 l = 1 dm3

= 1000cm3

1m3

= 1000 000 cm3

laukums: („kvadrātā2” )

ha – hektārs a – ārs

m2 – kvadrātmetrs

dm2

– kvadrātdecimetrs

1 ha = 100a = 10 000 m2

1a = 100m2

1dm2

= 100 cm2

laiks:

g. – gads d. – diena

mēn. – mēnesis ned. – nedēļa

h. – stunda min.- minūte s - sekunde

1g. = 12. mēn. = 365 (366) d.

1 mēn. = 31 d. (30d. – ap. jun. se. no.) = 4 ned.

1 ned. = 7. d.

1d. = 24 h 1h = 60 min. 1 min. = 60 s 0,5 h = 30

min.

ātrums:

km/h – cik kilometrus nobrauc

1 stundā

60 km/h = 1 km/min. 6 km/h = 100 m/min.

attālums (s )= ātrums(v) . laiks (t) s = v . t

laiks = attālums : ātrums t = s : v

ātrums = attālums : laiks v = s : t

ROMIEŠU SKAITĻI

I II III IV V VI VII VIII IX X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

XL L LX XC C CX CD D DC CM M

40 50 60 90 100 110 400 500 600 900 1000 12 = XII 10+2 124 = CXXIV 100+20+4 1039= MXXXIX 1000+30+9

15 = XV 10+5 429 = CDXXIX 400+20+9

19= XIX 10 +9 998 = IIM 1000-1-1

DAUDZCIPARU SKAITĻI

MILJARDU

klase

MILJONU

klase

TŪKSTOŠU

klase

VIENU

klase

SIM

T

MIL

JA

RD

I

DE

SM

IT

MIL

JA

RD

I

MIL

JA

RD

I

SIM

T

MIL

JO

NI

DE

SM

IT

MIL

JO

NI

MIL

JO

NI

SIM

T

TŪ

KS

TO

ŠI

DE

SM

IT

TŪ

KS

TO

ŠI

TŪ

KS

TO

ŠI

SIM

TI

DE

SM

ITI

VIE

NI

2 3 8 4 6 3 2 8 1 5 9 1

1 0 0 2 7 5 4 0 0 0 3

* Aiz miljardu klases seko: triljoni, kvadriljoni, kvintiljoni, sekstiljoni …

238 465 281 591 - 238miljardi 465 miljoni 281 tūkstotis 591

NOAPAĻOŠANA veselie daļas

3 4 7 , 2 5 8 simti desmiti vieni 10 daļa (0,1) 100 daļa (0,01) 1000 daļa (0,001)

1. Pieliec pirkstu pie šķiras, kas minēta uzdevumā!

2. Pasvītro iepriekšējo ciparu dod vai nedod ! dod ja ir 5 vai lielāks!

3. Pasvītrotais un visi aiz tā pārvēršas par nullēm! piemērs: Noapaļot 457, 836 līdz veseliem 4 5 7, 8 3 6 ~ 4 5 8 , 0 0 0

līdz vieniem 4 5 7, 8 3 6 ~ 4 5 8 , 0 0 0

līdz desmitdaļām 4 5 7, 8 3 6 ~ 4 5 7 , 8 00

līdz tūkstošiem 4 5 7, 8 3 6 ~ 0 0 0 , 0 0 0

LIELĀKAIS KOPĪGAIS DALĪTAJS L vislielākais skaitlis, ar kuru dalās dotie skaitļi

skaitlis Skaitļa dalītāji Kopīgie dalītāji Lielākais kopīgais dalītājs

8 1, 2, 4, 8 1, 2, 4 L(8; 12) = 4

12 1, 2, 3, 4, 6, 12

* Skaitļi, kuru kopīgais dalītājs ir 1, ir savstarpēji pirmsskaitļi

MAZĀKAIS KOPĪGAIS DALĀMAIS M

vismazākais skaitlis, kurš dalās ar dotiem skaitļiem

skaitlis Skaitļa dalāmie Kopīgie dalāmie Mazākais kopīgais

dalāmais

4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36.. 12, 24, 36 …. M (4; 6) = 12

6 6, 12, 18, 24, 30, 36, ….

*Savstarpēju pirmsskaitļu mazākais kop. dalāmais ir šo skaitļu reizinājums

piem.: L (8 ; 15) = 1, tāpēc M (8; 15) = 8 . 15 = 120

PIRMSSKAITĻI dalās tikai ar 1 un paši ar sevi piem: 2, 3, 5, 7, 11, 23…

SALIKTI SKAITĻI dalās ar 1 , paši ar sevi un vēl citu skaitli piem.: 4, 18 … 18:1 = 18 18 : 18 = 1 18 : 2 = 6

SAVSTARPĒJI PIRMSSKAITĻI – skaitļi, kuru kopīgais dalītājs ir 1 piemēram 3 un 5

SKAITĻA PIRMREIZINĀTĀJI pirmsskaitļi, kurus sareizinot dabū doto skaitli

PARASTĀS DAĻAS 1 skaitītājs

2 saucējs

īsta daļa 4

3 neīsta daļa

2

5 jaukts skaitlis

4

15

izslēdz veselos !

Daļu saīsināšana Daļu paplašināšana

4

1

8

2

9

6

3

2

Jaukta skaitļa izteikšana neīstā daļā skaitlis . saucējs + skaitītājs

Čūska 4

11

4

32 4 . 2 + 3 = 11

Veselo izslēgšana 3

12

3

7 7 : 3 = 2 , atl. 1

Daļu salīdzināšana

8

5 >

8

3

10

7<

10

9

4

1 >

5

1

8

3 <

5

3 7% > 3% 1% <

36

1 2% >

2000

2

Darbības ar daļām

1. saskaitīšana atņemšana

! saucējiem (apakšām) jābūt vienādiem

.5 .3

13

3

3

1

3

2

15

13

15

3

15

10

5

1

3

2

4

1

8

2

8

3

8

5

5

21

5

7

5

4

5

11

5

4

5

12

4

14

4

3

4

44

4

35

2. reizināšana uz vienas svītras

24

15

64

53

6

5

4

3

11

1

11

4

44

14

411

1

4

4

114

4

32

3. dalīšana dalītāju (otro sk.) griež otrādi

2

1

4

2

65

103

10

6:

5

3

DECIMĀLDAĻAS + zīme ir nauda tavā kabatā

-- zīme ir parāds

1. saskaitīšana komats zem komata! (2 +3) – (4+ 1) = 2+3 – 4 - 1=0 -- zīme ( ) priekšā!!

42, 3 35, 20

+1, 2 + 2, 45

43, 5 37, 65

2. atņemšana komats zem komata

! ! ! Skaties uz zīmi pirms skaitļa

- 0, 2 – 0,1 = - 0,3 - 2, 5 + 2, 3 = - 2, 2 6, 27

- 0, 4 0

5, 8 7

3. reizināšana – rezultātā aiz komata tik cipari, cik

cipari abiem skaitļiem kopā aiz komata 2, 1 2 4

. 3, 2

4 2 4 8

6 3 7 2_!__

6, 7 9 6 8

4. dalīšana - jāpārceļ komats! dalītājā (2. skaitlī) nedrīkst būt komats

67, 5 : 0,003 = 67500 : 3 = 22500

6

7

6

15

15

00

5. reizināšana un dalīšana ar veseliem desmitiem - pārceļ komatu

1, 458 . 10 = 14, 48 145,8 : 10 = 14, 58

1, 458 . 100 = 145,8 145, 8 : 100 = 1, 458

1, 458 . 1000 = 1458,0 145, 8 : 1000 = 0,1458

komatu pārceļ par tik vietām, cik pie 1 ir nulles 1,45 . 20 = 1,45 . 2 . 10 =2,90 . 10 =29

Saskaitīšana atņemšana

+ - no lielākā sk. atņem mazāko,

- + zīme kā lielākam

+0,2 – 0,7 = - 0,5

- 0,2 + 0, 7 = + 0,5

+ + saskaita, liek kopējo zīmi

- - +0,2 + 0, 7 = + 0,9

- 0, 2 – 0,7 = - 0, 9

reizināšana dalīšana

- . - = +

+ . + = +

+ . - = -

PARASTĀS UN DECIMĀLDAĻAS KOPĀ

jāpārveido uz 1 veida daļām

PROCENTI %

Cik procenti, tik simtdaļa %1100

1 56 % =

100

56

100%

3 TIPU UZDEVUMI PAR DAĻĀM UN %

Aprēķini

daļas vai %

vērtību no

skaitļa

161

16

15

402

1

40

5

240

5

2

no

30% no 100 = 301

100

100

30

no = .

Aprēķini

visu skaitli

(x), ja dota

tā daļa vai %

Piem.: Aprēķini skaitli, kura 5

2 ir 10

5

2no x = 10 25

1

25

21

510

5

2:

1

10

x

5

2 jeb 10 = 25

1

25

21

510

5

2:

1

10

13% no x = 39 0,13 . x = 39

jeb x = 39 : 0,13

x = 2300

Izsaki vienu

skaitli kā

otra skaitļa

daļu vai %

3 pret 9 = 3

1

9

3 Ja ir attiecība , tad ievieš x

Cik % ir 6 pret 25? Piem: blakusleņķu attiecība ir 3: 6

25

6=

100

2424 % Cik liels katrs leņķis?

3x + 6x = 180

9x = 180 /:9

x= 20

x . 3 = 20 . 3 = 60

x . 6 = 20 . 6 = 120

parastā daļa 10

1 decimāldaļa 0,1

apakšā jābūt 10 100 1000 utt

10

4

5

20,4

100

75

4

30, 75

cik vieniniekam nulles, tik cipari aiz komata

decimāldaļa 0,2 parastā daļa 10

2

5

1

10

22,0

100

505,0 =

20

1

4

12

100

25225,2

cik cipari aiz komata, tik vieniniekam nulles

SALĪDZINĀŠANA

Lielāks tas skaitlis, kurš tuvāk bultiņai uz koordinātu ass.

-128 -100 -25 -2 0 1 5 87

-128 < -100 -2 < 1 -2 < 0 -2 < 87

Savstarpēji apgriezti skaitļi 5

3 un

3

5

6

1 un 6 0,4 =

10

4 un

2

12

4

22

4

10

Savstarpēji pretēji skaitļi – skaitļi, kas atšķiras tikai ar zīmēm 6 un – 6 ; 0,125 un – 0,125

MODULIS Modulis ir attālums no 0 līdz dotajam punktam

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

33 33 ja 4x tad x = 4 un x = - 4

Modulis vienmēr ir pozitīvs!!!

PROPORCIJA d

c

b

a a:b = c:d

x

6

2

4 32pret

3

2

34

12

4

26

x

MĒROGS

Dots mērogs 1 : 15000 1cm kartē : 15000 cm dabā, jeb 150 m ( 1m= 100cm)

piemērs: Dots mērogs 1: 120 Dabā 18m. Cik cm būs kartē?

1cm kartē - 120 cm dabā

X cm kartē - 18m = 1800cm dabā

15120

1800

120

18001

X cm

SEKTORI

Viss kopā 100% Viss kopā 3600

10% 20

0 30

0

700

40% 30%

2400

20%

KOORDINĀTU PLAKNE

x y

A ( 2; 3 )

1. Ejam pa x asi līdz mājām

2. Kāpjam uz stāvu pa y asi

LINEĀRIE VIENĀDOJUMI

1. Nezināmie kreisā pusē, zināmie – labā pusē! Vienmēr !!! kreisā puse labā puse

2x + 12 = x + 39 pārnesot jāmaina zīme

2x – x = 39 - 12 savelk līdzīgos locekļus

x = 27

2 Ja x priekšā --- zīme, maina zīmes „= „ zīmei abās pusēs !!

- 4k = - 16 + 4

+ 4k = + 16 – 4

4k = 12 /:4

k = 3

3. Ja visiem locekļiem ir vienādi saucēji, tos atmet

6

9

6

3

6

2

x 6

3

2

y vienādo saucējus

2x + 3 =9 3

18

3

2

y

2x = 9 – 3 2y = 18 / :2

2x = 6 /:2 y = 9

x = 3

5. Ja iekavas priekšā -- zīme, atverot iekavas, zīmi maina uz pretējo!

3(2x – 1) -5 = - (4x – 8) + 8x ar koeficentu reizina katru iekavas locekli

6x – 3 – 5 = - 4x + 8 + 8x

6x + 4x – 8x = 8 + 3 + 5 pārnesot maina zīmi

2x = 16 /:2

x = 8

1. Nezināmie kreisā pusē, zināmie – labā pusē! Vienmēr !!! VIENĀDOJUM kreisā puse labā puse

2x + 12 = x + 39 pārnesot jāmaina zīme

2x – x = 39 - 12 savelk līdzīgos locekļus

x = 27

2 Ja x priekšā --- zīme, maina zīmes „= „ zīmei abās pusēs !! - 4k = - 16 + 4

+ 4k = + 16 – 4

4k = 12 /:4

k = 3

3. Ja visiem locekļiem ir vienādi saucēji, tos atmet

6

9

6

3

6

2

x 6

3

2

y vienādo saucējus

2x + 3 =9 3

18

3

2

y

2x = 9 – 3 2y = 18 / :2

2x = 6 /:2 y = 9

x = 3

5. Ja iekavas priekšā -- zīme, atverot iekavas, zīmi maina uz pretējo!

3(2x – 1) -5 = - (4x – 8) + 8x ar koeficentu reizina katru iekavas locekli

6x – 3 – 5 = - 4x + 8 + 8x

6x + 4x – 8x = 8 + 3 + 5 pārnesot maina zīmi

2x = 16 /:2

x = 8

LINEĀRAS NEVIENĀDĪBAS

Risina līdzīgi kā lineāras vienādības

2x + 5 > 15 8 – 3x 20

2x >15 – 5 - 3x 20 – 8

2x > 10 - 3x 12

x >10 : 2 - x 12 : 3

x > 5 - x 4 ja pirms x ir - zīme, maina

x - 4 visiem zīmes un „knābis” uz otru pusi

5 -4

x (5; + ) x ( - ; -4; ]

DARBĪBAS AR POLINOMIEM

1. Līdzīgu locekļu savilkšana

- a4x + a

2 x – 7 + 8a

4x + 3ax

2 – a

2 x +2 = 7 a

4x + 3ax

2 - 5

2. Atbrīvošanās no iekavām

Ja iekavas priekšā – zīme, iekavas atverot zīmes mainās uz pretējo!!!

a + (c – 3) – ( - d + 2) = a + c – 3 + d - 2

3. Saskaitīšana un atņemšana

1. atver iekavas (x2 – 3x) + (2x

2 + 7x) = x

2 – 3x + 2x

2 + 7x = 3x

2 + 4x

2. savelk līdzīgos locekļus

4. Reizināšana ar monomu

m. ( a + b – c) = ma + mb – mc a ( 3a2 – 5) = a . 3a

2 – a . 5 = 3a

3 – 5a

5. Dalīšana ar monomu

( a + b – c) : m = a : m + b : m – c : m

(15y6 – 3y

4) : ( - 3y

4) = 15y

6 : ( - 3y

4) – 3y

4 : ( - 3y

4) = - 3y

6 - 4 + 1 = - 3y

2 +1

6. Polinomu reizināšana ar polinomu

(a + b) . (m + n) = am + an + bm + bn (a + 4)(a +2) = a2 + 2a + 4a + 8 = a

2 + 6a + 8

POLINOMU SADALĪŠANA REIZINĀTĀJOS

1. Iznes kopīgo reizinātāju

1. Atrod un iznes pirms ( ) skaitli, ar kuru dalās dotie koeficienti ( skaitļi)

2. Iznes kopīgos burtus ar mazāko kāpinātāju

3. ( ) atstāj katra locekļa dalījumu ar iznesto reizinātāju ( to kas paliek pāri) :3 :3 :2b :2b

3x – 3y = 3(x – y) 6ab – 4b3 = 2b(3a – 2b

2) - a

2b + a

2b

2 = a

2b( - 1 + b)

a(x – y) + b(x –y) = (x – y)(a +b) kopīga ir iekava

x(a – b) + y(b – a) = - x(b - a) +y (b - a) = (b - a)(- x + y) = (b – a)(y – x)

maina zīmes uz pretējo

x(a – b) + y(b – a) = x(a – b) – y (a – b) = (a – b)(x – y)

2. Grupēšanas paņēmiens

4a – 4b + ax – bx = (4a – 4b ) + (ax – bx) = 4(a- b) + x( a – b) = (a – b)( 4 + x) sagrupē līdzīgos iznes kopīgo iznes kopīgo

3. Reizināšanas formulu izmantošana

SAĪSINĀTĀS REIZINĀŠANAS FORMULAS

(a + b)2 = a

2 +2 . a . b + b

2

(a + 3b)2 = a

2 +2.a . 3b + 3

2 b

2 = a

2 + 6ab + 9b

2

(a - b)2 = a

2 – 2. a .b + b

2

( 4a – 5)2 = (4a)

2 – 2.4a . 5 +5

2 = 16a

2 - 40a + 25

a2 – b

2 = (a – b) . (a + b)

m2 – n

2 = ( m – n). (m + n)

16 – 25k2 = 4

2- (5k)

2 = (4 – 5k)(4 + 5k)

ALGEBRISKĀS DAĻAS 7

2

a

a

1. Algebriska daļa nav definēta ar tām mainīgā vērtībām, ar kurām saucējs = 0

7

232

x

xx

zz

a

8

122

x + 7 0 z2 - 8z 0 sadala reizinātājos

x -7 z (z - 8) 0 katrs reizinātājs nedrīkst būt 0

z 0 un z - 8 0

2. Var aprēķināt alg. daļas vērtību, ja zina mainīgā vērtību

2

12

2

xx

x , ja x = 3 x vietā liek 3 un izrēķina 1

8

8

239

19

233

132

2

3. Algebriskās daļas saīsināšana

skaitītāju un saucēju (augšu un apakšu) dala ar 1 izteiksmi

y

x

y

x

3

2

12

8

223

3

a

b

bbaaa

bbba

ba

ab

232 3

1

18

6

18

6

xyyyyxx

xy

yx

xy

)(5

3

))((5

)(3

)(5

)(32 bababax

bax

bax

bax

Sadala reizinātājos, kopīgo iznesot pirms ( )

yx

yx

yx

yx

6

)6(3

6

318 = 3

2

1

8

4

)(8

)(4

88

44

yx

yx

yx

yx

* Sadala reizinātājos, izmantojot formulas

a2 – b

2 = (a – b)(a + b)

7

)7(

77

7

7

7

49 222

a

a

aa

a

a

a

a

a2 – 2. a .b + b

2= (a - b)

2

3

1

33

3

3

3

96

322

xxx

x

x

x

xx

x

a2 +2 . a . b + b

2 = (a + b)

2

yxyxyx

yx

yx

yx

yxyx

yx

1

))(()(2 222

* Pirms saīsināšanas maina zīmes. Zīmes maina 2 vietās !!!

1

ba

ba

ab

ba

yxyx

yx

yxyx

xy

yxyx

DARBĪBAS AR ALGEBRISKĀM DAĻĀM

Daļu saskaitīšana un atņemšana

saucējiem (apakšām) jābūt vienādiem!!!

Ja saucēji vienādi

4

14

4

13

4

1

4

3

xxxxx

2

32

4

)32(2

4

64

4

714

4

7

4

14

xxxxx

Sadala reizinātājos kopīgo iznesot pirms ( )

7

13

7

14

7

14

7

1

7

4

xxxxxxx

Ja saucēji dažādi . 3a .6a

a

y

a

ay

a

ayay

aa

yaya

a

y

a

y

6

5

18

15

18

69

36

633

36

322

Ja saucējā ir pretēja izteiksme

yxyxyxx

yxx

yxyxx

xyx

yxyxx

xyxxyx

yxyxx

yxxyxx

yxyxx

x

xyyxx

x

7

))((

)(7

))((

77

))((

5522

)()(

)(5)(25

)(

25

)(

2 222

Daļu reizināšana tāpat kā parastās daļas

2

322

5

12

5

43

5

43

y

x

yy

xx

y

x

y

x

Daļu dalīšana dalītāju (otro sk. griež otrādi)

23

2

2

3

3

2

95

103

10

9:

5

3

a

b

ab

ba

b

a

b

a

Sadala reizinātājos

3

2

4

2

4

2

4

23

54)1(69

)1()1(6:

9

)1(66:

9 y

x

xy

yxx

y

x

y

xx

y

x

y

xx

KĀPINĀŠANA

a 4 = a . a . a . a

x7 . x2

= x7+2

= x9

23

. 24 = 2

3+4 = 2

7 8

2m . 8

3 = 8

2m+3

x6 : x

2 = x

6 _ 2 = x

4 (-3)9

: (-3)4 = (-3)

9- 4 = (-3)

5

x0 =1 2

10 : 2

10 = 2

10 - 10 = 2

0 = 1

(x2)

3 = x

2 . 3 = x

6 (-57)2 = (-5)

7. 2 = (-5)

14 (-3x

2)3 = (-3)

3 . x

2 . 3 = -27x

6

x - 3

= 3

1

X 2

- 8 =

82

1

2

22

b

a

b

a

4 2

42 16 16

x3

= (x3)2 = x

3 . 2 = x

6

( - 2) 3 = - 8 kāpinātājs nepāra skaitlis ( - 2)

4 = + 16 kāpinātājs pāra skaitlis

KVADRĀTSAKNE

36 aa , kāpinātāju : 2

aa 2

8133 48 - 2555 24

332

baab 1243169169

b

a

b

a

4

3

16

9

16

9

Skaitļa iznešana pirms saknes

323412

xxxx 72747428

Skaitļa ienešana zem saknes

753253535 2

3

4

9

343

9

43

3

23

3

22

Atbrīvošanās no saknes ( iracionalitātes )saucējā

2

23

4

23

22

23

2

3

)25(31

)25(3

45

)25(3

2)5(

)25(3

)25)(25(

)25(3

25

322

pēc formulas

VISPĀRĪGAIS KVADRĀTVIENĀDOJUMS

ax2 + bx + c = 0

a , b, c - skaitļi

1. Nosaki koeficentus a = , b = , c =

2. Izrēķini diskriminantu D = b2 – 4 . a . c

Ja D > 0 būs 2 dažādas saknes

D = 0 būs 1 sakne

D < 0 saknes nebūs

3. Rēķini saknes pēc formulām:

X1= a

Db

2 X2=

a

Db

2

x2 – 6x + 8 = 0

a = 1, b = - 6, c = 8

D = b2 – 4 . a . c = ( -6)

2 – 4 . 1 . 8 = 36 – 32 = 4

X1 = a

Db

2 = 2

2

4

2

26

12

4)6(

X2 = a

Db

2= 4

2

8

2

26

12

4)6(

Vjeta teorēma x2

– 5x + 6 = 0

a = 1 b = - 5 c = 6

X1 . X2 = c X1 . X2 = 6 x1 = 2 pārbauda: 2 . 3 = 6

X1 + X2 = b ar pretējo zīmi X1 + X2 = 5 x2 = 3 2 + 3 = 5

Ja jānosaka, ar kādām mainīgā vērtībām vienādojumam ir

a) 2 saknes tad izrēķina D ( diskriminantu) D > 0 būs 2 dažādas saknes

b) 1 sakne D = 0 būs 1 sakne

c) nav saknes, D < 0 nav saknes

rēķina kā nevienādību

Piemērs:

Ar kādām vērtībām vienādojumam nav saknes? ( tātad D < 0)

x2 + 3x – m = 0

a = 1 b = 3 c = -m

D = b2 – 4ac = 3

2 – 4. 1 . (-m) = 9 + 4m 9 + 4m < 0

4m < - 9

m < 4

9 = - 2

4

1 - 2

4

1

m

m( - ; - 2 4

1)

FUNKCIJAS

LINEĀRAS FUNKCIJAS y = kx + m grafiks būs taisne

y = funkcija x= arguments k = jebkurš skaitlis ( koeficents) m = jebkurš skaitlis nosaka taisnes virzienu

1. Sastāda tabulu, izvēlas x vērtības un izrēķina y

y = - 2x + 3

x 0 2 4

y 3 - 1 -5 rēķina -2 . 0 +3=3 -2 . 2+3= -1 -2 . 4+3= -5

Zīmē koordinātu plakni, atliek iegūtos punktus un

savieno.

2. No grafika nosaki y, ja x = 4 atrod uz x ass 4 un nolasa cik ir y ( y= -5)

x, ja y = -7 atrod uz y ass -7 un nolasa cik ir x ( x = 5)

3. Nekonstruējot grafiku, noteikt grafika krustpunktus ar x asi.

taisne krusto x asi tad, ja y = 0 . Tad dotajā formulā y vietā liek 0 un izrēķina:

y = - 2x + 3

0 = -2x + 3

2x = 3 – 0

2x = 3 / : 2

x = 1,5 tātad grafiks krusto x asi punktā (1,5; 0)

Nekonstruējot grafiku, noteikt grafika krustpunktus ar y asi.

taisne krusto y asi tad, ja x = 0. Tad dotajā formulā x vietā liek 0 un izrēķina

y = - 2x + 3

y = - 2 . 0 + 3

y = 0 + 3

y = 3 tātad grafiks krusto y asi punktā (0 ; 3)

3. Dota funkcija, jānosaka vai dotais punkts pieder funkcijai.

Piem.: y = 1,4x +3 M (5; 10)

x y

punkta koordinātas ievieto formulā un izrēķina

x = 5 y = 10 y = 1,4x +3

10 = 1,4 . 5 +3

10 = 7+3

10 = 10 tātad punkts M (5; 10) pieder funkcijai

4. Nekonstruējot grafiku, jānosaka punkta koordinātas

punkta zināmo koordinātu ievieto formulā un izrēķina

Piem.: y = - 4,5x + 10 A(2; *) B( *; 28)

x y x y

x = 2 y = - 4,5 . 2 + 10 y= 28 28 = - 4,5x + 10

y = -9 +10 4,5x = - 28 - 10

y = 1 tātad A(2; 1) 4,5x =- 18

x =- 18 : 4,5

x = - 4 tātad B(- 4; 28)

SKAITĻU IEDALĪJUMS

Naturālie skaitļi N- 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; ……….

Veselie skaitļi -Z- …-100; ……..-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;…60; ….999; ….

Racionālie skaitļi -Q- ….-100,….-49,21;….4

3 ;…

2

1 ;… 0;….

6

5; 1….46,128;…

Iracionālie skaitļi 17 ; 5

Reālie skaitļi visi skaitļi