TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I

TRANSFORMASI GEOMETRI

OLEH:

1. RATMI QORI (06081181320002)

2. FAUZIAH (06081181320015)

3. NYAYU ASTUTI (06081281320018)

4. ISKA WULANDARI (06081281320038)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAR SRIWIJAYA

2014

Penjumlahan & Pengurangan Matriks Perkalian Matriks

TRANSFORMASI

Translasi (Pergeseran)

T=(a,b)

Pengertian

Refleksi (Pencerminan)

Terhadap sumbu x atau

sumbu y

Terhadap titik (0,0)

Terhadap garis y=x atau y=-x

Terhadap garis y=mx+c

Pengertian

Rotasi (Perputaran)

Sejauh dengan pusat

(a,b)

Sejauh dengan pusat

(0,0)

Pengertian

Dilatasi (Peskalaan/Perkali

an)

Dengan pusat (a,b) dan faktor

skala k

Dengan pusat (0,0) dan faktor

skala k

Pengertian

PENGERTIAN

Determinan Matriks Invers Matriks

PETA KONSEP

PETA KONSEP

- Garis- Pers.kuadrarat- Trigonometri

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke

himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang

dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)

Refleksi (Pencerminan)

Rotasi (Perputaran)

Dilatasi (Penskalaan)

1.TRANSLASI / PERGESERAN

Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang

garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

a.Tranlasi oleh titik :

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

P ’(x+a , y+b)P(x , y)

Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’).

Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) :

T=(ab)

Ataudalambentukmatriks

( x '

y ' )=( xy)+(ab)=( x+ay+b

)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

b.Tranlasi pada garis

CONTOH SOAL (translasi oleh titik):

Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan oleh titik (3,6)

Jawab :

T=(36)

A(2,4) A’ (2+3,4+6)

jadi ,

A ’=(5,10)

Dari gambar disamping merupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b)

Sama halnya dengan translasi pada titik,

x ’=x+aatau x=x ’−a

y ’= y+b atau y= y ’−b

untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x’ dan y’ ke persamaan garis tersebut, didapat:

y ’−b=m(x ’−a)+c

CONTOH SOAL (tranlasi pada garis)

Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh titik (3,2)

Jawab :

x ’=x+3atau x=x ’−3

y ’= y atau y= y−2

Jadi, bayangannya adalah y ’−2=2 ( x ’−3 )+3 y=2x−1

2.REFLEKSI / PENCERMINAN

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan.

Refleksi terhadap sumbu x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka :

x ’=x

y ’=− y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=1. x+0. y

y ’=0.x+(−1). y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(1 00 −1)( xy)

Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap garis y = x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka :

x ’=−x

y ’= y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=(−1). x+0. y

y ’=0.x+1. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(−1 00 1)( xy)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka :

OA=OBatau x ’= y

AP’=BPatau y ’=x

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=0.x+1. y

y ’=1.x+0. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(0 11 0)( xy )

Refleksi terhadap garis y = -x

Refleksi terhadap (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka

AP’=BPatau−x ’= y atau x ’=− y

OA=OBatau− y ’=x atau y ’=−x

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=0.x+(−1) . y

y ’=(−1) . x+0. y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=( 0 −1−1 0 )( xy)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka:

OA=BPatau−x ’=x atau x ’=−x

AP’=OBatau – y ’= yatau y ’=− y

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=(−1). x+0. y

y ’=0.x+(−1). y

atau dalambentukmatriks :

( x 'y ')=(−1 00 −1)( xy)

Refleksi terhadap garis x = h

Refleksi terhadap garis y = k

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis x = h maka:

Untuk sumbu x :

OA= xdanOB=h

AB=h – x

BC=AB=h– x

OC=OB+BC

x’=h+h – x

x ’=2h – x

Untuk sumbu y:

CP’=AP

y ’= y

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka:

Untuk sumbu x:

CP’=AP

x’=x

Untuk sumbu y:

OA= y danOB=k

AB=OB–OA=k – y

BC=AB=k – y

OC=OB+BC

y ’=k+k – y

CONTOH SOAL

Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7, maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan

koordinat….

Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(a ' , b ' ¿

(a'b ')=(−1 00 1)(158 )+(2(7)0 )

¿(−158 )+(140 ) ¿(−18 )

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’(−1,8¿

Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7 adalah A’(−1,8¿

b.Refleksi pada garis

sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax+By+c=0direfleksikan terhadap :

a. s umbu x

Dengan :x ’=x dan y ’=− y

bayangannya adalah : A(x )+B (− y )+c=0

b.sumbu y

Dengan :x ’=−x dan y ’= y

bayangannya adalah : A(−x)+B( y )+c=0

c. garis y=x

Dengan :x ’= ydan y ’=x

bayangannya adalah : A( y)+B(x )+c=0

d. garis y=−x

Dengan :x ’=− ydan y ’=−x

bayangannya adalah : A(− y)+B(−x )+c=0

e.t itik (0,0)

Dengan :x ’=−x dan y ’=− y

bayangannya adalah : A(−x)+B(− y )+c=0

f.garis x=h

Dengan :x ’=2h – x dan y ’= y

bayangannya adalah : A(2h – x)+B( y )+c=0

g. garis y=k

Dengan :x ’=x dan y ’=2k – y

bayangannya adalah : A(x )+B (2k – y )+c=0

3.ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu

Rotasi dengan pusat (0,0)

x ’=x cos− y sin

y ’=x sin+ ycos

dalambentuk matriks :

( x 'y ')=(cosθ −sinθsin θ cosθ )( xy)

Rotasi dengan pusat M(a , b)

Didalam segitigaOAP :OA=OPcos→x=r cosAP=OPsin→ y=r sin

Didalam segitigaOBP : OB=OP’ cos¿

x ’=rcos ¿x ’=rcos cos−r sin sinx ’=x cos− y sin

BP’=OP ’sin ¿y ’=r sin ¿y ’=r sin cos+r cos siny ’= y cos+x sin

jadi ,

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka:

x ’ –a=( x – a)cos−( y – k )sin

y ’ – b=(x – b)sin+( y – b)cos

CONTOH SOAL

Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90o dengan pusat rotasi di A(1,2)

dilengkapi dengan gambarnya!

Jawab:

P(3, -5) = P(a, b)A(1, 2) = A(x, y)a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + xb’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90o – (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0 + 7 + 1 = 8b’ = (3 – 1) sin 90o – (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2 + 0 + 2 = 4

Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

4.DILATASI / PENSKALAAN

Dilatasi dengan pusat (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka:

OP’=k x OP−OP 'OP

=k

OP1 'OP1

=OP 'OP

→x'x

=k→ x '=kx

P ' P1 'PP1

=OP'OP

→y'y

=k→ y '=ky

persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk :

x ’=k . x+0. y

y ’=0.x+k . y

atau dalambentukmatriks :

Dilatasi dengan pusat (a,b)

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan peta dari garis 3 x−5 y+15=0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan

faktor skala 5!

Jawab:

3 x−5 y+15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka:

( x 'y ')=(5 00 5)( xy )=(5 x5 y)→( xy )=(

15x '

15y ')

Sehingga diperoleh x=15x ' dan ¿

15y ' . Maka bayangannya adalah :

3( 15x ')−5( 1

5y' )+15=0

35x '−5

5y '+15=0

3 x '−5 y '+75=0→3 x−5 y+75=0

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka:

x ’=a+k (x – a)

y ’=b+k ( y – b)

LATIHAN SOAL

1. Bayangan persamaan lingkaran x2+y2=25 oleh translasi T =(−13 ) adalah …

2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi

tersebut adalah….

3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut

putaran 90o adalah….

4. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. karena dilatasi [0, -2],

titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’…

5. Persamaan bayangan parabola y =3x2 – 6x + 1 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat

dengan sudut +1800 adalah …

6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan

7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi [−23 ] adalah….

8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x adalah….

9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan faktor sekala -12

adalah….

10. Hasil transformasi matriks [2 43 5]terhadap titik B(2,3) adalah….

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA

Semester 1. .Jakarta:Erlangga

http://www.academia.edu/5672247/BAB_18_Transformasi_Geometri_fixs

http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/