5.5 平行四边形的判定（ 1 ）

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平行四边形有哪些性质？

1.边 :

2.角 :

3. 对角线 :

平行四边形两组对边分别平行 . 平行四边形两组对边分别相等 .

平行四边形两组对角分别相等 .

平行四边形对角线互相平分 .

温故知新


A

B C

D

o

(1)C

A

B

D

(2)

∥∥

AB CD∥ 、 AD BC∥⑵ 如图（ 2 ） , 当四边形 ABCD 满足时它是一个平行四边形

温故知新⑴ 如图（ 1 ） , 若四边形 ABCD 是平行四边形 , 则AB CD ， AD BC ，你还能得出哪些结论 ?

根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形，还有其它判定方法吗？


两个全等三角形纸片，在平面上把它拼在一起，使一组对应边互相重合所得的图形一定是平行四边形吗？

这些四边形有什么共同特点（从边关系角度考虑）

合作学习


证明 : 如图 , 连接 BD.

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠CBD （两直线平行，内错角相等）又∵ AD=BC,BD=BD

∴△ADB≌△CBD (SAS)

∴∠ABD=∠CDB （全等三角形的对应角相等）∴ AB∥DC （内错角相等，两直线平行）∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

A

B C

D

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：在四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ， AD∥BC 。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。


已知 AD=BC ， AB=CD ，求证 : 四边形 ABCD 是平行四边形

（内错角相等，两直线平行）

( 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 )

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

证明：如图，连结 AC，

∵ AB=CD， AD=BC （已

知）

又∵ AC=AC （公共边）

∴△ABC≌△CDA（ SSS）

∴∠BAC=∠DCA，∠ DAC=∠B

CA

∴ AB CD∥ ， AD BC ∥

∴四边形 ABCD是平行四边形

CB

DA

（全等三角形的对应角相等）


A D

B C

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理 1 ：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定定理 2 ：

∵ AB∥CD 且 AB=CD

∴四边形 ABCD 是平行四边形

∵ AB=CD 且 AD=BC

∴四边形 ABCD 是平行四边形

/ /=或 AB CD

一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？


两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形

平行四边形的三个判定方法

知识整理

从边看 :


满足下列条件的四边形 ABCD 是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“ ×” 。

√

√

√

×

×

√

A

B C

D1.AB=CD ， AB∥CD （）

2.AB=CD ， AD=BC （）

3.AB=BC ， AD=DC （）

4.AB ∥ CD ， AD ∥ BC （）

5.AB ∥ CD ， AD=BC （）

6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )

A B

CD


例 1 、已知：如图， E,F分别是平行四边形ABCDABCD 的边 AD,BC的中点。求证： BE=DF.

D

F

E

CB

A证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC

AD=BC∵E,F 分别是 AD,BC 的中点，

∴ED=BF, 即 ED BF.∥﹦∴四边形 EBFD 是平行四边形∴BE=DF

( 平行四边形的对边平行且相等 )

( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )

( 平行四边形的对边相等 )


例例 22 、已知，如图，在、已知，如图，在 ABCDABCD 中，点中，点 EE 、、 FF

分别是边分别是边 ABAB 、、 CDCD 的中点。的中点。求证：求证： EF//AD//BCEF//AD//BC

AA

BB CC

DD

EE FF

∵四边形 ABCD 是平行四边形∴ AB∥CD 且 AB=CD

∵点点 EE 、、 FF 分别是边分别是边 ABAB 、、 CDCD 的中点的中点∴ AE∥DF 且 AE=DF

∴ 四边形 AEFD 是平行四边形∴ AD∥EF

∴EF//AD//BCEF//AD//BC

证明：

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）


A

E

B

C

D

F

1 、已知，四边形 ABCD 和 AEFD 都是平行四边形求证：四边形 BCFE 是平行四边形证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC 且 AD=BC ；同理 AD∥EF 且 AD=EF

∴ BC∥EF 且 BC=EF

∴ 四边形 BCFE 是平行四边形

练一练


2.已知，如图， AD BC∥ ，且AB=CD=5 ， AC=4 ， BC=3；

求证： AB CD.∥

C

DA

B

温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题

证明：∵在△ ABC中AB=5， AC=4， BC=3

∴∠ACB=90o

∵ AD BC∥

∴∠DAC=∠ACB=90o

∵CD=5， AC=4，∴ AD=3∴AD BC ∥ 且 AD=BC ∴四边形 ABCD是平行四边形∴ AB CD.∥


3 、在 ABCD 中，已知 AE ＝ CF ， BG ＝ DH ．

EB 与 AH 、 GC分别交于M 、 N ， DF分别与AH 、 GC交于 Q 、 P 。你能在图中找出所有除ABCD外的平行四边形吗？

答 : AGCH BFDE MNPQ


DA

B C

E

F

例 3 、已知： E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线AC 上的两点，并且 AE=CF 。

求证：四边形 BFDE 是平行四边形

∴AD BC∥ 且 AD =BC

∴△AED ≌ △CFB(SAS)

∴

DE=BF∴ 四边形 BFDE是平行四边形

同理可证： BE=DF

∵四边形 ABCD 是平行四边形证明：

∵AE=FC

∴∠EAD=∠FCB


1 、如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，点 E 、 F 分别在边 AD 、 BC上，连接 AF 交BE于 G ，连接 CE交 DF于 H, 求证： EF和GH互相平分。

G

H

B C

A DE

F

做一做

2 、如图，在平行四边形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是各边上的点，且AE=CG ， AH=CF ，

求证：四边形 EFGH 是平行四边形。A D

B C

E

H

F

G

做一做


1. 本节课知识点归纳：判定平行四边形的三种方法：

判定定理 1：一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形 .

判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决 .

1) 解决一个数学问题 , 常要通过”动手实践” -----”

大胆猜想” -----” 验证猜想 ( 证明 )”-----” 得出结论”

2.本节课所学的解决问题的思路是 :

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