第十讲 四边形（二）

1 ．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质 . 2 ．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题 .

复习目标

1 ．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分 .2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形 ; 四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形 . 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质 .

知识要点

例 1 如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ， AE⊥BD ，垂足为 E ，∠ DAE∶∠BAE ＝ 3∶1 ，求∠ EAC 的度数 .分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解 .答案： 45°

典型例题

A

B C

D

E O

例 2 如图，四边形 ABCD 是菱形， AC 、 BD 相交于点 O ，过 O分别作各边的垂线，垂足分别为 E 、 F 、 G 、 H. 求证：四边形EFGH 是矩形 .分析：由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直，以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形，而 OE 、 OF 、 OH 、 OG 都是直角三角形斜边上的高，故 OE=OF=OG=OH ，即证明四边形 EFGH 是矩形 .证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形∴ AB=BC=CD=AD ， OD=OB ， OA=OC且 AC⊥BD∴ Rt△AOD≌Rt△AOB≌Rt△COD≌Rt△COB ∵ OE 、 OF 、 OG 、 OH 分别是三角形斜边上的高∴ OE=OF=OG=OH∴ 四边形 EFGH 是矩形

典型例题

O

H

A

B

C

D

E F

G

例 3 如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90° ， AD⊥BC 于 D ， CE平分∠ ACB ，交 AD 于 G ，交 AB 于 E ， EF⊥BC 于 F ．求证：四边形 AEFG 是菱形．分析：由已知可知，图中有平行线，就可证明角相等、线段相等，因此，可先证四边形 AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠ BAC=90° ， EF⊥BC ， CE 平分∠ ACB ，∴AE=EF ，∠ CEA=∠CEF ．∵AD⊥BC ， EF⊥BC ， ∴ EF∥AD ，∴∠CEF=∠AGE ．∴∠ CEA=∠AGE ．∴AE=AG ．∴ EF∥AG ，且 EF=AG ．∴ 四边形 AEFG 是平行四边形．又∵ AE=EF ，∴ 平行四边形 AEFG 是菱形．

典型例题

A

B CD

E

F

G

例 4 已知： 如图， O 为 ABCD 对角线 BD 的中点， MN 过 O且垂直 BD ，分别交 CD 、 AB 于 M 、 N ．求证：四边形 DNBM 是菱形．分析：已知 MN 为 BD 的垂直平分线，有 DM=BM ， DN=BN ，又由△ DOM≌△BON ，得 DM=BN ，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论 .证明：∵ MN 为 BD 的垂直平分线 ∴DM=BM ， DN=BN又∵△ DOM≌△BON∴DM=BN ，∴DM=BM=BN=DN ．∴ 四边形 DNBM 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）

典型例题

A

B C

D

O

N

M

例 5 如图， E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 、 BC上的点，且 EF∥AC ，在 DA 的延长线上取一点 G ，使 AG ＝ AD ， EG 与 DF 相交于点 H. 求证： AH ＝ AD.分析：因为 A 是 DG 的中点，故在△ DGH 中，若 AH ＝AD ，当且仅当△ DGH 为直角三角形，所以只须证明△DGH 为直角三角形 .

典型例题

GA

B C

D

E

FH

例 6 如图，在正方形 ABCD 中， P 、 Q 分别是 BC 、 CD 上的点，若∠ PAQ ＝ 450 ，求证：PB ＋ DQ ＝ PQ.分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明 .

典型例题

A

B C

D

E P

Q

一、填空题：1 、若矩形的对称中心到两边的距离差为 4 ，周长为 56 ，则这个矩形的面积为 .2 、已知菱形的锐角是 60° ，边长是 20cm ，则较短的对角线长是 cm.3 、如图，矩形 ABCD 中， O 是对角线的交点，若AE⊥BD 于 E ，且 OE∶OD ＝ 1∶2 ， AE ＝ cm ，则 DE ＝ cm.

能力训练

3

A

B C

D

E

O

4 、如图， P 是矩形 ABCD 内一点， PA ＝ 3 ， PD ＝4 ， PC ＝ 5 ，则 PB ＝ .5 、如图，在菱形 ABCD 中，∠ B ＝∠ EAF ＝ 60° ，∠ BAE ＝ 20° ，则∠ CEF ＝ .

能力训练

A

C

D

B

P B

F

A

C

DE

6 、如图，将正方形 ABCD 的 BC 边延长到 E ，使 CE ＝ AC ， AE 与 CD 边相交于 F 点，那么 CE∶FC ＝ . 7 、如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形 ABCD 面积的一半，若 AC ＝ ，则正方形移动的距离是 .

能力训练

2

A

C

F

B

D

E

B

D D`

C`A

C

B`

A`

8 、四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，给出以下题设条件：① AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ；② AO ＝ BO＝ CO ＝ DO ；③ AO ＝ CO ， BO ＝ DO ， AC⊥BD ；④ AB ＝ BC ， CD ＝ DA. 其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上） .

能力训练

二、选择题：9 、在矩形 ABCD 的各边 AB 、 BC 、 CD 、 DA上分别取点 E 、 F 、 G 、 H ，使 EFGH 为矩形，则这样的矩形（ ） A 、仅能作一个 B 、可以作四个 C 、一般情况下不可作 D 、可以作无穷多个

能力训练

10 、如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4cm ， AD ＝ 12cm ， P 点在 AD 边上以每秒 1 cm 的速度从 A 向 D 运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4 cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，二点同时出发，待 P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段 PQ 有（ ）次平行于 AB. A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4

能力训练

A

B C

DP

Q

11 、如图，已知矩形纸片 ABCD 中， AD ＝9cm ， AB ＝ 3cm ，将其折叠，使点 D 与点B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别是（ ） A 、 4cm 、 cm B 、 5cm 、 cm C 、 4cm 、 cm D 、 5cm 、 cm

能力训练

10 10

2 3 2 3

A

B C

DE

F

G

12 、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的 4 倍 . 其中正确的命题有（ ） A 、①② B 、③④ C 、③ D 、①②③④13 、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、等腰梯形

能力训练

三、解答题：14 、如图，在矩形 ABCD 中， F 是 BC 边上一点， AF的延长线交 DC 的延长线于点 G ， DE⊥AG 于 E ，且 DE ＝ DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论 .

能力训练

A

B C

D

EF

G

15 、如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 900 ， CD是 AB 边上的高，∠ BAC 的平分线 AE 交 CD 于 F ，EG⊥AB 于 G.求证：四边形 GECF 是菱形 .

能力训练

A

B C

D

E

FG

16 、如图，以△ ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ ABD 、△ BCE 、△ ACF. 请回答下列问题（不要求证明）：（ 1 ）四边形 ADEF 是什么四边形？（ 2 ）当△ ABC满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？（ 3 ）当△ ABC满足什么条件时，以 A 、 D 、 E 、 F为顶点的四边形不存在？

能力训练

A

B C

D

EF

17 、已知正方形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， E 是 AB延长线上一点， MN⊥DM 且交∠ CBE 的平分线于 N.（ 1 ）求证： MD ＝ MN ；（ 2 ）若将上述条件中的“M 是 AB 的中点”改为“M 是AB 上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD ＝ MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 .

能力训练

NN

MMA B E

CD

A B E

CD

18 、如图， ABCD 是正方形， P 是对角线上的一点，引 PE⊥BC 于 E ， PF⊥DC 于 F.求证：（ 1 ） AP ＝ EF ；（ 2 ） AP⊥EF.

能力训练

A

B C

D

E

FP

19 、如图，过正方形 ABCD的顶点 B 作 BE∥CA ，作 AE ＝ AC ，又 CF∥AE ，求证：∠ BCF ＝ 1/2∠AEB.

能力训练

A B

CD

E

F

一、填空题：1 、 180 ； 2 、 20cm ； 3 、 3 ； 4 、； 5 、 200 提示： 4 题过点 P 作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5 题连结 AC ，证△ ABE≌△ACF 得 AE ＝ AF ，从而△AEF 是等边三角形 .6 、 ； 7 、 ； 8 、②

参考答案

2 1 2 1

二、 DDBBA三、解答题：14 、可证△ DEA≌△ABF15 、略证： AE 平分∠ BAC ，且 EG⊥AB ， EC⊥AC ，故 EG ＝ EC ，易得∠ AEC ＝∠ CEF ，∵ CF ＝ EC ， EG ＝ CF ，又因 EG⊥AB ， CD⊥AB ，故 EG∥CF. 四边形 GECF 是平行四边形，又因 EG ＝ FG ，故 GECF 是菱形 .

参考答案

16 、（ 1 ）平行四边形；（ 2 ）∠ BAC ＝ 150° ；（ 3 ）当∠ BAC ＝ 60° 时，以 A 、 D 、 E 、 F 为顶点的四边形不存在 .17 、（ 1 ）如图 1 ，取 AD 中点 F ，连结 MF ，由 MN⊥DM 得∠ DAM ＝ 90° ，易证∠ 1 ＝∠ 2 ，又因∠ MNB ＝∠ NBE－∠ 2 ＝ 45°－∠ 2 ，∠ DMF ＝∠ AFM－∠ 1＝ 45°－∠ 1 ，所以∠ DMF ＝∠ MNB ，又因 DF ＝ BM ，所以△ DMF≌△MNB ，故 MD ＝ MN.

参考答案

（ 2）成立，如图 2，在 AD上取 DF＝MB，则易知：∠ 1＝900－∠ DMA，又∠ 2＋∠ DMA＝ 900，∴∠ 1＝∠ 2，又∠DMF＝ 450－∠ 1，∠MNB＝ 450－∠ 2，∴∠ DMF＝∠MNB，又 DF＝MB，∴△ DMF≌△MNB，故MD＝MN.

18 、略证：延长 AP 与 EF 相交于点 H ，连结 PC ，因为 BD 是对角线，易证 PA ＝ PC ，∠ 1 ＝∠ 2 ，根据 PE⊥BC 于 E ， PF⊥DC 于 F ，知 PECF 为矩形， PC ＝ EF ，且∠ DAH ＝∠ FPH ，又因为∠ 1 ＝∠ 2 ＝∠ 3 ，所以在△ PHF 中，∠ FPH ＋∠ 3 ＝∠ 4 ＋∠ 1 ＝ 90° ，所以△ PHF 为直角三角形，故 AP⊥EF.

参考答案

19 、提示：证 AEFC 是菱形，过 A 点作 BE 的垂线构造 300 角的直角三角形 .

参考答案