022 FEyDxyx

南苑中学 陈宏

rbyax 2)( 2)( 2

ba,

圆的标准方程的形式是怎样的？

其中圆心的坐标和半径各是什么？

r

复习回顾 :

02222222 rbabyaxyx

rbyax 2)( 2)( 2

想一想，若把圆的标准方程

展开后，会得出怎样的形式？

得令 FEbDa rba 222,2,2

022 FEyDxyx

022 FEyDxyx

再想一想，是不是任何一个形如：

4

422)

2(

2)

2(

2 FEDEy

Dx

的方程表示的曲线都是圆？将上式配方整理可得：

,04)1( 22 时当 FED

220 ( , )

2 2

D EDx Ey Fyx 表示点方程

220 .Dx Ey Fyx 不表示任何图形方程

2

2 2

2( , )

2 20

14

2

D E

D E F

Dx Ey Fyx

表示以点 为圆心，方程

为半径的圆。

4

422)

2(

2)

2(

2 FEDEy

Dx

2 2(2) 4 0 ,D E F 当 时

2 2(3) 4 0 ,D E F 当 时

[ 定义 ] : 圆的一般方程22

0Dx Ey Fyx

022 FEyDxCyBxyAx方程思考 表示圆的充分必要条件是什么 ?

2 20, 0, 4 0.A C B D E AF

2 2 4 0D E F

2 2

2 2

2 2 2

(1)x y 0 ________

(2)x y 2x 4y 6 0____

(3)x y 2ax b 0________

(2) ( 1,2), 11 .圆心为 半径为 的圆

练习 1: 下列方程各表示什么图形 ?

原点 (0,0)

2 2(3) ( ,0), .a a b 圆心为 半径为 的圆

2 2

2 2

2 2 2

(1) 6 0,

(2) 2 0,

(3) 2 2 3 3 0

x y x

x y by

x y ax ay a

练习 2 ：将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径和圆心坐标 .

（ 1 ）圆心（ -3 ， 0 ），半径 3.（ 2 ）圆心（ 0 ， b ），半径|b|.(3) ( , 3 ), | | .a aa圆心 半径

若已知条件涉及圆心和半径 , 我们一般采用圆的标准方程较简单 .

(5, 1), (8, 3)A 求过点 圆心为 的圆的方程，并化一般方程。

2 2 16 6 60 0x y x y 故圆的一般方程为

圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较练习：

222 )3()8( ryx 设圆的方程为,13)1,5( 2 r代入得把点

13)3()8( 22 yx

若已知三点求圆的方程 , 我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解 .

.)8,0(),0,6(),0,0( 的圆的方程求过三点 CBA

08622 yxyx

圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较练习：

022 FEyDxyx设圆的方程为

把点 A ， B ， C 的坐标代入得方程组0F

0662 FD

0882 FE

6,

8

0.

D

E

F

，

所求圆的方程为：

_____

02)2( 22

的充要条件是是圆 ayaxyx

___,

0108)3( 22

轴所得的弦长是则这个圆截切轴相与圆

y

xFyxyx

_________,4),3,2(

0)1( 22

FED

FEyDxyx

则半径为的圆心为已知圆练

习 4 -6 -3

2

1a

6

__,

08084)5,3()4( 22

程是则这条弦所在的直线方条弦的中点的一是圆点 yxyxA

08 yx

10. [ 课堂小结 ]

① 若知道或涉及圆心和半径 , 我们一般采用圆的标准方程较简单 .

(1) 本节课的主要内容是圆的一般方程 , 其表达式为

( 用配方法求解 )

(3) 给出圆的一般方程 , 如何求圆心和半径 ?

0422

022

FED

FEyDxyx

配方

展开

(2)[ 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 ]

一般方程 标准方程 ( 圆心 , 半径 )

(4) 要学会根据题目条件 , 恰当选择圆方程形式 :

② 若已知三点求圆的方程 , 我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解 .

布置作业

思考题：2 2 0 1 0 ,

,

C x y m x y P Q

O OP OQ m

已知圆 : 与直线 相交于 两点，为坐标原点，若 求 的值。

解： [ 方法一 ]

2 0

1 0

x y m

x y

2

O

P

Q

1 2

1 2

1 2 1 1 2 1

2 2 1 2 1 1 2 1

2 2

(1)m m

x x

m my y

和

OP OQ 1 2 1 2 0 (2)x x y y

1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y设

将（ 1 ）代入（ 2 ）式可得 :m=1

2 2 0 1 0 ,

,

C x y m x y P Q

O OP OQ m

已知圆 : 与直线 相交于 两点，为坐标原点，若 求 的值。

解： [ 方法二 ]

2 0

1 0

x y m

x y

2

O

P

Q

1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y设

思考题：

OP OQ 1 2 1 2 0 (2)x x y y

22 2 (1 ) 0x x m

1 2

1

2

mx x

1 2

1

2

my y

同理

课后作业：（一） 教科书 P82 习题 7.6 的 5 ， 6 ， 7 ， 8 ；

（二） 1. 预习圆的参数方程。

2. 预习提纲：

（ 1 ）圆的参数方程是什么？

（ 2 ）怎样确定圆的参数方程？

（ 3 ）圆的参数方程中参数有何几何意义？

（ 4 ）圆的参数方程与圆的普通方程如何互化？