三角形的內心三角形的內心忠孝國中 劉淑萍忠孝國中 劉淑萍

三角形內心的定義三角形內心的定義• 三角形三內角的角平分線 ( 分角線 ) 交點稱

為「內心」。A

B C

I

複習複習

• 補充複習：角平分線 ( 超連結至補充複習 .doc)一、角平分線、圓和線相切 ( 補充 ) 1. 基本作圖：畫角 A 的平分線 2. 角平分線基本性質：

角平分線的尺規作圖角平分線的尺規作圖求作：∠ A 的角平分線

1. 以 A 為圓心，適當長為半徑畫

弧， 與兩邊相交於 B 、 C 兩點。

2. 分別以 B 、 C 為圓心，相同長度

　為半徑畫弧，兩弧相交於 D 點。

3. 連接直線 AD ，即為∠ A 之角平

分線。

A

C

B

D

角平分線基本性質： 角平分線基本性質： • 判別性質：若一點到一角的兩邊垂直的距

離相等，則此點必在這線段的角平分線上 • 若要找一點到「兩線段」等距離，則此點

必在這線段的角平分線上。• 圓和線相切：一圓和一線相切，則圓心 O

到此圓與此線的切點連線必： 1. 此連線為圓的半徑 R ； 2. 此連線必與切線垂直。

內切圓的圓心內切圓的圓心• 以三角形的內心為圓心 ，內心到邊的距離為半

徑 畫一圓

A

B C

I

D

E

F

與三角形三邊均相切於一點的圓稱為此三角形的 內切圓，圓心稱為此三角形的 內心，而三角形稱為此圓的 外切三角形。

內心至三邊等距離內心至三邊等距離

內心的位置內心的位置

• 馬上利用尺規作圖畫畫看。• 超連結補充複習學習單 .doc

1. 銳角三角形 2. 直角三角形 3. 鈍角三角形

內心在三角形內部 內心在三角形內部 內心在三角形內部

【證明】 在△ ABC 中，∵ I 為內心 ∴

BE CF 為角平分線 ∠1=∠2 ∠3=∠4

∠BIC＝ 180°－∠ 2－∠ 4

=180°- ABC2

1 ACB2

1

=180°- )(2

1ACBABC

=180°- )180(2

1BAC

=180°- 90°+ BAC2

1=90°+ A

2

1

A

B C

I EFI 為△ ABC 的內心，則

12

3

4ABIC

2

190

內心的角度內心的角度

A

B C

I

D

EF如圖： I 為△ ABC 的內心，

IFIEID ,, 為內切圓半徑 r△ABC 周長 s

則△ ABC 面積 = sr2

1

【證明】 連 CIBIAI ,,△ABC 面積 = AIB△ 面積 + BIC△ 面積 + CIA△ 面積

)(2

1IFAB

)(2

1rAB

rACBCAB )(2

1 sr2

1

+ )(2

1IDBC + )(

2

1IEAC

+ )(2

1rBC + )(

2

1rAC

外切三角形面積

【證明】

A

B C

I

D

EF

如圖： I 為△ ABC 的內心，

IFIEID ,, 為內切圓半徑 r

△AIB 面積 := AB : BC : CA

△BIC 面積 :△CIA 面積

△AIB 面積 :△BIC 面積 :△CIA 面積

= : IDBC 2

1 : IEAC 2

1

= AB : BC : CA

IFAB 21

直角三角形的兩股和

直角三角形的兩股和 = 斜邊長 + 內切圓半徑的兩倍。

A

CB

O

D

E

F

直角△ ABC 中，∠ C=90° ，

內切圓 O 切三邊於 D 、 E 、 F 三點，令 r 為其半徑。

因為 AD 、 AF 為過圓外一點的切線長，所以 AD=AF ，

同理 BD=BE ， CE=CF 。

因為 E 、 F 為切點，所以 OE=OF=r

故 AC+BC=(AF+CF)+(BE+CE)

=(AF+BE)+(CF+CE)

=(AD+BD)+2r

=AB+2r

內心總整理內心總整理

例題 1

如圖， I 為△ ABC 內心，且∠ ABC ＝ 70° ，∠ ACB ＝ 40° ，試求∠ BIC 。

21

I

C

B

A

∠BIC ＝ 180° －∠ 1 －∠2 ＝ 180° － 35° － 20°

＝ 125°

則∠ 1 ＝ ∠ ABC ＝ 35 °2

1

同理，∠ 2 ＝ ∠ ACB ＝ 20°2

1

∵ I 為△ ABC 內心 ∴ BI 為∠ ABC 的角平分

線

解

2

1

I

CB

A

如圖，△ ABC 中， I 為內心，∠ B ＝ 50° ，試求∠ AIC 。

∠AIC ＝ 180° －（∠ 1 ＋∠2 ） ＝ 180° － 65°

＝ 115°

∠B ＝ 180° －∠ BAC －∠ BCA

50° ＝ 180° － 2 1∠ － 2 2∠

∠1 ＋∠ 2 ＝ 65°

例題 2

解

I

B

A

如圖，△ ABC 中， I 為內切圓的圓心，△ ABI 的面積為 24 ，△ ACI 的面積為 15 ，△ BCI 的面積為 21 ，試求 AB ： AC ： BC 。

三個三角形的高相等 ( 皆為半徑 )

AB ： AC ： BC

＝△ ABI ：△ ACI ：△ BCI

＝ 24 ： 15 ： 21

＝ 8 ： 5 ： 7

例題 3

解

C

如圖， I 為△ ABC 內心，△ ABC 的面積為 84 ，若 AC

＝ 15 ， BC ＝ 13 ， AB ＝ 14 ，試求△ ABC 的內切圓半徑。

I

A14

1315△ABC ＝△ IAB ＋△ IBC ＋△ IAC

△ABC 的內切圓半徑為 4

C

84 ＝ 7r ＋ r ＋ r2

13

2

15

84 ＝ 21r

r ＝ 4

設內切圓半徑為 r ，連接 IA 、 IB 、 IC

∵ I 為內心， ∴ I 到三邊的距離均為 r

例題 4

B

解

△ABC 的面積為 24 ，其內切圓半徑為 3 ，試求△ ABC

的周長。

△ABC ＝ ． r ．△ ABC 的周長24 ＝ ． 3 ．△ ABC 的周長△ABC 的周長＝ 16

21

21

例題 5

解

若△ ABC 為正三角形，且面積為 ，試求△ABC 的

內切圓半徑。

3 4

設△ ABC 的邊長為 a

∴ ＝ a2 ， a ＝ 4 故周長＝ 12

△ABC ＝ ．內切圓半徑．周長 ＝ ．內切圓半徑． 12

內切圓半徑＝

3 4 4 3

21

3 4 21

332

例題 6

解

坐標平面上， A （ 1 , 1 ）、 B （ 5 , 1 ）、 C（ 1 , 4 ），

試求△ ABC 內心的坐標。 ＝｜ 5 － 1 ｜＝ 4

＝｜ 4 － 1 ｜＝ 3

＝設內切圓半徑為 r

＋ ＝ ＋2r

r ＝ 1

故內心 I （ 2,2 ）

AB

AC

BC

AB AC

5 ) 41 ( ) 15 ( 22

BC

例題 7

解

△ABC 中，∠ A ＝ 90° ， AB ＝ 5 ， AC ＝ 12 ，試求△ ABC 的內切圓半徑。

5＋ 12＝ 13＋ 2r

r＝ 2

2 25 12 13BC 設內切圓半徑為 r

故內切圓半徑＝ 2

AB＋ AC ＝ BC＋ 2r

例題 8

解

如圖，圓 A 、圓 B 、圓 C 兩兩外切，若圓 A 、圓 B 、圓 C 的半徑分別為 2 、 4 、 6 ，試求△ ABC 的內切圓半徑。

故內切圓半徑＝ 2

∵ 圓 A 與圓 B 外切， ∴ AB ＝ 2 ＋ 4 ＝6

同理， AC ＝ 2 ＋ 6 ＝ 8

同理， BC ＝ 4 ＋ 6 ＝ 10∵AB 2 ＋ AC 2 ＝ 62 ＋ 82 ＝ 102 ＝ BC 2

∴△ABC 為直角三角形，且∠ BAC ＝ 90°

設內切圓半徑為 r

AB ＋ AC ＝ BC

＋ 2r

6 ＋ 8 ＝ 10 ＋ 2r

r ＝ 2

例題 9

解