永兴中学 李淑花

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知识点 1: 因式分解（分解因式）

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。

学习要点

一个多项式 几个整式的积因式分解

整式乘法

下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是：(1)(x+3)(x-3)=x2-9;(2) x2-9= (x+3)(x-3);(3) x2-4 –3x=(x+2)(x-2)-3x.(4)1-1/a2=(1+1/a)(1-1/a)

针对性基础训练 :

(√)

知识点 2: 因式分解的基本方法 1

提公因式法 : 多项式 ma+mb+mc 各项都含有一个公因式 m ，这时我们把公因式 m 提出来，得到因式分解的形式 ma+mb+mc=m(a+b+c)

把下列各式分解因式

(1) 6a2-9ab (2) 2a(b+c)-3(b+c)

(3) mn(m-n)-(n-m) (3)m(m-n)2-n(n-m)2

解 :(1) 6a2-9ab=3a(2a-3b)

(2) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)

(3) mn(m-n)-(n-m) =mn(m-n)+(m-n)=(m-n)(mn+1)

(4) m(m-n)2-n(n-m)2 =m(m-n)2-n(m-n)2=(m-n)2(m-n)

注意： n-m =-(m-n) (n-m)2=[-(m-n)]2=(m-n)2

针对性基础训练 :

知识点 3: 因式分解的基本方法 2

运用公式法 : 把乘法公式反过来用 , 可以把符合 公式特点的多项式因式分解 , 这种 方法叫公式法 .

　 (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

针对性基础训练 :

例题：把下列各式因式分解(1)0.81a2-16b2 (2) –(b+c)2+4a2

(3)1-6x+9x2 (4) ax2+2a2x+a3

解： (1) 0.81a2-16b2=(0.9a)2-(4b)2=(0.9a+4b)(0.9a-4b) (2) –(b+c)2+4a2=4a2-(b+c)2

=[2a+(b+c)][2a-(b+c)] =(2a+b+c)(2a-b-c) (3) 1-6x+9x2 =12-2·3x+(3x)2=(1-3x)2

(4) ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2

三、注意事项

因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。如果题目中明确指出分解范围，则按题意要求分解。

例 1 、将下列各式分解因式(1)a6b － a2b5

(2)(a+b)2 － 7(a+b) － 8

(3)x4 － 5x2+6

(4)x2+10xy － 70y － 49

例题选讲

(5)2xy － x2 － y2+1

(6)(x － 1)(x+3)+x2 － 1

(7)(ax+by)2+(bx － ay)2

(8)2x2 － 4xy － y2

例 2 、已知 x2 － ax － 24 在整数范围内可分解 因式 , 则整数 a 的值是 ( 填一个 )

例 3 、 m,n 满足 ， 分解因式 (x2+y2) － (mxy+n)

04|2| nm

例 4 、无论 a,b 取何值 , 代数式 a2+b2-2a+12b+40 的值（ ）

A 、大于 0 B 、小于 0

C 、大于等于0

D 、无法确定

例 5 、（ 1 ）设 a,b,c 为△ ABC 的三边， 求证： a2 － b2 － c2 － 2bc<0

长方形的周长是 16cm, 它的两边 x,y 是整数 , 且满足 x2 － 2xy+y2 － x+y － 2=0 ， 求长方形的面积。

思考题

（ 2 ） a,b,c 为△ ABC 的三边长 , 且 3a3+6a2b － 3a2c － 6abc=0, 判断△ ABC 的形状 , 并说明理由。