数学预备知识第一部分 　 微积分初步

一、 函数、导数与微分

( 一 ) 变量、常量和函数

变量――在某种现象或过程中本身的取值会发生变化的量。

常量或恒量―― 在某种现象或过程中凡取值保持一定的量。

绝对常量 --- 在任何问题中均以确定的数值出现的常量。

而另有一些常量的数值则需要在具体的问题中确定，这种常量称为任意常量或待定常量。

　常常用字母ｘ、ｙ、ｚ和ｔ等表示变量，用ａ、ｂ、ｃ、ｘ０、ｙ０、ｚ０或ｔ０等表示待定常量或任意常量。

　现有相互联系的两个变量ｘ和ｙ，如果当ｘ在其变域 Ψ 内任意取定一数值时，ｙ都有确定的值与它相对应，则称ｙ是ｘ的函数。ｘ叫作自变量，函数ｙ又称作因变量，写作

　　　　 y ＝ｆ（ｘ）

变域 Ψ 为自变量的变化范围，称作函数ｆ（ｘ）的定义域，而所有函数数值则构成ｙ的值域。

　若ｙ为 z 的函数， y ＝ｆ (z) ；而 z又是变量ｘ的函数，即 z ＝ｇ ( ｘ ) ，则称ｙ为ｘ的复合函数，记作

ｙ＝ φ （ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］

其中 z ＝ g( ｘ ) 则称为中间变量。

　　　　 ( 二 ) 　导　数

　　　　 １、极　限

　定义：当自变量 x 无限趋近某一值 xo

( 记作 x→ ｘ o) 时，函数ｆ (x) 的值无限趋近于某一确定的值 a ，则ａ叫做 x→ｘ o 时函数ｆ (x) 的极限值，记作

axfx

)(lim0

例：函数1

23)(

2

x

xxxfy

实际计算时常用下列方法。

当ｘ≠１时，　　　　　　　　　　

231

)1)(23()(

xx

xxxfy

由此可见，当 x → 1 时ｆ (x) 的值趋近３ × １ +2 ＝ 5 。根据函数极限的定义，有

52

1

)(

1

23limlim

1

x

xx

x

xfx

（二）、导　　数

Δ ｘ＝ｘ１－ｘ０

设函数 y ＝ｆ（ｘ），当自变量ｘ的值由ｘ０变到ｘ１时，其增量为

变量的增量：当变量由一个值变到另一个值时，后者减去前者之差。

与此相应，函数 y 也发生一增量 Δy＝ｙ１－ｙ０＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ０），

又∵ Δ ｘ＝ｘ１－ｘ０，即ｘ１＝ｘ０ +Δ

ｘ，∴ Δy ＝ y1 - y0 ＝ f (x1) – f (x0) ＝ f (x0+Δx ）－ f (x0) ，则增量 Δy 与 Δ ｘ之比为

x

xfxxf

x

y

)()( 00

叫作函数 y ＝ｆ（ｘ）在ｘ０到ｘ０ +Δｘ之间的平均变化率。 其值反映出函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０附近是增加还是减少；其大小标志着函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０附近增减的快慢。

所以叫作函数 y ＝ｆ（ｘ）在ｘ０

到ｘ０ +Δ ｘ之间的平均变化率。

Δ ｘ愈小， Δ ｙ／ Δ ｘ就愈能精确地反映出ｆ (x) 在ｘ＝ｘ０这一点的变化率。

当 Δ ｘ＝０时， Δy ＝０，因此 Δｙ／ Δ ｘ＝０／０，但它的极限往往具有确定的有限值。

若 当 Δ ｘ → ０ 时 ， 有 极 限 ， 则 称 ｆ（ｘ）在ｘ处可导，并把该极限称作ｆ (x) 在ｘ处的导数，记作ｆ′（ｘ）也可写做 y′ ，或 dy ／ dx 、 df ／ dx 、df(x) ／ dx ，于是对于任意的ｘ值有

x

xfxxf

xx

y

dx

dyxfy

x

)()(limlim

0

)(0

实际上，函数 y ＝ｆ ( ｘ ) 在ｘ处的导数，就是函数在ｘ附近的平均变化率当自变量增量趋于零时的极限，它反映了在ｘ处函数ｆ ( ｘ ) 随自变量而变的增减趋势和变化快慢。

导数与增量比不同，它是函数在某一点的变化率，而不是在一个区间里的变化率。

在物理学中的瞬时速度和瞬时加速度也可写成导数的形式：

dt

d

ta

t tts

limlim

00　 　 　 　 　，

)()()(2

2

xfdx

d

dx

dy

dx

d

dx

ydxfy

如物理学中的瞬时加速度：

2

2

)(dt

sd

dt

ds

dt

d

dt

da

若ｆ′ (x) 仍是ｘ的函数，可以再取ｆ′(x) 对ｘ的导数，这叫做函数ｆ (x) 对ｘ的二阶导数，记作ｙ″、ｆ″（ｘ）、 d2

y ／ dx2 等等。

基本导数公式如下：１、（ｃ）′＝０，（ｃ为常数）。

２、（ｘｎ）′＝ｎｘｎ－１（ｎ为实数）。

３、（ sin x ）′ = cos x 。

４、 (cos x)′= - sin x 。

５、 (tg x)′= sec 2x 。

６、（ｃｔｇｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ。

７、（ｌｎｘ）′＝ｘ－１。

８、（ｅｘ）′＝ｅｘ。

９、（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ。

１、（ｕ ±υ ）′＝ｕ′ ±υ′ 。

２、（ｕ υ ）′＝ｕ′ υ ＋ υ′ ｕ； 　　（ｃｕ）′＝ｃｕ′，

　　　　　　　　　　（ｃ为常量）。

导数的基本运算法则，其中ｕ、 υ 均为ｘ的函数：

３、　　　　　　　（ υ≠ ０）。2

)(

uuu

若函数ｆ（ｘ）在点ｘ处可导，则 y ＝ｆ ( ｘ ) 在点ｘ处的导数ｆ′（ｘ）与自变量的增量 Δ ｘ的乘积称作函数 y ＝ｆ( ｘ ) 在点ｘ处的微分，记作 dy ，

　　 dy ＝ｆ′（ x ） Δ ｘ。

( 三 ) 　微　分

将 Δx 记作 d ｘ，称作自变量的微分，于是

dy= ｆ′ ( ｘ )d ｘ，

　　数图 1 表示当自变量改变 Δx 时，函数增量 Δy 等于函数曲线纵坐标的增量；而 dy 则为函数曲线切线纵坐标的增量。

即函数的微分是自变量增量或微分d ｘ的线性函数；

数图 l 中曲线表示ｙ＝ｆ（ｘ）的函数图像。在区间 [ ｘ０，ｘ０ +Δ ｘ ] 上取函数增量 Δy ， Δy ／ Δ ｘ为函数在 Δｘ上的平均变化率，在数值上等于与 Δｘ相对应的函数曲线割线ＰＱ的斜率。

则，函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数等于 [ ｘ０，ｆ（ｘ０） ] 处ｆ（ｘ）曲线切线的斜率，这就是导数的几何意义。

　　　　　 二、 不定积分

　　（一） 原　函　数

但现在我们提出一个相反的命题：若已知速度函数 υ( ｔ ) ，怎样来求该物体运动的坐标函数。换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数？

当物体沿 Ox 坐标轴运动时，已知物体的坐标函数ｘ＝ｘ（ｔ），可通过计算该函数对时间的导数求出物体运动的速度。

设ｆ（ｘ）是定义在某一区间上的函数，若存在函数Ｆ ( ｘ ) ，使得在这个区间上的每一点有

　 Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），

则称Ｆ ( ｘ ) 为ｆ（ｘ）在该区间上的一个原函数。

例如： ，则 为ｘ的一个原函数； (sin x)′= cos x, ，故 sin x为 cos x 的一个原函数。

xx )2

1( 2

2

2

1x

若Ｆ ( ｘ ) 是ｆ ( ｘ ) 的一个原函数，又若Ｃ为一任意常数。由于Ｃ的导数为零，故Ｆ ( ｘ )+ Ｃ也是ｆ ( ｘ ) 的原函数。由此可见，只要函数ｆ ( ｘ ) 有一个原函数Ｆ ( ｘ ) ，它就有无穷多个原函数，彼此 间只差 一 常 数 ， 并 可统一 用Ｆ( ｘ ) + Ｃ来表示。

( 二 ) 不定积分

函数ｆ ( ｘ ) 的所有原函数叫作ｆ ( ｘ )的不定积分，记作∫ｆ ( ｘ )ｄｘ。

用Ｆ ( ｘ ) 表示ｆ ( ｘ ) 的一个原函数，则ｆ ( ｘ ) 的不定积分可写作

CxFdxxf )()(

ｆ ( ｘ ) 称作被积函数，ｆ ( ｘ )ｄ x称为被积式，ｘ叫作积分变量，∫称为积分符号，而Ｃ则叫作积分常数。 应当这样去理解不定积分∫ｆ ( ｘ )ｄx ，它代表无穷多个ｘ的函数，所有这些函数之间都只差一个常数，它们的导数都等于被积函数ｆ（ｘ）。

根据不定积分的定义，可给出不定积分的两条性质：

　 。　 　、 )())((1 xfdxxf

　 。　 　２、 CxFdxxF )()(

前一式表明先对函数ｆ（ｘ）作不定积分再求导数，其结果仍为ｆ（ｘ）；后一式则指出先对Ｆ ( ｘ )求导数再作不定积分，所得结果将只与原Ｆ ( ｘ ) 差一常数。

这两条性质说明求不定积分实际上是求导数的逆运算。下面列出一些基本的积分公式，其中Ｃ为常数。

　 。　１、 Cxdx

。　 　　２、 Caxadx

　 。　３、 )1(,1

1

nCn

xdxx

nn

　 。　、 Cxdxx

ln1

4

　 。　、 Cedxe xx5

　 。　、 Cxxdx cossin6

　 。　７、 Cxxdx sincos

。　８、 Ctgxxdxdxx

22

seccos

1

。　、 Cctgxxdxdxx

22

cscsin

19

（三）    不定积分的运算法则

１、 被积式的常数因子可以提到积分号前面，若常数ｋ≠０，有

dxxfkdxxkf )()(

２、两个函数的和（或差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（或差），即

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

　　三、定　积　分

　（一）定积分的概念　 (1) 关于曲边梯形的面积　　

在数图 3 中，由 y = f (x) 的函数曲线以及直线 x = a ， x =b和 x轴所围成的图形叫作曲边梯形。

为了求曲边梯形的面积，将区间［ a ，b ］分成 n 等分，每一等分叫作一个子区间，并用 Δx = b – a / n 表示各子区间自变量的增量。每一子区间均对应一狭长条面积，这一狭长面积近似等于对应的矩形面积。 用 f(ξi) 表示在第ｉ个子区间内函数 y = f (x) 在某一点的取值，则狭长条的面积可用下式近似表示

xfS ii )(

对所有矩形面积求和，则得到数图 3中台阶形的面积，它可作为曲边梯形面积的近似描述，

n

ii xfS

1

)(

显然，［ a ， b ］区间包含的子区间数目 n越多，子区间内自变量的增量越小，则台阶形面积越接近于曲边梯形的面积。

当 n→∞ 而 Δx→0 时，和式的极限将精确地描述曲边梯形的面积 ΔＳ，即

n

ii

nxfS

1

)(lim

（ 2 ）关于物体的位移

当物体作匀速直线运动时，很容易根据物体速度 υ求出物体在时间ｔ＝ａ至ｔ＝ b 内经过的位移 υ( b － a ) 。

数图 4 表示物体作变速直线运动时速度随时间的变化情况，这时应怎样计算物体在时间 b － a 内的位移？

也把区间 [ ａ , ｂ ] 分成 n 个相等的子区间，用 Δt = b – a / n 表示子区间内时间的增量，在每一时间间隔 Δt内，可近似地认为物体作匀速直线运动，物体的位移近似等于

ts ii )(

ξ ｉ表示在第ｉ个时间间隔内的某一时刻。

物体在时间 b － a 内的总位移可用下式近似描述

,)(1

tsn

ii

这一和式的几何意义就是物体运动的 υ—ｔ图中台阶形的面积。

子区间的数目 n越多，各子区间对应的时间增量 Δ ｔ越短，该和式越能精确地反映物体的位移。

当ｎ→∞而 Δ ｔ→０时，和式的极限能够精确描述物体的位移 Δ ｓ，即

n

ii

nts

1

)(lim

设函数 y = f (x) 在区间［ａ， b ］上连续，用一系列分点

ａ＝ｘ１ < ｘ 2< …< ｘｉ－１ < ｘｉ <

ｘｉ + １… < ｘｎ + １＝ b

(1) 将区间［ａ， b ］等分为 n 个子区间，

在每一小区间［ｘｉ，ｘｉ + １］上任取一点 ξ ｉ (ｉ＝ 1 ， 2 ，…， n) ，和式

n

iin xfI

1

)(

当 n→∞ 即 Δ ｘ→０时，和式Ｉｎ的极限叫作函数 y = f (x) 在区间 [ ａ， b]的定积分，记作

b

adxxf )(

n

ii

b

a nxfdxxf

1

)(lim)(

f (x) 、 f (x)d ｘ和ｘ，分别称作被积函数、被积式和积分变量，∫叫作积分符号，ａ和 b 分别叫作积分下限和积分上限，区间［ａ， b ］称为积分区间。定积分的几何意义就是由函数曲线、自变量坐标轴以及积分上、下限所决定的曲边梯形的面积。

( 二 ) 定积分的主要性质 (1)   对调积分上下限则定积分改

变 　符号：

b

a

a

bdxxfdxxf )()(

(2) 　被积函数的常数因子可以提到积分符号前面，即

b

a

b

adxxfkdxxkf )()(

（常数ｋ≠０）。

(3) 　两个函数的和 ( 或差 ) 在 [ ａ，b] 上的定积分，等于这两个函数在[ ａ， b] 上的定积分的和 ( 或差 ) ，即

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

(4) 　如果将区间 [ ａ， b] 分成两个区间 [ ａ，ｃ ]及 [ c ， b ] ，则

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

( 三 ) 　牛顿—莱布尼茨公式

通过计算不定积分求得定积分。设 F( ｘ ) 为函数 f (x) 在区间 [ ａ，b] 的一个原函数，即Ｆ′ ( ｘ ) ＝ｆ( ｘ ) ，则

)()()( aFbFdxxfb

a

这个公式就叫作牛顿—莱布尼茨公式。

它把某函数在一定区间上的定积分和该函数的原函数在该区间的改变量联系起来了。上式提供了计算定积分的基本方法。常把原函数 F （ｘ）在区间 [ ａ， b]的改变量写作　　　，故上式又可写为

b

axF )(

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a