圆周运动

切向和法向加速度1 、圆周运动

tene

P

o

v

tv ev=

取自然坐标： te ：轨迹切向，指向前进方向。

ne ：轨迹法向，指向曲线凹侧 ， 为单位矢量 net e

设一质点作圆周运动，半径为 R ，速率为 v .

则：

三、

2 、切向和法向加速度

te

sdd

te

vR

P

o

tv ev=

ta ev= dtd ( )

= d

+tev= dt

d tedtdv

ted te垂直于 并指向圆心∵

ted ne与 方向一致∴

==te ne 1∵ te dted =∴

ted = d ne

ted

te

te d

= -ted tete

ne

ted = d ne

=tedtd

dtd

ne = dtd

neRR( )

= dtd

Rs1

ne = Rv

ne

a +tev= dt

dRv

ne2

te

P

ne

atan

o

a v= dt

dt切向加速度

Rv 2

a =n法向加速度

sdd

讨论 :

v 方向的变化。速度

v 大小的变化。速度at 的产生是由于A.

Rv 2 匀速圆周运动中 加速度为

an 的产生是由于

= +at an2 2a

a +tev= dt

dRv

ne2

= +at ante ne

a

an

ta

θ

v

a 与 成钝角v

a 与 成锐角v

tdd 0 质点减速v<

tdd 0 质点加速v > a

an taθ

v

a 并不一定指向圆心，B. 一般加速度但一定指向曲线凹侧。

C. 对于任意曲线运动

曲率半径ρ

o

v

ρ

ta

nay

y23

=( )1+ρ

a ddt = tv 指向前进方向

a2

n=vρ 指向曲线凹侧

ox

1. 角位置， θ ( rad )

3. 角速度， ω

、运动的角参量

θA.t

ΔθB.Δt+t

ω =ΔΔθt

平均角速度

位矢与 x 轴之间的夹角。

单位时间内的角位移。

角位置的增量。 Δ = B - A

2 . 角位移

§4一、角量

( rad/s )

lim ωtt

=Δ 0

ΔΔ

4. 角加速度

=ddω

t =ddθ

t 2

2

=Δω

tΔ

平均角加速度

瞬时角加速度

θω Δ=limΔΔt 0 t

瞬时角速度 θ= ddt

(rad.s-2)

匀变速圆周运动的运动方程

θx ~ωv ~ω tω0= +

a ~

θ 0t tωθ 0= ++ 12

2

匀速圆周运动的运动方程

θ 0tωθ 0= +

ωω θ0= 22 2 θ0( )+

Δ ΔR θ=s

二 . 线量和角量的关系ΔR

θs

Δ

ωR=

Rω=v ΔΔ ω=v R

= R

ωt=R d

d

t t ttΔR θ

0 0=

Δs limlimΔ Δ Δ

Δv=

ΔΔ Δ

ωtt t= limlim

0

ΔΔ

v RΔt 0

=at

a2

= vn R

ω22

= RR ωR 2=

Rω=v

at = R

ωRa 2=n2

= vR

线量和角量的关系

§5

= (x0 i + y0j ) + (v0cos i+ v0sin j )t- gt2 jθ θ2

1

、运动的迭加原理例 : 抛体运动

一般曲线运动研究可直线运动研究。

vv cos

sin0

0

0

θθ

12

2{ ttx=x

yy= gt0

++

r = (x0 + v0cos t )i+ (y0 + v0sin t- gt2 ) j 2

1θ θ

= r0 + v0t + gt2

2

1

r = x ( t ) i + y (t ) j

v0tgt2

2

1

v0

x0

r0

y

一个运动可看成几个各自独立的运动迭加而成

运动的迭加原理

r = (x0 + v0cos t )i+ (y0 + v0sin t- gt 2 ) j 2

1θ θ

= r0 + v0t + gt 2

2

1

已知：圆周运动，半径 R ，方程为： θ= ct-b t 2, c 和 b 常数。

求：切向加速度和法向加速度。

2 tc b=ω d= dt d

= dt = 2b

Ra =t 2Ra =n R

2( )= 2 tc b

= 2 Rb

解：

[ 例 1]

p47-1-13 杆 AB 绕 A 点以匀角速 转动，已知 OA=h ,求： M 点的速度与加速度。解：

[ 例 2]

C

h

A

BO

x Mx = h tg= h tgt

xv d= td

(h tgt )d= td

t= ddva

= h sectv i= 2h cost tgt i

路灯高度为 h, 人高度为 l, 步行速度为v0 . 试求：（ 1 ）人影中头顶的移动速度；（ 2 ）影子长度增长的速率。

hl

b x

解：( ),xh b+lb =

d ( )xh b+l= dtdbdt

=dbdt h

llv 0

dx+l= dt

dbdt

l

dx=dt

v 0

影子长度增长速率为：

xh

b+lb= ,

[ 例3]

=d ( )x b+

dt = hh

lv 0

hldbdt

=dbdt h

llv 0

... ( )xh b+lb =

所以人影头顶移动速度为：

hl

b x

一质点在 XY 平面上运动，运动方程为 x = 2t , y = 19 - 2t2 ( x,y 的单位为米， t 的单位为秒 ) 。 求 (1) 质点运动的轨迹方程；

(2) 1 秒到 2 秒之间的平均速度和平均加速度；

(3) 1 秒时的瞬时速度和瞬时加速度。(4)1 秒时的切向加速度，法向加速度和曲率半径。

[ 例4]

解： 解： ∵ x = 2t ， ∴ t = t = 2x

y = 19 －2t2

∴ 质点运动的轨迹方程为：

质点的位置矢量为：

r1 = x1i + y1 j

r2 = x2i + y2 j

ΔΔ

rt

v = Δ= x i + y j Δ

1 秒到 2 秒之间的平均速度为：

2x2

= 19 －

(m)= 2i+17j

(m)= 4i+11j

= 2 i 6 j ( ｍ s-1)

v = Δ 4 t j Δ (ms-1)

ΔΔ

vt

a = = 4 j (ms-2)

x = 2t , y = 19 － 2t2

= 2 i 4 t j 　 (ms-1) dt dr

v =

1 秒到 2 秒之间的平均加速度：

dt dr

v = = 2 i 4 t j = 2i 4j (ms-1) 1 秒时的瞬时速度：

22an = a － at

dtdv

at =

ρ=an

v2

= 5 5 (m)

v = vx + vy 2 2 2= 2 + (4t ) 2

= 4j (ms-2)dt dv

a =

=dtd

4 + 16t2 = 58 5 (ms-2)

= 54 5 (ms-2)

1 秒的瞬时加速度。

1 秒时的切向加速度和法向加速度

1 秒时的曲率半径：

、相对运动§6

一、伽利略坐标变换

P.

x

y

kk

zO

tv x

x

v

z

O

k

x

y

=x tvxy =yz =z

=tt

设 相对于 kk 沿 x 轴以速度 v 运动P(x,y,z)

P(x,y,z)

物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系

相对运动

r 船对地

r 物对船

A

B C

二、相对位移 例：匀速直线运动的船上的一自由落体

r 物对地 = r 物对船 + r 船对地r 物对地

AC = AB + BC

r12 = r13 + r32

写成一般形式：

三、相对速度

四、相对加速度

= v13 + v32

r13+ r= tdd t

dd

32r12

tddv12 =

v12

tdda12 =

v13+v

= tdd t

dd

32

= a13 + a32

速度相加原理

a12 = a13+ a32

r12 = r13 + r32

一般形式：

v12 = v13 + v32

注意矢量式

解题关键：作矢量图

v车 地

v雨 地

v 地车vv = +车 雨地雨

v12 = v13+ v32[ 例 1]

+vv雨车 车地v雨地2 2=,

,v 地车

v 地雨

vvv = - 车地 地车 雨雨

tg = vv车地

雨地v 地车

,v雨 车

已知： 和v雨地 v车地

求： v 雨车

作矢量图

[ 例2] 某人骑自行车以速率 v 向西行驶，今有

风以相同速率从北偏东 60o 方向吹来，人感到风从哪个方向吹来？解： vvv = + 地人风人 风地

vv= - 人地风地

v风人

v

v 人地

风地

v 人地

由图可得：人感到风从北偏西 15o 方向吹来。

v 风人 = 2 3 v/2 作矢量图