中考数学专题探究

第三讲 函数及其图象 主 讲 刘振华单 位 泰兴市西城初中

函数及其图象乌鸦喝水 设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间

为 x，瓶中水位的高度为 y

x

y

x

y

y y

x xO

O O

O

甲 乙

丙 丁

函数及其图象其结构特点主要体现为：从意义上说，它表示一个变化或运动过程中两个变量之间的对应关系，因此函数有着更高的抽象性；从表示上说，它有三种不同但又是相互对应的表达方式，体现着“数与式”、“图形”、“图表”的结合及转化的关系；从性质上说，函数性质是刻画相互依赖的两个变量之间的变化规律，如“增减”、“对称”等性质所描述的都是相对于变化过程的“整体”而言的。

一．函数与方程、不等式 例一： (08 南通 ) 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 （ ）

P （ 1 ，1 ）

1

1 2

2

3

3－ 1－ 1

O

y

x

A ． B ．

C ． D ．

2 0

3 2 1 0

x y

x y

， 2 1 0

3 2 1 0

x y

x y

，

2 1 0

3 2 5 0

x y

x y

， 2 0

2 1 0

x y

x y

，

一．函数与方程、不等式 例二：（ 2008 年泰州市）已知二次函数 y1=ax2 ＋ bx＋c（ a≠0 ）

的图象经过三点（ 1 ， 0 ），（－ 3 ， 0 ），（ 0 ，－ ）．

（ 1 ）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；

3

2

y=a(x-1)(x+3)

y= x2+x– 3

2

1

2

一．函数与方程、不等式 （ 2 ）若反比例函数 y2= （ x＞ 0 ）的图象与二次函数

y1=ax2 ＋ bx＋ c（ a≠0 ）的图象在第一象限内交于点A(x0 ， y0) ， x0 落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；

2

x

数形结合

一．函数与方程、不等式 （ 3 ）若反比例函数 y2= （ x＞ 0 ， k＞ 0 ）的图象与二次函数 y1=ax2 ＋ bx＋ c（ a≠0 ）的图象在第一象限内的交点 A，点 A的横坐标 x0 满足 2 ＜ x0 ＜ 3 ，试求实数 k的取值范围． 观察函数图象

辨别函数性质 当 x0=2 时 y2 ＞ y1

k＞ 5

当 x0=3 时 y1 ＞ y2

k＜ 18

5 ＜ k＜ 18

k

x

一．函数与方程、不等式 (1) 是不是需要把字母看作变量 ? (2) 是不是需要把代数式看作函数 ? 如果是函数它具有哪些性质 ? (3) 是不是需要构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题 ? (4) 能否把一个等式转化为一个方程 ?对这个方程的根有什么要求 ?……

二．函数与几何例三：（ 08 常州）如图 , 抛物线 与 x轴分别相交于点B、 O, 它的顶点为 A, 连接 AB, 把AB所在的直线沿 y轴向上平移 ,使它经过原点 O, 得到直线 l, 设 P是直线 l上一动点 .

1. 求点 A的坐标 ;2. 以点 A、 B、 O、 P为顶点

的四边形中 , 有菱形、等腰梯形、直角梯形 , 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标 ;

2 4y x x l

1

1 2

23

3-1-1

Ox

y

-2-3-4

-2-3-4

A

B

二．函数与几何3. 设以点 A、 B、 O、 P为顶点的四边形的面积为 S,点 P的横坐标为 x, 当 时 , 求 x的取值范围 .

4 6 2 6 8 2S ≤ ≤

l

1

1 2

23

3-1-1

Ox

y

-2-3-4

-2-3-4

A

B

P

S 四边形 ABPO=S△AOB+S△POB1

22BOP p pS OB y y

4 8S x 4 6 2 6 8 2S ≤ ≤

1 12 2 2 2

2 2x ≤ ≤

例四：（ 08 无锡）已知抛物线 与它的对称轴相交于点 A（ 1 ，－ 4 ），与 y轴交于 C，与 x轴正半轴交于 B．（ 1 ）求这条抛物线的函数关系式；（ 2 ）设直线 AC交轴于 D， P是线段 AD上一动点（ P点异于 A， D），过 P作 PE∥x轴交直线 AB于 E，过 E作 EF⊥x轴于 F，求当四边形 OPEF的面积等于 3.5 时点 P 的坐标．

2 2y ax x c

二．函数与几何

2 2 3y x x

二．函数与几何

C

P

D

E

FB

●

AC 3y x AB 2 6y x ( 3)P PP x x ，

1( )2

3 3 31( 3)

2 2 2

OPEF

P PP

S PE OF EF

x xx

四边形

22 3 2 0P Px x 1 7

2 2P

， ( 2 1)P ，

二．函数与几何

“ 数与开形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。”

三．函数创新应用题例五：（ 08镇江）如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T（ m， n）表示火炬位置，火炬从离北京路 10米处的M点开始传递，到离北京路 1000米的 N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点 O（北京路与奥运路的十字路口）， OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为 10000 平方米（路线宽度均不计）．

（火炬）

y M

xNA

TB

O

奥林匹克广场北京路 鲜花

方阵（指挥部）奥运路

（ 1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；（ 2）当鲜花方阵的周长为 500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；

（火炬）

y M

xNA

TB

O

奥林匹克广场北京路 鲜花

方阵（指挥部）奥运路

三．函数创新应用题

10000(1)y

x

(2) (250 ) 10000m m

(50 200)， (200 50)，火炬的位置是 或

（ 3）设 t＝m－ n，用含 t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．

（火炬）

y M

xNA

TB

O

奥林匹克广场北京路 鲜花

方阵（指挥部）奥运路

三．函数创新应用题

2 2 2 2TO OA AT m n t＝ m－ n

2 2 2 2( ) 2 20000TO m n m n mn t

(100100)T ，

三．函数创新应用题

问题情境——建立模型——解释、应用与拓展