제 6 장 디지털 필터 구조 (E)

6.4 격자 필터 구조 (1)

지금까지 논의한 FIR 및 IIR 시스템의 기본구조는 모두 시스템 함수 또는 입출력 차분 방정식으로부터 얻었다. 그밖에 특수 성질을 가지는 다른 구조도 많이 있다. 흥미있는 구조로 격자구조라는 것이 있으며 자기회귀 신호모델의 이론으로부터 발단된 것이다. 격자 필터는 디지털 음성 처리와 적응 필터의 구현에 폭 넓게 사용된다. 음성의 분석과 합성에서는 적은 수의 계수들이 실시간으로 만들어질 많은 수의 포만트(formant)를 허용해야 하기 때문에, 구현 형태로 다른 FIR 또는 IIR 필터 구조보다 격자 필터 구조를 선호한다. 전영점 격자(all-zero lattice)는 격자 필터의 FIR 필터 표현이다. 반면에, 격자 사다리(lattice ladder)는 IIR 필터 표현이다.

전영점 격자 필터(all-zero lattice filter)

그림 6.21에서 보듯이 전영점 극점의 모든 신호흐름은 왼쪽에서 오른쪽이다. 루프가 없기 때문에 임펄스 응답은 유한길이를 갖는다. 입력이 이라면, 임펄스는 수평가지의 위쪽선을 따라 단일 이득으로 즉시 출력에 전달된다. 입력에서 출력으로의 다른 모든 경로는 적어도 한 개의 지연소자를 포함한다. 따라서 h(0) =1이다. 입력에서의 임펄스는 또 수평가지의 바닥선을 따라 n 개의 지연소자를 거쳐 최후

이득이 이 되면서 전달된다. 따라서 이다. 다른 모든 경로는 수평가지의 상하선을 지그재그로 이동한다. 그러므로 이러한 경로는 각기 최소 1개의 지연소자에서 최대 ( N-1)개의 지연소자를 통과하게 된다. 때문에 임펄스 응답값은 각

의 곱의 합으로 결정된다. 길이 M(즉M-1차)의 FIR 필터는 그림 6.21에서 보는 바와 같이 M-1단계의 격자 구조를 가진다. 필터의 각 단계는 차수-재귀 방정식(order-recursive equation)[19]에 의해 관계를 맺는 입력과 출력을 갖는다.

그림 6.21 전영점 격자 필터

여기서 인자 , m=1,2,..., M-1은 반사 계수(reflection coefficient)라 불리는 격

자 필터 계수이다. 만약 과 의 초기값이 모두 필터 입력 x(n)의 스케일된( 에 의해 스케일된) 값이라면, (M-1)단계 격자 필터의 출력은 (M-1)차 FIR 필터의 출력과 일치한다. 즉,

만약 FIR 필터가 직접형으로 주어지고,

다항식 를 다음과 같이 나타낸다면,

격자 필터 계수 는 다음의 재귀적 알고리즘[19]으로부터 얻을 수 있다.

만약 어떤 m = 1,..., M-1에 대해서 이면, 위 알고리즘을 사용할 수 없다는 것에 주목하여라. 선형 위상 FIR 필터가 이 조건을 만족시키는데, 그 이유는 다음과 같다.

그러므로, 선형 위상 FIR 필터는 격자 구조로 구현할 수 없다.

식 (6.21)의 방정식들은 재귀적 절차[19]를 사용하여, 격자 필터 계수 으로부

터 직접형 계수을 구하는 데도 사용할 수 있다.

? 예제 6.8 필터가 다음의 차분 방정식에 의해 주어진다.

이것의 격자형을 구하여라. 다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다. 예제 6.8의 해 CEMTool>> delta = implseq(0,0,3); CEMTool>> set format long; CEMTool>> hdirect = filter(b,1,delta) hdirect = 2.00000000 1.08333333 1.25000000 0.66666667 CEMTool>> hlattice= latfilt(K,delta) hlattice = 2.00000000 1.08333333 1.25000000 0.66666667

이다. 직접형과 격자형 구조를 그림 6.22에 나타내었다.

그림 6.22 예제 6.8의 FIR 필터 구조 (a) 직접형 (b) 격자형 다음은 MatLab 으로 계산된 결과 입니다. 예제 6.8의 해 >> b = [2, 13/12, 5/4, 2/3]; >> K = dir2latc (b) K = 2.0000 0.2500 0.5000 0.3333

>> delta = impseq(0,0,3); >> format long; >> hdirect = filter(b,1,delta) hdirect = 2.00000000000000 1.08333333333333 1.25000000000000 0.66666666666667

>> hlattice= latcfilt(K,delta) hlattice = 2.00000000000000 1.08333333333333 1.25000000000000 0.66666666666667

전극점 격자 필터(all-pole lattice filter)

IIR 필터의 격자 구조는 전극점 시스템 함수로 제한된다. 이것은 FIR 격자 구조로부터 유도할 수 있다. 전극점 시스템 함수가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

식 (6.20)로부터 임을 알 수 있다. 명백히 이것은 인수를 제외하면 그림 6.21 FIR 격자의 역시스템(inverse system)이다. A(z)가 N 차의 다항식이므로 시스템 함수는 극점만을 갖는다.(z=0에서의 영점은 제외) 이러한 N 차 IIR 필터는 그림 6.23에서 보는 바와 같이 N 단계의 격자 구조를 가지고 있다. 필터의 각 단계는 차수-재귀 방정식(order-recursive equation)[19]에 의해 관계를 맺는 입력과 출력을 갖는다.

그림 6.23 전극점 격자 필터

여기서 인자 , m = 1,2,..., M-1은 전극점 격자의 반사 계수이고, 1의 값을 갖는 를 제외하고 식 (6.21)으로부터 얻을 수 있다.

? 예제 6.9 다음과 같은 전극점 IIR 필터를 생각해 보자.

격자 구조를 구하여라. 다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다. 예제 6.9의 해 CEMTool>> b = [1, 13/24, 5/8, 1/3]; CEMTool>> K = drt2lat(b) K = 1.0000 0.2500 0.5000 0.3333

이다. 이 IIR 필터의 직접형과 격자형 구조를 그림 6.24에 나타내었다.

그림 6.24 예제 6.9의 IIR 필터 구조 (a) 직접형 (b) 격자형

다음은 MatLab 으로 계산된 결과 입니다. 예제 6.9의 해

>> b = [1, 13/24, 5/8, 1/3]; >> K = dir2latc(b) K = 1.0000 0.2500 0.5000 0.3333