University of LjubljanaFaculty of Mathematics and Physics

Oddelek za fiziko

Seminar Ib

Stabilnost Soncnega sistema

Avtor: Andrej LebanMentor: izred. prof. dr. Marko Znidaric

Ljubljana, April 2014

Povzetek

V seminarju bom najprej predstavil nekaj indicev o dinamicnem razvoju Soncnega sis-tema. Nato sledi kratek povzem zgodovinskega razvoja tretmaja problema njegove stabil-nosti: od Newtonove gravitacije preko klasicne mehanike Lagrangea in Laplacea do mo-derne teorije dinamicnih sistemov. V luci slednje bom predstavil rezultate relativno novihracunalniskih simulacij, ki postavijo stabilnost Soncnega sistema pod vprasaj.

KAZALO 1

Kazalo

1 Uvod - dinamicno Osoncje 1

2 Stabilnost Soncnega sistema v modelih pred Newtonom 1

3 Newtonova teorija gravitacije 2

4 Sekularni problem vec teles 34.1 Ekscentricnost in inklinacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Pojav tezav 6

6 Izrek KAM 6

7 Rezultati sodobnih studij 7

8 Zakljucek 10

1 Uvod - dinamicno Osoncje

Ze v osnovni soli smo se vsi najbrz srecali z modelom Osoncja, ki planete postavi v navidezno nepremicneelipticne orbite. Tudi teorija nastanka planetov iz soncne nebule predpostavi, da so ti nastali v blizininjihove sedanje razdalje od Sonca. Kot uvod zelim na kratko povzeti clanek R. Malhotre (ref. [1]), kinaslika precej bolj dinamicno podobo Soncnega sistema.

Nekateri objekti v soncnem sistemu seveda nimajo stabilnih orbit. Vsako leto se zgodi nesteto trkovasteroidov in manjsih teles z vecjimi objekti. Zgodovinsko je bila Luna tudi precej blizje Zemlji: ocenjenoje, da naj bi se formirala na razdalji okoli 30.000 km od Zemlje, okoli katere sedaj krozi na povprecnirazdalji 384.000 km.

Dinamicnost Osoncja se morda najbolj izraza v objektih Kuiperjevega pasu, ki se raztezajo od Nep-tunove orbite pri okoli 30 AU 1 do priblizno razdalje od Sonca enake 50 AU. Najbolj znani objekt tegapasu je ’bivsi planet’ Pluton, ki ima izredno ekscentricno orbito s nezanemarljivim naklonom - inklina-cijo. Ta je tudi v 3:2 orbitalni resonanci z Neptunovo - kar pomeni, da Neptun za vsak Plutonov obhodSonca opravi 1,5 obhoda. Zgodovinsko je vecina razlag nenavadnosti Plutonove orbite predpostavljalamed-planetarne trke; R. Malhotra pa je leta 1993 predlagala, da je Pluton nastal za Neptunom z relativnoregularno orbito, a je bil scasoma potisnjen v sedanjo orbito preko orbitalnih resonanc z Neptunom, kinaj bi se od Sonca oddaljil za vsaj 8 AU v (le) nekaj desetih milijonih let. Poleg tega relativno nedavnestudije manjsih teles iz tega pasu kazejo na to, da njihova prostorska distribucija ni nakljucna, ter daje ni mozno razloziti z relativno staticnim modelom Osoncja. Simulacije so tudi pokazale, da masivnizunanji planeti morebitna druga telesa (na primer asteroide), ki bi se priblizala Osoncju, hitro pahnejoiz stabilnih orbit v kaoticno gibanje.

V luci tega zelim pogledati, kaj so o stabilnosti Soncnega sistema mislili vcasih in kaj napovedujejonajnovejse racunalniske simulacije.

2 Stabilnost Soncnega sistema v modelih pred Newtonom

Med najstarejsimi modeli soncnega sistema imamo Ptolemejev geocentricni sistem, ki je bil smatrankot pravi opis soncnega sistema do splosnega sprejetja Kopernikovega heliocentrizma. Slednjega je na

1AU ali astronomska enota je enaka veliki polosi Zemljine orbite ≈ 150 milijonov km.

3 NEWTONOVA TEORIJA GRAVITACIJE 2

trdnejsa tla postavil sele Kepler s svojimi tremi zakoni gibanja planetov, kjer sta bila prva dva najprejobjavljena leta 1609.

Ptolemajski sistem je gibanje planetov v Soncnem sistemu opisal kot kotaljenje manjse kroznice,imenovani epicikel po obodu vecje kroznice, imenovane deferent, kot prikazuje spodnja slika:

Slika 1: Ptolemejev model gibanja planeta okoli zemlje.(ref. [2])

Tak sistem je matematicno stabilen, ne-skladanja z opazenimi trajektorijami planetov pa so bilanaknadno vnesena v kot popravki epiciklov.

Johannes Kepler je na podlagi opazovanj Tycha Braheja sprejel Kopernikov heliocentrizem in gibanjeplanetov opisal s znamenitimi tremi zakoni:

• Keplerjev prvi zakon: (1609) Planeti se gibljejo na elipsah s Soncem v enem izmed gorisc.

• Keplerjev drugi zakon: (1609) Planeti se gibljejo s konstantno povrsinsko hitrostjo.

• Keplerjev tretji zakon (1619) Razmerje tretje potence velike polosi elipse s kvadratom obhodnegacasa je konstantno za vse planete.

Keplerjevi zakoni se vedno sugerirajo stabilen soncni sistem. Ze kmalu po tem Edmond Halley izpreucevanja Babilonskih zapisov iz leta 228 pr.Kr. v 2. stoletju po Kr.) ter primerjavo s takrat sodob-nimi opazovanji pokaze, da se Jupiter bliza Soncu, medtem ko se Saturn od njega oddaljuje. Linearnaekstrapolacija mu sugerira, da naj bi le 6 milijonov let nazaj bila oba ekvidistantna Soncu. Zato so peri-odicnim trajektorijam planetov, ki jih napovejo Keplerjevi zakoni, sprva dodali dodatni clen (v nebesnemkotu), da so bolje opisali opazovanja. Tak clen se imenuje sekularni clen in predstavlja pojem, ki gabomo se srecali: dolgorocne, t.j. ne-periodicne, pojave v astronomiji.

3 Newtonova teorija gravitacije

Keplerjevi trije zakoni so bili na tej tocki se vedno le empiricne narave. Newton leta 1687 predlaga splosnizakon gravitacije, ki silo med dvema telesoma z masama m1 in m2 poda kot:

~F = Gm1m2

r2~r

|r|(1)

4 SEKULARNI PROBLEM VEC TELES 3

Tu uvede tudi Gravitacijsko konstanto G, ki znasa v SI sistemu pribliznoG = 6, 67384·10−11m3kg−1s−2.Problem dveh teles pod vplivom medsebojne gravitacijske privlacnosti je resil ze Newton in vodi do Ke-plerjevih zakonov. Drugi zakon izhaja iz ohranitve vrtilne kolicine Γ pod vplivom centralnih sil. Prvegadobimo, ce upostevamo se ohranitev celotne energije E, in vrne enacbo stoznice v polarnih koordinatahs ekscentricnostjo e in goriscnim parametrom p (ref. [3]):

r =p

1 + e cos(φ)(2)

Ta krivulja je elipsa, kadar je 0 < e < 1, oba parametra pa sta z veliko polosjo a povezana preko zvezea = p

√1− e2. Za elipticno tirnico dobimo tudi tretji Keplerjev zakon:

a3

T 2=

G(M +m)

4π2(3)

Konstanta na desni je univerzalna le v smislu, da so mase planetov m majhne v primerjavi z maso SoncaM .

Kljub uspesnim napovedim Newtonove teorije, pa je za celostno sliko stabilnosti samih planetarnihorbit potrebno upostevati tudi ostala telesa v osoncju, kar pomeni resevanje problema vec teles. Zgodo-vinsko sta prve uspehe tu pozela P. Laplace (1749-1827) in J. Lagrange(1736-1813) z uporabo klasicneteorije perturbacij.

4 Sekularni problem vec teles

V studiji stabilnosti Osoncja nas zanima sekularna, t.j. dolgorocna in ne-periodicna, dinamika samihorbit (in ne planetov). Dandanes po zaslugi H. Poincareja vemo, da problem ze treh teles pod vplivommedsebojne gravitacijske privlacnosti nima analiticne resitve, ki bi veljala za poljuben cas. Vendar staLaplace in Lagrange v 18. stoletju vseeno prisla do nekaj zakljuckov o stabilnosti Osoncja.

Pri tem sta si pomagala predvsem z dvema orodjema - teorijo perturbacij in izpovprecevanjem, slednjenam iz obicajnega Hamiltonskega napravi t.i. sekularni sistem, saj gibanje planetov efektivno izpovpreci.

Sedaj zelim orisati postopek za pridobitev sekularnih enacb na primeru treh teles, z uporabo modernenotacije (ref. [4]).

Hamiltonko problema (na primer) treh teles pod vplivom medsebojne gravitacije v treh dimenzijahlahko zapisemo kot hamiltonko Keplerjevega problema (sistemov planet-Sonce) - H0 in njeno perturbacijo- R s strani interakcij med ostalimi planeti (ref. [5]):

H(Φ, J) = H0(J) + εR(Φ, J, ε) (4)

Tu so J,Φ generalizirani pari koordinat, znani kot kanonicne akcije in koti2.Za studijo sekularnega obnasanja se uporablja njihovo razlicico, imenovano Poincarejeve elipticne

spremenljivke. Te so izpeljane iz standardnih elementov tira, prikazanih na spodnji sliki (Slika 2):Kanonicni koti in pripadajoce akcije za ta problem so:

• λi predstavlja srednjo dolzino(longitudo) teles in je enaka: λi = Ωi+ωi+Mi. Pripada ji akcijaLi = m′i

õiai. Tu je ai velika polos elipse, ostali dve konstanti pa sta povezani z masami in gra-

vitacijsko konstanto. λ je torej vsota treh kotov v naceloma dveh ravninah in mera pozicije planeta.

• ωi = ωi + Ωi je longituda perihelija z akcijo Gi = Li√

1− e2, ki vsebuje veliko polos in ekscen-tricnost orbite.

2Izpeljava le-teh za Keplerjev problem je na primer v Goldstein: Classical Mechanics (ref. [6])

4 SEKULARNI PROBLEM VEC TELES 4

Slika 2: Elementi tira (ref. [7]): i je inklinacija ali naklon orbite, P predstavlja perihelij, Ω je dolzinadviznega vozla - kot, kjer orbita seka referencno ravnino na poti navzgor. M je srednja anomalija inpredstavlja lego glede na perihelij. Ker sledi drugemu Keplerjevemu zakonu, je proporcionalna povrsini,ki jo opise zveznica med goriscem in telesom, merjena od zadnjega perihelija. Poleg teh je pomembna seekscentricnost orbite e, ki meri odstopanje od krozne orbite.

• Ω je dolzina dviznega vozla, prikazana na Sliki 2, z akcijo Hi = Li√

1− e2(1− cos(ii)), ki polegvelike polosi in ekscentricnosti vsebuje se inklinacijo orbite.

Hamiltonko v teh koordinatah zapisemo kot:

H(λ, ω,Ω;L,G,H) = H0(L) + εR(λ, ω,Ω;L,G,H) (5)

Keplerjev del problema - neperturbirana hamiltonka H0 - je odvisna le od akcije L, ki je sorazmernavelikim polosem in masam planetov ter Sonca.

Za preucevanje dinamike orbit nas ne zanima gibanje samih planetov. Tako definiramo sekularnohamiltonko, ki je izpovprecena Hamiltonka po λ - srednjih dolzinah planetov. Ker H0 ne vsebuje kotov,k sekularni hamiltonki prispeva le konstanto in jo zavrzemo - to je ekvivalentno izjavi, da Keplerjeveorbite nimajo sekularnih clenov in so tako stabilne:

Hsec = − 1

(2π)2

∫ 2π

0

εR d~λ (6)

Integral je misljen po vseh λi - kar pomeni po vseh telesih. Ocitno je tak sistem nato neodvisen odkotov λi in je tako pripadajoca akcija Li konstanta gibanja. Laplace je ekvivalent zgornjemu integralu(seveda pred Hamiltonom ni bilo Hamiltonove dinamike) razvil v vrsto po potencah mase planetov (ref.[8]) in pokazal, da ze v prvem clenu odvisnost od λ izgine. Zgornji integral se v praksi ponavadi da resitile numericno (ref. [4]).

Dejstvo, da je L konstanta gibanja sekularnega sistema nam da prvi pomemben Laplaceov zakljuceko stabilnosti Osoncja: ker je slednja odvisna le od velikih polosi tirnic in mas planetov pomeni, da sovelike polosi orbit dolgorocno stabilne - sekularno invariantne.

4 SEKULARNI PROBLEM VEC TELES 5

4.1 Ekscentricnost in inklinacija

Prejsnji rezultat o stabilnosti velikih polosi pa ni dovolj, da bi zagotovili dolgorocno stabilnost Soncnegasistema. Ce orbita Zemlje doseze ekscentricnost vecjo od 0.1, Mars pa vecjo od 0.3 trki med temaplanetoma postanejo mogoci kljub nespremenjenima velikima polosema njunih tirnic. Lagrange in Laplacetako v vec delih, zacensi leta 1774, z uporabo perturbacije prvega reda prideta do linearnih diferencialnihenacb za dolgorocni razvoj ekscentricnosti in inklinacije orbit. 3

Ce z zj = ej exp(√−1 ωj) in ζj = sin(ij/2) exp(

√−1 Ωj) opisemo ekscentricnosti ej in inklinacije

ij , dobita resitve oblike (ref. [7]):

zj =

k∑i=1

αij exp(√−1git) (7)

ζj =

k∑i=1

βij exp(√−1sit) (8)

αij , βij so kompleksne kolicine, gi in si pa imenujemo sekularne frekvence Soncnega sistema. kje enak stevilu teles (planetov) v obravnavi.

Inklinacije in ekscentricnosti orbit torej veckratno precesirajo, kot je prikazano na Sliki 3..

Slika 3: Spreminjanje zzemlje in ζzemlje v kompleksni ravnini pod vplivom petih in stirih ostalih teles jevsota vec krozenj. Dejanska vrednost e in i je dolzina vektorjev OP in OQ (ref. [7]).

Periode precesij gredo od 45.000 let do nekaj milijonov let. Vendar pa absolutne velikosti ne dosezejoprej omenjenih vrednosti, ki bi omogocile trke med planeti. V sliki Lagrangea in Laplacea je Soncnisistem torej dinamicen, a stabilen. Za neskladnost gibanja Jupitra in Saturna, ki jo je zaznal Halley, paLaplace pokaze, da je posledica periodicnega clena v razvoju z (relativno) dolgo periodo okoli 900 let, karpojasni navidezno sekularnost njunega gibanja.

3Tu bom namesto i uporabil√−1, da ne bi prislo do zamenjave z inklinacijami ii.

5 POJAV TEZAV 6

5 Pojav tezav

Naslednje korake v preucevanju problema je storil U. Le Verrier, preden je leta 1846 odkril planet Neptun.Najprej je prilagodil izracune Laplacea in Lagrangea takrat najnovejsim ocenam o masah planetov. Natoje opravil razvoj perturbacijske vrste do tretjega clena. V tem se pojavijo inverzne potence mase, in potakratni natancnosti poznanih mas notranjih planetov bi lahko clen tretje potence prevladal nad clenomdruge. To bi seveda pomenilo, da da perturbacijska vrste ne konvergira in je celoten razvoj vprasljiv.

Zato leta 1841 pozove matematike naj dokoncno odgovorijo na vprasanje z eksaktno resitvijo problemavec teles (ref. [8]).

Dokoncen, a negativen odgovor mu poda H. Poincare v drugi knjigi Les methodes nouvelles de lamecanique celeste. Tam pokaze, da je sistem treh planetov pod vplivom medsebojne gravitacije nein-tegrabilen, kar pomeni, da zanj ne obstaja analiticna resitev. Za resitev s perturbacijsko vrsto pa jepokazal, da ni mogoce zagotoviti njene konvergentnosti za poljubne zacetne pogoje in poljubno dolg cas.Za ta dosezek prejme celo nagrado svedskega kralja Oskarja II (ref. [9]).

Vendar nas v formulaciji vprasanja ne zanima stabilnost Osoncja v neskoncnosti, temvec stabilnostna casovni skali, primerljivi z njegovo zivljenjsko dobo, kar je bilo naceloma se vedno mogoce.

6 Izrek KAM

Vsak neperturbirani integrabilen hamiltonski sistem v koordinatah kanonicnih akcije in kotov ima kva-ziperiodicne resitve, ki se v faznem prostoru gibljejo po povrsini N -dimenzionalnega torusa, kjer je Nstevilo prostostnih stopenj. Tem torusom pravimo tudi invariantni torusi.

Izrek KAM (Kolmogorov - Arnold - Moser) nam pove o obstanku kvaziperiodicih orbit taksnegasistema po majhni perturbaciji, kar je ekvivalentno obstanku invariantnega torusa v faznem prostoru.Prvi prispevek k njemu je storil Andrej Kolmogorov leta 1954, razsirila pa sta ga se Vladimir Arnold leta1963 in Jurgen Moser leta 1962. Torus, ki ’prezivi’ sibko perturbacijo, imenujemo KAM torus; pogoji zato pa so okvirno naslednji (ref. [10]):

• Frekvence neperturbiranega sistema ωi = ∂H0/∂Ji so linearno neodvisne.

• Perturbacija je dovolj gladka.

• Mase in frekvence neperturbiranega sistema so velike v primerjavi z mocjo perturbacije in stevilomprostostnih stopenj.

V praksi nam izrek zagotovi, da za dovolj sibke perturbacije dolocene kvazi-periodicne orbite prezivijov deformirani obliki. Ko se moc perturbacije zmanjsa, KAM torusi scasoma zapolnijo celoten fazniprostor. V nasprotnem primeru izginjajo z vecanjem perturbacije, dokler se ne zgodi prehod v cisti kaos.

Na zalost je hamiltonski sistem Osoncja (Enacba 5) degeneriran v neperturbiranem clenu, ki sploh niodvisen od spremenljivk kota. Zato osnovna razlicica izreka KAM zanj ne velja - v splosnem perturbacijedegeneriranih Hamiltonskih sistemov nimajo KAM torusov. Vendar V. Arnold leta 1963 (deloma) dokazerazlicico izreka tudi za degenerirane sisteme (ref. [11]). Ta zagotovi, da obstaja mnozica zacetnih tock zpozitivno mero, katere casovni razvoj lezi na KAM torusu, ce ima sekularna (izpovprecena) perturbacijaelipticno stabilno tocko.

V praksi pa se izkaze, da za sistem Osoncja mnozica zacetnih tock, za katero izrek garantira KAMtoruse, predstavlja mnogo premajhne planetne mase in ekscentricnosti (ref. [8]). Ti torusi so tudi izolirani,kar pomeni, da ze majhna sprememba v zacetnih pogojih pomeni kaoticno vedenje. Kljub temu pa jeveljal konsenz, da Arnoldov rezultat pomeni dober znak za prakticno stabilnost Soncnega sistema na skalinjegove zivljenjske dobe, saj nekaj tockam zagotavlja obstoj KAM torusov neskoncno v prihodnosti, karnaj bi bil dober znak za orbite z dolgo zivljenjsko dobo.

7 REZULTATI SODOBNIH STUDIJ 7

7 Rezultati sodobnih studij

Del sodobnih studij uporablja neposredno numericno integracijo enacb gibanja, po potrebi z upostevanjempopravkov, ki jih da splosna teorija relativnosti (ti so tipicno reda 10−8 v primerjavi z najvecjimi cleni).Primer take je studija gibanja Plutona, ki sta jo leta 1988 na MIT opravila Sussman in Wisdom in prvadobila znake kaoticne dinamike. (ref. [12]). V njej sta integrirala enacbe preko casovnega razpona 875milijonov let. V splosnem velja, da je potrebno za hitrejse planete vzeti manjsi korak v integratorju,kar omeji celotni casovni razpon simulacije. Simulacija celotnega Osoncja je tako omejena s potrebnimcasovnim korakom za najhitrejse planete, ki znasa okoli pol dneva (ref. [8]). Studija Sussmana in Wisdomapokaze, da je gibanje Plutona kaoticno s karakteristicnim Ljapunovim casom okoli 20 milijonovlet..

Ljapunov cas je inverz Ljapunovega eksponenta λ, ki nam opise separacijo δ dveh trajektorij vfaznem prostoru, ki sta si na zacetku infinitezimalno blizu kot priblizno:

|δ(t)| ≈ eλt|δ(0)| (9)

Eksponentno povecevanje razdalje med vec trajektorijami Plutona, ki so si bile na zacetku infinitezi-malno blizu prikazuje naslednja slika:

Slika 4: Log-log graf razdalje med vec testnimi trajektorijami v studiji Sussmana. (ref. [12]).

Kljub tem zakljuckom kaoticnost Plutona zaradi njegove majhne mase se ne pomeni nujno nestabil-nosti celotnega Soncnega sistema.

Drug pristop je nadaljevanje dela Lagrangea in Laplacea, torej uporaba perturbacijske vrste seku-larnega sistema. Leta 1989 je tako J. Laskar integriral model sekularnega sistema vseh osmih planetov(brez Plutona). Tak sistem obsega okoli 150.000 clenov (ref. [8]), kjer si je seveda mogoce pomagatiz modernimi racunalniskimi pripomocki za simbolno racunanje. Zaradi sekularnosti tak model dopuscavelike casovne korake reda 500 let. Rezultat prve studije je bil presenetljiv - sistem notranjih planetovje kaoticen z Ljapunovim casom 5 milijonov let, kar so kasneje potrdile tudi studije z neposredno nu-mericno integracijo (Sussman, Wisdom leta 1992). To pomeni, da se napaka v zacetni poziciji na primerZemlje priblizno podeseteri vsakih 10 milijonov let.

To je po mnenju avtorja raziskave predvsem posledica dveh sekularnih resonanc, med Marsom inZemljo in med Merkurjem, Zemljo in Jupitrom. Sekularna resonanca je analogna bolj znani orbitalni : pri

7 REZULTATI SODOBNIH STUDIJ 8

slednji gre za sinhronizacijo orbitalnih period planetov, pri sekularni pa za sinhronizacijo prej opisanihfrekvenc precesije.Pri tem pride do precejsnjega prenosa vrtilne kolicine med zunanjimi planeti in Merkurjem, kar se poznana naslednji sliki (Slika 5 a) ) v povecanju maksimalne ekscentricnosti Merkurja na skali milijard let. Takolicina predstavlja maksimum ekscentricnosti na nekem casovnem intervalu, v tem primeru 10 milijonovlet.

(a) Maksimalna ekscentricnost orbite planetov v intervalih velikosti 10 mi-lijonov let v casovni skali milijard let (ref. [7]).

(b) Fazni diagram pozicij planetov v naslednjih 5 milijardah let.Okrepljena crta so trenutne krozne orbite, osencene so moznepozicije, bel prostor je ’nedosegljiv’. Posebej omembe vredenje dvakrat osencen pas med Merkurjem in Venero! (ref. [7])

Slika 5: Maksimalna ekscentricnost orbit planetov (a)) in fazni diagram pozicij zaradi kaoticnosti ekscen-tricnosti in inklinacij (b)).

Zunanji planeti imajo na Sliki 5a) kvaziperiodicne orbite, saj velikost intervala 10 milijonov let eli-minira periodicne pojave, kot na primer prej opisano linearno sklopljenost Jupitra in Saturna. Zaradinjihove velike mase prenos vrtilne kolicine na Merkur ni razviden v skali.

Slika 5b) prikazuje fazni diagram ’najbolj dramaticnega scenarija’, ki ga je J. Laskar konstruiral leta1994 (ref. [13]). V njem je vzel 5 trajektorij in jih integriral v casu naprej 500 milijonov let. Nato jeod teh vzel tisto, ki je vodila do najvecje ekscentricnosti Merkurja in se stiri dodatne iz njene okolice terjih zopet propagiral za 500 milijonov let. Po nekaj ponovitvah je prisel do orbite Merkurja, ki bi trcilaz Venerino v 3,5 milijardah let. Kot mera kaoticnosti lahko sluzi dejstvo, da se je ta orbita od tiste,ki jo je vzel kot zacetek te iteracije, razlikovala za manj kot 10−33 cm v zacetnih pozicijah planetov.Tak postopek nam v casovnem roku 5 milijard let zaradi sprememb v ekscentricnostih (in manjsi meriinklinacijah) orbit narise zgoraj prikazan fazni diagram pozicij planetov.

Na njem je zanimivo dejstvo, da se obmocje moznih orbit Marsa razteza do asteroidnega pasu, karsugerira, da je morda Mars v preteklosti ze obiskal njihovo blizino, in tako ’pocistil okolico’ manjsihteles, kar je tudi splosno sprejet model obnasanja soncnih sistemov po formaciji planetov. Poleg ekscen-tricnosti je tudi dinamika inklinacij kaoticna, vendar na manjsi skali. Povecanje maksimalne inklinacijelahko tako nekoliko zmanjsa moznosti trkov, ki pridejo iz samega povecanja ekscentricnosti, kar avtoruposteva. Vendar se je potrebno spomniti, da same inklinacije (in ne maksimalne inklinacije) se vedno

7 REZULTATI SODOBNIH STUDIJ 9

precesirajo ter tako dovoljujejo trke na orbitah, ki se prekrivajo v ravninski projekciji, kot na zgornji sliki.

V studiji iz leta 2009 (ref. [14]) je J. Laskar skupaj s M. Gastineaujem nadaljeval s statisticnimpreucevanjem potencialnih orbit, ki bi vodile do trkov med notranjimi planeti Osoncja, a tokrat z ne-posredno integracijo dinamike Osoncja, z upostevanjem popravkov zaradi splosne relativnosti ter celoefektov Lune. Zadnji povzrocijo, da sistem rahlo izgublja energijo, ki se tako (poleg celotne vrtilnekolicine) ohranja le v grobem. Neposredna integracija je za zanesljivo statistiko potrebna, saj sekularnisistem odpove v blizini trka dveh planetov. Splosna relativnost pa pride v postev predvsem za Merkur, kije zaradi blizine orbite Soncu pod mocnim gravitacijskim vplivom. Integrator je imel prilagodljiv korakz maksimalno dolzino 0.025 leta. Simulacija je trajala 5 milijard let, kar ustreza pricakovani preostalizivljenjski dobi Sonca. Za preizkus sistema je najprej simuliral popolnoma Newtonski sistem za 201Osoncij z zacetnimi pogoji, ki so se med seboj razlikovali le za najvec 7,6 metra v dolzini velike polosiorbite Merkurja. Temu je sledila zahtevnejsa simulacija, ki je upostevala oba popravka na 2501 hkratnihinstancah Osoncja. Tu se je velika polos Merkurjeve orbite na zacetku razlikovala za najvec 0,95 m medzacetnimi pogoji razlicnih instanc.

Slika 6: Maksimalna ekscentricnost orbite Merkurja v razlicnih instancah (na intervalih 1 milijona let).a) - zgoraj- Newtonski model z 201 orbitami. b) - spodaj- model z upostevanjem splosne relativnosti inprispevkov Lune z 2501 orbitami (ref. [14]).

Na Sliki 6 je videti, da je model, ki uposteva splosno relativnost, mnogo bolj stabilen - verjetnost trkav spremljanem obdobju je bila okrog 1% v primerjavi z kar 60% za cisti newtonski sistem, kar je tudisvojevrstna potrditev splosne relativnosti. To je posledica zmanjsanja vpliva resonance med Jupitrom in

8 ZAKLJUCEK 10

Merkurjem zaradi popravljene hitrosti slednjega v periheliju.Najpomembnejsi predpogoj za katastroficne dogodke je torej povecanje ekscentricnosti Mer-

kurjeve orbite nad 0.7 preko resonance z Jupitrom. Za realisticno simulacijo to v vecini od 20primerov (od 2501 simuliranih) vodi v njegov trk z Soncem ali Venero, po katerem je sistempreostalih planetov stabilen. V le nekaj primerih pa povecanje ekscentricnosti orbite Merkurjaza seboj potegne se ostale notranje planete preko njihove medsebojne resonance. Tu se gibalnakolicina, ki jo Merkur dobi od zunanjih planetov, prenese na ostale notranje planete, sama eks-centricnost Merkurja pa se tako zmanjsa. Tako celoten notranji Soncni sistem postane nestabilen,v enem primeru pa pride celo do trka Zemlje in Venere okrog 3.4 milijarde let v simulacijo. Takkatastrofalni scenarij je predstavljen na naslednjem paru slik (Slika 7).

(a) Evolucija orbit stirih notranjih planetov v katastrofalnem scenarijusledecemu deformaciji Merkurjeve orbite. Leto v simulaciji je navedeno vspodnjem levem kotu vsake slike. (ref. [8])

(b) Sistem Merkur (rdeca) - Zemlja (modra) - Mars (zelena):zgoraj maksimalne ekscentricnosti, v sredini in spodaj padiferenciala energije celotnega sistema (dh) ter njegovevrtilne kolicine (dc) v logaritemski skali (ref. [14]).

Slika 7: Evolucija orbit (a)) in njihovih ekscentricnosti, gibalne kolicine in energije (b)) v kata-strofalnem primeru destabilizacije notranjega Soncnega sistema. Na desni sliki je lepo videti, daprehod v kaoticnost spremlja prenos energije in vrtilne kolicine.

8 Zakljucek

Soncni sistem bi torej lahko definirali kot marginalno stabilen - cas, ki ga potrebuje, da se zverjetnostjo 1% pripeti katastroficen dogodek, je primerljiv z preostalo zivljenjsko dobo Sonca(priblizno 5 milijard let). Studije so tudi pokazale, da se stabilnost soncnega sistema povecapo trku ali izmetu telesa, kot v vecini simuliranih trkov Merkurja z Soncem. To je v skladuz teorijo formacije planetov, kjer ’ciscenje’ Osoncja manjsih objektov pripomore k marginalnovedno stabilnejsemu sistemu.

LITERATURA 11

Literatura

[1] Malhotra, R. Migrating Planets. Scientific American (1999) 281:3, 56-63

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemaic_system#Ptolemaic_system (5.4. 2014)

[3] Ferraz-Mello, S. Celestial mechanics http://www.scholarpedia.org/article/

Celestial_mechanics (3.4.2014)

[4] T.A. Michtchenko, R. Malhotra Secular dynamics of the three body problem: applicationto the upsilon Andromedae planetary system http://arxiv.org/abs/astro-ph/0307094

(8.4. 2014)

[5] Chenciner, A. Three body problem http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_

problem (6.4. 2014)

[6] Goldstein, H., Poole, C. in Safko, J., 2000, Classical Mechanics 3rd Edition, Addison-Wesley,strani 439-486

[7] Laskar, J. Stability of the solar system, http://www.scholarpedia.org/article/

Stability_of_the_solar_system (2.4. 2014)

[8] Laskar, J. Is the Solar System stable?, http://arxiv.org/abs/1209.5996

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9#The_three-body_problem

(5.4.2014)

[10] Lichentberg, A.J. in Lieberman, M.A. 1992, Regular and Chaotic Dynamics, 2nd Edition,Springer Verlag, strani 174-195

[11] Chierchia, L. in Mather, J.N. Kolmogorov-Arnold-Moser Theory, http://www.

scholarpedia.org/article/KAM_theory_in_celestial_mechanics (8.4. 2014)

[12] Sussman, G.J. in Wisdom, J. Numerical Evidence that the Motion of Pluto is Chaotic,Science (1988) 241:4864, 433-437

[13] Laskar, J. Large-scale chaos in the solar system. Astronomy and Astrophysics (1994) 287,L9-L12

[14] Laskar, J. in Gastineau, M. Existence of collisional trajectories of Mercury, Mars andVenus with the Earth. Nature (2009) 459:7248, 817-819

Fitzpatrick, R. Introduction to Celestial Mechanics, spletna verzija na naslovu: http:

//farside.ph.utexas.edu/teaching/celestial/Celestialhtml/Celestial.html (8.4.2014)

Malhotra, R., Hollman, M. in Ito, T. Chaos and stability of the solar system. PNAS (2001)98:22, 12342-12343

Peterson, I., 1993, Newton’s Clock: Chaos in the Solar System, W.H. Freeman & Co.