BRVKABRVKA

Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)

Definice: Posloupnost má limitu , pokud pro každé okolí U bodu a existuje index n0 tak, že pro všechna přirozená n > n0 je člen an z okolí U bodu a.

Značení:

BRVKA

1nna Ra

aaaa nnn

n

nebo lim

an

n

limitaU(a

)

n0n>n0

Od určitého indexu n0 jsou všechny další členy v U okolí limity.Okolí můžeme zvolit libovolně malé.

Reálné a → plst je konvergentní.a = +∞ nebo –∞ → plst je divergentní.

BRVKA

bxfbxf x

x

nebo lim

y

x

U(b

)

x0x>x0

Poznámky: Okolí U(b) můžeme zvolit libovolně malé, změní se tím jen to, že x0 bude o něco větší.Zjištěním x0 jsme určili okolí nevlastního bodu.

limita

Značení:

Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v nevlastním bodě (v nekonečnu). Pokud se funkční hodnoty blíží nějaké hodnotě b, znamená to, že od určitého x0 jsou všechny funkční hodnoty v okolí U bodu b.

BRVKA

Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v okolí vlastního bodu a.

bxfbxf ax

ax

nebo lim

y

x

U(b

)

a P(a)

limita b

Značení:

Všechny funkční hodnoty čísel z okolí bodu a se nacházejí v okolí bodu b.

Poznámka: Funkční hodnota bodu a nás vůbec nezajímá, nemusí být ani definována nebo může být jakákoliv, zajímá nás okolí.

BRVKA

Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v prstencovém okolí bodu a má v bodě a limitu b, pokud ke každému okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že

y

x

U(b

)

a P(a)

Jestliže má P(a) existovat pro každé okolí U(b), můžeme volit libovolné menší (užší) okolí. Prstencové okolí P(a) se pouze zúží, ale bude existovat.

UPf

limita b

BRVKA

Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v levém (resp. pravém) prstencovém okolí bodu a má v bodě a jednostrannou limitu b zleva (resp. zprava), pokud ke každému okolí U bodu b existuje levé (resp. pravé) prstencové okolí P bodu a tak, že

y

x

U(b

)

aPL(a) Pro limitu zprava je to analogické.

UPf

Limita b zleva

bxfbxfaxax

lim limZnačení:

BRVKA

Limita funkce f(x) ve vlastním bodě existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. Pak se jim rovná i limita funkce.

y

x

U(b

)

aPL(a)

limita zleva

bxfxfxfaxaxax

limlim lim

PP(a)

limita zprava

BRVKA

y

x

U(+

∞)

aPL(a)

lim xfax

Funkce f(x) může mít ve vlastním bodě a nevlastní limitu, funkční hodnoty f(x) rostou (v absolutní hodnotě) nade všechny meze.

BRVKA

Limity v nevlastních bodech určujeme stejně jako u posloupností

Limity ve vlastních bodech určujeme: Dosazením, pokud to lze, tj. pokud nezískáme neurčitý výraz Vhodnou úpravou a poté dosazením:

Vyhodnocením výrazu úvahou:

Úvaha: „dělíme něčím, co je velmi malé, takže nám vyjde něco hodně velkého, a to kladného velkého, zřejmě + ∞.

Vzorcem – viz dále.

Pomocí l´Hospitalova pravidla – až budeme umět derivace

41

21

lim22

2lim

42

lim2222

xxxx

xx

xxx

31

lim3 xx

BRVKA

Pokud můžeme funkci zapsat pomocí dvou jiných f a g, platí podobné vztahy jako u limit plstí

Vzorcem, upravíme funkci na tvar, který obsahuje limitu ze vzorce a dosadíme:

fcfc

gf

f

g

f

gfgf

gfgf

axax

ax

ax

ax

axaxax

axaxax

lim..lim

0 pro,lim

limlim

lim.lim.lim

limlimlim

1sin

lim0

x

xx

11

lim0

x

ex

x

1

1lnlim

0

xx

x

Předchozí metody se často kombinují, např. provedeme úpravu a vyjde limita, kterou vyřešíme vzorcem či úvahou.

BRVKA

1

3

3

2sinlim

20 xx

xx

1

3lim

3

2sinlim

200 xx

xxx

10

3lim

22

2sinlim

3

120

0x

x x

x

1

3lim

2

2sinlim.

3

200 xx x

x

3

721.

3

2

2

2

0 3

tg5lim

x

xx

2

2

2

0 3cossin

5lim

xxx

x

xx

xx 22

2

0 cos

1

3

sin5lim

xx

xxx 20

2

0 cos

1lim.

sinlim

3

5

0cos

1lim.

sinlim

3

520

2

0 xx x

x

3

51.1.

3

5 2

BRVKA

Grafy některých funkcí jsou „přetržené“, nenavazují, např.

Naopak grafy jiných funkcí lze „kreslit jedním tahem“.

Takové funkce označujeme jako SPOJITÉ.

xxfxxfx

xfxxf )(,)(,1

)(,sgn)( 2

xxfxxfxxfxxf log)(,13)(,2)(,)( 2

Věta o souvislosti limity a spojitosti:

Funkce f(x) definovaná v bodě a je v tomto bodě spojitá, pokud )()(lim afxf

ax

Typy nespojitosti: Chybějící bod, lze vhodně dodefinovat. Asymptota Skokově nespojitá funkce

11

)(2

xx

xfxxf

xxf tg)(,

1)(

xxf sgn)(

A to je pro dnešek vše,

děkuji za pozornost.

BRVKA