84

Moderní technologie ve studiu aplikované fyzikyCZ.1.07/2.2.00/07.0018

9. Limita a spojitost funkce

OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD

Okolí bodu a je libovolný interval (a − r, a + r), kde r > 0; značí se O (a, r ),

případně jen O (a ) (obr. 9.1.). Číslo r se nazývá poloměr okolí.

Obrázek 9.1 Okolí bodu

Uvažujme libovolnou množinu M ⊆ R. Bod a je vnitřní bod množiny M, jestliže

existuje O (a ) takové, že platí O (a ) ⊆ M. Bod a je hraniční bod množiny M, jestliže

v každém O (a ) existují body, které patří do M a současně body, které do M nepatří.

Je zřejmé, že každý vnitřní bod patří do M, kdežto hraniční bod množiny M může,

ale nemusí patřit do M.

K význačným množinám na reálné ose patří intervaly. Pokud hraniční bod

intervalu patří do intervalu, nazývá se též krajní bod.

Příklad:

Polouzavřený interval ( p, q⟩ má hraniční body p, q, z nichž p ∉ M, q ∈ M; každý bod x ∈ ( p, q) je jeho bodem

vnitřním. Bod q můžeme též nazvat bodem krajním.

POJEM LIMITY FUNKCE V BODĚ

V matematické analýze má pojem limity základní význam. V běžném jazyce

se ale slovo "limita" nevyskytuje. Používají se však jemu příbuzná slova (například

limit rychlosti, limitující faktor) ve smyslu jisté "hranice" mající kritický význam.

S takovou intuitivní představou lze přistupovat k pochopení matematického pojmu

limita.

0aa − r a + r

O(a, r)

85

Motivační úvaha:

Ještě než uvedeme definici pojmu limita funkce v bodě je užitečné provést tuto motivační

úvahu:

Uvažujme funkci ( )1

12

−−

=x

xxf , zřejmě D (

f ) = R − {1}. Jistě vyvstane otázka, co lze očekávat

v bodě 1, ve kterém není funkce definována. Přirozený důvod má myšlenka přiblížit se co

nejvíc bodu 1 a z příslušných vypočtených hodnot funkce usuzovat na situaci v bodě 1. Bodu

1 se lze libovolně přiblížit zleva i zprava například pro 0,9 je f (0,9) = 1,9, pro 1,1 je

f (1,1) = 2,1, dále f (0,99) = 1,99, f (1,01) = 2,01 atd. Lze vyslovit hypotézu, že při přibližování

z obou stran k bodu 1 se hodnoty funkce přibližují k číslu 2. Tuto hypotézu podporuje i graf

funkce f na obrázku 9.2. Přesně formulováno, k libovolně zvolenému ε > 0 existuje δ > 0 tak,

že pro x ∈ (1 − δ, 1 + δ ), x ≠ 1 platí f (x) ∈ (2 − ε, 2 + ε). V takovém případě se prohlásí číslo

2 za limitu funkce ( )1

12

−−

=x

xxf v bodě 1. Důležitý je fakt, že pro tuto úvahu není podstatné,

zda je f v bodě definována či ne.

Obrázek 9.2 Graf ( )112

−−

=x

xxf

Definujme nyní limitu funkce v bodě:

Předpokládejme, že funkce f je definována na nějakém okolí O (c ) bodu c

s případnou výjimkou bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a, jestliže ke každému

ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro x ∈ (c − δ, c + δ ), x ≠ c platí f (x) ∈ (a − ε, a + ε).

Zapisuje se ( ) axfcx

=→lim a čte se "limita funkce f pro x jdoucí (blížící se) k c je rovna

a".

Poznámka:

Volně řečeno, funkce f má v bodě c limitu a, jestliže pro hodnoty x blízké okolí bodu c (ale

různé od c) je hodnota f (x) blízká hodnotě a. Geometricky to znamená, že při libovolném

x11 − δ

0 x1 + δ

y

2

2 − ε

2 + εf (x)( )

1

12

−

−=x

xxf

86

ε > 0 leží graf funkce pro x ≠ c, c − δ < x < c + δ v pásu mezi přímkami y = a − ε a y = a + ε

(obr. 9.3).

Abychom postihli případy, kdy se funkce chová jinak „vlevo“ od zkoumaného

bodu a jinak „vpravo“, definujeme levé (pravé) okolí bodu a jako interval (a − r, a )

( (a , a + r ) ), kde r > 0; značí se O-(a ) ( O+ (a ) ).

Předpokládejme, že funkce f je definována na levém (pravém) okolí O - (c )

(O + (c ) ) bodu c. Funkce f má v bodě c limitu a zleva (zprava), jestliže ke každému

ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro x ∈ (c − δ, c ) ( x ∈ (c , c + δ ) ), platí

f (x ) ∈ (a − ε, a + ε). Zapisuje se ( ) axfcx

=−→

lim ( ( ) axfcx

=+→

lim ) a čte se "limita funkce f

pro x jdoucí (blížící se) k c zleva (zprava) je rovna a".

Obrázek 9.3 Limita funkce v bodě

Závažná je skutečnost, že existence limity nezávisí na tom, zda je funkce f

v bodě definována či ne. To znamená, že je-li f v bodě c definována, její hodnota f (c )

neovlivní hodnotu limity v bodě c. Důležitý případ nastane, jestliže limita existuje

a navíc se rovná funkční hodnotě pak se f prohlásí za spojitou v bodě (viz dále).

Na obrázku 9.4 je příklad funkce, která je v bodě c definována, avšak v bodě c

limita neexistuje (pro hodnoty blízké c jsou zleva funkční hodnoty rovny číslu − 1,

zprava číslu 1, tedy žádné společné předem pevně zadané hodnotě).

Je zřejmé, že definice limity nedává návod, jak ji "vypočítat". Užitím definice

lze pouze potvrdit, zda předem zadané číslo limitou skutečně je. Potvrzení je však

snadné pouze v jednoduchých případech, jinak vyžaduje obvykle zvláštní postup

s vhodně volenými matematickými obraty.

87

Obrázek 9.4 Neexistence limity

V každém případě je však velmi důležité stanovení hypotézy o existenci

limity, případně její hodnotě, založené na pochopení pojmu limita. To umožní

i řešení úloh typu "určete ( )xfcx→

lim ", jak jsou tradičně úlohy o limitách zadávány. Při

stanovení hypotézy se postupuje tak, jak je uvedeno v motivační úloze

o limitě vyšetříme hodnoty funkce v bodech blízkých zleva i zprava bodu, ve

kterém se limita hledá.

Příklad:

(a) Stanovíme hypotézu o x

x

x

sinlim

0→. Vychází f (0,1) = f (− 0,1) = 0,998, f (0,05) = f (− 0,05) = 0,9995,

f (0,01) = f (− 0,01) = 0,9998. Lze stanovit hypotézu, že 1sin

lim0

=→ x

x

x. Její pravdivost můžeme potvrdit

výpočtem při užití L´Hospitalova pravidla (viz další kapitola o derivaci funkce).

(b) Stanovíme hypotézu o xx

1lim

0→. Platí f (0,1) = 10, f (− 0,1) = − 10, f (0,01) = 100, f (− 0,01) = − 100,

f (0,001) = 1000, f (− 0,001) = − 1000. Zřejmě limita neexistuje, neboť pro x > 0, x je blízké 0, jsou

hodnoty f (x) dosti velká kladná čísla, kdežto pro x < 0, x blízké 0, jsou hodnoty f (x) dosti malá záporná

čísla.

Důležité je rovněž umět stanovit hypotézu o limitě z grafu funkce. Na

následujícím obrázku 9.5 jsou zachyceny základní alternativy (tečkou • je

vyznačena definovaná funkční hodnota).

Poznámka:

Obrázek 9.5 znázorňuje dříve zmíněná fakta: Že limita funkce v bodě c nezávisí na hodnotě

funkce v bodě c (viz čtvrtý obrázek), že v něm funkce navíc nemusí být ani definována

(viz pátý obrázek), limita také nezávisí na hodnotách funkce v bodech vzdálených bodu c.

Limita funkce v bodě je tzv. lokální pojem, záleží jen na hodnotách funkce v nejbližším okolí

bodu c.

x0 c

1f (c)

− 1

y

f

88

Obrázek 9.5 Alternativy (ne)existence limity

DŮLEŽITÉ LIMITY

K důležitým základním limitám patří:

• konstantajekde kkkcx

,lim =→

, (plyne z definice)

• ,lim cxcx

=→

(plyne z definice)

• ,1sin

lim0

=→ x

x

x(užitím L´Hospitalova pravidla)

• ,0cos1

lim0

=−

→ x

x

x(užitím L´Hospitalova pravidla)

• .11

lim0

=−

→ x

e x

x(užitím L´Hospitalova pravidla)

VLASTNOSTI LIMIT

Limita funkce v bodě může, ale nemusí existovat. Nemůže se však stát, aby

v daném bodě existovalo více limit:

Funkce f má v daném bodě nejvýše jednu limitu.

Funkce f má v daném bodě a ∈ R limitu c ∈ R, jestliže má v tomto bodě limity zprava i

zleva a tyto jsou rovny c.

Limita respektuje operace sčítání, odčítání, násobení a dělení s funkcí:

Nechť ( ) axfcx

=→lim , ( ) bxg

cx=

→lim . Pak platí:

89

( ) ( )( ) baxgxfcx

±=±→lim . (9.1)

( ) ( )( ) abxgxfcx

=→lim . (9.2)

Je-li b ≠ 0, pak

( )( ) b

a

xg

xf

cx=

→lim . (9.3)

Je-li n ≥ 0 celé číslo, pak

( )[ ] nn

cxaxf =

→lim . (9.4)

Příklad:

(a) Je-li k konstanta a ( ) axfcx

=→

lim , pak ( ) kaxkfcx

=→

lim .

(neboť podle (9.2) platí ( ) ( ) kaxfkxkfcxcxcx

==→→→

limlimlim )

(b) nn

cxcx =

→lim , kde n ≥ 0 je celé číslo.

(plyne aplikací (9.4) pro f (x) = x)

(c) 100

9

2

1lim

2

32=

+

+→ x

x

x.

(protože podle (9.1) platí ( ) 3121limlim1lim222

=+=+=+→→→ xxx

xx a s využitím (9.4) také

( ) 10222limlim2lim 3

2

3

2

3

2=+=+=+

→→→ xxxxx ; a tedy podle (9.3) lze psát

( )

( ) 10

3

2lim

1lim

2

1lim

3

2

232

=+

+=

++

→

→

→ x

x

x

x

x

x

x, přičemž

konečně užitím (9.4) dostáváme100

9

10

3

2

1lim

22

32=

=

+

+→ x

x

x)

Pro praktické výpočty má zásadní význam následující tvrzení, které říká, že

limity elementárních funkcí ve vnitřních bodech jejich definičních oborů (intervalů)

se určí prostým dosazením:

Pro každou elementární funkci f a vnitřní bod c jejího definičního oboru platí

( ) ( )cfxfcx

=→lim . (9.5)

Příklad:

ππ

π

π

2

2

2sinsin

lim

2

==→ x

x

x

, neboť2

π je vnitřní bod definičního oboru funkce

x

xsin.

90

VÝPOČET LIMIT

Nyní uvedeme shrnující fakta k technice výpočtu limit. Jednoduchý je

postup, kdy lze limitu určit přímým dosazením (9.5), případně využít znalostí

základních limit a aplikace vět o vlastnostech limity (9.1) (9.4). Pokud nelze

limitu tímto způsobem určit, zbývá (kromě užití L´Hospitalova

pravidla viz následující kapitola o derivacích) upravit funkci na tvar, který již

umožňuje shora uvedený způsob. Nejčastějším je případ limity podílu funkcí ( )( )xgxf,

kdy lim g(x) = 0 (někdy i navíc lim f (x) = 0). Pak nelze použít přímé dosazení,

respektive vlastnost (9.3); častou hrubou chybou je v případě lim g(x) = lim f (x) = 0

učinit závěr, že ( )( )

10

0lim ==

xg

xf. Umět řešit takové úlohy je do značné míry záležitostí

dostatečné početní praxe a cviku. V dané chvíli je proto spíše účelné počkat

s výpočtem obtížnějších limit až na L´Hospitalovo pravidlo s využitím derivací.

Příklad:

Určeme 3

6lim

2

3 +−+

−→ x

xx

x. Platí ( ) 06lim 2

3=−+

−→xx

x, ( ) 03lim

3=+

−→x

x. Nelze použít přímé dosazení, či vlastnosti

limity podílu (9.3). Úpravou dostaneme ( )( )

3

23lim

3 +−+

−→ x

xx

x; nyní lze členem (x + 3) krátit, neboť pro určení

limity přicházejí v úvahu hodnoty různé od − 3. Pak vychází ( )( ) ( ) 52lim

3

23lim

33−=−=

+−+

−→−→x

x

xx

xx.

Pokud při výpočtu limit výraz upravujeme, je výhodné před výpočtem,

případně až po výpočtu otestovat hypotézu o limitě, abychom vyloučili náhodnou

chybu při provádění úprav.

NEVLASTNÍ LIMITA

V tomto odstavci se budeme zabývat studiem veličin, jejichž chování je

charakteristické tím, že jejich hodnoty “rostou nade všechny meze”. Nejde zdánlivě

o umělou abstrakci, vyšetřování takových veličin má své reálné opodstatnění,

například, při studiu útlumových dějů, stability fyzikálních procesů apod. K tomu

se jeví účelné nejprve rozšířit množinu reálných čísel R o prvky + ∞, − ∞, pro něž

platí − ∞ < a < + ∞ pro každé a ∈ R; nazývají se nevlastní body. Množina

{ }∞∞∪= ,-RR , jak bylo již stručně uvedeno v kapitole 6 (Posloupnosti a řady), se

nazývá rozšířená množina reálných čísel. Pozor − ∞, + ∞ nemají charakter čísel,

proto s nimi nelze zacházet (počítat) jako s čísly. Symbol + se u + ∞ někdy

vynechává.

91

Jestliže nyní definici limity funkce modifikujeme tak, že c, a mohou být

nevlastní body (obě, případně jedno z nich) a příslušným způsobem nahradíme

podmínku v definici limity analogickými podmínkami pro nevlastní body,

dostaneme definici nevlastní limity (souhrnně řečeno) v těchto alternativách:

1. c = ∞, případně c = − ∞, a ∈ R limita v nevlastním bodě;

2. c ∈ R, a = ∞, případně a = − ∞ nevlastní limita v bodě;

3. a = c = ∞, případně a = c = − ∞ nevlastní limita v nevlastním bodě.

Zápis nevlastní limity se provede analogicky, například pro alternativu 1.

( ) axfx

=∞→

lim , případně ( ) axfx

=−∞→lim . Modifikaci podmínek v definici pro jednotlivé

alternativy není na tomto místě nutné, z hlediska praktického výpočtu nevlastních

limit, detailně rozepisovat. K základní orientaci nám budou stačit geometrické

interpretace alternativ na obrázcích (9.6) (9.10) (nezahrnují ale všechny varianty

alternativ).

Obrázek 9.6 Limita v nevlastním bodě ( ) axfx

=∞→

lim , ( ) axfx

=−∞→

lim

Obrázek 9.7 Nevlastní limita v bodě ( ) ∞=→

xfcx

lim

92

Obrázek 9.8 Nevlastní limita v bodě ( ) −∞=→

xfcx

lim

Obrázek 9.9 Nevlastní limita v bodě c neexistuje, ovšem existují nevlastní limity zleva

( ( ) ∞=−→

xfcx

lim ) a zprava ( ( ) −∞=+→

xfcx

lim )

Obrázek 9.10 Nevlastní limita v nevlastním bodě ( ) ∞=∞→

xfxlim , ( ) −∞=

−∞→xf

xlim

Důležité nevlastní limity, limity v nevlastních bodech, popřípadě

jednostranné limity jsou uvedeny v následujícím přehledu. Jejich znalost nám

poslouží při výpočtu složitějších limit. Snadno si je vybavíme, představíme-li si grafy

příslušných funkcí.

∞=∞→x

xlim , −∞=

−∞→x

xlim ;

93

01

lim =∞→ xx

, 01

lim =−∞→ xx

;

∞=+→ xx

1lim

0, −∞=

−→ xx

1lim

0;

∞=∞→

x

xalim , 0lim =

−∞→

x

xa , a > 1;

0lim =∞→

x

xa , ∞=

−∞→

x

xalim , 0 < a < 1;

2lim

π=

∞→x

xarctg ,

2lim

π−=

−∞→x

xarctg ;

0lim =∞→

xx

arccotg , π=−∞→

xx

arccotglim ;

∞=∞→

a

xxlim , 0lim

0=

+→

a

x

x ; pro a > 0

0lim =∞→

a

xx , ∞=

+→

a

x

x0

lim ; pro a < 0

∞=∞→

xx

lnlim , −∞=+→

xx

lnlim0

;

71828,21

1lim ≅=

+

∞→e

x

x

x (iracionální číslo).

Hypotézy o právě uvedených limitách se snadno stanoví užitím kalkulačky, či

načrtnutím grafu.

Vlastnosti nevlastních limit jsou uvedeny souhrnně v symbolickém tvaru:

∞=∞+∞ , 0=∞±

a,

∞=∞+a , ∞=∞⋅∞ ,

−∞=∞−a , ( ) −∞=∞−⋅∞ ,

−∞=∞−∞− , ( ) ( ) ∞=∞−⋅∞− .

Tímto symbolickým zápisem, například a + ∞ rozumíme: je-li pro

R∈c ( ) axfcx

=→lim , ( ) ∞=

→xg

cxlim , pak ( ) ( )( ) ∞=+

→xgxf

cxlim . Pozor!!! Nelze používat,

například, pro ∞⋅0, ∞∞ apod.

Příklad:

Platí ( ) ∞=+→∞

5lim 3xx

, neboť ∞=∞→

3lim xx

(postupnou aplikací ∞⋅∞ = ∞), 55lim =→∞x

. Pak užitím a + ∞ = ∞

dostáváme výsledek.

Pro zajímavost si uvedeme ještě jiný přístup k definování limity funkce.

Jedná se o tzv. Heineho definici limity funkce pomocí posloupností. Platí totiž

následující tvrzení:

94

Je-li pro R∈∈ ac ,R funkce f definovaná na nějakém okolí O (c ) bodu c s případnou

výjimkou bodu c, pak ( ) axfcx

=→lim právě tehdy, když pro každou posloupnost (xn )

bodů z O (c ) platí, že když cxnn

=∞→

lim , pak axf nn

=∞→

)(lim .

Zdálo by se, že zavedení posloupností celou situaci zkomplikuje. Toto tvrzení

je ale velice užitečné při dokazování dalších tvrzení o limitách funkce.

V následujícím příkladu rozhodneme na základě Heineho tvrzení o existenci limity

)(sinlim xx ∞→

.

Příklad:

Existuje limita funkce )(sinlim xx ∞→

?

Řešení:

Z průběhu této funkce již máme podezření, že daná limita pravděpodobně neexistuje, jelikož tato funkce

osciluje mezi hodnotami intervalu 1;1− . Podle předpokladů předchozího tvrzení (promyslete) stačí najít

dvě různé posloupnosti reálných čísel konvergující k ∞ tak, aby posloupnosti jejich funkčních hodnot

konvergovaly pokaždé k jinému číslu. Z jedinečnosti limity pak vyplyne, že )(sinlim xx ∞→

neexistuje (lze volit

například posloupnosti (2nπ ); (π/2 + 2nπ ), N∈n ). Obě konvergují k ∞ a jsou zvoleny tak, že

00lim)2(sinlim ==∞→∞→ nn

nπ a zároveň 11lim)22/(sinlim ==+∞→∞→ nn

nππ ).

Dalším užitečným tvrzením pro stanovení limit je tzv. věta o sevření. Věta

říká, že:

Máme-li tři funkce f, g, h, pro které na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou

výjimkou tohoto bodu) platí f (x ) ≤ g (x ) ≤ h (x ) a nechť ( )xfcx→

lim = ( ) axhcx

=→lim , kde

R∈∈ ac ,R , pak existuje limita ( )xgcx→

lim a platí, že ( ) axgcx

=→lim .

Příklad:

Pomocí věty o sevření lze stanovit často se vyskytující limitu ( )

1sin

lim0

=→ x

x

x.

Řešení:

Stačí nalézt „svírající funkce f, h, jejichž limita je rovna jedné pro x jdoucí k 0. Z obrázku jednotkové kružnice

po jednoduchých úvahách dospějeme k nerovnosti:

xcos <x

x

sin<

xcos

1pro ( )2/,0 π∈x ,

z čehož zase plyne

xcos <x

xsin<

xcos

1pro ( )2/,0 π∈x .

Funkce jsou sudé, tzn. že nerovnosti lze rozšířit na interval ( )0,2/π−∈x . Platí, že 1coslimcos

1lim

00==

→→x

x xx

95

tedy podle předchozího tvrzení existuje hledaná limita a platí ( )

1sin

lim0

=→ x

x

x. Rovněž platí (promyslete)

1sin

lim0

=→ x

x

x.

Další tvrzení nám říká, že:

Máme-li funkce f, g, přičemž funkce g je na určitém okolí O (c ) bodu c (s případnou

výjimkou tohoto bodu) ohraničená a platí ( ) 0lim =→

xfcx

, kde R∈c , pak existuje limita

( )xgxfcx

)(lim→

a platí, že ( ) 0)(lim =→

xgxfcx

.

Příklad:

Podle tohoto tvrzení lze ukázat, že 01

sinlim0

=→ x

xx

.

Řešení:

xx

1sinlim

0→ sice neexistuje,

x

1sin je ale funkce ohraničená, čili dle předchozího tvrzení platí, že 0

1sinlim

0=

→ xx

x.

POJEM SPOJITOSTI FUNKCE

Pojem spojitosti slouží k popisu toho, co se v běžném životě nazývá,

například, nepřetržitostí. Je-li takový děj vyjádřen funkcí, pak je její graf "souvislá

čára"; v grafu nejsou žádné "skoky", "mezery" apod. Nabízí se tedy definovat

spojitost prostřednictvím limity. V případě spojitosti by totiž měla funkční hodnota

souhlasit s limitou.

Spojitost funkce v bodě definujeme následovně:

Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže platí ( ) ( )cfxfcx

=→lim . Jinak řečeno, f je spojitá

v bodě c, je-li f v bodě c definována a její limita v bodě c je rovna funkční hodnotě

v bodě c.

Obdobně jako jednostrannou limitu lze definovat i spojitost funkce v daném

bodě zprava (zleva):

Řekneme, že f je spojitá v bodě c zprava (zleva), jestliže platí ( ) ( )cfxfcx

=+→

lim

( ( ) ( )cfxfcx

=−→

lim ).

Příklad:

Funkce f, jejíž graf je na obrázku 9.11., je z vyznačených bodů spojitá pouze v bodě g, v ostatních nikoliv

(v a, c není definována, v m, d, h, b neexistuje limita, v e není limita rovna funkční hodnotě).

96

Obrázek 9.11 Vyšetření spojitosti funkce f v bodech a, m, c, d, e, h, g, b

Rozebereme-li podrobněji graf na obr. 9.11, vidíme, že nastávají následující situace:

1. Funkce f je v bodě g spojitá, limita je rovna funkční hodnotě.

2. Funkce f není v daném bodě spojitá, rozlišíme několik případů:

a) Limita funkce f v bodě e existuje, ale není rovna funkční hodnotě (e).

b) Limita funkce f v bodě c existuje, ale funkce není v tomto bodě definovaná (c).

V obou těchto případech se jedná o tzv. odstranitelnou nespojitost, stačí funkci vhodně předefinovat,

respektive dodefinovat v daném bodě a bude z ní spojitá funkce.

c) Limita neexistuje, ale existují obě jednostranné limity, jsou vlastní, ale nerovnají se (případ

bodu m). V tomto případě tento bod nazveme bodem nespojitosti prvního druhu (funkce f má zde

jakýsi „skok“).

d) Jestliže některá jednostranná limita neexistuje, nebo je nevlastní (případ h), mluvíme o bodu

nespojitosti druhého druhu.

Z pohledu jednostranné spojitosti platí, že v bodech d, h, b je f spojitá zleva, v bodě m zprava.

Příklad:

Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité.

1. ( ))9)(1(

123 −−

=xx

xf .

Jde o elementární funkci, přičemž ( ) { }3;1;3−−=RfD . Funkce je spojitá ve všech bodech definičního

oboru, body nespojitosti jsou body { }3;1;3− , v nichž není funkce definována.

2. f (x) = sgn (x) = -1 pro x > 0

= 0 pro x = 0

= 1 pro x < 0.

Zde je bodem nespojitosti bod x = 0, vlastní jednostranné limity existují, nerovnají se, jedná se o bod

nespojitosti 1. druhu.

Definujme dále spojitost funkce na intervalu. Platí:

Funkce f je spojitá na intervalu (a, b ), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě.

Funkce spojitá na celém svém definičním oboru se nazývá spojitá funkce.

x0

y

f

bghedcma

97

Definujme rovněž případ po částech spojité funkce. Platí:

Funkce definovaná na intervalu ba, se nazývá po částech spojitá, je-li na ba,

spojitá nejvýše s výjimkou konečného počtu bodů nespojitosti prvního druhu.

VLASTNOSTI SPOJITÝCH FUNKCÍ

Spojité funkce mají řadu významných vlastností. Nejdůležitější jsou obsaženy

v následujících tvrzeních (větách):

Součet, rozdíl, součin a podíl (pokud je definován) funkcí spojitých v bodě jsou funkce

spojité v tomtéž bodě.

Složením spojitých funkcí vznikne opět spojitá funkce.

Víme již, že limita spojité funkce v bodě se počítá snadno, protože je rovna

funkční hodnotě. Je pro nás proto velice užitečné znát co nejvíce příkladů spojitých

funkcí, viz následující tvrzení:

Všechny elementární funkce jsou spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních

oborů.

Je-li funkce f spojitá na nějakém otevřeném intervalu I a mají-li pro a, b ∈ I , a < b

funkční hodnoty f (a ), f (b ) opačná znaménka, pak existuje c ∈ (a, b ) tak, že platí

f (c ) = 0.

Lze tedy volně formulovat spojitá funkce nemůže měnit znaménko, aniž

přejde přes reálnou osu. Tato věta má zásadní důležitost při hledání nulových bodů

spojitých funkcí (neboli kořenů rovnice f (x ) = 0). Zaručuje, že najdeme-li hodnoty

a, b tak, že f (a ), f (b ) jsou opačných znamének, pak v (a, b ) existuje alespoň jeden

nulový bod funkce f. Na obrázku 9.12 má funkce f tři nulové body c1, c2, c3 patřící

do (a, b ).

Z této vlastnosti rovněž vyplývá, že je-li f spojitá na (a, b ) a f (x ) ≠ 0 pro

všechna x ∈ (a, b ), pak je f na (a, b ) buď stále kladná, nebo stále záporná.

Obrázek 9.12 Nulové body c1, c2 a c3 funkce f

98

Cílové znalosti

1. Formulace pojmu limity funkce v bodě.

2. Stanovení hypotézy o limitě z grafu nebo numericky.

3. Výpočet jednoduchých limit užitím základních vět o limitách a znalosti

důležitých limit.

4. Vysvětlení modifikace pojmu limity ve variantě nevlastní.

5. Výpočet jednoduchých nevlastních limit.

6. Rozhodnout v jednoduchých případech o spojitosti funkce podle jejího grafu.

7. Vlastnosti spojitých funkcí.