87Materijal Za Vezbe- 8

Зидни носачи

Периодично оптерећење полуравни

Пример 1.

За полураван оптерећену периодичним оптерећењем, приказану на слици,:

a) одредити изразе за пресечне силе

b) користећи први члан реда усвојеног решења, различит од нуле, нацртати дијаграме пресечних сила у пресецима х= 0, a/2, а. За цртање дијаграма користити ординате дијаграма за у= 0, а/2, а, 1.5а, 2a.

Решење

а) Полураван је плоча чија је средња раван ограничена правом y= 0 и која се протеже у бесконачност за y> 0. Периода на којој се понавља оптерећење је L= 2a. Реакције ослонаца p1 се одређују из услова равнотеже сила у y- правцу на периоди:

mkN

c

capppcapcY /60

1

133022:0 11

Пресечне силе ћемо одредити помоћу напонске функције, која мора да задовољи диференцијалну једначину равног напрезања:

024

4

22

4

4

4

y

F

yx

F

x

F

Решење је претпостављено у облику једноструког тригонометријског реда где је сваки члан

реда производ непознате функције од y, Yn(y), и усвојене функције од x, L

xn2sin или

L

xn2cos :

1

2sin)(

nn L

xnyYF

или

1

2cos)(

nn L

xnyYF

.

У ком облику ћемо претпоставити напонску функцију зависи од граничних услова.

p= 30 kN/ m

a= 3 m

c= 1 m

Гранични услови:

)2.....(..........0

)1.(..........0

xy

y

N

xpNy

Линијско оптерећење које делује по контури плоче је, за усвојени координатни систем, парно па и пресечна сила Nx мора да буде парна функција. Пошто је сила Nx дефинисана као:

2

2

y

FN x

, напонску функцију усвојићемо у облику:

1

2cos)(

nn L

xnyYF

. Претпостављено

решење уносимо у диференцијалну једначину:

02

cos)(2

)(2

2)(0

42

L

xnyY

L

nyY

L

nyY

nn

IIn

IVn

Решење ове хомогене диференцијалне једначине је:

L

xneD

L

ynCeB

L

ynAF

n

L

yn

nnL

yn

nn

2cos

22

1

22

Да пресечне силе за y не би имале бесконачне вредности, коефицијенти nC и nD морају

да буду једнаки нули. Ако се са n означи: L

nn

2 , израз за напонску функцију је:

1

cosn

ny

nnn xeByAF n или

1

2cos

1

nn

ynnn

n

xeByAF n

.

Изрази за пресечне силе су:

1

2

2

cosn

ny

nnny xeByAx

FN n

1

2

2

cos2n

ny

nnnnx xeByBAy

FN n

1

2

sinn

ny

nnnnxy xeByBAyx

FN n

Да бисмо могли да решимо дати проблем, линијско оптерећење треба да развијемо у бесконачни косинусни тригонометријски ред:

1

0 2cos

2)(

nn L

xna

axp

; 00 a - оптерећење је равнотежно на периоди L= 2a

aLL

Ln dx

a

xnxp

adx

L

xnxp

Ldx

L

xnxp

La

0

2

0

2

22

2cos)(

2

42cos)(

42cos)(

2

axcap

caxcap

caxap

xp

)(;

;

;

1

1

a

cn

nc

apdx

a

xnpdx

a

xnp

aa

nca a

ca

n

sin

12...coscos

2

0

1

1

2cossin

12)(

n

n

L

xn

a

cn

nc

apxp

Из граничних услова (1) и (2) одредићемо непознате коефицијенте An и Bn:

1.......cossin12

cos011

0

n

n

n

nnnnn x

a

cn

nc

apxeBA n

2...........................................................0sin01

0

nnnnnn xeBBA n

Гранични услови морају да буду задовољени за сваки члан реда и за свако х, на основу чега следи:

1.......sin12

0 0

a

cn

nc

apeBA

n

nnnn

2....................................00 0 neBBA nnnn

Решење овог система једначина је:

a

cn

nc

apBA

n

nn

sin12

Решење за пресечне силе:

1

2

2

cos1sin12

nn

yn

n

y xeya

cn

nc

ap

x

FN n

1

2

2

cos1sin12

nn

yn

n

x xeya

cn

nc

ap

y

FN n

1

2

sin12

nn

yn

nxy xenc

apy

yx

FN n

b) 1n

620.49

3

11sin

1

1

1

33021sin

1

12 11

1

a

c

c

apa

3cos620.49

2

12cos620.49)(

x

a

xxp

Оптерећење за које ћемо одредити пресечне силе приказано је на слици:


1.................cos620.49cos0 110

1111 xxeBA

2...................................0sin0 10

11111 xeBBA

32

1221

aL

n

Решење система једначина је:

620.4911 BA

Пресечне силе:

3cos

31620.49 3 x

eyNy

y

3cos

31620.49 3 x

eyNy

x

3sin

3620.49 3 x

eyNy

xy

Дијаграми за х= 0:

yy

y eyeyN

33

31620.49

3

0cos

31620.49

yy

x eyeyN

33

31620.49

3

0cos

31620.49

03

0sin

3620.49 3

y

xy eyN

Дијаграми за х= а/2= 1.5 m:

03

5.1cos

31620.49 3

y

y eyN

03

5.1cos

31620.49 3

y

x eyN

yy

xy eyeyN

33

3620.49

3

5.1sin

3620.49

Дијаграми за х= а= 3 m:

yy

y eyeyN

33

31620.49

3

3cos

31620.49

yy

x eyeyN

33

31620.49

3

3cos

31620.49

03

0sin

3620.49 3

y

xy eyN

Периодично оптерећење носача зидова

Пример 2.

За зидни носач оптерећен периодичним оптерећењем, приказан на слици, користећи први члан реда усвојеног решења, различит од нуле, нацртати дијаграме пресечних сила у пресецима х= 0, a/2, а. За цртање дијаграма користити ординате дијаграма за у= 0, B/4, B/2, 3B/4, B.

Решење

а) Зидни носач или платно је плоча чија је средња раван ограничена правaмa y= 0 и y= B . Пошто је оптерећење исто као у примеру 1 оптерећење апроксимирано првим чланом тригонометријског реда:

3cos620.49)(

xxp

Решење за напонску функцију је:

xeDyCeByAF yy 11111112

1

cos1

11

; 31

Имамо четири непозната коефицијента A1, B1, C1 и D1 које ћемо одредити из граничних услова. Гранични услови:

)2.....(..........0

)1.(..........0

xy

y

N

xpNy

)4(..........0

)3.(..........0

xy

y

N

NBy

Изрази за пресечне силе су:

xeDyCeByAx

FN yy

y

11111112

2

cos11

xeDyDCeByBAy

FN yy

x

1111111112

2

cos22 11

xeDyDCeByBAyx

FN yy

xy

111111111

2

sin11

Систем једначина:

1.................................................................620.4911 CA

2..........................................................01111 DCBA

3.........0221.276943.650635.0015.0 1111 DCBA 4........0164.342943.65048.0015.0 1111 DCBA

чија су решења: 134.501 A ; 539.501 B ; 5136.01 C ; 1083.01 D .

p= 30 kN/ m

a= 3 m

c= 1 m

B= 4 m

Пресечне силе су једнаке:

3cos1134.05136.0924.52134.50 33 x

eyeyNyy

y

3cos1134.0297.0924.52944.50 33 x

eyeyNyy

x

3sin1134.04053.0924.524053.0 33 x

eyeyNyy

xy


yy

y eyeyN

33 1134.05136.0924.52134.50

yy

x eyeyN

33 1134.0297.0924.52944.50

; 0xyN

Дијаграми за х= а/2:

0yN ; 0xN ; yy

xy eyeyN

33 1134.04053.0924.524053.0

Дијаграми за х= a:

yy

y eyeyN

33 1134.05136.0924.52134.50

yy

x eyeyN

33 1134.0297.0924.52944.50

; 0xyN

Пример 3.

За зидни носач оптерећен периодичним оптерећењем, приказан на слици, користећи прва два члан реда усвојеног решења, различита од нуле, нацртати дијаграме пресечних сила у пресецима х= 0, a/2, а. За цртање дијаграма користити ординате дијаграма за у= 0, B/4, B/2, 3B/4, B.

Решење

Оптерећење на доњој контури апроксимираћемо прво само првим чланом косинусног тригонометријског реда:

2)( 0a

xp ; 402

2

22211

2

2

0

cpa

dxpa

dxxpL

aa

ca

L

L

; 20)( xp

Исто ћемо урадити и са оптерећењем на горњој контури:

2

')( 0a

xp ; 402

2

22'

2'

0

2

2

0

capa

dxpa

dxxpL

aca

L

L

; 20)(' xp


Напонска функција која задовољава диференцијалну једначину равног напрезања и граничне услове за ово оптерећење је: 2

0 xAF .

Пресечне силе су једнаке: 02 AN y ; 0xN ; 0xyN


)2.....(..........0

)1.(..........200

xy

y

N

Ny

)4....(..........0

)3.(..........20

xy

y

N

NBy

Из граничних услова се добија решење за непознати коефицијент А0:

100 A , па су изрази за пресечне силе: 20yN ; 0xN ; 0xyN

p= 30 kN/ m

a= 3 m

c= 1 m

B= 4 m

Сада оптерећење на доњој контури апроксимирамо само другим чланом реда:

079.33sinsin

2sin

2cos

2

2

2cos)(

2

412cos)(

42cos)(

2

111

0

2

0

2

2

1

a

ca

a

ap

a

xa

a

pdx

a

xp

a

dxa

xnxp

adx

L

xxp

Ldx

L

xnxp

La

a

ca

a

ca

aLL

L

3cos079.33)(

xxp

Исто ћемо урадити и са оптерећењем на горњој контури:

540.16

0sinsin

2sin

2cos

2

2

2cos)('

2

412cos)('

42cos)('

2'

00

0

2

0

2

2

1

aa

cap

a

xa

a

pdx

a

xp

a

dxa

xnxp

adx

L

xxp

Ldx

L

xnxp

La

caca

aLL

L

3cos540.16)('

xxp


Изрази за напонску функцију и пресечне силе су исти као у примеру 2:

xeDyCeByAF yy 11111112

1

cos1

11

; 31

xeDyCeByAx

FN yy

y

11111112

2

cos11

xeDyDCeByBAy

FN yy

x

1111111112

2

cos22 11

xeDyDCeByBAyx

FN yy

xy

111111111

2

sin11

Непознате коефицијенте A1, B1, C1 и D1 одредићемо из граничних услова.


)2........(..........0

)1.(..........0

xy

y

N

xpNy

)4.........(..........0

)3.(..........'

xy

y

N

xpNBy

Систем једначина:

1.................................................................079.3311 CA

2..........................................................01111 DCBA

3.........540.16221.276943.650635.0015.0 1111 DCBA

4......................0164.342943.65048.0015.0 1111 DCBA

чија су решења: 745.341 A ; 083.361 B ; 666.11 C ; 328.01 D .

Пресечне силе су једнаке:

3cos343.0666.1786.37745.34 33 x

eyeyNyy

y

3cos343.001.1786.37421.37 33 x

eyeyNyy

x

3sin343.0338.1786.37338.1 33 x

eyeyNyy

xy


yy

y eyeyN

33 343.0666.1786.37745.34

yy

x eyeyN

33 343.001.1786.37421.37

; 0xyN

Дијаграме пресечних сила за х= а/2, x= a урадити за домаћи.

Дијаграм пресечних сила за х= 0 када користимо прва два члана реда усвојеног решења:

Documents

87Materijal Za Vezbe- 8