9.5 空间向量及其运算

1. 空间向量

及其加减与数乘运算

• 复习：

1. 向量的定义：我们把既有大小又有方向的量叫做向量 .

2. 向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 .

.

.,,

,,,

ACBCABba

babaACbBCaAB

Aba

即

的和，记作与叫做则向量作在平面内任取一点如图，已知向量

C

bA

Ba

b

a

ba

..)(,

.3

叫做向量的减法求两个向量差的运算，的差，即与叫做量

的相反向加上向量向量向量减法的定义：bababa

ba

a

b

O Aa

ba B

b

.

,,

,,,,

ba

abbaBAbOB

aOAOba

的终点的向量就表示的终点指向向量即从向量则

作在平面内任取一点已知向量

• （一）空间向量的概念• 定义：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫

做向量 .• 例如，力，速度，加速度等都是向量，空间的一

个平移也是一个向量 .

.4

4

”个单位长度“自西向东平移一个向量的位置，这个平移就是到达

”个单位长度自西向东平移“平行四边形

aDCBA

ABCD

空间向量的表示： 空间向量也用有向线段来表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 .

A'

D'

C'

B'

A

B

C

D

a

• （二）空间向量的加减与数乘运算

.

,,.

)1(

baABOAOB

baOBbABaOAba

的和，即、

叫做向量则把向量作、空间任意两个向量向量加法的定义：已知

a

b

a

O A

b

B

.

,,.

)2(

baOCOACA

baCAbOCaOAba

的差，即、

叫做向量则把向量作、空间任意两个向量向量减法的定义：已知

a

b

a

O A

b

B

b

C

• （ 3 ）向量的数乘运算

.)(

200

001

,

RaOP

aOPOPa

OPaOP

OPa

则

，），（时，方向相反，当与

时，方向相同，当与时，）当（得使

，，作向量对任一实数已知空间任一向量

a

O

P

a

a

注：显然空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段表示 .

• （三）空间向量的加法与数乘向量的运算律：

.)1( abba

加法交换律：

.)()()2( cbacba

加法结合律：

.)()3( baba 数乘分配律：

O

A

B

C

a

b

cba

c

请同学们根据右图验证加法结合律 .

• （四）平行六面体：

.

..

边叫做平行六面体的棱的是平行四边形，每个面平行六面体的六个面都

并记作平行六面体六面体，叫做平行的轨迹所形成的几何体到向量

（包括它的内部）平移定义：平行四边形

DCBAABCDDCBAa

ABCD

A B

CD

A'

D' C'

B'

A B

CDa

.31

)4(

;21

)3(

;)2(;1

,1

AAADAB

CCADAB

AAADABBCAB

DCBAABCD

）（简结果的向量：向量表达式，并标出化

化简下列已知平行六面体例

M

GD

D'

C

B

A' B'

A

C'