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Seguidamente debemos calcular los coeficientes ai. Como A es una matriz de 2x2, sólo necesitaremos de dos ecuaciones
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Métodos Numéricos MA-200 Capítulo 6
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Alberto Coronado Matutti
Facultad de Ingeniería MecánicaUniversidad Nacional de Ingeniería
39
Ejemplo 1Calcular la matriz de transición de estado eAt
dado:
Primero
debemos encontrar los autovalores λ
de la matriz A:
40
Ejemplo 1Seguidamente debemos calcular los coeficientes ai
. Como A es una matriz de 2x2, sólo necesitaremos de dos ecuaciones:
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Substituyendo en la ecuación:
41
Ejemplo 2Calcular la matriz de transición de estado eAt
dado:
Nuevamente calculamos primero los autovalores λ
de la matriz A:
La expansión de la determinante será:
Usando la función roots
del Matlab para obtener las raíces:
42
Ejemplo 2Debido a que A es una matriz de 3x3, debemos tomar:
Usando el comando sym
del Matlab:
43
Ejemplo 2De donde obtendremos:
Substituyendo dichos valores en la matriz de transición de estado:
44
AutovectoresConsiderando la ecuación:
Donde A es una matriz de nxn, X es un vector columna y λ
es un escalar.
La última ecuación tendrá solución no trivial si y sólo si
su determinante es cero.
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Autovectores
Las raíces λ
de la ecuación característica son los autovalores
de la matriz A, y correspondiendo a cada
λ
existe una solución no trivial del vector X
llamados autovectores.
Los autovectores
usualmente son expresados de manera normalizada, es decir teniendo longitud unitaria.
Dos vectores X e Y son ortogonales
si su producto escalar es cero. Un conjunto de autovectores constituye una base ortonormal.
46
Ejemplo 1Calcular los autovalores
y los
autovectores
de la matriz A.
Los autovalores
fueron calculados anteriormente:
Calculando los autovectores:
47
Ejemplo 1
Este sistema es indeterminado. Asumiendo
x2
=1 obtenemos:
De manera similar para λ=2 obtenemos x1
=x2
y x3
=2x2
Y para λ=3 x1
=-x2
y x3
=x2
.
Dividiendo
cada vector por su norma
obtenemos.