› upload › iblock › c57 › mtt44.pdf · НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ВЫПУСК

44 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Межведомственный сборник научных трудов Основан в 1969 г.

ДОНЕЦК 2014

Содержание К 90-летию со дня рождения П.В. Харламова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Харламов М.П., Яхья Х.М. Разделение переменных в одном частном случае

движения гиростата в двойном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Горр Г.В., Щетинина Е.К. Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата,

несущего два ротора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Мазнев А.В., Белоконь Т.В. Один случай трех инвариантных соотношений в

задаче о движении симметричного гиростата . . . . . . . . . . . . . . . .

27 Синенко А.И. Исследование решения Н.Е. Жуковского задачи о движении

свободного гиростата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Новое решение задачи о движении двух

сферически симметричных тел, соединенных неголономным шарниром .

45 Котов Г.А. Регулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два

вращающихся гироскопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 Неспирный В.Н. Продолжимость решений в задачах устойчивости систем

обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . .

67 Пузырев В.Е., Савченко Н.В. Асимптотическая устойчивость положения

равновесия двойного маятника с присоединенной массой . . . . . . . . .

75 Щербак В.Ф. Нелинейный наблюдатель в задаче определения

пространственных координат точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Астахова Т.Н. Об исследовании задачи стабилизации интегратора Брокетта с

использованием нестационарной обратной связи . . . . . . . . . . . . . .

94 Вуколов Д.С., Сторожев В.И. Дифракционное рассеяние нормальных волн

сдвига на внутреннем цилиндрическом ортотропном включении эллиптического сечения в ортотропном упругом слое с закрепленными гранями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 Глухов И.А., Сторожев В.И. Локализованные антисимметричные волны в

структуре “трансверсально-изотропный слой между трансверсально-изотропными полупространствами” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-

неоднородного трансверсально-изотропного цилиндра с закрепленными границами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 Пачева М.Н. Отражение нормальных сдвиговых волн от наклонной торцевой

поверхности полуслоя с закрепленной границей . . . . . . . . . . . . . .

140 Юбилейные даты Александр Михайлович Ковалев (к 70-летию со дня рождения) . . . . . . . . . Александр Алексеевич Илюхин (к 70-летию со дня рождения) . . . . . . . . . .

150 152

3

Павел Васильевич ХАРЛАМОВ

(К 90-летию со дня рождения)

25 июня 2014 года исполнилось 90 лет со дня рождения Павла Васильевича Харламова – выдающегося ученого в области аналитической механики, создателя Донецкой школы аналитической механики, члена-корреспондента НАН Украины.

П.В. Харламов родился 25 июня 1924 года в селе Гахово Курской области. Вскоре после его рождения семья переехала в Донецк. Учеба в школе была прервана Великой Отечественной войной. Период 1943–46 годов – война и послевоенная служба в армии, он – гвардии рядовой. За участие в боях награжден орденом Красной Звезды и медалями. Годы 1947–52 – учеба на механико-математическом факультете Московского университета. Уже там началась его научная деятельность, он выбрал специализацию “теоретическая механика”. В 1952–59 годах – работа в Донецком индустриальном институте на кафедре теоретической механики – ассистент, старший преподаватель, заведующий

4

кафедрой. В 1955 году защитил в МГУ кандидатскую диссертацию “Движение твердого тела в жидкости”. С 1959 по 1965 год П.В. Харламов – старший научный сотрудник Института гидродинамики Сибирского отделения АН СССР в Новосибирске. Там в 1964 году он защитил докторскую диссертацию “О решениях уравнений динамики твердого тела”.

В 1965 году П.В. Харламов принял предложение И.И. Данилюка работать в Донецком научном центре. Он был избран членом-корреспондентом АН УССР и в связи с этим переехал в Донецк, где создал и возглавил отдел прикладной механики Института прикладной математики и механики АН УССР. Вместе с П.В. и Е.И. Харламовыми в Донецк приехали их ученики, бывшие тогда еще студентами Новосибирского университета: Г.В. Горр, А.А. Илюхин, А.М. Ковалев, Ю.М. Ковалев, Б.И. Коносевич, Е.В. Позднякович, А.Я. Савченко, коллега по Институту гидродинамики Г.В. Мозалевская. В том же 1965 году из Ташкента приехал А.И. Докшевич. Этот коллектив стал основой научной школы, которую вскоре стали называть Донецкой школой механики.

Научные интересы П.В. Харламова относятся к широкому кругу проблем аналитической динамики и механики сплошной среды. Его основные научные результаты связаны с классической задачей механики о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, и с обобщающей ее задачей о гиростате.

Для этих задач П.В. Харламов получил новые формы динамических уравнений и создал конструктивный метод инвариантных соотношений, что позволило ему и его ученикам построить в аналитическом виде новые классы точных решений. Из всех известных точных решений задачи о гиростате большая их часть получена учеными Донецкой школы.

П.В. Харламов считал, что недостаточно построить решение в аналитическом виде: для полного решения задачи механики следует дать геометрическую интерпретацию полученных формул. С этой целью он разработал естественный (инвариантный) способ задания движения тела (метод годографов), основанный на использовании неголономных кинематических характеристик. Полученные им кинематические уравнения позволили представлять окончательный результат в виде фильма, который в наглядной форме, основанной на точном расчете, демонстрирует все особенности движения тела.

П.В. Харламов значительно обобщил постановки С.А. Чаплыгина, П.В. Воронца, Г.К. Суслова и В.В. Вагнера задач о движении тела, подчиненного неголономной связи. Его решения включают соответствующие результаты этих авторов как частные случаи. В задаче А.Ю. Ишлинского – М.А. Лаврентьева о продольном динамическом изгибе тонкого стержня П.В. Харламов установил эффект локализации деформаций у торца, к которому приложен ударный импульс. Подобный эффект он обнаружил и для цилиндрической оболочки.

П.В. Харламов является основоположником исследований динамики механических систем весьма общего вида, состоящих из произвольного числа твердых тел. Здесь главную роль играют его работы, в которых получены

5

доступные для аналитических решений уравнения движения цепочек твердых тел (или гиростатов), последовательно связанных сферическими или цилиндрическими шарнирами. Для этих уравнений тоже найдены случаи интегрируемости.

В гидродинамике П.В. Харламову принадлежат обширные исследования пространственной задачи о движении тела в жидкости. Не предполагая, что ограничивающая тело поверхность односвязна, и учитывая циркуляционные течения жидкости через отверстия и в полостях тела (вообще говоря, неодносвязных), он предложил новую форму динамических уравнений этой задачи, обобщил аналогию В.А. Стеклова. Им изучены не только стационарные (винтовые) движения, оси которых в общем случае образуют конгруэнцию, но и построены методом инвариантных соотношений широкие классы решений, как новых, так и обобщающих классические результаты Г. Кирхгофа, В.А. Стеклова, А.М. Ляпунова, С.А. Чаплыгина и др.

Важный цикл работ П.В. Харламова относится к движению тела на струнном подвесе. Им предложена новая математическая модель, учитывающая неголономность подвеса, диссипацию в системе и наличие двигателя в экспериментальной установке. Устранены несоответствия результатов эксперимента с результатами, которые предсказывали предлагавшиеся ранее математические модели.

Много внимания уделял П.В. Харламов вопросам основания механики, философии и методологии науки. Интересны его работы, относящиеся к этим вопросам.

Со дня основания Института П.В. Харламов понимал важность создания научного журнала, в котором публиковались бы работы, посвященные проблемам динамики твердого тела и систем связанных тел, аналитической механики, задачам устойчивости, управления и стабилизации механических систем. Такой журнал был основан, и в 1969 году появился первый выпуск республиканского межведомственного сборника “Механика твердого тела”. Первые тридцать выпусков редактировал сам Павел Васильевич. По его инициативе с 1969 года Институт прикладной математики и механики НАН Украины начал проводить конференции по актуальным проблемам динамики твердого тела, теории устойчивости и теории управления. С 1969 по 2011 год проведено 11 международных конференций. Кроме того, в 2004 году состоялась конференция “Классические задачи динамики твердого тела”, посвященная 80-летию со дня рождения П.В. Харламова, а в 2007 – конференция под таким же названием, приуроченная к 300-летию со дня рождения Л. Эйлера.

В трудах П.В. Харламова заложены основные направления исследований, которые затем широко развивались и углублялись его учениками и коллегами. Среди его учеников 16 кандидатов и 6 докторов наук. Ему принадлежат 144 научные работы, среди них пять монографий. Созданный П.В. Харламовым коллектив ученых постоянно расширялся, его ученики защищали кандидатские и докторские диссертации и сами становились учителями для научной молодежи. В

6

Донецкой школе более 100 кандидатов наук и 19 докторов наук: И.А. Болграбская, И.Н. Гашененко, Г.В. Горр, А.Л. Зуев, А.О. Игнатьев, А.А. Илюхин, А.М. Ковалев, Ю.Н. Кононов, Б.И. Коносевич, М.Е. Лесина, А.В. Мазнев, В.Е. Пузырев, А.Я. Савченко, С.Н. Судаков, Е.И. Харламова, М.П. Харламов, П.В. Харламов, Е.К. Щетинина, В.Ф. Щербак.

Кроме П.В. Харламова, еще двое представителей Донецкой школы аналитической механики стали членами Национальной Академии наук Украины. А.Я. Савченко в 1992 году был избран ее членом-корреспондентом. А.М. Ковалев в 2003 году был избран членом-корреспондентом, а в 2012 – академиком НАН Украины.

С 1976 года П.В. Харламов – член Национального комитета СССР по теоретической и прикладной механике. Ряд лет он возглавлял Научный совет по проблеме “Общая механика” Академии наук Украины и был членом Национального комитета Украины по теоретической и прикладной механике. В 1984 году ему присвоено звание “Заслуженный деятель науки Украинской ССР”. В 1985 году П.В. Харламов награжден Орденом Отечественной войны первой степени. В 2001 году Президиум Национальной Академии наук Украины присудил ему премию имени Н.М. Крылова за цикл работ по математическим проблемам аналитической механики.

Ученики и соратники П.В. Харламова продолжают развивать его творческое наследие. Он был и остается образцом выдающегося ученого и замечательного человека.

ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2014. Вып. 44

УДК 531.381+517.93

c©2014. М.П. Харламов, Х.М. Яхья

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА В ДВОЙНОМ ПОЛЕ

Динамически симметричный гиростат в двойном поле при условиях типа Ковалевскойобладает полным инволютивным набором первых интегралов, однако, в общем случае этазадача к квадратурам не сведена. В настоящей работе для частного случая, когда двойноеполе допускает одномерную симметрию, выполнено понижение порядка по Раусу. Выбранызначения интегральных постоянных, при которых приведенная система не имеет гироско-пических сил. В этой натуральной системе с двумя степенями свободы указано разделениепеременных, приводящее к гиперэллиптическим уравнениям Абеля –Якоби. Нецикличе-ские комбинации углов Эйлера выражены через переменные разделения.

Ключевые слова: гиростат, двойное поле, разделение переменных.

Введение. В работах [1, 2] для задачи о движении гиростата вокругнеподвижной точки при условиях типа Ковалевской был указан первый ин-теграл, независимый с интегралом энергии и обобщающий интеграл Кова-левской. В общем случае двойное поле не обладает группой симметрий, всилу чего дополнительный интеграл момента не существует. Однако в [1, 2]был указан частный случай, в котором имеется одномерная группа преобра-зований конфигурационного пространства, сохраняющая потенциал, и, какследствие, для этого случая был найден третий независимый интеграл, нахо-дящийся в инволюции с обобщенным интегралом Ковалевской и делающийсистему вполне интегрируемой. Понижение порядка по Раусу (факторизацияпо группе симметрий) приводит к однопараметрическому семейству интегри-руемых систем с двумя степенями свободы, в которых функция Рауса квад-ратична по обобщенным скоростям, но содержит и линейные по этим скорос-тям слагаемые, т. е. приведенная система содержит гироскопические силы.В достаточно общей задаче, допускающей такую симметрию, функция Раусавычислена в [3] (см. также [4]). В настоящей работе мы выпишем приведен-ную систему в интегрируемом случае [1, 2], укажем условия, при которых вней гироскопические силы отсутствуют, и при этих условиях выполним раз-деление переменных. В основе этого результата лежит установленная в [3]аналогия класса задач о движении гиростата в двойном поле с задачами одвижении гиростата в осесимметричном поле при нулевой постоянной пло-щадей, а также метод нахождения разделения переменных, предложенныйв [5, 6], и построенное этим методом алгебраическое разделение переменныхв случае Д.Н. Горячева [7, 8].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-01-00119).

7

М.П. Харламов, Х.М. Яхья

1. Уравнения и интегралы. Уравнения Эйлера –Пуассона движениягиростата в двойном поле в общем случае имеют вид

M = M× ω + c1 ×α+ c2 × β,

α = α× ω, β = β × ω,(1)

где ω – угловая скорость, α,β – характеристические векторы силовых полей(например, сила тяжести и напряженность магнитного поля), c1, c2 – векто-ры, направленные из неподвижной точки O в центры приложения сил. Всеобъекты отнесены к подвижным осям. Вектор кинетического момента M свя-зан с угловой скоростью зависимостью

M = ωI+ λ,

где I, λ – тензор инерции в точке O и вектор гиростатического момента, по-стоянные в подвижной системе отсчета. Компоненты векторов в выбраннойподвижной системе Oe1e2e3 главных осей тензора инерции I записываем встроки, что объясняет необычный порядок объектов в записи M. Известно [9],что, не изменяя плоскости Oc1c2 в теле, можно пару векторов c1, c2 сделатьортонормированной. Предположим, что гиростат динамически симметриченe1I · e1 = e2I · e2, λ = 0, 0, λ и центры приложения полей лежат в эквато-риальной плоскости c1 · e3 = 0, c2 · e3 = 0. В этом случае (см. [10, 11]) заме-ной переменных можно неподвижные в пространстве векторы α,β сделатьвзаимно ортогональными. При этом, после перехода к ортонормированнойпаре c1, c2, модули векторов α,β несут в себе всю скалярную информациюо воздействии полей на гиростат (например, для силы тяжести модуль со-ответствующего вектора равен произведению веса гиростата на расстояниеот центра масс до неподвижной точки). Поэтому векторы α,β называем ин-тенсивностями силовых полей. В силу динамической симметрии любая орто-нормированная пара векторов в экваториальной плоскости является главнойдля тензора инерции, поэтому считаем также, что c1 = e1, c2 = e2.

Пусть тензор инерции удовлетворяет условиям Ковалевской

I = diagI1, I1, I3, I1 = I2 = 2I3 (2)

и интенсивности полей после ортогонализации одинаковы

α2 = β2 = a2, α · β = 0 (a > 0). (3)

В дальнейшем единицы измерения выберем так, что I3 = 1 и a = 1.Как показано в работе [1], при условиях (2), (3) уравнения (1) в дополне-

ние к интегралу энергии

H = ω2

1 + ω2

2 +1

2ω2

3 − α1 − β2

8

Разделение переменных в одном частном случае движения гиростата в двойном поле

обладают первыми интегралами

K = (ω21− ω2

2+ α1 − β2)

2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)2+

+2λ[(ω3 − λ)(ω21+ ω2

2) + 2(α3ω1 + β3ω2)],

G = 2ω1γ1 + 2ω2γ2 + (ω3 + λ)(γ3 − 1).

Здесь вектор γ = α×β дополняет пару α,β до неподвижного в пространствеортонормированного триэдра. В частности, матрица направляющих косину-сов имеет вид

Q =

αβγ

.

Рассмотрим действие на SO(3) подгруппы gτ матриц

gτ =

cos τ sin τ 0− sin τ cos τ 0

0 0 1

внутренними автоморфизмами

Q 7→ Q(τ) = gτQg−1

τ .

Это действие не свободно – подгруппа gτ является стационарной подгруп-пой каждого своего элемента. При этом, даже если всю подгруппу gτ ото-ждествить в одну точку, получив расслоение SO(3) над двумерной сферой,оно не будет локально-тривиальным [12]. Поэтому такую группу симметрийназывают сингулярной.

Интеграл G является циклическим, порожденным действием gτ. Дей-ствительно, “мгновенная угловая скорость движения” Q(τ) при τ = 0 равнаγ − e3 = (γ1, γ2, γ3 − 1), поэтому G – соответствующий интеграл момента.

2. Редукция по циклической переменной. Введем углы Эйлераθ, ϕ, ψ (0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 ψ 6 2π), полагая θ углом между e3

и γ :

α1 = cosϕ cosψ − sinϕ sinψ cos θ, α2 = − sinϕ cosψ − cosϕ sinψ cos θ,β1 = cosϕ sinψ + sinϕ cosψ cos θ, β2 = − sinϕ sinψ + cosϕ cosψ cos θ,α3 = sinψ sin θ, β3 = − cosψ sin θ,γ1 = sinϕ sin θ, γ2 = cosϕ sin θ, γ3 = cos θ,

ω1 = ψ sinϕ sin θ + θ cosϕ, ω2 = ψ cosϕ sin θ − θ sinϕ,

ω3 = ϕ+ ψ cos θ.

Функция Лагранжа, отвечающая системе (1), имеет вид

L =1

2ϕ2 + θ2 +

1

4(3− cos 2θ)ψ2 + ϕψ cos θ + λ(ϕ+ ψ cos θ)+

+ cos(ϕ+ ψ)(1 + cos θ).

9


Выполним подстановку

ϕ = Φ−Ψ, ψ = Ψ, θ = 2Θ.

При этом Θ ∈ [0, π/2], а углы Φ,Ψ можно считать по-прежнему изменяющи-мися в пределах [0, 2π], так как матрица замены (ϕ,ψ) 7→ (Φ,Ψ) целочисленнас определителем единица. Очевидно, Ψ будет циклической координатой, ко-торой соответствует интеграл G. В новых переменных он имеет вид

G =∂L

∂Ψ= 2

[

(3 + cos 2Θ)Ψ − Φ− λ]

sin2 Θ,

поэтому его константу естественно обозначить через 2g. Из уравнения цикли-ческого интеграла находим

Ψ =(Φ + λ) sin2Θ+ g

D sin2 Θ.

Здесь и далее обозначено

D = 3 + cos 2Θ = 2(2− sin2Θ).

Исключение циклической координаты приводит к системе, в которой рольлагранжиана играет функция Рауса

R = Θ2 +cos2Θ

2DΦ2 +

2λ cos2Θ− g

2DΦ +

1

2cos Φ cos2 Θ− (g + λ sin2Θ)2

4D sin2Θ.

Линейное по Φ слагаемое не влияет на уравнения Лагранжа, если

0 ≡ ∂

∂Θ

(

2λ cos2Θ− g

2D

)

= −2λ+ g

D2sin 2Θ,

т. е. приg = −2λ (4)

приведенная система является натуральной механической системой. В даль-нейшем рассматриваем случай (4). Уравнение для Ψ примет вид

Ψ =Φ

D− λ

2 sin2Θ, (5)

а приведенная система такова:

Φ =4 tgΘ

DΦΘ− D sinΦ

2,

Θ = −sin 2Θ

2D2Φ2 +

1

4

(

λ2cosΘ

sin3Θ− cos Φ sin 2Θ

)

.

10


3. Разделение переменных. Покажем, что при условии (4) перемен-ные в приведенной системе разделяются. Удобно перейти от H,K к новыминтегралам

H =1

4(H +

λ2

2), K =

1

4(K + 2λ2H),

постоянные которых обозначим через h и k соответственно. В развернутомвиде получим

H = Θ2 +cos2Θ

2DΦ2 − 1

2cos Φ cos2 Θ+

λ2

4 sin2Θ, (6)

K = 4Θ4 +sin4 2Θ

4D4Φ4 +

2 sin2 2Θ

D2Φ2Θ2 +

8 sinΦ cosΘ sin3Θ

DΦΘ +

+ 2

[

λ2

sin2Θ+ 2cos Φ sin2 Θ

]

Θ2 +2cos2 Θ

D2

[

λ2 − 2 cos Φ sin4Θ]

Φ2 +

+λ4

4 sin4 Θ+ sin4Θ. (7)

Сформулируем основной результат. Рассмотрим двузначные функцииодного переменного z

p(z) =√λ2 + k − z2, q(z) =

√λ2 − k + z2,

r(z) =√

(2h − z)λ2 − k + z2.

Введем переменные z1, z2 как корни квадратного уравнения

z2 sin2 Θ− λ2z + 2λ2(

Θ2 +sin2 2Θ

4D2Φ2

)

− k sin2 Θ+λ4

2 sin2Θ= 0

и обозначимpi = p(zi), qi = q(zi), ri = r(zi). (8)

Теорема. На совместном уровне интегралов

H = h, K = k

углы Φ,Θ выражаются через переменные z1, z2 по формулам (i2 = −1)

sinΘ =λ√

z1 + z2, cosΘ =

√z1 + z2 − λ2√z1 + z2

,

sinΦ

2=

p2q1r1 − p1q2r2

λ(z1 − z2)√

2(z1 + z2)√

z1 + z2 − λ2, (9)

cosΦ

2= i

p1q2r1 − p2q1r2

λ(z1 − z2)√

2(z1 + z2)√

z1 + z2 − λ2,

11


а зависимости z1, z2 от времени определяются дифференциальными уравне-ниями

λ(z1 − z2)z1 = −√

Z(z1), λ(z1 − z2)z2 =√

Z(z2), (10)

где Z(z) – многочлен шестой степени, заданный как

Z(z) = p2(z)q2(z)r2(z).

Замечание. Дифференциальные уравнения для вспомогательных пере-менных можно, очевидно, записать в виде уравнений Абеля –Якоби

dz1√

Z(z1)+

dz2√

Z(z2)= 0,

z1dz1√

Z(z1)+

z2dz2√

Z(z2)= − 1

λdt.

Их решения выражаются в гиперэллиптических функциях.Доказательство. Обозначим

U =1

sin2 Θ

(

Θ2 +sin2 2Θ

4D2Φ2

)

. (11)

Из условий

z1 + z2 =λ2

sin2Θ, z1z2 = 2λ2U − k − λ4

2 sin4 Θ

найдем

sinΘ =λ√

z1 + z2, U =

2k − (z21+ z2

2)

4λ2. (12)

Отсюда следует и выражение для cosΘ в (9).Для упрощения выкладок введем переменную V , полагая

Θ =V

2√z1 + z2

, (13)

тогда, исключая U из уравнений (11), (12), получим

Φ =[λ2 − 2(z2

1+ z2

2)]√

2k − (z21+ z2

2)− V 2

λ√z1 + z2

√z1 + z2 − λ2

. (14)

Подстановка найденных выражений для sinΘ, cosΘ, Θ, Φ в уравнения первыхинтегралов дает два уравнения для определения V и cos Φ как функций отz1, z2:

4λ4V 4 + 4λ2λ2(z21+ z2

2− 2k) + [(k − z2

1)(k − z2

2) + λ4] cos ΦV 2+

+[k2 + λ4 + z21z22+ λ2(z2

1+ z2

2) cos Φ− k(2λ2 cos Φ + z2

1+ z2

2)]2 = 0,

(z1 + z2 − λ2)V 2 + λ2(z1 + z2 − λ2) cos Φ + k[λ2 − 2(z1 + z2)]+

+z41− z4

2

z1 − z2− λ2

z31− z3

2

z1 − z2+ 2hλ2(z1 + z2) = 0.

12


Из этой системы находим

V 2 = [(z1 + z2 − λ2)(z1 − z2)2(z1 + z2)]

−1

−2p1q1r1p2q2r2 + 2k3−−k2[λ2(4h− z1 − z2) + 3(z2

1+ z2

2)] + k[3(z4

1+ z4

2)+

+4hλ2(z21+ z2

2)− 2λ2(z3

1+ z3

2)− 2λ4] + λ6(4h − z1 − z2)+

+λ4(z21+ z2

2) + λ2[z5

1+ z5

2− 2h(z4

1+ z4

2)]− (z6

1+ z6

2)

,

cos Φ = [(z1 + z2 − λ2)(z1 − z2)2(z1 + z2)]

−1 2p1q1r1p2q2r2++[λ4 − (k − z2

1)(k − z2

2)][2k − λ2(4h− z1 − z2)− (z2

1+ z2

2)

.

В выражениях√

1

2(1 + cos Φ),

√

1

2(1− cos Φ) и

√

V 2 можно избавиться от

двойных радикалов. Для синуса и косинуса половинного угла результат за-пишется в виде (9), а величину V представим так:

V =p1q1r1 − p2q2r2

(z1 − z2)√z1 + z2

√z1 + z2 − λ2

.

Заметим, что на этом этапе формальные знаки у найденных величин могутбыть выбраны произвольно, так как однозначно определены (как функцииот zi, pi, qi, ri) лишь cos2Θ, V 2, cos Φ. Сделанный нами выбор в используемыхформулах предопределяет выбор знаков в последующих аналитических выра-жениях.

Подставляя значение V в равенства (13), (14), найдем выражения Θ, Φчерез z1, z2:

Θ =p1q1r1 − p2q2r2

2(z21− z2

2)√z1 + z2 − λ2

, Φ = i[2(z1 + z2)− λ2](p1q1r2 − p2q2r1)

λ(z21− z2

2)(z1 + z2 − λ2)

.

С другой стороны, обозначая Dt = z1∂z1 + z2∂z2 , из уравнений (9) вычислим

Θ = (Dt sinΘ)/cosΘ и Φ = 2(Dt sinΦ

2)/cos Φ

2. Совпадение найденных значений

обобщенных скоростей приводит к системе уравнений

C1z1 − C2z2 =

[

2(z1 + z2)− λ2]

(p2q2r1 − p1q1r2)

λ,

z1 + z2 =p2q2r2 − p1q1r1λ(z1 − z2)

,

где

C1 =r2r1(2z1 − λ2)(z1 + z2)− 2z1(z1 + z2 − λ2)

p2q2p1q1

,

C2 =r1r2(2z2 − λ2)(z1 + z2)− 2z2(z1 + z2 − λ2)

p1q1p2q2

.

Отсюда, после необходимых упрощений, получаем уравнения (10).

13


Таким образом, в приведенной системе, отвечающей условию (4) на по-стоянную циклического интеграла, построено разделение переменных, при-чем тригонометрические функции нециклических комбинаций углов Эйлерапредставлены в виде дробно-рациональных выражений от переменных разде-ления и радикалов (8). Для циклической переменной (угла Ψ) в таком видеможно представить соответствующую обобщенную скорость. Действительно,из (5) с учетом найденных выражений для Θ, Φ получим

Ψ = − 1

2λ

[

(z1 + z2) + ip2q2r1 − p1q1r2

(z1 + z2 − λ2)(z1 − z2)

]

.

В заключение отметим, что, как видно из представленных формул, по-лучено разделение переменных лишь при условии λ 6= 0. В частности, дляволчка Ковалевской в S1-симметричном двойном поле аналога этому реше-нию нет. Однако при λ = 0 (а тогда и при нулевой постоянной цикличе-ского интеграла) в функции Рауса и первых интегралах приведенной систе-мы сингулярных слагаемых нет. Такая задача имеет аналогию с решениемС.А.Чаплыгина [13], и разделение переменных также существует.

1. Yehia H.M. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mechanics ResearchCommunications. – 1986. – 13, 3. – P. 169–172.

2. Яхья Х.М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата // ВестникМоск. ун-та. Сер. 1. – 1987. – 4. – С. 88–90.

3. Yehia H.M. Equivalent problems in rigid body dynamics-II // Celestial Mechanics. – 1988.– 41. – P. 289–295. doi:10.1007/BF01238765.

4. Yehia H.M. Geometric transformations and new integrable problems of rigid body dyna-mics // J. of Phys. A: Math. & Gen. – 2000. – 33. – P. 4393–4399.doi:10.1088/0305-4470/33/23/313.

5. Kharlamov M.P. Separation of variables in the generalized 4th Appelrot class //Regular and Chaotic Dynamics. – 2007. – 12, 3. – P. 267–280. arXiv:0803.1024.doi:10.1134/S1560354707030021.

6. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения // Ме-ханика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 20–30.

7. Рябов П.Е. Явное интегрирование и топология случая Д.Н. Горячева // Докл. РАН. –2011. – 439, 3. – С. 315–318. doi:10.1134/S1064562411040193 .

8. Рябов П.Е. Фазовая топология одного частного случая интегрируемости Д.Н.Го-рячева в динамике твердого тела // Мат. сб. – 2014. – 205, 7. – С. 115–134.doi:10.1070/SM2014v205n07ABEH004408 .

9. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: Изд-во РХД, 2001. –384 с.

10. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви-жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. –Вып. 34. – С. 47–58.

11. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams and critical subsystems of the Kowalevski gyrostatin two constant fields // Hiroshima Math. J. – 2009. – 39, 3. – P. 327–350. arXiv:0803.0371.ProjectEuclid:1257544212

12. Савушкин А.Ю., Харламова И.И. Бифуркационные диаграммы интегральных ото-бражений волчка с сингулярной симметрией // Механика твердого тела. – 2009. –Вып. 39. – С. 110–120. arXiv:1310.0770.

13. Чаплыгин С.А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости// Тр. отд-я физ. наук общества любителей естествознания. – 1903. – 11, 2. – С. 7–10.

14

http://dx.doi.org/10.1007/BF01238765

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/33/23/313

http://arxiv.org/abs/0803.1024

http://dx.doi.org/10.1134/S1560354707030021

http://dx.doi.org/10.1134/S1064562411040193

http://dx.doi.org/10.1070/SM2014v205n07ABEH004408


http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1257544212



M.P. Kharlamov, H.M. Yehia

Separation of variables in one partial case of motion of a gyrostat in a doublefield

Dynamically symmetric gyrostat in a double field on conditions of the Kowalevski type possessesa complete involutive set of first integrals. However, in general case this problem is not reducedto quadratures. In this paper for a partial case when the double field admits a one-dimensionalsymmetry, the reduction is given according to the Routh method. The values of integral constantsare chosen in such a way that the reduced system does not have gyroscopic forces. In this naturalsystem with two degrees of freedom the separation of variables leading to hyperelliptic Abel –Jacobi equations is indicated. Non-cyclic combinations of the Euler angles are expressed in termsof separation variables.

Keywords: gyrostat, double field, separation of variables.


Роздiлення змiнних в одному окремому випадку руху гiростатав подвiйному полi

Динамiчно симетричний гiростат в подвiйному полi за умов типу Ковалевської володiє пов-ним iнволютивним набором перших iнтегралiв, проте, у загальному випадку квадратури незнайденi. У поданiй статтi для окремого випадку, коли подвiйне поле допускає одновимiрнусиметрiю, виконано пониження порядку за Раусом. Вибрано значення iнтегральних постiй-них, при яких зведена система не має гiроскопiчних сил. У цiй натуральнiй системi з двомастепенями вiльностi указано роздiлення змiнних, що приводить до гiперелiптичних рiвняньАбеля –Якобi. Нециклiчнi комбiнацiї кутiв Ейлера виражено через змiннi роздiлення.

Ключовi слова: гiростат, подвiйне поле, роздiлення змiнних.

Волгоградский филиал РАНХиГС, РоссияУниверситет г.Мансура, Египет

[email protected], [email protected]

Получено 05.03.14

15


УДК 531.38

c©2014. Г.В. Горр, Е.К. Щетинина

ПОЛУРЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕЦЕССИИ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА,НЕСУЩЕГО ДВА РОТОРА

Установлены условия существования полурегулярных прецессий первого типа в задаче одвижении тяжелого гиростата, несущего два вращающихся ротора. Получены новые реше-ния уравнений движения рассматриваемой механической системы, которые выражаютсяэлементарными и эллиптическими функциями времени.

Ключевые слова: полурегулярная прецессия, гиростат, ротор.

Введение. Для управления движением современных технических кон-струкций используются вращающиеся роторы. При моделировании движенийтаких механических систем используются модели гиростатов [1–3], гироди-нов [4]. Уравнения движения гиростата и системы связанных твердых телрассмотрены в работах [5–8]. Ранее в задачах о движении гиростата рассма-тривались такие случаи: гиростатический момент постоянен; гиростатиче-ский момент формируется одним или двумя вращающимися с непостояннойскоростью роторами. Обзор результатов, полученных в исследовании дви-жений гиростатов с постоянным гиростатическим моментом, приведен в [3].В статьях [9–16] изучаются условия существования различных типов движе-ния гиростата с одним вращающимся ротором. В работах [17,18] исследованымаятниковые и прецессионные движения гиростата, который несет два вра-щающихся ротора.

Данная статья посвящена изучению условий существования полурегуляр-ных прецессионных движений гиростата, несущего два ротора, под действиемсилы тяжести.

1. Постановка задачи. Кинематические условия. Запишем урав-нения движения гиростата – механической системы, состоящей из тела-носителя и двух вращающихся роторов, – под действием силы тяжести [7]:

Aω = (λ1(t)α+λ2(t)β)×ω−λ1(t)α−λ2(t)β+Aω×ω+s×ν, ν = ν×ω. (1)

Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела-носителя S0; ν = (ν1, ν2, ν3) –единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; s = (s1, s2, s3)– вектор, который определяется равенством s = mgrc (rc = OC); O – непо-движная точка тела-носителя; C – центр тяжести гиростата; α = (α1, α2, α3),β = (β1, β2, β3) – единичные ортогональные векторы; A = (Aij) – тензоринерции гиростата; λ1(t) и λ1(t) – компоненты гиростатического момента,характеризующие движение несущих роторов.

Уравнения (1) имеют интегралы

ν · ν = 1, (Aω + λ1(t)α+ λ2(t)β) · ν = k, (2)

16

Полурегулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два ротора

где k – произвольная постоянная.Зададим программное движение тела-носителя в виде полурегулярной

прецессии относительно вектора ν. Если в подвижной системе координат че-рез a = (0, 0, 1) обозначить вектор, неизменно связанный с телом-носителем,то полурегулярная прецессия характеризуется инвариантным соотношением

a · ν = a0 (a0 = cos θ0). (3)

В (3) θ0 – постоянная. В [3] показано, что при выполнении (3) вектор угловойскорости

ω = ϕa+ ψν. (4)

Для полурегулярной прецессии первого типа ψ = m = const, т. е. в силу (4)

ω = ϕa+mν. (5)

Подстановка (5) в кинематическое уравнение Пуассона из (1), геометриче-ский интеграл (2) и учет инвариантного соотношения (3) дает возможностьв подвижной системе координат выразить компонентны векторов ν,ω следу-ющим образом:

ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (6)

ω1 = a′0m sinϕ, ω2 = a′0m cosϕ, ω3 = ϕ+ma0. (7)

Следовательно, достаточно рассмотреть динамическое уравнение из (1) вме-сте с равенствами (6), (7), определяющими общий вид решения для прецессии(3).

2. Динамическое уравнение. Подставим выражение (5) в динамиче-ское уравнение из (1):

λ1(t)α+ λ2(t)β = λ1(t)[

ϕ(α× a) +m(α× ν)]

+

+λ2(t)[

ϕ(β×a+m(β×ν)]

− ϕAa+ ϕ2(Aa×a)+ ϕ(a×Bν)−m2ν×Aν, (8)

гдеB = m(Sp(A)δ − 2A). (9)

Здесь δ – единичная матрица третьего порядка, Sp(A) – след матрицы A.Интеграл момента количества движения из (2) преобразуется так

(

ϕAa+mAν + λ1(t)α+ λ2(t)β)

· ν = k. (10)

Для исследования уравнения (8) удобно использовать ортонормированныйбазис α,β,γ = α × β. Проектируя левую и правую части уравнения (8) наэтот базис, получим

λ1(t) = λ2(t)[

m(a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ a0γ3) + γ3ϕ]

− µ0ϕ+ µ1ϕ2+

17

Г.В. Горр, Е.К.Щетинина

+ϕ(µ2 sinϕ+µ3 cosϕ+µ4)+µ5 sin 2ϕ+µ6 cos 2ϕ+µ7 sinϕ+µ8 cosϕ+µ9, (11)

λ2(t) = −λ1(t)[

m(a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ a0γ3) + γ3ϕ]

− ε0ϕ+ ε1ϕ2+

+ϕ(ε2 sinϕ+ ε3 cosϕ+ ε4) + ε5 sin 2ϕ+ ε6 cos 2ϕ+ ε7 sinϕ+ ε8 cosϕ+ ε9, (12)

λ1(t)[

m(a′0β1 sinϕ+ a′0β2 cosϕ+ a0β3) + ϕβ3]

−

−λ2(t)[

m(a′0α1 sinϕ+ a′0α2 cosϕ++a0α3) + ϕα3

]

− σ0ϕ+ σ1ϕ2+ (13)

+ϕ(σ2 sinϕ+ σ3 cosϕ+ σ4) + σ5 sin 2ϕ+ σ6 cos 2ϕ+ σ7 sinϕ+ σ8 cosϕ+ σ9 = 0.

В уравнениях (11)–(13) введены обозначения

γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1,

µ0 = α1A13 + α2A23 + α3A33, µ1 = α1A23 − α2A13,

µ2 = a′0(α2B11 − α1B12), µ3 = a′0(α2B12 − α1B22),

µ4 = a0(α2B13 − α1B23), µ5 =1

2a′

2

0m2[

α2A23 − α1A13 + α3(A11 −A22)]

,

µ6 =1

2a′

2

0m2[

2α3A12 − α2A13 − α1A23

]

, (14)

µ7 = a′0[

a0α1A12 + α2

(

s3 − a0m2(A11 −A33)

)

− α3(s2 + a0m2A23)

]

,

µ8 = a′0[

− α1

(

s3 − a0m2(A22 −A33)

)

− a0α2m2A12 + α3(s1 + a0m

2A13)]

,

µ9 =α1

2

[

2a0s2 −m2(a′2

0 − 2a20)A23

]

− α2

2

[

2a0s1 −m2(a′2

0 − 2a20)A13)]

,

ε0 = β1A13 + β2A23 + β3A33, ε1 = β1A23 − β2A13,

ε2 = a′0(β2B11 − β1B12), ε3 = a′0(β2B12 − β1B22,

ε4 = a0(β2B13 − β1B23), ε5 =1

2a′

2

0m2[

β2A23 − β1A13 + β3(A11 −A22)]

,

ε6 =1

2a′

2

0m2(

2β3A12 − β2A13 − β1A23), (15)

ε7 = a′0[

a0β1A12 + β2(

s3 − a0m2(A11 −A33)

)

− β3(s2 + a0m2A23)

]

,

ε8 = a′0[

− β1(

s3 − a0m2(A22 −A33)

)

− a0β2m2A12 + β3(s1 + a0m

2A13)]

,

ε9 =β12

[

2a0s2 −m2(a′2

0 − 2a20)A23

]

− β22

[

2a0s1 − (a′2

0 − 2a20)A13

]

,

σ0 = γ1A13 + γ2A23 + γ3A33, σ1 = γ1A23 − γ2A13,

σ2 = a′0(γ2B11 − γ1B12), σ3 = a′0(γ2B12 − γ1B22),

18


σ4 = a0(γ2B13 − γ1B23), σ5 =1

2a′

2

0m2[

γ2A23 − γ1A13 + γ3(A11 −A22)]

,

σ6 =1

2a′

2

0m2(

2γ3A12 − γ2A13 − γ1A23), (16)

σ7 = a′0[

a0γ1A12 + γ2(

s3 − a0m2(A11 −A33)

)

− γ3(s2 + a0m2A23)

]

,

σ8 = a′0[

− γ1(

s3 − a0m2(A22 −A33)

)

− a0γ2A12 + γ3(s1 + a0m2A13)

]

,

σ9 =γ12

[

2a0s2 −m2(a′2

0 − 2a20)A23

]

− γ22

[

2a0s1 − (a′2

0 − 2a20)A13

]

,

где в силу (9)

B11 = m(A33 −A11 +A22), B22 = m(A11 −A22 +A33),

B33 = m(A22 −A33 +A11),

B12 = −2mA12, B13 = −2mA13, B23 = −2mA23.

(17)

Таким образом, динамическое уравнение из (1) приводит к системе трехобыкновенных дифференциальных уравнений (11)–(13), которая линейнаотносительно функций λ1(t), λ2(t) и нелинейна относительно функции ϕ(t).Условия существования решений этой системы и служат условиями, привыполнении которых гиростат совершает полурегулярную прецессию (6), (7).

3. Случай сферического гиростата с неподвижным центром масс.Рассмотрим вариант, когда центр масс гиростата неподвижен, а эллипсоидинерции является сферой, т. е. выполнены условия

s1 = s2 = s3 = 0, A11 = A22 = A33 = A. (18)

В силу (18) все компоненты Aij (i 6= j) обращаются в нуль, а из (17) следуетBij = 0 (i 6= j), B11 = B22 = B33 = mA. Учтем эти свойства в равенствах(14)–(16):

µ0 = α3A, µ1 = 0, µ2 = a′0α2mA, µ3 = −a′

0α1mA,

µ4 = 0, µ5 = 0, µ6 = 0, µ7 = 0, µ8 = 0, µ9 = 0,

ε0 = β3A, ε1 = 0, ε2 = a′0β2mA, ε3 = −a′

0β1mA,

ε4 = 0, ε5 = 0, ε6 = 0, ε7 = 0, ε8 = 0, ε9 = 0,

σ0 = γ3A, σ1 = 0, σ2 = a′0γ2mA, σ3 = −a′

0γ1mA,

σ4 = 0, σ5 = 0, σ6 = 0, σ7 = 0, σ8 = 0, σ9 = 0.

(19)

На основании (19) уравнения (11)–(13) упрощаются:[

λ1(t) + α3Aϕ(t) + a′0Am(α1 sinϕ(t) + α2 cosϕ(t))

]

•

=

= λ2(t)[

m(a′0γ1 sinϕ(t) + a′

0γ2 cosϕ(t) + a0γ3) + γ3ϕ(t)

]

,

[

λ2(t) + β3Aϕ(t) + a′0Am(β1 sinϕ(t) + β2 cosϕ(t))

]

•

=

= −λ1(t)[

m(a′0γ1 sinϕ(t) + a′

0γ2 cosϕ(t) + a0γ3) + γ3ϕ(t)

]

,

(20)

19


λ1(t)[

m(a′0β1 sinϕ(t) + a′

0β2 cosϕ(t) + a0β3) + ϕ(t)β3

]

−−λ2(t)

[

m(a′0α1 sinϕ(t) + a′

0α2 cosϕ(t) + a0α3) + ϕ(t)α3

]

−−γ3Aϕ(t) + a′

0mAϕ(t)

(

γ2 sinϕ(t)− γ1 cosϕ(t))

= 0.

(21)

Уравнения (20) допускают частное решение

ϕ = −mγ3

(a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ a0γ3), (22)

λ1(t) + α3Aϕ(t) + a′0mA

(

α1 sinϕ(t) + α2 cosϕ(t))

= κ1,

λ2(t) + β3Aϕ(t) + a′0mA

(

β1 sinϕ(t) + β2 cosϕ(t))

= κ2,(23)

где κ1 и κ2 – произвольные постоянные.Подставляя ϕ, λ1, λ2 из (22), (23) в уравнение (21) и требуя, чтобы полу-

ченное равенство было тождеством по t, найдем функции

λ1(t) =a′0mA

γ3(β1 cosϕ(t)− β2 sinϕ(t)),

λ2(t) =a′0mA

γ3(α1 cosϕ(t)− α2 sinϕ(t)).

(24)

Таким образом, для сферического гиростата решение уравнений (11)–(13)определено соотношениями (22), (24). Из уравнения (22) вытекает, что функ-ция ϕ(t) является элементарной функцией времени и существует при γ3 6= 0.Основными свойствами решения (22), (24) являются: параметры θ0,m и A –произвольны, векторы α и β, задающие гиростатический момент, и вектор a

не могут лежать в одной плоскости.

4. Случай динамической симметрии тела-носителя. Покажем,что решение (22), (24) обобщается на случай, когда выполнены условия

A22 = A11, s1 = s2 = 0, s3 = a0m2(A11 −A33). (25)

На основании условий (25) из равенств (14)–(17) имеем

µ0 = α3A33, µ1 = 0, µ2 = a′0α2mA33, µ3 = −a′

0α1mA33,

µ4 = 0, µ5 = 0, µ6 = 0, µ7 = 0, µ8 = 0, µ9 = 0,

ε0 = β3A33, ε1 = 0, ε2 = a′0β2mA33, ε3 = −a′

0β1mA33,

ε4 = 0, ε5 = 0, ε6 = 0, ε7 = 0, ε8 = 0, ε9 = 0,

σ0 = γ3A33, σ1 = 0, σ2 = a′0γ2mA33, σ3 = −a′

0γ1mA33,

σ4 = 0, σ5 = 0, σ6 = 0, σ7 = 0, σ8 = 0, σ9 = 0.

(26)

20


Уравнения (11)–(13) при выполнении условий (25), (26) принимают вид урав-нений (20), (21), в которых необходимо вместо A ввести параметр A33. Этоозначает, что уравнения (11)–(13) допускают решение

ϕ(t) = −mγ3

(a′0γ1 sinϕ(t) + a′0γ2 cosϕ(t) + a0γ3),

λ1(t) =a′0mA33

γ3(β1 cosϕ(t)− β2 sinϕ(t)),

λ2(t) =a′0mA33

γ3(α1 cosϕ(t)− α2 sinϕ(t)),

(27)

где γ3 6= 0. Выберем подвижную систему координат так, чтобы выполнялосьравенство γ1 = 0. Тогда из первого уравнения системы (27) найдем

ϕ(t) = 2 arctg[

√

µ20− µ2

1

µ0 − µ1tg

√

µ20− µ2

1

2(t− t0)

]

(µ20 > µ21),

ϕ(t) = 2 arctg[

√

µ21− µ2

0

µ0 − µ1cth

√

µ21− µ2

0

2(t− t0)

]

(µ21 > µ20).

(28)

Здесьµ0 = −a0m, µ1 = −a′0mγ2/γ3.

В решении (27), (28) параметры a0 и m2 связаны последним равенствомиз (25), выбор плоскости векторов α и β должен удовлетворять условиюγ3 6= 0, т. е. эта плоскость не должна содержать ось собственного вращениятела-носителя.

5. Случай γ = a. В этом случае выполняются условия α · a = 0,β ·a = 0. То есть гиростатический момент ортогонален оси собственного вра-щения, что нетрудно осуществить на практике. Положим в формулах (14)–(16) α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0). Тогда

µ0 = 0, µ1 = 0, µ2 = 0, µ3 = a′0m(A11 −A22 +A33), µ4 = 0, µ5 = 0,

µ6 = 0, µ7 = 0, µ8 = −a′0

[

s3 − a0m2(A22 −A33)

]

, µ9 = a0s2,

ε0 = 0, ε1 = 0, ε2 = a′0m(A22 −A11 +A33),

ε3 = 0, ε4 = 0, ε5 = 0, ε6 = 0,

ε7 = a′0

[

s3 − a0m2(A11 −A33)

]

, ε8 = 0, ε9 = −a0s1,σ0 = A33, σ1 = 0, σ2 = 0, σ3 = 0, σ4 = 0,

σ5 =1

2a′

2

0m2(A11 −A22), σ6 = 0, σ7 = −a′0s2, σ8 = a′0s1, σ9 = 0.

(29)

На основании (29) уравнения (11)–(13) запишутся так:

λ1 = λ2(a0m+ ϕ)− ϕa′0m(A11 −A22 +A33) cosϕ−

−a′0

[

s3 − a0m2(A22 −A33)

]

cosϕ+ a0s2,(30)

21


λ2 = −λ1(a0m+ ϕ)− ϕa′0m(A11 −A22 −A33) sinϕ+

+a′0

[

s3 − a0m2(A11 −A33)

]

sinϕ− a0s1,(31)

a′0m(λ1(t) cosϕ− λ2(t) sinϕ)−A33ϕ+1

2m2a′

2

0(A11 −A22) sin 2ϕ−−a′0s2 sinϕ+ a′0s1 cosϕ = 0.

(32)

Введем вместо λ1 и λ2 новые переменные u, v:

u(t) = λ1(t) cosϕ− λ2(t) sinϕ,

v(t) = λ1(t) sinϕ+ λ2(t) cosϕ.(33)

Исходные переменные находятся по формулам

λ1(t) = u(t) cosϕ+ v(t) sinϕ,

λ2(t) = −u(t) sinϕ+ v(t) cosϕ.(34)

С помощью (30), (31), (33) определим дифференциальные уравнения дляфункций u(t), v(t):

u = a0mv − a′0mϕ

[

A33 + (A11 −A22) cos 2ϕ]

−

−a′0[

s3 − a0m2(A11 +A22

2−A33)

]

−

−1

2a0a

′

0(A11 −A22)m2 cos 2ϕ+ a0(s2 cosϕ+ s1 sinϕ),

v = −a0mu− a′0mϕ(A11 −A22) sin 2ϕ− 1

2a′0a0(A11 −A22)m

2 sin 2ϕ+

+a0(s2 sinϕ− s1 cosϕ).

(35)

Из уравнения (32) найдем

u =1

a′0m

[

A33ϕ− 1

2a′

2

0m2(A11 −A22) sin 2ϕ+ a′0(s2 sinϕ− s1 cosϕ)

]

. (36)

Подставим выражение (36) во второе уравнение из (35) и проинтегрируемполученное уравнение:

v = −a0a′0

A33ϕ+1

2a′0m(A11 −A22) cos 2ϕ+ c

∗, (37)

где c∗

– произвольная постоянная.Для нахождения уравнения на функцию ϕ(t) внесем выражения (36), (37)

в первое уравнение (35). После преобразований полученного уравнения имеем

A33

(

ϕ(3) +m2ϕ)

+ (a0m− ϕ)(s1 sinϕ+ s2 cosϕ) + c∗ = 0, (38)

22


c∗ = a′2

0m[

s3 −a0m

2

2(A11 +A22 − 2A33)

]

. (39)

Рассмотрим вариант s1 = s2 = 0, c∗ 6= 0. Тогда уравнение (38) интегри-руется. Его решение запишем в виде

ϕ = C1 sinmt+ C2 cosmt+ C3t(

C3 = − c∗

m2A33

)

, (40)

где Ci (i = 1, 3) – произвольные постоянные. Подставим (40) в равенства (36),(37):

u = −m2

a′0

[

A33(C1 sinmt+ C2 cosmt)+

+1

2a′0(A11 −A22) sin 2(C1 sinmt+ C2 cosmt+ C3t)

]

,

v = − a0a′0

A33m(C1 cosmt− C2 sinmt)+

+1

2a′0m(A11 −A22) cos 2(C1 sinmt+ C2 cosmt+ C3t) + c

∗.

(41)

Для получения функций λ1(t) и λ2(t) необходимо внести выражения (41) вравенства (34). Таким образом, построено решение уравнений (30)–(32). Егоглавные свойства таковы: нет ограничений на параметры Aii (i = 1, 3), s3, θ0;

функция ϕ(t) является периодической с периодом2π

m; скорость прецессии

может принимать произвольные значения.Рассмотрим уравнение (38) при c∗ = 0, a0 = 0. То есть в силу (39) s3 = 0.

Тогда

A33(ϕ+m2ϕ)− (s2 sinϕ− s1 cosϕ) + c′ = 0. (42)

Здесь c′ – произвольная постоянная. Для интегрирования уравнения (42)умножим левую часть на ϕ. Тогда после некоторых преобразований полу-чим

ϕ∫

ϕ0

dϕ√

F (ϕ)=

√

A33

2(t− t0), (43)

где

F (ϕ) =2

A33

[

− (s2 cosϕ+ s1 sinϕ)−1

2m2A33ϕ

2 − c′ϕ+ c′′]

. (44)

Здесь c′′ – произвольная постоянная. Путем обращения интеграла (43) найдемфункцию ϕ(t). Это позволит определить функции (36), (37), а затем из (34)и функции λ1(t), λ2(t). В данном решении, в отличие от ранее построенногорешения, ϕ(t) не является элементарной функцией времени. Однако имеютсяи общие свойства данных решений, поскольку во втором решении также нетограничений на параметры, характеризующие распределение масс, и m.

23


6. Общий метод исследования. Запишем уравнения (10), (13) в виделинейной системы по λ1(t) и λ2(t):

λ1(t)(α · ν) + λ2(t)(β · ν) = F1,

λ1(t)[

m(β · ν) + ϕ(β · a)]

− λ2(t)[

m(α · ν) + ϕ(α · a)]

= F2,(45)

решением которой будет

λ1(t) = ∆1/∆, λ2(t) = ∆2/∆, (46)

где

∆(t) = −[

m(α · ν)2 +m(β · ν)2 + ϕ(β · a)(β · ν) + ϕ(α · a)(α · ν)]

,

∆1 = −[

F1

(

m(α · ν) + ϕ(α · a))

+ F2(β · ν)]

,

∆2 = F2(α · ν)− F1

(

m(α · ν) + ϕ(α · a))

,

аF1 = k − ϕ(Aa · ν)−m(Aν · ν),

F2 = σ0ϕ− σ1ϕ2 − ϕ(σ2 sinϕ+ σ3 cosϕ+ σ4)− σ5 sin 2ϕ−

−σ6 cos 2ϕ− σ7 sinϕ− σ8 cosϕ− σ9.

Первое соотношение из (45) является интегралом уравнений (11), (12).При ∆ 6= 0 уравнения (45) независимы и одно из уравнений системы (11),(12) можно отбросить. Если подставить выражения (46) в уравнение (11), тополучим уравнение следующего вида

Φ(ϕ, ϕ, ϕ, Aij , αiβi, si, a0) = 0 (i = 1, 3). (47)

Если удается найти решение уравнения (46), то условия его существованиябудут условиями существования полурегулярной прецессии (5). Решение (6),(7) исходной системы тогда можно найти с помощью функции ϕ(t), удовле-творяющей (47), и равенств (46).

Заключение. В статье рассмотрены условия существования полурегу-лярных прецессий гиростата в случае, когда на гиростат действует сила тяже-сти. Показано существование прецессий для вариантов: сферического гиро-стата с неподвижным центром масс; симметричного гиростата с подвижнымцентром масс; гиростата, гиростатический момент которого ортогонален осисобственного вращения.

1. Амелькин Н.И. О свойствах стационарных движений тела, несущего систему двухсте-пенных силовых гироскопов // Прикл. математика и механика. – 2011. – 75, вып. 3.– С. 355–369.

2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: НИЦ “Регулярная ихаотическая динамика”, 2001. – 384 с.

3. Горр Г.В., Ковалев A.M. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.

24


4. Гладун А.В., Ковалев А.М. Частичная стабилизация стационарных движений спу-тника с гиродинами // Космiчна наука i технологiї. Додаток. – 2005. – 11, 1. –С. 11–18.

5. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью // Собр. соч. – М.; Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 1. – С. 31–152.

6. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика. – 1970. – 2. – С. 83–96.

7. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердоготела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.

8. Liouville J. Developpement sur un chapitre de la Mecanique de Poisson // J. math. pureset appl. – 1858. – 3. – P. 1–25.

9. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оситвердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. –С. 100–105.

10. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 19. – С. 30–35.

11. Волкова О.С, Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –С. 42–49.

12. Волкова О.С, Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата вокругнеподвижной точки // Современные проблемы математики, механики и информатики/ Под ред. Н.Н.Кизиловой, Г.Н.Жолткевича. – Харьков: Изд-во: “Апостроф”, 2011.– С. 74–84.

13. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростатас переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироско-пических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.

14. Горр Г.В., Мазнев A.B. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с пере-менным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задачединамики // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2010. – 21. – С. 64–75.

15. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердоготела. – 2010. – Вып. 40. – С. 91–104.

16. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в за-даче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Вiсн. До-нецького ун-ту. Сер. А: Природничi науки. – 2012. – Вип. 1. – С. 79–83.

17. Возняк А.А. Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гиро-скопических сил в случае переменного гиростатического момента // Механика твер-дого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 69–78.

18. Котов Г.А. Прецессии общего вида в задаче о движении гиростата, несущего двамаховика с переменным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. –2013. – Вып. 43. – С. 79–89.

G.V.Gorr, E.K. Shchetinina

Semi-regular precessions of a heavy gyrostat carrying two rotors

Conditions for the existence of semi-regular precessions of the first type are established in theproblem of motion of a heavy gyrostat carrying two rotors. New solutions of the motion equationsfor the considered mechanical system are obtained and expressed in terms of elementary orelliptic functions of time.

Keywords: semi-regular precession, gyrostat, rotor.

25


Г.В. Горр, О.К.Щетiнiна

Напiврегулярнi прецесiї важкого гiростата, що несе два ротора

Встановлено умови iснування напiврегулярних прецесiй першого типу в задачi про рух важ-кого гiростата з двома роторами, що обертаються. Одержано новi розв’язки рiвнянь рухурозглянутої механiчної системи, якi виражаються елементарними та елiптичними функцi-ями часу.

Ключовi слова: напiврегулярна прецесiя, гiростат, ротор.

Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, ДонецкНациональный ун-т экономики и торговлиим.М.Туган-Барановского, Донецк

[email protected], [email protected]


26


УДК 531.38

c©2014. А.В. Мазнев, Т.В.Белоконь

ОДИН СЛУЧАЙ ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙВ ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА

Рассмотрена задача о движении симметричного гиростата под действием потенциаль-ных и гироскопических сил, моделируемая обобщенными уравнениями класса Кирхгофа–Пуассона. В предположении, что гиростат несет два ротора, исследованы условия суще-ствования у уравнений движения трех линейных инвариантных соотношений специальноговида и указаны новые решения.

Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение.

Классическая задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижнойточкой, описываемая уравнениями Эйлера–Пуассона, получила обобщенияв различных направлениях [1–5]. На практике (в частности, при управленииориентацией и стабилизации спутника роторами [6]) важным обобщением слу-жит задача о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом,уравнения которой допускают только два первых интеграла [2, 4]. Эта задачарассматривалась многими авторами [7–12] в предположении, что гиростат не-сет один вращающийся ротор. В данной работе полагаем, что тело-носительнесет два вращающихся ротора. Исследованы условия существования у урав-нений рассматриваемой задачи трех инвариантных соотношений. Полученыновые решения уравнений движения, которые имеют свойства, отличные отсвойств в случае одного ротора [12].

Постановка задачи. Рассмотрим симметричный гиростат – механиче-скую систему, состоящую из тел S0, S1, S2 [4, 6]. Тело-носитель S0 имеет не-подвижную точку O, а тела S1, S2 либо геометрически симметричны (ро-торы [6]), либо динамически симметричны (моменты инерции относительноэкваториальных осей равны [4]) и закреплены в теле S0 своими осями сим-метрии. Оси вращения роторов заданы двумя единичными ортогональнымивекторами α и β. Предполагается, что вектор гиростатического момента име-ет вид λ = λ1(t)α+ λ2(t)β. Свойства взаимодействия тел S0 и S1, S2 опреде-лены уравнениями относительного движения [4].

Будем рассматривать движение гиростата под действием потенциаль-ных и гироскопических сил, которые характеризуются влиянием магнитногои электрического полей на намагниченный и наэлектризованный гиростат[1, 3, 4]

(x+ λ)• = (x+ λ)× ω +ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, ν = ν × ω. (1)

Здесь x = (x1, x2, x3) – момент количества движения тела-носителя,ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости, связанный с вектором x со-отношением ω = ax (a – гирационный тензор), ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный

27

А.В. Мазнев, Т.В. Белоконь

вектор оси симметрии силовых полей, s = (s1, s2, s3) – постоянный вектор,сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата, λ – векторгиростатического момента, B = (Bij), C = (Cij) – постоянные матрицы тре-тьего порядка; точкой обозначена производная по времени.

Уравнения (1) допускают два первых интеграла

(x+ λ) · ν − (Bν · ν)/2 = k, ν · ν = 1, (2)

где k – произвольная постоянная. Поэтому для применения теории Якобиинтегрирования уравнений динамики необходимо найти три дополнительныхинтеграла. Это обстоятельство отличает задачу, описываемую уравнениями(1), (2), от задачи о движении гиростата под действием потенциальных и ги-роскопических сил в случае постоянного гиростатического момента, посколь-ку для нее уравнения движения допускают интеграл энергии, и для интегри-рования уравнений в квадратурах достаточно найти один дополнительныйинтеграл.

Рассмотрим динамически симметричный гиростат: a = diag(a1, a2, a2) ипредположим, что одна из компонент гиростатического момента направле-на по оси симметрии α = (1, 0, 0), а вторая компонента перпендикулярнаэтой оси: β = (0, 1, 0). Также предположим, что центр масс лежит на осисимметрии s = (s1, 0, 0), а матрицы B и C имеют вид B = diag(B1, B2, B2),C = diag(C1, C2, C2). Случай, когда s = 0, т. е. центр масс гиростата совпа-дает с неподвижной точкой, не рассматриваем.

Запишем уравнения (1) и интегралы (2) в скалярной форме

(x1 + λ1(t))· = a2λ2(t)x3 + a2B2(ν3x2 − ν2x3), (3)

(x2 + λ2(t))· = (a1 − a2)x1x3 − λ1(t)a2x3 + a2B1ν1x3 − a1B2ν3x1−

−s3ν3 + (C1 − C2)ν1ν3,(4)

x3 = (a2 − a1)x1x2 − a1λ2(t)x1 + a2λ1(t)x2 + a1B2ν2x1 − a2B1ν1x2+

+s1ν2 + (C2 −C1)ν1ν2,(5)

ν1 = a2(x3ν2 − x2ν3), ν2 = a1x1ν3 − a2x3ν1, ν3 = a2x2ν1 − a1x1ν2, (6)

(x1 + λ1(t)) ν1 + (x2 + λ2(t)) ν2 + x3ν3 +1

2(B2 −B1)ν

2

1 = k∗,

ν21+ ν2

2+ ν2

3= 1,

(7)

где k∗= k +

1

2B2.

Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений(3)–(6) трех инвариантных соотношений вида

x1 = b0 + b1ν1, x2 = d0 + d2ν2, x3 = c0 + c3ν3, (8)

где b0, b1, d0, d2, c0, c3 – постоянные параметры, подлежащие определению.

28

Случай трех инвариантных соотношений в задаче о движении симметричного гиростата

Отметим, что из уравнения (3) с учетом (6) при условии λ2(t) = 0 выте-кает дополнительный интеграл

λ1(t) = α0 − b0 − (B2 + b1)ν1, (9)

где α0 – произвольная постоянная. Этот вариант для случая одного роторарассмотрен в [12]. Для сохранения интеграла (9) в нашей задаче будем вдальнейшем полагать x3 = 0 (т. е. c0 = 0, c3 = 0), а λ2(t) 6= 0. Интеграл(9) является аналогом интеграла Кирхгофа–Харламова [1] на инвариантноммножестве x3 = 0.

Предположим, что одна из компонент гиростатического момента посто-

янна во все время движения, т. е. λ2 = λ(0)

2= const, а

λ = λ1(t)α+ λ(0)

2β. (10)

Внесем (8) с учетом x3 = 0 и (10) с (9) в (4), (5). Тогда получим два уравнениявида

(

C2 − C1 + a1b1(d2 +B2))

ν3 +(

a1b0(d2 +B2) + s1)

ν1ν3 = 0,

α0a2d0 − a1b0(d0 + λ(0)

2) +

(

a1b1(d0 + λ(0)

2) + a2d0(B1 +B2)

)

ν1−−(α0a2d2 + a1b0(B2 − d2) + s1) ν2+

+(

a1b1(B2 − d2)− a2d2(B1 +B2) + C2 − C1

)

ν1ν2 = 0.

Потребуем, чтобы они выполнялись для любых значений ν1, ν2, ν3. Этоприводит к следующим условиям на параметры уравнений (4)–(7) и парамет-ры b0, b1, d0, d2 инвариантных соотношений (8):

C2 − C1 + a1b1(d2 +B2) = 0,

a1b0(d2 +B2) + s1 = 0,

α0a2d0 − a1b0(d0 + λ(0)

2) = 0,

a1b1(d0 + λ(0)

2) + a2d0(B1 +B2) = 0,

α0a2d2 + a1b0(B2 − d2) + s1 = 0,

a1b1(B2 − d2)− a2d2(B1 +B2) + C2 − C1 = 0.

(11)

Равенства (11) являются необходимыми условиями существования решенияуравнений (3)–(5) с инвариантными соотношениями

x1 = b0 + b1ν1, x2 = d0 + d2ν2, x3 = 0 (12)

иλ1(t) = α0 − b0 − (B2 + b1)ν1, λ2(t) = λ

(0)

2(t) = const. (13)

29


При наличии соотношений (12), (13) и выполнении условий (11) динамиче-ские уравнения (3)–(5) становятся тождествами.

Обратимся теперь к уравнениям (6). Выпишем (6) и (7) с учетом (12) и(13):

ν1 = −a2(d0 + d2ν2)ν3,

ν2 = a1(b0 + b1ν1)ν3,

ν3 = a2d0ν1 − a1b0ν2 + (a2d2 − a1b1)ν1ν2,

(14)

α0ν1 + (d0 + λ(0)

2)ν2 + d2ν

2

2 − 1

2(B1 +B2)ν

2

1 = k∗, ν21 + ν22 + ν23 = 1. (15)

Метод исследования условий существования инвариантных соотношений(8) состоит в анализе условий (11) и последующем интегрировании системы(14) при наличии интегралов (15).

Из первого и последнего равенств из (11) вытекает соотношение d2(

a2(B1+

+B2)−2a1b1)

= 0. Возможны два случая: d2 = 0 или a2(B1+B2)−2a1b1 = 0.

Случай d2 = 0. Из второго уравнения (11) находим

b0 = − s1a1B2

. (16)

Очевидно, что B2 6= 0, ибо в противном случае из рассмотренного уравне-ния следовало бы s1 = 0. Первое равенство из (11) позволяет определитьпараметр b1:

b1 =C1 − C2

a1B2

. (17)

Два последних соотношения из (11) при (16), (17) обращаются в тождества.Третье соотношение с учетом (16) дает величину параметра d0

d0 = − s1λ(0)

2

α0a2B2 + s1. (18)

Знаменатель в (18) отличен от нуля, так как в противном случае это влеклобы к равенству s1 = 0. Четверое равенство дает ограничения на параметрызадачи

α0(C2 − C1) + s1(B1 +B2) = 0. (19)

Для нахождения решения νi = νi(t) (i = 1, 3) обратимся к уравнениям(14). Так как d2 = 0, то система (14) упрощается:

ν1 = −a2d0ν3,

ν2 = a1(b0 + b1ν1)ν3,

ν3 = a2d0ν1 − a1(b0 + b1ν1)ν2.

(20)

30


Система (20) допускает два первых интеграла

α0ν1 + (d0 + λ(0)

2)ν2 −

1

2(B1 +B2)ν

2

1 = k∗, ν21 + ν22 + ν23 = 1, (21)

из которых выражаем ν2, ν3 через ν1:

ν2 = β−1

0ϕ2(ν1), ν3 = β−1

0

√

ϕ3(ν1), β0 = 2(d0 + λ(0)

2), (22)

ϕ2(ν1) = (B1 +B2)ν21− 4α0ν1 + 2k

∗,

ϕ3(ν1) = β20(1− ν2

1)− ϕ2

2(ν1).

(23)

На основании соотношений (22), (23) из первого уравнения системы (20) сле-

дует ν1 = −a2d0β−1

0

√

ϕ3(ν1). Зависимость ν1 = ν1(t) определим путем обра-щения интеграла

− β0a2d0

ν1∫

ν(0)

1

dν1√

ϕ3(ν1)= t− t0. (24)

Из формулы (24) следует, что ν1 = ν1(t) – эллиптическая функция вре-мени. Подставив ее в равенства (22), (23), найдем ν2(t), ν3(t). Это позволяетиз (8) получить зависимости xi = xi(t) (i = 1, 3), а из соотношений (9), (10) –λ(t). Таким образом, решение уравнений (4)–(7) в случае (8) построено.

Случай a2(B1+B2)−2a1b1 = 0. Пусть d2 6= 0. Проводя рассуждения,как в случае d2 = 0, получим следующее решение системы (11):

b0 = −α0a22a1

, b1 = 0, d0 = λ(0)

2, d2 = −B2 −

2s1α0a2

,

C2 − C1 = 0, B1 +B2 = 0.

(25)

Уравнения (14) примут вид

ν1 = −a2(d0 + d2ν2)ν3, ν2 = a1b0ν3,

ν3 = a2d0ν1 − a1b0ν2 + a2d2ν1ν2.(26)

Система (26) допускает два первых интеграла

α0ν1 + 2d0ν2 + d2ν2

2 −1

2(B1 +B2)ν

2

1 = k∗, ν21 + ν22 + ν23 = 1. (27)

Из интегралов (27) получим

ν1 = α−1

0ϕ1(ν2), ν3 = α−1

0

√

ϕ3(ν2), (28)

ϕ1(ν2) = −d2ν22− 4d0ν2 + k

∗, ϕ3(ν2) = α2

0(1− ν2

2)− ϕ2

1(ν2). (29)

31


Из второго уравнения системы (26) следует, что ν2 = a1b0α−1

0

√

ϕ3(ν2). Зави-симость ν2 = ν2(t) определим путем обращения интеграла

α0

a1b0

ν1∫

ν(0)

1

dν2√

ϕ3(ν2)= t− t0. (30)

Из равенства (30) следует, что ν2 = ν2(t) является эллиптической функциейвремени. С ее помощью из (28), (29) определяем ν1(t), ν3(t), а затем из (8)находим xi = xi(t) (i = 1, 3). Как и ранее, гиростатический момент находимиз соотношений (9), (10).

Вывод. В статье установлены условия существования у уравнений (3)–(6)движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил с

переменным гиростатическим моментом λ = λ1(t)α + λ(0)

2β трех линейных

инвариантных соотношений. Получено два новых решения уравнений дви-жения гиростата, которые выражаются посредством эллиптических функцийвремени.

1. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхно-стью // Ж. прикл. математики и техн. физики. – 1963. – 4. – С. 17–29.

2. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд–во Новосиб.ун-та, 1965. – 221 с.

3. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces,I: The equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. –5, 5.– P. 747-754.


5. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердоготела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.

6. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. – 1970. – Вып. 2. – С. 83–96.

7. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью. Собр. соч.: М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – Т. 1. – С. 31-152.

8. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-стата // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.

9. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 19. – С. 30–35.

10. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущегомаховик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.

11. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –С. 42–49.

12. Мазнев А.В. Об одном классе трех инвариантных соотношений уравнений движениягиростата с переменным гиростатическим моментом // Прикл. математика и механика.– 2013. – 77, вып. 2. – С. 263–269.

13. Горр Г.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения ги-ростата в случае переменного гиростатического момента //Динамические системы. –Таврический нац. ун-т им.В.И.Вернадского. – 2012. – 2(30), 1–2. – С. 23–32.

32


O.V.Maznyev, T.V. Belokon

The case of three invariant relations in the of problem motion symmetricgyrostatic

The problem of motion of an symmetric gyrostat under the action of potential and gyroscopicforces, modeled by the generalized equations of Kirchhoff–Poisson class, is examined. Conditionsof the existence of three special kind invariant relations of the equations of motion are investi-gated, assuming that gyrostat has two rotors. New solutions of equations of Kirchhoff–Poissonare constructed.

Keywords: gyrostat, gyrostatic moment, invariant correlation.

О.В. Мазнєв, Т.В. Бiлоконь

Один випадок трьох iнварiантних спiввiдношень у задачi про рухнеавтономного симетричного гiростата

Розглянуто задачу про рух симетричного гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчнихсил, що моделюється узагальненими рiвняннями класу Кiрхгофа–Пуассона. У припущеннi,що гiростат несе два ротора, дослiджено умови iснування у рiвнянь руху трьох iнварiантнихспiввiдношень спецiального виду. Побудовано новi розв’язки рiвнянь Кiрхгофа–Пуассона.

Ключовi слова: гiростат, гiростатичний момент, iнварiантне спiввiдношення.

Донецкий национальный ун-т

[email protected]


33


УДК 531.38

c©2014. А.И. Синенко

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ Н.Е. ЖУКОВСКОГОЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СВОБОДНОГО ГИРОСТАТА

Изучены зависимости от времени компонентов вектора угловой скорости в решенииН.Е.Жуковского, которое описывает движение гиростата с неподвижным центром масс.

Ключевые слова: гиростат, решение Жуковского.

Введение. Модель гиростата Н.Е.Жуковского занимает особое местов динамике твердого тела, поскольку она описывает важный механическийобъект: систему связанных твердых тел, содержащих три вращающихся ро-тора. Результаты, полученные в исследовании движений такого гиростата,могут быть использованы в прикладных задачах управления механическимисистемами.

Решение Н.Е.Жуковского [1] получено при изучении задачи о дви-жении твердого тела, имеющего полости, заполненные идеальной несжи-маемой жидкостью. Сведение задачи о движении свободного гиростата кквадратурам выполнил В.Вольтерра [2]. Он использовал аппарат сигма-функций Вейерштрасса. Й.Виттенбург [3] указал способ нахождения ком-понент вектора угловой скорости гиростата через эллиптические функ-ции времени, тем самым предложив более наглядное представление ре-шения Н.Е.Жуковского. Частные случаи данного решения рассматривалиЕ.И.Харламова [4], Л.М.Ковалева [5], Д.Н.Кравчук [6]. Обзор результатов,полученных в данном направлении, приведен в [7].

Статья посвящена получению явных зависимостей от времени компонентвектора угловой скорости гиростата в решении Н.Е.Жуковского с помощьюметода Й.Виттенбурга. Они могут быть использованы в кинематическомистолковании движения свободного гиростата методами [8–10].

1. Основные соотношения. Редукция уравнений движения. За-пишем уравнения движения гиростата Жуковского, используя главную си-стему координат [1, 7]:

A1ω1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 − λ3ω2,

A2ω2 = (A3 −A1)ω3ω1 + λ3ω1 − λ1ω3,

A3ω3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1,

(1)

где A1, A2, A3 – главные моменты инерции; ω1, ω2, ω3 – компоненты векто-ра угловой скорости тела-носителя; λ1, λ2, λ3 – компоненты гиростатического

34

Исследование решения Н.Е.Жуковского задачи о движении гиростата

момента. Уравнения (1) имеют два первых интеграла

A1ω21+A2ω

22+A3ω

23= 2E,

(A1ω1 + λ1)2 + (A2ω2 + λ2)

2 + (A3ω3 + λ3)2 = L2

0.

(2)

Здесь E и L0 – произвольные постоянные. Поскольку случай равенства глав-ных моментов инерции рассмотрен [4], то в дальнейшем считаем

A1 < A2 < A3. (3)

Приведем дифференциальную систему уравнений (1) к безразмерному ви-ду, полагая

ωi =

√

2E

µ∗

Ωi, λi = βi√

2µ∗E, t =

√

µ∗

2Eτ, bi =

Aiµ∗

, (4)

где µ∗

– параметр, имеющий размерность момента инерции, а Ωi, βi – безраз-мерные величины, τ – безразмерное время. В безразмерных величинах (4)уравнения (1) таковы

b1Ω1 = (b2 − b3)Ω2Ω3 + β2Ω3 − β3Ω2,

b2Ω2 = (b3 − b1)Ω3Ω1 + β3Ω1 − β1Ω3,

b3Ω3 = (b1 − b2)Ω1Ω2 + β1Ω2 − β2Ω1.

(5)

Здесь для обозначения производной по безразмерному времени τ сохранимточку над переменными Ωi. Приведем к безразмерному виду интегралы (2).На основании (4) имеем

b1Ω2

1 + b2Ω2

2 + b3Ω2

3 = 1, (6)

(b1Ω1 + β1)2 + (b2Ω2 + β2)

2 + (b3Ω3 + β3)2 = l20, (7)

где l20=

L20

2µ∗E

– безразмерный параметр.

Исследуем дифференциальные уравнения (5) на основе метода, предло-женного Й.Виттенбургом [3]. Умножив обе части (6) на параметр ε0 и вычи-тая (7), представим разность в виде

3∑

i=1

bi(ε0 − bi)(

Ωi −βi

ε0 − bi

)2= f(ε0)− l20, (8)

где f(ε0) = ε0

(

1 +

3∑

α=1

β2α

ε0 − bα

)

. Пусть в равенстве (8) выполняется условие

F (ε0) = f(ε0)− l20= 0, т. е.

F (ε0) =β21

ε0 − b1+

β22

ε0 − b2+

β23

ε0 − b3− l2

0

ε0+ 1 = 0. (9)

35

А.И. Синенко

Уравнение F (ε0) = 0 имеет действительный корень [3]. В силу (3) существуеткорень этого уравнения, который удовлетворяет, например условию

b1 < b2 < ε0 < b3. (10)

Введем вместо Ωi переменные wi, используя соотношения

Ωi = wi +βi

ε0 − bi, i = 1, 3. (11)

Тогда, указанная в (8) комбинация уравнений (6), (7) приводит к уравнению

w21

k21

+w22

k22

= w2

3, (12)

где

k1 =

√

b3(b3 − ε0)

b1(ε0 − b1), k2 =

√

b3(b3 − ε0)

b2(ε0 − b2). (13)

Уравнению (12) соответствуют параметрические уравнения

w1 = k1w3 sinϕ, w2 = k2w3 cosϕ, (14)

где ϕ – новая переменная. Из интеграла (6) после подстановки в него значений(11), (14) получим квадратное уравнение

a1(ϕ)w2

3 − 2a2(ϕ)w3 + a3 = 0, (15)

гдеa1(ϕ) = b1k

2

1 sin2 ϕ+ b2k

2

2 cos2 ϕ+ b3,

a2(ϕ) =b1k1β1b1 − ε0

sinϕ+b2k2β2b2 − ε0

cosϕ+b3β3b3 − ε0

,

a3 =b1β

21

(ε0 − b1)2+

b2β22

(ε0 − b2)2+

b3β23

(ε0 − b3)2− 1.

(16)

Для получения зависимости ϕ(τ) обратимся к системе (5). Применяя подход,используемый в [3], имеем

χ0τ =

ϕ∫

ϕ0

dϕ√

g(ϕ), (17)

где

χ0 =

√

(ε0 − b1)(ε0 − b2)

b1b2b3, g(ϕ) = a22(ϕ) − a3a1(ϕ).

36


Запишем функцию g(ϕ) с учетом (16):

g(ϕ) = c1 sin2 ϕ+ c2 cos

2 ϕ,+c3 sin 2ϕ+ c4 sinϕ+ c5 cosϕ+ c0, (18)

где

c1 = b1k2

1

(

1− b2β22

(ε0 − b2)2− b3β

23

(ε0 − b3)2

)

,

c2 = b2k2

2

(

1− b1β21

(ε0 − b1)2− b3β

23

(ε0 − b3)2

)

,

c3 =b1b2k1k2β1β2

(ε0 − b1)(ε0 − b2), c4 =

2b1b3k1β1β3(b1 − ε0)(b3 − ε0)

,

c5 =2b2b3k2β2β3

(b2 − ε0)(b3 − ε0), c0 = b3

(

1− b1β21

(ε0 − b1)2− b2β

22

(ε0 − b2)2

)

.

(19)

Представим (18) в виде функций по u, где u = tgϕ

2:

g(u) =Au4 + 4Bu3 + 6Cu2 + 4B′u+A′

(1 + u2)2. (20)

Здесь

A = c2 − c5 + c0, B =1

2(c4 − 2c3), C =

1

3(2c1 − c2 + c0),

B′ =1

2(2c3 + c4), A′ = c2 + c5 + c0.

(21)

В силу (20) интеграл из (17) примет вид

∫

du√

Φ(u)=χ0τ

2, (22)

гдеΦ(u) = Au4 + 4Bu3 + 6Cu2 + 4B′u+A′. (23)

2. Первый частный случай. Вид тригонометрического многочленаg(ϕ) из формулы (18) позволяет достаточно наглядно свести задачу интегри-рования уравнений движения (5) к определению переменных Ωi от временив частных случаях.

Рассмотрим вначале частный случай β1 = β2 = 0, β3 6= 0. Тогда из (17)–(19) получим

χ0τ =

ϕ∫

ϕ0

dϕ√σ1 cos 2ϕ+ σ0

, (24)

37


где

σ1 =1

2(k22b2 − k21b1)

(

1− b3β3(ε0 − b3)2

)

,

σ0 =1

2(k21b1 + k22b2)

(

1− b3β3(ε0 − b3)2

)

+ b3.

(25)

Сведем решение уравнения (24) к эллиптическим функциям времени. Будемполагать, что параметры (25) удовлетворяют условиям

0 < σ1 < σ0. (26)

При выполнении неравенств (25) из (24) имеем

ϕ = amµ0τ, cosϕ = cnµ0τ, sinϕ = snµ0τ, ϕ = µ0dnµ0τ, (27)

где µ0 = χ0

√σ1 + σ0; модуль эллиптических функций из (27) имеет значение

k21=

2σ1σ1 + σ0

. Из формул (14), (15), используя (27), определим зависимость

от времени переменных wi:

w1,2

1= k1

( b3β3b3 − ε0

±√σ1 + σ0dnµ1τ

)

snµ0τ,

w1,2

2= k2

( b3β3b3 − ε0

±√σ1 + σ0dnµ1τ

)

cnµ0τ,

w1,2

3=

b3β3b3 − ε0

±√σ1 + σ0dnµ0τ.

(28)

Тогда на основании (28) компоненты угловой скорости Ωi можно найти поформулам (11).

3. Второй частный случай. Он характеризуется равенством β3 = 0.Из формул (19) следует, что параметры c4, c5 обращаются в нуль. Запишемпри указанных условиях выражения для g(ϕ) из (18)

g(ϕ) = g0 + g1 sin 2ϕ+ g2 cos 2ϕ, (29)

где g0 = c0 +1

2(c1 + c2), g1 = c3, g2 =

1

2(c2 − c1).

Функцию g(ϕ) из (29) представим в виде

g(ϕ) = g0 + g3 cos(2ϕ+ ϕ∗

0), (30)

где g3 =√

g21+ g2

2, cosϕ∗

0 =g2g3, sinϕ∗

0 = −g1g3

. Подставим выражение

(30) в интеграл (17) и введем в нем новую переменную ψ: 2ψ = 2ϕ + ϕ∗

0.

Тогда

χ0τ =

ψ∫

ψ0

dψ√g0 + g3 cos 2ψ

. (31)

Исследование интеграла (31) можно провести по аналогии с интегралом (24).

38


4. Третий частный случай. Он характеризуется тем, что функцияg(ϕ) из (18) не содержит выражений sin 2ϕ и cos 2ϕ. Из (19) следует, чтодолжны выполняться два условия на параметры

β1 = 0, β23 =(ε0 − b1)

2[b2β22+ (b2 − b1)(ε0 − b2)]

b3(b2 − b1)(ε0 − b2). (32)

При наличии условий (32) интеграл (17) примет вид

χ0b3τ =

ϕ∫

ϕ0

dϕ√

σ′1cosϕ+ σ′

0

, (33)

где

σ′1 =2b2k2β2β3

(b2 − ε0)(b3 − ε0), σ′0 = 1 +

β22b2

(ε0 − b2)2

(b3 − ε0b2 − b1

− 1)

. (34)

Будем предполагать, что выполняются неравенства: 0 < σ′1< σ′

0. Тогда из

(33), применяя стандартный метод обращения интеграла, получим следую-щие зависимости:

ϕ = 2amµ′0τ, cosϕ = cn2µ′

0τ − sn2µ′

0τ,

ϕ = 2dnµ′0τ, sinϕ = 2snµ′

0τcnµ′

0τ,

(35)

где µ′0=χ0

√

σ′1+ σ′

0

2b3, а модуль эллиптических функций в (35) имеет значение

k23=

2σ′1

σ′1+ σ′

0

.

Зависимость переменных wi от времени определим с помощью равенств(14), (15) и формул (35):

w1(τ) = 2k1w3(τ)snµ′

0τcnµ′

0τ, w2(τ) = k2w3(τ)(cn

2µ′0τ − sn2µ′

0τ),

w3(τ) =b3β3b3 − ε0

+b2k2b2 − ε0

(cn2µ′0τ − sn2µ′0τ)±√

σ′0+ σ′

1dnµ′0τ.

(36)

Компоненты Ωi находим путем подстановки (36) в равенства (11).

5. Обращение интеграла (22) в общем случае. При обращенииинтеграла (22) возникают различные варианты, которые зависят от свойствкорней полинома Φ(u) из (23). Уравнение Φ(u) = 0 имеет четыре действи-тельных корня, если выполняются условия

G > 0, B2 −AC > 0,

12(B2 −AC)2 −A2g2 > 0,(37)

39


где G = g31−27g2

2, g1 = AA′−4BB′+3C2, g2 = ACA′+2BCB′−AB′

2−A′B2.Условия (37) имеют место, например, при следующих значениях параметров(примем здесь и далее в примерах µ

∗= A3):

ε0 = 0.89, b1 = 0.9, b2 = 0.3, b3 = 1,

β1 = 0.3, β2 = 0.07, β3 = 90.

Уравнение Φ(u) = 0 имеет два действительных и два комплексных корня приналичии неравенств

G < 0, B2 −AC > 0,

12(B2 −AC)2 −A2g2 > 0.(38)

Приведем пример численных значений параметров, удовлетворяющихусловиям (38):

ε0 = 0.35, b1 = 0.9, b2 = 0.3, b3 = 1,

β1 = 3, β2 = 2, β3 = 26.

В случае, если второе и третье неравенства системы (38) не выполняются,то уравнение (23) имеет четыре комплексных корня. Для того, чтобы приве-сти пример существования четырех комплексных корней данного уравнения,достаточно считать в ci из (19) параметры βi (i = 1, 3) малыми.

Как показано в [11], интеграл (22) заменой

u =µt+ ν

t+ 1, (39)

где µ, ν – корни квадратного уравнения

(p− p′)y2 + 2(q − q′)2y + (p′q − pq′) = 0

(значения p, p′, q, q′ указаны в [11]), приводится к виду

∫

dt√

D(1 +mt2)(1 +m′t2)= R0τ, (40)

где R0 – const. Действительность величин µ, ν доказана в [11].Запишем каноническую форму данного интеграла для любых возможных

комбинаций значений D,m,m′.

1) При D = 1, m = −h2, m′ = −h′2 (h > h′ > 0) полином, стоящий подрадикалом, имеет четыре действительных корня. Для того, чтобы радикал

в (40) имел вещественные значения, нужно, чтобы было t <1

hили t >

1

h′.

40


Полагаем в (40) ht = z, где 0 < z < 1 или z >h

h′. Тогда каноническая

форма интеграла (40) примет вид∫

dz√

(1− z2)(1 − h′2

h2z2)

= τθ1 (θ1 = hR0). (41)

Произведем в (41) замену z = sinψ, тогда∫

dψ√

1− k21sin2 ψ

= τθ1, (42)

где k21=h′2

h2. Обращая интеграл (42), получим следующие соотношения:

ψ = amθ1 τ, sin amθ1 τ = snθ1τ,

cos amθ1τ = cnθ1τ, dnθ1τ =√

1− k21sn2θ1τ .

(43)

Таким образом, используя соотношения ht = z и (43), мы можем выписать uиз (39) через эллиптические функции Якоби, заданные в (43):

u =µsnθ1τ + νh

snθ1τ + h. (44)

Функция ϕ(t) находится из формулы u = tgϕ

2, а основные переменные – из

(11), (14), (15).

2) При D = 1, m = −h2, m′ = h′2 (h, h′ > 0) уравнение Φ(u) = 0 имеетдва действительных и два мнимых корня. Радикал будет иметь вещественные

значения, если t <1

h. Полагая ht =

√1− z2, где 0 < z ≤ 1 и z = sinψ,

представим интеграл (40) в форме Лежандра∫

dψ√

1− k22sin2 ψ

= θ2τ (θ2 = −R0

√

h2 + h′2), (45)

где k22=

h′2

h2 + h′2. Обращая интеграл (45), получим следующие соотношения:



1− k22sn2θ2τ .

(46)

Используя формулы ht =√1− z2 и (46), выписываем u из (39) через эл-

липтические функции

u =µ cnθ2τ + νh

cnθ2τ + h. (47)

41


На основании (17) функция ϕ(t) находится из формулы u = tgϕ

2, а основные

переменные – из (11), (14), (15).

3) При D = 1, m = h2, m′ = h′2 (h > h′ > 0) имеем четыре мнимых

корня. Полагаем ht =z√

1− z2, z = sinψ. Из (40) имеем

∫

dψ√

1− k23sin2 ψ

= θ3τ (θ3 = R0h), (48)

где k23=h2 − h′2

h2. Обращая интеграл (48), получим следующие соотношения:



1− k23sn2θ3τ .

(49)

Таким образом, используя формулы ht =z√

1− z2и (49), мы можем выписать

u из (39) через эллиптические функции

u =µ snθ3τ + νhcnθ3τ

snθ3τ + hcnθ3τ. (50)

Функция ϕ(t) находится из формулы u = tgϕ

2в силу (50), а основные пере-

менные – из (11), (14), (15).

4) При D = −1, m = −h2, m′ = h′2 (h, h′ > 0). Уравнение Φ(u) == 0 имеет два действительных и два мнимых корня. Изменение t ограничено

неравенством t >1

h. Полагаем ht =

1√1− z2

, z = sinψ, а 0 < z < 1. Тогда

каноническая форма интеграла (40) такова:∫

dψ√

1− k24sin2 ψ

= θ4τ (θ4 = R0

√

h2 + h′2), (51)

k24=

h2

h2 + h′2. Обращая интеграл (51), получим следующие соотношения:

ψ = amθ4 τ, sin amθ4τ = snθ4τ,


1− k24sn2θ4τ .

(52)

Используя формулу ht =1√

1− z2, выписываем u из (39) через эллиптические

функции

u =µ+ νhcnθ4τ

1 + hcnθ4τ. (53)

42


На основании (52), (53) функция ϕ(t) находится из формулы u = tgϕ

2, а

основные переменные – из (11), (14), (15).

5) При D = −1, m = −h2, m′ = −h′2 (h > h′ > 0). Уравнение Φ(u) = 0имеет четыре мнимых корня. Переменная t изменяется между значениями

1

hи

1

h′. Полагаем h′t =

√

1− h2 − h′2

h2z2, где 0 < z < 1 и z = sinψ, из (40)

получим∫

dψ√

1− k25sin2 ψ

= θ5τ (θ5 = −R0h), (54)

где k25=h2 − h′2

h2. Обращая интеграл (54), находим:

ψ = amθ5τ, sin amθ5τ = snθ5τ,

cos amθ5τ = cnθ5τ, dnθ5τ =√1− k2sn2θ5τ .

(55)

Тогда, используя соотношение h′t =

√

1− h2 − h′2

h2z2 и (55), выражаем u из

(39) через эллиптические функции

u =µdnθ5τ + νh′

dnθ5τ + h′. (56)

В силу (56) функция ϕ(t) находится из формулы u = tgϕ

2, а основные пере-

менные – из (11), (14), (15).Итак, с помощью подхода Й.Виттенбурга получены зависимости основ-

ных переменных уравнений движения свободного гиростата в случае Н.Е.Жу-ковского. Выполнен полный анализ вариантов представления этих перемен-ных через эллиптические функции времени.

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью. Собр. соч.: в 2–х т. – М.–Л.: Гостехиздат, 1949. – Т. 1.– С. 31–152.

2. Volterra V. Sur la theoriedes variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. –P. 201–358.

3. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. – М.: Мир, 1980. – 288 с.4. Харламова Е.И. О движении гиростата по инерции // Механика твердого тела. – 1978.

– Вып. 10. – С. 34–40.5. Ковалева Л.М. Один случай движения гиростата по инерции. Разделяющие движения

// Механика твердого тела. – 1978. – Вып. 10. – С. 41–45.6. Кравчук Д.Н. Геометрическое истолкование одного класса движений гиростата по

инерции // Механика твердого тела. – 1986. – Вып. 15. – С. 15–22.7. Горр Г.В., Ковалев А.М. Движение гиростата. – Киев: Наук. думка, 2013. – 408 с.8. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвиж-

ную точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 502–507.

43


9. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истол-кования движения тела с неподвижной точкой // Механика твердого тела. – 2012. –Вып. 42. – С. 26–36.

10. Горр Г.В., Синенко А.И. О кинематическом истолковании движения тяжелого твер-дого тела с неподвижной точкой // Прикл. математика и механика. – 2014. – 78,вып. 3. – С. 334–345.

11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. –М.: Наука, 1966. – Т. 2. – 800 с.

A.I. Synenko

Investigation of M.E. Zhukovsky solution of the problem of the freegyrostat motion

Time dependences for components of vector of the angular velocity are investigated in Zhukovskysolution, which describes a motion of a gyrostat with immovable centre of mass.

Keywords: gyrostat, solution Zhukovsky.

А.I. Синенко

Дослiдження розв’язку М.Є.Жуковського задачi про рух вiльногогiростата

Вивчено залежностi вiд часу компонентiв вектора кутової швидкостi в розв’язку М.Є. Жу-ковського, який описує рух гiростата з нерухомим центром мас.

Ключовi слова: гiростат, розв’язок М.Є.Жуковського.

Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк

[email protected]


44


УДК 531.38

c©2014. М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева

НОВОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИДВУХ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ,СОЕДИНЕННЫХ НЕГОЛОНОМНЫМ ШАРНИРОМ

Найдено новое решение задачи о движении по инерции двух сферически симметричныхтел S0, S, соединенных неголономным шарниром. Момент количества движения системытел перпендикулярен плоскости движения центра масс тела S0. Записаны уравнения по-движных и неподвижных аксоидов, годографы тел в опорном базисе траектории центрамасс тела S0.

Ключевые слова: система тел, неголономный шарнир, подвижный и неподвижныйаксоиды, годограф, естественный базис.

Конструкция неголономного шарнира предложена в [1]. Постановка за-дачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных не-голономным шарниром, дана в [2]. В этой задаче получено семь решений вработах [2 – 8]. Алгоритм построения подвижных и неподвижных аксоидовдля каждого из тел системы указан в [9].

1. Исходные соотношения. Для задачи о движении по инерции двухгироскопов Лагранжа S0, S, соединенных неголономным шарниром, полученонесколько форм уравнений движения [2]. Приведем одну из них:

G1 = ω3G2 − ω2G3, G2 = ω1G3 − ω3G1, G3 = ω2G1 − ω1G2; (1)

здесь g = G1e1 + G2e2 + G3e3 – момент количества движения системы тел,ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3 – угловая скорость полуподвижного базиса Oe1e2e3,

связанная с S (O – точка пересечения Oe3 и Oe(0)

3– осей динамической

симметрии тел):

G1 = (A−N cos θ)ω1 + (A0 −N cos θ)Ω1,

G2 = (A−N cos θ)ω2 + (A0 cos θ −N)Ω2 − n0 sin θ, (2)

G3 = (A0Ω2 −Nω1) sin θ + n+ n0 cos θ,

Ω1 = Ω1e1+Ω2e02+Ω3e

03

– угловая скорость полуподвижного базиса Oe1e02e03,

связанного с телом S0, который повернут на угол θ относительно Oe1e2e3:

e02 = e2 cos θ + e3 sin θ, e03 = −e2 sin θ + e3 cos θ. (3)

Величины Ωi и ωi связаны соотношениями

Ω1 = ω1 + θ, (4)

45

М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева

Ω2 = ω2 cos θ + ω3 sin θ, (5)

Ω3 = −ω1 sin θ + ω3 cos θ. (6)

Угловые скорости тел S и S0 таковы

ω∗= ω1e1 + ω2e2 + (ω3 + ϕ)e3, (7)

Ω∗= Ω1e1 + ω2e2 + (Ω3 + Φ)e03, (8)

ϕ и Φ – скорости собственных вращений тел вокруг осей динамической сим-метрии e3 и e0

3, которые пересекаются в точке O:

n

I= ω3 + ϕ, (9)

n0I0

= Ω3 + Φ. (10)

Здесь I, I – .... (?) .Величины n и n0 изменяются во времени:

n = L cos θ, (11)

n0 = −L. (12)

Взаимодействие тел S и S0 в неголономном шарнире обеспечивает моментL = −Le0

3, характеризующий действие через этот шарнир тела S0 на S.

Наличие неголономного шарнира связывает угловые скорости собствен-ного вращения тел

Φ = ϕ cos θ. (13)

Исключив L из уравнений (11), (12), получим

n = −n0 cos θ. (14)

Подставив (6), (13) в (10) и исключив ϕ из (9), (10), получим соотношение

ω2 sin θ =n

Icos θ − n0

I0. (15)

В работе [2] найдены интегралы уравнений движения системы

G2

1 +G2

2 +G2

3 = g2, (16)

A(ω2

1+ω2

2)+A0(Ω2

1+Ω2

2)−2N(Ω1ω1 cos θ+Ω2ω2)+n2

I+n20

I0+2Π(θ) = 2h. (17)

Здесь Π(θ) – потенциальная энергия упругого элемента.

46

Новое решение задачи о движении двух сферически симметричных тел

2. Инвариантное соотношение. Зададим инвариантное соотношениев виде

G3 = 0, (18)

тогда из интеграла (16) следует

G1 = g cosα, G2 = g sinα. (19)

Подстановка (18), (19) в уравнения (1) приводит к равенствам

α = −ω3, (20)

ω1 = σ cosα, ω2 = σ sinα. (21)

Внесем (21), (4), (5) в (2), (15), получим

θ =g − (A+A0 − 2N cos θ)σ

A0 −N cos θcosα, (22)

(A−N cos θ)σ sinα+(A0 cos θ−N)(σ sinα cos θ−α sin θ)−n0 sin θ = g sinα, (23)

A0(σ sinα sin θ − α sin θ) sin θ −Nσ sin θ sinα+ n+ n0 cos θ = 0,

σ sin θ sinα− n

Icos θ +

n0I0

= 0. (24)

Таким образом, для определения зависимости величин σ, n, n0, α, θ от вре-мени t имеем пять уравнений (14), (22)–(24). Из линейной относительноσ, α, n0 системы уравнений (23), (24) определим

σ = −

(A0−N cos θ)n

Icos θ+

1

I0

[

A0g sin θ sinα+(A0 cos θ−N)n]

sin θ

∆, (25)

α = −

g sin θ sinα[ 1

I0(A0 cos θ −N)− cos θ

]

+[

A−N cos θ+

+(A0 cos θ −N) cos θ] n

I0+ n sin2 θ+

+[

(A−N cos θ) cos θ +A0 cos θ −N]n

Icos θ

sinα

∆, (26)

n0 =[

(A0 cos θ −N)n+A0g sin θ sinα− AA0 −N2

In cos θ

] 1

∆sin2 θ sinα, (27)

где∆ = −

[

A0 −N cos θ + (AA0 −N2)/I0]

sin2 θ sinα. (28)

С помощью (22) перейдем в (26) к дифференцированию по θ:

α′ = f1(α, n, θ). (29)

47


Продифференцируем (27) по θ и подставим результат и (29) в уравнение

n′ = −n′0 cos θ (30)

(следствие (14)):n′ = f1(α, n, θ). (31)

Так как эти уравнения громоздки, ограничимся частным случаем

N = 0 (32)

(точка O совпадает с центром масс одного из тел системы). При этом условиинеконкретизированные уравнения (31), (29) примут вид

(

1 +A

I0

) n′

cos θ=

(

1− A

I

)

(n cos θ)′ + g(sin θ sinα)′, (33)

α′ =[(A0 − I0)g sin θ cos θ sinα+ (1 + I0

I)(A+A0)n cos

2 θ + (A+ I0)n sin2 θ] sinα

(A+ I0)g sin θ sinα− (A+A0)[(1 +I0

I)n cos θ + g sin θ sinα] sin θ cosα

.

(34)Преобразуем (34) к такому уравнению:

(sin θ sinα)′ = − (A+ I0)n sin2 θ sinα

(A0 − I0)g sin θ sinα+ 1 + I0

I(A+A0)n cos θ

. (35)

Заменойχ = sin θ sinα (36)

приведем систему (35), (33) к следующей:

χ′ =−(A+ I0)nχ sin θ

(A0 − I0)gχ+ (A+A0)(1 +I0

I)n cos θ

, (37)

[

1 +A

I0(A

I− 1) cos2 θ

]

n′ =(A

I− 1

)

n sin θ cos θ−

− (A+ I0)nχg sin θ cos θ

(A0 − I0)χg + (A+A0)(1 +I0

In cos θ)

. (38)

Вместо θ введем переменнуюu = cos θ (39)

и перейдем в уравнениях (37), (38) от дифференцирования по θ к дифферен-цированию по u. Тогда эти уравнения запишем так:

dχ

du=

(A+ I0)nχ

(A0 − I0)gχ+ (A+A0)(1 +I0

I)nu

, (40)

48


[

1+A

I0(A

I−1)u2

]dn

du= −

(A

I−1

)

nu+(A+ I0)gnχu

(A0 − I0)gχ+ (A+A0)(1 +I0

Inu)

. (41)

Эти уравнения существенно упрощаются, если тензор инерции тела S0 шаро-вой:

A0 = I0, (42)

при этом уравнение (40), принимающее видdχ

du=

Iχ

(I + I0)u, имеет общий

интегралχ(u) = c

∗uλ, (43)

где вместо параметра I0 введен параметр λ :

λ =I

I + I0. (44)

Отметим, что λ ∈ (0; 1),

I0 =1− λ

λI. (45)

Из (36), (39), (43) следует, что

sinα(u) =c∗uλ√

1− u2. (46)

Внесем условие (42), обозначение (44), функцию (46) в уравнение (41):

[

1 +A

I0+

(A

I− 1

)

u2]dn

du+

(A

I− 1

)

nu = c∗gλuλ.

Общее решение этого линейного дифференциального уравнения таково:

n(u) =1

√

1 + A

I0+ (A

I− 1)u2

(

c1 + c2λg)

∫

uλdu√

1 + A

I0+ (A

I− 1)u2

. (47)

При λ =1

2имеем эллиптический интеграл, для остальных значений λ ∈ (0; 1)

интеграл в правой части по теореме Чебышева относится к “неберущимся”.Поэтому дополнительно к условию (42) потребуем, чтобы

A = I, (48)

тогда (47) представим так: n(u) = c1 + c2gλ(1− λ)

1 + λuλ+1. Полагая постоянную

интегрирования c1 = 0, ограничимся частным решением

n(u) = c∗gλ(1 − λ)

1 + λu1+λ. (49)

49


При условиях (42), (48), обозначениях (39), (44) и функциях (43), (49) из(30)–(34), (20) получаем

σ(u) =gλ

I(1 + λ)

[

(1− λ)u2 + 1 + λ]

, (50)

α(u) = −ω3(u) =gλ

I(1 + λ)

[

(1− λ)u2 + λ]

c∗u1+λ, (51)

u = −θ√

1− u2 =gλ

I(1 + λ)u2

√

1− u2 − c2∗

u2λ, (52)

n0(u) = −g(1− λ)c∗uλ. (53)

Компоненты угловой скорости ω1, ω2,n

Iтела S в полуподвижном базисе

Oe1e2e3 получим из (21), (49), подставив в них (50), (46):

ω1(u) =gλ

I(1 + λ)

[

(1− λ)u2 + 1 + λ]

√

1− c2∗u2

1− u2, (54)

ω2(u) =gλ

I(1 + λ)

[

(1− λ)u2 + 1 + λ] c

∗uλ√

1− u2, (55)

n(u)

I=

gλ

I(1 + λ)(1− λ)c

∗u1+λ. (56)

Компоненты угловой скорости ω∗

1(u), ω∗

2(u) тела S в неизменно связанном с

ним базисе O e∗1e∗2e∗3

связаны с компонентами ω1, ω2 соотношениями [9]:

ω∗

1(u) = ω1(u) cosϕ(u) + ω2(u) sinϕ(u), (57)

ω∗

2(u) = −ω1(u) sinϕ(u) + ω2(u) cosϕ(u). (58)

Для определения ϕ(u) подставим (56), (51) в (9):

ϕ(u) =gλ

I(1 + λ)

c∗u1+λ

1− u2(59)

и учтем (52):

ϕ(u) − ϕ0 =

u∫

u0

c∗u1−λdu

(1− u2)√

1 + A

I0+ (A

I− 1)u2

. (60)

Аналогично для тела S0 вначале запишем компоненты Ω1,Ω2,n0I0

в его

полуподвижном базисе, для этого внесем в (4), (5), (53) величины (51), (52),(54), (55), (45):

Ω1(u) =gλ

I(1 + λ)(−λu2 + 1 + λ)

√

1− c2∗

u2λ

1− u2,

50


Ω2(u) =gλ

I(1 + λ)

c∗u1+λ

√1− u2

, (61)

n0(u)

I0= −gλ

Ic∗uλ.

Компоненты угловых скоростей Ω∗

1(u),Ω∗

2(u) в неизменно связанном с те-

лом S0 базисе Oe0∗1e0∗2e0∗3

находим из соотношений [9]:

Ω∗

1(u) = Ω1(u) cos Φ(u) + Ω2(u) sinΦ(u), (62)

Ω∗

2(u) = −Ω1(u) cos Φ(u) + Ω2(u) sin Φ(u). (63)

Угол Φ(u) находим из условия неголономности шарнира (13) с учетом(59), (52)

Φ(u)−Φ0 =

u∫

u0

c∗uλdu

(1− u2)√

1− u2 − c2∗u2. (64)

Зависимость вспомогательной переменной u = cos θ от времени t находимобращением квадратуры (52):

I(1 + λ)

gλ(t− t0) = t

∗=

∫

du

u2√

1− u2 − c2∗

u2λ. (65)

Для завершения построения решения необходимо указать потенциальнуюэнергию Π(u) упругого элемента и величину момента L в неголономном шар-нире. Учтем условия (29), (42), (48), внесем (54)–(56), (61) в интеграл (17) иполучим

2Π(u) = 2h− g2λ

I− g2λ2(1− λ)

I(1 + λ)2(

u4 + c2∗

u2(λ+1))

. (66)

Величину момента L определим из (12), подставив в него (53), (52):

L(u) =g2λ2(1− λ)

I(1 + λ)c∗uλ+1

√

1− u2 − c2∗

u2λ. (67)

Таким образом, решение задачи определено соотношениями (52)–(67).

3. Аксоиды тела S. Подвижный аксоид тела S [9]

ξ = µω∗

ω∗

+ω×v

ω2∗

(68)

представлен сначала в полуподвижном базисе: ξ = ξ1e1+ξ2e2+ξ3e3. Условие(32) запишем в виде (m +m0)aa0 = 0. Из двух вариантов a = 0 или a0 = 0выберем второй

a0 = 0 (69)

51


(центр тела S0 совпадает с точкой O).Для вектора r

∗= C

∗O (C

∗– центр масс системы тел) в [9] получено

выражение r∗= −ae3 − a0e

03, которое, вследствие (69), таково

r∗= −ae3. (70)

Скорость и ускорение точки O с учетом (69) таковы:

v = r∗= −a(ω2e1 − ω1e2), (71)

w = v = a[−(ω1 + ω3ω1)e1 + (ω1 − ω1ω3)e2 + (ω2

1 + ω2

2)e3]. (72)

Внесем (71) в (68) и получим

ξ = ae3 + F (u, µ)ω∗, (73)

ξ1(u) = F (µ, u)ω1(u), ξ2(u) = F (µ, u)ω2(u), (74)

ξ3(u) = a+ F (µ, u)n(u)

I, (75)

где

F (µ, u) =µ

ω∗(u)

− an(u)

ω2∗(u)

, ω2

∗

(u) = ω2

1(u) + ω2

2(u) +n2(u)

I2.

С учетом (54)–(56) имеем

ω2

∗(u) =

g2λ2

I2(1 + λ)2ω2

∗(u) =

g2λ2

I2(1 + λ)2

[

(1− λ)u2 +1+ λ]2

+ (1− λ)2c2∗u2λ+2

.

(76)В неизменно связанном с телом S базисе аксоид (73) имеет разложениеξ = ξ∗

1(µ, u)e∗

1+ ξ∗

2(µ, u)e∗

2+ ξ3(µ, u)e3, которое получаем с учетом (57), (58):

ξ∗1(µ, u) = F (µ, u)(ω1(u) cosϕ(u) + ω2(u) sinϕ(u)),

(77)ξ∗2(µ, u) = F (µ, u)(−ω1(u) sinϕ(u) + ω2(u) cosϕ(u)).

Подставив в (77), (76) соотношения (54)–(56), (60), получим явные зависимо-сти от u компонент подвижного аксоида.

Неподвижный аксоид тела S. Зная скорость (71) и ускорение (72)точки O, определим кривизну и кручение [10] траектории точки. Бинормаль

B = v ×w = B1e1 +B2e2 +B3e3,

как следует из (71), (72), такова:

B = a2(ω2

1 + ω2

2)(ω1e1 + ω2e2). (78)

(B коллинеарен g, а следовательно, сохраняет направление в пространстве).

52


Кривизна κ =B

v3траектории точки O, вследствие (78), (71), равна

κ =1

a. (79)

Для определения кручения траектории

κ0 =

w ·BB2

(80)

находим из (72) вектор w:

w = a

e1[

− (ω2 + ω3ω1)•ω3ω1 + ω2ω

2

∗

]

+ e2[

(ω1 − ω2ω3)•ω3ω2 − ω1ω

2

∗

]

+

+3e3(ω1ω1 + ω2ω2)

. (81)

Подставив (81), (78) в (80), находим, что

κ0 = 0. (82)

Условия (79), (82) определяют окружность радиуса a в плоскости, перпен-дикулярной бинормали. Выберем неподвижный базис C

∗E1E2E3. Вектор E3

с вершиной в центре масс системы направим по бинормали. Введем угол ψмежду E1 и r

∗= C

∗O , тогда

r∗= a(E1 cosψ + E2 sinψ), (83)

v = r∗= aψ(−E1 sinψ + E2 cosψ), B = BE3. (84)

Для определения ψ используем (84), (71), (21)

ψ = σ(u), (85)

т. е.v = aσ(−E1 sinψ + E2 cosψ). (86)

Для установления связи между полуподвижным C∗e1e2e3 и неподвижным

базисами представим орты векторов r∗,v,B в обоих базисах:

−e1 = a(E1 cosψ + E2 sinψ), −e1 sinα+ e2 cosα = −E1 sinψ + E2 cosψ,

(87)e1 cosα+ e2 sinα = E3.

Отсюда получаем

e1 = E1 sinα sinψ − E2 sinα cosψ +E3 cosα,

e2 = −E1 cosα sinψ + E2 cosα cosψ + E3 sinα, (88)

53


e3 = −E1 cosψ − E2 sinψ;

E1 = e1 sinα sinψ − e2 cosα sinψ − e3 cosψ,

E2 = −e1 cosα sinψ + e2 cosα cosψ + e3 sinα, (89)

E3 = e1 cosα+ e2 sinα.

Угловую скорость ω∗= σ(e1 cosα + e2 sinα) +

n

Ie3 тела S, вследствие

(88), можно представить в неподвижном базисе: ω∗= p1E1 + p2E2 + p3E3,

p1 = −nIcosψ, p2 = −n

Isinψ, p3 = σ. (90)

Неподвижный аксоид тела S имеет вид [9]

ζ = r∗+ µ

ω∗

ω∗

+ω∗× v

ω2∗

.

С учетом (68), (73), (70) его можно представить, как

ζ(µ, u) = F (µ, u)ω∗(u),

а так как вектор ω∗(u) в неподвижном базисе имеет компоненты (90), то

неподвижный аксоид ζ(µ, u) = ζ1(µ, u)E1 + ζ2(µ, u)E2 + ζ3(µ, u)E3 имеет ком-поненты

ξ1(µ, u) = −F (µ, u)n(u)I

cosψ(u),

ξ2(µ, u) = −F (µ, u)n(u)I

sinψ(u), (91)

ξ3(µ, u) = F (µ, u)σ(u).

Зависимость ψ(u) находим квадратурой из (85) с учетом (50), (52)

ψ(u)− ψ0 =

u∫

u0

[(1− λ)u2 + 1 + λ]du

u2√

1− u2 − c2∗

u2λ. (92)

Векторы ω∗

и v ортогональны, так как их скалярное произведение, вслед-ствие (90), (84), равно нулю.

При движении тела S его подвижный аксоид (75)–(77) катится без сколь-

жения (vc =ω∗· v

ω∗

= 0) по неподвижному (91), (92) аксоиду.

4. Аксоиды тела S0. Неподвижный аксоид тела S0 представим разло-жением в неподвижном базисе: ζ0 = ζ0

1E1 + ζ0

2E2 + ζ0

3E3. Так как векторы

(83), (84) в этом базисе известны, необходимо найти Ω∗= q1E1+ q2E2+ q3E3.

Для этого в (8) внесем (3), (10), (61), (88):

Ω∗= E1Ωρ cosψ + E2Ωρ sinψ + E3Ων , (94)

54


где

Ωρ(u) =gλ2

I(1 + λ)c∗u1+λ, Ων(u) =

gλ

I(1 + λ)(−λu2 + 1 + λ). (95)

Подставив (3), (10), (61), (88) в (93), получим компоненты ζ0i(µ, u):

ζ01 (µ, u) =[

a+ F0(µ, u)]

cosψ(u),

ζ02 (µ, u) =[

a+ F0(µ, u)]

sinψ(u), (96)

ζ03 (µ, u) = F∗(µ, u),

где

F0(µ, u) = µΩρ(u)

ω∗(u)

− aσ(u)Ων(u)

Ω2∗

(u),

F∗(µ, u) = µ

Ων(u)

Ω∗(u)

+aσ(u)Ωρ(u)

Ω2∗

(u), (97)

Ω2

∗

(u) = Ω2

1(u) + Ω2

2(u) +n20(u)

I20

=g2λ2

I2(1 + λ)2˜Ω2

∗

(u).

Вследствие (95), (50), (61) из (97) имеем

F0(µ, u) =µ

˜Ω∗(u)

λc∗uλ+1 − a

˜Ω2∗

(u)

[

(1− λ)u2 + 1 + λ]

(−λu2 + 1 + λ),

F∗(µ, u) =

µ

˜Ω∗(u)

(−λu2 + 1 + λ) +a

˜Ω2∗

(u)

[

(1− λ)u2 + 1 + λ]

λc∗uλ+1, (98)

˜Ω2

∗(u) = (−λu2 + 1 + λ)2 + λ2c2

∗u2λ+2. (99)

Подвижный аксоид ξ0 = µΩ

∗

Ω∗

+Ω

∗× v

Ω2∗

тела S0 уже имеет разложение в

базисе OE1E2E3:

ξ0 = F0(E1 cosψ + E2 sinψ) + F∗E3,

которое, с учетом (87), представим в виде ξ0 = F∗(e1 cosα+ e2 sinα) − F0e3.

Учтем связь (33) между базисами Oe1e2e3 и Oe1e02e03

и получим разложениеξ0 = ξ0

1e1 + ξ0

2e02+ ξ0

3e03, где

ξ01 = F∗cosα, ξ02 = F

∗cos θ sinα−F0 sin θ, ξ03 = −F

∗sin θ sinα−F0 cos θ,

которые, с учетом (39), (46), таковы

ξ01(µ, u) = F∗(µ, u)

√

1− c2∗

u2λ

1− u2,

55


ξ02(µ, u) = F∗(µ, u)

c∗uλ+1

√1− u2

− F0(µ, u)√

1− u2,

ξ03(µ, u) = −F∗(µ, u)c2

∗

uλ − uF0(µ, u)

(зависимости F (µ, u), F∗(µ, u) указаны соотношениями (98)). Компоненты

этого аксоида в неизменно связанном с телом S0 базисе Oe0∗1e0∗2e03

получимпо аналогии с (62), (63): ξ0 = ξ0∗

1e0∗1

+ ξ0∗2e0∗2

+ ξ03e03,

ξ0∗1 (µ, u) = ξ01(µ, u) cos Φ(u) + ξ02(µ, u) sin Φ(u),

ξ0∗2 (µ, u) = −ξ01(µ, u) sin Φ(u) + ξ02(µ, u) cos Φ(u), (100)

ξ0∗3 (µ, u) = −F∗(µ, u)c

∗uλ − uF0(µ, u).

При движении тела S0 его подвижный аксоид (100) катится по непод-вижному (96). Это движение происходит без скольжения, так как скоростьскольжения v0c , как следует из (84), (94), равна нулю.

5. Движение тел в естественном базисе. Движение точки O известно– это движение по окружности радиуса a со скоростью v. Введем на этойтраектории естественный базис [11]

1=v

v, 2=

B × v

Bv, 3=

BB. (101)

Орты векторов B и v имеют разложение (87), поэтомуУгловая скорость ω0 = (κ0

1 +κ 3)v естественного базиса [11], вслед-ствие (79), (82), такова:

ω0 = σ 3 . (102)

По отношению к естественному базису тело S имеет угловую скоростьω = ω

∗− ω0, которую с учетом (7), (9), (21), (101), (102) представим в виде

ω =n

I3= ω2 2 .

Таким образом, тело S вращается вокруг оси e3, которая является нормалью

к траектории, с угловой скоростьюn(u)

Iи движется по окружности.

Тело S0 по отношению к естественному базису имеет угловую скорость

˜Ω = Ω∗− ω0. (103)

Из представления (94) Ω∗= Ωρ(E1 cosψ + E2 sinψ) + ΩνE3, вследствие (87),

имеем˜Ω = (e1 cosα+ e2 sinα)Ων − e3Ωρ. (104)

Подставив (104), (102), (101) в (103), находим

˜Ω = (e1 cosα+ e2 sinα)(Ων − σ)− e3Ωρ,

56


и с помощью (3) представим ˜Ω в базисе Oe1e02e03: ˜Ω = q1e1 + q0

2e02+ q0

3e03, где

q1 = (Ων − σ) cosα, q2 = (Ων − σ) cos θ sinα− Ωρ sin θ,

q3 = −(Ων − σ) sin θ sinα− Ωρ cos θ.

Внесем в них (95), (39), (50), (46) и определим компоненты ˜Ω в полупод-вижном базисе

q1(u) = − gλu2

I(1 + λ)

√

1− c2∗u2λ

1− u2,

q2(u) = − gλc∗uλ+1

I(1 + λ)√1− u2

[

(1− λ)u2 + λ]

,

q3(u) =gλ(1 − λ)c

∗uλ+2

I(1 + λ).

В неизменно связанном с телом S0 базисе ˜Ω(u) имеем компоненты

q∗1(u) = q1(u) cos Φ(u) + q2(u) sinΦ(u),

q∗2(u) = −q1(u) sinΦ(u) + q2(u) cos Φ(u), (105)

q∗3(u) = q3(u)

(зависимость Φ(u) определена в (64)).

Представим угловую скорость ˜Ω относительного движения в естественном

базисе. Для этого в (104) внесем (101): ˜Ω = ˜Ωi i = −Ωρ 1 +(Ων − σ) 3. Сучетом (95), (50) находим

˜Ω1(u) = 0, ˜Ω2(u) = −gλu2c

∗u(λ+1)

I(1 + λ), ˜Ω3(u) =

−gλ2u2I(1 + λ)

. (106)

Таким образом, получены годографы относительной угловой скорости ˜Ω

в теле S0 и естественном базисе. Движение тела S0 по отношению к есте-ственному базису траектории точки O этого тела представлено качением безскольжения неизменно связанной с телом кривой (105) по кривой (106), фик-сированной в естественном базисе. Отметим, что центр масс тела S0 такжедвижется по окружности радиуса a

∗= m0l/(m+m0).

Получено новое решение задачи о движении по инерции двух сферическисимметричных тел, в котором момент количества движения системы имеетнулевую компоненту. Указаны уравнения подвижных и неподвижных аксои-дов для каждого из тел системы. Найдены годографы относительных угло-вых скоростей для каждого из тел системы в неизменно связанных с теламибазисах и в естественном базисе траектории центра масс тела S0.

1. Харламов А.П., Харламов М.П. Неголономный шарнир // Механика твердого тела. –1995. – Вып. 27. – С. 1–7.

57


2. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, сое-диненных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. –С. 15–21.

3. Лесина М.Е., Харламов А.П. Точное решение задачи о движении по инерции двухгироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердоготела. – 2004. – Вып. 34. – С. 80–86.

4. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Новое решение задачи о движении двух гироскопов Ла-гранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 2006. –Вып. 36. – С. 51—57.

5. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Частное решение задачи о движении двух гироскоповЛагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 2008.– Вып. 38. – С. 63—69.

6. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Условия существования линейного инвариантного со-отношения специального вида // Зб. наук.-метод. робiт. – Донецьк, 2006. – Вип. 4.– С. 39-–50.

7. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Частное решение задачи о движении двух гироскоповЛагранжа, сочлененных неголономным шарниром // Междунар. конф. “Классическиезадачи динамики твердого тела” (Донецк, 9–13 июня 2007 г.): Сб. тез. – Донецк, 2007.– С. 50–51.

8. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Движение системы двух тел, соединенных неголономнымшарниром // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – С. 90—96.

9. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнения аксоидов задачи о движении двух гироско-пов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. –2012. – Вып. 42. – С. 202—212.

10. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.– 428 с.

11. Харламов М.П., Харламов П.В. Построение полного решения задачи об относительномдвижении тела // Докл. АН УССР. Сер А. – 1983. – 12. – С. 36–38.

M.E.Lesina, N.F. Gogoleva

A new solution to the problem of motion of two spherically symmetric rigidbodies connected by a nonholonomic hinge

A new solution to the problem of inertial motion of two spherically symmetric rigid bodiesconnected by a nonholonomic hinge is obtained. The angular momentum of the system is per-pendicular to the plane of motion of the center of mass of the body S0. Equations are written forloose and fixed axoids, and for hodographs of the bodies in the reference basis of the trajectoryof the center of mass of the body S0.

Keywords: system of rigid bodies, nonholonomic hinge, loose and fixed axoids, hodograph, nat-ural basis.

М.Ю.Лесiна, Н.Ф. Гоголєва

Новий розв’язок задачi про рух двох сферично симетричних тiл,з’єднаних неголономним шарнiром

Знайдено новий розв’язок задачi про рух за iнерцiєю двох сферично симетричних тiл, з’єд-наних неголономним шарнiром. Момент кiлькостi руху системи тiл перпендикулярний пло-щинi руху центра мас тiла S0. Записано рiвняння рухомих i нерухомих аксоїдiв, годографитiл в опорному базисi траєкторiї центра мас тiла S0.

Ключовi слова: система тiл, неголономний шарнiр, рухомий i нерухомий аксоїди, годо-граф, натуральний базис.

Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк Получено 20.05.14

58


УДК 531.38

c©2014. Г.А. Котов

РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕЦЕССИИ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА,НЕСУЩЕГО ДВА ВРАЩАЮЩИХСЯ ГИРОСКОПА

Изучены условия существования регулярных прецессий гиростата в поле силы тяжести,когда несомые тела – два вращающихся гироскопа. При заданном законе изменения гиро-статического момента найдены новые решения уравнений движения.

Ключевые слова: гиростат, регулярные прецессии.

Задача о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом[1, 2] рассматривалась в двух вариантах. Первый характеризуется тем, что ги-ростатический момент направлен по некоторой неподвижной в теле-носителеоси. В таком предположении изучены равномерные, маятниковые и прецесси-онные движения [4–7]. Второй вариант характеризуется свойством, что гиро-статический момент принадлежит некоторой плоскости, неизменной в теле-носителе. В нем исследованы регулярные прецессии, маятниковые и другиедвижения [8–10]. Данная работа посвящена исследованию регулярной пре-цессии тяжелого гиростата с заданным законом изменения гиростатическогомомента.

1. Постановка задачи. Рассмотрим гиростат, несущий два гироскопас переменным гиростатическим моментом, который находится под действиемсилы тяжести. Уравнения движения имеют вид [3]:

Aω = (Aω + λ1α+ λ2β)×ω − (λ1α+ λ2β)− ν × s, (1)

ν = ν × ω, (2)

где ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела носителя; ν = (ν1, ν2, ν3)– единичный вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3),β = (β1, β2, β3) – единичные ортогональные векторы, фиксированные в теле-носителе; λ1, λ2 – дифференцируемые функции времени, являющиеся ком-понентами гиростатического момента в базисе векторов α, β; s = (s1, s2, s3)– вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата;A = (Aij) – тензор инерции гиростата; точка над переменными обозначаетдифференцирование по времени t.

Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла

ν · ν = 1, (Aω + λ1α+ λ2β) · ν = k, (3)

где k — произвольная постоянная.Рассмотрим прецессионные движения гиростата относительно вертика-

ли [3]. Свяжем подвижную систему координат с единичным вектором

59

Г.А. Котов

a = (0, 0, 1), который образует постоянный угол с вектором ν. Имеет местоинвариантное соотношение

a · ν = a0 = cos θ0.

Согласно методу исследования прецессий (см., напр., [3]), векторы ν, ω пред-ставимы в виде

ν = (a′0 sinϕ, a′

0 cosϕ, a0), ω = ϕ(t)a+ ψ(t)ν,

где a′0= sin θ0, ϕ и ψ — новые переменные, кинематический смысл которых

состоит в том, что они могут трактоваться, как углы Эйлера.Для случая регулярной прецессии ϕ(t) = n, ψ(t) = m, где n, m — некото-

рые константы. Тогда ϕ = nt+ ϕ0, ψ = mt+ ψ0 и выбором начальной фазыдвижения можно добиться ϕ0 = 0, ψ0 = 0. Векторы ν, ω примут вид

ν = (a′0 sinnt, a′

0 cosnt, a0), ω = (a′0m sinnt, a′0m cosnt, n+ a0m). (4)

Уравнение (2) в силу (4) обращается в тождество. Для исследования урав-нения (1) спроектируем его на три независимых вектора α, β, γ = α × β.Поскольку

α · β = 0, γ = α× β, |α| = |β| = |γ| = 1, (5)

то после подстановки ν и ω из (4) в (1) и проектирования полученного урав-нения на α, β, γ найдем

λ1 − λ2

[

γ3n+(

a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3)

m]

+ F1 = 0,

λ2 + λ1

[

γ3n+(

a′0γ1 sinnt+ a′0γ2 cosnt+ a0γ3)

m]

+ F2 = 0,

λ2

[

α3n+(

a′0α1 sinnt+ a′0α2 cosnt+ a0α3

)

m]

−

−λ1[

β3n+(

a′0β1 sinnt+ a′0β2 cosnt+ a0β3)

m]

+ F3 = 0.

(6)

Здесь

Fi = A0,in2 −

(

A2,i cos 2nt+A′

2,i sin 2nt+ a0A1,i cosnt+ a0A′

1,i sinnt+

+ κ0A0,i

)

m2 + nm[

(

d′1,i −A1,i

)

cosnt−(

d1,i +A′

1,i

)

sinnt+ 2a0A0,i

]

+

+ δ1,i cosnt+ δ′1,i sinnt+ δ0,i,

ei = (e1,i, e2,i, e3,i), (i = 1, 2, 3), (e1 = α, e2 = β, e3 = γ),

d1,i = a′0(

e1,iA12 + e2,iA22 + e3,iA23

)

,

d′1,i = a′0(

e1,iA11 + e2,iA12 + e3,iA13

)

,

κ0 =1

2(a′20 − 2a20), A0,i = e2,iA13 − e1,iA23,

(7)

60

Регулярные прецессии тяжелого гиростата, несущего два вращающихся гироскопа

A1,i = a′0

[

e1,i(

A22 −A33

)

− e2,iA12 + e3,iA13

]

,

A′

1,i = a′0

[

e2,i(

A33 −A11

)

+ e1,iA12 − e3,iA23

]

,

A2,i =a′20

2

(

2e3,iA12 − e1,iA23 − e2,iA13

)

,

A′

2,i =a′20

2

[

e2,iA23 − e1,iA13 + e3,i(A11 −A22)]

,

δ′1,i = a′0(e3,is2 − e2,is3), δ1,i = a′0(e1,is3 − e3,is1),

δ0,i = a0(

e2,is1 − e1,is2)

.

Таким образом, изучение решений уравнений (1), (2) для регулярной пре-цессии (4) сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений(6). В [10] указана методика изучения системы (6) для обобщенной задачи одвижении гиростата с двумя роторами.

2. Вырожденный случай. Пусть вектор a, фиксированный в теле,совпадает с вектором ν, фиксированным в пространстве, т. е. ν = a. Так какпри этом a0 = 1, a′

0= 0, то угловая скорость из (4) примет вид:

ω = ω0a, (8)

где ω0 = n + m = const. Имеем случай вырождения регулярной прецессиив равномерное вращение относительно вертикали, который не рассмотрен в[11]. С учетом обозначений (7) перепишем систему (6) и интеграл моментовиз (3).

λ1 − γ3λ2ω0 + (α2A13 − α1A23)ω2

0 + α2s1 − α1s2 = 0,

λ2 + γ3λ1ω0 + (β2A13 − β1A23)ω2

0 + β2s1 − β1s2 = 0,

ω0(−β3λ1 + α3λ2) + (γ2A13 − γ1A23)ω2

0 + γ2s1 − γ1s2 = 0,

α3λ1 + β3λ2 + ω0A33 = k.

(9)

Последние два уравнения из (9) служат для нахождения λ1 и λ2. Очевидно,что если определитель системы ω0(α

23+ β2

3) отличен от нуля, то λ1 и λ2

будут константами. Этот вариант не рассматриваем, так как гиростатическиймомент становится постоянным.

Вначале потребуем, чтобы α3 = 0, β3 = 0. Тогда γ = (0, 0, 1) и система(9) примет вид:

λ1 − λ2ω0 + (α2A13 − α1A23)ω2

0 + α2s1 − α1s2 = 0,

λ2 + λ1ω0 + (β2A13 − β1A23)ω2

0 + β2s1 − β1s2 = 0,

k = ω0A33.

61

Г.А. Котов

Из первых двух уравнений найдем функции λ1 и λ2:

λ1(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t)−T2ω0

,

λ2(t) = −c1 sin(ω0t) + c2 cos(ω0t) +T1ω0

,

(10)

где c1, c2 ∈ R и

T1 = (α2A13 − α1A23)ω2

0 + α2s1 − α1s2,

T2 = (β2A13 − β1A23)ω2

0 + β2s1 − β1s2.

Пусть теперь ω0 = 0. Из первого и второго уравнений системы (9) найдем

λ1 = −(α2s1 − α1s2)t+ k1, λ2 = −(β2s1 − β1s2)t+ k2,

k1, k2 ∈ R. Эти выражения для λ1 и λ2 удовлетворяют всей системе (9) сучетом (5).

Таким образом, при γ = a движение гиростата можно рассматриватькак вращение вокруг вертикали с постоянной скоростью, при этом маховики,закон движения которых описывается зависимостями (10), выполняют рольстабилизаторов.

При ω0 = 0 тело-носитель неподвижен в пространстве, а функции λ1 иλ2, характеризующие вращение носимых гироскопов, являются, в отличие от(10), линейными функциями времени.

3. Случай a′

06= 0. Так как вариант γ = (0, 0, 1) исследован в [8], то

потребуем, чтобы γ21+γ2

26= 0. Пусть во все время движения гиростата выпол-

нены зависимости

λ1 = f1 cosϕ+ f ′1 sinϕ+ f0, λ2 = g1 cosϕ+ g′1 sinϕ+ g0, (11)

где f1, f′

1, f0, g1, g

′

1, g0 — некоторые константы, подлежащие определению.

После подстановки (7) и (11) в (6), каждое из уравнений системы (6) пред-ставляет собой тригонометрический многочлен второго порядка по перемен-ной ϕ. Требование равенства этих многочленов нулю для всех ϕ приводит кследующей алгебраической системе на параметры задачи:

a′0(γ2g1 − γ1g′

1) + 2mA2,1 = 0, a′0(γ1g1 + γ2g′

1) + 2mA′

2,1 = 0,

a′0(α1s3 − α3s1)− (a0m+ n)(γ3g1 +mA1,1)− a′0mγ2g0 + nf ′1 +mnd′1,1 = 0,

a′0(α2s3 − α3s2) + (a0m+ n)(γ3g′

1 +mA′

1,1) + a′0mγ1g0 + nf1 +mnd1,1 = 0,

a0(α2s1 − α1s2) +A0,1

(

(a0m+ n)2 − 1

2a′20 m

2

)

− (a0m+ n)γ3g0−

− a′0m

2(γ2g1 + γ1g

′

1) = 0,

62


la′0(γ2f1 − γ1f′

1)− 2mA2,2 = 0, a′0(γ2f′

1 + γ1f1)− 2mA′

2,2 = 0,

a′0(β1s3 − β3s1) + (a0m+ n)(γ3f1 −mA1,2) + a′0mγ2f0 + ng′1 +mnd′1,2 = 0,

a′0(β3s2 − β2s3) + (a0m+ n)(γ3f′

1 −mA′

1,2) + a′0mγ1f0 − ng1 −mnd1,2 = 0,

a0(β2s1 − β1s2) +A0,2

(

(a0m+ n)2 − 1

2a′20m

2

)

+ (a0m+ n)γ3f0+

+a′0m

2(γ1f

′

1 + γ2f1) = 0,

(12)a′0(β1f

′

1 − β2f1 − α1g′

1 + α2g1)− 2mA2,3 = 0,

a′0(α1g1 + α2g′

1 − β1f1 − β2f′

1)− 2mA′

2,3 = 0,

a′0(γ1s3 − γ3s1) + (a0m+ n)(α3g1 − β3f1 −mA1,3) + a′0m(α2g0 − β2f0)+

+mnd′1,3 = 0,

a′0(γ3s2 − γ2s3) + (a0m+ n)(α3g′

1 − β3f′

1 −mA′

1,3) + a′0m(α1g0 − β1f0)−−mnd1,3 = 0,

a0(γ2s1 − γ1s2) +A0,3

(

(a0m+ n)2 − 1

2a′20m

2

)

+ (a0m+ n)(α3g0 − β3f0)+

+a′0m

2(α1g

′

1 + α2g1 − β2f1 − β1f′

1) = 0.

Так как a′06= 0, то из (12) находим

g1 =−2m(γ1A

′

2,1+ γ2A2,1)

a′0(γ2

1+ γ2

2)

, g′1 =2m(γ1A2,1 − γ2A

′

2,1)

a′0(γ2

1+ γ2

2)

,

f1 =2m(γ1A

′

2,2+ γ2A2,2)

a′0(γ2

1+ γ2

2)

, f ′1 =2m(γ2A

′

2,2− γ1A2,2)

a′0(γ2

1+ γ2

2)

.

(13)

Из (5) для α, β, γ вытекают очевидные соотношения

αiαj + βiβj + γiγj =

0, если i 6= j,1, если i = j,

i, j = 1, 2, 3. (14)

В частности, из (14) следует, что α2, β2, γ2 одновременно в нуль не обраща-ются, поэтому составим линейную комбинацию уравнений из (12). Складываятретье уравнение из (12), умноженное на α2, восьмое — на β2 и тринадцатое— на γ2 и, учитывая обозначения (7) и свойства (5), получим

(γ21 − γ22)A12 + γ1γ2(A22 −A11) + γ3(γ1A23 − γ2A13) = 0. (15)

Домножая четвертое уравнение на γ1, а третье – на γ2 и вычитая, получим

a′0m(γ21 + γ22)g0 + a′0[

β3s3 − α3(γ1s2 − γ2s1)]

+ (a0m+ n)[

γ3(γ1g′

1 + γ2g1)+

63

Г.А. Котов

+m(γ1A′

1,1 + γ2A1,1)]

+ n(γ1f1 − γ2f′

1) +mn(γ1d1,1 − γ2d′

1,1) = 0. (16)

Поступая аналогично с восьмым и девятым уравнениями, из (12) найдем

a′0m(γ21 + γ22)f0 + a′0[

α3s3 − β3(γ2s1 − γ1s2)]

+ (a0m+ n)[

γ3(γ2f1 + γ1f′

1)−

−m(γ2A1,2 + γ1A′

1,2)]

+ n(γ2g′

1 − γ1g1) +mn(γ2d′

1,2 − γ1d1,2) = 0. (17)

Учитывая, что γ21+ γ2

26= 0, равенства (16), (17) можно считать уравнениями

для нахождения g0 и f0 соответственно.Таким образом, на основании формул (13) и равенств (16), (17) полностью

определен вид зависимостей λ1(t) и λ2(t).Исключая g0 и f0 из (12), получим: s1 = 0, s2 = 0 и

− a′0α3γ3s3 + (a0m+ n)[

γ3(γ2g′

1 − γ1g1)+

+m(γ2A′

1,1 − γ1A1,1)]

+ n(γ1f′

1 + γ2f1) +mn(γ1d′

1,1 + γ2d1,1) = 0.(18)

− a′0β3γ3s3 + (a0m+ n)[

γ3(γ1f1 − γ2f′

1)−−m(γ1A1,2 − γ2A

′

1,2)]

+ n(γ1g′

1 + γ2g1) +mn(γ1d′

1,2 + γ2d1,2) = 0.(19)

При γ3 = 0 из уравнения (18) имеем

α3(a0m+ n)(γ1A13 + γ2A23) = 0, (20)

а из (19) найдем

β3(a0m+ n)(γ1A13 + γ2A23) = 0. (21)

Решением уравнений (20) и (21) является

n = −a0m или γ1A13 + γ2A23 = 0. (22)

Итак, если γ = (γ1, γ2, 0), то решением системы (12) являются равенстваs1 = 0, s2 = 0, (13), (15) – (17), (22). Следует отметить, что n = −a0m –единственный случай, когда возникает ограничение на скорости собственноговращения и прецессии.

При γ3 6= 0 уравнение (18) или (19) служат для определения s3 в зависи-мости от выполнения неравенств α3 6= 0 или β3 6= 0. В случае, если α3 6= 0 иβ3 6= 0, уравнения (18) и (19) эквивалентны в силу (15).

Значит, решение системы (12) состоит из следующих соотношений:s1 = 0, s2 = 0, (13), (15), (16), (17) и, в зависимости от равенства α3 илиβ3 нулю, (18) или (19).

Окончательно, решение дифференциальных уравнений (1), (2) для регу-лярной прецессии при условии a′

06= 0 выражается равенствами s1 = 0, s2 = 0

и соотношениями (4), (13), (15)–(22) в зависимости от расположения векторовα и β в теле-носителе.

64


Выводы. В данной статье рассмотрена регулярная прецессия гироста-та в двух случаях. Первый случай – вырожденный – характеризуется тем,что вектор, фиксированный в теле, и вектор, фиксированный в пространстве,совпадают. Результаты, полученные в такой постановке, можно использоватьв задаче стабилизации. Во втором случае, когда векторы, фиксированные втеле и в пространстве, не совпадают, получено два новых решения. Отметим,что центр масс гиростата лежит на третьей оси и при γ3 6= 0 в этих реше-ниях не имеется явных ограничений на скорости прецессии и собственноговращения.

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-родной капельной жидкостью // Собр. соч. – М.; Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 1. – С. 31–152.


3. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-нецк: ДонНУ, 2010. – 364 с.

4. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып.39. –С. 42–49.

5. Горр Г.В., Мазнев А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с пере-менным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задачединамики // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2010. – 21. – С. 64–75.

6. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердоготела. – 2010. – Вып. 40. – C. 91–104.

7. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростатас переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироско-пических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.

8. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиро-статического момента // Механика твердого тела. – 2013. – Вып. 43. – C. 46–56.

9. Возняк А.А. Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гиро-скопических сил в случае переменного гиростатического момента // Механика твер-дого тела. – 2013. – Вып. 43. – C. 69–78.

10. Котов Г.А. Прецессии общего вида в задаче о движении гиростата, несущего двамаховика с переменным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. –2013. – Вып. 43. – C. 79–89.

11. Ковалев А.М., Горр Г.В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтоном-ных систем дифференциальных уравнений с приложением в механике // Механикатвердого тела. – 2013. – Вып. 43. – C. 3–18.

G.A. Kotov

Regular precessions of heavy gyrostat carrying two rotating gyroscopes

Existence conditions for regular precessions of a gyrostat in the gravity field are studied, in thecase when the carried bodies are two rotating gyroscopes. The new solutions of the equationsof motion with given rule of gyrostatic moment’s variation are obtained.

Keywords: gyrostat, regular precessions.

65

Г.А. Котов

Г.О. Котов

Регулярнi прецесiї важкого гiростата, який несе два гiроскопа,що обертаються

Дослiджено умови iснування регулярних прецесiй гiростата в полi сили тяжiння, коли тiла,яких несуть – два гiроскопа, що обертаються. При заданому законi змiни гiростатичногомоменту знайдено новi розв’язки рiвнянь руху.

Ключовi слова: гiростат, регулярнi прецесiї.

Донбасская национальная акад. строительстваи архитектуры, Макеевка

kotov [email protected]


66


УДК 517.91

c©2014. В.Н. Неспирный

ПРОДОЛЖИМОСТЬ РЕШЕНИЙВ ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных наполном фазовом пространстве Rn, получены достаточные условия бесконечной продол-жимости, а также непродолжимости решений в окрестности положения равновесия. Этиусловия выражаются в терминах некоторых вспомогательных знакоопределенных функ-ций, аналогичных функциям Ляпунова.

Ключевые слова: продолжимость решений, автономные системы, устойчивость.

Введение. При исследовании вопросов существования решений для си-стем обыкновенных дифференциальных уравнений в большинстве случаевречь идет о некоторой ограниченной области определения системы. Класси-ческие теоремы гарантируют существование некоторого интервала времени,на котором решение может быть корректно определено. Размер этого интер-вала зависит от диаметра области определения и константы, ограничивающейправые части уравнений системы. Однако в ряде задач есть необходимостьработать с системами заданными на неограниченном пространстве (напри-мер, совпадающем со всем Rn). Непрерывность правых частей в этом случаене гарантирует их ограниченности. Очевидно, что теоремы существования(примененные для ограниченной области, включающей в себя начальную точ-ку) и в этом случае будут обеспечивать возможность построения решения наопределенном интервале времени. Из точки, в которую попадает решение наконце этого интервала, оно может быть продолжено дальше на какой-то ин-тервал времени и т. д. Но возникает вопрос о том, может ли решение бытьпродолжено на бесконечный интервал времени.

К задачам, в которых важен вопрос максимального интервала существо-вания решения, относятся, в частности, задачи устойчивости и особенно час-тичной устойчивости. Наличие неустойчивых переменных, уходящих на бес-конечность за конечное время, может привести к изменению качественныххарактеристик других переменных. Так, например, другие неустойчивые пе-ременные могут оказаться устойчивыми за счет сокращения интервала су-ществования, равно как и переменные, которые при бесконечном интервалемогли бы быть асимптотически устойчивыми. Таким образом, анализ устой-чивости систем дифференциальных уравнений по всем или по части перемен-ных невозможен без исследования продолжимости решений.

1. Постановка задачи. Рассмотрим автономную систему дифферен-циальных уравнений n-го порядка

x = f(x), (1)

67

В.Н. Неспирный

где x ∈ Rn, t ∈ R, f : Rn → Rn – непрерывная функция, f(0) = 0. Пустьx(t;x0) – решение системы (1) с начальным условием x(0) = x0. Существуютдве возможности:

• либо решение может быть продолжено для всех положительных значе-ний t, в таком случае говорим, что решение x(t;x0) неограничено про-должаемо;

• либо существует такой момент времени T > 0, что ||x(t)|| → +∞ приt → T , и тогда говорим, что решение x(t;x0) имеет конечное времяопределения.

Зададимся целью установить, существует ли такое δ > 0, что для любо-го x0 из окрестности нуля радиуса δ решение x(t;x0) определено при всехt ∈ [0,+∞).

Будем предполагать, что для некоторой окрестности начала координатвыполнены некоторые условия, обеспечивающие существование и единствен-ность решения по крайней мере на конечном интервале времени (например,условия теоремы Пикара или теоремы Коши–Липшица). В противном случаенаша задача будет гарантированно иметь отрицательный ответ.

Отметим, что в работе рассматривается локальное поведение системы вокрестности начала координат. Это связано с нацеленностью применения ре-зультатов к задачам теории устойчивости, где изучается поведение траекто-рий, исходящих из точек, близких к точке равновесия.

2. Критерии продолжимости. Одним из достаточных условий беско-нечной продолжимости решений является ограниченность траекторий илиустойчивость начала координат по Лагранжу [1].

Н.П. Еругиным [2] было установлено, что из теоремы Пикара при выпол-нении условия Липшица по фазовым переменным равномерно на всем фа-зовом пространстве (т. е. с одной и той же постоянной Липшица) следу-ет существование решения на бесконечном интервале времени. Несмотряна то, что это довольно сильное ограничение, существуют важные классыфункций, которые удовлетворяют ему. В частности, сюда относятся линей-ные уравнения с правой частью вида f(x) = Ax, где A – постоянная ква-дратная матрица порядка n; уравнения, правые части которых имеют видfj(x) = Qj(sinxi, cos xi), где Qj – полиномы от своих аргументов; уравне-ния, имеющие правую часть с ограниченными частными производными пофазовым переменным.

А. Винтнер [3] предложил еще один критерий продолжимости решений,который, однако, не гарантирует единственности: для того, чтобы все реше-ния при любых начальных данных были бесконечно продолжимы, достаточнопотребовать существования такой верхней оценки для нормы правой части||f(x)|| 6 L(||x||), выполняющейся на всем фазовом пространстве, что инте-

грал

+∞∫

||x0||

dr

L(r)расходится.

68

Продолжимость решений в задачах устойчивости

Более общие результаты по продолжимости, предложенные Ж. Ла-Саллем, связаны с поиском положительных решений некоторых диффе-ренциальных неравенств совместно с исходной системой [4]. Ряд доста-точных условий продолжимости решений для систем управления был полу-чен А.Ф. Филипповым [5].

3. Исследование продолжимости с помощью функций типа Ля-пунова. Следующая теорема представляет собой достаточно удобное сред-ство для проверки продолжимости решений, исходящих из начала координат.Ее условия выражаются в терминах дополнительных функций, аналогичныхтем, что используются во втором методе Ляпунова для исследования устой-чивости.

Теорема. Пусть задана система (1) с непрерывной правой частьюи существует непрерывно дифференцируемая знакоопределенная функцияV (x), x ∈ Rn, удовлетворяющая условию V (x) → +∞ при ||x|| → +∞. Тогда

1. Если существуют такие значения A > 0 и C > 0, что для любого xтакого, что V (x) > A, выполняется неравенство

V (x) 6 CV (x), (2)

то для любого такого x0 решение системы (1) с начальным условиемx(0) = x0 существует (хотя возможно и не единственно), и любое реше-ние с таким начальным условием бесконечно продолжимо.

2. Если для любого A > 0 существуют ε > 0 и C > 0 и неограниченноеинвариантное множество M , для которого начало координат являетсяпредельной точкой, такие, что для любого x ∈ M такого, что V (x) > A,выполняется неравенство

V (x) > CV (x)1+ε, (3)

то решение системы (1) с начальным условием x(0) = x0, x0 ∈ M , суще-ствует, и любое решение с таким начальным условием имеет конечноевремя определения.

Доказательство. Пусть выполнены условия первого пункта теоремы.Возьмем произвольную точку x0 и рассмотрим решение x(t;x0), исходящееиз этой точки. Оценим значения функции V на траектории, определяемойэтим решением. Из неравенства (2) следует, что

V (x(t;x0)) 6 V (x0)eCt. (4)

Предположим, что решение x(t;x0) имеет конечное время определения T .Тогда по определению ||x(t;x0)|| → ∞ при t → T , и следовательно,V (x(t;x0)) → +∞ по условию теоремы. Но правая часть неравенства (4)определена и ограничена при любом конечном значении t, в том числе и при

69


всех t, близких к T , что делает невозможным неограниченный рост левойчасти. Полученное противоречие доказывает, что предположение о конечномвремени определения неверно, и решение x(t;x0) бесконечно продолжимо.

Перейдем ко второму пункту теоремы. Снова выберем произвольную точ-ку x0 ∈ M ∩ V (x) > A и решение x(t;x0) с начальным условием x(0) = x0.Так как множество M инвариантно, то x(t;x0) ∈ M при любом значении t,и, следовательно, вдоль этого решения сохраняется неравенство (3). Проин-тегрировав неравенство (3), получим оценку

V (x(t;x0)) >(

V (x0)−ε − εCt

)

−1/ε. (5)

Обозначим T (x0) = (CεV (x0)ε)−1. Так как V (x0) > A согласно выбору x0,

величина T (x0) корректно определена. При t = T (x0) правая часть неравен-ства (5) неопределена, а при стремлении t к значению T (x0) – неограниченновозрастает. Но тогда и левая часть должна неограниченно возрастать, откудаследует, что время определения решения x(t;x0) не превышает T (x0).

Замечание 1. Указанное в пункте 2 инвариантное множество M можетсостоять как из одной траектории, так и совпадать со всем фазовым про-странством. Функцию V (x) в большинстве случаев можно выбрать в видеквадратичной формы, но это не является обязательным требованием.

Замечание 2. Следует отметить, что теорема дает лишь достаточныеусловия продолжимости и непродолжимости. Существуют примеры, для ко-торых ни условиям пункта 1, ни пункта 2 не удается удовлетворить.

4. Примеры. Продемонстрируем применение полученной теоремы напримерах.

Пример 1. Пусть задана

x(t)y(t)

1

2

3

4

x, y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3t

Рис. 1. Решение системы (6) с начальнымиусловиями x(0) = 1, y(0) = 0.1.

двумерная система

x = −x(1− y2), y = y. (6)

Возьмем вспомогательную

функцию V (x, y) = x−2ey2

.Ее производная в силу систе-мы удовлетворяет соотноше-нию V (x, y) = 2V (x, y). Та-ким образом, условие 1 теоре-мы выполняется с любым зна-чением A > 0 и значениемC = 2. Следовательно, любоерешение системы (6) при начальных условиях, для которых определена функ-ция V (x, y), существует и является бесконечно продолжимым.

Для доказательства того, что продолжимы и решения с начальными усло-виями на оси Oy, достаточно рассмотреть функцию V (x, y) = y2 на инвари-антном множестве M = (x, y) | x = 0.

70


Таким образом, все решения системы (6) неограниченно продолжаемы(рис. 1).

Пример 2. Рассмотрим пример Арцтейна [6]

x = x2 − y2, y = 2xy. (7)

Траекториями этой системы являются окружности с центром на оси Oy, про-ходящие через точку (0, 0). При этом начало координат является притягива-ющей для таких траекторий как в прямом, так и в обратном времени. Однакотраектории, начинающиеся на оси Ox, вырождаются в лучи.

Выберем функцию V в виде V (x, y) = x2 + y2. Ее производная в си-

лу системы определяется выражением V (x, y) = 2x(x2 + y2). МножествоM = (x, y) | x > 0, y = 0, определяющее положительную полуось Ox,инвариантно. Точка (0, 0) является предельной для него. Для любого A > 0соотношение (3) выполняется на множестве M ∩ V (x) > A со значения-ми ε = 1/2 и C = 2. Согласно условию 2 теоремы, решения системы (7) сначальными условиями на положительной полуоси Ox существуют лишь наконечном промежутке. Нетрудно убедиться, что решение, удовлетворяющееусловиям x(0) = x0 > 0, y(0) = 0, не определено при значениях t > 1/x0.

Таким образом, у системы (7) есть инвариантное множество, на которомрешения имеют конечное время определения.

Пример 3. Пусть задано уравнение

x =

x ln |x| при x 6= 0,0 при x = 0.

(8)

Решения обладают свойством бесконечной продолжимости, что может бытьдоказано по критерию Винтнера с L(x) = |x| ln |x|. Непосредственно приме-нить теорему к уравнению (8) не удается, требуется более глубокий анализ.Система имеет три положения равновесия: x = −1, x = 0, x = 1. Положениеравновесия x = 0 асимптотически устойчиво, что легко проверяется с помо-щью функции Ляпунова V (x) = x2, а областью притяжения к нему являетсяинтервал (−1; 1). В соответствии с замечанием 1, все решения на этом ин-тервале обладают свойством бесконечной продолжимости. Две другие точкиравновесия являются неустойчивыми. Для анализа продолжимости решенийна интервале (1;+∞), выполним замену переменной, полагая y = lnx. Поло-жению равновесия x = 1 уравнения (8) будет соответствовать точка y = 0, асамо уравнение примет вид

y = y. (9)

Полученное уравнение, очевидно, удовлетворяет пункту 1 теоремы с функци-ей V (y) = y2. Это позволяет нам утверждать, что все решения на интервале(0;+∞) бесконечно продолжимы. Замена y = ln(−x) на интервале (−∞,−1)приводит к тому же уравнению (9), что доказывает продолжимость реше-ний и на отрицательной полуоси. Таким образом, все решения уравнения (8)являются бесконечно продолжимыми.

71


5. Частичная устойчивость непродолжимых решений. Если ну-левое решение системы (1) устойчиво, то для нее существует функция Ляпу-нова, которая очевидно удовлетворяет пункту 1 теоремы с C = 0. Поэтому всерешения, начинающиеся в окрестности начала координат, будут бесконечнопродолжимыми. Соответственно, если в любой достаточно малой окрестно-сти существует решение с конечным временем определения, нулевое реше-ние будет обязательно неустойчивым по полному набору переменных. Темне менее, как упоминалось во введении, конечное время определения можетсущественно влиять на свойство устойчивости решений по части перемен-ных. Проиллюстрируем это утверждение на примерах. Здесь устойчивость,асимптотическую устойчивость и частичную устойчивость будем пониматьв смысле определений, данных в монографии [7], где требуется выполнениенеобходимых неравенств лишь на интервалах существования решения.

Пример 4. Пусть зада-

x(t)y(t)

0

1

2

3

4

x, y

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t

Рис. 2. Решение системы (10) с начальнымиусловиями x(0) = 0.1, y(0) = 0.04.

на система уравнений

x = x3 + y2, y = y. (10)

Система обладает нулевымрешением x = y = 0. Извторого уравнения следует,что переменная y экспонен-циально возрастает с тече-нием времени. Однако, со-гласно теореме о непрерыв-ной зависимости от началь-ных данных, на любом ко-нечном интервале и для лю-бого ε может быть указанаокрестность, для начальных условий из которой переменная y на всем ин-тервале не будет превышать ε по модулю. В силу первого уравнения всерешения системы, за исключением нулевого положения равновесия, имеютлишь конечное время определения. Следовательно, нулевое решение даннойсистемы устойчиво по отношению к переменной y.

На рис. 2 показаны графики изменения координат решения системы (10)с начальными условиями x(0) = 0.1, y(0) = 0.04. Решение с такими началь-ными условиями имеет время определения, примерно равное 3.73. Координа-та y за это время достигает значения, примерно равного 1.67. За счет выбораограничений на начальные условия, максимальное значение y может бытьсделано сколько угодно малым.

Пример 5. Пусть имеется система

x = x2, y = −y. (11)

Если бы система состояла лишь из второго уравнения, то все ее решения былибы бесконечно продолжимыми, а нулевое решение асимптотически устойчи-вым. Однако первое уравнение ограничивает время существования решений,

72


делая его конечным при начальных условиях (x0, y0), где x0 6= 0. Устойчи-вость по переменной y, разумеется, сохранится при ограничении времени, ноасимптотическое притяжение к нулю координаты y уже не будет иметь мес-та. Таким образом, имеем устойчивость (но не асимптотическую) нулевогорешения системы по переменной y.

Пример 6. Рассмотрим при-

x(t)y(t)

0

2

4

6

8

10

x, y

0.5 1 1.5 2t

Рис. 3. Решение системы (12) с начальнымиусловиями x(0) = 10, y(0) = 0.4.

мер

x = −x(1 + y2), y = y2. (12)

Общее решение системы (12)имеет вид y(t) = (y−1

0− t)−1,

x(t) = x0ey0−t−(y

−1

0−t)−1

. Приначальном условии y0 > 0 ре-шение системы определено наконечном интервале времени[0, y−1

0). При этом переменная

x стремится к нулю при стрем-лении t к y−1

0. В случае, когда

y0 6 0, решение – бесконечно продолжимо, но при t → +∞ значение x, убываяпо модулю, так же стремится к нулю. Таким образом, переменную x следуетсчитать асимптотически устойчивой.

Характер поведения координат решений системы (12) при y0 > 0 показанна рис. 3.

Заключение. Получена теорема, устанавливающая достаточные усло-вия бесконечной продолжимости решений автономных систем в терминахфункций Ляпунова, и условия, при которых решения имеют конечное вре-мя определения. Рассмотрены иллюстративные примеры применения дан-ной теоремы. Показано влияние конечного времени определения на свойстваустойчивости по части переменных при наличии непродолжимых решений,исходящих из окрестности начала координат.

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений.– М.-Л.: Гостехтеориздат, 1947. – 448 с.

2. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. –Минск: Наука и техника, 1979. – 744 с.

3. Wintner A. The nonlocal existence problem of ordinary differential equations // Amer. J.Math. – 1945. – 67. – P. 277–284; 68. – 1946. – P. 173-178.

4. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. –М.: Мир, 1965. – 168 с.

5. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн.МГУ. Математика и механика. – 1959. – 2. – С. 25-32.

6. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // J. Nonlinear Anal. – 1983. – 7 (11). –P. 1163-1173.

7. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.:Мир, 1980. – 302 с.

73


V.N. Nespirnyy

Extendability of solutions of ordinary differential equations in stabilityproblems

For autonomous systems of ordinary differential equations well-defined on Rn, sufficient condi-tions of infinite extendability and non-extendability of solutions in a neighborhood of equilibriumstate are obtained. These conditions are expressed in the terms of some auxiliary sing-definitefunctions like Lyapunov functions.

Keywords: extendability of solutions, autonomous systems, stability.

В.М. Неспiрний

Продовжуванiсть розв’язкiв у задачах стiйкостi звичайнихдиференцiальних рiвнянь

Для автономних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, визначених на повному фазо-вому просторi Rn, одержано достатнi умови необмеженої продовжуваностi, а також непро-довжуваностi розв’язкiв в околi положення рiвноваги. Цi умови виражаються у термiнахдеяких допомiжних знаковизначених функцiй, аналогiчних функцiям Ляпунова.

Ключовi слова: продовжуванiсть розв’язкiв, автономнi системи, стiйкiсть.


[email protected]


74


УДК 531.36

c©2014. В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДВОЙНОГО МАЯТНИКАС ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ

Рассмотрена задача о влиянии присоединенной массы на устойчивость нижнего положе-ния равновесия двойного маятника. Линейное приближение не позволяет решить задачу,поскольку имеет место критический случай двух пар чисто мнимых корней, вследствиечего для исследования используется прямой метод Ляпунова. Функция Ляпунова строитсясогласно общей методике, предложенной А.Я.Савченко и несколько модифицированной, сучетом особенностей задачи. Показано, что добавление массы делает положение равнове-сия маятника асимптотически устойчивым.

Ключевые слова: демпфер пассивного типа, асимптотическая устойчивость, функцияЛяпунова, критический случай.

Введение. Задача устранения или уменьшения нежелательных вибрацийв механических системах имеет давнюю историю. С этой целью используютразные методы, в том числе добавление в механическую систему различныхдемпфирующих устройств – динамических абсорберов. По принципу дей-ствия их разделяют на пассивные и активные (а также смешанного типа).Демпферы активного типа используют в случаях, когда нужно управлятьсвойствами механической системы и предполагают наличие обратной связи.Они требуют установки сенсоров, актуаторов и внешнего источника энергии.К устройствам пассивного типа относят такие, которые, будучи добавлены всистему, выполняют свое назначение за счет естественных свойств материа-ла. Сюда относятся вязкоупругие материалы, вязкие жидкости, магнитныеустройства, пьезокерамические демпферы и пр. Наиболее распространеннымявляется использование вязкоупругих материалов (простота и относительнаядешевизна).

Классическим примером демпфера пассивного типа является динамиче-ский поглотитель колебаний (ДПК). Он представляет собой присоединеннуюмассу, которая обычно моделируется как материальная точка и характе-ризуется массой, жесткостью и коэффициентом вязкого трения. ДПК мо-жет быть использован для успокоения как свободных колебаний [1], так ивибраций, вызванных действием внешней периодической силы [2]. В случаеобычного маятника ДПК использовался в работах [3–5]. В настоящей работедемпфер пассивного типа используется для стабилизации положения равно-весия двойного математического маятника. Заметим, что похожие задачи длямаятниковых систем рассматриваоись в работах [6, 7]. Система, рассматрива-емая в настоящей статье, отличается от изученной в [7] своей конструкцией(иной тип шарнира), результатом (в [7] шарнир должен быть “достаточножестким”) и методом исследования (критический случай пар чисто мнимыхкорней вместо устойчивости по линейному приближению в [7]).

75

В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко

1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящуюиз двойного математического маятника с динамическим поглотителем коле-баний (рисунок). Последний представляет собой материальную точку, при-соединенную к одному из звеньев маятника в рамках модели Кельвина –Фойгта. Массы и длины звеньев соответственно равны m1, l1 и m2, l2, массаДПК – m3, жесткость пружины – k, коэффициент вязкого трения – h. В каче-стве обобщенной координаты ξ, характеризующей положение ДПК, возьмемотношение его расстояния до шарнира O1 к длине второго звена.

Двойной маятник с поглотителем колебаний во втором звене.

В этом случае имеем следующие соотношения

OO1 = l1(sinϕ1, cosϕ1), O1O2 = l2(sinϕ2, cosϕ2), O1O3 = l2ξ(sinϕ2, cosϕ2);

v1 = l1ϕ1(cosϕ1,− sinϕ1), v2 = l2ϕ2(cosϕ2,− sinϕ2) + v1,

v3 = l2ξ(sinϕ2, cosϕ2) + l2ϕ2ξ(cosϕ2,− sinϕ2) + v1.

Кинетическая и потенциальная энергии запишутся так:

2T = (m1 +m2 +m3)l2

1ϕ2

1 + l22(m2 +m3ξ2)ϕ2

2 +m3l2

2ξ2+

+2l1l2ϕ1[ϕ2(m2 +m3ξ) cos(ϕ2 − ϕ1) +m3ξ sin(ϕ2 − ϕ1)],

Π = −g[(m1 +m2 +m3)l1 cos(ϕ1) + l2(m2 +m3ξ) cos(ϕ2)] +1

2kl2(ξ − ξ(0))2.

76

Асимптотическая устойчивость положения равновесия

Значение ξ(0) соответствует длине пружины в недеформированном состоя-нии. Функция Релея имеет вид R = −hξ2/2.

Запишем уравнения движения рассматриваемой системы в форме Ла-гранжа второго рода

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= Q, (1)

где L = T −Π, Q = (0, 0,−hξ).Изучим вопрос об устойчивости нижнего положения равновесия данной

механической системы, т. е. решения

ϕ1 = 0, ϕ2 = 0, ξ = ξ0, ϕ1 = 0, ϕ2 = 0, ξ = 0 (ξ0 = ξ(0) +m3g

k). (2)

Очевидно, оно является устойчивым (потенциальная энергия имеет мини-мум), но будет ли устойчивость асимптотической? Классические теоремыКельвина–Четаева [8] не дают ответа на этот вопрос, поскольку диссипацияэнергии является неполной. Поэтому воспользуемся прямым методом Ляпу-нова.

Введем безразмерные параметры и время по формулам

M = m1 +m2 +m3, m2 =m2

M, m3 =

m3

M, ˜h =

h

M

√

l2g, ˜k =

kl2Mg

, τ =

√

g

l2t.

(3)Для удобства в дальнейшем символ ∼ будем опускать.

Запишем характеристическое уравнение линейной части системы (1)

(aλ4 + bλ2 + c)(m3λ2 + hλ+ k) = 0, (4)

где a = l1m2 + l1m3ξ20− l1m

22− 2l1m2m3ξ0 − l1m

23ξ20,

b = −m2 −m3ξ2

0 − l1m2 − l1m3ξ0, c = m2 +m3ξ0.

Уравнение (4) имеет четыре чисто мнимых корня λ1 = iω1, λ2 = iω2,λ3 = −λ1, λ4 = −λ2 и два корня с отрицательной вещественной частью. Со-ответственно, для системы уравнений возмущенного движения имеет местокритический случай двух пар чисто мнимых корней.

2. Вспомогательные результаты. Пусть задана система обыкновен-ных дифференциальных уравнений порядка 2m+ l вида

dx

dt= Ax+

l∑

s=1

ξs ˜C(s)x,

dξ

dt= Bξ +

2m∑

s=1

xs ˜D(s)x. (5)

Здесь x ∈ R2m, ξ ∈ R

l, A,B, ˜C(s) (s = 1, 2m) – вещественные квадратные

матрицы, ˜D(j) (j = 1, 2m) – вещественные прямоугольные матрицы порядка

77


l×2m. Собственные значения матрицы A суть ±iω1, · · ·± iωm (0 < ω1 < · · · << ωm), вещественные части собственных значений матрицы B отрицательны.

Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения системы (5). Дляобщего случая m пар чисто мнимых корней обычно используется принципсведения [9–14], который с помощью нелинейной замены приводит исходнуюсистему к специальному виду, для которого и строится функция Ляпунова(ФЛ). Альтернативой является “прямое” построение ФЛ [3, 15], которое, взависимости от сложности рассматриваемой системы, может оказаться зна-чительно более простым с технической точки зрения. Мы воспользуемся вто-рым подходом. Переменные xs (s = 1, 2m) будем называть критическими, аξj (j = 1, l) − некритическими.

С помощью линейного невырожденного преобразования критических пе-ременных x = Λz приведем систему (5) к виду

dz

dt= Jz +

l∑

s=1

ξsC(s)

∗z,

dξ

dt= Bξ +

2m∑

s=1

zsD(s)z. (6)

Здесь J = diag(iω1, · · · , iωm,−iω1, · · · ,−iωm) – жорданова форма матрицы

A, z = (y, y)T , C(s)

∗= Λ

−1˜C(s)

Λ, элементы матриц D(s) известным обра-

зом выражаются через элементы матриц ˜D(s), Λ. Черта сверху означаеткомплексное сопряжение, верхний индекс T – транспонирование. Очевидно,

что j-я и j+m-я строки матриц C(s)

∗являются комплексно сопряженными,

т. е. C(s)

∗=

(

C(s)

C(s)

)

.

Следуя работам [13, 15], введем следующие обозначения. ПустьP = (p1, · · · , pm) – m-мерный индекс, p = |P | = p1 + · · · + pm, однороднуюформу порядка n запишем, как

∑

p+q=n

kPQyP yQ =

∑

p+q=n

kp1···pmq1···qmyp11

· · · ypmm

yq11· · · yqm

m.

Обозначим

V(2)

0(z) =

m∑

j=1

αjyj yj

и выберем ФЛ в виде

V (z, ξ) = V(2)

0(z)+αm+1V

(2)(ξ)+V (3)(z, ξ)+V (4)(z), V (3) =

l∑

s=1

ξs ˜V(2)

s(z), (7)

где αj (j = 1,m), αm+1 – некоторые вещественные постоянные, V (2) –

положительно определенная квадратичная форма, ˜V(2)

s = zTK(s)z, эле-менты матриц K(s) будут определены ниже. Обозначим через αy вектор

78


(α1y1, · · · , αmym), тогдаm∑

j=1

αjyj yj = 〈αy, y〉,

где угловые скобки означают скалярное произведение.Вычислим производную dV/dt в силу системы (6) и представим ее в виде

суммы V (z, ξ) = V (2)(z, ξ)+ V (3)(z, ξ)+ V (4)(z, ξ)+ · · · . Запишем выражения

для форм V (s) (s = 2, 4). Для формы V (2) имеем

V (2)(z, ξ) = −αm+1U(2)(ξ),

при этом, поскольку спектр матрицы B принадлежит левой полуплоскости,форму V (2) можно выбрать так, что U (2)(ξ) будет положительно определен-ной.

V (3)(z, ξ) =l∑

s=1

[(bsξ)˜V(2)

s(z) + ξs(grad ˜V

(2)

s)(Jz)] + 〈αy,

l∑

s=1

ξsC(s)z〉+

(8)

+〈αy,l∑

s=1

ξsC(s)

z〉+ β〈grad V (2),2m∑

s=1

zsD(s)z〉,

V (4)(z, ξ) = (grad ˜V (4))(Jz)+

l∑

s=1

ξs(grad ˜V(2)

s )

l∑

s=1

ξsC(s)z+〈 ˜V (2),

2m∑

s=1

zsD(s)z〉,

(9)

здесь bs означает s-ю строку матрицы B; ˜V (2) = (˜V(2)

1, · · · , ˜V (2)

l)T .

Определим элементы матриц K(s) таким образом, чтобы V (3) ≡ 0.Приравнивая нулю коэффициенты при различных слагаемых вида ξsy

P yQ

(s = 1, l, p + q = 2), получаем систему линейных алгебраических уравне-

ний относительно k(s)

PQ. Эта система распадается на 2m2 +m подсистем s-го

порядка с матрицами вида ˜B = BT + iΩPQE, где ΩPQ = (p1 − q1)ω1 + · · ·++(pm − qm)ωm, E − единичная матрица порядка l. Очевидно, что

det ˜B 6= 0, поэтому искомые коэффициенты однозначно выражаются черезэлементы матриц C(s), являясь при этом линейной комбинацией параметровα1, · · · , αm, αm+1.

Аналогично, коэффициенты формы V (4) можно выбрать таким образом,чтобы

V (4) =

m∑

p=2

GPyPyP ,

где коэффициенты GP представляют собой комбинации различных произве-

дений коэффициентов k(s)

PQна элементы матриц D(s) и, следовательно, они

могут быть записаны в виде

GP = α1G(1)

P+ · · · + αmG

(m)

P+ αm+1G

(m+1)

P. (10)

79


Величины G(s)

P, s = 1,m, называют коэффициентами устойчивости, они за-

висят от коэффициентов правых частей системы (6) (и не зависят от мно-жителей αs) и позволяют применять теоремы Ляпунова или Четаева, т. е.делать заключение об устойчивости (неустойчивости) изучаемого решения.Для этой цели можно использовать теоремы монографии [10], которые даютнеобходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости1 и доста-точные условия неустойчивости. Отметим, что для конкретных механическихсистем в случае m > 2 проверка этих условий достаточно сложна, посколь-ку коэффициенты правых частей системы (5) обычно зависят от несколькихпараметров (распределение масс системы, упругие характеристики и пр.),и задача сводится к решению системы неравенств высокой степени. Поэтомумы ограничимся здесь случаем m = 2. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть для функции Ляпунова, построенной согласно описан-ной выше процедуре, имеет место один из следующих случаев:

A1. G(1)

20< 0, G

(2)

02< 0, G

(1)

11≤ 0, G

(2)

11≤ 0;

A2. G(1)

20< 0, G

(2)

02< 0, minG(1)

11, G

(2)

11 ≤ 0, maxG(1)

11, G

(2)

11 > 0;

Б. G(1)

20< 0, G

(2)

02< 0, G

(1)

11> 0, G

(2)

11> 0, G

(1)

20G

(2)

02> G

(1)

11G

(2)

11;

В. G(1)

20> 0, или G

(2)

02> 0, или G

(1)

20G

(2)

02< G

(1)

11G

(2)

11(G

(1)

11> 0).

Тогда в случаях А, Б тривиальное решение системы (6) асимптотическиустойчиво, а в случае В – неустойчиво.

Заметим, что справедливость первой части утверждения следует из ре-зультатов работы [11], поскольку при этом отсутствуют нейтральные и не-устойчивые лучи. Часть утверждения леммы, касающаяся неустойчивости,доказывается с помощью теоремы Четаева [8] (с двумя функциями). Фор-мальное доказательство довольно громоздкое, поэтому мы отметим только,что оно проводится подобно доказательству теоремы 2.1 из [15].

Рассмотрим также систему

dx

dt= X0(x, ξ) +X

(3)

1(x) +X

(3)

2(x, ξ) + · · · ,

(11)dξ

dt= Ξ0(x, ξ) +Ξ

(2)

1(x, ξ) + · · · .

Здесь через X0(x, ξ),Ξ0(x, ξ) обозначены правые части системы (5), X(3)

1,

X(3)

2, Ξ

(2)

1− однородные формы указанных переменных, X

(3)

2(x,0) = 0,

Ξ(2)

1(x,0) = 0, многоточием обозначена совокупность слагаемых более высо-

кого порядка.Пусть, как и ранее, x = Λz – линейное нормализующее преобразование

для критических переменных. Обозначим Z1 = (Y1,Y 1)T = Λ

−1X(3)

1(Λz), а

1За исключением некоторых предельных случаев.

80


j-ю компоненту вектора Y1 представим в виде

∑

p+q=3

g(j)

PQyP yQ.

Введем в рассмотрение также Ij – m-мерный индекс, компонентами которогоявляются символы Кронекера δjs. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если коэффициенты, вычисленные для модельной системы(6), таковы, что

∑

GPyPyP является отрицательно определенной формой

при некоторых положительных множителях α1, · · · , αm+1,2 и форма X

(3)

1,

такова, что

Re g(j)

PP−Ij= 0, j = 1,m, (12)

то нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво при любых

X(3)

2, Ξ

(2)

1.

Доказательство. Добавим вначале в правую часть системы (5) только

X(3)

1(x) и выполним построение ФЛ согласно описанной выше процедуре.

Очевидно, что сделанное изменение повлияет на вид V (4)(z), но не повлия-

ет на ˜V(2)

s (z). Учитывая также условия (12), можно видеть, что выражениядля GP не изменятся. Изменится совокупность слагаемых четвертого поряд-

ка в самой функции (обозначим новую форму четвертого порядка через ˜V (4))

и слагаемые порядка малости выше четвертого в V . Однако это не изменитзнакоопределенности V (z, ξ) и ее производной, поэтому условия теоремы Ля-пунова по-прежнему будут соблюдены.

Возьмем теперь ФЛ в виде (7) с V (4), замененной на ˜V (4), и найдем полнуюпроизводную по времени в силу системы (11)

V = V0(z, ξ) + 〈gradV (2)

0(z),Z

(3)

2(z, ξ)〉 + 〈gradV (2)(ξ),Ξ

(2)

1(z, ξ)〉+

+〈gradξV (3)(z, ξ),Ξ(2)

1(z, ξ)〉+..., V0(z, ξ) = −α3U

(2)(ξ)+∑

p=2

GP yP yP . (13)

Второе и четвертое слагаемые в правой части V из (13) содержат критиче-ские переменные z в третьей степени, некритические ξ – в первой степени и,как следствие, имеют более высокий порядок малости, чем V0. Третье слага-емое содержит критические переменные z в первой степени, некритическиеξ – во второй и имеют более высокий порядок малости, чем U (2)(ξ), а зна-

чит, и V0. Следовательно, V является отрицательно определенной функциейотносительно переменных z, ξ.

2В частности, если выполнены условия А,Б леммы.

81


3. Построение функции Ляпунова для изучаемой системы. Вос-пользуемся результатами предыдущего пункта для построения функции Ля-пунова. Удостоверимся вначале, что ω1 6= ω2. В самом деле,

b2−4ac = [m2+m3ξ2

0−l1(m3ξ0+m2)]2+12m2m3ξ0(m2+m3ξ0)+4(m3

3ξ3

0+m3

3) > 0.

Заметим, что для произвольной конфигурации рассматриваемой механи-ческой системы формулы преобразования довольно объемные, поэтому мыограничимся случаем одинаковых звеньев, т. е. l1 = l2 = l, m1 = m2 = m,кроме того, положим m3 = m/2, ξ0 = 1/2.

С целью привести уравнения (1) к виду (5) воспользуемся переменнымиГамильтона. Введем обычным образом [16] обобщенные импульсы

p1 =5

2ϕ1 + ϕ2 cos(ϕ1 − ϕ2) +

1

2ξϕ2 cos(ϕ1 − ϕ2)−

1

2ξ sin(ϕ1 − ϕ2),

p2 = ϕ2 +1

2ξ2ϕ2 + ϕ1 cos(ϕ1 − ϕ2) +

1

2ξϕ1 cos(ϕ1 − ϕ2),

p3 =1

2ξ − 1

2ϕ1 sin(ϕ1 − ϕ2).

Функция Гамильтона имеет вид H = H(2) +H(3) +H(4) + ... , где

H(2) =9

20p21 − p1p2 + p22 + p23 +

5

4ϕ2

1 +5

8ϕ2

2 +1

2kξ2,

H(3) =1

5p21ξ −

2

5p1ξp2 +

9

10ϕ1p1p3 −

9

10ϕ2p1p3 − ϕ1p2p3 + ϕ2p2p3 +

1

4ϕ2

2ξ,

H(4) = − 9

25ϕ2

1p2

1 +18

25ϕ1ϕ2p

2

1 −4

25p21ξ

2 − 9

25ϕ2

2p2

1 +13

10ϕ2

1p1p2 −13

5ϕ1ϕ2p1p2+

+4

5p1p2ξ

2 +13

10ϕ2

2p1p2 +2

5ϕ1ξp1p3 − ϕ2

1p2

2 + 2ϕ1ϕ2p2

2 −4

5p22ξ

2 − ϕ2

2p2

2−

−2

5ϕ1ξp2p3 +

2

5ϕ2ξp2p3 +

9

20ϕ2

1p2

3 −9

10ϕ1ϕ2p

2

3 +9

20ϕ2

2p2

3 −5

48ϕ4

1 −5

96ϕ4

2.

Получаем систему вида (5) при

A =

0 0 9

10−1

0 0 −1 2−5

20 0 0

0 −5

40 0

, ˜C(1) =

0 0 2

5−2

5

0 0 −2

50

0 0 0 00 −1

20 0

,

˜C(2) =

9

10− 9

100 0

−1 1 0 00 0 − 9

101

0 0 9

10−1

, x =

ϕ1

ϕ2

p1p2

, ξ =

(

ξp3

)

,

82


ξ′1 = 2ξ2 −9

10p1ϕ2 +

9

10p1ϕ1 + p2ϕ2 − p2ϕ1,

ξ′2 = −kξ1 −1

5p21 +

2

5p1p2 −

1

4ϕ2

2 − h(2ξ2 −9

10p1ϕ2 +

9

10p1ϕ1 + p2ϕ2 − p2ϕ1).

Учитывая, что ω1 =√

38− 2√201/4, ω2 =

√

38 + 2√201/4, вычисляем

матрицу преобразования

Λ =

1 1 1 11.3177 −1.5177 1.3177 −1.51773.2199i 1.2276i −3.2199i −1.2276i2.1215i −0.9316i −2.1215i 0.9316i

.

Выполним преобразование x = Λy. Система (6) запишется в виде

y′ = J1y +C(1)ξ1y +C(2)ξ2y,

y′ = J1y +C(1)

ξ1y +C(2)

ξ2y, (14)

ξ′1 = 2ξ2+2.6019i(y1 y2−y2y1)−1.3077i(y1 y2−y1y2)−0.2467i(y21−y21)+5.1273i(y22−y22),

ξ′2 = −kξ1 − hξ2 − 0.7393(y1 y2 + y2y1) + 2.7393(y1 y2 + y1y2) + 0.183(y22 + y22)−−1.093(y21 + y21) + 0.4495y1y1 − 2.6695y2y2,

где y =

(

y1y2

)

, J1 = diag(iω1, iω2). Матрицы C(1), C(2) − прямоуголь-

ные матрицы 4× 2, состоящие из 1 и 2 строк матриц Λ−1˜C(1)

Λ и Λ−1˜C(2)

Λ

соответственно.Определим квадратичную форму V (2)(ξ) = (ξ2

1+ 2k1ξ1ξ2 + k2ξ

22)/2, где

k1 > 0, k2 > 0, k2 > k21. Подберем коэффициенты k1, k2 таким образом, чтобы

производная от V (2) в силу линейной части системы (14) была отрицательноопределенной. Имеем

V (2)(ξ) = −kk1ξ2

1 + (2− hk1 − kk2)ξ1ξ2 + (2k1 − hk2)ξ2

2 .

Положим k2 = (2− k1h)/k. Тогда при выборе произвольного достаточномалого значения для k1 получаем отрицательно определенную квадратичнуюформу V (2)(ξ).

С учетом вышеизложенного материала запишем ФЛ в виде

V (y,y, ξ) = α1y1y1+α2y2y2+α3V(2)(ξ)+ξ1(k

(1)

200y21+k

(1)

110y1y2+k

(1)

101y1y1+k

(1)

020y22+

+k(1)

011y2y1+k

(1)

010y2y2+k

(1)

200y21+k

(1)

110y1y2+k

(1)

020y22+k

(1)

011y1y2)+ξ2(k

(2)

200y21+k

(2)

110y1y2+

+k(2)

101y1y1+ k

(2)

020y22 + k

(2)

011y2y1+ k

(2)

010y2y2+ k

(2)

200y21 + k

(2)

110y1y2+ k

(2)

020y22 + k

(2)

011y1y2),

где αj , (j = 1, 2, 3) – некоторые вещественные, а k(1)

npq, k(2)

npq – комплексныепостоянные.

83


Выражения для констант Gnp примут вид

G20 = Re[k(2)

200(−2.186 − 0.4934ih) + 0.899k

(2)

101+ 0.4934i(k

(1)

200− k

(1)

200)+

+k(2)

200(−2.186 + 0.4934ih)], G02 = Re[−10.2546i(k

(1)

020− k

(1)

020+ k

(2)

020h)−

−5.339k(2)

010+ k

(2)

020(0.366 + 10.25466ih)], G11 = Re[−0.7393(k

(2)

011+ k

(2)

011)+

+2.7393(k(2)

110+ k

(2)

110)− 2.6695k

(2)

101− 2.6019i(k

(1)

011− k

(1)

011− hk

(2)

011+ hk

(2)

011)−

−1.3077i(k(1)

110− k

(1)

110− hk

(2)

110+ hk

(2)

110) + 0.4495k

(2)

010].

Постоянные k(1)

npq, k(2)

npq определяются из условия V ′(3)(ξ1, ξ2) = 0. Имеем

k(1)

200= −α1(1.6191k − 0.2002k2 + 1.4634ikh − 1.6609 − 2.7553h2)

23.5476h2 + 9.7656k2 − 23.5476k + 14.1949,

k(2)

200=

−4.6829α1(−37.6762i + 31.25ik − 48.5259h)

2354.7623h2 + 976.5625k2 − 2354.7623k + 1419.4958,

k(1)

110=

α1(0.0187ikh − 0.1601h2 − 0.3167 + 0.1338k − 0.0136k2)

1.9781h2 + 0.25k2 − 1.9781k + 3.9128+

+α2(0.0426ihk + 0.3047k − 0.0309k2 − 0.3646h2 − 0.7212

1.9781h2 + 0.25k2 − 1.9781k + 3.9128, k

(2)

101= 0,

k(2)

110=

α1(1.8702ik − 5.2605h − 7.3986i) + α2(4.2588ik − 11.9796h − 16.8486i)

197.8069h2 + 25k2 − 197.8069k + 391.2759,

k(1)

020= −α2(−204.7698k + 29.252 + 24.2626k2 + 97.0881ikh + 7.0535h2)

414.7181h2 + 25k2 − 414.7181k + 1719.9109,

k(2)

020= − α2[i(0.9709k − 8.0528) − 3.9543h]

4.1472h2 + 0.25k2 − 4.1472k + 17.1991,

k(1)

011= −α1(1.8702ihk + 2.7033k2 − 3.1138k + 0.7683 + 1.9356h2)

39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554−

−α2(7.0911k − 6.1561k2 − 1.7496 − 4.2588ihk − 4.4079h2)

39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554, k

(2)

010= 0,

k(2)

011= −α1(1.8702ik − 1.4846i − 2.3565h) + α2(3.3809i − 4.2588ik + 5.3664h)

39.6931h2 + 25k2 − 39.6931k + 15.7554.

С учетом этого выражения для Gnp перепишутся в виде

G20 = − 0.3480α1h

h2 + 0.4147k2 − k + 0.6028, G11 = G10 +G01,

G10 = α1h(0.1069

h2 + 0.6298k2 − k + 0.3969− 0.0479

h2 + 0.1264k2 − k + 1.9781),

84


G01 = −α2h(0.1090

h2 + 0.1264k2 − k + 1.9781+

0.2433

h2 + 0.6298k2 − k + 0.3969),

G02 = − 39.1257α2h

h2 + 0.0603k2 − k + 4.1472.

Нетрудно убедиться, что все знаменатели в этих выражениях положи-тельны. Таким образом, G20 < 0, G01 < 0, G02 < 0 при любых значенияхk и h, а G10 может менять знак. Следовательно, найденные выражения дляконстант G удовлетворяют пункту А леммы.

Покажем, что выполнены условия теоремы. Для этого необходимо прове-рить выполнимость условия (12). Используя выражение для H(4), запишем

вектор-функцию X(3)

1, компоненты которой суть формы третьего порядка

от критических переменных

X(3)

1=

−18

25ϕ21p1 +

36

25ϕ1ϕ2p1 − 18

25ϕ22p1 +

13

10ϕ21p2 − 13

5ϕ1ϕ2p2 +

13

10ϕ22p2

13

10ϕ21p1 − 13

5ϕ1ϕ2p1 − 2ϕ2

1p2 +

13

10ϕ22p1 − 2ϕ2

2p2 + 4ϕ1ϕ2p2

18

25ϕ1p

21− 18

25ϕ2p

21+ 5

12ϕ31− 13

5ϕ1p1p2 +

13

5ϕ2p1p2 + 2ϕ1p

22− 2ϕ2p

22

−18

25ϕ1p

21+ 18

25ϕ2p

21+ 13

5ϕ1p1p2 − 13

5ϕ2p1p2 +

5

24ϕ32+ 2ϕ2p

22− 2ϕ1p

22

.

Учитывая преобразование x = Λy, получаем g(1)

2010= −0.2388i, g

(1)

1101=

= 0.6433i, g(2)

1101= 1.4650i, g

(2)

0201= −14.7693i.

Таким образом, условия теоремы выполнены. Следовательно, решение (2)рассматриваемой механической системы асимптотически устойчиво.

Заключение. В данной статье рассмотрена задача о влиянии демпферапассивного типа на устойчивость нижнего положения равновесия двойно-го маятника. Демпфер моделируется посредством массы, присоединенной кодному из звеньев маятника с помощью вязкоупругого шарнира. Для реше-ния задачи использован “прямой” подход при построении функции Ляпуновав критическом случае двух пар чисто мнимых корней. Показано, что введениедемпфера в систему делает нижнее положение равновесия асимптотическиустойчивым.

1. Chinnery A.E., Hall C.D. Motion of a Rigid Body with an Attached Spring-Mass Damper// J. of Guidance, Control, and Dynamics. – 1995. – 18, No. 6. – P. 1404–1409.

2. Liu K., Liu J. The damped dynamic vibration absorbers: revisited and new result // J. ofSound and Vibration. – 2005. – 284. – P. 1181–1189.

3. Peiffer K., Savchenko A.Ya. On Passive Stabilization in Critical Cases // J. Math. Anal.Appl. – 2000. – 244. – P. 106–119.

4. He C., Liu G., Yang L., Tian Y. On the passive stabilization of the equilibrium state ofLagrangian systems // Acta Mechanica. – 1999. – 134, No. 1. – P. 17–26.

5. Viet L.D., Anh N.D., Matsuhisa H. The effective damping approach to design a dynamicvibration absorber using Coriolis force // J. of Sound and Vibration. – 2011. – 330. –P. 1904–1916.

85


6. Савченко А.Я., Позднякович А.Е. Пассивная стабилизация малых колебаний физи-ческого маятника относительно наклонной оси // Механика твердого тела. – 2003. –Вып. 33. – С. 97–100.

7. Савченко А.Я., Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация положенияравновесия двузвенного маятника с упругими связями // Механика твердого тела. –2006. – Вып. 36. – С. 104–113.

8. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990. – 176 с.9. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.10. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1972. –

214 с.11. Молчанов А. М. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения //

Докл. АН СССР. – 1961. – 141, 1. – С. 24–27.12. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. // Изв. АН СССР.

Сер. матем. – 1964. – 28, вып. 6. – С. 1297–1324.13. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1984.

– 320 с.14. Грушковская В. В., Зуев А. Л. Асимптотическое поведение решений системы с кри-

тическими переменными в случае двух пар чисто мнимых корней. // Динамическиесистемы. – 2011. – 1(29), вып. 2. – С. 207–218.

15. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных дина-мических систем. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике (2-е изд.). – М.: Наука, 1966. –300 с.

V.E. Puzyrev, N.V. Savchenko

Asymptotic stability of equilibrium of the double pendulumwith the mass attached

We consider the stability problem of the equilibrium of the double pendulum with the massattached. The linear approximation cannot give a solution, because the critical case of purelyimaginary roots holds. Therefore, Lyapunov’s direct method is applied. Lyapunov function isconstructed accordingly the approach introduced by A.Ya. Savchenko, and slightly modified dueto special features of the problem. It is proved, that due to the mass influence the equilibriumof the pendulum becomes asymptotically stable.

Keywords: damper of passive type, asymptotic stability, Lyapunov function, the critical case.

В.Є. Пузирьов, Н.В. Савченко

Асимптотична стiйкiсть стану рiвноваги подвiйного маятниказ доданою масою

Розглянуто задачу про вплив приєднаної маси на стiйкiсть нижнього стану рiвноваги по-двiйного маятника. Розгляд лiнiйного наближення не дозволяє розв’язати задачу, оскiлькимає мiсце критичний випадок суто уявних коренiв, внаслiдок чого для дослiдження засто-совано прямий метод Ляпунова. Функцiя Ляпунова будується згiдно з методикою О.Я. Сав-ченка, дещо модифiкованою з урахуванням особливостей задачi. Встановлено, що доданнямаси робить стан рiвноваги маятника асимптотично стiйким.

Ключовi слова: демпфер пасивного типу, асимптотична стiйкiсть, функцiя Ляпунова,критичний випадок.


[email protected]


86


УДК 62-50

c©2014. В.Ф.Щербак

НЕЛИНЕЙНЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ ТОЧКИ

Рассмотрена задача определения пространственных координат движущейся точки по ееплоскому изображению. В предположении, что закон движения точки задан, построен не-линейный наблюдатель, обеспечивающий экспоненциальную оценку неизвестных коорди-нат. Использован метод управляемого синтеза инвариантных соотношений в задачах на-блюдения динамических систем. Уравнения движения точки относительно камеры допол-нены дифференциальными уравнениями наблюдателя, содержащими управления. Решеназадача синтеза управлений, обеспечивающих существование инвариантного соотношения,связывающего известные и неизвестные компоненты математической модели.

Ключевые слова: нелинейный наблюдатель, инвариантные соотношения, фотограм-метрия.

1. Постановка задачи наблюдения. Задача нахождения простран-ственных координат точки по данным видеорегистрации ее движения явля-ется актуальной при разработке систем управления и навигации с использо-ванием систем обработки изображений. В фотограмметрии [1] метод ее реше-ния связан с получением двух или более плоских изображений точки. Методоснован на модели перспективной проекции, при которой пространственныекоординаты точки M(X,Y,Z), заданные в некоторой системе координат, атакже координаты ее изображения – точки m(y1, y2) в картинной плоскости– связаны дробно-линейным отображением

y1 =c11X + c12Y + c13Z + c14c31X + c32Y + c33Z + c34

, y2 =c21X + c22Y + c23Z + c24c31X + c32Y + c33Z + c34

. (1)

Соотношения (1) зависят от 12 параметров cij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, которыехарактеризуют ориентацию, положение и характеристики фотокамеры, такиекак фокусное расстояние, параметры внутренней и внешней калибровки.

В основной задаче фотограмметрии пространственные координаты точкиM(X,Y,Z) подлежат определению по информации об y1, y2. Поскольку в мо-дели перспективной проекции три величины X,Y,Z связаны лишь двумя ал-гебраическими равенствами (1), то неизвестные X,Y,Z определяются путемизмерений, выполняемых по двум или более фотографиям, снятым из разныхположений.

В то же время, если координаты точки M меняются со временем и за-кон изменения X(t), Y (t), Z(t) описывается известной системой дифферен-циальных уравнений, то такого рода дополнительная информация в рядезадач управления позволяет не привлекать данные о дополнительных изо-бражениях. В частности, в теории визуального управления [2] использованиединамических уравнений для функций y1(t), y2(t) позволяет решать задачи

87

В.Ф. Щербак

определения комплекса параметров космического аппарата, снабженного ви-деокамерой. В терминах теории управления, если точка M характеризуетсостояние некоторой динамической системы, то задача нахождения ее про-странственных координат может быть рассмотрена как задача наблюденияпеременных X,Y,Z по видеоинформации от одной камеры [3].

Задача 1. Пусть закон движения точки M(X,Y,Z) задан в виде си-стемы обыкновенных дифференциальных уравнений, а значения y1(t), y2(t)доступны измерению. Требуется по этой информации определить величиныX(t), Y (t), Z(t).

Если величины cij , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, известны, то соотношения(1) могут быть преобразованы к виду [1]

y1 = fX

Z, y2 = f

Y

Z, (2)

где f — фокусное расстояние объектива камеры. Предположим, что движениеточки M(X,Y,Z) относительно камеры также известно: а именно, она уча-ствует во вращательном движении относительно начала координат с угловойскоростью ω(t) = (ω1(t), ω2(t), ω3(t)) и перемещается с переносной линейнойскоростью v(t) = (v1(t), v2(t), v3(t)). Тогда скорость точки M(X,Y,Z) в инер-циальной системе координат удовлетворяет системе линейных дифференци-альных уравнений с переменными коэффициентами

X1 = ω2Z − ω3Y + v1,

Y2 = ω3X − ω1Z + v2, (3)

Z3 = ω1Y − ω2X + v3.

Выходом системы (3) являются функции (2) – координаты изображения точ-ки M .

Предположение. Естественно предполагать, что ω(t), v(t) являютсяограниченными функциями времени, а движение материальной точки M втечение всего процесса наблюдения происходит в некоторой ограниченнойобласти D ⊂ R3 с известными границами. Поэтому далее будем считать, что∀t > 0 : |X(t)| ≤ Xmax, |Y (t)| ≤ Ymax, |Z(t)| ≤ Zmax. Кроме того, переменнаяZ(t), характеризующая расстояние точки M до фокальной плоскости, всегдабольше нуля: Z(t) ≥ Z0 > 0.

Перейдем в системе (3) к переменным y1, y2, y3, где y3 = f 1

Z. Положим, не

ограничивая общности, f = 1. Тогда уравнения (3) примут вид

y1 = −ω3y2 + y3(v1 − v3y1)− ω1y1y2 + ω2(1 + y21),

y2 = ω3y1 + y3(v2 − v3y2) + ω2y1y2 − ω1(1 + y22), (4)

y3 = (ω2y1 − ω1y2)y3 − v3y2

3.

Переменные X,Y,Z и y1, y2, y3 связаны соотношениями, которые, в усло-виях сделанного предположения, являются взаимно-однозначными. Следо-вательно, исходная задача 1 равносильна задаче наблюдения динамической

88

Нелинейный наблюдатель в задаче определения пространственных координат точки

системы (4). Использование асимптотических схем решения задачи наблюде-ния приводит к следующей постановке.

Задача 2. По информации о значениях выхода системы (4) – фазовыхпеременных y1(t), y2(t) – требуется асимптотически точно оценить значенияпеременной y3(t).

2. Синтез семейства инвариантных соотношений. Для решениязадачи 2 воспользуемся методом получения асимптотических оценок неизве-стных компонент фазового вектора [4, 5]. Метод основан на синтезе семействаинвариантных соотношений, выражающих искомые переменные как функцииот известных величин.

Согласно этому методу построим вспомогательную систему дифференци-альных уравнений c фазовым вектором p = (p1, p2, p3), которая имеет ту жеструктуру, что и (4):

p1 = −ω3y2 + p3(v1 − v3y1)− ω1y1y2 + ω2(1 + y21) + u1(y1, y2, p),

p2 = ω3y1 + p3(v2 − v3y2) + ω2y1y2 − ω1(1 + y22) + u2(y1, y2, p), (5)

p3 = (ω2y1 − ω1y2)p3 − v3p2

3 + u3(y1, y2, p).

Переменные p1, p2 в правых частях (5) заменены на известные функцииy1(t), y2(t). Кроме того, вспомогательная система является управляемой, таккак включает аддитивные управляющие воздействия u = (u1, u2, u3). Отме-тим, что если выбрано какое-либо начальное условие p(0) и зафиксированоуправление u(y1, y2, p), то значения p(t) могут быть найдены в результате ре-шения задачи Коши для системы (5). Это обстоятельство позволяет отнестивектор p(t) к классу известных величин, посредством которых далее будутпостроены оценки y3(t).

Введем обозначения для отклонений решения системы (5) от решенийсистемы (4): ei = pi − yi, i = 1, 2, 3. Вычитая из (5) уравнения (4), получаемсистему дифференциальных уравнений в отклонениях

e1 = (v1 − v3y1)e3 + u1(y1, y2, p),

e2 = (v2 − v3y2)e3 + u2(y1, y2, p), (6)

e3 = (ω2y1 − ω1y2)e3 − v3(2p3 − e3)e3 + u3(y1, y2, p).

Поскольку y3(t) = p3(t) − e3(t), то получение асимптотической оценки пере-менной e3(t) равносильно решению задачи 2.

На первом этапе подберем управления таким образом, чтобы пере-менная e3(t) на решениях системы дифференциальных уравнений (6) мо-гла быть представлена в виде некоторой функции от известных величинy1(t), y2(t), e1(t), e2(t), p(t).

Обозначим Fx = ∂F/∂x – частную производную функции F по соответ-ствующему аргументу.

Утверждение 1. Для любой дифференцируемой по своим аргументамфункции Φ(e1, e2, p3) такой, что

∀t > 0 : Φp3(e1, e2, p3) 6= 1,

89

В.Ф. Щербак

существует управление u = (u1, u2, u3), при котором некоторое семейство ре-шений системы дифференциальных уравнений (6) удовлетворяет скалярномуинвариантному соотношению

e3 = Φ(e1, e2, p3). (7)

Действительно, пусть Φ(e1, e2, p3) – некоторая функция, удовлетворяю-щая условиям утверждения 1. Соотношение (7) описывает в фазовом про-странстве расширенной системы (4), (6) многообразие. Введем переменнуюη, характеризующую отклонение решений системы от этого многообразия

η = e3 − Φ(e1, e2, p3). (8)

В качестве первых двух компонент вектора управления возьмем функции

u1 = (v3y1 − v1)Φ, u2 = (v3y2 − v2)Φ. (9)

Обозначим α1 = v1 − v3y1, α2 = v2 − v3y2, w = ω2y1 − ω1y2 и перейдем вуравнениях (6) к переменным e1, e2, η. В результате имеем

e1 = α1η,

e2 = α2η, (10)

η = [w + 2v3(Φ − p3)− α1Φe1− α2Φe2

]η + v3η2 +Ψ(u3,Φ,Φp3

),

где Ψ(u3,Φ,Φp3) = (1− Φp3

)u3 − Φp3(wp3 − v3p3

2) + (w + v3Φ− 2v3p3)Φ.Утверждение 1 будет доказано, если удастся подобрать остающееся пока

свободным управление u3 так, что система (10) будет иметь решения вида

e1 = C1, e2 = C2, η = 0, C1, C2 − const.

Из вида (10) следует, что для этого достаточно обеспечить выполнение ра-венства Ψ(u3,Φ,Φp3

) ≡ 0. Тогда соответствующее управление равно

u3 =Φp3

(wp3 − v3p32)− (w + v3Φ− 2v3p3)Φ

1−Φp3

, (11)

а уравнения (10) упрощаются:

e1 = α1η,

e2 = α2η, (12)

η = [w + 2v3(Φ− p3)− α1Φe1− α2Φe2

]η + v3η2.

Последняя система допускает семейство решений e1 = C1, e2 = C2, η = 0,что означает существование инвариантного соотношения (7). Утверждениедоказано.

С учетом проделанных построений на любых решениях расширенной си-стемы дифференциальных уравнений (4), (5) неизвестная компонента y3(t)может быть представлена в виде

y3(t) = p3(t)− Φ(p1(t)− y1(t), p2(t)− y2(t), p3(t))− η(t). (13)

90


3. Асимптотическое оценивание. Второй этап решения задачи на-блюдения связан с использованием формулы (13) для получения асимпто-тической оценки значений функции y3(t). Наличие у системы (12) инвари-антного соотношения (7) означает, что если начальные условия для решенийвспомогательной системы (5) с управлениями (9), (11) выбраны из условияy3 = p3−Φ(p1−y1, p2−y2, p3), то η(t) ≡ 0 и формула (13) дает точное решениезадачи наблюдения. Но, так как значения y3(t) неизвестны ни для какого мо-мента времени, то, в общем случае, подобрать соответствующие начальныеусловия в задаче Коши для системы (5) не представляется возможным.

Чтобы использовать равенство (13) для оценки компоненты y3(t) на лю-бом решении системы дифференциальных уравнений (5) требуется, чтобыlimt→∞

η(t) = 0, т. е. решения системы (12) должны обладать свойством асимп-

тотической устойчивости относительно части переменных – переменной η.Так как вид управлений уже фиксирован формулами (9), (11), то для выпол-нения этого требования в нашем распоряжении остается выбор функцииΦ(e1, e2, p3). Выберем ее так, чтобы коэффициент при переменной η в по-следнем уравнении системы (12) был равен λ, где λ – некоторая отрицатель-ная постоянная:

ω2y1 − ω1y2 + 2v3(Φ− p3)− (v1 − v3y1)Φe1− (v2 − v3y2)Φe2

= λ . (14)

Равенство (14) можем рассматривать как уравнение в частных производныхпервого порядка относительно функции Φ(e1, e2, p3). Одно из его частныхрешений имеет вид

Φ(e1, e2, p3) = p3

[

1 + exp

(

2v3e1v3y1 − v1

)]

+λ− ω2y1 + ω1y2

2v3. (15)

Так как Φp3= 1 + exp(

2v3e1v3y1 − v1

) 6= 1, то условие утверждения 1 выполнено,

функция Φ(e1, e2, p3) является допустимой и окончательно система диффе-ренциальных уравнений (12) принимает вид

e1 = α1η,

e2 = α2η, (16)

η = λη + v3η2.

Последнее уравнение системы (16) является уравнением Бернулли. Его общеерешение имеет вид

η(t) =η0e

λt

1− η0t∫

0

v3(τ)eλτdτ

. (17)

Чтобы обеспечить limt→∞

η(t) = 0, выберем λ < 0 из условия: знаменатель

(17) должен быть отделен от нуля, например, быть больше некоторой по-стоянной γ, где 0 < γ < 1. Для этого достаточно выполнения неравенства

91

В.Ф. Щербак

η0t∫

0

v3(τ)eλτdτ < 1−γ. В силу сделанного предположения об ограниченности

функции v(t) и области, в которой происходит движение, начальное значениеη0 < ηmax

0и v3(t) < vmax

3. Здесь vmax

3известна, а оценка величины ηmax

0мо-

жет быть получена из соотношения (13) при конкретном значении функцииΦ(p1(t) − y1(t), p2(t) − y2(t), p3(t)). С учетом отрицательности λ имеет местонеравенство

η0

t∫

0

v3(τ)eλτdτ ≤

∣

∣

∣

∣

ηmax0

vmax3

λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣eλt − 1

∣

∣

∣≤

∣

∣

∣

∣

ηmax0

vmax3

λ

∣

∣

∣

∣

. (18)

Пусть параметр λ выбран из условия λ < −|ηmax0

vmax3

|1− γ

, тогда для переменной

η(t) справедлива оценка

η(t) =η0e

λt

1− η0t∫

0

v3(τ)eλτdτ

< γeλt. (19)

Используя формулу (15) для функции Φ(p1(t)− y1(t), p2(t)− y2(t), p3(t)) иравенство (13) для оценки y3(t), окончательно получаем

Утверждение 2. Пусть компоненты y1(t), y2(t) фазового вектора систе-мы (4) являются известными функциями времени. Тогда для всякого реше-ния вспомогательной системы дифференциальных уравнений (5), замкнутойуправлениями (9), (11), и достаточно большой по модулю отрицательной по-стоянной λ, значения переменной y3(t) могут быть оценены по формуле

y3 =ω2y1 − ω1y2 − λ

2v3− p3 exp

(

2v3p1 − y1v3y1 − v1

)

. (20)

Указанная оценка является экспоненциальной и имеет постоянный показа-тель затухания, равный |λ|.

Заключение. В работе метод синтеза инвариантных соотношений в за-дачах наблюдения использован для определения пространственных коорди-нат движущейся точки по ее изображению. Согласно этому методу, урав-нения исходной динамической системы (4) дополнены дифференциальнымиуравнениями наблюдателя (5), которые зависят от управлений. Для полу-ченной расширенной системы решена задача синтеза управлений, при ко-торых любое конечное соотношение из некоторого семейства, связывающегоискомую компоненту фазового вектора и известные величины, становитсяинвариантным соотношением для расширенной системы дифференциальныхуравнений. Всякое такое соотношение может быть рассмотрено как допол-нительная информация о неизвестной компоненте фазового вектора. При-меняемый подход сводит задачу наблюдения к выбору таких функций Φ из

92


полученного семейства, которые гарантируют асимптотическое стремление кнулю отклонений от построенного инвариантного соотношения.

1. Бобир Н.Я., Лобанов А.Н., Федорук Г.Д. Фотограмметрия. – М.: Недра, 1974. – 471 с.2. Лебедев Д.В. Ткаченко А.Н. Навигация и управление ориентацией малых космиче-

ских аппаратов. – Киев: Наук. думка, 2006. – 298 с.3. Dixon W. Range identification for perspective vision system // IEEE Trans. Automatic

Control. – 2003. – 47, 12. – P. 2232–2238.4. Щербак В.Ф. Синтез дополнительных соотношений в задаче наблюдения // Тр.

ИПММ НАН Украины. – 2003. – 8. – С. 229–235.5. Shcherbak V.F. Synthesis of virtual measurements in nonlinear observation problem //

Proc. Appl. Math. and Mech. (PAMM). – 2004. – 4. – Issue 1. – P. 139–140.

V.F. Shcherbak

Nonlinear observer in the problem of a point 3−D coordinates determination

In this paper, the method of synthesis of invariant relations in observation theory is developed todetermine the three-dimensional coordinates of a point moving with known motion dynamics bythe data from a single camera. The method consists in the expansion of the original dynamicalsystem by equations of its controlled prototype. Controls in the additional system are used forthe synthesis of some invariant relation for the extended system. Such relation is consideredin observation problems as additional equation for unknown component of the mathematicalmodel.

Keywords: nonlinear observer, invariant relations, photogrammetry.

В.Ф.Щербак

Нелiнiйний спостерiгач у задачi визначення просторових координат точки

У роботi метод синтезу iнварiантних спiввiдношень в задачах управлiння використано дляпобудови узагальненого спостерiгача в задачi фотограмметрiї, яка пов’язана з вiдновлен-ням просторових координат точки за її зображенням. Згiдно цього методу, рiвняння рухуточки вiдносно камери доповнено рiвняннями спостерiгача, що мiстять управлiння. Основ-на iдея методу – синтез управлiнь з метою побудови iнварiантного спiввiдношення, якезв’язує на траєкторiях розглянутих систем вiдомi i невiдомi компоненти математичної мо-делi.

Ключовi слова: нелiнiйний спостерiгач, iнварiантнi спiввiдношення, фотограмметрiя.


[email protected]


93


УДК 531.38

c©2014. Т.Н. Астахова

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИИНТЕГРАТОРА БРОКЕТТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМНЕСТАЦИОНАРНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

C помощью функции Ляпунова описано предельное поведение решений управляемых сис-тем. Рассмотрена система Брокетта с четырьмя управлениями, для которой решена задачастабилизации. Исследованы свойства πτ -решения на интервале гладкости функции управ-ления [0, τ ].

Ключевые слова: система Брокетта, управляемая функция Ляпунова, ряд Вольтерры,πτ -решение.

В настоящее время задача стабилизации программных движений управ-ляемых систем, подчиненных неголономным связям, занимает особое мес-то в исследовании движения механических систем. Среди различных реше-ний проблемы стабилизации наиболее общим и корректным признан подходА.М.Ляпунова. Ляпуновым было предложено использование вспомогатель-ных функций, что позволяет исследовать устойчивость, не находя самих ре-шений уравнений, что доказывает эффективность прямого метода Ляпунова.Однако построение данной вспомогательной функции представляет некото-рую трудность.

Р. Брокетт в работе [1] представил модельный пример вполне управляемойсистемы, которая, однако, не удовлетворяет необходимому условию стабили-зируемости. В данной работе рассмотрена задача стабилизации нелинейнойсистемы Брокетта, которая не может быть стабилизирована классическимуправлением.

В последующем изложении будем использовать “π-решения”, введенные вработе [2], и прямой метод Ляпунова.

1. Описание предельного поведения решений с помощью функ-ции Ляпунова. Следуя работе [3], покажем, что для системы вида

x =

m∑

i=1

uifi(x), u ∈ Rm, x ∈ R

n, (1)

ни в какой окрестности B точки x = 0 не существует управляемой функцииЛяпунова (в смысле определения управляемой функции Ляпунова из [4]),если fi ∈ C1(Rn) и

rank(f1(0), f2(0), . . . , fm(0)) = m < n.

Система (1) не удовлетворяет необходимому условию стабилизируемостиБрокетта (см. [5]). Для проверки этого факта перепишем систему (1) в виде

x = u1f1(x) + · · ·+ umfm(x) = uF (x). (2)

94

Задача стабилизации интегратора Брокетта

Действительно, отображение (x, u) 7→ F (x)u не содержит окрестности ну-ля в своем образе, когда оно ограничено достаточно малой окрестностью ну-ля. Теперь переопределим F :

F (x) =

(

F1(x)F2(x)

)

,

где F1(x) – невырожденная матрица размерности m×m для всех x из неко-торой окрестности B(0, ε). Тогда из условия

(

0a

)

=

(

F1(x)uF2(x)u

)

следует u = 0, откуда a = 0. Итак, вектор

(

0a

)

не принадлежит обра-

зу F (x)u ни при каком a 6= 0, т. е. необходимое условие стабилизируемостиБрокетта не выполнено.

По теореме Артстейна [6, p. 1166], для системы (1) не существует управ-ляемой функции Ляпунова. Несмотря на отсутствие функции Ляпунова длясистемы (1), построим управление, обеспечивающее экспоненциальную схо-димость решений x(t) системы (1) к x = 0 при t → +∞. Для достижения этойцели предположим, что задана определенно-положительная функция V (x),V ∈ C1(Rn), для которой при произвольном x0 ∈ R

n возможно подобратьуправление вида u = u0(t), t ∈ [0, τ ], удовлетворяющее свойству

x(τ ;x0, u0) = x0 − γ∇V (x0), γ > 0. (3)

При x0 6= 0 и достаточно малом γ из свойства (3) следует неравенство

V (x(τ ;x0, u0)) < V (x0).

Здесь x(t;x0, u) – решение системы (1) с начальным условием x = x0 приt = 0 и управлением u = u(t).

Продолжая такой процесс для t = τ ; 2τ ; 3τ ; . . . , будем определять после-довательность точек xj и функции управления u = uj(t), j = 1, 2, . . . , изусловий

x(τ ;xj , uj) = xj − γ∇V (xj),

xj+1 = x(τ ;xj , uj), j = 0, 1, 2, . . . .

В результате получим монотонную последовательность

V (x0) > V (x1) > V (x2) > . . . .

Отсюда, при некоторых дополнительных предположениях, докажем экспо-ненциальное стремление xj к x = 0 при j → ∞.

Для дальнейших построений будем использовать понятие “πτ -решения”,которое расширяет определение “π-решений”, введенное в [2].

95

Т.Н. Астахова

Определение 1. Для заданных τ > 0 функции обратной связиh : [0,+∞) × D → U назовем πτ -решением системы (1) абсолютно непре-рывную на полуинтервале [0,+∞) функцию x(t) ∈ D, которая удовлетворяетдифференциальному уравнению

x(t) = f (x(t), h(t, x(tj))) , t ∈ (tj , tj+1),

при всех j = 0, 1, 2, ... .

2. Стабилизация интегратора Брокетта с m=4 управлениями.Построим нестационарную функцию обратной связи u = h(t, x) для систе-мы следующего вида [1]:

x1 = u1,x2 = u2,x3 = u3,x4 = u4,x5 = x1u2 − x2u1,x6 = x1u3 − x3u1,x7 = x1u4 − x4u1,x8 = x2u3 − x3u2,x9 = x2u4 − x4u2,x10 = x3u4 − x4u3,

(4)

где x ∈ R10, u ∈ R

4.Для синтеза обратной связи воспользуемся семейством функций управле-

ния следующего вида:

u1 = u01+ a12 cos(k12ωt) + a13 cos (k13ωt) + a14 cos (k14ωt) ,

u2 = u02+ a12 sin (k12ωt) + a23 cos (k23ωt) + a24 cos (k24ωt) ,

u3 = u03+ a13 sin (k13ωt) + a23 sin (k23ωt) + a34 cos (k34ωt) ,

u4 = u04+ a14 sin (k14ωt) + a24 sin (k24ωt) + a34 sin (k34ωt) , t ∈ [0, τ ],

(5)

где u0i∈ R, ajl ∈ R, kjl ∈ Z \ 0, 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j < l ≤ 4, ω = 2π/τ .

Рассмотрим определенно-положительную функцию

V (x) = ‖x‖2 ≥ 0.

Покажем, что для любого x0 ∈ R10 можно выбрать параметры ajl, kjl и u0

iв

управлении ui(t) вида (5) так, чтобы

x(τ ;x0, u) = x0 − γ∇V (x0) = (1− 2γ)x0, (6)

где 0 < γ <1

2, x(t;x0, u) – решение системы (1) с управлением (5), удовле-

творяющее начальному условию x(0;x0, u) = x0.

96


Решим уравнения (6) относительно переменных u0i, ajl, полагая, что це-

лочисленные параметры kjl удовлетворяют условию отсутствия резонанса

|kjl| 6= |kqr| (j, l) 6= (q, r). (7)

Используя управление (5) для x(τ ;x0, u), получим:

u0i= −x0

iωγ

π, i = 1, 4; (8)

a12 = u01 ±√

u01

2+ k12ω

(

x02u01− x0

1u02+ u0

5

)

, (9)

a23 =k232u0

1

[

a13(a13 − 2u01)

k13+

γω2x06

π+ ω(u03x

0

1 − u01x0

3)

]

, (10)

где a13 является корнем уравнения ϕ13(a13) = 0, а

ϕ13(z) = k12k23π2z4 − 4 k12k23π

2u01z3 + 2k12π

(

k13k23ω(γωx0

6 − π(u01x0

3 − u03x0

1)−

−2πu01(k13u0

2 − k23u0

1)))

z2 − 4k12k13k23πωu0

1

(

π(u03x0

1 − u01x0

3) + γωx06)

z +

+k213

[

k12k23ω2

(

π2(u032x01

2+ u01

2x03

2) + 2γπωx06(u

0

3x0

1 − u01x0

3)− 2π2u01u0

3x0

1x0

3 +

+γ2ω2x062)

+ 4k12πωu0

1

(

π(ωu01u0

3x0

2 − u02u0

3x0

1) + γω(u01x0

8 − u02x0

6))

+ 8π2u012u03a12

]

.

Коэффициенты a24 и a34 принимают следующие значения:

a24 =

(

4k34k23k14k13k12πu01

(

k14ω(πu04x01+ γωx0

7− πu0

1x04) + πa14(a14 − 2u0

1))

)

−1

×

×[

2k12k23k13k24k14k34πωa14(2(π(u01

2x04− u0

1u04x01)− γωu0

1x07) + a14(π(u

04x01+ u0

1x04)−

−γωx07)) + k12k23k13k34k24π

2a414

+ k12k23k13k24k214k34ω

2(γ2ω2x07

2 − 2u04u01x01x04π2)+

+4k12k13k23k214k24πωu

01(u0

1(πu0

4x03+ γωx0

10)− πu0

3u04− γωu0

3x07) + 8k2

14π2u0

1

2u04×

×(

a23k12k13k24 + a13k12k24k23 − a12k13k23k34)

+ k12k23k13k24k214k34ω

2u01

2x04

2π2+

+4k23k13k34k214k12πωu

01(πu0

2u04x01+ γωu0

2x07− u0

1(πu0

4x02− γωx0

9))+

+4a214k12k13k23π2u01(k14(k34u

0

2 − k24u0

3)− k24k34(a14 − u01)]

; (11)

97


a34 =

(

4k34k23k14k13k12πu01

(

k14ω(πu04x01+ γωx0

7− πu0

1x04) + πa14(a14 − 2u0

1))

)

−1

×

×[

2k12k13k14k23k24k34πωa14

(

(πu04x01+ γωx0

7)a14 − 2u0

1(πu0

4x01+ γωx0

7− πu0

1x04))+

+k12k13k23k24k34π2a2

14

(

a214

− 2u01(ωx0

4+ 2u0

1a14 − 2u0

1

)

+ k12k13k214k23k24k34 ω

2×(

γ2ω2x07

2 − 2γπω(u01x04x07− u0

4x01x07) + π2(u0

4

2x01

2+ u0

1

2x04

2 − 2u01u04x01x04))

+

+4k12k13k214k23k24πωu

01

(

u03(γωx0

7+ πu0

4x01)− u0

1(πu0

4x03− γωu0

1x010))

−

−8k214π2u0

1

2u04(k12k13k24a23 + k12k23k24a13 − k13k23k34a12)+

+ 4k12k13k214k23k34πωu

01

(

u02(πu0

4x01− γωx0

7) + u0

1(πu0

4x02+ γωx0

9))

−

−4k12k13k14k23π2u01a

2

14(k34u0

2 − k24u0

3)]

, (12)

где a14 является корнем уравнения восьмой степени ϕ14(a14) = 0 (см. п. 3).Из проведенных рассуждений вытекает следующее утверждение.

Предложение 1. Предположим, что для заданных τ > 0, 0 < γ <1

2,

x0 ∈ R10 параметры управления (5) удовлетворяют соотношениям (7)–

(12). Тогда решение x(t;x0, u), t ∈ [0, τ ], системы (4) с начальным условиемx(0) = x0 и управлением (5) удовлетворяет условию

x(τ ;x0, u) = (1− 2γ)x0. (13)

Выражения (8)–(12) могут быть использованы для задания параметровu0i, ajl при любом фиксированном x0 ∈ R

10. Запишем представления (8)–(12)в виде

u0i = u0i (x0), ajl = ajl(x

0), 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j < l ≤ 4. (14)

Перепишем теперь функции управления (5) в виде обратной связи

u = h(t, x) = (h1(t, x), h2(t, x), h3(t, x), h4(t, x))T :

hi(t, x) = u0i (x) +∑

1≤j<l≤4

ajl(x)

δij cos

(

2πkjlτ

t

)

+ δil sin

(

2πkjlτ

t

)

,

i = 1, 2, 3, 4.

(15)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть 0 < γ <1

2, τ > 0, и пусть управление с обратной

связью u = h(t, x) задано формулой (15), где функции u0i(x) и ajl(x) определе-

ны соотношением (14), тогда для произвольного x0 ∈ R10 соответствующее

πτ -решение x(t) системы (4) с управлением (15) удовлетворяет неравенству

‖x(tj)‖ ≤ eλtj‖x0‖, tj = jτ, j = 0, 1, 2, . . . , (16)

98


где λ =1

τln(1− 2γ) < 0.

Доказательство. Обозначим πτ -решение системы (4) с обратной свя-зью (15) через x(t). Пусть V (x) = ‖x‖2. По утверждению

x(τ) = (1− 2γ)x0.

Вычислим значение функции V (x) в каждой точке xn = x(nτ), n = 1, 2, . . . :

V (x1) = ‖x1‖2 = ‖x0(1− 2γ)‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1 − 2γ)‖2 = V (x0)‖1− 2γ‖2,

V (x2) = ‖x2‖2 = ‖x0(1− 2γ)2‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1− 2γ)‖4 = V (x0)‖1 − 2γ‖4,...

V (xn) = ‖xn‖2 = ‖x0(1− 2γ)n‖2 ≤ ‖x0‖2‖(1− 2γ)‖2n = V (x0)‖1− 2γ‖2n.

(17)

Таким образом, V (xn) ≤ V (x0)‖1 − 2γ‖2n, или

V (x0) ≥ 1

(1− 2γ)2nпри 0 < γ <

1

2.

Следовательно,

‖xn‖2 = V (xn) ≤ (1− 2γ)2nV (x0) = (1− 2γ)2n‖x0‖2 (18)

за время nτ .

Пусть exp(2nλτ) = (1 − 2γ)2n и γ ∈(

0,1

2

)

, ln(1 − 2γ) < 0, а значит, и

λ < 0.Неравенство (18) доказывает утверждение теоремы.

3. Исследование свойств πτ -решений на интервалах гладкостифункции управления. Отметим, что неравенство (16) характеризуетоценку πτ -решений в узлах разбиения t = jτ . Исследуем поведение данныхрешений внутри интервалов (jτ, (j +1)τ). Для этого воспользуемся разложе-нием их в ряд Вольтерры [7].

Напомним, что указанное разложение решений системы (4) можно пред-ставить как x(t) = V0 + V1(t) + V2(t), где

V0 = x0, V1(t) =

m∑

i=1

fi(x0)

∫

t

0

ui(s)ds,

V2(t) =1

2

∑

i≤j

(

∂fj(x0)

∂xfi(x

0) +∂fi(x

0)

∂xfj(x

0)

)∫

t

0

ui(s)ds

∫

t

0

uj(s)ds+

+1

2

∑

i<j

[fi, fj ](x0)

∫

t

0

∫

s

0

(uj(s)ui(p)− ui(s)uj(p)) dpds, t ≥ 0.

(19)

99


Таким образом, получаем оценку вида ‖x(t)−V0‖ ≤ ‖V1(t)‖+‖V2(t)‖. Обо-значим S = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), M(x0) = max1≤i≤4 ‖fi(x0)‖.

Предположим, что функции ajl в (14), которые находятся путем решенияалгебраических уравнений (8)–(12), удовлетворяют неравенствам

|ajl| ≤ Mjl(x0) (j, l) ∈ S. (20)

Тогда, подставляя функцию управления (15) в (19), получим следующиеоценки:

‖V1(t)‖ =

4∑

i=1

‖fi(x0)‖∫

t

0

|ui(s)|ds ≤ 4M(x0)

4∑

i=1

∫

τ

0

|ui(s)|ds ≤

≤ 16M(x0)

∫

t

0

|u0i|+

∑

(j,l)∈S

|ajl|

|δij |∣

∣

∣

∣

cos2πkjlτ

s

∣

∣

∣

∣

+ |δjl|∣

∣

∣

∣

sin2πkjlτ

s

∣

∣

∣

∣

ds ≤

≤ 16M(x0)

γω

π‖x0‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(x0)

t, t ∈ [0, τ ], (21)

‖V2(t)‖ ≤∣

∣

∣

∫

t

0

∫

s

0uj(s)ui(p)− ui(s)uj(p)dpds

∣

∣

∣≤ 2

∫

t

0

∫

s

0|uj(s)ui(p)|dpds ≤

≤ 2

|u0j|+ 2

∑

(j,l)∈S

|ajl|

2

t2

2≤

γω

π‖x0‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(x0)

2

t2, t ∈ [0, τ ].

(22)Для оценивания правых частей неравенств (21), (22) через x0 воспользуемсясоотношением (8):

|u0i | ≤γω

π|x0i | ≤

γω

π‖x0‖, i = 1, 4. (23)

Функцию M12(x0) найдем с помощью представления (9):

|a12| ≤ −|u01|+1

π

√

γω(ω

π

(

|x01|2 + 2k12π2|x0

1x02|)

+ k12πω|x05|)

≤

≤ −γω

π|x01|+

1

π

√

γω(ω

π

(

|x01|2 + 2k12π2|x0

1x02|)

+ k12πω|x05|)

≤ M12(x0),

где

M12(x0) = −γω

π‖x0‖+ 1

π

√

γω‖x0‖(γω

π2‖x0‖+ |k12|ωπ(2‖x0‖+ 1)

)

. (24)

100


Функцию M13(x0) построим с помощью верхней оценки корней алгебраи-

ческого уравнения ϕ13(z) = 0:

k12k23π2z4 − 4 k12k23π

2u01z3+

+2k12π(

k13k23ω(γωx06− π(u0

1x03− u0

3x01)− 2πu0

1(k13u

02− k23u

01)))

z2−−4k12k13k23πωu

01

(

π(u03x01− u0

1x03) + γωx0

6

)

z+

+k213

[

k12k23ω2

(

π2(u03

2x01

2+ u0

1

2x03

2) + 2γπωx0

6(u0

3x01− u0

1x03)−

−2π2u01u03x01x03+ γ2ω2x0

6

2)

+ 4k12πωu01

(

π(ωu01u03x02− u0

2u03x01)+

+γω(u01x08− u0

2x06))

+ 8π2u01

2u03a12

]

= 0.

(25)

Приведем уравнение (25) к виду z4 + p313z3 + p2

13z2 + p1

13z + p0

13= 0, где

p013 = k213ω2u01(u

0

1x0

3

2 − 2u03x0

1x0

3) +k213

π2

(

πω2u032x01

2+ γ2ω4x06ω

2)

+

+2γω3

π(u03x

0

1x0

6 − u01x0

3x0

6) +k213

k12k23π2× [8π2u01

2u03a12+

+4k12πωu01

(

π(u01u03x02− u0

2u03x01) + γω(u0

1x08− u0

2x06))

];

p113 = 4k13ωu0

1(u0

1x0

3 − u03x0

1)−4

πk13γω

2u01x0

6;

p213 = 2k13ω(u0

3x0

1 − u01x0

3) +2

πk13γω

2x06 −4k13k23

u01u0

2 + u012; p313 = −4u01.

Обозначим через

M13(x0) =

max(

|p113|, |p2

13|, |p3

13|)

|p013| + 1, (26)

тогда, по лемме о модуле старшего члена [8, с. 150], получим оценку

|a13| ≤ M13(x0). (27)

Аналогично рассмотрим уравнение ϕ14(z) = 0 в виде

z8 + p714z7 + p614z

6 + p514z5 + p414z

4 + p314z3 + p214z

2 + p114z + p014 = 0,

101


p014

=k14

4

k132k23

2k342π4k12

2k242×[(

l44k342k23

2k242k13

2k122ω4 + 8u01u

0

4k232k24k34×

×l4(l2k34 + l3k24)k132k12

2ω3 + 16u01

2u04

[

k13k232k24k34

(

l24(a12k12k13k34 + a13k24

)

++((

l23u04k23 + l2

4a23k34

)

k23k242 + l2

2u04k34

2k232 − 2u0

4l3l2k34k23

2k24)

k132)

k122]

ω2+

+64[

u01

3u04

2(l2k34 − l3k24) a12k12k13

2k232k34+

+(

u01

3u04

2(l3k24 − l2k34) a13k13k23

2k24+

+u01

3u04

2(l3k24 − l2k34) a23k13

2k23k24

)

k122

]

ω−

−128u01

4u04

2l5k12k13k23k24k34a12 + 64u0

1

4u04

2l25k12

2k242

)

π4+

+

(

l34x07k34

2k232k24

2k132k12

2γ ω5 + 8u01

((

u01x09l24+ x0

7

(

2u04l4l2 − u0

2l24

))

k342k23

2k24+

+(

u01x010l24+ x0

7(2u0

4l4l3 − u0

3l24

)

k34k232k24

2)

k132k12

2γ ω4+

+32u01

2u04

(

l4a12x07k34

2k232k24k13

2k12++(

l4a13x07k34k23

2k242k13 − (l8l3 + l9l2) k34k23

2k24 + l6l2k342k23

2++(

x07l4a23k34k23 + l7l3k23

2)

k242)

k132)

k122)

γ ω3+

+64u01

3u04

((

l6a12k342k23

2 − l7a12k34k232k24

)

k132k12+

+((

l7a13k232k24

2 − l6a13k34k232k24

)

k13+

+(

l7a23k23k242 − l6a23k34k23k24

)

k132)

k122)

γ ω2

)

π3+

+

(

6x07

2l24k34

2k232k24

2k132k12

2γ2ω6 +(

8u01x07

(

−2l11l4 + u04x07l10)

k342k23

2k24+

+8u01x07

(

2l7l4 + u04x07l3)

k34k232k24

2)

k132k12

2γ2ω5+

+(

16 k132k23

2k342u0

1

2k12k24x

07

2u04a12 +

(

16 k13k232k34u

01

2k24

2x07

2u04a13+

+(

16u01

2l26k34

2k232 − 32u0

1

2l6(

u01x010

− u03x07

)

k34k232k24+

+(

16 k23k34u01

2x07

2u04a23 + 16u0

1

2l27k23

2

)

k242

)

k132

)

k122

)

γ2ω4

)

π2+

+

(

4x07

3l4k34

2k232k24

2k132k12

2γ3ω7 + 8u01x07

2(

l6k342k23

2k24+

+l7k34k232k24

2)

k132k12

2γ3ω6

)

π + k132k23

2k342k12

2k242γ4ω8x0

7

4+

+64 k132k23

2k342u0

1

4u04

2a12

2

]

;

102


p114

=−8k14

3u01ω

k13k23k34π3k12k24×[(

l34k342k23

2k242k13

2k122ω2+

+(

4u01u04l4l3k34k23

2k242 + 4u0

1u04l2l4k34

2k232k24

)

k132k12

2ω+

+8u01

2u04l4a12k34

2k232k24k13

2k12+

+8u01

2u04

(

l4a23k34k23k242k13

2 + l4a13k34k232k24

2k13)

k122

)

π4+

+(

3x07l24k34

2k232k24

2k132k12

2γ ω3 +(

4u01

(

l7l4 + u04x07l3)

k34k232k24

2+

+4u01

(

l6l4 − u04x07l2)

k342k23

2k24)

k132k12

2γ ω2+

+(

8u01

2u04x07((a13k23 − a23k13)k12k24 + a12k13k23k34) k12k13k23k24k34γ ω

)

π3+

+(

3x07

2l4k34

2k232k24

2k132k12

2γ2ω4+

+4u01x07

(

l7k34k232k24

2 + l6k342k23

2k24)

k132k12

2γ2ω3

)

π2−−ω5x0

7

3k34

2k232k24

2k132k12

2γ3π]

;

p214

=4k14

2

k13k23π3k12k342k24

2×[(

− l34k14k342k23

2k242k13

2k122ω3+

+(

2(

u01u02l24+ 2u0

1u04(u0

2x01l4 + u0

1x04l2)))

k14k342k23

2k24+

+(

−6u01

2l24k34

2 + 2(

u01u03l42− 2u0

1u04l4l3)

k14k34

)

k232k24

2

)

k132k12

2ω2−−8((((

−u01

3u04l2k34

2 + u01

2u04

(

u02l3 + u0

3l2)

k14k34

)

k232k24−

−u01

2u02u04l2k14k34

2k232 +

((

−u01

2u03u04l3k14 + u0

1

3u04l3k34

)

k232+

+u01

2u04l4a23k14k23k34

)

k242

)

k132 + u0

1

2u04l4a13k14k34k23

2k242k13

)

k122+

+u01

2u04l4a12k14k34

2k232k24k13

2k12

)

ω + 16u01

3u04

((

l12k24 − u02k14k34

)

a23k132k23k24+

+(

l12k24 − k14u02k34)

a13k13k232k24

)

k122−

−16u01

3u04

(

l12k24 − k14u02k34)

a12k12k132k23

2k34

)

π4−−(

3l24k12

2k132k14k23

2k242k34

2γ ω4 +(

4(

u01l6l4 + u0

1u04x07l2)

k14k232k24k34

2−−(

4(

u01x07(−u0

4l3 + u0

3l4)− u0

1

2x010l4

)

k14k34 − 12x07l4k34

2

)

k232k24

2

)

k132k12

2γ ω3−−(((

u01

2(

u03(l7k14 + l13k34) k23

2 − k14u04x07a23k34k23

)

k242+

+u01

2u02l6k14k34

2k232 +

(

−u01

3l6k34

2 − u01

2(

u03l6 + u0

2l7)

k14k34

)

k232k24

)

k132+

+k145u0

1

2u04a13x

07k34k23

2k242k13

)

k122+

+ k145u0

1

2u04a12x

07k34

2k232k24k13

2k12

)

γ ω2

)

π3−−(

−3l4k14k342k23

2k242k13

2k122γ2ω5+

+(

2u01x07

(

3u01x07k34 − 2u0

1x010k14 + 3u0

3x07k14)

k34k232k24

2++2u0

1x07

(

3u02x07− 2u0

1x09

)

k14k342k23

2k24)

k132k12

2γ2ω4)

π2+

+k14ω6x0

7

3k34

2k232k24

2k132k12

2γ3π]

;

103


p314

=−8k14u

01

k13k23k34π2k12k24×[(

3l24k14k342k23

2k242k13

2k122ω2+

+((

4u01

2l4k34

2 + 4(

u01u04l3 − u0

1u03l4)

k14k34

)

k232k24

2+

+ 4(

u01u04l2 − u0

1u02l4)

k14k342k23

2k24)

k132k12

2ω+

+8 k14u01

2u04a12k34

2k232k24k13

2k12 + 8u01

2u04l5k12

2k13k14k23k242k34

)

π4+

+(

6x07l4k34

2k232k24

2k132k12

2γ ω3 +(

4(

−u01x07l12 + u0

1k14l7

)

k232k24

2k34+

+4u01l6k14k23

2k24k342)

k132k12

2γ ω2)

π3 + 3π2k14ω4x0

7

2k34

2k232k24

2k132k12

2γ2]

;

p414

=2

k13k23π2k12k342k24

2×[(

3l24k2

14k342k23

2k242k13

2k122ω2+

+((

24u01

2l4k14k34

2 + 4(

u01u04l3 − 2u0

1u03l4)

k214k34

)

k232k24

2+

+4(

u01u04l2 − 2u0

1u02l4)

k214k34

2k232k24

)

k132k12

2ω+

+8 k132k23

2k342k14

2u01

2u04a12k12k24 +

(((

−8u01

2l212k23

2+

+8 k23k34k142u0

1

2u04a23

)

k242 + 8 k23

2k342k14

2u01

2u02

2+

+16l12k14k232k24k34

)

k132 + 8 k13k23

2k34k142u0

1

2k24

2u04a13

)

k122

)

π4+

+(

6x07l4k

214k34

2k232k24

2k132k12

2γ ω3 +(

4u01

(

l6 − 2u02x07

)

k214k34

2k232k24+

+(

4u01

(

l7 − 2u03x07

)

k214k34 + 24 k14u

01

2x07k34

2

)

k232k24

2

)

k132k12

2γ ω2

)

π3+

+3 k132k23

2k342k14

2π2k122k24

2γ2ω4x07

2]

;

p514

=8u0

1

2

k24k34

(

k14k34u0

2 − k24k34u0

1 + k14k24u0

3

)

− 24

πk14ωu

0

1

(

πl4 + γωx07)

;

p614 = − 4

πωk14

(

πl4 + γω2x07)

+8

k24k34u01(

k14k34u0

2 + k14k24u0

3 − 3k24k34u0

1

)

;

p714 = −8u01,

где l2 = u01x02− u0

2x01, l3 = u0

1x03− u0

3x01, l4 = u0

4x01− u0

1x04,

l5 = a13k23 + a23k13, l6 = u01x09− u0

2x07, l7 = u0

1x010

− u03x07,

l8 = u01x09− u0

2, l9 = u0

1x010

− u03, l10 = u0

4x02− u0

2x04,

l11 = u01x09+ u0

2x07, l12 = u0

3k14 − u0

1k34, l13 = u0

1x07− u0

1x010.

Теперь обозначим через

M14 =max

(

|p114|, |p2

14|, |p3

14|, |p4

14|, |p5

14|, |p6

14|, |p7

14|)

|p014| + 1, (28)

104


тогда, по лемме о модуле старшего члена [8, с. 150], получим оценку

|a14| ≤ M14(x0). (29)

С помощью полученных неравенств оценим коэффициент a23 в формуле (10):

a23 = −a13k23k13

+a213k23

2k13u01+

k23γω2x0

6

2πu01

+k23ωu

03x01

2u01

− k23ωx03

2,

|a23| ≤∣

∣

∣

∣

a13k23k13

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

a213k23

2k13u01

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

k23γω2x0

6

2πu01

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

k23ωu03x01

2u01

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

k23ωx03

2

∣

∣

∣

∣

≤ M23(x0),

где

M23(x0) =

∣

∣

∣

∣

k23k13

∣

∣

∣

∣

M13(x0)+

|k23|ω2

+

∣

∣

∣

∣

k23k13

∣

∣

∣

∣

π

2γωM2

13(x0)‖x0‖−1+ |k23|ω‖x0‖. (30)

Используя формулу (11), получим оценку для коэффициента a24:

|a24| ≤ M24(x0),

где

M24(x0) =

(

2|k14|γω2‖x0‖2 + (|k14|γω2 + 2γωM14(x0))‖x0‖+ πM14(x

0)2)

−1

×[

|k24|π|k14|

M14(x0)2 +

|k24|π2M14(x0)2

4|k14|γω‖x0‖+(

|k24|γω2M14(x0) + 2|k24|πωM14(x

0)2+

+|k14k24|γ2ω3

πM14(x

0)2 +|k14k24|γω3

4+

2|k14|γ2ω2

πM12(x

0) + γωM14(x0)2+

+|k24|γω|k34|

M14(x0)2)

‖x0‖+(

2|k24|γω2M14(x0) +

|k14k24|γ2ω3(k34 + 1)

|k34|π+

+2|k14k34|γ2ω3

|k34|π+

2|k14k24|γ2ω2

|k23k34|π(M13(x

0) +M23(x0)) ) ‖x0‖2+

+(5|k14k24k34|γπω3 + 8|k14k24|γω2(|k34|+ γω) + 16|k14k34|γ2ω3

8|k34|π)

‖x0‖3]

. (31)

Аналогично, получаем оценку для коэффициента a34:

|a34| ≤ M34(x0),

где

M34(x0) =

(

πM14(x0)2 + (|k14|γω2 + 2γωM14(x

0))‖x0‖+ 2|k14|γω2‖x0‖2)

−1

×

×(

|k34|πωM14(x0)2

2γ+

|k34|πM14(x0)3

|k14|+

4|k34|π2M14(x0)4

|k14|γω‖x0‖+(

|k34|γω2M14(x0)+

105


+|k34|πωM14(x

0)2

2+

|k34|πωM14(x0)2

2|k14|+

|k34|γωM14(x0)2

|k14|+

|k14k34|γω3

4+

+|k34|γωM14(x

0)2

|k24|+

M14(x0)2

2

)

‖x0‖+(

(|k34|+ 1)γω2M14(x0)+

+|k14k34|γω3 +2|k14|γ2ω3

π+

2|k14|γ2ω2M23(x0)

|k23|+

2|k14|γ2ω2M13(x0)

|k13|π+

+2|k14k34|γ2ω2M12(x

0)

|k12k24|π+

2|k14k34|γ3ω3

|k24|π)

‖x0‖2 +( |k14k34|πω2

4+

+2|k14k34|γω|k12k24|

+2|k14k34|γ3ω3

|k12k24|π2+

2|k14|γ2ω3

π+

2|k14k34|γ2ω3

|k24π|)

‖x0‖3)

.

(32)Из неравенств (21), (22), (23) вытекает следующая оценка:

‖x(t)− x0‖ ≤ 16M(x0)

γω

π‖x0‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(x0)

t+

+

γω

π‖x0‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(x0)

2

t2,

(33)

где Mjl(x0) заданы формулами (24)–(32) соответственно.

Применяя неравенство (33) к πτ -решению x(t) на отрезке t ∈ [jτ, (j +1)τ ]с x(jτ) вместо x0, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Предложение 2. Для произвольного x0 ∈ R10 соответствующее

πτ -решение x(t) системы (4) с управлением вида (15) удовлетворяют не-равенствам

‖x(t)− x(jτ)‖ ≤ K1(x(jτ))(t− jτ) + K2(x(jτ))(t− jτ)2, t ∈ [jτ, (j +1)τ ], (34)

где

K1(ξ) = 16M(ξ)

γω

π‖ξ‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(ξ)

,

K2(ξ) =

γω

π‖ξ‖+ 2

∑

(j,l)∈S

Mjl(ξ)

2

.

4. Численная реализация предложенного метода стабилизации.В качестве примера рассмотрим систему (4) с начальным условием

xj(0) = 1, j = 1, 10. (35)

106


Пусть τ = 2π и γ = 0.1, таким образом ω = 1. Положим k12 = −1, k13 = −2,k14 = −3, k23 = −4, k24 = −5, k34 = −6 с учетом условия (7). Тогда семействоуправлений (5) запишется в виде

u1 = u01+ a12 cos (ωt) + a13 cos (2ωt) + a14 cos (3ωt) ,

u2 = u02− a12 sin (ωt) + a23 cos (4ωt) + a24 cos (5ωt) ,

u3 = u03− a13 sin (2ωt)− a23 sin (4ωt) + a34 cos (6ωt) ,

u4 = u04− a14 sin (3ωt)− a24 sin (5ωt)− a34 sin (6ωt) .

(36)

Используя формулы (8)–(12), получаем, что в момент времени τ решениеx(t) системы (4) с управлением (36) удовлетворяет условию (13) при следую-щих значениях параметров u0

iи ajl:

u0i= −0.03183098862, для i = 1, 4;

a12 = 0.1493987012; a13 = −0.3149430880;

a14 = 0.2470670983; a23 = −0.486232832;

a24 = 0.3863832320; a34 = 0.1245101915.

Определяя обратную связь u = h(t, x) по формулам (15), найдем со-ответствующее πτ -решение x(t) системы (4) на отрезке t ∈ [0, 20τ ], τ = 2π, спомощью численного интегрирования.

Экспоненциальный характер стремления к нулю функции x(t) в точкахtj = 2πj, j = 0, 10, проиллюстрирован в таблице:

Значения ‖x(t)‖ в точках tj = 2πj

tj 0 2τ 4τ 6τ 8τ 10τ 12τ 14τ 16τ 18τ‖x(tj)‖ 3.16 2.53 2.025 1.62 1.3 1.04 0.83 0.67 0.53 0.43

ln(

‖x(tj)‖

tj

)

− −0.9 −1.8 −2.1 −2.9 −3.4 −3.8 −4.2 −4.5 −4.9

Заключение. Предложена схема построения управления, которая обе-спечивает убывание функции Ляпунова на решениях в фиксированные мо-менты времени. При использовании нестационарной функции обратной связиu = h(t, x) вида (15) для интегратора Брокетта в случае четырех управле-ний решена задача стабилизации. Найдены значения коэффициентов ajl, kjlи начальные управления u0

i, удовлетворяющие уравнению (6), что сформули-

ровано в виде утверждения. Доказана экспоненциальная оценка (16) для πτ -решения на узлах разбиения t = jτ . Также исследованы свойства πτ -решенийна интервалах гладкости функции управления [0, τ ]. На основе предложен-ного подхода представлена численная реализация метода стабилизации дляинтегратора Брокетта (4).

107


1. Brockett R.W. Control Theory and Singular Riemannian Geometry // New Directionsin Applied Mathematics. / P.J. Hilton, G.S.Young, Eds. – New York: Springer, 1981. –P. 11–27.

2. Астахова Т.Н., Зуев А.Л. Стабилизация нелинейных систем в классе функций управ-ления с дискретными переключениями // Уч. записки Таврического Национальногоун-та им.В.И. Вернадского. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. – 24(63), 3. – С. 1–9.

3. Sontag E.D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. –New York: Springer-Verlag, 1998. – 531 p.

4. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // Differential GeometricControl Theory / R.S. Millman, H.J. Sussmann, Eds. – Boston: Birkhauser, 1983. – P. 181–191.

5. Sontag E.D. Stability and Stabilization: Discontinuities and the Effect of Disturbances //Nonlinear Analysis, Differential Equations and Control : Proc. NATO Advanced StudyInstitute. – Montreal: Kluwer, 1998. – P. 551–598.

6. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methodsand Applications. – 1983. – 7, 11. – P. 1163–1173.

7. Астахова Т.Н., Зуев А.Л. Задача планирования движения для класса нелинейныхсистем с тригонометрическими функциями управления // Динамические системы. –2013. – 3(31), 1–2. – C. 159–167.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 431 c.

T.N. Astakhova

On the investigation of stabilization problem of Brockett integrator by usingtime-dependent feedback

The limiting behavior of control led system solutions is described by means of Lyapunov function.We have also analyzed the Brockett system with four controls. The stabilization problem hasbeen solved for this system. The πτ -solution properties are investigated for the smoothnessinterval of control function [0, τ ].

Keywords: Brockett system, control-Lyapunov function, Volterra series, πτ -solutions.

Т.М. Астахова

Про дослiдження задачi стабiлiзацiї iнтегратора Брокетта за допомогоюнестацiонарного зворотного зв’язку

За допомогою функцiї Ляпунова описано граничну поведiнку розв’язкiв керованих систем.Розглянуто систему Брокетта з чотирма керуваннями, для якої розв’язано задачу стабi-лiзацiї. Дослiджено властивостi πτ -розв’язку на iнтервалi гладкостi функцiї керування[0, τ ].

Ключовi слова: система Брокетта, керована функцiя Ляпунова, ряд Вольтерри,πτ -розв’язок.


[email protected]


108


УДК 539.3:534.1

c©2014. Д.С. Вуколов, В.И. Сторожев

ДИФРАКЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ НОРМАЛЬНЫХВОЛН СДВИГА НА ВНУТРЕННЕМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМОРТОТРОПНОМ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГОСЕЧЕНИЯ В ОРТОТРОПНОМ УПРУГОМ СЛОЕС ЗАКРЕПЛЕННЫМИ ГРАНЯМИ

С использованием метода изображений получено численно-аналитическое решение дву-мерной краевой задачи о дифракционном рассеянии бегущих симметричных нормальныхволн продольного сдвига на прямолинейно-ортотропном цилиндрическом упругом вклю-чении эллиптического поперечного сечения в плоскопараллельном ортотропном дефор-мируемом слое. Рассмотрен случай нормального падения волны из произвольной модыдисперсионного спектра на включение с осью, лежащей в срединной плоскости слоя с за-крепленными плоскими гранями. Решение задачи сведено к бесконечной системе линейныхалгебраических уравнений относительно коэффициентов представлений волновых полей вобластях сечения слоя и включения рядами по соответствующим базисным частным реше-ниям волновых уравнений в аффинно-преобразованных координатах, выражаемым черезцилиндрические функции. Представлены результаты численных исследований, характери-зующие ряд ведущих закономерностей в распределениях волновых перемещений в ближнеми дальнем дифракционном поле применительно к вариантам задачи, в которых отношенияквадратов полуосей эллиптического сечения включения равны отношениям соответствую-щих модулей продольного сдвига для материалов слоя и включения. Рассмотрены случаиварьирования полуосей эллиптического сечения, относительной длины падающей волныиз низшей моды дисперсионного спектра, а также показателя пропорциональности длямодулей продольного сдвига ортотропных материалов слоя и включения.

Ключевые слова: закрепленный ортотропный упругий слой, дифракционное рассеяниенормальных волн сдвига, численно-аналитическое исследование, методы изображений иаффинных преобразований, закономерности распределений волновых перемещений.

Введение. Проблемы теоретического исследования двумерных дифрак-ционных полей, формирующихся при рассеивании стационарных волн ме-ханических деформаций на неоднородностях в виде полостей и включе-ний в упругих телах, несмотря на длительный период изучения имеют рядоткрытых, актуальных в фундаментальном и прикладном отношении ас-пектов. Анализ результатов, представленных в монографиях [1–3], а также вобзорных разделах ряда публикаций [4–8], свидетельствует, что это заключе-ние справедливо и для задач о двумерных дифракционных полях, формирую-щихся в упругом слое при рассеянии нормальных волн продольного сдвига навнутренних туннельных цилиндрических полостях и деформируемых цилин-дрических включениях различных сечений с параллельными плоским гранямслоя образующими. В частности, в работе [9] описана принципиальная схе-ма получения дисперсионных соотношений для волн сдвига, распространя-ющихся вдоль изотропного слоя с периодическим рядом перпендикулярныхнаправлению распространения и параллельных граням внутренних туннель-ных цилиндрических полостей. Метод базируется на использовании рядов по

109

Д.С. Вуколов, В.И. Сторожев

базисным решениям волнового уравнения в цилиндрических функциях. Ре-зультаты численных исследований по данной методике в указанной работене приведены. В публикациях [10, 11] рассмотрены задачи о полях сдвиговыхмагнитоупругих волн в градиентно-неоднородном слое с внутренней туннель-ной цилиндрической полостью как приграничной части изотропного полупро-странства. Метод интегральных преобразований и решения волновых урав-нений в цилиндрических функциях в пространстве изображений применял-ся в работе [12] для исследования эффектов рассеяния упругих продольно-сдвиговых волн на круговом отверстии в изотропной полосе со свободнымиот напряжений границами. В [2] без примеров численной реализации описанчисленно-аналитический подход к решению задач дифракции волн сдвига навнутренних туннельных круговых цилиндрических полостях в упругом слое,базирующийся на концепции зеркального отражения (методе изображений[13]). Работа [14] содержит аналитическое и численное исследование задачи одифракционном рассеянии нормальной волны сдвига на туннельном цилин-дрическом упругом включении кругового сечения в изотропном слое с за-крепленными плоскими гранями, включая описание ряда ведущих эффектовв структуре дифракционных полей.

Целью настоящей работы является дальнейшее обобщение метода изо-бражений, заключающееся в построении решения задачи о дифракционномрассеянии симметричных сдвиговых волн при нормальном падении на па-раллельное граням центрально расположенное туннельное прямолинейно-ортотропное упругое цилиндрическое включение эллиптического сечения впрямолинейно-ортотропном слое с закрепленными гранями. Применяетсяподход, основывающийся на аффинном преобразовании координат для транс-формации уравнения стационарных колебаний антиплоской деформации ор-тотропной среды в метагармоническое уравнение, а также на представленииполя рассеиваемых в слое волн в виде суперпозиции рядов по базисным систе-мам решений метагармонических уравнений во вспомогательных аффинно-преобразованных локальных координатных системах с полюсами, зеркальнорасположенными относительно его границ.

1. Постановка задачи. Рассматривается отнесенный к прямоуголь-ным координатам Oξ1ξ2ξ3 прямолинейно ортотропный упругий слой толщины2h, сечение которого в плоскости Oξ1ξ2 представлено на рис. 1. Грани слояΓ±: ξ2 = ±h жестко закреплены, а внутри слоя расположено прямолинейно

ортотропное туннельное цилиндрическое упругое включение эллиптическогопоперечного сечения, занимающее область V2 = x2

1/a2 + x2

2/b2 ≤ 1,

−∞ < x3 < ∞. Контур сечения упругого включения имеет параметри-ческое представление Γ = x1 = a cosϕ, x2 = b sinϕ, ϕ ∈ [0, 2π]. Вовведенных координатах область сечения, занимаемая материалом слоя, име-ет вид V1 = −∞ < x2, x3 < ∞, |x1| ≤ h/V2. Физико-механические свой-ства материалов слоя и включения при динамической антиплоской дефор-

мации соответственно характеризуются упругими постоянными c(1)44

, c(1)

55,

c(2)44

= δ c(1)

44, c

(2)

55= δ c

(1)

55 и параметрами плотности ρ1 и ρ2. Полуоси эл-

110

Дифракционное рассеяние нормальных волн сдвига

липтического сечения включения V2, по предположению, имеют величиныa = R, b = (c55 /c44)

1/2R.

Рис. 1. Сечение слоя с туннельным цилиндрическимвключением эллиптического сечения.

Искомые комплексные амплитудные функции для волновых перемещений

U(отр)

3(ξ1, ξ2,t) в отраженных волнах и волновых перемещений U

(прел)

3(ξ1, ξ2,t)

в преломленных во включении волнах подлежат определению из краевойзадачи для уравнений стационарных сдвиговых упругих колебаний анти-плоской деформации для материалов слоя и включения, которые в случаеотнесения всех характеристик с линейной размерностью к нормирующемупараметру h принимают вид

(c(j)

55∂2

1 + c(j)

44∂2

2 − ρjh2∂2

t)U

(j)

3= 0 (j = 1, 2), (1)

где

∂j = ∂/∂ξj (j = 1, 2), ∂t = ∂/∂t, U(1)

3= U

(пад)

3+ U

(отр)

3, U

(2)

3= U

(прел)

3. (2)

Краевые условия рассматриваемой задачи на плоских гранях слоя Γ±

и награнице контакта материалов слоя и включения имеют вид

(U(1)

3)ξ2=±h = 0, (U

(1)

3)Γ = (U

(2)

3)Γ, (σ

(1)

n3)Γ = (σ

(2)

n3)Γ, (3)

где (σ(j)

n3)Γ – отнесенные к нормирующему параметру c

∗= c

(1)

55амплитудные

характеристики касательных напряжений на площадках вдоль поверхности снаправляющей Γ. Для функции волновых упругих перемещений в падающейнормальной упругой SH-волне вводится исходное представление

U(пад)

3(ξ1, ξ2, t) = U30 exp(−i(ωt− knξ1)) cos(αnξ2), (4)

в котором αn = (2n + 1) π/2h, kn =(

Ω21− α2

n

)1/2, Ω2

1= ρ1ω

2h2/c∗, n –

номер моды падающих нормальных бегущих симметричных SH-волн в за-крепленном на плоских гранях слое. Представление (4) априори удовлетво-ряет первому из краевых условий (3). Задача заключается в описании полейотраженных и преломленных волн.

111


2. Построение численно-аналитического решения задачи. Наисходном этапе построения решения осуществляется аффинное преобразо-вание координат Oξ1ξ2 в координаты Ox1x2, которое описывается соотноше-ниями

x1 = ξ1, x2 = µξ2, µ = (c(1)

55/c

(1)

44)1/2.

При этом эллиптический контур сечения включения Γ трансформируется вокружность Γ радиуса R, а уравнения (1) принимают вид

(∂2

1 + ∂2

2 − ρ1h2c−1

∗

∂2

t)U

(1)

3= 0, (∂2

1 + ∂2

2 − ρ2h2(δc

∗

)−1∂2

t)U

(2)

3= 0.

В плоскости Ox1x2 система полярных координат Orθ связана с xj соотноше-ниями

x1 = r cos θ, x2 = r sin θ, θ ∈ [0, 2π].

Для амплитудной составляющей функции волновых перемещений в прелом-ленных во включении волнах записывается представление

U(прел)

3=

∞

∑

n=0

BnJn (Ω2r) cos (nθ), (5)

в котором Bn – подлежащие определению коэффициенты разложения по-ля преломленных во включении волн в ряд по базисным цилиндрическимстоячим волнам; J

n(Ω2r) – цилиндрические функции Бесселя первого рода

индекса n, Ω22= ρω2h2/(δc

∗) = Ω2

1/δ. Для записи амплитудной составляющей

поля волн, отраженных от включения и удовлетворяющих краевому условиюна закрепленных гранях слоя Γ

±, согласно концепции метода изображений,

вводится счетное множество вспомогательных локальных прямоугольных иполярных координатных систем с полюсами Ok, имеющими в Ox1x2 коорди-наты x1,k = 0, x2,k = 2kh (k = ±1, ±2, . . .). Соответственно с использованиемвведенных локальных координатных систем записывается удовлетворяющееусловию на Γ

±представление

U(отр)

3=

∞∑

n=0

AnHn (Ω1r0) cos (nθ0)+

+∞∑

k=1

∞∑

n=0

An(−1)k (Hn (Ω1rk) cos (nθk) +Hn (Ω1r−k) cos (nθ−k)).(6)

После применения теорем сложения цилиндрических функций контурное

представление (U(отр)

3)Γ

принимает вид

U(отр)

3=

∞∑

n=0

[

AnH(1)

n (ΩR) + δ0n∞∑

p=0

Ap (ip−n + i−p+n)Jn (ΩR)×

×∞∑

k=1

(−1)k[

H(1)

p−n(2Ωhk) + H

(1)

n+p(2Ωhk)

]]

cos (nθ) ,(7)

112


и с введением обозначения Sp,n =∞∑

k=1

(−1)kH(1)

p−n(2Ωhk) приобретает оконча-

тельную форму записи в полярных координатах, связанных с центром вклю-чения

U(отр)

3=

∞∑

n=0

[

AnH(1)

n (ΩR) +

+ δ0n∞∑

p=0

Ap (ip−n + i−p+n) Jn (ΩR) (Sp,n + Sp,−n)

]

cos (nθ) .(8)

Контурное представление на Γ для комплексной амплитудной составляющейфункции перемещений в падающей волне

U(пад)

3= U30 exp(iknξ1) cos(αnξ2) = U30 exp(iknx1) cos(αnx2),

где αn = αn/µ, записывается с использованием формулы обобщенного раз-ложения Якоби

eν1x1+ν2x2 =∑

(p)

Qpeipθ,

Qp = Jp

(

−iR(

ν21+ ν2

2

)1/2)(

(iν1 + ν2)/

(

ν21+ ν2

2

)1/2)

p (9)

и после ряда преобразований принимает вид

U(пад)

3= U30

∞

∑

p=0

δ0pJp

(

R√

k2n + α2n

)

ip

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)p/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)p/2)

cos (pθ),

(10)

δ0p =

1

2, p = 0;

1, p 6= 0.

При использовании представлений (8) и (10) для записи функциональных

уравнений, следующих из краевых условий (3) на контактной поверхности Γ,и в результате их последующей алгебраизации с применением метода орто-гональных рядов, для неизвестных коэффициентов в указанных представле-ниях получена бесконечная система из двух групп линейных алгебраическихуравнений:

BnJn (Ω2R)−AnH(1)

n(Ω1R)− δ0

n

∞

∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

Jn (Ω1R)×

×∞

∑

k=1

(−1)k[

H(1)

p−n(2Ω1hk) + H

(1)

n+p(2Ω1hk)

]

=

113


= U30δ0

nJn

(

R√

k2n+ α2

n

)

in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)

n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)

n/2)

,

Bnδ( n

RJn (Ω2R)− Ω2Jn+1 (Ω2R)

)

−An

( n

RH(1)

n(Ω1R)− Ω1H

(1)

n+1(Ω1R)

)

−(11)

−δ0n

∞

∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

( n


)

×

×∞

∑

k=1

(−1)k[

H(1)

p−n(2Ω1hk) + H

(1)

n+p(2Ω1hk)

]

=

,

= U30δ0

n

( n

RJn

(

R√

k2n + α2n

)

−√

k2n + α2nJn+1

(

R√

k2n + α2n

))

×

×in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)

n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)

n/2)

.

Путем исключения в указанных группах коэффициента Bn система (11) пре-образуется к следующему, используемому при редукции и численных иссле-дованиях виду:

An

(

1

δ

n

RH

(1)

n (Ω1R)− Ω1H(1)

n+1(Ω1R)

n


− H(1)

n (Ω1R)

Jn (Ω2R)

)

+

+δ0n

(

1

δ

n


n


− Jn (Ω1R)

Jn (Ω2R)

)

×

×∞

∑

p=0

Ap

(

ip−n + i−p+n)

∞

∑

k=1

(−1)k[

H(1)

p−n(2Ω1hk) + H

(1)

n+p(2Ω1hk)

]

=

= U30δ0

n

Jn

(

R√

k2n + α2n

)

Jn (Ω2R)− 1

δ

n

RJn

(

R√

k2n + α2n

)

−√

k2n + α2nJn+1

(

R√

k2n + α2n

)

n

RJn (Ω2R)−Ω2Jn+1 (Ω2R)

×

× in

(

(

kn + iαn

kn − iαn

)

n/2

+

(

kn − iαn

kn + iαn

)

n/2)

.

После определения искомых коэффициентов из приведенной алгебраическойсистемы может быть реализована фаза численного анализа основных зако-номерностей, свойственных полям преломляющихся во включении и рассеи-ваемых волн, на которой для расчета характеристик исследуемых полей впроизвольной точке (ξ1, ξ2) используются соотношения

x1 = ξ1, x2 = ξ2/µ, r =(

ξ21 + ξ22/

µ2)1/2

, θ = arctg (ξ2/µξ1) .

114


3. Результаты численных исследований. Анализ ряда эффектовраспределения волновых перемещений реализован применительно к задачео рассеянии симметричных нормальных волн сдвига с варьируемой отно-сительной длиной λ = (2π/kn)h

−1 из низшей моды n = 0 дисперсионно-го спектра в слое с включением, механические свойства, форму и размеры

которого определяет набор варьируемых параметров c(1)44

, c(1)

55, R, δ. Пола-

гается, что плотности материалов слоя и включения равны. На рис. 2 – 10в виде тонированных изображений, на которых переход от светлых тоновк темным отвечает нарастанию интенсивности характеризуемых величин,представлены картины распределения уровней волновых перемещений вну-три эллиптических включений с различными полуосями и в подобластях слояξ1 ∈ [−h, h], ξ2 ∈ [−4h, 8h] вне включения для моментов времени, соответ-ствующих началу периодов волновых колебаний. Варьируемыми параметра-ми являются также показатель δ соотношения модулей сдвига для материа-лов слоя и включения и относительная длина падающей волны λ.

В качестве выводов, следующих из анализа данных распределений, можноуказать на следующие эффекты. В случае слоя с упругими постоянными,c44 = 2c

∗, c55 = c

∗и включения с параметром R = 0.5h из ортотропного

материала с пониженной жесткостью (δ = 0.25) при падении относительнокороткой волны с λ = 0.25 (рис. 2) во включении формируется поле с по-вышенной интенсивностью в окрестности больших полуосей и выраженнойточкой фокуса концентрации, и в направлении теневой области включениевыполняет роль рассеивателя; интенсивность отраженных волн в этом случаеочень мала, а в теневой области на расстоянии, приблизительно составляю-щем 6h от тыльной границы включения, генерируется фокус поля огибающихвключение волн.

Рис. 2. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 2c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = 0.25h, δ = 0.25.

Для случая падения волны с λ = 0.5h (рис. 3) в области включения фор-мируются три полюса, расположенных в вершинах треугольника, а в случаепадения волны с λ = 0.7h (рис. 4) – множественные полюсы у контура сече-ния. Примечательным является и эффект появления зон контрастно высокойинтенсивности рассеянных волн в теневой области для случая λ = 0.5h.

При λ = h во включении данной геометрии формируются относительнобольшие зоны фокусирования (рис. 5), а также возникает зона интенсивногофокусирования огибающих волн в теневой области на удалении 8.5h от тыль-ной точки включения. Наконец, наблюдается эффект формирования каналовотражения волны, расположенных у граней во фронтальной области слоя.Более контрастно изменяющимся во всех перечисленных случаях является

115




поле в тыльной зоне жесткого включения.

Рис. 5. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 2c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = h, δ = 0.25.

При изменении геометрии и соотношения модулей упругости включенияс заданием c44 = 0.5c

∗, c55 = c

∗, R = 0.5h, δ = 0.25 в случае относительной

длинны падающей волны λ = 0.25h (рис. 6) можно отметить роль включе-ния как концентратора, вследствие которой вблизи контура за включениемнаблюдается контрастный фокус.

Рис. 6. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 0.5c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = 0.25h, δ = 0.25.

При λ = 0.5h и λ = 0.7h (рис. 7, 8) наряду с появлением и трансформаци-ями фокусных зон в области включения можно отметить эффекты множе-ственной высокоуровневой фокусировки полей в теневой зоне за включением.В рассеянном поле выделяются явно выраженные интенсивные огибающиепотоки и наблюдается специфический эффект возникновения зон фокуси-ровки волн в теневой области на больших расстояниях от включения. Приλ = h наблюдается выраженная картина формирования каналов отражения

116


у граней слоя во фронтальной зоне, а также формирование специфическихподобластей взаимного гашения падающей и отраженной волн в прилежащейк срединной поверхности зоне фронтальной области и противоположный эф-фект фокусной концентрации поля в теневой области за включением (рис. 9).



Рис. 9. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 0.5c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = h, δ = 0.25.

Рис. 10. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 2c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = 0.25h, δ = 4.


117


В случаях, когда рассматриваются включения повышенной жесткости,геометрические и механические параметры которых имеют характеристикиc44 = 2c

∗, c55 = c

∗, R = 0.5h, δ = 4, можно также акцентировать малые

эффекты отражения и выраженное обтекание включения при падении отно-сительно коротких волн с λ = 0.25h (рис. 10). При увеличении относитель-ной длины падающей волны в случаях λ = 0.5h (рис. 11), λ = 0.7h (рис. 12)и λ = h (рис. 13) включение с разной степенью выраженности играет рольрассеивателя, а специфика геометрии поля рассеянных волн может рассмат-риваться как параметр обратных задач по идентификации формы и свойстврассеивающего препятствия. Следует также указать на эффекты формиро-вания вихрей в отраженных полях и на формирование каналов отражения уграней слоя во фронтальной зоне взаимодействия волны с препятствием.


Рис. 13. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 2c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = h, δ = 4.

Наконец, падение волн различной относительной длинны на включение схарактеристиками c44 = 0.5c

∗, c55 = c

∗, R = 0.5h, δ = 4 (рис. 14 – 17) гене-

рирует низкоинтенсивные поля во включении и сопровождается повышениемстепени регулярности в строении полей рассеянных волн с элементами кон-центрирующей фокусировки. Растет также интенсивность эффектов отраже-ния во фронтальной зоне.

Рис. 14. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 0.5c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = 0.25h, δ = 4.

Приведенные распределения подтверждают также априорные свойствасопоставительного уменьшения длины преломляющихся волн в мягком вклю-чении и увеличения длины этих волн в относительно жестком включении. Во

118




Рис. 17. Картина распределения волновых перемещений дляслучая c44 = 0.5c∗, c55 = c∗, R = 0.5 h, λ = h, δ = 4.

всех случаях более контрастно изменяющимся является поле в теневой зоневзаимодействия.

Выводы. С использованием метода изображений и приема аффинногопреобразования координат для получения классического волнового уравне-ния из обобщенного метагармонического получено теоретическое численно-аналитическое решение двумерной краевой задачи о дифракционном рас-сеянии бегущих симметричных нормальных волн продольного сдвига напрямолинейно-ортотропном цилиндрическом упругом включении эллиптиче-ского поперечного сечения в плоскопараллельном ортотропном деформиру-емом слое. Рассмотрен случай нормального падения волны из произвольноймоды дисперсионного спектра на включение с осью, лежащей в срединнойплоскости слоя с закрепленными плоскими гранями. Решение задачи сведе-но к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относитель-но коэффициентов представлений волновых полей в областях сечения слоя ивключения рядами по базисным частным решениям в цилиндрических функ-циях для классических волновых уравнений, получаемых из соответствую-щих уравнений динамической антиплоской деформации ортотропной средыпутем аффинных преобразований. Представлены результаты численных ис-следований для случая падения волны низшей моды дисперсионного спектра.На их основе установлен и описан ряд ведущих закономерностей в распреде-лениях волновых перемещений в ближнем и дальнем дифракционном полепри варьировании соотношения полуосей эллиптического сечения включения,

119


относительной длины падающей волны, а также коэффициента пропорцио-нальности модулей сдвига для ортотропных материалов слоя и включения.В частности, описаны эффекты фокусирующей либо рассеивающей функциивключения для преломляющихся в нем волн в зависимости от соотношениясдвиговых жесткостей материалов включения и слоя; эффекты усложнениякартины распределения волновых перемещений в протяженной теневой зонеза включением и появление зон выраженной фокусировки в полях переме-щений в этой зоне; появление зон выраженной фокусировки в полях пре-ломляющихся во включении волн; эффекты малости искажений, вносимых вполе падающих волн отраженными от включения волнами во фронтальнойобласти взаимодействия.

1. Pao Y.H., Mow C.C. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations. –New York: Crane Russak, 1973. – 308 р.

2. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. – К.: Наук.думка, 1972. – 254 с.

3. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка,1978. – 308 с.

4. Fang X.-Q. Multiple scattering of electro-elastic waves from a buried cavity in a functi-onally graded piezoelectric material layer // Intern. J. Solids Struct. – 2008. – 45. –P. 5716–5729.

5. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H. et al. Dynamic stress from a cylindrical inclusionburied in a functionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves //Compos. Sci. Technol. – 2009. – 69. – P. 1115–1123.

6. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H., Zhang L.-L. Dynamic stress around two holes in afunctionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves // Phil. Mag.Lett. – 2010. – 90. – P. 361–380.

7. Fang X.-Q., Liu J.-X., Zhang L.-L., Kong Y.-P. Dynamic stress from a subsurface cyli-ndrical inclusion in a functionally graded material layer under anti-plane shear waves //Mater. Struct. – 2011. – 44. – P. 67–75.

8. Yang Y.-H., Wu L.-Z., Fang X.-Q. Non-destructive detection of a circular cavity in afinite functionally graded material layer using anti-plane shear waves // J. NondestructiveEval. – 2010. – 29. – P. 233-240.

9. Golovchan V.T., Guz A.N. Shear-wave propagation in an elastic layer perforated by a seriesof cylindrical cavities // Soviet Applied Mechanics. – 1976. – 12, Issue 9. – P. 888–892.

10. Острик В.И., Фильштинский Л.А. Динамические задачи магнитоупругости дляслоя и полуслоя с туннельными полостями и трещинами продольного сдвига // Изв.НАН Армении. Механика. – 1991. – 44, 4. – С. 34–45.

11. Ostrik V.I., Filshtinskii L.A. The interaction of a magnetoelastic shear wave with longi-tudinal cavities in a conducting layer // J. of Mathematical Sciences. – 1996. – 79, Iss. 6.– P. 1450-1454.

12. Itou S. Diffraction of a stress wave by a cylindrical cavity in an infinite elastic strip //Lett. Appl. Engng. Sci. – 1984. – 22, 4. – P. 475–490.

13. Taraldsen G. The complex image method // Wave Motion. – 2005. – 43. – P. 91–97.14. Вуколов Д.С., Сторожев В.И. Дифракционное рассеяние нормальных волн сдвига на

туннельном цилиндрическом включении в упругом слое с закрепленными гранями //Вестн. Донецкого национального ун-та. Сер. А. Естеств. науки. – 2014. – 1. – С. 14–21.

120


D.S. Vukolov, V.I. Storozhev

Diffraction scattering of normal shear waves at the inner orthotropic cylindri-cal inclusion of elliptical cross section in orthotropic elastic layer with fixedfaces

A numerical-analytical solution of two-dimensional boundary problem of diffraction scatteringof symmetric normal shear waves on elliptic cylindrical anisotropic elastic inclusion in the de-formable layer using the method of images and method of affine transformation is obtained. Thecase of normal incidence of the wave on inclusion with the axis lying in the median plane of thelayer with fixed faces is investigated. Solution of the problem is reduced to an infinite systemof linear algebraic equations for the coefficients of representations of wave fields in the areas ofcross-section of the layer and the inclusion by series in the basic particular solutions of waveequations expressed in cylindrical functions. The results of numerical investigation characteriz-ing a number of leading effects in the distribution of the wave displacements in the near- andfar- diffraction field obtained by varying the relative radius of inclusions, the relative length ofthe incident wave on the lowest mode of dispersion spectrum, and the ratio of the shear modulusfor the material layer and inclusion are presented.

Keywords: fixed orthotropic elastic layer, diffractive scattering of normal shear waves,numerical-analytical study, the method of images, the series of basic solutions of wave equa-tions, behaviour of distribution of wave displacements.

Д.С.Вуколов, В.I.Сторожев

Дифракцiйне розсiювання нормальних хвиль зсуву на внутрiшньомуцилiндричному ортотропному включеннi з елiптичним перерiзомв ортотропному пружному шарi iз закрiпленими гранями

З використанням методу зображень отримано чисельно-аналiтичний розв’язок двовимiр-ної крайової задачi про дифракцiйне розсiювання бiжучих симетричних нормальних хвильпоздовжнього зсуву на прямолiнiйно ортотропному цилiндричному пружному включеннiелiптичного поперечного перерiзу в плоскопаралельному ортотропному деформiвному ша-рi. Розглянуто випадок нормального падiння хвилi з довiльної моди дисперсiйного спектруна включення з вiссю, що лежить в серединнiй площинi шару з закрiпленими плоскимигранями. Задачу зведено до нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдноснокоефiцiєнтiв зображень хвильових полiв в областях перерiзу шару i включення рядамиза вiдповiдними базисними частинними розв’язками хвильових рiвнянь у цилiндричнихфункцiях в афiнно-перетворених координатах. Подано результати чисельних дослiджень,що характеризують низку провiдних закономiрностей в розподiлах хвильових перемiщеньв ближньому i далекому дифракцiйному полi для варiантiв задачi, в яких спiввiдношенняквадратiв пiвосей елiптичного перетину включення дорiвнюють спiввiдношенням вiдпо-вiдних модулiв поздовжнього зсуву для матерiалiв шару i включення. Розглянуто випадкиварiювання пiвосей елiптичного перетину, вiдносної довжини падаючої хвилi з нижчої модидисперсiйного спектру, а також показника пропорцiональностi для модулiв поздовжньогозсуву ортотропних матерiалiв шару i включення.

Ключовi слова: закрiплений ортотропний пружний шар, дифракцiйне розсiювання нор-мальних хвиль зсуву, чисельно-аналiтичне дослiдження, методи зображень i афiннихперетворень, закономiрностi розподiлу хвильових перемiщень.


[email protected]


121


УДК 539.3:534.1

c©2014. И.А. Глухов, В.И. Сторожев

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫВ СТРУКТУРЕ “ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙМЕЖДУ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫМИПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ”

Для волноводной структуры в виде трансверсально-изотропного слоя, заключенного меж-ду двумя идеально контактирующими с ним однотипными по физико-механическим свой-ствам трансверсально-изотропными полупространствами, построена аналитическая форматрансцендентного дисперсионного соотношения, описывающего распространение локализо-ванных продольно-сдвиговых упругих волн с антисимметричными по толщинной коорди-нате колебательными перемещениями. Получен ряд результатов качественного асимпто-тического и численного анализа дисперсионного соотношения. Представлены результатырасчетов характеристик нескольких низших действительных ветвей дисперсионных спект-ров для рассматриваемых волноводных структур из реальных геоматериалов.

Ключевые слова: трансверсально-изотропный слой между трансверсально-изотроп-ными полупространствами, антисимметричные локализованные продольно-сдвиговыеупругие волны, трансцендентные дисперсионные уравнения, волноводы с компонентамииз геоматериалов.

Введение. Теоретические исследования спектров и свойств локализо-ванных волн деформаций в волноводной структуре в виде трансверсально-изотропного слоя, заключенного между двумя идеально контактирующи-ми с ним однотипными по физико-механическим свойствам трансверсально-изотропными полупространствами, представляют интерес в связи с вопроса-ми совершенствования геоакустических технологий и методов ультразвуково-го зондирования пластов полезных ископаемых [4, 8, 9]. Фрагментарное иссле-дование этой проблемы осуществлено без учета различных типов анизотро-пии физико-механических свойств компонентов подобных волноводов. В ча-стности, в работах [2, 6, 7] представлены численно-аналитические исследова-ния процессов распространения локализованных упругих волн в изотропномслое, заключенном между однотипными изотропными полупространствамипри условии идеального механического контакта составляющих рассматри-ваемой волноводной структуры. В [3] рассмотрена волноводная структура,образуемая тонким анизотропным слоем, заключенным между двумя одно-типными изотропными слоями произвольной толщины, что в ситуации не-ограниченно увеличивающейся толщины слоев позволяет интерпретироватьволновод как слой, контактирующий с полупространствами. В [5] представле-ны сугубо теоретические аналитические результаты исследований, посвящен-ных формулировке дисперсионных соотношений для волновода в виде заклю-ченного между полупространствами слоя, материалы которых принадлежатпроизвольному классу анизотропии. При этом для реальных геоструктур,образующих волновод рассматриваемого типа, составленный из осадочныхлибо вулканических пород, учет поперечной анизотропии является важным

122

Локализованные антисимметричные волны

элементом адекватности используемых моделей.Целью настоящей работы является построение аналитической формы

трансцендентного дисперсионного соотношения, описывающего распростра-нение локализованных продольно-сдвиговых упругих волн с антисимметри-чными по толщинной координате слоя колебательными перемещениями, вслучае идеального механического контакта компонентов волновода.

1. Постановка задачи. Рассматривается волновод, занимающий вотнесенных к нормирующему параметру R

∗= h безразмерных прямоуголь-

ных координатах Ox1x2x3 область

VΣ = V (H+) ∪ V (L) ∪ V (H−),

где V (H+) = (x1, x2) ∈ R2, x3 > h/2, V (H−) = (x1, x2) ∈ R2, x3 < −h/2,V (L) = (x1, x2) ∈ R2,−h/2 ≤ x3 ≤ h/2. Компоненты волновода составленыиз трансверсально-изотропных материалов с осями упругой симметрии, кол-линеарными Ox3. Физико-механические свойства полупространств V (H+) иV (H−) идентичны и отличаются от физико-механических свойств слоя V (L).Материалы компонентов волновода характеризуются модулями упругости

c(L)

ijи c

(H+)

ij= c

(H−)

ij= c

(H)

ij, отнесенными к нормирующему параметру c

∗,

а также плотностями ρ(L) и ρ(H+) = ρ(H−) = ρ(H). Анализу подлежат про-цессы распространения в данном волноводе антисимметричных по толщи-не слоя гармонических упругих волн P − SV типа вдоль произвольно ори-ентированного направления в его плоскости. В качестве такого направле-ния без ограничения общности выбирается координатное направление Ox1.Рассматриваемая модель распространения локализованных волн описыва-ется краевой задачей, включающей системы уравнений волнового деформи-рования для всех компонентов волновода

L(ξ)

j1u(ξ)

1(x1, x3, t) + L

(ξ)

j2u(ξ)

3(x1, x3, t) = 0 (j = 1, 2; ξ = L,H+,H−

), (1)

и краевыми условиями их идеального механического контакта

u(H−)

s(x1,−h/2, t) = u(L)

s(x1,−h/2, t), σ

(H−)

3s(x1,−h/2, t) = σ

(L)

3s(x1,−h/2, t),

u(H+)

s (x1, h/2, t) = u(L)s (x1, h/2, t), σ(H+)

3s(x1, h/2, t) = σ

(L)

3s(x1, h/2, t), (2)

в которых

L(ξ)

11(∂1, ∂3, ∂t) = c

(ξ)

11∂2

1 + c(ξ)

44∂2

3 + ρ(ξ)∂2

t,

L(ξ)

22(∂1, ∂3, ∂t) = c

(ξ)

44∂2

1 + c(ξ)

33∂2

3 + ρ(ξ)∂2

t ,

L(ξ)

12(∂1, ∂3, ∂t) = L

(ξ)

21(∂1, ∂3, ∂t) = (c

(ξ)

13+ c

(ξ)

44)∂1∂3,

123

И.А. Глухов, В.И. Сторожев

∂s = ∂/∂xs (s = 1; 3), ∂t = ∂/∂t,

u(ξ)

1(x1, x3, t), u

(ξ)

3(x1, x3, t) – безразмерные компоненты отнесенного к R

∗

комплексного вектора волновых упругих перемещений, σ(ξ)

ij– отнесенные к

c∗

нормированные компоненты тензора динамических напряжений.

2. Построение основного дисперсионного соотношения. Для со-ставляющих вектора волновых динамических перемещений в компонентахволновода с учетом идентичности свойств вмещающих полупространств вво-дятся исходные представления

u(H+)

1(x1, x3, t) = (A

(H)

11exp(−α

(H)

1x3) +A

(H)

21exp(−α

(H)

2x3))E(x1, t),

u(H+)

3(x1, x3, t) = (A

(H)

13exp(−α

(H)

1x3) +A

(H)

23exp(−α

(H)

2x3))E(x1, t);

u(L)

1(x1, x3, t) = (A

(L)

11sinh(α

(L)

1x3) +A

(L)

21sinh(α

(L)

2x3))E(x1, t),

u(L)

3(x1, x3, t) = (A

(L)

13cosh(α

(L)

1x3) +A

(L)

23cosh(α

(L)

2x3))E(x1, t);

u(H−)

1(x1, x3, t) = (A

(H)

11exp(α

(H)

1x3) +A

(H)

21exp(α

(H)

2x3))E(x1, t),

u(H−)

3(x1, x3, t) = (A

(H)

13exp(α

(H)

1x3) +A

(H)

23exp(α

(H)

2x3))E(x1, t);

E(x1, t) = exp[−i(ωt− kx1)],

(3)

в которых α(ξ)

j= (−b(ξ) + (−1)j((b(ξ))2 − 4a(ξ)c(ξ))1/2)/(2a(ξ)) – корни ха-

рактеристических полиномов

(α(ξ))4 + b(ξ)/a(ξ)(α(ξ))2 + c(ξ)/a(ξ) = 0 (4)

с коэффициентами вида

a(ξ) = c(ξ)

33c(ξ)

44, b(ξ) = (c

(ξ)

33+ c

(ξ)

44)(Ω(ξ))2 + ((c

(ξ)

13)2 − 2c

(ξ)

13c(ξ)

44− c

(ξ)

11c(ξ)

33)k2,

c(ξ) = ((Ω(ξ))2 − c(ξ)

11k2)((Ω(ξ))2 − c

(ξ)

44k2),

(Ω(ξ))2 = ρ(ξ)ω2R2

∗/c

∗= (ρ(ξ)/ρ

∗)Ω2 (ξ = L;H).

Подстановка (3) в дифференциальные уравнения (1) позволяет записать со-отношения

A(H)

13= δ

(H)

13A

(H)

11, A

(H)

23= δ

(H)

23A

(H)

21, A

(L)

13= δ

(L)

13A

(L)

11, A

(L)

23= δ

(L)

23A

(L)

21,

δ(H)

13= [((Ω(H))2 − c

(H)

11k2 − c

(H)

44(α

(H)

1)2)/(ik(c

(H)

13+ c

(H)

44)α

(H)

1δ(H)],

δ(H)

23= [(ik(c

(H)

13+ c

(H)

44)α

(H+)

1δ(H)/((Ω(H))2 − c

(H)

44k2 − c

(H)

33(α

(H)

1)2)],

δ(L)

13= [((Ω(L))2 − c

(L)

11k2 − c

(L)

44(α

(L)

1)2)/(ik(c

(L)

13+ c

(L)

44)α

(L)

1δ(L)],

δ(L)

23= [(ik(c

(L)

13+ c

(L)

44)α

(L)

1δ(L)/((Ω(L))2 − c

(L)

44k2 − c

(L)

33(α

(L)

1)2)].

(5)

124


Использование соотношений (3) в краевых условиях (2) порождает одно-родную систему линейных алгебраических уравнений относительно неопре-

деленных постоянных коэффициентов A(H)

11, A

(H)

21, A

(L)

11, A

(L)

21с матрицей

‖dn,m(Ω, k)‖, имеющей ненулевые элементы вида

d1,m = −cm, d1,m+2 = e(H)

m, d2,m = −δ

(L)

m3sm, d2,m+2 = δ

(H)

m3e(H)

m,

d3,m = c(L)

44(ikδ

(L)

m3+ α(L)

m)sm, d3,m+2 = c

(H)

44(ikδ

(H)

m3− α(H)

m)e(H)

m,

d4,m = −(c(L)

13ik + c

(L)

33δ(L)

m3α(L)

m)cm,

d4,m+2 = (c(H)

13ik − c

(H)

33α(H)

mδ(H)

m3)e(H)

m(m = 1, 2),

e(H)

j= exp(−α

(H)

jh/2), cj = sinh(α

(L)

jh/2), sj = cosh(α

(L)

jh/2).

При этом равенствоdet ‖dn,m(Ω, k)‖ = 0 (6)

и является искомым дисперсионным соотношением, связывающим пара-метры нормированного безразмерного волнового числа k и приведеннойчастоты Ω.

3. Качественное исследование свойств дисперсионного соотноше-ния. Анализ областей существования локализованных бегущих волн иссле-дуемого типа на множестве изменения параметров (Ω, k) при различных соче-таниях физико-механических свойств слоя и окружающих полупространствсвязан с качественным исследованием распределений корней характеристи-ческих полиномов для систем обыкновенных дифференциальных уравненийотносительно комплексных амплитудных функций волновых перемещений вкомпонентах волновода, зависящих от толщиной координаты x3. Описыва-емая схема анализа типологии корней характеристических полиномов за-ключается в делении области Ω ∈ [0,∞), k ∈ [0,∞) на секторы с грани-

цами, уравнения которых следуют из условий c(ξ)(Ω, k) = 0 и имеют вид

Ω = (c(ξ)

11c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k, Ω = (c

(ξ)

44c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k. Выделенные таким обра-

зом секторы являются областями постоянства типа корней характеристи-ческих полиномов. Они классифицируются как секторы вида 1, в которых

Ω > (c(ξ)

11c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k; секторы вида 2, в которых (c

(ξ)

44c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k <

< Ω < (c(ξ)

11c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k и секторы вида 3, в которых Ω < (c

(ξ)

11c∗/ρ(ξ))1/2R

∗k.

В подобласти (Ω, k) потенциального существования локализованных бегущих

волн исследуемого типа значения корней α(H)

jхарактеристических полиномов

вида (4) должны быть действительными. Для оценки типа корней в секторахпервого вида анализируется асимптотический вариант характеристическогополинома (4) при Ω >> k, имеющего вид

(α(ξ))4 +Ω2((c(ξ)

33)−1 + (c

(ξ)

44)−1)(α(ξ))2 +Ω4(c

(ξ)

33c(ξ)

44)−1 = 0.

125


Из его анализа следует, что в секторах вида 1 корни характеристическихполиномов имеют мнимые значения. Тип корней полиномов (4) в секторахвида 3 может быть установлен путем анализа асимптотического вариантахарактеристического полинома

(α(ξ))4 + k2((c(ξ)

13+ c

(ξ)

44)2 − c

(ξ)

13c(ξ)

33− (c

(ξ)

44)2)(c

(ξ)

33c(ξ)

44)−1(α(ξ))2 + k4c

(ξ)

11c(ξ)

44= 0

при Ω << k. Устанавливаемый тип зависит от знакоопределенности комби-наций упругих постоянных

R1(c(ξ)

ij) = ((c

(ξ)

13+ c

(ξ)

44)2 − c

(ξ)

13c(ξ)

33− (c

(ξ)

44)2)/(c

(ξ)

33c(ξ)

44))2 − 4c

(ξ)

11/c

(ξ)

33,

R(±)

2(c

(ξ)

ij) = −((c

(ξ)

13+ c

(ξ)

44)2 − c

(ξ)

13c(ξ)

33− (c

(ξ)

44)2)/(c

(ξ)

33c(ξ)

44))± (R1(c

(ξ)

ij))1/2.

В частности, при условиях R1(c(ξ)

ij) ≥ 0, R

(+)

2(c

(ξ)

ij) > 0, R

(−)

2(c

(ξ)

ij) > 0 ха-

рактеристические полиномы в секторах третьего вида имеют действительныекорни, что является необходимым условием для существования анализируе-мых локализованных волн.

4. Результаты численных исследований. Качественный анализ вол-новодных свойств для рассматриваемой структуры, а также расчеты действи-тельных ветвей дисперсионных спектров с использованием дисперсионногосоотношения (6) реализованы для волноводов, составленных из реальныхтрансверсально-изотропных геоматериалов с техническими упругими посто-янными, приведенными в [1]. Значения независимых нормированных модулейупругости cij и параметров плотности ρ c ρ

∗= 103 кг/м3 для этих материалов

представлены в табл. 1.Для рассматриваемых волноводов возможны следующие классифициру-

емые типы взаимозависимостей между характеристиками скоростей объем-ных волн продольного clξ и сдвигового ctξ типа в слое (L) и полупростран-стве (H): тип A – ctL < clL < ctH < clH ; тип B – ctL < ctH < clL < clH ;тип C – ctL < ctH < clH < clL; тип D – ctH < clH < ctL < clL; тип E –ctH < ctL < clH < clL; тип F – ctH < ctL < clL < clH . В табл. 2 отраже-ны результаты анализа типологии таких зависимостей для волноводов с раз-личными сочетаниями геоматериалов слоя и вмещающих полупространств изчисла приведенных табл. 1.

Расчеты подмножеств низших ветвей дисперсионных спектров локализо-ванных антисимметричных бегущих волн осуществлены для четырех видовволноводов рассматриваемой геометрической структуры, относящихся к ти-пу А по представляемым в табл. 2 и табл. 3 сочетаниям физико-механическихсвойств компонентов. На рис. 1 – 4 в одинаковых диапазонах изменения при-веденной частоты и нормированного волнового числа соответственно приве-дены фрагменты действительных ветвей спектров для волновода 1 с компо-нентами “песчаный сланец (L) – известняк 3 (H)”; для волновода 2 с компонен-тами “песчаный сланец (L) – базальт 1 (H)”; для волновода 3 с компонентами“песчаный сланец (L) – песчаник 3 (H)”; для волновода 4 с компонентами“песчаник 1 (L) – известняк 3 (H)”.

126


Таблица 1.

Обнаруживаемым характерным свойством рассчитанных распределенийявляется высокая степень зависимости топологии низших ветвей в спектрахбегущих локализованных волн от типа материала компоненты L. В рас-сматриваемом диапазоне изменения частоты и волнового числа рассчитан-ные спектры для волноводов первого и второго видов содержат по шестьфрагментов ветвей с различающимися частотами запирания и относитель-ными длинами волн на этих частотах; для волновода вида 3 – семь фрагмен-тов действительных ветвей спектра; для волновода вида 4 – три фрагментадействительных ветвей. Проведенный численный анализ позволяет выделитьчастотные диапазоны, в которых для каждого из волноводов рассматривае-мого типа существует единственная, принадлежащая низшей моде спектра,локализованная бегущая волна, наиболее востребованная в схемах геоаку-стической диагностики. Данные диапазоны ограничены частотами запираниядля первой и второй мод бегущих локализованных волн.

Для волновода первого вида таким диапазоном в приведенных частотахприблизительно является диапазон Ω ∈ (0, 6; 1, 2); для волновода второговида – диапазон Ω ∈ (0, 4; 1, 4); для волновода третьего вида – диапазонΩ ∈ (1, 2; 1, 9); для волновода четвертого вида – диапазон Ω ∈ (1, 0; 1, 4).

127


Таблица 2.

Таблица 3.

При этом, к примеру, технические частоты волн, приблизительно ограни-чивающие данные диапазоны для рассматриваемых волноводов с толщинойвмещаемого слоя 0,6м, соответственно равны: 503 Гц и 1006 Гц для волно-вода первого вида, 335 Гц и 1173 Гц для волновода второго вида, 1006 Гц

128


и 1592 Гц для волновода третьего вида, 838 Гц и 1173 Гц для волноводачетвертого вида.

Рис. 1

Рис. 2

129


Рис. 3

Рис. 4

130


1. Аннин Б.Д. Трансверсально-изотропная упругая модель геоматериалов // Сиб. журн.индустр. математики. – 2009. – XII, 3(39). – С. 5–14.

2. Григорян В.Г., Вендлер Л. Локализованные акустические волны в слоистых структу-рах // Физика твердого тела. – 1991. – 33, 7. – C. 2120–2128.

3. Datta S.K. On ultrasonic guided waves in a thin anisotropic layer lying between two isotropiclayers // J. Acoust. Soc. Am. – 2000. – 108. – P. 2005–2011.

4. Hoven J. M. Acoustic waves in finely layered media // Geophysics. – 1995. – 7.60, 4. –P. 1217–1221.

5. Ting T.C.T. Steady waves in an anisotropic elastic layer attached to a half-space or betweentwo half-spaces – A generalization of Love waves and Stoneley waves // Math. and mech.of solids. – 2009. – 14, 1–2. – P. 52–71.

6. Velasco V.R., Djafari-Rouhani B. Dynamics of systems with two interfaces // Phys. Rev.– 1982. – B 26. – P. 1929–1941.

7. Wendler L., Grigoryan V.G. Acoustic interface waves in sandwich structures // SurfaceScience. – 1988. – 206. – P. 203–224.

8. White J.E. Computed wave forms in transversely isotropic media // Geophysics. – 1982. –47. – P. 771–783.

9. White J.E. Underground sound. application of seismic waves. – Elsevier Science PublishersB.V., 1983. – 270 p.

I.A. Glukhov, V.I. Storozhev

Localized antisymmetric waves in structure “transversely isotropic layerbetween the transversely isotropic half-spaces”

In the view of the functional determinant of the fourth order, an analytical form is obtainedfor the transcendental dispersion relation describing the properties of localized symmetricallongitudinal-shear elastic waves along a transversely-isotropic layer between two transversely-isotropic half-spaces with identical physical and mechanical properties. Some qualitative resultsof asymptotic analysis of dispersion equations are obtained. Results of calculation of low realbranches of dispersion spectrums for considered geomaterials waveguides are presented.

Keywords: transversely isotropic layer between two transversely isotropic half-spaces, localizedlongitudinal-shear elastic waves, transcendental dispersion relations, waveguides with componentsof geomaterials.

I.А. Глухов, В.I. Сторожев

Локалiзованi антисиметричнi хвилi в структурi “трансверсально-iзотропний шар помiж трансверсально-iзотропних пiвпросторiв”

В аналiтичнiй формi функцiонального визначника четвертого порядку визначено диспер-сiйну функцiю, яка описує закономiрностi поширення симетричних за товщинною коорди-натою локалiзованих поздовжньо-зсувних пружних хвиль у трансверсально-iзотропномушарi промiж двома iдеально контактуючими з ним однотипними за фiзико-механiчнимивластивостями трансверсально-iзотропними пiвпросторами. Подано окремi результатиякiсного асимптотичного аналiзу дисперсiйного спiввiдношення та результати розрахункiвдiйсних гiлок дисперсiйних спектрiв для декiлькох типiв розглянутих хвилеводних струк-тур, утворених з реальних геоматерiалiв.

Ключовi слова: трансверсально-iзотропний шар промiж трансверсально-iзотропнимипiвпросторами, антисиметричнi локалiзованi поздовжньо-зсувнi пружнi хвилi, транс-цендентнi дисперсiйнi рiвняння, хвилеводи з компонентами iз геоматерiалiв.


[email protected]


131


УДК 539.3:534.1

c©2014. И.А. Моисеенко

ВОЛНЫ КРУЧЕНИЯ ВДОЛЬ ПОЛОГО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГОЦИЛИНДРА С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ

Получена и исследована аналитическая форма дисперсионных соотношений, описывающихспектры осесимметричных нормальных волн кручения в протяженных экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах концентрического кольцевого сече-ния с жестко закрепленными граничными поверхностями. Описаны некоторые эффектывлияния параметров неоднородности и механической анизотропии на топологические кар-тины дисперсионных спектров и кинематические характеристики бегущих нормальныхволн варьируемой длины из низших мод спектров.

Ключевые слова: трансверсально-изотропный цилиндрический волновод, концентриче-ское кольцевое сечение, экспоненциальная радиальная неоднородность, осесимметричныенормальные волны кручения, дисперсионные спектры.

В работах по исследованию закономерностей процессов распространениянормальных упругих волн в трансверсально-изотропных цилиндрах круго-вого [1–7], кольцевого [8, 9] и составного кольцевого (многослойного) [10]сечения используется модель однородного по физико-механическим свой-ствам материала. Вместе с тем, с позиций расширения и углубления фун-даментальных исследований, а также с учетом характера изменений свойствматериалов цилиндрических элементов конструкций при применении ра-зличных технологий обработки, актуальными являются проблемы анали-за спектров и свойств нормальных упругих волн вдоль полых непрерывно-неоднородных по радиальной координате анизотропных цилиндров, в томчисле трансверсально-изотропных цилиндров с экспоненциальной радиаль-ной неоднородностью физико-механических свойств. Целью настоящей рабо-ты является получение и анализ дисперсионных зависимостей для одного изклассов волновых процессов в протяженных экспоненциально-неоднородныхтрансверсально-изотропных цилиндрах концентрического кольцевого сече-ния с жестко закрепленными граничными поверхностями.

1. Постановка задачи. Рассматривается бесконечно протяженныйтрансверсально-изотропный упругий цилиндр концентрического кольцевогосечения ширины 2h с внутренним радиусом r0−h и внешним радиусом r0+h,имеющий жестко закрепленные граничные поверхности. В цилиндрическихкоординатах Orθz, вводимых с отнесением координатных переменных линей-ной размерности к нормирующему параметру R

∗= R, рассматриваемое тело

занимает область V = r ∈ [r0 − h, r0 + h] ; 0 ≤ θ ≤ 2π, z ∈ (−∞,∞).Динамическое деформирование цилиндра описывается системой диффе-

132

Волны кручения в экспоненциально-неоднородном цилиндре

ренциальных уравнений движения

1

r

∂

∂r(rσrr) +

1

r

∂

∂θσrθ +

∂

∂zσrz −

1

rσθθ −

ρR2∗

c∗

∂2

∂t2ur = 0,

1

r

∂

∂r(rσθr) +

1

r

∂

∂θσθθ +

∂

∂zσθz +

1

rσrθ −

ρR2∗

c∗

∂2

∂t2uθ = 0,

1

r

∂

∂r(rσzr) +

1

r

∂

∂θσzθ +

∂

∂zσzz −

ρR2∗

c∗

∂2

∂t2uz = 0,

(1)

где ur, uθ, uz – компоненты отнесенного к нормирующему параметру R∗

без-размерного вектора динамических упругих перемещений; σαβ (α, β = r, θ, z)– компоненты отнесенного к нормирующему параметру c

∗тензора динами-

ческих напряжений; ρ – плотность материала цилиндра; t – время. В иссле-дуемом случае осесимметричных динамических деформаций кручения, ха-рактеризуемом полем волновых перемещений uθ (r, z, t), ur = uz = 0 и полемдинамических напряжений σrθ (r, z, t), σθz (r, z, t), σrr = σrz = σθθ = σzz = 0,следствием из системы (1) является уравнение

1

r

∂

∂r(rσθr) +

∂

∂zσθz +

1

rσrθ −

ρR2∗

c∗

∂2

∂t2uθ = 0, (2)

а рассматриваемые граничные условия закрепления внутренней и внешнейцилиндрических поверхностей имеют вид

(uθ)r=r0−h= (uθ)r=r0+h

= 0. (3)

Полагается, что трансверсально-изотропный материал цилиндра являетсяэкспоненциально-неоднородным [11 – 16] в радиальном направлении по всемсвоим физико-механическим свойствам, а его плотность ρ и отнесенные к c

∗

нормированные модули упругости cij описываются представлениями

ρ = ρ(0) exp (λr) , cij = c(0)

ijexp (λr) , (4)

в которых λ – действительнозначный приведенный параметр неоднородности.При этом для характеристик тензора динамических напряжений σrθ, σθz вполе волн кручения зависимости от uθ имеют вид

σrθ = c(0)

66exp (λr)

(

∂uθ∂r

− uθr

)

, c(0)

66=

(

c(0)

11− c

(0)

12

)

/2; (5)

σθz = c(0)

44exp (λr)

∂uθ∂z

.

133

И.А. Моисеенко

2. Получение аналитической формы дисперсионных соотноше-ний. При построении решения рассматриваемой задачи используется пред-ложенный в работе [9] прием перехода к обобщенной безразмерной кольцевойкоординате

x = (r − r0) h−1.

Для комплексной функции волновых упругих перемещений uθ в исследуе-мых нормальных волнах с круговой частотой ω и нормированным волновымчислом k вводится представление

uθ (r, z, t) = uθ (r) exp (−i (ωt− kz)) . (6)

С учетом соотношений (4)–(6) уравнение (2) приводится к виду

(

ς2∂2

ς+ ς∂ς + ς2 − 1 + κ

(

ς2∂ς − ς))

uθ (ς) = 0, (7)

где ς = δ r, ∂ς = d/dς, κ = λ/δ, δ =√

Ω2 − ηk2,

η = c(0)

44/c

(0)

66, Ω2 = ρ(0)ω2R2

∗

/(

c∗c(0)

66

)

.

Результатом перехода в уравнении (7) к переменной x с использованием со-отношений

ς = δ(hx + r0), ∂ς = τ−1∂x, ∂x = d/dx, τ = hδ

является уравнение

(

(1 + εx)2(

∂2

x + κτ∂x + τ2)

+ ε (1 + εx) (∂x − κτ)− ε2)

uθ (x) = 0, (8)

в котором ε = hr−1

0. Граничные условия (3) при таком переходе принимают

видuθ (±1) = 0. (9)

Решение дифференциального уравнения (8) отыскивается в форме степенно-го ряда

uθ (x) =

∞

∑

m=0

a(α)m xm+α

(

a(α)

06= 0

)

, (10)

подстановка которого в (8) приводит к рекуррентной системе соотношений

α (α− 1) a(α)

0= 0; (11)

α(

(κτ + 2εα − ε) a(α)

0+ (1 + α) a

(α)

1

)

= 0; (12)

134


(

2τεκα + α2ε2 − τεκ+ τ2 − ε2)

a(α)

0+ (1 + α) (τκ+ 2εα + ε) a

(α)

1+

+(1 + α) (2 + α) a(α)

2= 0,

τε (εκα − εκ+ 2τ) a(α)

0+

(

2τεκα + ε2α2 + τεκ+ 2ε2α+ τ2)

a(α)

1+

+(2 + α) (τκ+ 2εα + 3ε) a(α)

2+ (3 + α) (2 + α) a

(α)

3= 0;

τ2ε2a(α)

m−4+ τε(εκ(m + α− 4) + 2τ)a

(α)

m−3+ (m2ε2 + 2mτεκ+ 2mε2α+

+2τεκα + ε2α2 − 4mε2 − 5τεκ− 4ε2α+ τ2 + 3ε2)a(α)

m−2+

+(m− 1 + α)(2mε + τκ+ 2εα − 3ε)a(α)

m−1+ (m+ α)(m− 1 + α)a

(α)

m = 0

(m = 4, 5, ...).

Соотношение (11) определяет условие существования нетривиальных ре-шений в рядах (10) для уравнения (8) – допустимые значения параметраα ∈ 0, 1. При этом для случая α = 0 в соотношениях (11) и (12) имеется

произвол в определении как a(0)

0, так и a

(0)

1, что, в частности, позволяет за-

дать a(0)

1= 0. Таким образом, с заданием a

(0)

0= 1, a

(0)

1= 0 и a

(1)

0= 1 для

решений уравнения (8) получено представление виде комбинации базисныхчастных решений

uθ (x) = b0ϕ0 (x) + b1ϕ1 (x) , (13)

где ϕ0 (x) =∞∑

m=0

a(0)

m xm, ϕ1 (x) =∞∑

m=0

a(1)

m xm+1, bj (j = 0, 1) – произволь-

ные постоянные коэффициенты. Использование выражения (13) при форму-лировке граничных условий (9) приводит в итоге к дисперсионным соотно-шениям вида

Fc (δ, λ, r0, h) = ϕ0 (1)ϕ1 (−1)− ϕ0 (−1)ϕ1 (1) = 0, Ω =√

δ2 + ηk2. (14)

Все ряды в представлениях ϕ0 (x) и ϕ1 (x) являются абсолютно и равномерносходящимися.

3. Результаты численных исследований. Форма дисперсионного со-отношения (14) позволяет последовательно использовать результаты анализа

параметрической зависимости δ (λ) и соотношения Ω (k, λ, η) =√

δ(λ)2 + ηk2

для исследования факторов влияния параметра неоднородности λ и показа-теля степени механической анизотропии материала цилиндра η на структу-ры дисперсионных спектров изучаемых волн. При этом следует отметить,что значения δ (λ) по физическому смыслу являются критическими частота-ми для мод бегущих нормальных волн рассматриваемого типа. Результатырасчетов зависимостей δ (λ) в диапазоне λ ∈ [−2.0, 2.0] для цилиндра с за-крепленной граничной поверхностью и приведенными геометрическими па-раметрами r0 = 3.0, h = 1.0 представлены на рис. 1.

135


Представленные зависимости являются немонотонными, что в большейстепени характерно для случая волн низшей моды. Их анализ показывает:в рассмотренном интервале изменения параметра неоднородности λ его вли-яние является достаточно мягким и существенно снижается по мере ростаномера моды бегущих волн. В частности, рост значений δ(2.0) по отношениюк δ(−2.0) составляет в случае первой моды спектра 32.0%, в случае второймоды – 9.9%, а в случае пятой моды – лишь 1.7%. Сами зависимости δ (λ) врассматриваемом случае являются немонотонными и имеют локальные ми-нимумы в окрестности точки λ = −1.0.

Различия в топологических карти-

Рис. 1

нах распределений пяти низших дей-ствительных ветвей спектров для закреп-ленных цилиндров с идентичными па-раметрами неоднородности λ = 2.0 иразличающимися показателями механи-ческой анизотропии η = 1/3 и η = 3соответственно характеризуют рис. 2 ирис. 3.

Специфика рассмотренного вариан-та закона неоднородности физико-меха-нических свойств материала волново-да влечет за собой неизменность пара-метров скоростей объемных сдвиговыхволн при любых значениях показателяλ. В свою очередь, это обуславливаетидентичность асимптотик мод распространяющихся нормальных волн кру-чения в высокочастотном коротковолновом диапазоне при любых значенияхпоказателя λ.

Рис. 2 Рис. 3

136


Различия кинематических форм упругих колебательных перемещений висследуемых волнах для цилиндров с различными показателями экспонен-циальной неоднородности характеризуют, в частности, распределения отно-сительных интенсивностей динамических крутильных перемещений Vθ(x) == uθ(x)/ max

x∈[−1,1]

|uθ(x)| в сечении волновода для моментов времени, со-

ответствующих началу периода волновых колебаний. Подобные распреде-ления в цилиндрах с альтернативными показателями радиальной неодно-родности λ = −2.0 и λ = 2.0 соответственно приведены на рис. 4 для волнпервой моды и на рис. 5 для волн пятой моды. Особенностью приведенныхраспределений, дающих представление об изменениях локализации областейповышенной интенсивности волновых колебаний, является неизменность по-ложения узловых точек анализируемых форм.

Рис. 4 Рис. 5

Выводы. В результате проведенных исследований в форме степенногоряда с определяемыми из рекуррентных соотношений коэффициентами по-лучено решение дифференциального уравнения, описывающего осесиммет-ричные крутильные гармонические колебания бесконечно протяженного по-лого трансверсально-изотропного экспоненциально-неоднородного в радиаль-ном направлении цилиндра. При построении решения использован прием пе-рехода к обобщенным радиальным координатам в концентрической кольце-вой области. Найденное решение использовано для получения дисперсионно-го уравнения, описывающего спектр нормальных волн кручения в рассматри-ваемом цилиндре с закрепленной внутренней и внешней граничной поверх-ностью. Для частного варианта геометрических параметров сечения цилин-дра проанализирована параметрическая зависимость дисперсионных соотно-шений и топологии распределений действительных ветвей спектров от пара-метра неоднородности. На основе расчета нормированных форм крутильныхволновых перемещений проиллюстрированы эффекты влияния показателяэкспоненциальной неоднородности на кинематические характеристики иссле-

137


дуемых нормальных волн из различных мод спектра. Областями использова-ния результатов представленного исследования являются прочностные рас-четы деталей машин, технологии ультраакустической диагностики, акусто-электроника.

1. Berliner M.J., Solecki R. Wave propagation in fluid-loaded transversely isotropic cylinders.Part 1. Analytical formulation // J. Acoustical Soc. Amer. – 1996. – 99. – P. 1841–1847.

2. Frazer W.B. Separable equations for a cylindrical anisotropic elastic waveguide // J. ofSound and Vibration. – 1980. – 72. – P. 151–157.

3. Honarvar F., Enjilela E., Sinclair A.N. Guided ultrasonic waves in composite cylinders// Mech. of Composite Materials. – 2007. – 43, 3. – P. 277–288.

4. Honarvar F., Enjilela E., Sinclair A.N., Mirnezami S.A. Wave propagation in transverselyisotropic cylinders // Intern. J. of Solids and Structures. – 2007. – 44. – P. 5236–5246.

5. Mirsky I. Wave propagation in transversely isotropic circular cylinders part 1: Theory //J. Acoustical Soc. Amer. – 1964. – 36. – P. 2106–2122.

6. Wei J.P., Su X.Y. Wave propagation in a piezoelectric rod of 6mm symmetry // Intern.J. of Solids and Structures. – 2005. – January, 42. – P. 3644–3654.

7. Winkel V., Oliviera J.E.B., Dai J.D., Jen C.K. Acoustic wave propagation in piezoelectricfibers of hexagonal crystal symmetry // IEEE Transactions on Ultrasonic, Ferroelectricand Frequency Control. – 1995. – 42. – P. 949–955.

8. Моисеенко В.А., Сторожев В.И., Шульга Н.А. Спектр нормальных волн в поломтрансверсально-изотропном цилиндре // Прикл. механика. – 1984. – 20, 9. – С. 117–118.

9. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном поломцилиндре // Прикл. механика. – 1974. – 10, 9. – С. 14–18.

10. Nayfeh A.H., Abdelrahman W.G., Nagy P.B. Analyses of axisymmetric waves in layeredpiezoelectric rods and their composites // J. Acoustical Soc. Amer. – 2000. – 108, 4. –P. 1496–1504.

11. Birman V., Byrd L.W. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials andStructures // Appl. Mech. Rev. – 2007. – 60, 5. – P. 195–216.

12. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H., Zhang L.-L. Dynamic stress around two holes in afunctionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves // Phil. Mag.Lett. – 2010. – 90. – P. 361–380.

13. Fang X.-Q., Liu J.-X., Wang X.-H. Dynamic stress from a cylindrical inclusion buried ina functionally graded piezoelectric material layer under electro-elastic waves // Compos.Sci. Technol. – 2009. – 69. – P. 1115–1123.

14. Fang X.-Q., Liu J.-X., Zhang L.-L., Kong Y.-P. Dynamic stress from a subsurface cyli-ndrical inclusion in a functionally graded material layer under anti-plane shear waves //Mater. Struct. – 2011. – 44. – P. 67–75.

15. Fang X.-Q. Multiple scattering of electro-elastic waves from a buried cavity in a functi-onally graded piezoelectric material layer // Intern. J. Solids Struct. – 2008. – 45. –P. 5716–5729.

16. Miyamoto Y., Kaysser W.A., Rabin B.H. et al. FGM: Design, processing and applications.– Dordrecht: Kluwer Academic, 1999. – 434 p.

I.А. Moiseyenko

Waves of torsion along the hollow exponentially inhomogeneous transverselyisotropic cylinder with fixed boundaries

The analytical form of the dispersion relations for describing the spectrum of axisymmetricnormal torsion waves in long exponentially inhomogeneous transversely isotropic cylinders hav-ing concentric annular cross-section with fixed boundary surfaces is obtained and investigated.Some effects of the influence of the parameters of heterogeneity and mechanical anisotropy on

138


the topology of the dispersion spectrums and kinematic characteristics of traveling normal wavesof varying lengths from lower modes of spectra are presented.

Keywords: transversely isotropic cylindrical waveguide, concentric annular cross-section, expo-nential radial inhomogeneous, axisymmetric normal waves of torsion, dispersion spectrums.

I.О. Моiсеєнко

Хвилi крутiння уздовж порожнистого експоненцiально-неоднорiдноготрансверсально-iзотропного цилiндра iз закрiпленими границями

Отримано i дослiджено аналiтичну форму дисперсiйних спiввiдношень, що описуютьспектри осесиметричних нормальних хвиль крутiння у видовжених експоненцiально-неоднорiдних трансверсально-iзотропних цилiндрах концентричного кiльцевого перерiзуз жорстко закрiпленими граничними поверхнями. Описано деякi ефекти впливу параме-трiв неоднорiдностi i механiчної анiзотропiї на топологiчнi картини дисперсiйних спектрiвi кiнематичнi характеристики бiжучих нормальних хвиль варiйованої довжини з нижчихмод спектрiв.

Ключовi слова: трансверсально-iзотропний цилiндричний хвилевiд, концентричнийкiльцевий перерiз, експоненцiальна радiальна неоднорiднiсть, осесиметричнi нормальнiхвилi крутiння, дисперсiйнi спектри.


[email protected]


139


УДК 539.3: 534.1

c©2014. М.Н. Пачева

ОТРАЖЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ ВОЛНОТ НАКЛОННОЙ ТОРЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУСЛОЯС ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ

Построено численно-аналитическое решение краевой задачи об отражении нормальной вол-ны сдвига от наклоненной к граням под произвольным углом плоской боковой поверхностиупругого полуслоя. Использована концепция метода частичных областей с выделением гео-метрических элементов сечения в виде полуполосы с ортогональной граням боковой грани-цей и треугольной подобласти, дополняющей сечение до полуполосы с наклонным торцом.Волновые поля в указанных подобластях представляются рядами с неопределенными ко-эффициентами по удовлетворяющим краевым условиям на плоских гранях и на наклоннойбоковой поверхности базисным частным решениям волнового уравнения в прямоугольныхи полярных координатах. Алгебраизация функциональных краевых условий механическо-го сопряжения выделенных в сечении подобластей осуществляется методом наименьшихквадратов. Представлены отдельные результаты расчета полей волновых упругих пере-мещений в окрестности скошенной боковой поверхности для ряда значений относительнойдлины падающей симметричной нормальной волны из низшей моды соответствующего дис-персионного спектра.

Ключевые слова: рассеяние нормальной волны сдвига, метод частичных областей, рядыпо базисным частным решениям волнового уравнения.

Различные аспекты проблемы изучения эффектов рассеяния нормальныхупругих волн, падающих на ортогональную плоским граням боковую гра-ничную поверхность полуслоя, представлены в публикациях [1–7]. В гораздоменьшей степени исследованы эффекты отражения волн деформаций от бо-ковой граничной поверхности полуслоя, наклоненной по отношению к егоплоским граням [8].

Для полуслоя с наклонной торцевой поверхностью, все участки границыкоторого являются закрепленными, задачи описания полей, отражаемых отбоковой границы нормальных волн, в том числе нормальных волн продоль-ного сдвига, остаются неисследованными.

Целью настоящей работы является построение и анализ теоретическогочисленно-аналитического решения задачи о падении симметричных и анти-симметричных нормальных упругих волн сдвига на наклоненную по отно-шению к граням плоскую торцевую граничную поверхность в полуслое придопущении о том, что все участки границы рассматриваемого тела являютсяжестко закрепленными. Используемый подход основывается на концепцииметода частичных областей.

1. Постановка задачи. Рассматривается отнесенный к нормирован-ным безразмерным прямоугольным координатам Oξ1ξ2ξ3 ортотропный упру-

гий полуслой L(ξ)

hтолщины h с наклоненной плоской боковой граничной

поверхностью, которая составляет угол ψ(ξ)

0с его верхней плоской гранью

140

Отражение нормальных сдвиговых волн

(рис. 1).Рассматриваемый полуслой

Рис. 1

с наклонной боковой поверх-

ность Γ(n)

−

интерпретируется как

нижняя половина полуслоя L(ξ)

2h

толщины 2h с треугольной кли-новидной боковой поверхностью

Γ(n)

+ ∪ Γ(n)

−

. Сечение рассматри-ваемого тела с клиновиднымпрофилем торца в плоскости

Oξ1ξ2 представлено на рис. 2. Грани Γ±: ξ2 = ±h полуслоя L

(ξ)

2hи участки кли-

новидной боковой поверхности Γ(n)

+ ∪Γ(n)

−

полагаются закрепленными. Физико-механические свойства ортотропного материала полуслоя при динамическойантиплоской деформации характеризуются упругими постоянными c44, c55и параметром плотности ρ.

Полагается, что в полуслое

Рис. 2

L(ξ)

hвдоль направления, про-

тивоположного положительно-му координатному направлениюO ξ1, распространяется нормаль-ная симметричная по толщине

L(ξ)

hполяризованная вдоль O ξ3

волна продольного сдвига c кру-говой частотой ω из произволь-ной моды соответствующего дис-персионного спектра, характе-ризуемая функцией упругих вол-

новых перемещений u(i)

3(ξ1, ξ2, t).

При ее падении на наклонную боковую поверхность Γ(n)

−

формируется поле

отраженных волн u(r)

3(ξ1, ξ2, t).

Комплексные амплитудные функции волновых перемещений в падающихи рассеянных волнах подлежат определению из краевой задачи для уравне-ния стационарных сдвиговых упругих колебаний антиплоской деформацииматериала полуслоя, которое в случае отнесения всех характеристик с ли-нейной размерностью к нормирующему параметру h принимает вид

(c55∂2

1 + c44∂2

2 − ρh2c−1

∗∂2t )u3 = 0, ∂j = ∂/∂ξj (j = 1, 2), ∂t = ∂/∂t. (1)

Краевые условия рассматриваемой задачи на закрепленных плоских гра-

нях полуслоя L(ξ)

2hи на закрепленных участках боковой границы Γ

(n)

±

таковы

(u3)ξ2=±h = 0, (2)

(u3)Γ(n)

±

= 0. (3)

141

М.Н. Пачева

В соотношениях (1)–(3) c55, c44 – отнесенные к нормирующему параметру

c∗= c55 упругие постоянные материала полуслоя; u3(ξ1, ξ2, t) = u

(i)

3(ξ1, ξ2, t)+

+u(r)

3(ξ1, ξ2, t). Задача заключается в описании и частотном параметрическом

анализе волнового поля, являющегося суперпозицией полей падающих и

отражаемых от Γ(n)

±

волн.

2. Построение численно-аналитического решения задачи. Наисходном этапе построения решения осуществляется аффинное преобразо-вание координат Oξ1ξ2 в координаты Ox1x2 на основе соотношений

x1 = ξ1, x2 = µξ2, µ = (c55/c44)1/2, (4)

в результате которых уравнение (1) трансформируется в классическое вол-новое уравнение

(

∂2

∂x21

+∂2

∂x22

− ρh2c−1

∗∂2t

)

u3 = 0. (5)

В области сечения полуслоя L2h, получаемого из L(ξ)

2hпреобразованиями (4),

вводится вспомогательная система полярных координат Orψ (x1 = r cosψ,x2 = r sinψ), а также выделяются частичные подобласти в виде полуполосыL = x1 ∈ [l, ∞), x2 ∈ [−hµ, hµ], hµ = µh, сектора LR = r ∈ [0, R],

ψ ∈ [−ψ0, ψ0], ψ0 = arctg(µ tgψ(ξ)

0) и треугольника LT = x1 ∈ [0, l],

x2 ∈ [−x1 tgψ0, x1 tgψ0], LT ⊂ LR.Для описания поля волн в подобласти сечения L вводится удовлетворяю-

щее уравнению (5) и трансформированным краевым условиям (2) представ-

ление u(L)

3в виде суммы падающей и отраженной составляющих

u(L)

3= u

(p)

30exp(−i(ωt+ kp(x1 − l))) sin(pπx2/hµ)+

+

∞

∑

n=1

An exp(−i(ωt− kn(x1 − l))) sin(nπx2/hµ). (6)

Поле волн, отраженных от боковой поверхности полуслоя с сечениемL = x1 ∈ [l, ∞), x2 ∈ [−hµ, hµ], в представлении (6) описывается суперпо-зицией базисных нормальных волн. В этом представлении An – произволь-ные коэффициенты; kp и kn – постоянные распространения для падающейи отражающихся нормальных волн из мод с соответствующими номерами.Структура представления (6) в пределах L обеспечивает выполнение усло-вия (u3)x2=0 = 0 и соответствует симметричному по толщине подобласти0 ≤ x2 ≤ hµ распределению сдвиговых динамических перемещений в падаю-щей волне при четных значениях p, либо их антисимметричному распределе-нию при нечетных p. В соответствии с этим представление (6) в подобласти0 ≤ x2 ≤ hµ описывает решение исходной сформулированной задачи о паде-нии симметричных или антисимметричных нормальных упругих волн сдвига

142


в закрепленном анизотропном полуслое толщины h на наклоненную по отно-шению к граням плоскую торцевую граничную поверхность.

В частичной подобласти LR для описания стационарного поля набегаю-щих и рассеиваемых сдвиговых волн вводится удовлетворяющее уравнению(5) и краевому условию (3) представление

u(C)

3=

∞

∑

n=1

BnJαn(kr) exp(−iωt) sinαnψ, (7)

в котором Bn – произвольные коэффициенты; αn = nπ/ψ0, k = (ρh2ω2/c∗)1/2,

Jαn(kr) – цилиндрические функции Бесселя первого рода. Коэффициенты

An, Bn в этом представлении подлежат определению из функциональныхкраевых условий на границе Γ = x1 = l, x2 ∈ [−hµ, hµ] контакта частичныхобластей L и LT

(u(L)

3)Γ = (u

(C)

3)Γ, (σ

(L)

13)Γ = (σ

(C)

13)Γ, (8)

в которых

σ(L)

13= −c55u30ikp exp (−ikp (x1 − l)) sin

pπx2h

+

+c55

∞

∑

n=1

Anikn exp (ikn (x1 − l)) sinnπx2h

,

σ(C)

13= c55

∞

∑

n=1

Bn

[

k(αn

krJαn

(kr)− Jαn+1 (kr))

sinαnψ cosψ−

−αn

rJαn

(kr) cosαnψ sinψ]

. (9)

При использовании для алгебраизации функциональных краевых условий (8)метода наименьших квадратов эти условия сводятся к бесконечной системелинейных алгебраических уравнений вида

∞

∑

n=1

∞

∑

m=1

Am∆llnm +

∞

∑

n=1

∞

∑

m=1

Bm∆lcnm =

∞

∑

n=1

δlln,

∞

∑

n=1

∞

∑

m=1

Am∆clnm +

∞

∑

n=1

∞

∑

m=1

Bm∆ccnm =

∞

∑

n=1

δcln, (10)

где ∆llnm =

∫

h

−h

F (L)

un (x2)F(L)

um (x2) dx2 +

∫

h

−h

F(L)

13n(x2)F

(L)

13m(x2) dx2,

∆lcnm = −∫

h

−h

F (L)

un(x2)F

(C)

um (x2) dx2 −∫

h

−h

F(L)

13n(x2)F

(L)

13m(x2) dx2,

143

М.Н. Пачева

δlln = −∫

h

−h

F (L)

un (x2)F(L)

up (x2) dx2 −∫

h

−h

F(L)

13n(x2)F

(L)

13p(x2) dx2,

∆clnm = −∫

h

−h

F (C)

un(x2)F

(L)

um (x2) dx2 −∫

h

−h

F(C)

13n(x2)F

(L)

13m(x2) dx2,

∆ccnm =

∫

h

−h

F (C)

un(x2)F

(C)

um (x2) dx2 +

∫

h

−h

F(C)

13n(x2)F

(C)

13m(x2) dx2,

δcln =

∫

h

−h

F (C)

un (x2)F(L)

up (x2) dx2 +

∫

h

−h

F(C)

13n(x2)F

(L)

13p(x2) dx2;

F (L)

up (x2) = u30 sin (pπx2/h) ; F (L)

un (x2) = sin (nπx2/h) ,

F (C)

un(x2) = Jαn

(ks) sin (αn arcsin (x2/s)) ,

F(L)

13p(x2) = c

(L)

55u30 (−ikp) sin (pπx2/h) , F

(L)

13n(x2) = iknc

(L)

55sin (nπx2/h) ,

F(C)

13n(x2) = c

(L)

55cosφ sin (αnφ) (αnJαn

(ks) /s − kJαn+1 (ks))−− sinφ cos (αnφ)αnJαn

(ks) /s;

s =√

l2 + x22, φ = arcsin

(

x2/√

l2 + x22

)

. (11)

Система уравнений (10) в процессе численных исследований подлежит ре-дукции, порядок которой устанавливается в соответствии с критериями тре-буемой точности удовлетворения краевым условиям и устойчивости результа-тов расчетов при варьировании параметра редукции. Расчеты характеристикдинамического напряженно-деформированного состояния после определенияискомых коэффициентов реализуются с переходом к исходным координатам.

3. Результаты численных исследований. Приведенные результатычисленных исследований получены применительно к изотропному полуслою

с торцевой поверхностью, наклоненной под углом ψ(ξ)

0= π/3 и под углом

ψ(ξ)

0= π/4 в случаях рассеяния нормальной волны из низшей моды дис-

персионного спектра симметричных сдвиговых волн в закрепленном изотро-пном слое с варьируемым параметром относительной длины λ = 2π/ (kh).Представлены расчеты полей волновых упругих перемещений в подобласти

ξ1 ≤ 6h/ tg(ψ(ξ)

0) для моментов времени, соответствующих началу периода

волновых колебаний. Анализируемые поля иллюстрируются тонированнымиизображениями, в которых переход от темных тонов к светлым соответствуетросту интенсивности описываемой характеристики.

На рис. 3–7 соответственно отражены распределения интенсивностей по-

лей волновых перемещений для полуслоя с ψ(ξ)

0= π/3 при значениях λ, рав-

ных 0.7; 1.0; 1.3; 1.6; 3.0. На рис. 8–12 соответственно приведены аналогичные

распределения в случае полуслоя с ψ(ξ)

0= π/4.

144


Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

На основе полученных данных можно констатировать малое влияние на-клона торцевой поверхности на дальнее поле рассеиваемых волн при паденииотносительно длинной волны с λ ≥ 3.0. Для более коротких волн с λ = 1.6 иλ = 1.3 основные эффекты заключаются в колебательных изменениях ориен-

145

М.Н. Пачева

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

тации нормалей к фронтам генерируемых в результате падения–отраженияволн вдоль продольного направления волновода.

Для волн с λ = 1.0 при рассматриваемых углах наклона торца карти-

146


Рис. 11

Рис. 12

на рассеяния существенно отличается. Если при ψ(ξ)

0= π/3 влияние наклона

торцевой поверхности для волн этой относительной длины по сути уменьшае-

тся в сравнении со случаями λ = 1.6 и λ = 1.3, то при ψ(ξ)

0= π/4 картина поля

рассеянных волн качественно трансформируется. Наблюдается перестройкаполя рассеиваемых волн во всей рассматриваемой зоне полуслоя. Подобныевыводы касаются и случая еще более коротких волн с λ = 0.7, для которых вклиновидной приграничной подобласти также начинает формироваться фо-кусное пятно повышенной интенсивности волновых смещений и наблюдаетсяэффект концентрации интенсивности волновых перемещений в окрестностиее вершины.

Выводы. В итоге проведенных исследований получено решение задачи орассеянии нормальной волны сдвига, падающей на закрепленную плоскую бо-ковую поверхность прямолинейно ортотропного полуслоя, наклоненную подпроизвольным углом к его закрепленным плоским граням. Использована кон-цепция метода частичных областей с выделением геометрических элементовсечения в виде полуслоя с ортогональной граням боковой поверхностью и тре-угольной подобласти, дополняющей сечение до полуслоя с наклонной грани-цей. Волновые поля в указанных подобластях после применения к исходномууравнению антиплоских колебаний ортотропной упругой среды приема аф-финного преобразования координат соответственно представляются рядамис неопределенными коэффициентами по априори удовлетворяющим краевымусловиям на плоских гранях и на наклонной боковой поверхности базиснымчастным решениям волнового уравнения в прямоугольных и полярных коор-

147

М.Н. Пачева

динатах. Алгебраизация функционального уравнения, следующего из крае-вых условий механического сопряжения выделенных в сечении подобластей,реализована с использованием метода наименьших квадратов. С использова-нием построенного решения осуществлены расчеты полей волновых переме-щений в окрестности скошенной боковой поверхности для отдельных значе-ний относительной длины падающей нормальной волны из низшей моды соо-тветствующего дисперсионного спектра и варьируемых углах наклона торца.Дана характеристика некоторых ведущих свойств анализируемых полей.

1. Бабенкова Е. В. Каплунов Ю. Д., Устинов Ю. А. О принципе Сен-Венана в случаенизкочастотных колебаний полуполосы // Прикл. математика и механика. – 2005. –69, 3. – С. 445–457.

2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук. думка, 1981. – 284 с.

3. Пельц С. П., Шихман В. М. О сходимости метода однородных решений в динамическойсмешанной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР. – 1987. – 295. – 4. – С. 821–824.

4. Cho Y. H., Rose J. L. A boundary element solution for a mode conversion study on theedge reflection of Lamb waves // J. Acoust. Soc. Amer. – 1996. – 99, 4. – P. 2097–2109.

5. Gregory R. D., Gladwell I. 6. The reflection of a symmetric Rayleigh-Lamb wave at thefixed or free edge of a plate // J. Elasticity. – 1983. – 13. – P. 185–206.

6. Pagneux V. Revisiting the edge resonance for Lamb waves in a semiinfinite plate // J.Acoust. Soc. Amer. – 2006. – 120, 2. – P. 649–656.

7. Torvic P. J. Reflection of wave trains in semiinfinite plates // J. Acoust. Soc. Amer. – 1967.– 41, 2. – P. 346–353.

8. Суворова Т. В. О напряжениях в пространственном упругом полуслое с наклонной бо-ковой гранью, возникающих под действием осциллирующей нагрузки // Современныепроблемы механики сплошной среды: Тр. VIII Междунар. конф. – Ростов-на-Дону:Изд-во РГУ.– 2002. – С. 178–182.

M.N. Pacheva

Reflection of normal shear waves from the inclined flat side surfaceof rigidly fixed semilayer

Numerical-analytical algorithm for solving the problem of the reflection of normal shear waveincident on a flat side surface of rigidly fixed orthotropic semilayer inclined at an arbitrary angleto the flat faces is constructed. The approach is based on the concept of the method of partialdomains. After applying of affine transformation of coordinates to the original equations of an-tiplanar vibrations of orthotropic elastic medium, wave fields in subareas are presented in theform of series in basic particular solutions of the wave equation in rectangular and polar coordi-nates with undetermined coefficients. This series a priori satisfy the boundary conditions on theflat faces and on the inclined side surface. Algebraization of functional equations of boundaryconditions of the full mechanical coupling of subareas is implemented using the least-squaresmethod. Some results are presented obtained by calculation of the elastic wave displacementfields in the vicinity of the beveled side surface for the individual values of the relative lengthof the incident waves of the lower mode from corresponding dispersion spectrums.

Keywords: reflection of normal shear wave, method of partial domains, least-squares method,series of basic particular solutions of the wave equation.

148


М.М. Пачева

Вiдбиття нормальних хвиль зсуву вiд нахиленої торцевої поверхнiнапiвшару з закрiпленою межею

Побудовано чисельно-аналiтичний розв’язок крайової задачi про вiдбиття нормальної хви-лi зсуву вiд нахиленої до граней пiд довiльним кутом плоскої бiчної поверхнi пружногонапiвшару. Використано концепцiю методу часткових областей з видiленням геометричнихелементiв перетину у виглядi напiвсмуги з ортогональною граням бiчною межею i три-кутної пiдобластi, доповнюючої перетин до напiвсмуги з нахиленим торцем. Хвилевi поляв указаних пiдобластях зображуються рядами з невизначеними коефiцiєнтами за задоволь-няючими крайовим умовам на плоских гранях i на нахиленiй бiчнiй поверхнi базиснимичастинними розв’язками хвилевого рiвняння в прямокутних i полярних координатах. Ал-гебраїзацiя функцiональних крайових умов механiчного контакту видiлених в перетинiпiдобластей здiйснюється методом найменших квадратiв. Подано окремi результати роз-рахунку полiв хвилевих пружних перемiщень в околi скошеної бiчної поверхнi для низкизначень вiдносної довжини падаючої симетричної нормальної хвилi з нижчої моди вiдпо-вiдного дисперсiйного спектру.

Ключовi слова: розсiювання нормальної хвилi зсуву, метод часткових областей, рядиза базисними частинними розв’язками хвилевого рiвняння.


[email protected]


149

150

Юбилейные даты_______________________________________________________

Александр Михайлович КОВАЛЕВ


19 января 2014 г. исполнилось 70 лет со дня рождения известного ученого в области математических проблем механики академика НАН Украины, доктора физико-математических наук, профессора Александра Михайловича КОВАЛЕВА.

Александр Михайлович Ковалев – выдающийся ученый в области математических проблем механики, академик НАН Украины (с 2012 г., член-корр. – с 2003 г.). Родился 19 января 1944 года в с. Убинское Новосибирской обл. (Россия). Окончил Донецкий государственный университет (1967 г.). С 1967 г. работает в Институте прикладной математики и механики НАН Украины (с 2005 г. – директор).

Научная деятельность А.М. Ковалева связана с решением математических задач теории управления нелинейными динамическими системами, теории устойчивости движения, динамики твердого тела. Центральное место в его исследованиях занимают проблемы управления нелинейными динамическими

151

системами. Им создан метод ориентированных многообразий, позволивший решить проблему управляемости для непрерывных систем. На основе этого метода им создана теория управления угловым движением твердого тела при помощи различных управляющих органов: реактивных двигателей, роторов и гиродинов.

Решена задача о вложении инвариантного многообразия в семейство интегральных. Получена новая форма уравнений инвариантных многообразий, которая объединяет подходы Леви-Чивиты, Пуанкаре–Харламова и распространяет метод инвариантных соотношений на задачи управления. Предложенный подход позволил выполнить системное исследование обратных задач теории управления: наблюдения, идентификации, обратимости, функциональной управляемости и др.

А.М. Ковалевым доказан ряд теорем по устойчивости стационарных движений гамильтоновых систем, полученных с использованием методов КАМ-теории. Эти результаты практически закрывают проблему устойчивости стационарных движений механических систем, постановка которой и существенное продвижение в ее решении связаны с именами Рауса и Ляпунова. Применение результатов по гамильтоновым системам к задаче об устойчивости равномерных вращений гиростата позволило А.М. Ковалеву получить полное ее решение. Весомым достижением является метод дополнительных функций, предложенный им для исследования вопросов неустойчивости в динамических системах. Эти результаты стали классическими в теории устойчивости и управления и принесли А.М. Ковалеву мировую известность.

А.М. Ковалев – автор и соавтор более 250 статей и 6 монографий. Им подготовлено 6 докторов и 18 кандидатов физико-математических наук. Благодаря усилиям А.М. Ковалева на посту директора, Институт сохранил и приумножил свой научный потенциал и снискал известность и авторитет как в Украине, так и за рубежом.

Вклад А.М. Ковалева в развитие динамики твердого тела отмечен Государственной премией Украины в области науки и техники, Премией имени Н.Н. Крылова НАН Украины. Он является членом Бюро Отделения математики НАН Украины, членом Научного комитета Украины по теоретической и прикладной механике, Национального комитета Украинской ассоциации по автоматическому управлению, Общества прикладной математики и механики ГАММ (ФРГ), Европейского общества механики (EUROMECH), Американского математического общества, ответственным редактором научных сборников “Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины” и “Механика твердого тела”.

Коллеги, ученики, друзья и редколлегия сборника “Механика твердого тела” сердечно поздравляют Александра Михайловича с юбилеем и желают ему крепкого здоровья, неиссякаемой творческой энергии, новых научных достижений.

152

Юбилейные даты_______________________________________________________

Александр Алексеевич ИЛЮХИН


15 февраля 2014 г. исполнилось 70 лет со дня рождения известного ученого-механика, доктора физико-математических наук, профессора Александра Алексеевича Илюхина.

В 1966 г. А.А. Илюхин закончил механико-математический факультет Новосибирского государственного университета. Здесь началась его научная работа под руководством П.В. Харламова. В 1965 г. П.В. Харламов был избран членом-корреспондентом АН УССР и возглавил отдел прикладной механики в только что созданном Донецком вычислительном центре АН УССР (позже переименован в Институт прикладной математики и механики). Сразу после окончания НГУ А.А. Илюхин был распределен на работу в этот отдел. В 1970 г. он защитил в ДонГУ кандидатскую диссертацию “Пространственные нелинейные задачи теории тонких упругих стержней”, а в 1985 г. в ЛГУ он защитил

153

докторскую диссертацию “Аналитическая механика пространственных форм равновесия упругих стержней”.

Его работы лежат на стыке теории упругости и теоретической механики. Аналогия Кирхгофа между задачей об изгибе и кручении тонкого упругого стержня и задачей о движении тяжелого гиростата распространена им на общий случай анизотропных стержней. Он развил методы геометрического анализа сложных пространственных форм равновесия таких стержней. Все это позволило ему получить и проанализировать ряд точных решений задачи об изгибе стержня. Эти результаты составили основу его монографии “Пространственные нелинейные задачи нелинейной теории упругих стержней”, которая получила мировую известность. Научную работу в ИПММ А.А. Илюхин сочетал с преподаванием в Донецком государственном университете.

С 1971 г. он начал активно работать по темам, выполнявшимся для предприятий оборонно-промышленного комплекса, и выполнил ряд исследований, нашедших применение при разработке новых образцов специальной техники. Эти исследования позволили ему выйти на новые классы прикладных и теоретических проблем. Он получил ряд значительных научных результатов в задачах математического моделирования систем твердых и упругих тел, исследовал вопросы устойчивости и бифуркации решений для различных краевых задач, а также задачи оптимального управления механическими объектами, выполнил ряд исследований в области биомеханики.

В 1994 г. А.А. Илюхин переехал из Украины в Россию и стал работать в Таганрогском государственном педагогическом институте, где до 2013 г. возглавлял кафедру математического анализа. При этом он сохранил тесные связи с Донецком, участвуя в выполнении совместных исследований, в организации конференций, в работе редколлегии сборника “Механика твердого тела”.

В Донецке и в Таганроге под его руководством защищены 7 кандидатских диссертаций. Ему принадлежат 4 научные монографии и 221 статья.

Коллеги, друзья и редколлегия сборника ”Механика твердого тела” сердечно поздравляют Александра Алексеевича с семидесятилетем и желают ему крепкого здоровья и новых успехов.

Вниманию авторов сборника “Механика твердого тела”

В сборнике печатаются статьи, содержащие новые результаты в области механики твер-дого тела и общей механики, теории устойчивости движения и теории управления дина-мическими системами.

1. Общие положения1.1. Рукопись представляется в редакцию в двух экземплярах на русском или украинскомязыке. По решению редколлегии возможна публикация статьи на английском языке. Объемстатьи не должен превышать 14 страниц сборника.1.2. Рукопись должна быть тщательно выверена и подписана всеми авторами.1.3. Текст статьи начинается с индекса УДК. Ниже следуют инициалы и фамилия каждогоиз авторов, с новой строки – название статьи.1.4. В начале статьи приводится краткая аннотация, ключевые слова, затем следуют вве-дение, основная часть, текст которой при необходимости может быть разбит на пункты, исписок литературы.1.5. В статье допускается наличие приложений, содержащих материал, который из-за гро-моздкости или по другим причинам нецелесообразно включать в основной текст.1.6. На отдельном листе (файле) подаются перевод на английский и украинскийязыки фамилии автора(-ов), названия статьи, аннотации, ключевых слов. Дляредакции – сведения об авторах: имя, отчество, фамилия, место работы, научные звания,должность, почтовый и электронный адрес, телефон. К статье прилагается соответствую-щая документация.

2. Требования к оформлению рукописиРедакция принимает статьи, подготовленные в LATEX 2e. При этом:

2.1. Векторы набирать прямым полужирным шрифтом; математические символы типаconst, lim, sup, log, sin и т.п. – прямым шрифтом; тире набирать как два дефиса: – .2.2. Нумеровать следует только те формулы, на которые в тексте имеются ссылки, нумеру-емые формулы обязательно выключать в отдельную строку. Нумерация формул – сквознаяпо всей статье.2.3. Рисунки должны иметь подрисуночные подписи.2.4. Список литературы должен быть составлен в порядке цитирования в статье с соблю-дением оформления, принятого в журнале.2.5. В конце статьи, после списка литературы, должно быть указано учреждение, в которомвыполнено исследование, и электронный адрес автора(-ов).

Примеры оформления литературы:1. Ковалев А.М. Управляемость динамических систем по части переменных // Прикл.математика и механика. – 1993. – 57, 6. – С. 41–50.2. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. – М.: Наука, 1985. – 624 с.

3. Требования к подготовке TEX-файла статьи:Графика должна быть включена в tex-файл и представлена в одном из форма-

тов: EPS, JPG, PNG, PS с разрешением не менее 600 dpi. Рисунки должны бытьвыполнены в формате, обеспечивающем ясность передачи всех деталей, и помещены насвои места вместе с номером рисунка и подрисуночной подписью в макет статьи. Макетстатьи создается с помощью стилевого файла mtt.cls. Стилевой файл и образец оформле-ния статьи можно скачать по адресуhttp://iamm.ac.donetsk.ua/journals/mtt.zip.

Файлы могут передаваться в редакцию как на диске 3.5 дюйма, так и по электроннойпочте.

Адрес для переписки:Институт прикладной математики и механики НАН УкраиныРедакция сборника “Механика твердого тела”: ул. Р.Люксембург, 74, Донецк,

83114, УкраинаТел.: +38 062 3110165; E-mail: [email protected]

Страница журнала в Интернете: http://iamm.ac.donetsk.ua/journals/j11/

154

Documents

› upload › iblock › c57 › mtt44.pdf · НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ